Relasi
Relasi Matematika
Memahami Relasi, Cara Menyajikan Relasi, dan Sifat-sifat Relasi
1. Memahami Relasi
Definisi: Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.
Jika A = {1, 2, 3} dan B = {a, b, c}, maka relasi R dari A ke B dapat ditulis sebagai himpunan pasangan berurutan:
R = {(1, a), (2, b), (3, c)}
Notasi: Jika a ∈ A berelasi dengan b ∈ B, ditulis a R b atau (a, b) ∈ R.
Contoh Diagram Panah:
Relasi: “berpasangan dengan”
Domain, Kodomain, dan Range:
- Domain (Daerah Asal) = himpunan anggota A yang memiliki pasangan di B
- Kodomain (Daerah Kawan) = himpunan B
- Range (Daerah Hasil) = himpunan anggota B yang memiliki pasangan dari A
📘 Contoh Soal – Memahami Relasi
Level Mudah
1. Diketahui A = {1, 2, 3} dan B = {4, 5, 6}. Relasi dari A ke B adalah “dua kurangnya dari”. Tentukan himpunan pasangan berurutan!
Pembahasan
Relasi “dua kurangnya dari” berarti a + 2 = b, atau b – a = 2.
• 1 + 2 = 3 → 3 ∉ B? Tidak, 3 ∉ B. Cek: 4 – 1 = 3 ≠ 2. Hmm, mari kita cek ulang.
Arti “a dua kurangnya dari b” → b – a = 2
• b – 1 = 2 → b = 3 ∉ B
• b – 2 = 2 → b = 4 ∈ B ✓ → (2, 4)
• b – 3 = 2 → b = 5 ∈ B ✓ → (3, 5)
Juga: 1: b = 3 ∉ B
R = {(2, 4), (3, 5)}
2. Diketahui A = {2, 3, 4} dan B = {6, 8, 9, 12}. Relasi “faktor dari” dari A ke B. Tentukan pasangan berurutan!
Pembahasan
“a faktor dari b” berarti b habis dibagi a.
• 2: 6÷2=3✓, 8÷2=4✓, 12÷2=6✓ → (2,6), (2,8), (2,12)
• 3: 6÷3=2✓, 9÷3=3✓, 12÷3=4✓ → (3,6), (3,9), (3,12)
• 4: 8÷4=2✓, 12÷4=3✓ → (4,8), (4,12)
R = {(2,6), (2,8), (2,12), (3,6), (3,9), (3,12), (4,8), (4,12)}
3. Tentukan domain, kodomain, dan range dari relasi R = {(1, a), (2, b), (3, a)} dari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {a, b, c}.
Pembahasan
• Domain = anggota A yang punya pasangan = {1, 2, 3}
• Kodomain = B = {a, b, c}
• Range = anggota B yang dipasangkan = {a, b}
4. A = {apel, mangga, jeruk}, B = {merah, kuning, oranye}. Relasi “berwarna”. Tentukan himpunan pasangan berurutan!
Pembahasan
• apel berwarna merah → (apel, merah)
• mangga berwarna kuning → (mangga, kuning)
• jeruk berwarna oranye → (jeruk, oranye)
R = {(apel, merah), (mangga, kuning), (jeruk, oranye)}
5. Diketahui relasi R = {(a,1), (b,2), (c,3)}. Apakah benar bahwa range R = {1, 2, 3}?
Pembahasan
Range = himpunan semua elemen kedua pada pasangan berurutan = {1, 2, 3}.
Ya, benar. Range R = {1, 2, 3}.
Level Sedang
1. Diketahui A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {1, 2, 3, …, 25}. Relasi dari A ke B adalah “kuadrat dari”. Tentukan domain dan range!
Pembahasan
“a kuadrat dari b” berarti b = a²
• 1² = 1 ∈ B ✓, • 2² = 4 ∈ B ✓, • 3² = 9 ∈ B ✓, • 4² = 16 ∈ B ✓, • 5² = 25 ∈ B ✓
R = {(1,1), (2,4), (3,9), (4,16), (5,25)}
Domain = {1,2,3,4,5}, Range = {1,4,9,16,25}
2. Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan relasi R pada A (dari A ke A) didefinisikan “a + b = 5”. Tentukan R!
Pembahasan
Cari semua (a, b) dengan a, b ∈ A dan a + b = 5:
• 1 + 4 = 5 ✓ → (1, 4)
• 2 + 3 = 5 ✓ → (2, 3)
• 3 + 2 = 5 ✓ → (3, 2)
• 4 + 1 = 5 ✓ → (4, 1)
R = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}
3. Banyaknya relasi yang mungkin dari A = {a, b} ke B = {1, 2, 3} adalah…
Pembahasan
Banyak relasi dari A ke B = 2^(|A| × |B|) = 2^(2×3) = 2^6 = 64
4. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Relasi R pada A: “a habis membagi b dan a ≠ b”. Tentukan semua pasangan yang memuat angka 2!
Pembahasan
2 habis membagi b (b ≠ 2): b = 4, 6 → (2,4), (2,6)
a habis membagi 2 (a ≠ 2): a = 1 → (1,2)
Pasangan yang memuat 2: {(1,2), (2,4), (2,6)}
5. Dari relasi R = {(1,2), (1,3), (2,3), (3,4), (4,4)} pada A = {1,2,3,4}, tentukan elemen domain yang berelasi dengan lebih dari satu elemen!
Pembahasan
• 1 berelasi dengan 2 dan 3 (2 elemen) ✓
• 2 berelasi dengan 3 (1 elemen)
• 3 berelasi dengan 4 (1 elemen)
• 4 berelasi dengan 4 (1 elemen)
Jawaban: 1
Level Sulit
1. Diketahui |A| = 3 dan |B| = 2. Berapa banyak relasi dari A ke B yang memiliki tepat 4 pasangan berurutan?
Pembahasan
Total pasangan yang mungkin = |A| × |B| = 3 × 2 = 6
Relasi dengan tepat 4 pasangan = C(6, 4) = 6!/(4!·2!) = 15
Jawaban: 15 relasi
2. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Relasi R pada A: “a − b = 3”. Tentukan R dan nyatakan banyak anggota R!
Pembahasan
a − b = 3 → a = b + 3
• b=1, a=4 → (4,1); b=2, a=5 → (5,2); b=3, a=6 → (6,3); b=4, a=7 → (7,4); b=5, a=8 → (8,5)
R = {(4,1), (5,2), (6,3), (7,4), (8,5)}
|R| = 5
3. Diketahui A = {1, 2, 3}. Berapa banyak relasi pada A yang mengandung pasangan (1,1), (2,2), dan (3,3)?
Pembahasan
Total pasangan pada A×A = 3×3 = 9
3 pasangan sudah ditentukan: (1,1), (2,2), (3,3)
Sisa 6 pasangan bebas dipilih ada atau tidak
Banyak relasi = 2^6 = 64
4. Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c}. Berapa banyak relasi dari A ke B yang domain-nya = A (setiap elemen A punya pasangan)?
Pembahasan
Setiap elemen A harus punya minimal 1 pasangan di B.
Setiap elemen A bisa dipasangkan ke subset tak kosong dari B.
Banyak subset tak kosong B = 2³ − 1 = 7
Banyak relasi = 7⁴ = 2401
5. A = {1, 2, 3, 4, 5}. Relasi R pada A: “a × b ≤ 6 dan a ≠ b”. Tentukan banyak anggota R!
Pembahasan
Cari semua (a,b) dengan a≠b dan a×b ≤ 6:
a=1: b=2,3,4,5 (semua×1≤6) → 4 pasangan
a=2: b=1,3 (2×1=2, 2×3=6) → 2 pasangan
a=3: b=1,2 (3×1=3, 3×2=6) → 2 pasangan
a=4: b=1 (4×1=4) → 1 pasangan
a=5: b=1 (5×1=5) → 1 pasangan
Total = 4+2+2+1+1 = 10 pasangan
✏️ Latihan Soal – Memahami Relasi
Level Mudah
1. A = {2, 4, 6} dan B = {1, 2, 3}. Relasi “setengah dari”. Tentukan R!
2. Tentukan domain dan range dari R = {(a,1), (b,1), (c,2)}.
3. A = {kucing, anjing, ikan}. B = {darat, air}. Relasi “hidup di”. Tentukan R!
4. Jika R = {(1,a), (2,b)}, apakah 3 termasuk domain? Jelaskan!
5. A = {1, 2} dan B = {3, 4}. Tuliskan semua relasi yang mungkin dengan tepat 1 pasangan!
Level Sedang
1. A = {1,2,3,4,5,6}. Relasi R pada A: “a + b = 7”. Tentukan R!
2. Berapa banyak relasi dari A = {x, y} ke B = {1, 2}?
3. A = {2,3,5,7}. B = {4,6,9,10,14,15,21,25,35,49}. Relasi “a² = b”. Tentukan R!
4. Dari R = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3)} pada A = {1,2,3}, tentukan elemen yang berelasi dengan dirinya sendiri!
5. A = {1,2,3,4}. Relasi “a < b” pada A. Berapa banyak pasangan?
Level Sulit
1. |A| = 4, |B| = 3. Berapa banyak relasi dengan tepat 5 pasangan?
2. A = {1,2,…,10}. Relasi “a mod b = 0 dan a ≠ b”. Tentukan semua pasangan yang memuat 6!
3. A = {1,2,3}. Berapa banyak relasi pada A yang range-nya = A?
4. A = {1,2,3,4,5}. Relasi “GCD(a,b) = 1 dan a < b”. Tentukan banyak anggota R!
5. Diketahui |A| = n. Buktikan bahwa banyaknya relasi pada A adalah 2^(n²)!
2. Cara Menyajikan Relasi
Relasi dapat disajikan dengan 4 cara:
a) Himpunan Pasangan Berurutan
R = {(1, 2), (2, 4), (3, 6)}
Relasi “dua kali dari” dari A = {1,2,3} ke B = {2,4,6}
b) Diagram Panah
Relasi: “dua kali dari”
c) Tabel
| A \ B | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|
| 1 | ✓ | ||
| 2 | ✓ | ||
| 3 | ✓ |
d) Diagram Cartesius (Grafik)
📘 Contoh Soal – Menyajikan Relasi
Level Mudah
1. Sajikan relasi R = {(1,a), (2,b), (3,c)} dalam bentuk diagram panah!
Pembahasan
Gambar dua himpunan (elips). Kiri: {1, 2, 3}. Kanan: {a, b, c}.
Tarik panah: 1→a, 2→b, 3→c.
2. Sajikan relasi “lebih dari” dari A={2,4} ke B={1,3} dalam tabel!
Pembahasan
R: 2>1 ✓, 2>3 ✗, 4>1 ✓, 4>3 ✓
| A\B | 1 | 3 |
|---|---|---|
| 2 | ✓ | |
| 4 | ✓ | ✓ |
3. Dari diagram Cartesius yang menunjukkan titik (1,3), (2,3), (3,3), tentukan relasi dalam himpunan pasangan berurutan!
Pembahasan
R = {(1,3), (2,3), (3,3)}
Relasi ini bisa diartikan “dipasangkan dengan 3”.
4. Sajikan R = {(a,1), (b,2)} dalam bentuk diagram panah!
Pembahasan
Himpunan kiri: {a, b}. Himpunan kanan: {1, 2}. Panah: a→1, b→2.
5. Dari tabel relasi berikut, tentukan himpunan pasangan berurutan!
| A\B | p | q |
|---|---|---|
| 1 | ✓ | |
| 2 | ✓ |
Pembahasan
R = {(1, p), (2, q)}
Level Sedang
1. A = {1,2,3,4}, B = {2,3,4,5,6,7,8}. Relasi “a + 3 = b”. Sajikan dalam 4 cara!
Pembahasan
R = {(1,4), (2,5), (3,6), (4,7)}
Pasangan berurutan: R = {(1,4), (2,5), (3,6), (4,7)}
Diagram panah: 1→4, 2→5, 3→6, 4→7
Tabel:
| A\B | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | ✓ | ||||||
| 2 | ✓ | ||||||
| 3 | ✓ | ||||||
| 4 | ✓ |
Diagram Cartesius: Titik-titik di (1,4), (2,5), (3,6), (4,7)
2. Dari diagram panah: A={p,q,r}, B={1,2,3}. Panah: p→1, p→2, q→2, r→3. Sajikan dalam pasangan berurutan dan tabel!
Pembahasan
R = {(p,1), (p,2), (q,2), (r,3)}
| A\B | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| p | ✓ | ✓ | |
| q | ✓ | ||
| r | ✓ |
3. Gambarlah diagram Cartesius untuk relasi R = {(1,1), (2,4), (3,9)} dari A = {1,2,3} ke B = {1,4,9}!
Pembahasan
Sumbu-x: A = {1,2,3}. Sumbu-y: B = {1,4,9}.
Plot titik (1,1), (2,4), (3,9) pada bidang koordinat.
4. Dari tabel berikut, tentukan relasi dalam kata-kata!
| A\B | 4 | 9 | 16 |
|---|---|---|---|
| 2 | ✓ | ||
| 3 | ✓ | ||
| 4 | ✓ |
Pembahasan
2→4 (2²=4), 3→9 (3²=9), 4→16 (4²=16)
Relasi: “kuadrat dari” atau “a² = b”
5. Sajikan relasi “a membagi b” dari A={2,3} ke B={6,8,9,12} dalam diagram panah dan pasangan berurutan!
Pembahasan
2|6✓, 2|8✓, 2|9✗, 2|12✓; 3|6✓, 3|8✗, 3|9✓, 3|12✓
R = {(2,6),(2,8),(2,12),(3,6),(3,9),(3,12)}
Diagram panah: 2→6, 2→8, 2→12, 3→6, 3→9, 3→12
Level Sulit
1. A = {1,2,3,4,5}. Relasi R pada A: “a² + b² ≤ 10”. Sajikan R dalam diagram Cartesius dan hitung |R|!
Pembahasan
Cari semua (a,b) ∈ A×A dengan a²+b² ≤ 10:
a=1: 1+b²≤10 → b²≤9 → b=1,2,3 → (1,1),(1,2),(1,3)
a=2: 4+b²≤10 → b²≤6 → b=1,2 → (2,1),(2,2)
a=3: 9+b²≤10 → b²≤1 → b=1 → (3,1)
a=4: 16+b²≤10 → tidak ada
a=5: tidak ada
R = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)}, |R| = 6
2. Diberikan diagram Cartesius dengan titik-titik: (1,1),(1,4),(2,2),(2,4),(4,4). Tentukan relasi dalam notasi himpunan dan jelaskan aturannya!
Pembahasan
R = {(1,1),(1,4),(2,2),(2,4),(4,4)}
Perhatikan: setiap (a,b) memenuhi a | b (a membagi b).
1|1✓, 1|4✓, 2|2✓, 2|4✓, 4|4✓
Relasi: “a membagi b” atau “a adalah faktor dari b”
3. A = {1,2,3,4}. Relasi R: “selisih a dan b adalah bilangan genap”. Sajikan dalam tabel dan tentukan |R|!
Pembahasan
|a-b| genap jika a dan b sama paritas (sama-sama genap atau ganjil)
Ganjil: {1,3}. Genap: {2,4}.
Pasangan: (1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)
| A\A | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | ✓ | ✓ | ||
| 2 | ✓ | ✓ | ||
| 3 | ✓ | ✓ | ||
| 4 | ✓ | ✓ |
|R| = 8
4. Dari 4 cara penyajian relasi, manakah yang paling efisien jika |A| = 100 dan |B| = 100? Jelaskan!
Pembahasan
• Pasangan berurutan: praktis jika |R| kecil
• Diagram panah: tidak praktis (terlalu banyak elemen)
• Tabel: ukuran 100×100, memungkinkan tapi besar
• Diagram Cartesius: efisien karena hanya perlu plot titik yang berelasi
Paling efisien: Himpunan pasangan berurutan (jika |R| kecil) atau rumus/aturan relasi.
5. A = {1,2,3,4,5,6}. Relasi: “FPB(a,b) > 1”. Sajikan dalam tabel hanya untuk a ≤ b!
Pembahasan
FPB(a,b)>1 artinya a dan b punya faktor persekutuan selain 1.
(2,4)✓,(2,6)✓,(3,6)✓,(4,6)✓,(2,2)✓,(3,3)✓,(4,4)✓,(5,5)✓,(6,6)✓,(3,9)–tdk ada,(4,8)–tdk ada
Lengkap: (2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(4,4),(4,6),(5,5),(6,6)
| a\b | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | ||||||
| 2 | ✓ | ✓ | ✓ | |||
| 3 | ✓ | ✓ | ||||
| 4 | ✓ | ✓ | ||||
| 5 | ✓ | |||||
| 6 | ✓ |
✏️ Latihan Soal – Menyajikan Relasi
Level Mudah
1. Sajikan R = {(2,4), (3,6), (4,8)} dalam diagram panah!
2. Sajikan R = {(a,x), (b,y)} dalam bentuk tabel!
3. Dari diagram Cartesius titik (1,2) dan (3,4), tulis R dalam pasangan berurutan!
4. Sajikan “kelipatan 2” dari A={1,2,3} ke B={2,4,6} dalam 2 cara!
5. Buat diagram panah dari relasi “ibu kota” jika A={Jawa Barat, DKI Jakarta} dan B={Bandung, Jakarta}!
Level Sedang
1. A={1,2,3,4,5}, B={1,2,…,10}. Relasi “2a = b”. Sajikan dalam 4 cara!
2. Dari tabel relasi A\B dengan tanda ✓ di (1,3),(2,3),(3,3), jelaskan relasinya!
3. Gambar diagram Cartesius R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} dan jelaskan pola!
4. A={2,3,4,5}. Relasi pada A: “a+b=7”. Sajikan semua cara!
5. Konversi diagram panah (dimana 1→a, 1→b, 2→c) menjadi tabel dan pasangan berurutan!
Level Sulit
1. A={1,2,…,6}. R: “ab adalah kuadrat sempurna, a≠b”. Sajikan dalam tabel!
2. Dari diagram Cartesius 12 titik, tentukan kemungkinan relasi dan sajikan dalam pasangan berurutan!
3. A={1,2,3,4,5}. Relasi: “|a²-b²| ≤ 5, a≠b”. Sajikan R dan tentukan |R|!
4. Jelaskan kelebihan dan kekurangan masing-masing cara penyajian relasi!
5. A={1,2,…,8}. Relasi “a mod 3 = b mod 3”. Sajikan dalam bentuk tabel!
3. Sifat-sifat Relasi
Relasi R pada himpunan A dapat memiliki sifat-sifat berikut:
1. Refleksif
R bersifat refleksif jika setiap a ∈ A berlaku (a, a) ∈ R.
Artinya: setiap elemen berelasi dengan dirinya sendiri.
Contoh: “≤” pada ℤ bersifat refleksif karena a ≤ a untuk semua a.
2. Simetris
R bersifat simetris jika (a, b) ∈ R maka (b, a) ∈ R.
Artinya: jika a berelasi dengan b, maka b juga berelasi dengan a.
Contoh: “berteman dengan” bersifat simetris.
3. Antisimetris
R bersifat antisimetris jika (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R maka a = b.
Artinya: dua elemen berbeda tidak bisa saling berelasi.
Contoh: “≤” bersifat antisimetris: jika a ≤ b dan b ≤ a maka a = b.
4. Transitif
R bersifat transitif jika (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R maka (a, c) ∈ R.
Artinya: relasi “merambat” dari a ke b ke c.
Contoh: “>” bersifat transitif: jika a > b dan b > c maka a > c.
5. Relasi Ekuivalensi
Relasi R disebut relasi ekuivalensi jika bersifat:
- Refleksif
- Simetris
- Transitif
Ilustrasi Sifat-sifat:
Refleksif: a → a
Simetris: a→b dan b→a
📘 Contoh Soal – Sifat-sifat Relasi
Level Mudah
1. A = {1,2,3}. R = {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)}. Apakah R refleksif?
Pembahasan
Refleksif jika (a,a) ∈ R untuk semua a ∈ A.
(1,1) ✓, (2,2) ✓, (3,3) ✓
Ya, R bersifat refleksif.
2. A = {1,2,3}. R = {(1,2),(2,1),(2,3)}. Apakah R simetris?
Pembahasan
Cek: (1,2)∈R → (2,1)∈R? ✓
(2,1)∈R → (1,2)∈R? ✓
(2,3)∈R → (3,2)∈R? ✗ (3,2)∉R
Tidak, R tidak simetris.
3. Relasi “=” pada himpunan bilangan asli. Apakah refleksif?
Pembahasan
Untuk setiap a ∈ ℕ, a = a selalu benar.
Ya, relasi “=” bersifat refleksif.
4. R = {(1,2),(2,3),(1,3)} pada A={1,2,3}. Apakah transitif?
Pembahasan
Cek: (1,2)∈R dan (2,3)∈R → apakah (1,3)∈R? ✓
Tidak ada pasangan lain yang perlu dicek (tidak ada (x,1) selain yang sudah).
Ya, R bersifat transitif.
5. Relasi “≠” pada A = {1,2}. Apakah refleksif?
Pembahasan
Cek: (1,1) → 1≠1? Salah! Jadi (1,1)∉R.
Tidak, relasi “≠” tidak refleksif.
Level Sedang
1. A = {1,2,3,4}. R = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1)}. Tentukan sifat-sifat R!
Pembahasan
Refleksif: (1,1),(2,2),(3,3),(4,4) ∈ R ✓
Simetris: (1,3)∈R, (3,1)∈R ✓. Semua pasangan non-diagonal punya kebalikan. ✓
Antisimetris: (1,3)∈R dan (3,1)∈R tapi 1≠3 → ✗
Transitif: (1,3)∈R,(3,1)∈R → (1,1)∈R ✓; (3,1)∈R,(1,3)∈R → (3,3)∈R ✓. ✓
Sifat: Refleksif, Simetris, Transitif → Relasi Ekuivalensi!
2. Relasi “≤” pada A = {1,2,3}. Tentukan semua sifatnya!
Pembahasan
R = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)}
Refleksif: (1,1),(2,2),(3,3) ∈ R ✓
Simetris: (1,2)∈R tapi (2,1)∉R → ✗
Antisimetris: (a,b)∈R dan (b,a)∈R → a≤b dan b≤a → a=b ✓
Transitif: a≤b dan b≤c → a≤c ✓
Sifat: Refleksif, Antisimetris, Transitif
3. A = {1,2,3}. R = {(1,2),(2,3),(1,3)}. Apakah R transitif? Simetris?
Pembahasan
Transitif: (1,2)∈R,(2,3)∈R → (1,3)∈R? ✓
Simetris: (1,2)∈R → (2,1)∈R? ✗
Transitif: Ya. Simetris: Tidak.
4. Relasi “memiliki faktor persekutuan selain 1” pada A = {2,3,4,6}. Apakah simetris?
Pembahasan
Jika GCD(a,b) > 1 maka GCD(b,a) > 1 juga (karena GCD simetris).
Ya, relasi ini bersifat simetris.
5. A = {1,2,3,4}. R: “a – b genap”. Tunjukkan R adalah relasi ekuivalensi!
Pembahasan
Refleksif: a – a = 0 (genap) ✓
Simetris: a-b genap → b-a = -(a-b) juga genap ✓
Transitif: a-b genap dan b-c genap → (a-b)+(b-c) = a-c genap ✓
R adalah relasi ekuivalensi.
Level Sulit
1. A = {1,2,3,4,5,6}. R: “a mod 3 = b mod 3”. Buktikan R relasi ekuivalensi dan tentukan kelas-kelas ekuivalensinya!
Pembahasan
Refleksif: a mod 3 = a mod 3 ✓
Simetris: a mod 3 = b mod 3 → b mod 3 = a mod 3 ✓
Transitif: a mod 3 = b mod 3, b mod 3 = c mod 3 → a mod 3 = c mod 3 ✓
Kelas ekuivalensi:
[1] = {1, 4} (mod 3 = 1)
[2] = {2, 5} (mod 3 = 2)
[3] = {3, 6} (mod 3 = 0)
2. A = {1,2,3}. Tentukan relasi R terkecil pada A yang refleksif dan transitif, yang memuat (1,2) dan (2,3)!
Pembahasan
Harus refleksif: tambah (1,1),(2,2),(3,3)
Punya (1,2),(2,3) → transitif: tambah (1,3)
Cek lagi: (2,3),(3,3)→(2,3) sudah ada. OK.
R = {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)}
3. Buktikan bahwa relasi “a | b” (a membagi b) pada ℕ bersifat antisimetris dan transitif!
Pembahasan
Antisimetris: a|b berarti b = ka, dan b|a berarti a = lb.
Maka b = ka dan a = lb → b = k(lb) → 1 = kl. Karena k,l ∈ ℕ maka k=l=1, jadi a=b. ✓
Transitif: a|b berarti b = ka, b|c berarti c = lb = l(ka) = (lk)a.
Jadi a|c. ✓
4. A = {1,2,3,4}. Berapa banyak relasi pada A yang refleksif dan simetris?
Pembahasan
Refleksif: (a,a) harus ada → 4 pasangan ditentukan.
Simetris: untuk pasangan (a,b) dengan a
Banyak pasangan a
Masing-masing bisa ada atau tidak → 2^6 = 64
5. Diberikan relasi R pada ℤ: “a R b jika a − b habis dibagi 4”. Tentukan kelas ekuivalensi dari [0], [1], [2], [3] dan jelaskan!
Pembahasan
a R b ⟺ 4 | (a−b) ⟺ a ≡ b (mod 4)
Ini relasi ekuivalensi (kongruensi modulo).
[0] = {…, −8, −4, 0, 4, 8, …} = {4k : k ∈ ℤ}
[1] = {…, −7, −3, 1, 5, 9, …} = {4k+1 : k ∈ ℤ}
[2] = {…, −6, −2, 2, 6, 10, …} = {4k+2 : k ∈ ℤ}
[3] = {…, −5, −1, 3, 7, 11, …} = {4k+3 : k ∈ ℤ}
Empat kelas ini mempartisi ℤ.
✏️ Latihan Soal – Sifat-sifat Relasi
Level Mudah
1. A={1,2,3}. R={(1,1),(2,2),(3,3)}. Sebutkan sifat R!
2. Apakah relasi “>” pada ℕ bersifat refleksif? Jelaskan!
3. R = {(1,2),(2,1)} pada A={1,2}. Apakah simetris?
4. Relasi “=” pada A={a,b,c}. Sebutkan semua sifatnya!
5. R = {(1,2),(2,3)} pada A={1,2,3}. Apakah transitif?
Level Sedang
1. A={1,2,3,4}. R: “a+b genap”. Tentukan semua sifat R!
2. Relasi “⊆” pada himpunan kuasa P({1,2}). Tentukan sifat-sifatnya!
3. A={1,2,3,4,5,6}. R: “a mod 2 = b mod 2”. Buktikan R relasi ekuivalensi!
4. R = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3)} pada A={1,2,3}. Tentukan sifat-sifat R!
5. Berikan contoh relasi pada A={1,2,3} yang simetris tapi tidak refleksif!
Level Sulit
1. Buktikan relasi “sebangun” pada himpunan segitiga adalah relasi ekuivalensi!
2. A={1,2,…,n}. Berapa banyak relasi refleksif pada A? (nyatakan dalam n)
3. Tentukan relasi terkecil pada {1,2,3,4} yang refleksif, simetris, transitif, dan memuat (1,2) dan (3,4)!
4. Relasi R pada ℤ: “a R b ⟺ 3|(a²−b²)”. Apakah R relasi ekuivalensi?
5. A = {1,2,…,12}. R: “a mod 4 = b mod 4”. Tentukan kelas ekuivalensi dan partisi A!
Fungsi
FUNGSI MATEMATIKA
Kelas VIII SMP — Materi Lengkap, Contoh Soal & Latihan
1. Definisi Fungsi
📖 Pengertian
Fungsi (Pemetaan) adalah relasi khusus dari himpunan A ke himpunan B yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.
Jika f adalah fungsi dari A ke B, ditulis:
Syarat suatu relasi menjadi fungsi:
- Setiap anggota domain (A) harus memiliki pasangan
- Setiap anggota domain dipasangkan dengan tepat satu anggota kodomain (B)
📊 Diagram Panah: Fungsi vs Bukan Fungsi
✅ Ini FUNGSI
Setiap anggota A punya tepat 1 pasangan
❌ Ini BUKAN Fungsi
Anggota “3” tidak punya pasangan & “1” punya 2 pasangan
📝 Contoh Soal — Definisi Fungsi
🟢 Tingkat Mudah
1. Diketahui A = {1, 2, 3} dan B = {a, b, c}. Relasi: {(1,a), (2,b), (3,c)}. Apakah relasi tersebut fungsi?
Pembahasan
Periksa syarat fungsi:
- 1 → a (tepat 1 pasangan) ✅
- 2 → b (tepat 1 pasangan) ✅
- 3 → c (tepat 1 pasangan) ✅
Jawaban: Ya, merupakan fungsi karena setiap anggota A dipasangkan tepat satu anggota B.
2. A = {p, q, r}, B = {1, 2}. Relasi: {(p,1), (q,1), (r,2)}. Fungsi atau bukan?
Pembahasan
Setiap anggota A memiliki tepat satu pasangan di B:
- p → 1 ✅
- q → 1 ✅
- r → 2 ✅
Jawaban: Ya, merupakan fungsi. (Boleh beberapa anggota A menuju anggota B yang sama)
3. A = {1, 2, 3}, B = {x, y}. Relasi: {(1,x), (3,y)}. Apakah fungsi?
Pembahasan
Anggota 2 ∈ A tidak memiliki pasangan di B.
Jawaban: Bukan fungsi karena ada anggota domain yang tidak punya pasangan.
4. A = {a, b}, B = {1, 2, 3}. Relasi: {(a,1), (a,2), (b,3)}. Fungsi?
Pembahasan
Anggota “a” dipasangkan ke 1 dan 2 (dua pasangan).
Jawaban: Bukan fungsi karena anggota a memiliki lebih dari satu pasangan.
5. Sebutkan 3 syarat relasi agar disebut fungsi!
Pembahasan
- Setiap anggota domain harus punya pasangan
- Setiap anggota domain dipasangkan tepat satu anggota kodomain
- Boleh ada anggota kodomain yang tidak memiliki pasangan (bukan range)
🟡 Tingkat Sedang
1. A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c}. Tentukan domain, kodomain, dan range dari fungsi f = {(1,a), (2,b), (3,a), (4,c)}.
Pembahasan
- Domain = {1, 2, 3, 4} (himpunan asal)
- Kodomain = {a, b, c} (himpunan kawan)
- Range = {a, b, c} (anggota B yang menjadi pasangan) → kebetulan semua terpasang
2. Dari diagram panah berikut, tentukan apakah merupakan fungsi:
Pembahasan
f = {(a,1), (b,2), (c,1)}. Setiap anggota domain punya tepat 1 pasangan.
Jawaban: Ya, merupakan fungsi. Range = {1, 2}.
3. Diberikan A = {1, 2, 3} dan B = {4, 5, 6, 7}. Relasi “kurang dari”. Tuliskan himpunan pasangan berurutan dan tentukan apakah fungsi!
Pembahasan
Pasangan: 1 < 4,5,6,7 → (1,4),(1,5),(1,6),(1,7)
Anggota 1 memiliki 4 pasangan.
Jawaban: Bukan fungsi karena anggota domain memiliki lebih dari 1 pasangan.
4. Manakah yang merupakan fungsi dari himpunan pasangan berikut?
(i) {(1,2),(2,3),(3,4)}
(ii) {(1,2),(1,3),(2,4)}
(iii) {(a,1),(b,1),(c,1)}
Pembahasan
(i) Fungsi ✅ — setiap domain punya 1 pasangan
(ii) Bukan fungsi ❌ — anggota 1 punya 2 pasangan (2 dan 3)
(iii) Fungsi ✅ — setiap domain punya tepat 1 pasangan (semua ke 1)
5. Diketahui fungsi f dari A = {1,2,3,4} ke B = {a,b,c,d,e} dengan f = {(1,b),(2,d),(3,a),(4,e)}. Tentukan range dan anggota kodomain yang bukan range!
Pembahasan
Range = {b, d, a, e} = {a, b, d, e}
Anggota kodomain yang bukan range = {c}
🔴 Tingkat Sulit
1. Diketahui A = {x | x bilangan asli, x ≤ 5} dan B = {y | y bilangan asli, y ≤ 10}. Relasi “dua kali dari”. Tentukan apakah relasi tersebut fungsi dan tentukan range-nya!
Pembahasan
A = {1,2,3,4,5}, B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
Relasi “dua kali dari” → a dipasangkan ke 2a:
f = {(1,2),(2,4),(3,6),(4,8),(5,10)}
Setiap anggota A punya tepat 1 pasangan ✅
Jawaban: Ya, fungsi. Range = {2,4,6,8,10}
2. Fungsi f : A → B dengan A = {−2,−1,0,1,2} ditentukan oleh rumus f(x) = x² + 1. Tentukan B (kodomain minimal) agar f merupakan fungsi dan tentukan range!
Pembahasan
Hitung nilai f(x) untuk setiap x ∈ A:
- f(−2) = 4 + 1 = 5
- f(−1) = 1 + 1 = 2
- f(0) = 0 + 1 = 1
- f(1) = 1 + 1 = 2
- f(2) = 4 + 1 = 5
Range = {1, 2, 5}
Kodomain minimal B = {1, 2, 5} (atau himpunan yang memuat semua anggota range)
3. Diberikan himpunan A dengan n(A) = 3 dan B dengan n(B) = 2. Berapa banyak relasi dari A ke B yang merupakan fungsi?
Pembahasan
Setiap anggota A harus dipasangkan tepat 1 anggota B.
Setiap anggota A punya 2 pilihan (anggota B).
Banyak fungsi = 2 × 2 × 2 = 2³ = 8 fungsi
4. Tentukan semua kemungkinan fungsi dari A = {1, 2} ke B = {a, b, c}!
Pembahasan
Anggota 1 bisa ke: a, b, atau c (3 pilihan)
Anggota 2 bisa ke: a, b, atau c (3 pilihan)
Total = 3 × 3 = 9 fungsi:
{(1,a),(2,a)}, {(1,a),(2,b)}, {(1,a),(2,c)}, {(1,b),(2,a)}, {(1,b),(2,b)}, {(1,b),(2,c)}, {(1,c),(2,a)}, {(1,c),(2,b)}, {(1,c),(2,c)}
5. Diketahui f : ℝ → ℝ dengan f(x) = 2x − 3. Buktikan bahwa f adalah fungsi dengan menunjukkan bahwa setiap x memiliki tepat satu nilai f(x)!
Pembahasan
Bukti:
Ambil sembarang x₁, x₂ ∈ ℝ dengan x₁ = x₂
f(x₁) = 2x₁ − 3 dan f(x₂) = 2x₂ − 3
Karena x₁ = x₂, maka 2x₁ − 3 = 2x₂ − 3, sehingga f(x₁) = f(x₂)
Ini menunjukkan bahwa untuk setiap input x yang sama, output-nya selalu sama (tepat satu). Selain itu, untuk setiap x ∈ ℝ, selalu ada nilai 2x − 3 ∈ ℝ.
∴ f(x) = 2x − 3 adalah fungsi. ∎
✏️ Latihan Soal — Definisi Fungsi
🟢 Mudah
- A = {a,b,c}, B = {1,2,3}. Relasi = {(a,1),(b,2),(c,3)}. Apakah fungsi?
- A = {1,2}, B = {p,q,r}. Relasi = {(1,p),(2,q)}. Apakah fungsi?
- A = {x,y,z}, B = {1,2}. Relasi = {(x,1),(y,2)}. Apakah fungsi? Jelaskan!
- Apa perbedaan relasi dan fungsi?
- A = {1,2,3}, B = {a,b}. Relasi = {(1,a),(2,a),(3,a)}. Fungsi atau bukan?
🟡 Sedang
- A = {1,2,3,4}, B = {a,b,c}. Tentukan satu contoh fungsi dan satu contoh bukan fungsi dari A ke B!
- Dari himpunan pasangan {(2,4),(3,6),(4,8),(5,10)}, tentukan domain, kodomain minimal, dan range!
- Gambarkan diagram panah dari fungsi f = {(a,2),(b,3),(c,2),(d,1)} dengan A={a,b,c,d} dan B={1,2,3,4}!
- Jika A = {bilangan prima < 10} dan B = {bilangan genap < 20}, tentukan relasi “setengah dari” dan apakah merupakan fungsi!
- Suatu fungsi f : A → B dengan A = {1,2,3,4,5}. Jika f(x) = x + 3, tentukan B minimal dan range!
🔴 Sulit
- Tentukan semua fungsi yang mungkin dari A = {1,2,3} ke B = {a,b}!
- Jika n(A) = 4 dan n(B) = 3, berapa banyak fungsi yang mungkin dari A ke B?
- Diberikan f(x) = x² − 2x + 1 dengan domain A = {−1,0,1,2,3}. Tentukan range dan buktikan f adalah fungsi!
- Apakah relasi “faktor dari” dari A = {1,2,3,4} ke B = {4,6,8,12} merupakan fungsi? Jelaskan!
- Jika f : A → B fungsi surjektif (onto) dengan n(A) = 4, n(B) = 2, berapa banyak fungsi surjektif yang mungkin?
2. Notasi dan Nilai Fungsi
📖 Notasi Fungsi
Fungsi dinyatakan dengan notasi:
f : x → ax + b (dibaca: “f memetakan x ke ax + b”)
f(x) = ax + b (dibaca: “f dari x sama dengan ax + b”)
Keterangan:
- f = nama fungsi
- x = variabel bebas (anggota domain)
- f(x) = nilai fungsi / bayangan dari x
- a = koefisien, b = konstanta
📊 Tabel Nilai Fungsi
Contoh: f(x) = 2x + 1
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = 2x+1 | −3 | −1 | 1 | 3 | 5 | 7 |
📈 Grafik Fungsi Linear
Grafik f(x) = 2x + 1:
📝 Contoh Soal — Notasi dan Nilai Fungsi
🟢 Tingkat Mudah
1. Jika f(x) = 3x + 2, tentukan f(4)!
Pembahasan
f(4) = 3(4) + 2 = 12 + 2 = 14
2. Jika f(x) = x − 5, tentukan f(0)!
Pembahasan
f(0) = 0 − 5 = −5
3. Jika f(x) = 2x, tentukan f(−3)!
Pembahasan
f(−3) = 2(−3) = −6
4. Jika f(x) = x + 7, tentukan f(−2)!
Pembahasan
f(−2) = −2 + 7 = 5
5. Jika f(x) = 4x − 1, tentukan f(1) dan f(2)!
Pembahasan
f(1) = 4(1) − 1 = 3
f(2) = 4(2) − 1 = 7
Jawaban: f(1) = 3, f(2) = 7
🟡 Tingkat Sedang
1. Jika f(x) = 2x² − 3x + 1, tentukan f(2)!
Pembahasan
f(2) = 2(2)² − 3(2) + 1 = 2(4) − 6 + 1 = 8 − 6 + 1 = 3
2. Jika f(x) = 3x − 1, tentukan nilai x jika f(x) = 11!
Pembahasan
f(x) = 11
3x − 1 = 11
3x = 12
x = 4
3. Diketahui f(x) = ax + 3. Jika f(2) = 9, tentukan nilai a!
Pembahasan
f(2) = a(2) + 3 = 9
2a + 3 = 9
2a = 6
a = 3
4. Jika f(x) = x² + 2x, tentukan f(−1) + f(3)!
Pembahasan
f(−1) = (−1)² + 2(−1) = 1 − 2 = −1
f(3) = (3)² + 2(3) = 9 + 6 = 15
f(−1) + f(3) = −1 + 15 = 14
5. Fungsi f(x) = 2x + b. Jika f(3) = 10, tentukan rumus fungsi dan hitung f(5)!
Pembahasan
f(3) = 2(3) + b = 10 → 6 + b = 10 → b = 4
Jadi f(x) = 2x + 4
f(5) = 2(5) + 4 = 14
🔴 Tingkat Sulit
1. Diketahui f(x) = ax + b. Jika f(1) = 5 dan f(3) = 11, tentukan a dan b!
Pembahasan
f(1) = a + b = 5 … (1)
f(3) = 3a + b = 11 … (2)
Eliminasi: (2)−(1): 2a = 6 → a = 3
Substitusi: 3 + b = 5 → b = 2
Jawaban: a = 3, b = 2 → f(x) = 3x + 2
2. Jika f(x) = x² − 4x + 3, tentukan nilai x agar f(x) = 0!
Pembahasan
x² − 4x + 3 = 0
(x − 1)(x − 3) = 0
x = 1 atau x = 3
3. Diketahui f(x) = 2x − 1 dan g(x) = x + 3. Tentukan nilai x jika f(x) = g(x)!
Pembahasan
2x − 1 = x + 3
2x − x = 3 + 1
x = 4
Verifikasi: f(4) = 7, g(4) = 7 ✅
4. Jika f(x) = 3x − 2, tentukan f(2a + 1)!
Pembahasan
f(2a + 1) = 3(2a + 1) − 2
= 6a + 3 − 2
= 6a + 1
5. Diketahui f(x) = ax² + bx + c dengan f(0) = 1, f(1) = 6, dan f(−1) = 2. Tentukan a, b, dan c!
Pembahasan
f(0) = c = 1
f(1) = a + b + c = 6 → a + b = 5 … (1)
f(−1) = a − b + c = 2 → a − b = 1 … (2)
Dari (1)+(2): 2a = 6 → a = 3
Dari (1): 3 + b = 5 → b = 2
Jawaban: a = 3, b = 2, c = 1 → f(x) = 3x² + 2x + 1
✏️ Latihan Soal — Notasi dan Nilai Fungsi
🟢 Mudah
- Jika f(x) = 5x − 3, tentukan f(2)!
- Jika f(x) = x + 10, tentukan f(−4)!
- Jika f(x) = −2x + 1, tentukan f(0)!
- Jika f(x) = 4x, tentukan f(−5)!
- Jika f(x) = x − 8, tentukan f(8)!
🟡 Sedang
- Jika f(x) = x² − 1, tentukan f(3) dan f(−3)!
- Jika f(x) = 2x + a dan f(4) = 11, tentukan a!
- Jika f(x) = 3x − 7, tentukan x jika f(x) = 8!
- Tentukan f(−2) + f(5) jika f(x) = x² − 3x!
- Buat tabel nilai fungsi f(x) = −x + 4 untuk x = {−2,−1,0,1,2,3}!
🔴 Sulit
- Diketahui f(x) = ax + b, f(2) = 7, f(5) = 16. Tentukan f(x)!
- Jika f(x) = x² − 5x + 6, tentukan x agar f(x) = 0!
- Diketahui f(x) = 4x − 3. Tentukan f(a+2) dalam bentuk sederhana!
- Jika f(x) = 2x + 1 dan f(a) = f(a+1) − 2, buktikan persamaan ini benar untuk semua a!
- Tentukan rumus f(x) = ax² + bx + c jika f(0) = −2, f(1) = 1, f(2) = 8!
3. Sifat-sifat Fungsi
📖 Jenis-jenis Fungsi
1. Fungsi Injektif (Satu-satu)
Setiap anggota kodomain dipasangkan dengan paling banyak satu anggota domain.
Jika f(a) = f(b), maka a = b
Tidak ada 2 panah menuju titik yang sama
2. Fungsi Surjektif (Onto)
Setiap anggota kodomain memiliki paling sedikit satu pasangan dari domain (Range = Kodomain).
Semua anggota B terpasangkan (tidak ada yang tersisa)
3. Fungsi Bijektif (Korespondensi satu-satu)
Fungsi yang bersifat injektif sekaligus surjektif. n(A) = n(B).
Pasangan sempurna satu-satu, n(A) = n(B)
📝 Contoh Soal — Sifat-sifat Fungsi
🟢 Tingkat Mudah
1. f = {(1,a),(2,b),(3,c)} dari A={1,2,3} ke B={a,b,c}. Tentukan jenis fungsinya!
Pembahasan
• Injektif? Tidak ada 2 anggota A yang menuju anggota B yang sama ✅
• Surjektif? Semua anggota B terpasangkan ✅
Jawaban: Fungsi Bijektif (injektif + surjektif)
2. f = {(1,a),(2,a),(3,b)} dari A={1,2,3} ke B={a,b}. Tentukan jenis fungsinya!
Pembahasan
• Injektif? 1 dan 2 keduanya menuju a → TIDAK injektif
• Surjektif? Range = {a,b} = Kodomain ✅
Jawaban: Surjektif (tapi bukan injektif)
3. f = {(1,a),(2,b)} dari A={1,2} ke B={a,b,c}. Tentukan jenis fungsinya!
Pembahasan
• Injektif? Setiap elemen B dipasangkan paling banyak 1 ✅
• Surjektif? c tidak memiliki pasangan → TIDAK surjektif
Jawaban: Injektif (tapi bukan surjektif)
4. Apa syarat fungsi bijektif?
Pembahasan
Syarat bijektif:
- Injektif (satu-satu): tidak ada 2 domain ke kodomain yang sama
- Surjektif (onto): semua kodomain punya pasangan
- Konsekuensi: n(A) = n(B)
5. f = {(a,1),(b,1),(c,1)} dari {a,b,c} ke {1,2,3}. Injektif? Surjektif?
Pembahasan
• Injektif? a,b,c semua menuju 1 → TIDAK injektif
• Surjektif? Range = {1}, kodomain = {1,2,3} → TIDAK surjektif
Jawaban: Tidak injektif dan tidak surjektif
🟡 Tingkat Sedang
1. f(x) = 2x + 1 dari A = {1,2,3} ke B = {3,5,7,9}. Tentukan sifat fungsi!
Pembahasan
f(1)=3, f(2)=5, f(3)=7. Range={3,5,7}
• Injektif? Semua hasil berbeda ✅
• Surjektif? 9∈B tidak ada pasangan → TIDAK
Jawaban: Injektif tapi bukan surjektif
2. f(x) = x² dari A = {−2,−1,0,1,2} ke B = {0,1,4}. Tentukan sifat fungsi!
Pembahasan
f(−2)=4, f(−1)=1, f(0)=0, f(1)=1, f(2)=4
• Injektif? f(−2)=f(2)=4 tapi −2≠2 → TIDAK injektif
• Surjektif? Range={0,1,4}=Kodomain ✅
Jawaban: Surjektif tapi bukan injektif
3. Tentukan apakah f(x) = 3x − 1 dari ℝ ke ℝ bersifat injektif!
Pembahasan
Misalkan f(a) = f(b):
3a − 1 = 3b − 1
3a = 3b → a = b
Karena f(a)=f(b) mengakibatkan a=b, maka f injektif ✅
4. A = {1,2,3,4}, B = {p,q}. Berikan contoh fungsi surjektif dari A ke B!
Pembahasan
Fungsi surjektif → semua anggota B harus terpasangkan
Contoh: f = {(1,p),(2,q),(3,p),(4,q)}
Range = {p,q} = Kodomain ✅
5. Apakah fungsi f(x) = |x| dari {−2,−1,0,1,2} ke {0,1,2} bersifat bijektif?
Pembahasan
f(−2)=2, f(−1)=1, f(0)=0, f(1)=1, f(2)=2
n(A)=5, n(B)=3 → n(A) ≠ n(B)
• Injektif? f(−1)=f(1)=1 → TIDAK
• Surjektif? Range={0,1,2}=B ✅
Jawaban: Surjektif tapi BUKAN bijektif (karena tidak injektif)
🔴 Tingkat Sulit
1. Buktikan f(x) = 2x + 3 dari ℝ ke ℝ adalah fungsi bijektif!
Pembahasan
Bukti Injektif:
Misal f(a)=f(b): 2a+3=2b+3 → 2a=2b → a=b ✅
Bukti Surjektif:
Ambil sembarang y∈ℝ. Cari x agar f(x)=y:
2x+3=y → x=(y−3)/2 ∈ ℝ
Untuk setiap y ada x=(y−3)/2 sehingga f(x)=y ✅
∴ f bijektif ∎
2. f(x) = x² dari ℝ ke ℝ. Apakah injektif? Apakah surjektif? Jelaskan!
Pembahasan
Injektif? f(2)=4=f(−2) tapi 2≠−2. TIDAK injektif ❌
Surjektif? Tidak ada x∈ℝ sehingga x²=−1 (karena x²≥0). TIDAK surjektif ❌
Jawaban: Tidak injektif dan tidak surjektif
3. Jika n(A)=4 dan n(B)=4, berapa banyak fungsi bijektif dari A ke B?
Pembahasan
Fungsi bijektif = permutasi (setiap anggota A dipasangkan unik ke B)
Anggota pertama A: 4 pilihan
Anggota kedua A: 3 pilihan (1 sudah terpakai)
Anggota ketiga A: 2 pilihan
Anggota keempat A: 1 pilihan
Banyak fungsi bijektif = 4! = 4×3×2×1 = 24
4. Tentukan semua nilai a agar f(x) = ax + 2 dari {1,2,3} ke {5,8,11} merupakan fungsi bijektif!
Pembahasan
Agar bijektif, range harus = kodomain = {5,8,11}
f(1)=a+2, f(2)=2a+2, f(3)=3a+2
Himpunan {a+2, 2a+2, 3a+2} = {5, 8, 11}
Coba a=3: {5, 8, 11} = {5, 8, 11} ✅
Jawaban: a = 3
5. Diberikan A = {1,2,3,4,5}, B = {1,2,3}. Berapa banyak fungsi surjektif dari A ke B?
Pembahasan
Total fungsi dari A ke B = 3⁵ = 243
Fungsi yang range-nya hanya 1 elemen = 3 (semua ke 1, semua ke 2, semua ke 3)
Fungsi yang range-nya tepat 2 elemen = C(3,2) × (2⁵ − 2) = 3 × 30 = 90
Fungsi surjektif = Total − (hanya 1 elemen) − (tepat 2 elemen)
= 243 − 3 − 90 = 150
✏️ Latihan Soal — Sifat-sifat Fungsi
🟢 Mudah
- f = {(a,1),(b,2),(c,3)} dari {a,b,c} ke {1,2,3}. Injektif? Surjektif? Bijektif?
- f = {(1,x),(2,x),(3,y)} dari {1,2,3} ke {x,y,z}. Tentukan sifatnya!
- Apa perbedaan fungsi injektif dan surjektif?
- f = {(p,1),(q,2),(r,3),(s,4)} dari {p,q,r,s} ke {1,2,3,4}. Bijektif?
- Apakah mungkin fungsi bijektif jika n(A) ≠ n(B)? Jelaskan!
🟡 Sedang
- f(x) = x + 5 dari {1,2,3} ke {6,7,8,9}. Tentukan sifat fungsinya!
- Berikan contoh fungsi dari {1,2,3} ke {a,b} yang surjektif!
- f(x) = 2x dari {1,2,3,4} ke {2,4,6,8}. Bijektif?
- f(x) = x² dari {−3,−2,−1,0,1,2,3} ke {0,1,4,9}. Injektif?
- Tentukan apakah f(x) = −x + 5 dari ℤ ke ℤ injektif!
🔴 Sulit
- Buktikan f(x) = 5x − 7 dari ℝ ke ℝ bijektif!
- Berapa banyak fungsi bijektif dari himpunan 5 elemen ke himpunan 5 elemen?
- Jika n(A)=3, n(B)=2, berapa banyak fungsi surjektif dari A ke B?
- Apakah f(x) = x³ dari ℝ ke ℝ bijektif? Buktikan!
- Diberikan f(x) = 2x − 1 dari {1,2,3,4,5} ke B. Tentukan B minimal agar f surjektif!
4. Menentukan Banyak Pemetaan
📖 Rumus Banyak Pemetaan
Banyak fungsi dari A ke B = n(B)n(A)
dengan n(A) = banyak anggota A, n(B) = banyak anggota B
Penjelasan:
Setiap anggota domain A punya n(B) pilihan untuk dipasangkan. Karena ada n(A) anggota yang masing-masing memilih secara independen:
n(B) × n(B) × … × n(B) = n(B)n(A)
(sebanyak n(A) kali)
📊 Tabel Ringkasan
| n(A) | n(B) | Banyak Fungsi | Rumus |
|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 4 | 2² = 4 |
| 2 | 3 | 9 | 3² = 9 |
| 3 | 2 | 8 | 2³ = 8 |
| 3 | 3 | 27 | 3³ = 27 |
| 3 | 4 | 64 | 4³ = 64 |
| 4 | 2 | 16 | 2⁴ = 16 |
| 4 | 3 | 81 | 3⁴ = 81 |
📖 Rumus Tambahan
Banyak fungsi bijektif (jika n(A) = n(B) = n):
n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 1
Banyak fungsi surjektif dari A ke B (n(A) ≥ n(B)):
Menggunakan prinsip inklusi-eksklusi
= Σ(−1)k C(n(B),k) × (n(B)−k)n(A)
📝 Contoh Soal — Banyak Pemetaan
🟢 Tingkat Mudah
1. A = {1,2}, B = {a,b,c}. Berapa banyak fungsi dari A ke B?
Pembahasan
n(A) = 2, n(B) = 3
Banyak fungsi = n(B)n(A) = 3² = 9
2. A = {p,q,r}, B = {1,2}. Berapa banyak fungsi dari A ke B?
Pembahasan
n(A) = 3, n(B) = 2
Banyak fungsi = 2³ = 8
3. A memiliki 2 anggota, B memiliki 2 anggota. Berapa banyak pemetaan?
Pembahasan
Banyak fungsi = 2² = 4
4. n(A) = 1, n(B) = 5. Berapa banyak fungsi dari A ke B?
Pembahasan
Banyak fungsi = 5¹ = 5
(Satu-satunya anggota A punya 5 pilihan)
5. A = {a,b,c,d}, B = {1,2}. Berapa banyak pemetaan?
Pembahasan
n(A) = 4, n(B) = 2
Banyak fungsi = 2⁴ = 16
🟡 Tingkat Sedang
1. A = {bilangan prima < 8}, B = {huruf vokal}. Berapa banyak fungsi dari A ke B?
Pembahasan
A = {2,3,5,7} → n(A) = 4
B = {a,i,u,e,o} → n(B) = 5
Banyak fungsi = 5⁴ = 625
2. Banyak fungsi dari A ke B adalah 27. Jika n(A) = 3, tentukan n(B)!
Pembahasan
n(B)n(A) = 27
n(B)³ = 27
n(B) = ³√27 = 3
3. Banyak pemetaan dari A ke B = 16. Jika n(B) = 2, tentukan n(A)!
Pembahasan
2n(A) = 16
2n(A) = 2⁴
n(A) = 4
4. A = {1,2,3}, B = {1,2,3}. Berapa banyak fungsi bijektif dari A ke B?
Pembahasan
n(A) = n(B) = 3
Banyak fungsi bijektif = 3! = 3 × 2 × 1 = 6
5. Banyak fungsi dari A ke B adalah 32. Tentukan kemungkinan n(A) dan n(B)!
Pembahasan
n(B)n(A) = 32 = 2⁵
Kemungkinan: n(B) = 2, n(A) = 5 → 2⁵ = 32 ✅
Atau: n(B) = 32, n(A) = 1 → 32¹ = 32 ✅
Jawaban paling umum: n(A) = 5, n(B) = 2
🔴 Tingkat Sulit
1. A = {1,2,3,4,5}, B = {a,b,c}. Berapa banyak fungsi surjektif dari A ke B?
Pembahasan
Gunakan inklusi-eksklusi:
Total = 3⁵ = 243
Yang range tepat 1 elemen: C(3,1)×1⁵ − … → menggunakan rumus:
Surjektif = Σ(−1)k C(3,k)(3−k)⁵
= C(3,0)×3⁵ − C(3,1)×2⁵ + C(3,2)×1⁵ − C(3,3)×0⁵
= 243 − 3(32) + 3(1) − 0
= 243 − 96 + 3 = 150
2. Dari 5 orang siswa akan dipilih ketua, wakil, dan sekretaris. Berapa banyak cara?
Pembahasan
Ini sama dengan fungsi injektif dari {ketua, wakil, sekretaris} ke {5 siswa}
= P(5,3) = 5 × 4 × 3 = 60 cara
3. n(A) = n, n(B) = n. Banyak fungsi bijektif = 120. Tentukan n!
Pembahasan
Banyak bijektif = n! = 120
5! = 5×4×3×2×1 = 120 ✅
Jawaban: n = 5
4. Banyak fungsi dari A ke B = 256. Banyak fungsi dari B ke A = 81. Tentukan n(A) dan n(B)!
Pembahasan
n(B)n(A) = 256 … (1)
n(A)n(B) = 81 … (2)
Dari (2): 81 = 3⁴ → kemungkinan n(A)=3, n(B)=4
Cek (1): 4³ = 64 ≠ 256 ❌
Coba n(A)=4, n(B)=4: 4⁴=256 ✅, 4⁴=256 ≠ 81 ❌
Coba n(A)=81, n(B)=… → terlalu besar
Coba n(A)=3, n(B)=… → n(B)³=256 → bukan bilangan bulat
Coba (1): 256=4⁴ → n(B)=4, n(A)=4. Tapi (2): 4⁴=256≠81
Coba 256=2⁸ → n(B)=2, n(A)=8. (2): 8²=64≠81 ❌
Coba 256=16² → n(B)=16, n(A)=2. (2): 2¹⁶≠81 ❌
Hmm… 81=3⁴ → n(A)=3,n(B)=4: cek 4³=64≠256
256=4⁴ jadi n(B)=4,n(A)=4 tapi cek ulang 4⁴=256✅ dan 4⁴=256≠81
Jawaban: n(A)=4, n(B)=4 TIDAK konsisten. Soal perlu diperiksa ulang atau: n(A)=2, n(B)=16 → 16²=256✅, 2¹⁶≠81. Kemungkinan: n(A)=4,n(B)=4 hanya memenuhi persamaan pertama.
Koreksi soal: Jika 256 dan 64 → n(A)=3, n(B)=4 (4³=64, 3⁴=81). n(A)=3, n(B)=4 memenuhi: B^A=4³=64 dan A^B=3⁴=81.
5. A = {1,2,3,4}, B = {a,b,c,d}. Berapa banyak fungsi injektif (bukan bijektif) dari A ke B?
Pembahasan
Karena n(A) = n(B) = 4, setiap fungsi injektif pasti surjektif juga (bijektif)
Banyak injektif = P(4,4) = 4! = 24
Semua fungsi injektif = fungsi bijektif
Jawaban: Tidak ada fungsi injektif yang bukan bijektif. Semua 24 fungsi injektif adalah bijektif.
✏️ Latihan Soal — Banyak Pemetaan
🟢 Mudah
- A = {a,b}, B = {1,2,3,4}. Berapa banyak fungsi dari A ke B?
- n(A) = 3, n(B) = 3. Berapa banyak pemetaan dari A ke B?
- A = {x,y,z}, B = {p,q}. Hitung banyak fungsi!
- n(A) = 4, n(B) = 1. Berapa banyak fungsi dari A ke B?
- A = {1,2,3,4,5}, B = {a,b}. Berapa banyak pemetaan?
🟡 Sedang
- Banyak fungsi dari A ke B = 64. Jika n(A) = 3, tentukan n(B)!
- Banyak fungsi dari A ke B = 125. Jika n(B) = 5, tentukan n(A)!
- A = {1,2,3,4}, B = {a,b,c,d}. Berapa banyak fungsi bijektif?
- Jika n(A) = n(B) = 4, berapa selisih banyak fungsi total dengan banyak fungsi bijektif?
- A = {huruf dalam kata “BOLA”}, B = {1,2,3}. Berapa banyak fungsi dari A ke B?
🔴 Sulit
- n(A) = n, n(B) = n. Banyak fungsi bijektif = 720. Tentukan n!
- A = {1,2,3}, B = {a,b}. Berapa banyak fungsi surjektif dari A ke B?
- Dari 6 siswa dipilih 3 orang untuk menjadi ketua, wakil, sekretaris. Berapa banyak cara? (Gunakan konsep fungsi injektif)
- n(B)n(A) = 625 dan n(A)n(B) = 256. Tentukan n(A) dan n(B)!
- A = {1,2,3,4}, B = {x,y,z}. Berapa banyak fungsi yang BUKAN surjektif?
Korespondensi Satu-satu
Korespondensi Satu-satu
Materi Lengkap · Contoh Soal · Latihan
📖 Pengertian Korespondensi Satu-satu
Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang memiliki jumlah anggota sama, yaitu n(A) = n(B). Korespondensi satu-satu dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu pemasangan (fungsi bijektif) sehingga:
- Setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B
- Setiap anggota B dipasangkan dengan tepat satu anggota A
- Tidak ada anggota yang tersisa di kedua himpunan
Diagram Panah — Korespondensi Satu-satu
Perhatikan A = {1, 2, 3} dan B = {a, b, c}. Berikut contoh korespondensi satu-satu:
1→a, 2→b, 3→c (Korespondensi satu-satu ✓)
Contoh Bukan Korespondensi Satu-satu
1→a, 2→a, 3→c — b tidak memiliki pasangan ✗
Notasi Himpunan Pasangan Berurutan
Korespondensi satu-satu dapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan berurutan:
Tabel Korespondensi
| x (Anggota A) | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| f(x) (Anggota B) | a | b | c |
✏️ Contoh Soal — Pengertian
Mudah
1. Diketahui A = {p, q} dan B = {1, 2}. Tentukan apakah f = {(p,1), (q,2)} merupakan korespondensi satu-satu!
Pembahasan:
• n(A) = 2, n(B) = 2 → jumlah anggota sama ✓
• p dipasangkan ke 1, q dipasangkan ke 2 → setiap anggota A punya tepat 1 pasangan di B ✓
• 1 dipasangkan dari p, 2 dipasangkan dari q → setiap anggota B punya tepat 1 pasangan di A ✓
Jawaban: Ya, f adalah korespondensi satu-satu.
2. A = {a} dan B = {x}. Berapa banyak korespondensi satu-satu yang mungkin?
Pembahasan:
n(A) = n(B) = 1. Hanya ada 1 cara memasangkan: a→x.
Banyak korespondensi satu-satu = 1! = 1
3. Diketahui A = {1, 2, 3} dan B = {4, 5}. Apakah mungkin membuat korespondensi satu-satu dari A ke B?
Pembahasan:
n(A) = 3 dan n(B) = 2. Karena n(A) ≠ n(B), maka tidak mungkin membuat korespondensi satu-satu.
4. Perhatikan diagram berikut:
Apakah diagram di atas menunjukkan korespondensi satu-satu?
Pembahasan:
• a→2 dan b→1. Setiap anggota domain memiliki tepat satu bayangan, dan setiap anggota kodomain memiliki tepat satu kawan.
Jawaban: Ya, korespondensi satu-satu ✓
5. Nyatakan korespondensi satu-satu A = {x, y} ke B = {3, 4} dalam bentuk pasangan berurutan!
Pembahasan:
Korespondensi satu-satu yang mungkin:
f₁ = {(x, 3), (y, 4)}
f₂ = {(x, 4), (y, 3)}
Ada 2! = 2 korespondensi satu-satu.
Sedang
1. Diketahui A = {1, 2, 3} dan B = {a, b, c}. Tuliskan semua korespondensi satu-satu yang mungkin dari A ke B!
Pembahasan:
Banyak korespondensi = 3! = 6. Semua kemungkinan:
f₁ = {(1,a), (2,b), (3,c)}
f₂ = {(1,a), (2,c), (3,b)}
f₃ = {(1,b), (2,a), (3,c)}
f₄ = {(1,b), (2,c), (3,a)}
f₅ = {(1,c), (2,a), (3,b)}
f₆ = {(1,c), (2,b), (3,a)}
2. Dari fungsi f: A → B berikut, manakah yang merupakan korespondensi satu-satu?
(i) A = {1,2,3}, B = {4,5,6}, f = {(1,4),(2,5),(3,6)}
(ii) A = {1,2,3}, B = {4,5,6}, f = {(1,4),(2,4),(3,6)}
Pembahasan:
(i) Setiap anggota A memiliki tepat satu pasangan unik di B, dan sebaliknya → Korespondensi satu-satu ✓
(ii) 1 dan 2 sama-sama dipasangkan ke 4, sehingga 5 tidak memiliki kawan → Bukan korespondensi satu-satu ✗
3. Diketahui himpunan A = {merah, biru, hijau} dan B = {🔴, 🔵, 🟢}. Buatlah satu contoh korespondensi satu-satu dan tunjukkan dalam tabel!
Pembahasan:
| Warna (A) | merah | biru | hijau |
|---|---|---|---|
| Simbol (B) | 🔴 | 🔵 | 🟢 |
Setiap warna dipasangkan tepat satu simbol yang sesuai, dan sebaliknya → Korespondensi satu-satu ✓
4. Jika A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c, d}, tentukan apakah f = {(1,b), (2,d), (3,a), (4,c)} korespondensi satu-satu. Gambarkan diagramnya!
Pembahasan:
n(A) = n(B) = 4 ✓. Pemasangan: 1→b, 2→d, 3→a, 4→c.
Setiap anggota A punya tepat satu pasangan di B, dan setiap anggota B punya tepat satu kawan di A.
Jawaban: Ya, korespondensi satu-satu ✓
5. Diketahui A = {2, 4, 6} dan B = {1, 3, 5}. Relasi f: A→B didefinisikan f(x) = x − 1. Apakah f korespondensi satu-satu?
Pembahasan:
f(2) = 2−1 = 1 ✓ (1 ∈ B)
f(4) = 4−1 = 3 ✓ (3 ∈ B)
f(6) = 6−1 = 5 ✓ (5 ∈ B)
Setiap anggota A menghasilkan anggota B yang berbeda-beda → Korespondensi satu-satu ✓
Sulit
1. Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c, d}. Dari semua fungsi f: A→B, berapa banyak yang bukan korespondensi satu-satu?
Pembahasan:
Total fungsi dari A ke B = 4⁴ = 256
Banyak korespondensi satu-satu = 4! = 24
Fungsi yang bukan korespondensi satu-satu = 256 − 24 = 232
2. Himpunan A = {x | x bilangan prima, x < 12} dan B = {y | y bilangan ganjil, 1 < y < 12}. Apakah korespondensi satu-satu mungkin antara A dan B? Jelaskan!
Pembahasan:
A = {2, 3, 5, 7, 11} → n(A) = 5
B = {3, 5, 7, 9, 11} → n(B) = 5
n(A) = n(B) = 5, sehingga korespondensi satu-satu mungkin.
Contoh: {(2,3), (3,5), (5,7), (7,9), (11,11)}
3. Buktikan bahwa f: ℤ → ℤ dengan f(x) = x + 5 adalah korespondensi satu-satu.
Pembahasan:
Injektif (satu-satu): Misalkan f(a) = f(b), maka a + 5 = b + 5, sehingga a = b. ✓
Surjektif (onto): Untuk setiap y ∈ ℤ, ada x = y − 5 ∈ ℤ sehingga f(x) = (y−5) + 5 = y. ✓
Karena f injektif dan surjektif, maka f adalah bijektif (korespondensi satu-satu). ✓
4. Diketahui A = {1,2,3,4,5}. Berapa banyak korespondensi satu-satu dari A ke A sendiri (permutasi) yang memenuhi f(1) ≠ 1?
Pembahasan:
Total korespondensi satu-satu = 5! = 120
Korespondensi dengan f(1) = 1: kita permutasi sisa 4 anggota = 4! = 24
Korespondensi dengan f(1) ≠ 1 = 120 − 24 = 96
5. Tunjukkan bahwa f: ℝ → ℝ dengan f(x) = x² bukan korespondensi satu-satu, tetapi jika domain dibatasi menjadi f: [0,∞) → [0,∞), maka f adalah korespondensi satu-satu.
Pembahasan:
f: ℝ → ℝ, f(x) = x²:
Tidak injektif: f(2) = 4 = f(−2), tetapi 2 ≠ −2 → Bukan satu-satu ✗
Tidak surjektif: tidak ada x ∈ ℝ sehingga f(x) = −1 → Bukan onto ✗
f: [0,∞) → [0,∞), f(x) = x²:
Injektif: Jika f(a) = f(b), maka a² = b². Karena a,b ≥ 0, maka a = b ✓
Surjektif: Untuk setiap y ≥ 0, ada x = √y ≥ 0 sehingga f(x) = y ✓
Dengan domain terbatas, f adalah korespondensi satu-satu ✓
📝 Latihan Soal — Pengertian
Mudah
- Apakah A = {a,b} dan B = {1,2} dengan f = {(a,2),(b,1)} merupakan korespondensi satu-satu?
- Tentukan apakah korespondensi satu-satu mungkin antara A = {1,2} dan B = {3,4,5}!
- Nyatakan korespondensi satu-satu A = {m, n} ke B = {5, 6} dalam bentuk pasangan berurutan!
- Gambarkan diagram panah korespondensi satu-satu A = {x, y, z} ke B = {1, 2, 3}!
- Dari f = {(1,a),(2,b),(3,a)}, apakah f korespondensi satu-satu dari {1,2,3} ke {a,b,c}? Jelaskan!
Sedang
- Tuliskan semua korespondensi satu-satu dari {p, q, r} ke {7, 8, 9}!
- Diketahui f: {1,2,3,4} → {a,b,c,d} dengan f(1)=c, f(2)=a, f(3)=d, f(4)=b. Tunjukkan bahwa f korespondensi satu-satu!
- Jika A = {bilangan genap antara 1 dan 9} dan B = {10,20,30,40}, apakah korespondensi satu-satu mungkin?
- Buatlah tabel korespondensi satu-satu dari A = {Senin, Selasa, Rabu} ke B = {1, 2, 3}!
- Tentukan apakah f(x) = 2x dari A = {1,2,3} ke B = {2,4,6} korespondensi satu-satu!
Sulit
- Dari semua fungsi f: {1,2,3} → {a,b,c}, berapa banyak yang bukan korespondensi satu-satu?
- Tentukan semua korespondensi satu-satu f: {1,2,3,4} → {1,2,3,4} dengan f(1) = 2!
- Buktikan bahwa f: ℤ → ℤ, f(x) = 3x + 1 adalah korespondensi satu-satu pada domain dan kodomain tertentu!
- Jika A memiliki n anggota, berapa banyak fungsi dari A ke A yang bukan korespondensi satu-satu?
- Tunjukkan bahwa f: ℝ→ℝ, f(x) = |x| bukan korespondensi satu-satu. Batasi domain agar menjadi korespondensi satu-satu!