1. Interval dan Penyelesaian Pertidaksamaan
📖 Materi
Interval adalah himpunan bilangan real yang berada di antara dua batas. Berikut jenis-jenis interval:
Notasi Interval
Notasi Himpunan
Keterangan
Garis Bilangan
(a, b)
{x | a < x < b} Terbuka
a
b
[a, b]
{x | a ≤ x ≤ b} Tertutup
a
b
[a, b)
{x | a ≤ x < b} Semi terbuka kanan
a
b
(a, b]
{x | a < x ≤ b} Semi terbuka kiri
a
b
(a, ∞)
{x | x > a} Tak hingga kanan
a
(-∞, b]
{x | x ≤ b} Tak hingga kiri
b
💡 Tips Mengingat:
Lingkaran kosong ○ = batas tidak termasuk (tanda < atau >)
Lingkaran penuh ● = batas termasuk (tanda ≤ atau ≥)
Tanda ∞ selalu menggunakan kurung biasa ( ) , bukan kurung siku
✏️ Contoh Soal
Mudah
1. Nyatakan 2 < x < 7 dalam notasi interval!
Karena kedua batas tidak termasuk (tanda <), maka menggunakan kurung biasa.
Jawaban: (2, 7)
Garis bilangan: titik 2 dan 7 berupa lingkaran kosong ○, daerah di antaranya diarsir.
2. Nyatakan interval [−3, 5] dalam notasi himpunan!
Kurung siku berarti batas termasuk (≤).
Jawaban: {x | −3 ≤ x ≤ 5, x ∈ ℝ}
3. Nyatakan x ≥ 4 dalam notasi interval!
Batas bawah 4 termasuk (≥), batas atas tak hingga.
Jawaban: [4, ∞)
4. Nyatakan x < −1 dalam notasi interval!
Jawaban: (−∞, −1)
Kedua batas tidak termasuk, jadi pakai kurung biasa.
5. Nyatakan interval (0, 10] dalam notasi himpunan!
Jawaban: {x | 0 < x ≤ 10, x ∈ ℝ}
Kurung biasa di 0 → tidak termasuk (<), kurung siku di 10 → termasuk (≤).
Sedang
1. Tentukan irisan dari [−2, 5) dan (1, 8] !
Irisan = daerah yang sama-sama termasuk kedua interval.
[−2, 5) ∩ (1, 8] = (1, 5)
Batas bawah: max(−2, 1) = 1 (terbuka karena (1,8] terbuka di 1)
2. Tentukan gabungan dari (−∞, 3) dan [1, 7] !
(−∞, 3) ∪ [1, 7] = (−∞, 7]
Interval saling tumpang tindih (overlap) di [1,3), sehingga gabungannya menyambung.
3. Nyatakan x < −2 atau x ≥ 5 dalam notasi interval!
(−∞, −2) ∪ [5, ∞)
Dua daerah terpisah, dihubungkan dengan tanda gabungan ∪.
4. Jika A = [−4, 2] dan B = (−1, 6) , tentukan A − B (selisih)!
A − B = anggota A yang bukan anggota B.
A − B = [−4, −1]
Dari A = [−4, 2], buang bagian yang masuk B = (−1, 6), yaitu (−1, 2]. Sisa: [−4, −1].
5. Tentukan komplemen dari [−3, 4) terhadap ℝ!
ℝ − [−3, 4) = (−∞, −3) ∪ [4, ∞)
Semua bilangan real kecuali yang di [−3, 4).
Sulit
1. Tentukan semua nilai x yang memenuhi x ∈ [−5, 3) ∩ (−2, 7] ∩ [0, 10) !
Langkah 1: [−5, 3) ∩ (−2, 7] = (−2, 3)
Langkah 2: (−2, 3) ∩ [0, 10) = [0, 3)
Jawaban: [0, 3)
2. Jika A = (−∞, a] dan B = [b, ∞) dengan A ∩ B = [2, 5] , tentukan nilai a dan b!
A ∩ B = (−∞, a] ∩ [b, ∞) = [b, a]
Agar [b, a] = [2, 5] , maka:
b = 2 dan a = 5
3. Nyatakan himpunan {x | x ∈ ℝ, x ≠ 3} dalam notasi interval!
Semua bilangan real kecuali 3:
(−∞, 3) ∪ (3, ∞)
4. Tentukan (A ∪ B) − (A ∩ B) jika A = [−1, 4) dan B = (2, 6] !
A ∪ B = [−1, 6]
A ∩ B = (2, 4)
Selisih simetris:
(A ∪ B) − (A ∩ B) = [−1, 2] ∪ [4, 6]
5. Buktikan bahwa (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’ untuk A = [0, 5] , B = [3, 8] , semesta S = [−2, 10] !
Ruas kiri: A ∩ B = [3, 5] → (A ∩ B)’ = [−2, 3) ∪ (5, 10]
Ruas kanan: A’ = [−2, 0) ∪ (5, 10] , B’ = [−2, 3) ∪ (8, 10]
A’ ∪ B’ = [−2, 3) ∪ (5, 10]
Terbukti: (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’ ✓
📝 Latihan Soal
Kerjakan tanpa melihat pembahasan. Jawaban bisa ditulis di buku latihan.
Mudah
1. Nyatakan −5 ≤ x < 3 dalam notasi interval!
2. Nyatakan interval (−7, 2) dalam notasi himpunan!
3. Nyatakan x ≤ 6 dalam notasi interval!
4. Nyatakan {x | 1 < x ≤ 9} dalam notasi interval!
5. Gambarlah garis bilangan untuk [−3, 4) !
Sedang
1. Tentukan [−3, 4) ∩ (1, 7] !
2. Tentukan (−∞, 5) ∪ [3, ∞) !
3. Jika A = [0, 6] dan B = (4, 9) , tentukan A − B !
4. Tentukan komplemen dari (2, 8) terhadap ℝ!
5. Nyatakan dalam interval: x ≤ −1 atau x > 4 !
Sulit
1. Tentukan [−4, 1) ∩ (−2, 5] ∩ [−1, 3) !
2. Jika (−∞, p) ∪ (q, ∞) = ℝ − [2, 7] , tentukan p dan q!
3. Tentukan (A ∪ B) − (A ∩ B) untuk A = (−3, 2] , B = [0, 5) !
4. Nyatakan {x ∈ ℝ | x ≠ −2 dan x ≠ 4} dalam notasi interval!
5. Buktikan De Morgan: (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ untuk A = [1, 4] , B = [2, 6] , S = [0, 8] !
2. Pertidaksamaan Linear
📖 Materi
Pertidaksamaan linear satu variabel berbentuk:
ax + b < 0, ax + b > 0, ax + b ≤ 0, atau ax + b ≥ 0
Aturan penting:
Jika kedua ruas ditambah/dikurang bilangan yang sama, tanda pertidaksamaan tetap .
Jika kedua ruas dikali/dibagi bilangan positif , tanda pertidaksamaan tetap .
Jika kedua ruas dikali/dibagi bilangan negatif , tanda pertidaksamaan berbalik (< menjadi >, dsb).
📐 Contoh Konsep:
2x + 3 < 11 2x < 8 ← kurangi 3 di kedua ruas x < 4 ← bagi 2 di kedua ruas (positif, tanda tetap) Himpunan penyelesaian: {x | x < 4} = (−∞, 4)
✏️ Contoh Soal
Mudah
1. Selesaikan 3x − 6 > 0 !
3x − 6 > 0 3x > 6 x > 2 HP = (2, ∞)
2. Selesaikan −2x + 8 ≥ 0 !
−2x + 8 ≥ 0 −2x ≥ −8 x ≤ 4 ← bagi −2, tanda BERBALIK HP = (−∞, 4]
3. Selesaikan 5x + 10 < 0 !
5x < −10 x < −2 HP = (−∞, −2)
4. Selesaikan x + 7 ≤ 12 !
5. Selesaikan 4x ≥ −16 !
Sedang
1. Selesaikan 3(2x − 1) < 5x + 4 !
6x − 3 < 5x + 4 6x − 5x < 4 + 3 x < 7 HP = (−∞, 7)
2. Selesaikan (x+1)/3 ≥ (x−2)/2 !
Kalikan kedua ruas dengan 6 (KPK 3 dan 2): 2(x + 1) ≥ 3(x − 2) 2x + 2 ≥ 3x − 6 2 + 6 ≥ 3x − 2x 8 ≥ x → x ≤ 8 HP = (−∞, 8]
3. Selesaikan −4(x − 3) > 2(x + 1) !
−4x + 12 > 2x + 2 −4x − 2x > 2 − 12 −6x > −10 x < 10/6 = 5/3 ← bagi −6, tanda BERBALIK HP = (−∞, 5/3)
4. Tentukan nilai x yang memenuhi 1 ≤ 2x − 3 < 9 !
1 ≤ 2x − 3 < 9 Tambah 3: 4 ≤ 2x < 12 Bagi 2: 2 ≤ x < 6 HP = [2, 6)
5. Selesaikan 2(3x − 5) ≤ 4x + 6 !
6x − 10 ≤ 4x + 6 2x ≤ 16 x ≤ 8 HP = (−∞, 8]
Sulit
1. Selesaikan (2x−1)/4 − (x+3)/6 > 1/12 !
KPK = 12, kalikan seluruh ruas: 3(2x − 1) − 2(x + 3) > 1 6x − 3 − 2x − 6 > 1 4x − 9 > 1 4x > 10 x > 5/2 HP = (5/2, ∞)
2. Tentukan semua x bilangan bulat yang memenuhi −3 < 2x + 1 ≤ 9 !
−3 < 2x + 1 ≤ 9 −4 < 2x ≤ 8 −2 < x ≤ 4 Bilangan bulat: {−1, 0, 1, 2, 3, 4}
3. Selesaikan 5 − 3(2x + 1) ≥ 2(4 − x) + 3 !
5 − 6x − 3 ≥ 8 − 2x + 3 2 − 6x ≥ 11 − 2x −6x + 2x ≥ 11 − 2 −4x ≥ 9 x ≤ −9/4 ← bagi −4, tanda BERBALIK HP = (−∞, −9/4]
4. Selesaikan (3x+2)/(x−1) ≥ 0 untuk x ≠ 1 !
Pembilang = 0: x = −2/3. Penyebut = 0: x = 1.
Uji tanda pada interval:
x < −2/3 → (−)(−) = (+) ✓ −2/3 < x < 1 → (+)(−) = (−) ✗ x > 1 → (+)(+) = (+) ✓ HP = (−∞, −2/3] ∪ (1, ∞)
x = −2/3 termasuk (≥ 0), x = 1 tidak termasuk (penyebut nol).
5. Tentukan nilai m agar mx + 3 > 2x + m memiliki penyelesaian x < −1 !
mx + 3 > 2x + m (m − 2)x > m − 3 Agar hasilnya x < −1, maka m − 2 < 0 (tanda berbalik): x < (m − 3)/(m − 2) = −1 m − 3 = −1(m − 2) m − 3 = −m + 2 2m = 5 m = 5/2 Cek: m − 2 = 1/2 > 0 → tanda tidak berbalik → kontradiksi. Maka kita butuh m − 2 < 0, yaitu m < 2. (m−3)/(m−2) = −1 → m = 5/2 > 2 → tidak memenuhi. Re-analisis: (m−2)x > m−3, dengan m < 2: x < (m−3)/(m−2) (m−3)/(m−2) = −1 → m−3 = −m+2 → m = 5/2 (kontradiksi m<2) Jawaban: m = 5/2 (syarat tanda tetap karena sebenarnya 5/2−2=1/2>0) x > (m−3)/(m−2) → x > (−1/2)/(1/2) = −1 → HP: x > −1 Agar x < −1: m < 2, dan (m−3)/(m−2) = −1 → m = 5/2 → tidak memenuhi. ∴ Tidak ada nilai m yang memenuhi.
Soal ini melatih analisis parameter — hasilnya: tidak ada nilai m yang memenuhi.
📝 Latihan Soal
Mudah
1. Selesaikan 4x − 8 > 0 !
2. Selesaikan −3x + 9 ≤ 0 !
3. Selesaikan x + 5 < 10 !
5. Selesaikan −x + 2 > 0 !
Sedang
1. Selesaikan 2(x + 3) < 5x − 6 !
2. Selesaikan (x−1)/2 ≥ (x+3)/4 !
3. Tentukan x: −5 ≤ 3x + 1 < 13 !
4. Selesaikan −2(x − 4) > 3(x + 1) !
5. Selesaikan 7 − 2x ≤ 3x + 2 !
Sulit
1. Selesaikan (3x−2)/5 + (x+1)/3 > 2 !
2. Tentukan bilangan bulat: −7 < 3x − 1 ≤ 14 !
3. Selesaikan 4 − 2(3x + 5) ≥ 3(1 − x) + 2 !
4. Selesaikan (2x+5)/(x−3) < 0 !
5. Tentukan a agar ax − 2 < 3x + a berlaku untuk semua x > 0!
3. Pertidaksamaan Kuadrat dan Penyelesaiannya
📖 Materi
Pertidaksamaan kuadrat berbentuk:
ax² + bx + c < 0, ax² + bx + c > 0, (dan ≤, ≥)
Langkah penyelesaian:
Pastikan koefisien a > 0 (jika negatif, kalikan −1 dan balik tanda).
Cari akar-akar persamaan ax² + bx + c = 0 → misalkan x₁ dan x₂ dengan x₁ < x₂ .
Gunakan garis bilangan atau tabel tanda.
Tentukan daerah penyelesaian sesuai tanda pertidaksamaan.
🎯 Aturan Cepat (untuk a > 0):
ax² + bx + c < 0 → x₁ < x < x₂ → (x₁, x₂) ax² + bx + c > 0 → x < x₁ atau x > x₂ → (−∞, x₁) ∪ (x₂, ∞) ax² + bx + c ≤ 0 → x₁ ≤ x ≤ x₂ → [x₁, x₂] ax² + bx + c ≥ 0 → x ≤ x₁ atau x ≥ x₂ → (−∞, x₁] ∪ [x₂, ∞)
💡 Ingat: Parabola a > 0 membuka ke atas. Bagian di bawah sumbu-x berada di antara akar-akar.
✏️ Contoh Soal
Mudah
1. Selesaikan x² − 5x + 6 < 0 !
x² − 5x + 6 = 0 (x − 2)(x − 3) = 0 x₁ = 2, x₂ = 3 Karena a = 1 > 0, dan tanda <: HP = (2, 3)
2. Selesaikan x² − 4 ≥ 0 !
x² − 4 = 0 → (x−2)(x+2) = 0 x₁ = −2, x₂ = 2 Tanda ≥, a > 0: HP = (−∞, −2] ∪ [2, ∞)
3. Selesaikan x² − 9 < 0 !
(x−3)(x+3) < 0 x₁ = −3, x₂ = 3 HP = (−3, 3)
4. Selesaikan x² + x − 6 > 0 !
(x+3)(x−2) = 0 → x₁ = −3, x₂ = 2 Tanda >, a > 0: HP = (−∞, −3) ∪ (2, ∞)
5. Selesaikan x² − 6x + 9 ≤ 0 !
(x − 3)² ≤ 0 Kuadrat selalu ≥ 0, sama dengan 0 hanya saat x = 3. HP = {3}
Sedang
1. Selesaikan 2x² − 7x + 3 ≤ 0 !
2x² − 7x + 3 = 0 x = (7 ± √(49−24))/4 = (7 ± 5)/4 x₁ = 1/2, x₂ = 3 a = 2 > 0, tanda ≤: HP = [1/2, 3]
2. Selesaikan −x² + 4x − 3 > 0 !
Kalikan −1 (tanda berbalik): x² − 4x + 3 < 0 (x−1)(x−3) < 0 HP = (1, 3)
3. Selesaikan x² − 2x − 8 ≥ 0 !
(x−4)(x+2) = 0 → x₁ = −2, x₂ = 4 HP = (−∞, −2] ∪ [4, ∞)
4. Selesaikan 3x² + 5x − 2 < 0 !
3x² + 5x − 2 = 0 (3x − 1)(x + 2) = 0 x₁ = −2, x₂ = 1/3 HP = (−2, 1/3)
5. Selesaikan x² + 2x + 1 > 0 !
(x + 1)² > 0 Kuadrat sempurna, selalu ≥ 0. Sama dengan 0 saat x = −1. Jadi > 0 untuk semua x kecuali x = −1. HP = ℝ − {−1} = (−∞, −1) ∪ (−1, ∞)
Sulit
1. Selesaikan x⁴ − 5x² + 4 ≤ 0 !
Misalkan u = x² :
u² − 5u + 4 ≤ 0 (u − 1)(u − 4) ≤ 0 1 ≤ u ≤ 4 1 ≤ x² ≤ 4 x² ≥ 1 → x ≤ −1 atau x ≥ 1 x² ≤ 4 → −2 ≤ x ≤ 2 Irisan: [−2, −1] ∪ [1, 2]
2. Tentukan nilai k agar x² − kx + k + 3 > 0 untuk semua x ∈ ℝ!
Agar selalu > 0: a > 0 (sudah, a=1) dan D < 0.
D = k² − 4(1)(k + 3) < 0 k² − 4k − 12 < 0 (k − 6)(k + 2) < 0 −2 < k < 6
3. Selesaikan (x² − 1)/(x² − 4) ≤ 0 !
Pembilang: (x−1)(x+1) = 0 → x = ±1 Penyebut: (x−2)(x+2) = 0 → x = ±2 (tidak boleh) Uji tanda pada interval: (−∞,−2): (+)/(+) = + ✗ (−2,−1): (+)/(−) = − ✓ (−1, 1): (−)/(−) = + ✗ (1, 2): (+)/(−) = − ✓ (2, ∞): (+)/(+) = + ✗ HP = (−2, −1] ∪ [1, 2)
4. Selesaikan x² − (2a+1)x + a(a+1) < 0 dengan a > 0!
x² − (2a+1)x + a(a+1) = 0 Faktorkan: (x − a)(x − (a+1)) = 0 x₁ = a, x₂ = a + 1 Tanda <: HP = (a, a+1)
5. Selesaikan x³ − 4x² + x + 6 ≤ 0 !
Cari akar rasional: coba x = −1 → (−1)³ − 4(1) + (−1) + 6 = −1−4−1+6 = 0 ✓
x³ − 4x² + x + 6 = (x + 1)(x² − 5x + 6) = (x+1)(x−2)(x−3) Akar: x = −1, 2, 3. Uji tanda: (−∞,−1): (−)(−)(−) = − ✓ (−1, 2): (+)(−)(−) = + ✗ (2, 3): (+)(+)(−) = − ✓ (3, ∞): (+)(+)(+) = + ✗ HP = (−∞, −1] ∪ [2, 3]
📝 Latihan Soal
Mudah
1. Selesaikan x² − 7x + 10 < 0 !
2. Selesaikan x² − 16 ≥ 0 !
3. Selesaikan x² + 3x − 10 > 0 !
4. Selesaikan x² − 4x ≤ 0 !
5. Selesaikan x² + 6x + 9 ≥ 0 !
Sedang
1. Selesaikan 2x² − 3x − 5 ≤ 0 !
2. Selesaikan −x² + 5x − 4 > 0 !
3. Selesaikan x² − x − 12 ≥ 0 !
4. Selesaikan 4x² − 12x + 9 < 0 !
5. Selesaikan −2x² + x + 3 ≥ 0 !
Sulit
1. Selesaikan x⁴ − 10x² + 9 < 0 !
2. Tentukan k agar 2x² + kx + 2 ≥ 0 untuk semua x!
3. Selesaikan (x²−9)/(x²−1) > 0 !
4. Selesaikan x³ − 6x² + 11x − 6 ≥ 0 !
5. Tentukan m agar x² + mx + m + 3 = 0 memiliki dua akar real positif!
4. Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
📖 Materi
Definisi Nilai Mutlak:
|x| = { x, jika x ≥ 0 {−x, jika x < 0
Secara geometri, |x| menyatakan jarak x dari titik 0 pada garis bilangan.
0
−3
3
jarak = 3
jarak = 3
|−3| = 3 dan |3| = 3 — keduanya berjarak 3 dari 0
🔑 Sifat-sifat Penting Nilai Mutlak:
1. |x| ≥ 0 untuk semua x 2. |x| = |−x| 3. |x · y| = |x| · |y| 4. |x/y| = |x| / |y|, y ≠ 0 5. |x + y| ≤ |x| + |y| (ketaksamaan segitiga)
⭐ Rumus Kunci Pertidaksamaan Nilai Mutlak:
Untuk c > 0: ① |f(x)| < c ⟺ −c < f(x) < c ② |f(x)| ≤ c ⟺ −c ≤ f(x) ≤ c ③ |f(x)| > c ⟺ f(x) < −c atau f(x) > c ④ |f(x)| ≥ c ⟺ f(x) ≤ −c atau f(x) ≥ c
💡 Mudah diingat: tanda < (kurang dari) → “diapit” , tanda > (lebih dari) → “di luar” .
Ilustrasi garis bilangan:
|x| < c :
−c
c
|x| > c :
−c
c
✏️ Contoh Soal
Mudah
1. Selesaikan |x| < 5 !
|x| < 5 ⟺ −5 < x < 5 HP = (−5, 5)
2. Selesaikan |x| ≥ 3 !
|x| ≥ 3 ⟺ x ≤ −3 atau x ≥ 3 HP = (−∞, −3] ∪ [3, ∞)
3. Selesaikan |x − 2| < 4 !
|x − 2| < 4 ⟺ −4 < x − 2 < 4 Tambah 2: −2 < x < 6 HP = (−2, 6)
4. Selesaikan |x + 1| ≤ 3 !
|x + 1| ≤ 3 ⟺ −3 ≤ x + 1 ≤ 3 Kurang 1: −4 ≤ x ≤ 2 HP = [−4, 2]
5. Selesaikan |x − 5| > 2 !
|x − 5| > 2 ⟺ x − 5 < −2 atau x − 5 > 2 x < 3 atau x > 7 HP = (−∞, 3) ∪ (7, ∞)
Sedang
1. Selesaikan |2x − 3| < 7 !
−7 < 2x − 3 < 7 −4 < 2x < 10 −2 < x < 5 HP = (−2, 5)
2. Selesaikan |3x + 1| ≥ 8 !
3x + 1 ≤ −8 atau 3x + 1 ≥ 8 3x ≤ −9 atau 3x ≥ 7 x ≤ −3 atau x ≥ 7/3 HP = (−∞, −3] ∪ [7/3, ∞)
3. Selesaikan |4 − x| ≤ 6 !
−6 ≤ 4 − x ≤ 6 Kurang 4: −10 ≤ −x ≤ 2 Kali −1 (balik tanda): −2 ≤ x ≤ 10 HP = [−2, 10]
4. Selesaikan |x − 3| + |x + 1| < 6 !
Bagi menjadi 3 kasus berdasarkan titik kritis x = −1 dan x = 3:
Kasus 1: x < −1 (3−x) + (−x−1) < 6 → −2x + 2 < 6 → x > −2 Irisan: −2 < x < −1 ✓ Kasus 2: −1 ≤ x < 3 (3−x) + (x+1) < 6 → 4 < 6 → selalu benar Irisan: −1 ≤ x < 3 ✓ Kasus 3: x ≥ 3 (x−3) + (x+1) < 6 → 2x − 2 < 6 → x < 4 Irisan: 3 ≤ x < 4 ✓ HP = (−2, 4)
5. Selesaikan 2|x − 1| − 3 > 5 !
2|x − 1| > 8 |x − 1| > 4 x − 1 < −4 atau x − 1 > 4 x < −3 atau x > 5 HP = (−∞, −3) ∪ (5, ∞)
Sulit
1. Selesaikan |x² − 4| < 5 !
−5 < x² − 4 < 5 Bagian kiri: x² − 4 > −5 → x² > −1 → selalu benar Bagian kanan: x² − 4 < 5 → x² < 9 → −3 < x < 3 HP = (−3, 3)
2. Selesaikan |x − 2| / |x + 3| < 1 untuk x ≠ −3 !
Karena |x+3| > 0 (x ≠ −3), kalikan kedua ruas:
|x − 2| < |x + 3| Kuadratkan: (x−2)² < (x+3)² x² − 4x + 4 < x² + 6x + 9 −10x < 5 x > −1/2 HP = (−1/2, ∞) tetapi x ≠ −3 Karena −3 < −1/2, syarat x ≠ −3 otomatis terpenuhi. HP = (−1/2, ∞)
3. Selesaikan |2x − 1| > |x + 3| !
Kuadratkan kedua ruas (keduanya ≥ 0):
(2x−1)² > (x+3)² 4x² − 4x + 1 > x² + 6x + 9 3x² − 10x − 8 > 0 (3x + 2)(x − 4) > 0 x₁ = −2/3, x₂ = 4 HP = (−∞, −2/3) ∪ (4, ∞)
4. Selesaikan |x² − 3x + 2| ≤ x − 1 !
Syarat: ruas kanan ≥ 0, jadi x ≥ 1 .
|(x−1)(x−2)| ≤ x − 1 Karena x ≥ 1, maka x − 1 ≥ 0. Bagi kasus: Kasus 1: x = 1 → |0| ≤ 0 → 0 ≤ 0 ✓ Kasus 2: x > 1, bagi kedua ruas dengan (x−1) > 0: |x − 2| ≤ 1 −1 ≤ x − 2 ≤ 1 1 ≤ x ≤ 3 Gabungan: HP = [1, 3]
5. Selesaikan ||x − 1| − 3| < 2 !
Misalkan u = |x − 1| , maka |u − 3| < 2 :
−2 < u − 3 < 2 1 < u < 5 1 < |x − 1| < 5 Selesaikan |x − 1| > 1: x − 1 < −1 atau x − 1 > 1 x < 0 atau x > 2 Selesaikan |x − 1| < 5: −5 < x − 1 < 5 −4 < x < 6 Irisan: (x < 0 atau x > 2) DAN (−4 < x < 6) = (−4, 0) ∪ (2, 6) HP = (−4, 0) ∪ (2, 6)
📝 Latihan Soal
Mudah
2. Selesaikan |x − 4| < 3 !
3. Selesaikan |x + 2| > 5 !
4. Selesaikan |x − 1| ≥ 4 !
Sedang
1. Selesaikan |3x − 5| ≤ 7 !
2. Selesaikan |4x + 2| > 10 !
3. Selesaikan 3|x − 2| + 1 < 10 !
4. Selesaikan |5 − 2x| ≥ 3 !
5. Selesaikan |x − 1| + |x + 2| ≤ 5 !
Sulit
1. Selesaikan |x² − 5x + 4| < 2 !
2. Selesaikan |x − 1| / |x + 2| ≥ 2 , x ≠ −2 !
3. Selesaikan |3x − 2| > |2x + 1| !
4. Selesaikan ||x + 2| − 4| ≤ 1 !
5. Selesaikan |x² − 4x| ≤ x + 2 !
📚 Materi Pertidaksamaan Nilai Mutlak — Matematika SMA/SMK
Semoga bermanfaat untuk pembelajaran! 💪
