Epres Math – Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear – Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

1. Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Grafik

📌 Pengertian

Metode grafik adalah cara menyelesaikan SPLDV dengan menggambar grafik masing-masing persamaan linear pada bidang koordinat Kartesius. Penyelesaian SPLDV adalah titik potong kedua garis tersebut.

🔍 Kegiatan: Mengamati

Perhatikan dua persamaan berikut:

x + y = 5 \quad \text{dan} \quad x – y = 1

Setiap persamaan linear dua variabel dapat digambarkan sebagai sebuah garis lurus pada bidang koordinat. Untuk menggambar garis, kita memerlukan minimal dua titik.

❓ Kegiatan: Menanya

Bagaimana cara menentukan titik-titik yang dilalui oleh garis?
Apa yang terjadi ketika dua garis digambar pada satu bidang koordinat?
Bagaimana titik potong dua garis menjadi penyelesaian SPLDV?

💡 Kegiatan: Menalar

Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode grafik:

Tentukan titik potong masing-masing garis dengan sumbu-x (substitusi y = 0) dan sumbu-y (substitusi x = 0).
Gambar masing-masing garis pada bidang koordinat Kartesius.
Tentukan titik potong kedua garis. Titik potong tersebut merupakan penyelesaian SPLDV.

🧪 Kegiatan: Mencoba

Selesaikan SPLDV berikut dengan metode grafik:

x + y = 5 \quad \text{dan} \quad x – y = 1

Persamaan 1: \( x + y = 5 \)

Jika \( x = 0 \), maka \( y = 5 \) → titik (0, 5)
Jika \( y = 0 \), maka \( x = 5 \) → titik (5, 0)

Persamaan 2: \( x – y = 1 \)

Jika \( x = 0 \), maka \( y = -1 \) → titik (0, -1)
Jika \( y = 0 \), maka \( x = 1 \) → titik (1, 0)

Dari grafik, titik potong kedua garis adalah (3, 2).

Jadi, penyelesaian SPLDV tersebut adalah \( x = 3 \) dan \( y = 2 \).

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

Penyelesaian SPLDV dengan metode grafik diperoleh dengan menggambar kedua garis pada bidang koordinat yang sama. Koordinat titik potong kedua garis merupakan penyelesaian sistem tersebut. Penulisan himpunan penyelesaian: \(\{(3, 2)\}\).

📝 Contoh Soal Metode Grafik

Tingkat Mudah

Soal 1: Selesaikan SPLDV \( x + y = 4 \) dan \( x – y = 2 \) dengan metode grafik!

Pembahasan:

Persamaan 1: \( x + y = 4 \)

\(x=0 \Rightarrow y=4\) → (0,4)
\(y=0 \Rightarrow x=4\) → (4,0)

Persamaan 2: \( x – y = 2 \)

\(x=0 \Rightarrow y=-2\) → (0,-2)
\(y=0 \Rightarrow x=2\) → (2,0)

Titik potong: substitusi persamaan 1 ke 2:

x + y = 4 \text{ dan } x – y = 2

Jumlahkan: \(2x = 6 \Rightarrow x = 3\), maka \(y = 1\)

HP = {(3, 1)}

Soal 2: Selesaikan SPLDV \( 2x + y = 6 \) dan \( x + y = 4 \) dengan metode grafik!

Pembahasan:

Pers 1: (0,6) dan (3,0). Pers 2: (0,4) dan (4,0).

Eliminasi: \(2x+y=6\) dikurangi \(x+y=4\) → \(x=2\), maka \(y=2\).

HP = {(2, 2)}

Soal 3: Selesaikan SPLDV \( x + 2y = 6 \) dan \( x – y = 0 \) dengan metode grafik!

Pembahasan:

Pers 1: (0,3) dan (6,0). Pers 2: \(x = y\), titik (0,0) dan (3,3).

Substitusi \(x = y\) ke pers 1: \(y + 2y = 6 \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2\), \(x = 2\).

HP = {(2, 2)}

Soal 4: Selesaikan SPLDV \( x + y = 3 \) dan \( 2x + y = 5 \) dengan metode grafik!

Pembahasan:

Pers 1: (0,3) dan (3,0). Pers 2: (0,5) dan (2.5,0).

Eliminasi: \(2x+y=5\) dikurangi \(x+y=3\) → \(x=2\), \(y=1\).

HP = {(2, 1)}

Soal 5: Selesaikan SPLDV \( x + y = 6 \) dan \( x – y = 0 \) dengan metode grafik!

Pembahasan:

Dari \(x – y = 0\) diperoleh \(x = y\). Substitusi ke pers 1: \(2x = 6 \Rightarrow x = 3\), \(y = 3\).

HP = {(3, 3)}

Tingkat Sedang

Soal 1: Selesaikan SPLDV \( 2x + 3y = 12 \) dan \( x – y = 1 \) dengan metode grafik!

Pembahasan:

Pers 1: (0,4) dan (6,0). Pers 2: (0,-1) dan (1,0).

Dari pers 2: \(x = y + 1\). Substitusi: \(2(y+1)+3y=12 \Rightarrow 5y+2=12 \Rightarrow y=2\), \(x=3\).

HP = {(3, 2)}

Soal 2: Selesaikan SPLDV \( 3x + 2y = 10 \) dan \( x + 2y = 6 \) dengan metode grafik!

Pembahasan:

Eliminasi y: \(3x+2y=10\) dikurangi \(x+2y=6\) → \(2x=4 \Rightarrow x=2\), \(y=2\).

HP = {(2, 2)}

Soal 3: Selesaikan SPLDV \( 4x – y = 7 \) dan \( 2x + 3y = 7 \) dengan metode grafik!

Pembahasan:

Dari pers 1: \(y = 4x – 7\). Substitusi ke pers 2: \(2x + 3(4x-7) = 7 \Rightarrow 14x – 21 = 7 \Rightarrow 14x = 28 \Rightarrow x = 2\), \(y = 1\).

HP = {(2, 1)}

Soal 4: Selesaikan SPLDV \( 2x + y = 8 \) dan \( 3x – 2y = 5 \) dengan metode grafik!

Pembahasan:

Dari pers 1: \(y = 8 – 2x\). Substitusi: \(3x – 2(8-2x) = 5 \Rightarrow 7x – 16 = 5 \Rightarrow x = 3\), \(y = 2\).

HP = {(3, 2)}

Soal 5: Selesaikan SPLDV \( x + 3y = 9 \) dan \( 2x – y = 4 \) dengan metode grafik!

Pembahasan:

Dari pers 2: \(y = 2x – 4\). Substitusi: \(x + 3(2x-4) = 9 \Rightarrow 7x – 12 = 9 \Rightarrow x = 3\), \(y = 2\).

HP = {(3, 2)}

Tingkat Sulit

Soal 1: Selesaikan SPLDV \( \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 2 \) dan \( \frac{x}{4} – \frac{y}{2} = -1 \) dengan metode grafik!

Pembahasan:

Kalikan pers 1 dengan 6: \(3x + 2y = 12\). Kalikan pers 2 dengan 4: \(x – 2y = -4\).

Jumlahkan: \(4x = 8 \Rightarrow x = 2\), maka \(2y = 12 – 6 = 6 \Rightarrow y = 3\).

HP = {(2, 3)}

Soal 2: Selesaikan SPLDV \( 0{,}5x + 1{,}5y = 5 \) dan \( 2x – y = 3 \) dengan metode grafik!

Pembahasan:

Pers 1 ×2: \(x + 3y = 10\). Dari pers 2: \(y = 2x – 3\). Substitusi: \(x + 3(2x-3) = 10 \Rightarrow 7x = 19 \Rightarrow x = \frac{19}{7}\), \(y = \frac{17}{7}\).

HP = \(\left\{\left(\frac{19}{7}, \frac{17}{7}\right)\right\}\)

Soal 3: Selesaikan SPLDV \( 3x + 4y = 18 \) dan \( 5x – 2y = 4 \) dengan metode grafik!

Pembahasan:

Pers 2 ×2: \(10x – 4y = 8\). Jumlahkan dengan pers 1: \(13x = 26 \Rightarrow x = 2\), \(y = 3\).

HP = {(2, 3)}

Soal 4: Selesaikan SPLDV \( \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 7 \) dan \( \frac{1}{x} – \frac{1}{y} = 0 \) dengan metode grafik!

Pembahasan:

Misalkan \(u = \frac{1}{x}\) dan \(v = \frac{1}{y}\). Maka: \(2u + 3v = 7\) dan \(u – v = 0 \Rightarrow u = v\).

Substitusi: \(2v + 3v = 7 \Rightarrow 5v = 7 \Rightarrow v = \frac{7}{5}\), \(u = \frac{7}{5}\).

Maka \(x = \frac{5}{7}\), \(y = \frac{5}{7}\).

HP = \(\left\{\left(\frac{5}{7}, \frac{5}{7}\right)\right\}\)

Soal 5: Selesaikan SPLDV \( 5x + 3y = 1 \) dan \( 3x + 5y = -1 \) dengan metode grafik!

Pembahasan:

Pers 1 ×5: \(25x + 15y = 5\). Pers 2 ×3: \(9x + 15y = -3\).

Eliminasi: \(16x = 8 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\). Substitusi: \(\frac{5}{2} + 3y = 1 \Rightarrow 3y = -\frac{3}{2} \Rightarrow y = -\frac{1}{2}\).

HP = \(\left\{\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)\right\}\)

✏️ Latihan Soal Metode Grafik

Mudah

Selesaikan SPLDV \( x + y = 7 \) dan \( x – y = 3 \) dengan metode grafik!
Selesaikan SPLDV \( 2x + y = 8 \) dan \( x + y = 5 \) dengan metode grafik!
Selesaikan SPLDV \( x + 2y = 8 \) dan \( x – y = 2 \) dengan metode grafik!
Selesaikan SPLDV \( x + y = 10 \) dan \( 2x – y = 5 \) dengan metode grafik!
Selesaikan SPLDV \( 3x + y = 9 \) dan \( x + y = 5 \) dengan metode grafik!

Sedang

Selesaikan SPLDV \( 2x + 5y = 16 \) dan \( 3x – y = 2 \) dengan metode grafik!
Selesaikan SPLDV \( 4x + y = 10 \) dan \( x + 3y = 9 \) dengan metode grafik!
Selesaikan SPLDV \( 3x – 2y = 1 \) dan \( x + 4y = 15 \) dengan metode grafik!
Selesaikan SPLDV \( 5x + 2y = 14 \) dan \( 3x – y = 5 \) dengan metode grafik!
Selesaikan SPLDV \( 2x – 3y = -4 \) dan \( 4x + y = 10 \) dengan metode grafik!

Sulit

Selesaikan SPLDV \( \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 3 \) dan \( \frac{x}{2} – \frac{y}{4} = 1 \) dengan metode grafik!
Selesaikan SPLDV \( 0{,}3x + 0{,}7y = 2{,}3 \) dan \( 0{,}5x – 0{,}2y = 0{,}9 \) dengan metode grafik!
Selesaikan SPLDV \( 7x – 3y = 11 \) dan \( 4x + 5y = 3 \) dengan metode grafik!
Selesaikan SPLDV \( \frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 8 \) dan \( \frac{1}{x} – \frac{1}{y} = 1 \) dengan metode grafik!
Selesaikan SPLDV \( 6x + 5y = 2 \) dan \( 4x – 7y = 16 \) dengan metode grafik!

2. Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Substitusi

📌 Pengertian

Metode substitusi adalah cara menyelesaikan SPLDV dengan menyatakan salah satu variabel dalam variabel lain, kemudian menggantikan (mensubstitusikan) ke persamaan yang lain.

🔍 Kegiatan: Mengamati

Perhatikan SPLDV berikut:

y = 2x – 1 \quad \text{…(1)} \] \[ 3x + 2y = 12 \quad \text{…(2)}

Persamaan (1) sudah menyatakan \(y\) dalam \(x\). Nilai \(y\) ini dapat langsung disubstitusikan ke persamaan (2).

❓ Kegiatan: Menanya

Bagaimana jika tidak ada persamaan yang sudah eksplisit?
Variabel mana yang sebaiknya dinyatakan terlebih dahulu?
Kapan metode substitusi lebih efisien dibanding metode lain?

💡 Kegiatan: Menalar

Langkah-langkah metode substitusi:

Pilih salah satu persamaan, nyatakan satu variabel dalam variabel lainnya.
Substitusikan ke persamaan yang lain.
Selesaikan persamaan satu variabel yang terbentuk.
Substitusikan nilai variabel yang diperoleh ke salah satu persamaan awal untuk mendapatkan nilai variabel lainnya.

Tips: Pilih variabel yang koefisiennya 1 agar lebih mudah.

🧪 Kegiatan: Mencoba

Selesaikan: \( y = 2x – 1 \) dan \( 3x + 2y = 12 \)

Substitusi pers (1) ke pers (2):

3x + 2(2x – 1) = 12 \] \[ 3x + 4x – 2 = 12 \] \[ 7x = 14 \] \[ x = 2

Substitusi \(x = 2\) ke pers (1): \(y = 2(2) – 1 = 3\)

HP = {(2, 3)}

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

Metode substitusi sangat efektif ketika salah satu persamaan sudah berbentuk eksplisit atau koefisien salah satu variabelnya adalah 1. Metode ini mengubah SPLDV menjadi persamaan satu variabel yang mudah diselesaikan.

📝 Contoh Soal Metode Substitusi

Tingkat Mudah

Soal 1: Selesaikan \( y = x + 1 \) dan \( x + y = 5 \)

Substitusi: \(x + (x+1) = 5 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2\), \(y = 3\). HP = {(2, 3)}

Soal 2: Selesaikan \( x = 3y \) dan \( 2x + y = 14 \)

Substitusi: \(2(3y) + y = 14 \Rightarrow 7y = 14 \Rightarrow y = 2\), \(x = 6\). HP = {(6, 2)}

Soal 3: Selesaikan \( y = -x + 4 \) dan \( 2x + y = 6 \)

Substitusi: \(2x + (-x+4) = 6 \Rightarrow x = 2\), \(y = 2\). HP = {(2, 2)}

Soal 4: Selesaikan \( x = y – 2 \) dan \( 3x + 2y = 11 \)

Substitusi: \(3(y-2) + 2y = 11 \Rightarrow 5y – 6 = 11 \Rightarrow y = \frac{17}{5}\)… Mari hitung ulang: \(3y – 6 + 2y = 11 \Rightarrow 5y = 17 \Rightarrow y = \frac{17}{5}\), \(x = \frac{7}{5}\). HP = \(\left\{\left(\frac{7}{5}, \frac{17}{5}\right)\right\}\)

Soal 5: Selesaikan \( y = 3x \) dan \( x + y = 8 \)

Substitusi: \(x + 3x = 8 \Rightarrow 4x = 8 \Rightarrow x = 2\), \(y = 6\). HP = {(2, 6)}

Tingkat Sedang

Soal 1: Selesaikan \( 2x + y = 7 \) dan \( x – 3y = -6 \)

Dari pers 1: \(y = 7 – 2x\). Substitusi: \(x – 3(7-2x) = -6 \Rightarrow x – 21 + 6x = -6 \Rightarrow 7x = 15 \Rightarrow x = \frac{15}{7}\), \(y = 7 – \frac{30}{7} = \frac{19}{7}\). HP = \(\left\{\left(\frac{15}{7}, \frac{19}{7}\right)\right\}\)

Soal 2: Selesaikan \( 3x – y = 4 \) dan \( 2x + 5y = 29 \)

Dari pers 1: \(y = 3x – 4\). Substitusi: \(2x + 5(3x-4) = 29 \Rightarrow 17x – 20 = 29 \Rightarrow 17x = 49 \Rightarrow x = \frac{49}{17}\)… Hitung: cek dengan bilangan bulat. \(17x = 49\) → tidak bulat. Mari cek: \(2x + 15x – 20 = 29 \Rightarrow 17x = 49\). HP = \(\left\{\left(\frac{49}{17}, \frac{79}{17}\right)\right\}\)

Alternatif: \(x = 3, y = 5\) → cek: \(3(3)-5 = 4\) ✓, \(2(3)+5(5) = 31 \neq 29\) ✗. Maka jawaban pecahan benar.

Soal 3: Selesaikan \( x + 4y = 14 \) dan \( 3x – 2y = 0 \)

Dari pers 1: \(x = 14 – 4y\). Substitusi: \(3(14-4y) – 2y = 0 \Rightarrow 42 – 12y – 2y = 0 \Rightarrow 14y = 42 \Rightarrow y = 3\), \(x = 2\). HP = {(2, 3)}

Soal 4: Selesaikan \( 5x – 2y = 1 \) dan \( x + 3y = 13 \)

Dari pers 2: \(x = 13 – 3y\). Substitusi: \(5(13-3y) – 2y = 1 \Rightarrow 65 – 15y – 2y = 1 \Rightarrow 17y = 64 \Rightarrow y = \frac{64}{17}\)… Cek: mungkin soal menghasilkan pecahan. \(x = 13 – \frac{192}{17} = \frac{29}{17}\). HP = \(\left\{\left(\frac{29}{17}, \frac{64}{17}\right)\right\}\)

Soal 5: Selesaikan \( 2x + 3y = 12 \) dan \( x – y = 1 \)

Dari pers 2: \(x = y + 1\). Substitusi: \(2(y+1) + 3y = 12 \Rightarrow 5y + 2 = 12 \Rightarrow y = 2\), \(x = 3\). HP = {(3, 2)}

Tingkat Sulit

Soal 1: Selesaikan \( \frac{x+y}{2} = 4 \) dan \( \frac{x-y}{3} = 1 \)

Pers 1: \(x + y = 8\). Pers 2: \(x – y = 3\). Dari pers 1: \(x = 8 – y\). Substitusi: \(8 – y – y = 3 \Rightarrow 2y = 5 \Rightarrow y = 2{,}5\), \(x = 5{,}5\). HP = {(5,5; 2,5)}

Soal 2: Selesaikan \( 4(x-1) + 3(y+2) = 17 \) dan \( 2(x+3) – (y-1) = 9 \)

Sederhanakan pers 1: \(4x – 4 + 3y + 6 = 17 \Rightarrow 4x + 3y = 15\).

Sederhanakan pers 2: \(2x + 6 – y + 1 = 9 \Rightarrow 2x – y = 2 \Rightarrow y = 2x – 2\).

Substitusi: \(4x + 3(2x-2) = 15 \Rightarrow 10x – 6 = 15 \Rightarrow x = 2{,}1\), \(y = 2{,}2\). HP = {(2,1; 2,2)}

Soal 3: Harga 3 buku dan 2 pensil adalah Rp17.000. Harga 1 buku dan 4 pensil adalah Rp13.000. Tentukan harga 1 buku dan 1 pensil!

Misalkan buku = \(x\), pensil = \(y\). \(3x + 2y = 17000\) …(1), \(x + 4y = 13000\) …(2)

Dari (2): \(x = 13000 – 4y\). Substitusi ke (1): \(3(13000-4y) + 2y = 17000\)

\(39000 – 12y + 2y = 17000 \Rightarrow -10y = -22000 \Rightarrow y = 2200\), \(x = 4200\).

Harga 1 buku + 1 pensil = Rp6.400. HP = {(4200, 2200)}

Soal 4: Selesaikan \( \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 5 \) dan \( \frac{3}{x} – \frac{2}{y} = 1 \)

Misalkan \(u = \frac{1}{x}\), \(v = \frac{1}{y}\). Maka: \(2u + v = 5\) dan \(3u – 2v = 1\).

Dari pers 1: \(v = 5 – 2u\). Substitusi: \(3u – 2(5-2u) = 1 \Rightarrow 7u = 11 \Rightarrow u = \frac{11}{7}\), \(v = \frac{13}{7}\).

\(x = \frac{7}{11}\), \(y = \frac{7}{13}\). HP = \(\left\{\left(\frac{7}{11}, \frac{7}{13}\right)\right\}\)

Soal 5: Umur Ayah 4 kali umur Ani. Lima tahun lagi, umur Ayah menjadi 3 kali umur Ani. Tentukan umur masing-masing sekarang!

Misalkan Ayah = \(x\), Ani = \(y\). \(x = 4y\) …(1), \(x + 5 = 3(y + 5)\) …(2)

Substitusi (1) ke (2): \(4y + 5 = 3y + 15 \Rightarrow y = 10\), \(x = 40\).

Umur Ayah = 40 tahun, Umur Ani = 10 tahun.

✏️ Latihan Soal Metode Substitusi

Mudah

Selesaikan \( y = 2x \) dan \( x + y = 9 \)
Selesaikan \( x = y + 3 \) dan \( 2x + y = 12 \)
Selesaikan \( y = x – 1 \) dan \( 3x + y = 11 \)
Selesaikan \( x = 2y \) dan \( 3x – y = 10 \)
Selesaikan \( y = -x + 6 \) dan \( 2x + y = 8 \)

Sedang

Selesaikan \( 3x + 2y = 16 \) dan \( x – y = 2 \)
Selesaikan \( 4x – y = 9 \) dan \( 2x + 3y = 11 \)
Selesaikan \( x + 5y = 17 \) dan \( 2x – y = 1 \)
Selesaikan \( 3x + y = 10 \) dan \( x + 2y = 8 \)
Selesaikan \( 5x – 3y = 7 \) dan \( x + 2y = 8 \)

Sulit

Selesaikan \( \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 5 \) dan \( x – y = 3 \)
Harga 5 kg beras dan 3 kg gula adalah Rp95.000. Harga 2 kg beras dan 5 kg gula adalah Rp85.000. Tentukan harga 1 kg beras dan 1 kg gula!
Selesaikan \( 2(x+1) + 3(y-2) = 8 \) dan \( x – 2y = -5 \)
Keliling persegi panjang 34 cm. Selisih panjang dan lebar 3 cm. Tentukan panjang dan lebar!
Selesaikan \( \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 7 \) dan \( \frac{3}{x} – \frac{1}{y} = 4 \)

3. Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Eliminasi

📌 Pengertian

Metode eliminasi adalah cara menyelesaikan SPLDV dengan menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel sehingga diperoleh persamaan satu variabel. Caranya dengan menyamakan koefisien variabel yang akan dieliminasi, lalu menjumlahkan atau mengurangkan kedua persamaan.

🔍 Kegiatan: Mengamati

2x + 3y = 13 \quad \text{…(1)} \] \[ x + 3y = 10 \quad \text{…(2)}

Perhatikan bahwa koefisien \(y\) pada kedua persamaan sudah sama (yaitu 3). Jika kita kurangkan persamaan (2) dari persamaan (1), variabel \(y\) akan tereliminasi.

❓ Kegiatan: Menanya

Bagaimana jika koefisien kedua variabel berbeda?
Kapan harus dijumlahkan dan kapan harus dikurangkan?
Bagaimana cara eliminasi jika variabel bertanda sama/berbeda?

💡 Kegiatan: Menalar

Langkah-langkah metode eliminasi:

Samakan koefisien variabel yang akan dieliminasi (kalikan dengan bilangan yang sesuai).
Jika tanda koefisien sama → kurangkan.
Jika tanda koefisien berbeda → jumlahkan.
Selesaikan persamaan satu variabel yang terbentuk.
Ulangi langkah 1–4 untuk variabel lain, atau substitusi nilai yang diperoleh.

🧪 Kegiatan: Mencoba

Selesaikan: \( 2x + 3y = 13 \) dan \( x + 3y = 10 \)

Eliminasi y (koefisien sama, tanda sama → kurangkan):

2x + 3y = 13\) \(x + 3y = 10\) − \(x = 3

Eliminasi x (kalikan pers 2 dengan 2):

2x + 3y = 13\) \(2x + 6y = 20\) − \(-3y = -7 \Rightarrow y = \frac{7}{3}

Cek: Substitusi \(x=3\) ke pers 2: \(3 + 3y = 10 \Rightarrow y = \frac{7}{3}\) ✓

HP = \(\left\{\left(3, \frac{7}{3}\right)\right\}\)

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

Metode eliminasi sangat efektif untuk SPLDV dengan koefisien yang mudah disamakan. Kelebihannya: tidak perlu mengubah bentuk persamaan seperti pada metode substitusi.

📝 Contoh Soal Metode Eliminasi

Tingkat Mudah

Soal 1: Selesaikan \( x + y = 8 \) dan \( x – y = 2 \)

Jumlahkan (eliminasi y): \(2x = 10 \Rightarrow x = 5\). Kurangkan (eliminasi x): \(2y = 6 \Rightarrow y = 3\). HP = {(5, 3)}

Soal 2: Selesaikan \( 2x + y = 10 \) dan \( 2x – y = 6 \)

Jumlahkan: \(4x = 16 \Rightarrow x = 4\). Kurangkan: \(2y = 4 \Rightarrow y = 2\). HP = {(4, 2)}

Soal 3: Selesaikan \( 3x + y = 7 \) dan \( x + y = 3 \)

Kurangkan: \(2x = 4 \Rightarrow x = 2\), \(y = 1\). HP = {(2, 1)}

Soal 4: Selesaikan \( x + 2y = 7 \) dan \( x + y = 4 \)

Kurangkan: \(y = 3\), \(x = 1\). HP = {(1, 3)}

Soal 5: Selesaikan \( 4x + y = 9 \) dan \( 4x – y = 7 \)

Jumlahkan: \(8x = 16 \Rightarrow x = 2\), \(y = 1\). HP = {(2, 1)}

Tingkat Sedang

Soal 1: Selesaikan \( 3x + 2y = 16 \) dan \( 2x + y = 9 \)

Pers 2 ×2: \(4x + 2y = 18\). Kurangkan pers 1: \(x = 2\), \(y = 5\). HP = {(2, 5)}

Soal 2: Selesaikan \( 5x – 3y = 7 \) dan \( 2x + 3y = 14 \)

Jumlahkan (eliminasi y): \(7x = 21 \Rightarrow x = 3\), \(y = \frac{8}{3}\)… Cek: \(2(3)+3y=14 \Rightarrow 3y=8 \Rightarrow y=\frac{8}{3}\). HP = \(\left\{\left(3, \frac{8}{3}\right)\right\}\)

Soal 3: Selesaikan \( 2x + 5y = 19 \) dan \( 3x + 2y = 12 \)

Pers 1 ×3: \(6x+15y=57\). Pers 2 ×2: \(6x+4y=24\). Kurangkan: \(11y = 33 \Rightarrow y = 3\), \(x = 2\). HP = {(2, 3)}

Soal 4: Selesaikan \( 4x – 3y = 1 \) dan \( 2x + 5y = 19 \)

Pers 2 ×2: \(4x+10y=38\). Kurangkan pers 1: \(13y = 37\)… Hmm, mari cek. \(4x+10y – (4x-3y) = 38-1 \Rightarrow 13y = 37 \Rightarrow y = \frac{37}{13}\). Coba lagi soal yang lebih rapi:

Pers 2 ×2: \(4x + 10y = 38\). Kurangkan pers 1 dari ini: \(13y = 37\). Maka \(y = \frac{37}{13}\), \(x = \frac{1+3(\frac{37}{13})}{4} = \frac{13+111}{52} = \frac{124}{52} = \frac{31}{13}\).

HP = \(\left\{\left(\frac{31}{13}, \frac{37}{13}\right)\right\}\)

Soal 5: Selesaikan \( 3x + 4y = 25 \) dan \( 2x – 3y = -2 \)

Pers 1 ×3: \(9x+12y=75\). Pers 2 ×4: \(8x-12y=-8\). Jumlahkan: \(17x = 67 \Rightarrow x = \frac{67}{17}\)… Coba angka bulat: Pers 1 ×3 + Pers 2 ×4: \(9x+12y+8x-12y=75+(-8)\) → \(17x=67\). Tidak bulat.

Alternatif: Pers 1 ×2: \(6x+8y=50\). Pers 2 ×3: \(6x-9y=-6\). Kurangkan: \(17y=56 \Rightarrow y=\frac{56}{17}\).

HP = \(\left\{\left(\frac{67}{17}, \frac{56}{17}\right)\right\}\)

Tingkat Sulit

Soal 1: Selesaikan \( 5x + 4y = 22 \) dan \( 3x – 2y = 4 \)

Pers 2 ×2: \(6x – 4y = 8\). Jumlahkan dengan pers 1: \(11x = 30 \Rightarrow x = \frac{30}{11}\). Hmm. Coba: \(5x+4y+6x-4y = 22+8 \Rightarrow 11x = 30\). Tidak bulat. Koreksi soal agar bulat: pakai \(5x+4y=22\) dan \(3x-2y=2\). Pers 2 ×2: \(6x-4y=4\). Jumlah: \(11x=26\) masih tidak. Pakai: \(3x+2y=12\) dan \(5x-2y=4\). Jumlah: \(8x=16, x=2, y=3\).

Kembali ke soal asli: \(x = \frac{30}{11}\), \(y = 22-5(\frac{30}{11}))/4 = (242-150)/(44) = 92/44 = \frac{23}{11}\).

HP = \(\left\{\left(\frac{30}{11}, \frac{23}{11}\right)\right\}\)

Soal 2: Selesaikan \( 7x – 5y = 9 \) dan \( 3x + 4y = 10 \)

Pers 1 ×4: \(28x – 20y = 36\). Pers 2 ×5: \(15x + 20y = 50\). Jumlahkan: \(43x = 86 \Rightarrow x = 2\). Substitusi: \(3(2)+4y=10 \Rightarrow 4y=4 \Rightarrow y=1\). HP = {(2, 1)}

Soal 3: Selesaikan \( 6x + 5y = 28 \) dan \( 4x + 3y = 18 \)

Pers 1 ×3: \(18x+15y=84\). Pers 2 ×5: \(20x+15y=90\). Kurangkan: \(2x=6 \Rightarrow x=3\). Substitusi: \(18+3y=18 \Rightarrow y=0\)… Cek: \(6(3)+5(0)=18 \neq 28\). Salah. Ulangi: \(4(3)+3y=18 \Rightarrow 3y=6 \Rightarrow y=2\). Cek pers 1: \(6(3)+5(2)=28\) ✓. HP = {(3, 2)}

Soal 4: Jumlah dua bilangan adalah 47. Selisihnya adalah 11. Tentukan kedua bilangan tersebut!

\(x + y = 47\) dan \(x – y = 11\). Jumlahkan: \(2x = 58 \Rightarrow x = 29\), \(y = 18\). HP = {(29, 18)}

Soal 5: Selesaikan \( \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 5 \) dan \( \frac{x}{2} – \frac{y}{5} = 3 \)

Pers 1 ×12: \(4x + 3y = 60\). Pers 2 ×10: \(5x – 2y = 30\).

Pers 1′ ×2: \(8x+6y=120\). Pers 2′ ×3: \(15x-6y=90\). Jumlahkan: \(23x = 210 \Rightarrow x = \frac{210}{23}\). \(y = \frac{60-4(\frac{210}{23})}{3} = \frac{(1380-840)/23}{3} = \frac{540}{69} = \frac{180}{23}\).

HP = \(\left\{\left(\frac{210}{23}, \frac{180}{23}\right)\right\}\)

✏️ Latihan Soal Metode Eliminasi

Mudah

Selesaikan \( x + y = 9 \) dan \( x – y = 1 \)
Selesaikan \( 2x + y = 11 \) dan \( 2x – y = 5 \)
Selesaikan \( x + 3y = 10 \) dan \( x + y = 4 \)
Selesaikan \( 3x + y = 13 \) dan \( x + y = 7 \)
Selesaikan \( 5x – y = 9 \) dan \( 5x + y = 11 \)

Sedang

Selesaikan \( 2x + 3y = 18 \) dan \( 4x – 3y = 6 \)
Selesaikan \( 3x + 5y = 23 \) dan \( 2x + 3y = 14 \)
Selesaikan \( 4x – 2y = 10 \) dan \( 3x + 4y = 24 \)
Selesaikan \( 5x + 2y = 24 \) dan \( 3x + 4y = 22 \)
Selesaikan \( 6x – y = 17 \) dan \( 2x + 3y = 11 \)

Sulit

Selesaikan \( 8x + 3y = 29 \) dan \( 5x – 7y = -6 \)
Harga 4 kg mangga dan 3 kg apel Rp76.000. Harga 2 kg mangga dan 5 kg apel Rp82.000. Tentukan harga per kg masing-masing!
Selesaikan \( \frac{2x}{3} + \frac{y}{2} = 7 \) dan \( \frac{x}{4} – \frac{3y}{5} = -1 \)
Selesaikan \( 9x – 4y = 5 \) dan \( 7x + 6y = 37 \)
Dua kali bilangan pertama ditambah tiga kali bilangan kedua sama dengan 33. Empat kali bilangan pertama dikurangi bilangan kedua sama dengan 19. Tentukan kedua bilangan!

4. Menyelidiki Ada/Tidaknya Penyelesaian Suatu SPLDV

📌 Pengertian

Tidak semua SPLDV memiliki penyelesaian tunggal. Suatu SPLDV yang terdiri dari \(a_1x + b_1y = c_1\) dan \(a_2x + b_2y = c_2\) dapat memiliki:

✅ Penyelesaian Tunggal (Sistem Konsisten Independen)

Terjadi jika \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\) — dua garis berpotongan di satu titik.

♾️ Penyelesaian Banyak Tak Berhingga (Sistem Konsisten Dependen)

Terjadi jika \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}\) — kedua garis berimpit (sama).

❌ Tidak Ada Penyelesaian (Sistem Inkonsisten)

Terjadi jika \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\) — dua garis sejajar.

🔍 Kegiatan: Mengamati

Perhatikan tiga kasus berikut:

Kasus	SPLDV	Grafik	Penyelesaian
1	\(x+y=5\) dan \(x-y=1\)	Berpotongan di satu titik	Tunggal: (3,2)
2	\(x+y=3\) dan \(2x+2y=6\)	Berimpit (satu garis)	Tak berhingga
3	\(x+y=3\) dan \(x+y=5\)	Sejajar (tidak berpotongan)	Tidak ada

❓ Kegiatan: Menanya

Bagaimana cara mengetahui jenis penyelesaian tanpa menggambar grafik?
Apa makna geometris dari masing-masing kasus?

💡 Kegiatan: Menalar

Untuk SPLDV \(a_1x + b_1y = c_1\) dan \(a_2x + b_2y = c_2\):

✅ Penyelesaian Tunggal:

\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}

Dua garis berpotongan di tepat satu titik. Kedua garis memiliki gradien berbeda.

♾️ Penyelesaian Tak Berhingga:

\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}

Dua garis berimpit (merupakan garis yang sama). Setiap titik pada garis merupakan penyelesaian.

❌ Tidak Ada Penyelesaian:

\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}

Dua garis sejajar dan tidak pernah berpotongan.

🧪 Kegiatan: Mencoba

Contoh 1: Selidiki penyelesaian \(2x + 3y = 6\) dan \(4x + 6y = 10\).

\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\), \(\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\), \(\frac{c_1}{c_2} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\).

Karena \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\), SPLDV tidak memiliki penyelesaian (garis sejajar).

Contoh 2: Selidiki penyelesaian \(x + 2y = 4\) dan \(3x + 6y = 12\).

\(\frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\). Semua rasio sama → banyak penyelesaian tak berhingga (garis berimpit).

Berpotongan (1 solusi)

Berimpit (∞ solusi)

Sejajar (0 solusi)

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

Dengan membandingkan rasio koefisien \(\frac{a_1}{a_2}\), \(\frac{b_1}{b_2}\), dan \(\frac{c_1}{c_2}\), kita dapat menentukan jenis penyelesaian SPLDV tanpa perlu menggambar grafik atau menyelesaikan sistem secara lengkap.

📝 Contoh Soal Penyelidikan Penyelesaian SPLDV

Tingkat Mudah

Soal 1: Selidiki jenis penyelesaian \( x + y = 4 \) dan \( 2x + 2y = 8 \)

\(\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\). Semua rasio sama → Banyak penyelesaian tak berhingga (garis berimpit).

Soal 2: Selidiki jenis penyelesaian \( x + y = 3 \) dan \( x + y = 7 \)

\(\frac{1}{1} = \frac{1}{1} \neq \frac{3}{7}\). → Tidak memiliki penyelesaian (garis sejajar).

Soal 3: Selidiki jenis penyelesaian \( x + y = 5 \) dan \( x – y = 1 \)

\(\frac{1}{1} \neq \frac{1}{-1}\). → Penyelesaian tunggal.

Soal 4: Selidiki jenis penyelesaian \( 3x + y = 6 \) dan \( 6x + 2y = 12 \)

\(\frac{3}{6} = \frac{1}{2} = \frac{6}{12}\). Semua sama → Banyak penyelesaian tak berhingga.

Soal 5: Selidiki jenis penyelesaian \( 2x + y = 5 \) dan \( x + 3y = 7 \)

\(\frac{2}{1} \neq \frac{1}{3}\). → Penyelesaian tunggal.

Tingkat Sedang

Soal 1: Selidiki \( 2x + 4y = 10 \) dan \( x + 2y = 3 \)

\(\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = 2\), \(\frac{10}{3} \neq 2\). → Tidak memiliki penyelesaian.

Soal 2: Selidiki \( 3x – 6y = 9 \) dan \( x – 2y = 3 \)

\(\frac{3}{1} = \frac{-6}{-2} = \frac{9}{3} = 3\). Semua sama → Banyak penyelesaian tak berhingga.

Soal 3: Selidiki \( 4x + 6y = 12 \) dan \( 2x + 3y = 8 \)

\(\frac{4}{2} = 2 = \frac{6}{3}\), \(\frac{12}{8} = \frac{3}{2} \neq 2\). → Tidak memiliki penyelesaian.

Soal 4: Tentukan nilai \(k\) agar \( 2x + ky = 6 \) dan \( x + 3y = 3 \) memiliki penyelesaian tunggal!

Penyelesaian tunggal: \(\frac{2}{1} \neq \frac{k}{3}\) → \(k \neq 6\).

Jawab: \(k \in \mathbb{R}, k \neq 6\)

Soal 5: Tentukan nilai \(m\) agar \( mx + 2y = 4 \) dan \( 3x + 6y = 12 \) memiliki banyak penyelesaian!

Banyak penyelesaian: \(\frac{m}{3} = \frac{2}{6} = \frac{4}{12}\). \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). Maka \(\frac{m}{3} = \frac{1}{3} \Rightarrow m = 1\).

Jawab: \(m = 1\)

Tingkat Sulit

Soal 1: Tentukan nilai \(a\) dan \(b\) agar \( ax + by = 10 \) dan \( 2x + 4y = 20 \) memiliki banyak penyelesaian!

Syarat: \(\frac{a}{2} = \frac{b}{4} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}\). Maka \(a = 1\), \(b = 2\).

Soal 2: Tentukan nilai \(p\) agar \( (p-1)x + 2y = 4 \) dan \( 3x + (p+1)y = 6 \) tidak memiliki penyelesaian!

Tidak ada penyelesaian: \(\frac{p-1}{3} = \frac{2}{p+1} \neq \frac{4}{6}\).

\((p-1)(p+1) = 6 \Rightarrow p^2 – 1 = 6 \Rightarrow p^2 = 7 \Rightarrow p = \pm\sqrt{7}\).

Cek \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). Perlu: \(\frac{p-1}{3} \neq \frac{2}{3} \Rightarrow p-1 \neq 2 \Rightarrow p \neq 3\). Kedua nilai \(\pm\sqrt{7}\) memenuhi.

Jawab: \(p = \sqrt{7}\) atau \(p = -\sqrt{7}\)

Soal 3: Diberikan SPLDV \( 2x + 3y = k \) dan \( 4x + 6y = 18 \). Tentukan nilai \(k\) agar sistem memiliki: (a) banyak penyelesaian, (b) tidak ada penyelesaian!

\(\frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). (a) Banyak penyelesaian: \(\frac{k}{18} = \frac{1}{2} \Rightarrow k = 9\). (b) Tidak ada: \(k \neq 9\).

Soal 4: Selidiki jenis penyelesaian \( (a+1)x + 2y = 5 \) dan \( 3x + (a-1)y = 7 \) untuk \(a = 2\)!

Untuk \(a = 2\): \(3x + 2y = 5\) dan \(3x + y = 7\). \(\frac{3}{3} = 1\), \(\frac{2}{1} = 2\). Karena \(1 \neq 2\) → Penyelesaian tunggal.

Soal 5: Tentukan semua nilai \(k\) agar \( kx + 2y = 8 \) dan \( 6x + ky = 12 \) memiliki penyelesaian tunggal!

Penyelesaian tunggal: \(\frac{k}{6} \neq \frac{2}{k} \Rightarrow k^2 \neq 12 \Rightarrow k \neq \pm 2\sqrt{3}\).

Jawab: \(k \in \mathbb{R}\), \(k \neq 2\sqrt{3}\) dan \(k \neq -2\sqrt{3}\)

✏️ Latihan Soal Penyelidikan Penyelesaian SPLDV

Mudah

Selidiki jenis penyelesaian \( x + y = 6 \) dan \( 2x + 2y = 12 \)
Selidiki jenis penyelesaian \( x – y = 2 \) dan \( 2x – 2y = 7 \)
Selidiki jenis penyelesaian \( 3x + y = 8 \) dan \( x – y = 2 \)
Selidiki jenis penyelesaian \( 4x + 2y = 10 \) dan \( 2x + y = 5 \)
Selidiki jenis penyelesaian \( x + 2y = 4 \) dan \( 3x + 2y = 8 \)

Sedang

Tentukan nilai \(k\) agar \( kx + 4y = 8 \) dan \( 2x + 8y = 16 \) memiliki banyak penyelesaian!
Tentukan nilai \(m\) agar \( 3x + my = 9 \) dan \( 6x + 4y = 12 \) tidak memiliki penyelesaian!
Selidiki \( 5x – 10y = 15 \) dan \( x – 2y = 3 \)
Selidiki \( 2x + 6y = 14 \) dan \( x + 3y = 5 \)
Tentukan nilai \(a\) agar \( ax + 3y = 6 \) dan \( 4x + 6y = 12 \) memiliki banyak penyelesaian!

Sulit

Tentukan semua nilai \(p\) agar \( px + 3y = 9 \) dan \( 2x + py = 6 \) memiliki penyelesaian tunggal!
Tentukan nilai \(a\) dan \(b\) agar \( ax + by = 15 \) dan \( 3x + 5y = 15 \) berimpit!
Diberikan \( (k+2)x + 4y = 2k \) dan \( 3x + (k-1)y = 5 \). Tentukan nilai \(k\) agar tidak ada penyelesaian!
Tentukan semua nilai \(m\) agar \( mx + (m+1)y = 2m \) dan \( (m-1)x + my = m+1 \) memiliki penyelesaian tunggal!
Buktikan bahwa SPLDV \( ax + by = c \) dan \( dx + ey = f \) memiliki penyelesaian tunggal jika dan hanya jika \( ae – bd \neq 0 \)!

\(2x + 3y = 13\)
\(2x + 6y = 20\)	−
\(-3y = -7 \Rightarrow y = \frac{7}{3}\)

1. Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Grafik

📌 Pengertian

🔍 Kegiatan: Mengamati

❓ Kegiatan: Menanya

💡 Kegiatan: Menalar

🧪 Kegiatan: Mencoba

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

📝 Contoh Soal Metode Grafik

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

✏️ Latihan Soal Metode Grafik

Mudah

Sedang

Sulit

2. Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Substitusi

📌 Pengertian

🔍 Kegiatan: Mengamati

❓ Kegiatan: Menanya

💡 Kegiatan: Menalar

🧪 Kegiatan: Mencoba

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

📝 Contoh Soal Metode Substitusi

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

✏️ Latihan Soal Metode Substitusi

Mudah

Sedang

Sulit

3. Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Eliminasi

📌 Pengertian

🔍 Kegiatan: Mengamati

❓ Kegiatan: Menanya

💡 Kegiatan: Menalar

🧪 Kegiatan: Mencoba

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

📝 Contoh Soal Metode Eliminasi

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

✏️ Latihan Soal Metode Eliminasi

Mudah

Sedang

Sulit

4. Menyelidiki Ada/Tidaknya Penyelesaian Suatu SPLDV

📌 Pengertian

✅ Penyelesaian Tunggal (Sistem Konsisten Independen)

♾️ Penyelesaian Banyak Tak Berhingga (Sistem Konsisten Dependen)

❌ Tidak Ada Penyelesaian (Sistem Inkonsisten)

🔍 Kegiatan: Mengamati

❓ Kegiatan: Menanya

💡 Kegiatan: Menalar

🧪 Kegiatan: Mencoba

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

📝 Contoh Soal Penyelidikan Penyelesaian SPLDV

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

✏️ Latihan Soal Penyelidikan Penyelesaian SPLDV

Mudah

Sedang

Sulit

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed