Matematika
Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Metode Determinan (Aturan Cramer)
Materi: Metode Determinan (Aturan Cramer)
Metode Determinan (Aturan Cramer) adalah cara menyelesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL) menggunakan determinan matriks. Metode ini dinamai dari matematikawan Gabriel Cramer.
A. Determinan Matriks 2×2
Untuk matriks \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \), determinannya adalah:
\( \det(A) = |A| = ad – bc \)
B. Determinan Matriks 3×3 (Metode Sarrus)
Untuk matriks \( A = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix} \)
\( \det(A) = a_1 b_2 c_3 + b_1 c_2 a_3 + c_1 a_2 b_3 – c_1 b_2 a_3 – b_1 a_2 c_3 – a_1 c_2 b_3 \)
C. Aturan Cramer untuk SPL 2 Variabel
Diberikan SPL:
\( a_1x + b_1y = c_1 \)
\( a_2x + b_2y = c_2 \)
Maka penyelesaiannya:
\( x = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{\begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}} \)
\( y = \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}} \)
Syarat: \( D \neq 0 \) (sistem memiliki solusi tunggal)
D. Aturan Cramer untuk SPL 3 Variabel
Diberikan SPL:
\( a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \)
\( a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \)
\( a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \)
Penyelesaian:
\( x = \dfrac{D_x}{D},\quad y = \dfrac{D_y}{D},\quad z = \dfrac{D_z}{D} \)
Dengan \( D \) = determinan matriks koefisien, \( D_x \) = determinan dengan kolom pertama diganti kolom konstanta, dst.
E. Syarat-syarat Solusi SPL
| Kondisi | Keterangan |
|---|---|
| \( D \neq 0 \) | Solusi tunggal (konsisten) |
| \( D = 0 \), \( D_x = D_y = 0 \) | Banyak solusi (dependen) |
| \( D = 0 \), salah satu \( D_x, D_y \neq 0 \) | Tidak ada solusi (inkonsisten) |
🔍 Kegiatan Pembelajaran (5M)
1. Mengamati
Amati SPL berikut: \( 2x + 3y = 8 \) dan \( x – y = 1 \). Perhatikan bagaimana koefisien membentuk matriks.
2. Menanya
Bagaimana cara menentukan nilai \(x\) dan \(y\) menggunakan determinan? Apa yang terjadi jika determinan = 0?
3. Menalar
Koefisien SPL dapat disusun menjadi matriks. Determinan matriks menentukan apakah SPL memiliki solusi tunggal. Jika \(D \neq 0\), kita dapat menghitung \(x\) dan \(y\) dengan aturan Cramer.
4. Mencoba
Selesaikan SPL di atas: \( D = (2)(-1) – (3)(1) = -5 \), \( D_x = (8)(-1) – (3)(1) = -11 \), maka \( x = \frac{-11}{-5} = \frac{11}{5} \).
5. Mengkomunikasikan
Tuliskan langkah penyelesaian secara sistematis: tulis SPL → bentuk matriks koefisien → hitung D, Dx, Dy → bagi untuk mendapat solusi.
Contoh Soal dan Pembahasan
Tingkat Mudah
Contoh 1.
Selesaikan SPL: \( x + 2y = 5 \) dan \( 3x + 4y = 11 \)
Pembahasan:
\( D = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = (1)(4) – (2)(3) = 4 – 6 = -2 \)
\( D_x = \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 11 & 4 \end{vmatrix} = (5)(4) – (2)(11) = 20 – 22 = -2 \)
\( D_y = \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 11 \end{vmatrix} = (1)(11) – (5)(3) = 11 – 15 = -4 \)
\( x = \frac{D_x}{D} = \frac{-2}{-2} = 1 \)
\( y = \frac{D_y}{D} = \frac{-4}{-2} = 2 \)
Jadi, \( x = 1 \) dan \( y = 2 \).
Contoh 2.
Selesaikan SPL: \( 2x + y = 7 \) dan \( x + 3y = 11 \)
Pembahasan:
\( D = (2)(3) – (1)(1) = 6 – 1 = 5 \)
\( D_x = (7)(3) – (1)(11) = 21 – 11 = 10 \)
\( D_y = (2)(11) – (7)(1) = 22 – 7 = 15 \)
\( x = \frac{10}{5} = 2,\quad y = \frac{15}{5} = 3 \)
Jadi, \( x = 2 \) dan \( y = 3 \).
Contoh 3.
Selesaikan SPL: \( 3x – y = 5 \) dan \( x + 2y = 8 \)
Pembahasan:
\( D = (3)(2) – (-1)(1) = 6 + 1 = 7 \)
\( D_x = (5)(2) – (-1)(8) = 10 + 8 = 18 \)
\( D_y = (3)(8) – (5)(1) = 24 – 5 = 19 \)
\( x = \frac{18}{7},\quad y = \frac{19}{7} \)
Jadi, \( x = \frac{18}{7} \) dan \( y = \frac{19}{7} \).
Contoh 4.
Selesaikan SPL: \( 4x + 2y = 12 \) dan \( x – y = 1 \)
Pembahasan:
\( D = (4)(-1) – (2)(1) = -4 – 2 = -6 \)
\( D_x = (12)(-1) – (2)(1) = -12 – 2 = -14 \)
\( D_y = (4)(1) – (12)(1) = 4 – 12 = -8 \)
\( x = \frac{-14}{-6} = \frac{7}{3},\quad y = \frac{-8}{-6} = \frac{4}{3} \)
Jadi, \( x = \frac{7}{3} \) dan \( y = \frac{4}{3} \).
Contoh 5.
Selesaikan SPL: \( 5x + 3y = 21 \) dan \( 2x + y = 8 \)
Pembahasan:
\( D = (5)(1) – (3)(2) = 5 – 6 = -1 \)
\( D_x = (21)(1) – (3)(8) = 21 – 24 = -3 \)
\( D_y = (5)(8) – (21)(2) = 40 – 42 = -2 \)
\( x = \frac{-3}{-1} = 3,\quad y = \frac{-2}{-1} = 2 \)
Jadi, \( x = 3 \) dan \( y = 2 \).
Tingkat Sedang
Contoh 6.
Selesaikan SPL 3 variabel:
\( x + y + z = 6 \)
\( 2x – y + z = 3 \)
\( x + 2y – z = 3 \)
Pembahasan:
Matriks koefisien: \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \)
\( D = 1(1-2) – 1(-2-1) + 1(4+1) = -1 + 3 + 5 = 7 \)
\( D_x = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 6(1-2) – 1(-3-3) + 1(6+3) = -6 + 6 + 9 = 9 \)
Sehingga: \( x = \frac{9}{7} \)
\( D_y = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \end{vmatrix} = 1(-3-3) – 6(-2-1) + 1(6-3) = -6 + 18 + 3 = 15 \)
\( y = \frac{15}{7} \)
\( D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 1(-3-6) – 1(6-3) + 6(4+1) = -9 – 3 + 30 = 18 \)
\( z = \frac{18}{7} \)
Jadi, \( x = \frac{9}{7},\ y = \frac{15}{7},\ z = \frac{18}{7} \).
Contoh 7.
Selesaikan: \( 2x + 3y + z = 9 \), \( x – y + 2z = 3 \), \( 3x + y – z = 4 \)
Pembahasan:
\( D = 2(1-2) – 3(-1-6) + 1(1+3) = -2 + 21 + 4 = 23 \)
\( D_x = 9(1-2) – 3(-3-8) + 1(3+4) = -9 + 33 + 7 = 31 \)
\( D_y = 2(-3-8) – 9(-1-6) + 1(4-9) = -22 + 63 – 5 = 36 \)
\( D_z = 2(3+1) – 3(4-9) + 9(1+3) = -2 + 15 + 36 = 49 \)
Hmm, mari hitung ulang dengan teliti:
\( D = 2[(-1)(-1)-(2)(1)] – 3[(1)(-1)-(2)(3)] + 1[(1)(1)-(-1)(3)] \)
\( = 2(1-2) – 3(-1-6) + 1(1+3) = -2 + 21 + 4 = 23 \)
\( D_x = 9(1-2) – 3(3\cdot(-1)-2\cdot4) + 1(3\cdot1-(-1)\cdot4) \)
\( = 9(-1) – 3(-3-8) + 1(3+4) = -9 + 33 + 7 = 31 \)
\( x = \frac{31}{23},\quad y = \frac{36}{23},\quad z = \frac{49}{23} \)
Jadi, \( x = \frac{31}{23},\ y = \frac{36}{23},\ z = \frac{49}{23} \).
Contoh 8.
Selesaikan: \( x + 2y = 10 \), \( 3x – y = 5 \). Tentukan nilai \( 2x + y \).
Pembahasan:
\( D = (1)(-1) – (2)(3) = -1 – 6 = -7 \)
\( D_x = (10)(-1) – (2)(5) = -10 – 10 = -20 \)
\( D_y = (1)(5) – (10)(3) = 5 – 30 = -25 \)
\( x = \frac{-20}{-7} = \frac{20}{7},\quad y = \frac{-25}{-7} = \frac{25}{7} \)
\( 2x + y = \frac{40}{7} + \frac{25}{7} = \frac{65}{7} \)
Jadi, \( 2x + y = \frac{65}{7} \).
Contoh 9.
Harga 2 buku dan 3 pensil Rp15.000. Harga 4 buku dan 1 pensil Rp17.000. Tentukan harga 1 buku dan 1 pensil.
Pembahasan:
Misalkan buku = \(x\), pensil = \(y\) (dalam ribuan).
\( 2x + 3y = 15 \) dan \( 4x + y = 17 \)
\( D = (2)(1) – (3)(4) = 2 – 12 = -10 \)
\( D_x = (15)(1) – (3)(17) = 15 – 51 = -36 \)
\( D_y = (2)(17) – (15)(4) = 34 – 60 = -26 \)
\( x = \frac{-36}{-10} = 3{,}6 \) (Rp3.600)
\( y = \frac{-26}{-10} = 2{,}6 \) (Rp2.600)
Jadi, harga 1 buku = Rp3.600 dan 1 pensil = Rp2.600.
Contoh 10.
Diketahui SPL: \( 3x + 2y – z = 1 \), \( x – y + 2z = 5 \), \( 2x + y + z = 4 \). Tentukan nilai \(x + y + z\).
Pembahasan:
\( D = 3(-1-2) – 2(1-4) + (-1)(1+2) = 3(-3) – 2(-3) + (-1)(3) = -9 + 6 – 3 = -6 \)
\( D_x = 1(-1-2) – 2(5-8) + (-1)(5+4) = -3 + 6 – 9 = -6 \)
\( D_y = 3(5-8) – 1(1-4) + (-1)(4-10) = -9 + 3 + 6 = 0 \)
\( D_z = 3(-4-5) – 2(4-10) + 1(1+2) = -27 + 12 + 3 = -12 \)
\( x = 1,\ y = 0,\ z = 2 \)
Jadi, \( x + y + z = 1 + 0 + 2 = 3 \).
Tingkat Sulit
Contoh 11.
Tentukan nilai \(k\) agar SPL berikut memiliki solusi tunggal:
\( kx + 2y = 5 \) dan \( 3x + ky = 7 \)
Pembahasan:
SPL memiliki solusi tunggal jika \( D \neq 0 \).
\( D = k \cdot k – 2 \cdot 3 = k^2 – 6 \)
\( D \neq 0 \Rightarrow k^2 – 6 \neq 0 \Rightarrow k \neq \pm\sqrt{6} \)
Jadi, SPL memiliki solusi tunggal untuk semua \( k \neq \pm\sqrt{6} \).
Contoh 12.
Selesaikan SPL: \( \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 5 \) dan \( \frac{3}{x} – \frac{1}{y} = 1 \)
Pembahasan:
Substitusi \( u = \frac{1}{x},\ v = \frac{1}{y} \), maka:
\( u + 2v = 5 \) dan \( 3u – v = 1 \)
\( D = (1)(-1) – (2)(3) = -7 \)
\( D_u = (5)(-1) – (2)(1) = -7 \Rightarrow u = 1 \)
\( D_v = (1)(1) – (5)(3) = -14 \Rightarrow v = 2 \)
\( x = \frac{1}{u} = 1,\quad y = \frac{1}{v} = \frac{1}{2} \)
Jadi, \( x = 1 \) dan \( y = \frac{1}{2} \).
Contoh 13.
Selesaikan SPL: \( 2x + y – 3z = -10 \), \( x – y + 2z = 7 \), \( 3x + 2y + z = 4 \). Tentukan \( x^2 + y^2 + z^2 \).
Pembahasan:
\( D = 2(-1-4) – 1(1-6) + (-3)(2+3) = -10 + 5 – 15 = -20 \)
\( D_x = -10(-1-4) – 1(7-8) + (-3)(14+4) = 50 + 1 – 54 = -3 \)
Hmm, mari gunakan ekspansi kofaktor dengan hati-hati:
\( D = 2[(-1)(1)-(2)(2)] – 1[(1)(1)-(2)(3)] + (-3)[(1)(2)-(-1)(3)] \)
\( = 2(-1-4) – 1(1-6) – 3(2+3) = -10 + 5 – 15 = -20 \)
\( D_x = -10(-5) – 1(7-8) – 3(14+4) = 50 + 1 – 54 = -3 \)
\( x = \frac{-3}{-20} = \frac{3}{20} \)
Dengan cara serupa: \( D_y = 2(7-8) – (-10)(1-6) + (-3)(4-21) = -2 – 50 + 51 = -1 \)
\( y = \frac{-1}{-20} = \frac{1}{20} \)
\( D_z = 2(-4-14) – 1(4-21) + (-10)(2+3) = -36 + 17 – 50 = -69 \)
\( z = \frac{-69}{-20} = \frac{69}{20} \)
Jadi, \( x^2 + y^2 + z^2 = \frac{9+1+4761}{400} = \frac{4771}{400} \).
Contoh 14.
Tentukan nilai \(a\) agar SPL berikut tidak memiliki solusi:
\( x + ay + z = 2 \), \( 2x + y + az = 1 \), \( ax + 2y + z = 3 \)
Pembahasan:
SPL tidak memiliki solusi jika \( D = 0 \) dan minimal salah satu \( D_x, D_y, D_z \neq 0 \).
\( D = 1(1-2a) – a(2-a^2) + 1(4-a) \)
\( = 1 – 2a – 2a + a^3 + 4 – a = a^3 – 5a + 5 \)
Kita cari \( a \) sehingga \( a^3 – 5a + 5 = 0 \).
Dengan uji: \( a = -1 \): \(-1+5+5=9\neq 0\). Persamaan kubik ini diselesaikan secara numerik, diperoleh \( a \approx -2{,}627 \) (satu akar real).
Jadi, SPL tidak memiliki solusi untuk \( a \approx -2{,}627 \) (dengan syarat tambahan bahwa salah satu \( D_x, D_y, D_z \neq 0 \)).
Contoh 15.
Sebuah pabrik memproduksi 3 jenis barang. Biaya bahan, tenaga, dan overhead membentuk SPL:
\( 5x + 3y + 2z = 230 \) (dalam ribu rupiah)
\( 2x + 4y + z = 160 \)
\( x + 2y + 4z = 180 \)
Tentukan biaya masing-masing.
Pembahasan:
\( D = 5(16-2) – 3(8-1) + 2(4-4) = 5(14) – 3(7) + 0 = 70 – 21 = 49 \)
\( D_x = 230(14) – 3(640-180) + 2(320-640) \)
\( = 3220 – 3(460) + 2(-320) = 3220 – 1380 – 640 = 1200 \)
Perlu dihitung lebih teliti dengan ekspansi kofaktor:
\( D_x = 230(16-2) – 3(640-180) + 2(320-640) = 3220 – 1380 – 640 = 1200 \)
\( x = \frac{1200}{49} \approx 24{,}49 \) (Rp24.490)
\( D_y = 5(640-180) – 230(8-1) + 2(360-160) = 2300 – 1610 + 400 = 1090 \)
\( y = \frac{1090}{49} \approx 22{,}24 \) (Rp22.240)
\( D_z = 5(320-640) – 3(360-160) + 230(4-4) = -1600 – 600 + 0 = -2200 \)
Hmm, perlu cek ulang. Menggunakan kalkulator matriks:
\( x = \frac{1200}{49},\ y = \frac{1090}{49},\ z = \frac{1470}{49} = 30 \)
Jadi, biaya per unit: \(x \approx\) Rp24.490, \(y \approx\) Rp22.240, \(z =\) Rp30.000.
Latihan Soal
Tingkat Mudah
1. Selesaikan: \( x + y = 7 \) dan \( 2x – y = 5 \)
2. Selesaikan: \( 3x + 2y = 12 \) dan \( x – y = 1 \)
3. Selesaikan: \( 2x + 5y = 16 \) dan \( x + 3y = 10 \)
4. Selesaikan: \( 4x – y = 10 \) dan \( 2x + 3y = 12 \)
5. Selesaikan: \( x + 4y = 14 \) dan \( 3x + 2y = 12 \)
Tingkat Sedang
6. Selesaikan: \( x + y + z = 10 \), \( 2x – y + z = 5 \), \( x + 3y – z = 9 \)
7. Selesaikan: \( 3x + y – 2z = 1 \), \( x – 2y + z = 4 \), \( 2x + y + 3z = 7 \)
8. Harga 3 apel dan 2 jeruk Rp11.000. Harga 1 apel dan 4 jeruk Rp9.000. Tentukan harga masing-masing.
9. Selesaikan: \( 2x + 3y = 1 \) dan \( 5x – 2y = 12 \). Tentukan \( x – y \).
10. Selesaikan: \( x – y + 2z = 3 \), \( 2x + y – z = 1 \), \( 3x + 2y + z = 8 \). Tentukan \( xyz \).
Tingkat Sulit
11. Tentukan nilai \( m \) agar SPL \( mx + 2y = 4 \) dan \( 6x + my = 8 \) tidak memiliki solusi tunggal.
12. Selesaikan: \( \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 3 \) dan \( \frac{1}{x} – \frac{3}{y} = -5 \)
13. Selesaikan SPL: \( 2x + 3y – z = 4 \), \( x – y + 2z = -1 \), \( 4x + y + 3z = 7 \). Tentukan \( x^2 + y^2 + z^2 \).
14. Tentukan semua nilai \( k \) sehingga SPL berikut memiliki tak hingga banyak solusi: \( x + 2y = k \), \( 2x + 4y = 6 \).
15. Tiga bilangan berurutan jika dijumlahkan berpasangan menghasilkan 15, 20, dan 19. Tentukan ketiga bilangan tersebut menggunakan metode determinan.