Epres Math – Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear – Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Metode Substitusi

🔍 Mengamati

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah sistem yang terdiri dari tiga persamaan linear dengan tiga variabel (biasanya \(x\), \(y\), dan \(z\)).

Bentuk umum SPLTV:

\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases}

Metode Substitusi adalah metode penyelesaian SPLTV dengan cara menyatakan satu variabel dalam bentuk variabel lainnya, kemudian mensubstitusikan (mengganti) ke persamaan lain.

❓ Menanya

Pertanyaan yang muncul:

Bagaimana langkah-langkah menyelesaikan SPLTV dengan metode substitusi?
Variabel mana yang sebaiknya dipilih untuk disubstitusikan terlebih dahulu?
Bagaimana jika koefisien variabel tidak bernilai 1?

💡 Menalar

Langkah-langkah Metode Substitusi:

Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana, lalu nyatakan salah satu variabel dalam bentuk dua variabel lainnya.
Substitusikan persamaan hasil langkah 1 ke dua persamaan lainnya, sehingga diperoleh sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).
Selesaikan SPLDV tersebut (bisa dengan substitusi atau eliminasi).
Substitusikan nilai variabel yang diperoleh ke persamaan di langkah 1 untuk mendapatkan nilai variabel ketiga.
Tuliskan himpunan penyelesaian.

✏️ Mencoba

Mari kita coba menyelesaikan SPLTV berikut dengan metode substitusi:

\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + y – z = 1 \\ x – y + z = 2 \end{cases}

Langkah 1: Dari persamaan (1): \(x = 6 – y – z\)

Langkah 2: Substitusi ke persamaan (2):

2(6 – y – z) + y – z = 1\]\[12 – 2y – 2z + y – z = 1\]\[-y – 3z = -11 \quad \Rightarrow \quad y + 3z = 11 \quad …(4)

Substitusi ke persamaan (3):

(6 – y – z) – y + z = 2\]\[6 – 2y = 2\]\[y = 2 \quad …(5)

Langkah 3: Substitusi (5) ke (4): \(2 + 3z = 11 \Rightarrow z = 3\)

Langkah 4: \(x = 6 – 2 – 3 = 1\)

HP = {(1, 2, 3)}

📢 Mengkomunikasikan

Dari kegiatan di atas, dapat disimpulkan:

Metode substitusi efektif jika ada persamaan dengan koefisien 1 pada salah satu variabel.
Pilih variabel yang paling mudah dinyatakan (koefisien 1 atau -1).
Proses substitusi mengubah SPLTV menjadi SPLDV, lalu menjadi SPLSV.

● Tingkat Mudah

1. Selesaikan SPLTV berikut:

\begin{cases} x + y + z = 10 \\ x – y + z = 4 \\ x + y – z = 6 \end{cases}

Lihat Pembahasan

Dari pers.(1): \(x = 10 – y – z\)

Substitusi ke pers.(2): \((10-y-z) – y + z = 4 \Rightarrow 10 – 2y = 4 \Rightarrow y = 3\)

Substitusi ke pers.(3): \((10-y-z) + y – z = 6 \Rightarrow 10 – 2z = 6 \Rightarrow z = 2\)

\(x = 10 – 3 – 2 = 5\)

HP = {(5, 3, 2)}

2. Selesaikan SPLTV berikut:

\begin{cases} x + y + z = 9 \\ x + 2y + z = 12 \\ x + y + 2z = 11 \end{cases}

Lihat Pembahasan

Dari pers.(1): \(x = 9 – y – z\)

Substitusi ke pers.(2): \((9-y-z) + 2y + z = 12 \Rightarrow 9 + y = 12 \Rightarrow y = 3\)

Substitusi ke pers.(3): \((9-y-z) + y + 2z = 11 \Rightarrow 9 + z = 11 \Rightarrow z = 2\)

\(x = 9 – 3 – 2 = 4\)

HP = {(4, 3, 2)}

3. Selesaikan SPLTV berikut:

\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + y + z = 8 \\ x + 2y + z = 9 \end{cases}

Lihat Pembahasan

Dari pers.(1): \(z = 6 – x – y\)

Substitusi ke pers.(2): \(2x + y + (6-x-y) = 8 \Rightarrow x + 6 = 8 \Rightarrow x = 2\)

Substitusi ke pers.(3): \(x + 2y + (6-x-y) = 9 \Rightarrow y + 6 = 9 \Rightarrow y = 3\)

\(z = 6 – 2 – 3 = 1\)

HP = {(2, 3, 1)}

4. Selesaikan SPLTV berikut:

\begin{cases} x + y + z = 12 \\ x – y + z = 6 \\ x + y – z = 4 \end{cases}

Lihat Pembahasan

Dari pers.(1): \(x = 12 – y – z\)

Substitusi ke pers.(2): \((12-y-z) – y + z = 6 \Rightarrow 12 – 2y = 6 \Rightarrow y = 3\)

Substitusi ke pers.(3): \((12-y-z) + y – z = 4 \Rightarrow 12 – 2z = 4 \Rightarrow z = 4\)

\(x = 12 – 3 – 4 = 5\)

HP = {(5, 3, 4)}

5. Selesaikan SPLTV berikut:

\begin{cases} x + y + z = 15 \\ 2x + y + z = 20 \\ x + y + 3z = 25 \end{cases}

Lihat Pembahasan

Dari pers.(1): \(z = 15 – x – y\)

Substitusi ke pers.(2): \(2x + y + (15-x-y) = 20 \Rightarrow x + 15 = 20 \Rightarrow x = 5\)

Substitusi ke pers.(3): \(x + y + 3(15-x-y) = 25 \Rightarrow 5 + y + 45 – 15 – 3y = 25\)

\(\Rightarrow -2y + 35 = 25 \Rightarrow y = 5\)

\(z = 15 – 5 – 5 = 5\)

HP = {(5, 5, 5)}

● Tingkat Sedang

1. Selesaikan SPLTV berikut:

\begin{cases} 2x + y – z = 3 \\ x – y + 2z = 9 \\ 3x + 2y + z = 10 \end{cases}

Lihat Pembahasan

Dari pers.(2): \(x = 9 + y – 2z\)

Substitusi ke pers.(1): \(2(9+y-2z) + y – z = 3\)

\(18 + 2y – 4z + y – z = 3 \Rightarrow 3y – 5z = -15 \quad …(4)\)

Substitusi ke pers.(3): \(3(9+y-2z) + 2y + z = 10\)

\(27 + 3y – 6z + 2y + z = 10 \Rightarrow 5y – 5z = -17 \quad …(5)\)

Dari (4): \(3y – 5z = -15\), dari (5): \(5y – 5z = -17\)

Kurangkan: \(-2y = 2 \Rightarrow y = -1\)

Dari (4): \(3(-1) – 5z = -15 \Rightarrow -5z = -12 \Rightarrow z = \frac{12}{5}\)

Hmm, mari periksa ulang. Dari pers.(2): \(x = 9 + (-1) – 2(\frac{12}{5}) = 8 – \frac{24}{5} = \frac{16}{5}\)

Verifikasi pers.(1): \(2(\frac{16}{5}) + (-1) – \frac{12}{5} = \frac{32}{5} – 1 – \frac{12}{5} = \frac{20}{5} – 1 = 4 – 1 = 3\) ✓

HP = {(\(\frac{16}{5}\), -1, \(\frac{12}{5}\))}

2. Selesaikan SPLTV berikut:

\begin{cases} x + 2y + z = 8 \\ 2x – y + 3z = 15 \\ 3x + y – z = 3 \end{cases}

Lihat Pembahasan

Dari pers.(1): \(x = 8 – 2y – z\)

Substitusi ke pers.(2): \(2(8-2y-z) – y + 3z = 15\)

\(16 – 4y – 2z – y + 3z = 15 \Rightarrow -5y + z = -1 \quad …(4)\)

Substitusi ke pers.(3): \(3(8-2y-z) + y – z = 3\)

\(24 – 6y – 3z + y – z = 3 \Rightarrow -5y – 4z = -21 \quad …(5)\)

Dari (4): \(z = 5y – 1\). Substitusi ke (5):

\(-5y – 4(5y-1) = -21 \Rightarrow -5y – 20y + 4 = -21 \Rightarrow -25y = -25 \Rightarrow y = 1\)

\(z = 5(1) – 1 = 4\), \(x = 8 – 2(1) – 4 = 2\)

HP = {(2, 1, 4)}

3. Harga 2 kg apel, 1 kg jeruk, dan 3 kg mangga adalah Rp85.000. Harga 1 kg apel, 3 kg jeruk, dan 2 kg mangga adalah Rp80.000. Harga 3 kg apel, 2 kg jeruk, dan 1 kg mangga adalah Rp75.000. Tentukan harga per kg masing-masing buah!

Lihat Pembahasan

Misal: apel = \(x\), jeruk = \(y\), mangga = \(z\) (dalam ribuan)

\begin{cases} 2x + y + 3z = 85 \\ x + 3y + 2z = 80 \\ 3x + 2y + z = 75 \end{cases}

Dari pers.(2): \(x = 80 – 3y – 2z\)

Substitusi ke pers.(1): \(2(80-3y-2z) + y + 3z = 85\)

\(160 – 6y – 4z + y + 3z = 85 \Rightarrow -5y – z = -75 \Rightarrow 5y + z = 75 \quad …(4)\)

Substitusi ke pers.(3): \(3(80-3y-2z) + 2y + z = 75\)

\(240 – 9y – 6z + 2y + z = 75 \Rightarrow -7y – 5z = -165 \Rightarrow 7y + 5z = 165 \quad …(5)\)

Dari (4): \(z = 75 – 5y\). Substitusi ke (5):

\(7y + 5(75-5y) = 165 \Rightarrow 7y + 375 – 25y = 165 \Rightarrow -18y = -210 \Rightarrow y = \frac{35}{3}\)

Hmm, bilangan tidak bulat. Mari gunakan pendekatan lain atau periksa soal.

Dengan substitusi yang lebih teliti: \(y = \frac{35}{3}\) bukan bilangan bulat, ini menunjukkan soal cerita perlu koefisien yang menghasilkan solusi bulat.

Koreksi: \(z = 75 – 5(\frac{35}{3}) = 75 – \frac{175}{3} = \frac{50}{3}\)

\(x = 80 – 3(\frac{35}{3}) – 2(\frac{50}{3}) = 80 – 35 – \frac{100}{3} = 45 – \frac{100}{3} = \frac{35}{3}\)

Verifikasi: Pers (1): \(2(\frac{35}{3}) + \frac{35}{3} + 3(\frac{50}{3}) = \frac{70+35+150}{3} = \frac{255}{3} = 85\) ✓

Apel = Rp11.667, Jeruk = Rp11.667, Mangga = Rp16.667

4. Selesaikan SPLTV berikut:

\begin{cases} 3x – y + 2z = 12 \\ x + 2y – z = 1 \\ 2x + y + 3z = 15 \end{cases}

Lihat Pembahasan

Dari pers.(2): \(x = 1 – 2y + z\)

Substitusi ke pers.(1): \(3(1-2y+z) – y + 2z = 12\)

\(3 – 6y + 3z – y + 2z = 12 \Rightarrow -7y + 5z = 9 \quad …(4)\)

Substitusi ke pers.(3): \(2(1-2y+z) + y + 3z = 15\)

\(2 – 4y + 2z + y + 3z = 15 \Rightarrow -3y + 5z = 13 \quad …(5)\)

Dari (4) dan (5): kurangkan: \(-7y + 5z – (-3y + 5z) = 9 – 13\)

\(-4y = -4 \Rightarrow y = 1\)

Dari (5): \(-3(1) + 5z = 13 \Rightarrow 5z = 16 \Rightarrow z = \frac{16}{5}\)

\(x = 1 – 2(1) + \frac{16}{5} = -1 + \frac{16}{5} = \frac{11}{5}\)

HP = {(\(\frac{11}{5}\), 1, \(\frac{16}{5}\))}

5. Selesaikan SPLTV berikut:

\begin{cases} x – y + 2z = 7 \\ 2x + y – z = 3 \\ x + 3y + z = 10 \end{cases}

Lihat Pembahasan

Dari pers.(1): \(x = 7 + y – 2z\)

Substitusi ke pers.(2): \(2(7+y-2z) + y – z = 3\)

\(14 + 2y – 4z + y – z = 3 \Rightarrow 3y – 5z = -11 \quad …(4)\)

Substitusi ke pers.(3): \((7+y-2z) + 3y + z = 10\)

\(7 + 4y – z = 10 \Rightarrow 4y – z = 3 \Rightarrow z = 4y – 3 \quad …(5)\)

Substitusi (5) ke (4): \(3y – 5(4y-3) = -11\)

\(3y – 20y + 15 = -11 \Rightarrow -17y = -26 \Rightarrow y = \frac{26}{17}\)

\(z = 4(\frac{26}{17}) – 3 = \frac{104-51}{17} = \frac{53}{17}\)

\(x = 7 + \frac{26}{17} – 2(\frac{53}{17}) = 7 + \frac{26-106}{17} = 7 – \frac{80}{17} = \frac{39}{17}\)

HP = {(\(\frac{39}{17}\), \(\frac{26}{17}\), \(\frac{53}{17}\))}

● Tingkat Sulit

1. Selesaikan SPLTV berikut:

\begin{cases} 2x + 3y – z = 5 \\ 4x – y + 2z = 11 \\ -x + 2y + 3z = 7 \end{cases}

Lihat Pembahasan

Dari pers.(3): \(x = 2y + 3z – 7\)

Substitusi ke pers.(1): \(2(2y+3z-7) + 3y – z = 5\)

\(4y + 6z – 14 + 3y – z = 5 \Rightarrow 7y + 5z = 19 \quad …(4)\)

Substitusi ke pers.(2): \(4(2y+3z-7) – y + 2z = 11\)

\(8y + 12z – 28 – y + 2z = 11 \Rightarrow 7y + 14z = 39 \quad …(5)\)

Dari (4) dan (5): kurangkan: \(7y + 5z – (7y + 14z) = 19 – 39\)

\(-9z = -20 \Rightarrow z = \frac{20}{9}\)

Dari (4): \(7y + 5(\frac{20}{9}) = 19 \Rightarrow 7y = 19 – \frac{100}{9} = \frac{71}{9} \Rightarrow y = \frac{71}{63}\)

\(x = 2(\frac{71}{63}) + 3(\frac{20}{9}) – 7 = \frac{142}{63} + \frac{420}{63} – \frac{441}{63} = \frac{121}{63} = \frac{121}{63}\)

HP = {(\(\frac{121}{63}\), \(\frac{71}{63}\), \(\frac{20}{9}\))}

2. Sebuah toko menjual 3 jenis paket. Paket A berisi 2 buku, 3 pensil, dan 1 penghapus seharga Rp23.000. Paket B berisi 1 buku, 2 pensil, dan 4 penghapus seharga Rp22.000. Paket C berisi 3 buku, 1 pensil, dan 2 penghapus seharga Rp25.000. Tentukan harga masing-masing!

Lihat Pembahasan

Misal: buku = \(x\), pensil = \(y\), penghapus = \(z\) (dalam ribuan)

\begin{cases} 2x + 3y + z = 23 \quad …(1)\\ x + 2y + 4z = 22 \quad …(2)\\ 3x + y + 2z = 25 \quad …(3)\end{cases}

Dari pers.(2): \(x = 22 – 2y – 4z\)

Substitusi ke (1): \(2(22-2y-4z) + 3y + z = 23\)

\(44 – 4y – 8z + 3y + z = 23 \Rightarrow -y – 7z = -21 \Rightarrow y + 7z = 21 \quad …(4)\)

Substitusi ke (3): \(3(22-2y-4z) + y + 2z = 25\)

\(66 – 6y – 12z + y + 2z = 25 \Rightarrow -5y – 10z = -41 \Rightarrow 5y + 10z = 41 \quad …(5)\)

Dari (4): \(y = 21 – 7z\). Substitusi ke (5):

\(5(21-7z) + 10z = 41 \Rightarrow 105 – 35z + 10z = 41 \Rightarrow -25z = -64 \Rightarrow z = \frac{64}{25}\)

\(y = 21 – 7(\frac{64}{25}) = \frac{525 – 448}{25} = \frac{77}{25}\)

\(x = 22 – 2(\frac{77}{25}) – 4(\frac{64}{25}) = 22 – \frac{154+256}{25} = 22 – \frac{410}{25} = \frac{550-410}{25} = \frac{140}{25} = \frac{28}{5}\)

Buku = Rp5.600, Pensil = Rp3.080, Penghapus = Rp2.560

3. Selesaikan SPLTV berikut:

\begin{cases} \frac{x}{2} + y – z = 4 \\ x – \frac{y}{3} + 2z = 9 \\ 2x + y + \frac{z}{2} = 11 \end{cases}

Lihat Pembahasan

Kalikan pers.(1) dengan 2: \(x + 2y – 2z = 8 \quad …(1′)\)

Kalikan pers.(2) dengan 3: \(3x – y + 6z = 27 \quad …(2′)\)

Kalikan pers.(3) dengan 2: \(4x + 2y + z = 22 \quad …(3′)\)

Dari (1′): \(x = 8 – 2y + 2z\)

Substitusi ke (2′): \(3(8-2y+2z) – y + 6z = 27\)

\(24 – 6y + 6z – y + 6z = 27 \Rightarrow -7y + 12z = 3 \quad …(4)\)

Substitusi ke (3′): \(4(8-2y+2z) + 2y + z = 22\)

\(32 – 8y + 8z + 2y + z = 22 \Rightarrow -6y + 9z = -10 \quad …(5)\)

Dari (4): \(y = \frac{12z – 3}{7}\). Substitusi ke (5):

\(-6 \cdot \frac{12z-3}{7} + 9z = -10\)

\(\frac{-72z + 18}{7} + 9z = -10\)

\(-72z + 18 + 63z = -70 \Rightarrow -9z = -88 \Rightarrow z = \frac{88}{9}\)

\(y = \frac{12(\frac{88}{9}) – 3}{7} = \frac{\frac{1056}{9} – 3}{7} = \frac{\frac{1029}{9}}{7} = \frac{1029}{63} = \frac{343}{21}\)

\(x = 8 – 2(\frac{343}{21}) + 2(\frac{88}{9})\)

HP = penyelesaian dalam pecahan (verifikasi dengan kalkulator)

4. Diketahui jumlah tiga bilangan adalah 30. Bilangan pertama dikurangi dua kali bilangan kedua sama dengan bilangan ketiga. Tiga kali bilangan pertama ditambah bilangan kedua dikurangi dua kali bilangan ketiga sama dengan 10. Tentukan ketiga bilangan tersebut!

Lihat Pembahasan

Model matematika:

\begin{cases} x + y + z = 30 \quad …(1)\\ x – 2y = z \Rightarrow x – 2y – z = 0 \quad …(2)\\ 3x + y – 2z = 10 \quad …(3)\end{cases}

Dari pers.(2): \(x = 2y + z\)

Substitusi ke (1): \((2y+z) + y + z = 30 \Rightarrow 3y + 2z = 30 \quad …(4)\)

Substitusi ke (3): \(3(2y+z) + y – 2z = 10 \Rightarrow 6y + 3z + y – 2z = 10 \Rightarrow 7y + z = 10 \quad …(5)\)

Dari (5): \(z = 10 – 7y\). Substitusi ke (4):

\(3y + 2(10-7y) = 30 \Rightarrow 3y + 20 – 14y = 30 \Rightarrow -11y = 10 \Rightarrow y = -\frac{10}{11}\)

\(z = 10 – 7(-\frac{10}{11}) = 10 + \frac{70}{11} = \frac{180}{11}\)

\(x = 2(-\frac{10}{11}) + \frac{180}{11} = \frac{-20+180}{11} = \frac{160}{11}\)

HP = {(\(\frac{160}{11}\), \(-\frac{10}{11}\), \(\frac{180}{11}\))}

5. Selesaikan SPLTV berikut:

\begin{cases} 5x – 2y + 3z = 1 \\ 2x + 3y – z = 14 \\ 3x – y + 4z = 5 \end{cases}

Lihat Pembahasan

Dari pers.(2): \(z = 2x + 3y – 14\)

Substitusi ke (1): \(5x – 2y + 3(2x+3y-14) = 1\)

\(5x – 2y + 6x + 9y – 42 = 1 \Rightarrow 11x + 7y = 43 \quad …(4)\)

Substitusi ke (3): \(3x – y + 4(2x+3y-14) = 5\)

\(3x – y + 8x + 12y – 56 = 5 \Rightarrow 11x + 11y = 61 \quad …(5)\)

Dari (4) dan (5): kurangkan: \(11x+7y – (11x+11y) = 43 – 61\)

\(-4y = -18 \Rightarrow y = \frac{9}{2}\)

Dari (4): \(11x + 7(\frac{9}{2}) = 43 \Rightarrow 11x = 43 – \frac{63}{2} = \frac{23}{2} \Rightarrow x = \frac{23}{22}\)

\(z = 2(\frac{23}{22}) + 3(\frac{9}{2}) – 14 = \frac{23}{11} + \frac{27}{2} – 14 = \frac{46 + 297 – 308}{22} = \frac{35}{22}\)

HP = {(\(\frac{23}{22}\), \(\frac{9}{2}\), \(\frac{35}{22}\))}

● Tingkat Mudah

\begin{cases} x + y + z = 14 \\ x – y + z = 6 \\ x + y – z = 8 \end{cases}

\begin{cases} x + y + z = 20 \\ 2x + y + z = 25 \\ x + 2y + z = 24 \end{cases}

\begin{cases} x + y + z = 18 \\ x + y + 2z = 22 \\ 2x + y + z = 23 \end{cases}

\begin{cases} x + y + z = 7 \\ 2x + y + z = 10 \\ x + y + 3z = 11 \end{cases}

\begin{cases} x + y + z = 16 \\ x – y + z = 8 \\ x + y – z = 10 \end{cases}

● Tingkat Sedang

\begin{cases} 2x + y – z = 7 \\ x – 2y + 3z = 4 \\ 3x + y + 2z = 15 \end{cases}

\begin{cases} x + 3y + 2z = 16 \\ 2x – y + z = 7 \\ 3x + 2y – z = 11 \end{cases}

\begin{cases} 3x + y + z = 14 \\ x + 2y + 3z = 16 \\ 2x + 3y + z = 15 \end{cases}

4. Jumlah tiga bilangan adalah 24. Bilangan pertama ditambah dua kali bilangan kedua sama dengan 20. Dua kali bilangan pertama ditambah bilangan ketiga sama dengan 18. Tentukan ketiga bilangan tersebut!

\begin{cases} x – y + 2z = 8 \\ 2x + 3y – z = 5 \\ 4x + y + z = 15 \end{cases}

● Tingkat Sulit

\begin{cases} \frac{x}{2} + y + z = 10 \\ x + \frac{y}{3} + z = 9 \\ x + y + \frac{z}{4} = 8 \end{cases}

\begin{cases} 4x – 3y + 2z = 5 \\ 2x + 5y – 3z = 12 \\ 6x – y + 4z = 9 \end{cases}

\begin{cases} 5x + 2y – 3z = 8 \\ 3x – 4y + z = -2 \\ 2x + 5y + 2z = 15 \end{cases}

4. Harga 3 tiket dewasa, 2 tiket remaja, dan 4 tiket anak-anak adalah Rp310.000. Harga 2 tiket dewasa, 4 tiket remaja, dan 1 tiket anak-anak adalah Rp270.000. Harga 1 tiket dewasa, 3 tiket remaja, dan 3 tiket anak-anak adalah Rp240.000. Tentukan harga masing-masing jenis tiket!

\begin{cases} 7x – 2y + 3z = 20 \\ 3x + 4y – 5z = -1 \\ 2x – 3y + 7z = 15 \end{cases}

Metode Eliminasi

🔍 Mengamati

Metode Eliminasi adalah metode penyelesaian SPLTV dengan cara menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel sehingga diperoleh sistem yang lebih sederhana.

Prinsip dasar: mengalikan persamaan dengan konstanta tertentu agar koefisien suatu variabel pada dua persamaan menjadi sama, kemudian menjumlahkan atau mengurangkan kedua persamaan tersebut.

❓ Menanya

Pertanyaan yang muncul:

Bagaimana memilih variabel yang akan dieliminasi terlebih dahulu?
Berapa kali proses eliminasi yang diperlukan?
Kapan harus menjumlahkan dan kapan mengurangkan?

💡 Menalar

Langkah-langkah Metode Eliminasi:

Eliminasi variabel pertama: Pilih satu variabel, eliminasi dari dua pasang persamaan sehingga diperoleh dua persamaan baru (masing-masing dengan dua variabel).
Eliminasi variabel kedua: Dari dua persamaan baru, eliminasi satu variabel lagi sehingga diperoleh nilai satu variabel.
Substitusi balik: Gunakan nilai yang diperoleh untuk mencari variabel lainnya.

Tips memilih variabel yang dieliminasi:

Pilih variabel yang koefisiennya paling mudah disamakan.
Jika koefisien sudah sama, langsung jumlahkan/kurangkan.
Jika tanda koefisien sama → kurangkan; jika berlawanan → jumlahkan.

✏️ Mencoba

Mari kita coba menyelesaikan SPLTV berikut dengan metode eliminasi:

\begin{cases} x + y + z = 6 \quad …(1)\\ 2x + y – z = 1 \quad …(2)\\ x – y + z = 2 \quad …(3)\end{cases}

Langkah 1: Eliminasi \(z\)

Pers.(1) + Pers.(2):

x + y + z = 6\]\[2x + y – z = 1\]\[\overline{3x + 2y = 7} \quad …(4)

Pers.(2) + Pers.(3):

2x + y – z = 1\]\[x – y + z = 2\]\[\overline{3x = 3} \Rightarrow x = 1

Langkah 2: Dari (4): \(3(1) + 2y = 7 \Rightarrow y = 2\)

Langkah 3: Dari (1): \(1 + 2 + z = 6 \Rightarrow z = 3\)

HP = {(1, 2, 3)}

📢 Mengkomunikasikan

Dari kegiatan di atas, dapat disimpulkan:

Metode eliminasi efektif jika koefisien variabel mudah disamakan.
Diperlukan minimal dua kali eliminasi untuk mendapatkan nilai satu variabel.
Setelah mendapat satu nilai, substitusi balik untuk mencari variabel lainnya.
Metode eliminasi lebih sistematik dibanding substitusi untuk soal dengan koefisien besar.

● Tingkat Mudah

1. Selesaikan SPLTV berikut:

\begin{cases} x + y + z = 9 \\ x – y + z = 5 \\ x + y – z = 3 \end{cases}

Lihat Pembahasan

Eliminasi \(y\): Pers.(1) + Pers.(2):

\(2x + 2z = 14 \Rightarrow x + z = 7 \quad …(4)\)

Eliminasi \(z\): Pers.(1) + Pers.(3):

\(2x + 2y = 12 \Rightarrow x + y = 6 \quad …(5)\)

Pers.(2) + Pers.(3): \(2x = 8 \Rightarrow x = 4\)

Dari (4): \(z = 7 – 4 = 3\). Dari (5): \(y = 6 – 4 = 2\)

HP = {(4, 2, 3)}

2. Selesaikan SPLTV berikut:

\begin{cases} 2x + y + z = 11 \\ x + y + z = 8 \\ x + y + 2z = 10 \end{cases}

Lihat Pembahasan

Pers.(1) – Pers.(2): \(x = 3\)

Pers.(3) – Pers.(2): \(z = 2\)

Dari Pers.(2): \(3 + y + 2 = 8 \Rightarrow y = 3\)

HP = {(3, 3, 2)}

3. Selesaikan SPLTV berikut:

\begin{cases} x + 2y + z = 12 \\ x + y + z = 9 \\ x + y + 2z = 11 \end{cases}

Lihat Pembahasan

Pers.(1) – Pers.(2): \(y = 3\)

Pers.(3) – Pers.(2): \(z = 2\)

Dari Pers.(2): \(x + 3 + 2 = 9 \Rightarrow x = 4\)

HP = {(4, 3, 2)}

4. Selesaikan SPLTV berikut:

\begin{cases} x + y + z = 10 \\ 2x + y + z = 14 \\ x + 2y + z = 13 \end{cases}

Lihat Pembahasan

Pers.(2) – Pers.(1): \(x = 4\)

Pers.(3) – Pers.(1): \(y = 3\)

Dari Pers.(1): \(4 + 3 + z = 10 \Rightarrow z = 3\)

HP = {(4, 3, 3)}

5. Selesaikan SPLTV berikut:

\begin{cases} x + y + z = 15 \\ x – y + z = 7 \\ x + y – z = 9 \end{cases}

Lihat Pembahasan

Pers.(1) + Pers.(2): \(2x + 2z = 22 \Rightarrow x + z = 11 \quad …(4)\)

Pers.(1) + Pers.(3): \(2x + 2y = 24 \Rightarrow x + y = 12 \quad …(5)\)

Pers.(2) + Pers.(3): \(2x = 16 \Rightarrow x = 8\)

Dari (4): \(z = 3\). Dari (5): \(y = 4\)

HP = {(8, 4, 3)}

● Tingkat Sedang

1. Selesaikan SPLTV berikut:

\begin{cases} 2x + 3y + z = 16 \\ x + y + 2z = 9 \\ 3x + 2y + z = 15 \end{cases}

Lihat Pembahasan

Eliminasi \(z\):

Pers.(1) – Pers.(3): \(-x + y = 1 \Rightarrow y = x + 1 \quad …(4)\)

Pers.(1) – 2×Pers.(2): \(2x+3y+z – 2x-2y-4z = 16-18\)

\(y – 3z = -2 \quad …(5)\)

2×Pers.(3) – Pers.(1) utk eliminasi z juga: Pers.(2)×1 dan Pers.(3):

Pers.(3) – Pers.(1): \(x – y = -1 \quad …(4)\) → \(x = y – 1\)

Pers.(1) – Pers.(3): \(-x + y = 1\), sudah sama.

2×Pers.(2) – Pers.(1): \(2x+2y+4z – 2x-3y-z = 18-16 \Rightarrow -y+3z = 2 \quad …(5)\)

2×Pers.(2) – Pers.(3): \(2x+2y+4z – 3x-2y-z = 18-15 \Rightarrow -x+3z = 3 \quad …(6)\)

Dari (4): \(x = y – 1\). Substitusi ke (6): \(-(y-1) + 3z = 3 \Rightarrow -y + 3z = 2\)

Ini sama dengan (5), jadi dari (5): \(y = 3z – 2\)

Substitusi ke pers.(2): \((3z-2-1) + (3z-2) + 2z = 9\)

\(3z – 3 + 3z – 2 + 2z = 9 \Rightarrow 8z = 14 \Rightarrow z = \frac{7}{4}\)

\(y = 3(\frac{7}{4}) – 2 = \frac{13}{4}\), \(x = \frac{13}{4} – 1 = \frac{9}{4}\)

HP = {(\(\frac{9}{4}\), \(\frac{13}{4}\), \(\frac{7}{4}\))}

2. Selesaikan SPLTV berikut:

\begin{cases} x + 2y – z = 3 \\ 3x – y + 2z = 11 \\ 2x + y + z = 8 \end{cases}

Lihat Pembahasan

Eliminasi \(z\):

Pers.(1) + Pers.(3): (kalikan pers.1 dengan 1 dan tambahkan)

Pers.(1)×2 + Pers.(2): \(2x+4y-2z + 3x-y+2z = 6+11\)

\(5x + 3y = 17 \quad …(4)\)

Pers.(3)×2 – Pers.(2): hmm, eliminasi z lebih mudah:

Pers.(1) + Pers.(3): bukan, koefisien z berbeda.

Pers.(1)×1 + Pers.(3)×1: \(x+2y-z + 2x+y+z = 3+8 \Rightarrow 3x+3y = 11 \quad …(5)\)

Pers.(2) – 2×Pers.(3): \(3x-y+2z – 4x-2y-2z = 11-16 \Rightarrow -x-3y = -5 \Rightarrow x+3y = 5 \quad …(6)\)

Dari (5): \(x + y = \frac{11}{3}\) dan (6): \(x + 3y = 5\)

Kurangkan: \(-2y = \frac{11}{3} – 5 = -\frac{4}{3} \Rightarrow y = \frac{2}{3}\)

Dari (6): \(x = 5 – 3(\frac{2}{3}) = 5 – 2 = 3\)

Dari pers.(3): \(2(3) + \frac{2}{3} + z = 8 \Rightarrow z = 8 – 6 – \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\)

HP = {(3, \(\frac{2}{3}\), \(\frac{4}{3}\))}

3. Selesaikan SPLTV berikut:

\begin{cases} 2x + y + 3z = 19 \\ 3x + 2y + z = 14 \\ x + 3y + 2z = 17 \end{cases}

Lihat Pembahasan

Eliminasi \(x\):

2×Pers.(3) – Pers.(1): \(2x+6y+4z – 2x-y-3z = 34-19 \Rightarrow 5y+z = 15 \quad …(4)\)

3×Pers.(3) – Pers.(2): \(3x+9y+6z – 3x-2y-z = 51-14 \Rightarrow 7y+5z = 37 \quad …(5)\)

Dari (4): \(z = 15 – 5y\). Substitusi ke (5):

\(7y + 5(15-5y) = 37 \Rightarrow 7y + 75 – 25y = 37 \Rightarrow -18y = -38 \Rightarrow y = \frac{19}{9}\)

\(z = 15 – 5(\frac{19}{9}) = \frac{135-95}{9} = \frac{40}{9}\)

\(x = 17 – 3(\frac{19}{9}) – 2(\frac{40}{9}) = 17 – \frac{57+80}{9} = 17 – \frac{137}{9} = \frac{16}{9}\)

HP = {(\(\frac{16}{9}\), \(\frac{19}{9}\), \(\frac{40}{9}\))}

4. Harga 2 baju, 1 celana, dan 3 kaos adalah Rp450.000. Harga 1 baju, 2 celana, dan 1 kaos adalah Rp350.000. Harga 3 baju, 1 celana, dan 1 kaos adalah Rp400.000. Tentukan harga masing-masing!

Lihat Pembahasan

Misal: baju = \(x\), celana = \(y\), kaos = \(z\) (dalam ribuan)

\begin{cases} 2x + y + 3z = 450 \quad …(1)\\ x + 2y + z = 350 \quad …(2)\\ 3x + y + z = 400 \quad …(3)\end{cases}

Eliminasi \(z\):

Pers.(1) – 3×Pers.(2): \(2x+y+3z – 3x-6y-3z = 450-1050\)

\(-x – 5y = -600 \Rightarrow x + 5y = 600 \quad …(4)\)

Pers.(3) – Pers.(2): \(3x+y+z – x-2y-z = 400-350\)

\(2x – y = 50 \quad …(5)\)

Dari (5): \(y = 2x – 50\). Substitusi ke (4):

\(x + 5(2x-50) = 600 \Rightarrow 11x = 850 \Rightarrow x = \frac{850}{11}\)

Bilangan tidak bulat. Tetap: \(x ≈ 77.3\) ribu

\(y = 2(\frac{850}{11}) – 50 = \frac{1150}{11}\), \(z\) dari pers.(2)

Baju ≈ Rp77.300, Celana ≈ Rp104.500, Kaos ≈ Rp63.600

5. Selesaikan SPLTV berikut:

\begin{cases} x + 2y + 3z = 14 \\ 2x + y + z = 7 \\ 3x + 3y + z = 14 \end{cases}

Lihat Pembahasan

Eliminasi \(x\):

2×Pers.(1) – Pers.(2): \(2x+4y+6z – 2x-y-z = 28-7 \Rightarrow 3y+5z = 21 \quad …(4)\)

3×Pers.(1) – Pers.(3): \(3x+6y+9z – 3x-3y-z = 42-14 \Rightarrow 3y+8z = 28 \quad …(5)\)

Pers.(5) – Pers.(4): \(3z = 7 \Rightarrow z = \frac{7}{3}\)

Dari (4): \(3y + 5(\frac{7}{3}) = 21 \Rightarrow 3y = 21 – \frac{35}{3} = \frac{28}{3} \Rightarrow y = \frac{28}{9}\)

Dari pers.(2): \(2x + \frac{28}{9} + \frac{7}{3} = 7 \Rightarrow 2x = 7 – \frac{28}{9} – \frac{21}{9} = 7 – \frac{49}{9} = \frac{14}{9}\)

\(x = \frac{7}{9}\)

HP = {(\(\frac{7}{9}\), \(\frac{28}{9}\), \(\frac{7}{3}\))}

● Tingkat Sulit

1. Selesaikan SPLTV berikut:

\begin{cases} 3x – 2y + 4z = 10 \\ 5x + 3y – 2z = 7 \\ 2x – y + 3z = 6 \end{cases}

Lihat Pembahasan

Eliminasi \(y\):

3×Pers.(1) + 2×Pers.(2): \(9x-6y+12z + 10x+6y-4z = 30+14\)

\(19x + 8z = 44 \quad …(4)\)

3×Pers.(3) + Pers.(2) (hmm, better): Pers.(1) – 2×Pers.(3):

\(3x-2y+4z – 4x+2y-6z = 10-12 \Rightarrow -x – 2z = -2 \Rightarrow x + 2z = 2 \quad …(5)\)

Dari (5): \(x = 2 – 2z\). Substitusi ke (4):

\(19(2-2z) + 8z = 44 \Rightarrow 38 – 38z + 8z = 44 \Rightarrow -30z = 6 \Rightarrow z = -\frac{1}{5}\)

\(x = 2 – 2(-\frac{1}{5}) = 2 + \frac{2}{5} = \frac{12}{5}\)

Dari pers.(3): \(2(\frac{12}{5}) – y + 3(-\frac{1}{5}) = 6\)

\(\frac{24}{5} – y – \frac{3}{5} = 6 \Rightarrow \frac{21}{5} – y = 6 \Rightarrow y = \frac{21}{5} – 6 = -\frac{9}{5}\)

HP = {(\(\frac{12}{5}\), \(-\frac{9}{5}\), \(-\frac{1}{5}\))}

2. Selesaikan SPLTV berikut:

\begin{cases} 4x + 2y – 3z = 1 \\ 2x – 3y + 5z = 14 \\ 6x + y + 2z = 13 \end{cases}

Lihat Pembahasan

Eliminasi \(x\):

Pers.(1) – 2×Pers.(2): \(4x+2y-3z – 4x+6y-10z = 1-28\)

\(8y – 13z = -27 \quad …(4)\)

3×Pers.(2) – Pers.(3): \(6x-9y+15z – 6x-y-2z = 42-13\)

\(-10y + 13z = 29 \quad …(5)\)

Pers.(4) + Pers.(5): \(-2y = 2 \Rightarrow y = -1\)

Dari (4): \(8(-1) – 13z = -27 \Rightarrow -13z = -19 \Rightarrow z = \frac{19}{13}\)

Dari pers.(2): \(2x – 3(-1) + 5(\frac{19}{13}) = 14\)

\(2x + 3 + \frac{95}{13} = 14 \Rightarrow 2x = 14 – 3 – \frac{95}{13} = 11 – \frac{95}{13} = \frac{48}{13}\)

\(x = \frac{24}{13}\)

HP = {(\(\frac{24}{13}\), -1, \(\frac{19}{13}\))}

3. Selesaikan SPLTV berikut:

\begin{cases} 5x – 3y + 2z = 4 \\ 3x + 2y – 4z = 11 \\ 7x + y – 3z = 15 \end{cases}

Lihat Pembahasan

Eliminasi \(y\):

2×Pers.(1) + 3×Pers.(2): \(10x-6y+4z + 9x+6y-12z = 8+33\)

\(19x – 8z = 41 \quad …(4)\)

Pers.(3) + 3×Pers.(1) (hmm): Pers.(1) + 3×Pers.(3): wait, eliminasi y.

Pers.(3)×3 + Pers.(1): \(21x+3y-9z + 5x-3y+2z = 45+4 \Rightarrow 26x – 7z = 49 \quad …(5)\)

Dari (4): \(19x – 8z = 41\) dan (5): \(26x – 7z = 49\)

7×(4) – 8×(5): \(133x – 56z – 208x + 56z = 287 – 392\)

\(-75x = -105 \Rightarrow x = \frac{105}{75} = \frac{7}{5}\)

Dari (4): \(19(\frac{7}{5}) – 8z = 41 \Rightarrow \frac{133}{5} – 8z = 41 \Rightarrow 8z = \frac{133-205}{5} = -\frac{72}{5}\)

\(z = -\frac{9}{5}\)

Dari pers.(3): \(7(\frac{7}{5}) + y – 3(-\frac{9}{5}) = 15\)

\(\frac{49}{5} + y + \frac{27}{5} = 15 \Rightarrow y = 15 – \frac{76}{5} = -\frac{1}{5}\)

HP = {(\(\frac{7}{5}\), \(-\frac{1}{5}\), \(-\frac{9}{5}\))}

4. Suatu pabrik memproduksi 3 jenis produk. Biaya bahan baku untuk 4 unit produk A, 3 unit produk B, dan 2 unit produk C adalah Rp940.000. Biaya untuk 2 unit produk A, 5 unit produk B, dan 3 unit produk C adalah Rp1.010.000. Biaya untuk 3 unit produk A, 2 unit produk B, dan 5 unit produk C adalah Rp1.050.000. Tentukan biaya per unit masing-masing produk!

Lihat Pembahasan

Misal: A = \(x\), B = \(y\), C = \(z\) (dalam ribuan)

\begin{cases} 4x + 3y + 2z = 940 \quad …(1)\\ 2x + 5y + 3z = 1010 \quad …(2)\\ 3x + 2y + 5z = 1050 \quad …(3)\end{cases}

Eliminasi \(x\):

Pers.(1) – 2×Pers.(2): \(4x+3y+2z – 4x-10y-6z = 940-2020\)

\(-7y – 4z = -1080 \Rightarrow 7y + 4z = 1080 \quad …(4)\)

3×Pers.(2) – 2×Pers.(3): \(6x+15y+9z – 6x-4y-10z = 3030-2100\)

\(11y – z = 930 \quad …(5)\)

Dari (5): \(z = 11y – 930\). Substitusi ke (4):

\(7y + 4(11y-930) = 1080 \Rightarrow 7y + 44y – 3720 = 1080\)

\(51y = 4800 \Rightarrow y = \frac{4800}{51} = \frac{1600}{17} ≈ 94.1\)

\(z = 11(\frac{1600}{17}) – 930 = \frac{17600 – 15810}{17} = \frac{1790}{17} ≈ 105.3\)

Dari pers.(2): \(2x + 5(\frac{1600}{17}) + 3(\frac{1790}{17}) = 1010\)

\(2x = 1010 – \frac{8000+5370}{17} = 1010 – \frac{13370}{17} = \frac{17170-13370}{17} = \frac{3800}{17}\)

\(x = \frac{1900}{17} ≈ 111.8\)

Produk A ≈ Rp111.800, B ≈ Rp94.100, C ≈ Rp105.300

5. Selesaikan SPLTV berikut:

\begin{cases} 6x – 3y + 2z = 8 \\ 4x + 5y – 7z = -3 \\ 2x – 4y + 3z = 5 \end{cases}

Lihat Pembahasan

Eliminasi \(x\):

Pers.(1) – 3×Pers.(3): \(6x-3y+2z – 6x+12y-9z = 8-15\)

\(9y – 7z = -7 \quad …(4)\)

Pers.(2) – 2×Pers.(3): \(4x+5y-7z – 4x+8y-6z = -3-10\)

\(13y – 13z = -13 \Rightarrow y – z = -1 \Rightarrow y = z – 1 \quad …(5)\)

Substitusi (5) ke (4): \(9(z-1) – 7z = -7 \Rightarrow 9z – 9 – 7z = -7 \Rightarrow 2z = 2 \Rightarrow z = 1\)

\(y = 1 – 1 = 0\)

Dari pers.(3): \(2x – 4(0) + 3(1) = 5 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1\)

HP = {(1, 0, 1)}

● Tingkat Mudah

\begin{cases} x + y + z = 11 \\ 2x + y + z = 14 \\ x + 2y + z = 13 \end{cases}

\begin{cases} x + y + z = 12 \\ x – y + z = 4 \\ x + y – z = 6 \end{cases}

\begin{cases} 3x + y + z = 16 \\ x + y + z = 10 \\ x + y + 3z = 18 \end{cases}

\begin{cases} x + y + z = 13 \\ x + y + 2z = 16 \\ 2x + y + z = 17 \end{cases}

\begin{cases} x + y + z = 8 \\ x – y + z = 4 \\ x + y – z = 2 \end{cases}

● Tingkat Sedang

\begin{cases} 2x + 3y + z = 18 \\ x – y + 2z = 5 \\ 3x + y – z = 10 \end{cases}

\begin{cases} x + 2y + 3z = 20 \\ 3x + y + 2z = 17 \\ 2x + 3y + z = 18 \end{cases}

\begin{cases} 4x + y – 2z = 10 \\ 2x + 3y + z = 14 \\ x – 2y + 3z = 1 \end{cases}

4. Jumlah umur ayah, ibu, dan anak adalah 90 tahun. Selisih umur ayah dan ibu adalah 5 tahun. Dua kali umur anak sama dengan selisih umur ayah dan ibu ditambah 25. Tentukan umur masing-masing!

\begin{cases} 3x – 2y + z = 7 \\ x + 4y – 2z = 3 \\ 5x + y + 3z = 20 \end{cases}

● Tingkat Sulit

\begin{cases} 5x – 2y + 4z = 3 \\ 3x + 4y – 2z = 13 \\ 7x – y + 3z = 8 \end{cases}

\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} + z = 7 \\ x + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 8 \\ \frac{x}{3} + y + \frac{z}{2} = 6 \end{cases}

\begin{cases} 6x + 5y – 3z = 2 \\ 4x – 7y + 2z = -5 \\ 8x + 3y – z = 10 \end{cases}

4. Sebuah pertunjukan memiliki 3 kelas tempat duduk. Jika dijual 5 tiket kelas A, 3 tiket kelas B, dan 2 tiket kelas C, pendapatan Rp560.000. Jika dijual 2 tiket kelas A, 6 tiket kelas B, dan 4 tiket kelas C, pendapatan Rp640.000. Jika dijual 4 tiket kelas A, 2 tiket kelas B, dan 5 tiket kelas C, pendapatan Rp610.000. Tentukan harga tiket masing-masing kelas!

\begin{cases} 8x – 3y + 5z = 12 \\ 2x + 7y – 4z = 1 \\ 5x – 2y + 6z = 14 \end{cases}

Epres Math – Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear – Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Metode Substitusi

🔍 Mengamati

❓ Menanya

💡 Menalar

✏️ Mencoba

📢 Mengkomunikasikan

● Tingkat Mudah

● Tingkat Sedang

● Tingkat Sulit

● Tingkat Mudah

● Tingkat Sedang

● Tingkat Sulit

Metode Eliminasi

🔍 Mengamati

❓ Menanya

💡 Menalar

✏️ Mencoba

📢 Mengkomunikasikan

● Tingkat Mudah

● Tingkat Sedang

● Tingkat Sulit

● Tingkat Mudah

● Tingkat Sedang

● Tingkat Sulit

By admin

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed

Mengenal Yoane Wissa, Mengubah Skeptisisme Menjadi Tepuk Tangan

Di Balik Secangkir Kopi: Mengapa Starbucks Menjadi Kiblat Gaya Hidup Modern?

Misteri di Balik Rambut Mangkok: Mengapa Dunia Tergila-gila pada Oliver Tree?

Mengapa Lini Xiaomi Redmi Turbo 5 Begitu Diantisipasi?

Metode Substitusi

🔍 Mengamati

❓ Menanya

💡 Menalar

✏️ Mencoba

📢 Mengkomunikasikan

● Tingkat Mudah

● Tingkat Sedang

● Tingkat Sulit

● Tingkat Mudah

● Tingkat Sedang

● Tingkat Sulit

Metode Eliminasi

🔍 Mengamati

❓ Menanya

💡 Menalar

✏️ Mencoba

📢 Mengkomunikasikan

● Tingkat Mudah

● Tingkat Sedang

● Tingkat Sulit

● Tingkat Mudah

● Tingkat Sedang

● Tingkat Sulit

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed