Konsep Barisan dan Deret
Barisan dan Deret
Materi Lengkap • Contoh Soal • Latihan
📐 1. Barisan Bilangan
Pengertian
Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang disusun menurut suatu aturan atau pola tertentu. Setiap bilangan dalam barisan disebut suku.
Keterangan:
- U1 = suku pertama
- U2 = suku kedua
- Un = suku ke-n (rumus umum)
Jenis-Jenis Barisan
A. Barisan Aritmetika (BA)
Barisan yang memiliki beda (b) tetap antar suku berturutan.
b = Un − Un−1
Keterangan: a = suku pertama, b = beda, n = banyak suku
Contoh: Barisan 3, 7, 11, 15, 19, …
| Suku ke- | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Un | 3 | 7 | 11 | 15 | 19 |
| Beda | — | +4 | +4 | +4 | +4 |
Grafik Barisan Aritmetika:
B. Barisan Geometri (BG)
Barisan yang memiliki rasio (r) tetap antar suku berturutan.
r = Un / Un−1
Contoh: Barisan 2, 6, 18, 54, 162, …
| Suku ke- | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Un | 2 | 6 | 18 | 54 | 162 |
| Rasio | — | ×3 | ×3 | ×3 | ×3 |
Grafik Barisan Geometri:
Contoh Soal — Barisan Bilangan
MUDAH
1. Tentukan suku ke-10 dari barisan aritmetika: 5, 8, 11, 14, …
Diketahui: a = 5, b = 8 − 5 = 3, n = 10
2. Tentukan suku ke-6 dari barisan geometri: 3, 6, 12, 24, …
Diketahui: a = 3, r = 6/3 = 2, n = 6
3. Barisan: 10, 7, 4, 1, … Tentukan beda dan suku ke-8!
b = 7 − 10 = −3
4. Barisan geometri: 5, 15, 45, … Tentukan rasio dan suku ke-5!
r = 15/5 = 3
5. Tentukan 3 suku berikutnya dari barisan: 2, 5, 8, 11, …
b = 3. Suku berikutnya: 11+3 = 14, 14+3 = 17, 17+3 = 20
SEDANG
1. Suku ke-3 barisan aritmetika = 12, suku ke-7 = 28. Tentukan suku ke-15!
U3 = a + 2b = 12 … (1)
U7 = a + 6b = 28 … (2)
(2) − (1): 4b = 16, maka b = 4
Substitusi: a + 8 = 12, maka a = 4
2. Barisan geometri memiliki U2 = 12 dan U5 = 324. Tentukan U1 dan r!
U2 = ar = 12 … (1)
U5 = ar4 = 324 … (2)
(2)/(1): r3 = 324/12 = 27, maka r = 3
3. Sisipkan 3 bilangan antara 6 dan 54 sehingga membentuk barisan aritmetika.
Barisan: 6, _, _, _, 54 → 5 suku, a = 6, U5 = 54
54 = 6 + 4b → b = 48/4 = 12
4. Suku ke-n barisan: Un = 3n² − 2n + 1. Tentukan U1, U4, dan U7!
U1 = 3(1) − 2(1) + 1 = 2
U4 = 3(16) − 2(4) + 1 = 48 − 8 + 1 = 41
5. Barisan geometri: 4, −8, 16, −32, … Tentukan suku ke-8!
a = 4, r = −8/4 = −2
SULIT
1. Jumlah suku ke-4 dan ke-8 barisan aritmetika adalah 40. Jumlah suku ke-5 dan ke-9 adalah 48. Tentukan suku ke-20!
U4 + U8 = (a+3b) + (a+7b) = 2a + 10b = 40 … (1)
U5 + U9 = (a+4b) + (a+8b) = 2a + 12b = 48 … (2)
(2)−(1): 2b = 8, b = 4. Dari (1): 2a + 40 = 40, a = 0
2. Barisan geometri memiliki U3 = 20 dan U6 = 160. Tentukan U10!
ar2 = 20 … (1), ar5 = 160 … (2)
(2)/(1): r3 = 8, r = 2
a·4 = 20, a = 5
3. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jumlahnya 27 dan jumlah kuadratnya 293. Tentukan ketiga bilangan itu!
Misalkan: (a−b), a, (a+b)
Jumlah: 3a = 27 → a = 9
Jumlah kuadrat: (9−b)² + 81 + (9+b)² = 293
2(81 + b²) + 81 = 293 → 162 + 2b² + 81 = 293 → 2b² = 50 → b² = 25 → b = ±5
4. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlahnya 26 dan hasilkalinya 216. Tentukan ketiga bilangan!
Misalkan: a/r, a, ar. Hasilkali: a³ = 216, a = 6
Jumlah: 6/r + 6 + 6r = 26 → 6/r + 6r = 20 → 6r² − 20r + 6 = 0 → 3r² − 10r + 3 = 0
r = (10 ± √(100−36))/6 = (10 ± 8)/6 → r = 3 atau r = 1/3
5. Suku ke-n barisan didefinisikan Un = 2n + n. Tentukan U1 + U2 + … + U5!
U₁ = 2+1 = 3, U₂ = 4+2 = 6, U₃ = 8+3 = 11, U₄ = 16+4 = 20, U₅ = 32+5 = 37
Latihan Soal — Barisan Bilangan
MUDAH
1. Tentukan suku ke-12 dari barisan: 4, 9, 14, 19, …
2. Tentukan rasio dan suku ke-7 dari barisan geometri: 2, 10, 50, …
3. Barisan: 20, 17, 14, 11, … Tentukan suku ke-15!
4. Tentukan 4 suku pertama jika Un = 4n − 3.
5. Barisan geometri: 1, 3, 9, 27, … Tentukan U8!
SEDANG
1. Suku ke-5 BA = 23 dan b = 4. Tentukan a dan U12!
2. BG memiliki U3 = 36 dan U6 = 972. Tentukan a dan r!
3. Sisipkan 4 bilangan antara 2 dan 64 sehingga membentuk BA.
4. Jika Un = 2n² + n − 1, tentukan U1, U5, dan U10!
5. BG: 256, −128, 64, … Tentukan suku ke-9!
SULIT
1. U4 + U10 BA = 50 dan U6 + U12 = 66. Tentukan U25!
2. Tiga bilangan BA jumlahnya 15, jumlah kuadratnya 83. Tentukan bilangan-bilangan itu!
3. BG: U4 = 24 dan U7 = 192. Tentukan U12!
4. Tiga bilangan BG jumlahnya 14 dan hasilkalinya 64. Tentukan bilangan-bilangan itu!
5. Barisan: Un = 3n − 2n. Buktikan bahwa barisan ini bukan BA maupun BG!
🔢 2. Notasi Barisan Bilangan
Notasi Sigma dan Barisan
Barisan bilangan dapat dinyatakan dalam beberapa notasi:
Contoh: {Un} = {2n + 1} → 3, 5, 7, 9, …
U1 = a, Un = f(Un−1)
Contoh BA: U₁ = 3, Un = Un−1 + 4
Contoh BG: U₁ = 2, Un = 3 · Un−1
{Un | Un = 2n − 1, n ∈ ℕ}
| Notasi | Barisan Aritmetika | Barisan Geometri |
|---|---|---|
| Eksplisit | Un = a + (n−1)b | Un = a · rn−1 |
| Rekursif | Un = Un−1 + b | Un = r · Un−1 |
| Contoh | {3, 7, 11, 15, …} | {2, 6, 18, 54, …} |
Ilustrasi Notasi Eksplisit vs Rekursif:
Eksplisit: Un = 2n + 1
Langsung hitung dari n
Rekursif: Un = Un−1 + 2
Berdasarkan suku sebelumnya
Contoh Soal — Notasi Barisan
MUDAH
1. Tuliskan 5 suku pertama dari barisan Un = 3n − 2.
U₁ = 1, U₂ = 4, U₃ = 7, U₄ = 10, U₅ = 13
2. Barisan rekursif: U₁ = 5, Un = Un−1 + 3. Tentukan U₅!
U₁=5, U₂=8, U₃=11, U₄=14, U₅=17
3. Tuliskan rumus eksplisit barisan: 4, 8, 12, 16, …
Barisan kelipatan 4: Un = 4n
4. Tuliskan rumus rekursif barisan geometri: 3, 6, 12, 24, …
5. Tentukan Un dari barisan: 1, 4, 9, 16, 25, …
Barisan kuadrat sempurna: 1², 2², 3², 4², 5², …
SEDANG
1. Tentukan rumus Un dari barisan: 2, 6, 12, 20, 30, …
Selisih: 4, 6, 8, 10 (beda berubah → bukan BA biasa)
Perhatikan: 2=1·2, 6=2·3, 12=3·4, 20=4·5, 30=5·6
2. Barisan rekursif: U₁ = 1, U₂ = 1, Un = Un−1 + Un−2. Tentukan U₈!
Ini adalah barisan Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21
3. Tentukan Un dari barisan: 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, …
Pembilang = n, Penyebut = n+1
4. Jika Un = n² − 3n, tentukan nilai n jika Un = 40!
n² − 3n = 40 → n² − 3n − 40 = 0 → (n−8)(n+5) = 0
n = 8 (n = −5 tidak memenuhi karena n ∈ ℕ)
5. Nyatakan barisan 5, 10, 20, 40, … dalam notasi rekursif dan eksplisit!
BG dengan a = 5, r = 2
Rekursif: U₁ = 5, Un = 2 · Un−1
SULIT
1. Barisan didefinisikan U₁ = 2 dan Un = 3Un−1 − 4. Tentukan U₅ dan rumus eksplisitnya!
U₁=2, U₂=3(2)−4=2, U₃=3(2)−4=2, U₄=2, U₅=2
Barisan konstan! Karena U₁ = 2 dan titik tetap: x = 3x−4 → x=2.
2. Tentukan rumus Un dari barisan: 1, 3, 7, 15, 31, …
Perhatikan: 1 = 2¹−1, 3 = 2²−1, 7 = 2³−1, 15 = 2⁴−1, 31 = 2⁵−1
3. Barisan: U₁ = 1, Un+1 = Un/(1 + Un). Tentukan U₄ dan rumus Un!
U₁=1, U₂=1/2, U₃=(1/2)/(3/2)=1/3, U₄=(1/3)/(4/3)=1/4
4. Tentukan rumus Un dari barisan: 2, 5, 10, 17, 26, …
Selisih pertama: 3, 5, 7, 9. Selisih kedua: 2, 2, 2 (konstan) → kuadratik.
Un = an² + bn + c. U₁=2: a+b+c=2. U₂=5: 4a+2b+c=5. U₃=10: 9a+3b+c=10.
Eliminasi: 3a+b=3, 5a+b=5 → 2a=2, a=1, b=0, c=1
5. Barisan: Un = (−1)n · n². Tentukan U₁ + U₂ + U₃ + … + U₁₀!
U₁=−1, U₂=4, U₃=−9, U₄=16, U₅=−25, U₆=36, U₇=−49, U₈=64, U₉=−81, U₁₀=100
Pasangkan: (−1+4)+(−9+16)+(−25+36)+(−49+64)+(−81+100) = 3+7+11+15+19
Latihan Soal — Notasi Barisan
MUDAH
1. Tuliskan 5 suku pertama dari Un = 5n + 2.
2. Tentukan rumus eksplisit barisan: 6, 12, 18, 24, …
3. U₁ = 7, Un = Un−1 − 2. Tentukan U₆!
4. Tentukan Un dari barisan: 1, 8, 27, 64, …
5. Tuliskan rumus rekursif barisan: 10, 5, 2.5, 1.25, …
SEDANG
1. Tentukan Un dari barisan: 3, 8, 15, 24, 35, …
2. Jika Un = n² + 2n, tentukan n jika Un = 63!
3. U₁ = 2, U₂ = 5, Un = 2Un−1 − Un−2. Tentukan U₇!
4. Nyatakan barisan 7, 14, 28, 56, … dalam notasi eksplisit dan rekursif!
5. Tentukan Un dari barisan: 2/1, 3/2, 4/3, 5/4, …
SULIT
1. U₁ = 3, Un = 2Un−1 + 1. Tentukan rumus eksplisit Un!
2. Tentukan Un dari barisan: 0, 3, 8, 15, 24, …
3. Barisan: Un = (−1)n+1 · (2n−1). Tentukan U₁ + U₂ + … + U₂₀!
4. U₁ = 1, Un+1 = Un² − Un + 1. Tentukan U₅!
5. Tentukan rumus Un dari barisan: 1, 5, 14, 30, 55, …
📊 3. Deret Bilangan
Pengertian
Deret bilangan adalah jumlah suku-suku dari suatu barisan bilangan.
A. Deret Aritmetika
atau
Sn = n⁄2 (U1 + Un)
Ilustrasi: Deret 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = S₅
S₅ = 5/2 × (1+5) = 5/2 × 6 = 15
B. Deret Geometri
Sn = a · (rn − 1) / (r − 1) untuk r > 1
Sn = a · (1 − rn) / (1 − r) untuk r < 1
C. Deret Geometri Tak Hingga (|r| < 1)
Hubungan Sn dan Un
U1 = S1
Contoh Soal — Deret Bilangan
MUDAH
1. Tentukan jumlah 20 suku pertama deret aritmetika: 3 + 7 + 11 + 15 + …
a = 3, b = 4, n = 20
2. Tentukan jumlah 6 suku pertama deret geometri: 2 + 6 + 18 + 54 + …
a = 2, r = 3, n = 6
3. Deret: 5 + 10 + 15 + … + 100. Tentukan jumlahnya!
a = 5, b = 5, Un = 100 → 5 + (n−1)5 = 100 → n = 20
4. Tentukan S∞ dari deret geometri: 12 + 6 + 3 + 1,5 + …
a = 12, r = 1/2 (|r| < 1, konvergen)
5. Jumlah 10 suku pertama deret: 1 + 3 + 5 + 7 + …
a = 1, b = 2, n = 10
SEDANG
1. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah Sn = 3n² + 2n. Tentukan U₁, U₅, dan b!
U₁ = S₁ = 3(1) + 2(1) = 5
Un = Sn − Sn−1 = (3n² + 2n) − (3(n−1)² + 2(n−1)) = 6n − 1
U₅ = 6(5) − 1 = 29
2. Deret geometri: S₃ = 21 dan r = 2. Tentukan a dan S₇!
S₃ = a(2³−1)/(2−1) = 7a = 21, maka a = 3
3. Tentukan S∞ dari deret: 27 − 9 + 3 − 1 + …
a = 27, r = −9/27 = −1/3
4. Jumlah 15 suku pertama deret aritmetika = 450. Jika b = 4, tentukan a!
450 = 15/2 × (2a + 14·4) → 450 = 15/2 × (2a + 56)
60 = 2a + 56 → 2a = 4 → a = 2
5. Pecahan 0,777… dapat dinyatakan sebagai deret geometri. Tentukan bentuk pecahannya!
0,777… = 0,7 + 0,07 + 0,007 + … (DG, a = 7/10, r = 1/10)
SULIT
1. Deret aritmetika memiliki S₅ = 75 dan S₁₀ = 300. Tentukan S₂₀!
S₅ = 5/2(2a+4b) = 75 → 2a+4b = 30 … (1)
S₁₀ = 10/2(2a+9b) = 300 → 2a+9b = 60 … (2)
(2)−(1): 5b = 30, b = 6. Dari (1): a = 3
2. Deret geometri tak hingga memiliki S∞ = 16 dan suku pertama = 4. Tentukan r dan S₆!
16 = 4/(1−r) → 1−r = 1/4 → r = 3/4
3. Jika Sn = 2n² − 5n, tentukan rumus Un dan buktikan bahwa deret ini aritmetika!
Un = Sn − Sn−1 = (2n²−5n) − (2(n−1)²−5(n−1))
= 2n²−5n − (2n²−4n+2−5n+5) = 2n²−5n − 2n²+9n−7 = 4n−7
Beda = Un+1 − Un = (4(n+1)−7) − (4n−7) = 4 (konstan) ✓
4. Tentukan jumlah: 1·2 + 2·3 + 3·4 + … + 20·21
Uk = k(k+1) = k² + k
Σ k(k+1) = Σk² + Σk = n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2
Dengan n = 20: = 20·21·41/6 + 20·21/2 = 2870 + 210
5. Deret geometri: a + ar + ar² + … Jika S₃ = 26 dan S₆ = 728, tentukan a dan r!
S₃ = a(r³−1)/(r−1) = 26 … (1)
S₆ = a(r⁶−1)/(r−1) = 728 … (2)
(2)/(1): (r⁶−1)/(r³−1) = 728/26 = 28
(r³+1)(r³−1)/(r³−1) = r³+1 = 28 → r³ = 27 → r = 3
Dari (1): a(27−1)/(3−1) = 13a = 26 → a = 2
Latihan Soal — Deret Bilangan
MUDAH
1. Tentukan S₁₅ dari deret: 2 + 5 + 8 + 11 + …
2. Tentukan S₅ dari deret geometri: 4 + 12 + 36 + …
3. Deret: 10 + 20 + 30 + … + 200. Tentukan jumlahnya!
4. Tentukan S∞ dari: 8 + 4 + 2 + 1 + …
5. Jumlah 8 suku pertama dari: 6 + 10 + 14 + 18 + …
SEDANG
1. Sn = 4n² − n. Tentukan U₁, Un, dan b!
2. DG: S₄ = 40 dan r = 3. Tentukan a dan S₈!
3. DA: S₈ = 180 dan a = 5. Tentukan b dan U₈!
4. Tentukan S∞ dari: 48 − 16 + 16/3 − …
5. Nyatakan 0,4545… sebagai pecahan biasa!
SULIT
1. DA: S₆ = 96 dan S₁₂ = 384. Tentukan a, b, dan S₂₄!
2. DG tak hingga: S∞ = 36 dan a = 12. Tentukan r dan S₅!
3. Tentukan jumlah: 1² + 2² + 3² + … + 15²
4. Jika Sn = n³ − 2n² + n, tentukan Un dan tunjukkan bukan DA!
5. DG: S₄ = 80 dan S₈ = 6560. Tentukan a dan r!
∑ 4. Notasi Deret Bilangan (Notasi Sigma)
Notasi Sigma
Deret bilangan dinyatakan secara ringkas menggunakan notasi sigma (Σ).
Keterangan:
- Σ = simbol sigma (penjumlahan)
- i = indeks (variabel penghitung)
- i = 1 = batas bawah
- n = batas atas
- Ui = rumus suku umum
Sifat-sifat Notasi Sigma
2. Σi=1n c·f(i) = c · Σi=1n f(i)
3. Σi=1n [f(i) ± g(i)] = Σi=1n f(i) ± Σi=1n g(i)
Rumus Penting
Σi=1n i² = n(n+1)(2n+1)/6
Σi=1n i³ = [n(n+1)/2]²
| Sigma | Hasil | Contoh (n=5) |
|---|---|---|
| Σi | n(n+1)/2 | 5·6/2 = 15 |
| Σi² | n(n+1)(2n+1)/6 | 5·6·11/6 = 55 |
| Σi³ | [n(n+1)/2]² | [15]² = 225 |
Contoh Soal — Notasi Sigma
MUDAH
1. Hitunglah Σi=15 (2i + 1)
= (3) + (5) + (7) + (9) + (11) = 35
Atau: 2·Σi + Σ1 = 2·15 + 5 = 35 ✓
2. Hitunglah Σi=14 3i
= 3 + 6 + 9 + 12 = 30
Atau: 3·Σi = 3 · 4·5/2 = 3·10 = 30 ✓
3. Hitunglah Σi=16 5
4. Nyatakan 2 + 4 + 6 + 8 + 10 dalam notasi sigma!
5. Hitunglah Σi=110 i
SEDANG
1. Hitunglah Σi=18 (i² + 2i)
= Σi² + 2Σi = 8·9·17/6 + 2·8·9/2 = 204 + 72 = 276
2. Hitunglah Σi=37 (3i − 1)
i=3: 8, i=4: 11, i=5: 14, i=6: 17, i=7: 20
3. Nyatakan 1 + 4 + 9 + 16 + … + 100 dalam notasi sigma!
Barisan kuadrat: 1², 2², 3², …, 10²
4. Hitunglah Σi=15 i³
= [5·6/2]² = 15² = 225
Verifikasi: 1+8+27+64+125 = 225 ✓
5. Hitunglah Σi=16 (2i² − 3i + 1)
= 2Σi² − 3Σi + Σ1 = 2·(6·7·13/6) − 3·(6·7/2) + 6
= 2·91 − 3·21 + 6 = 182 − 63 + 6 = 125
SULIT
1. Hitunglah Σi=1n (3i² − 2i + 5) dalam bentuk n!
= 3·n(n+1)(2n+1)/6 − 2·n(n+1)/2 + 5n
= n(n+1)(2n+1)/2 − n(n+1) + 5n
2. Hitunglah Σi=120 i(i+1)(i+2)
i(i+1)(i+2) = i³ + 3i² + 2i
Σ = Σi³ + 3Σi² + 2Σi = [20·21/2]² + 3·20·21·41/6 + 2·20·21/2
= 44100 + 8610 + 420 = 53130
3. Buktikan: Σi=1n (2i−1) = n²
Σ(2i−1) = 2Σi − Σ1 = 2·n(n+1)/2 − n = n(n+1) − n = n² + n − n
4. Jika Σi=1n (4i − 3) = 350, tentukan nilai n!
4·Σi − 3n = 4·n(n+1)/2 − 3n = 2n(n+1) − 3n = 2n² + 2n − 3n = 2n² − n = 350
2n² − n − 350 = 0. Diskriminan: 1 + 2800 = 2801. √2801 ≈ 52.9
n = (1 + 53)/4 — coba n: 2(14)² − 14 = 392 − 14 = 378 ≠ 350
2(13)² − 13 = 338 − 13 = 325 ≠ 350. Hmm, cek: 2n²−n=350
n = (1+√2801)/4 ≈ 13.5 → bukan bulat. Periksa: n=14 → 378. Tidak tepat.
Koreksi: 4·n(n+1)/2 − 3·n = 2n²+2n−3n = 2n²−n = 350
n = (1+√(1+2800))/4 = (1+√2801)/4. Karena 52² = 2704, 53² = 2809 ≈ close.
Sebenarnya: 2n²−n−350 = 0 → n = (1+√2801)/4. √2801 tidak bulat, maka soal diperbaiki:
Ambil Σ(4i−3) = 2n²−n. Untuk n = 14: 2(196)−14 = 378
5. Hitunglah Σi=110 [i² · (−1)i]
= −1 + 4 − 9 + 16 − 25 + 36 − 49 + 64 − 81 + 100
Pasangkan: (−1+4)+(−9+16)+(−25+36)+(−49+64)+(−81+100)
= 3 + 7 + 11 + 15 + 19
Latihan Soal — Notasi Sigma
MUDAH
1. Hitunglah Σi=16 (i + 3)
2. Hitunglah Σi=18 4
3. Nyatakan 3 + 6 + 9 + 12 + 15 dalam notasi sigma!
4. Hitunglah Σi=17 2i
5. Hitunglah Σi=15 (i² + 1)
SEDANG
1. Hitunglah Σi=110 (3i² − i)
2. Hitunglah Σi=28 (i² − 4)
3. Nyatakan 1·3 + 2·4 + 3·5 + … + 10·12 dalam notasi sigma dan hitung!
4. Hitunglah Σi=16 i(i+1)
5. Hitunglah Σi=18 (i³ − i)
SULIT
1. Tentukan Σi=1n i(i+1) dalam bentuk n!
2. Jika Σi=1n (6i − 5) = 460, tentukan n!
3. Buktikan: Σi=1n i(i+1) = n(n+1)(n+2)/3
4. Hitunglah Σi=115 i(i+1)(i−1)
5. Hitunglah Σi=112 [i² · (−1)i+1]
Barisan dan Deret Aritmatika
Barisan dan Deret Aritmatika
Materi Lengkap, Contoh Soal & Latihan
1. Barisan Aritmatika
📘 Materi
Barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang memiliki beda (selisih) tetap antara dua suku berurutan.
Rumus Suku ke-n:
Un = a + (n − 1) × b
Keterangan:
- Un = suku ke-n
- a = suku pertama (U₁)
- b = beda = Un − Un−1
- n = nomor suku
Contoh Barisan Aritmatika:
| Barisan | a | b | Pola |
|---|---|---|---|
| 2, 5, 8, 11, 14, … | 2 | 3 | +3 setiap suku |
| 10, 7, 4, 1, −2, … | 10 | −3 | −3 setiap suku |
| 1, 1, 1, 1, … | 1 | 0 | tetap |
Visualisasi Barisan 2, 5, 8, 11, 14:
Notasi Barisan Aritmatika:
U₁, U₂, U₃, …, Un
atau
a, a+b, a+2b, a+3b, …, a+(n−1)b
📝 Contoh Soal
1. Tentukan suku ke-10 dari barisan 3, 7, 11, 15, …
Pembahasan: a = 3, b = 7 − 3 = 4, n = 10
U₁₀ = 3 + (10−1) × 4 = 3 + 36 = 39
2. Tentukan suku ke-8 dari barisan 5, 9, 13, 17, …
Pembahasan: a = 5, b = 4, n = 8
U₈ = 5 + (8−1) × 4 = 5 + 28 = 33
3. Beda dari barisan 2, 6, 10, 14, … adalah?
Pembahasan: b = 6 − 2 = 4
4. Tentukan suku ke-5 dari barisan 10, 15, 20, 25, …
Pembahasan: a = 10, b = 5, n = 5
U₅ = 10 + (5−1) × 5 = 10 + 20 = 30
5. Suku pertama barisan aritmatika adalah 1 dan beda 3. Tentukan U₆!
Pembahasan: U₆ = 1 + (6−1) × 3 = 1 + 15 = 16
6. Suku ke-3 barisan aritmatika adalah 11 dan suku ke-7 adalah 23. Tentukan suku pertama dan beda!
Pembahasan:
U₃ = a + 2b = 11 … (1)
U₇ = a + 6b = 23 … (2)
(2)−(1): 4b = 12 → b = 3
Substitusi: a + 6 = 11 → a = 5, b = 3
7. Tentukan banyak suku barisan 4, 9, 14, …, 99
Pembahasan: a = 4, b = 5, Un = 99
99 = 4 + (n−1)×5
95 = (n−1)×5
n−1 = 19 → n = 20
8. Suku ke-5 = 20 dan b = 4. Tentukan suku ke-12!
Pembahasan:
U₅ = a + 4(4) = 20 → a = 4
U₁₂ = 4 + 11(4) = 4 + 44 = 48
9. Sisipkan 3 bilangan antara 5 dan 25 sehingga membentuk barisan aritmatika.
Pembahasan:
Barisan: 5, _, _, _, 25 (5 suku)
a = 5, U₅ = 25
25 = 5 + 4b → b = 5
Barisan: 5, 10, 15, 20, 25
10. U₄ = 13 dan U₉ = 28. Tentukan U₁₅!
Pembahasan:
U₄ = a + 3b = 13 … (1)
U₉ = a + 8b = 28 … (2)
(2)−(1): 5b = 15 → b = 3
a = 13 − 9 = 4
U₁₅ = 4 + 14(3) = 4 + 42 = 46
11. Jumlah suku ke-3 dan ke-7 barisan aritmatika adalah 40. Jika suku ke-10 adalah 35, tentukan suku pertama!
Pembahasan:
U₃ + U₇ = (a+2b) + (a+6b) = 2a + 8b = 40 → a + 4b = 20 …(1)
U₁₀ = a + 9b = 35 …(2)
(2)−(1): 5b = 15 → b = 3
a = 20 − 12 = 8
12. Tiga bilangan membentuk barisan aritmatika. Jumlahnya 27 dan hasil kali 585. Tentukan bilangan tersebut!
Pembahasan:
Misal: (a−b), a, (a+b)
Jumlah: 3a = 27 → a = 9
Hasil kali: (9−b)(9)(9+b) = 585
9(81−b²) = 585
81−b² = 65 → b² = 16 → b = 4
Bilangan: 5, 9, 13
13. Barisan aritmatika memiliki U₅ = 2p+1 dan U₉ = 4p−3. Jika b = 3, tentukan p dan suku pertama!
Pembahasan:
U₉ − U₅ = 4b
(4p−3)−(2p+1) = 4(3)
2p − 4 = 12 → 2p = 16 → p = 8
U₅ = 2(8)+1 = 17
U₅ = a + 4b → 17 = a + 12 → a = 5, p = 8
14. Suku ke-n barisan aritmatika dinyatakan Un = 5n − 2. Tentukan a, b, dan U₂₀!
Pembahasan:
U₁ = 5(1) − 2 = 3 → a = 3
U₂ = 5(2) − 2 = 8
b = U₂ − U₁ = 8 − 3 = 5
U₂₀ = 5(20) − 2 = 98
15. Barisan: log 2, log 4, log 8, log 16, … Tentukan suku ke-8!
Pembahasan:
U₁ = log 2, U₂ = log 4 = 2 log 2, U₃ = 3 log 2
a = log 2, b = log 2
U₈ = log 2 + 7(log 2) = 8 log 2 = log 2⁸ = log 256
✏️ Latihan Soal
1. Tentukan suku ke-7 dari barisan 4, 8, 12, 16, …
2. Tentukan beda dari barisan 3, 10, 17, 24, …
3. Tentukan suku ke-12 dari barisan 1, 4, 7, 10, …
4. Suku pertama = 6, b = 5. Tentukan U₉!
5. Tentukan suku ke-20 dari barisan 2, 5, 8, 11, …
6. U₃ = 14 dan U₈ = 34. Tentukan a dan b!
7. Berapa banyak suku barisan 7, 11, 15, …, 83?
8. U₆ = 25 dan b = −3. Tentukan U₁!
9. Sisipkan 4 bilangan antara 3 dan 23 agar membentuk barisan aritmatika.
10. U₅ = 18 dan U₁₂ = 39. Tentukan U₂₀!
11. Tiga bilangan barisan aritmatika jumlahnya 33 dan kuadrat suku tengah 121. Tentukan bilangan tersebut!
12. U₃ + U₈ = 50 dan U₅ + U₁₀ = 62. Tentukan suku pertama dan beda!
13. Barisan aritmatika Un = 3n + k. Jika U₄ = 17, tentukan k dan U₁₀!
14. log 3, log 9, log 27, … Tentukan U₆!
15. Empat bilangan barisan aritmatika. Jumlah = 24, jumlah kuadrat = 164. Tentukan bilangan tersebut!
2. Deret Aritmatika
📘 Materi
Deret aritmatika adalah jumlah dari suku-suku barisan aritmatika.
Jika barisan: U₁, U₂, U₃, …, Un
Maka deret: Sn = U₁ + U₂ + U₃ + … + Un
Rumus Jumlah n Suku Pertama:
Sn = n⁄2 × (2a + (n−1)b)
atau
Sn = n⁄2 × (a + Un)
Keterangan:
- Sn = jumlah n suku pertama
- a = suku pertama
- b = beda
- Un = suku terakhir
Hubungan Sn dan Un:
Un = Sn − Sn−1 (untuk n ≥ 2)
Notasi Deret Aritmatika:
Sn = ∑k=1n Uk = ∑k=1n [a + (k−1)b]
Visualisasi Deret (jumlah bertambah):
Tabel Perbandingan Un dan Sn (barisan 2, 5, 8, 11, 14):
| n | Un | Sn |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 2 |
| 2 | 5 | 7 |
| 3 | 8 | 15 |
| 4 | 11 | 26 |
| 5 | 14 | 40 |
📝 Contoh Soal
1. Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret 3 + 7 + 11 + 15 + …
Pembahasan: a = 3, b = 4, n = 10
S₁₀ = 10/2 × (2(3) + 9(4)) = 5 × (6 + 36) = 5 × 42 = 210
2. Tentukan S₅ dari deret 2 + 5 + 8 + 11 + 14
Pembahasan: a = 2, U₅ = 14, n = 5
S₅ = 5/2 × (2 + 14) = 5/2 × 16 = 40
3. Jumlah 8 suku pertama dari 5 + 8 + 11 + …
Pembahasan: a = 5, b = 3, n = 8
S₈ = 8/2 × (2(5) + 7(3)) = 4 × (10 + 21) = 4 × 31 = 124
4. Tentukan S₆ dari deret 1 + 4 + 7 + 10 + …
Pembahasan: a = 1, b = 3, n = 6
S₆ = 6/2 × (2(1) + 5(3)) = 3 × (2 + 15) = 3 × 17 = 51
5. Tentukan jumlah deret 10 + 10 + 10 + … (12 suku)
Pembahasan: a = 10, b = 0, n = 12
S₁₂ = 12/2 × (2(10) + 11(0)) = 6 × 20 = 120
6. Diketahui Sn = 2n² + 3n. Tentukan U₅!
Pembahasan:
U₅ = S₅ − S₄
S₅ = 2(25) + 15 = 65
S₄ = 2(16) + 12 = 44
U₅ = 65 − 44 = 21
7. Jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah 255. Jika a = 3 dan b = 4, tentukan n!
Pembahasan:
255 = n/2 × (2(3) + (n−1)4)
510 = n(6 + 4n − 4) = n(4n + 2)
510 = 4n² + 2n
4n² + 2n − 510 = 0 → 2n² + n − 255 = 0
(2n + 17)(n − 15) = 0… Cek: n = (−1 + √2041)/4 ≈ …
Alternatif: n(4n+2) = 510 → coba n=10: 10(42)=420 ✗, n=11: 11(46)=506 ✗, n=15: 15(62)=930 ✗
Koreksi: 255 = n/2(6+4n−4) = n/2(4n+2) = n(2n+1)
n(2n+1) = 255 → coba n=10: 10(21)=210 ✗, n=11: 11(23)=253 ✗, n=15: 15(31)=465 ✗
Sebenarnya: 255 = n/2(2×3+(n-1)×4) = n/2(6+4n-4) = n/2(4n+2) = n(2n+1)
2n²+n−255=0 → n = (−1+√(1+2040))/4 = (−1+√2041)/4 ≈ (−1+45.2)/4 ≈ 11.05
Mari periksa kembali: a=3, b=4. S₁₀ = 10/2(6+36) = 210. S₁₁ = 11/2(6+40)=11×23=253. S₁₂=12/2(6+44)=300.
Jadi Sn=255 tidak bulat. Mari ubah soal:
Koreksi soal: Sn = 210, maka n = 10
7 (revisi). Sn = 210. Jika a = 3 dan b = 4, tentukan n!
Pembahasan:
210 = n/2 × (6 + (n−1)4) = n/2 × (4n+2) = n(2n+1)
2n² + n − 210 = 0
n = (−1 + √(1+1680))/4 = (−1+41)/4 = 10
Jadi n = 10
8. Deret aritmatika: 5 + 9 + 13 + … + Un = 275. Tentukan banyak suku!
Pembahasan: a = 5, b = 4
275 = n/2(10 + (n−1)4) = n/2(4n+6) = n(2n+3)
2n² + 3n − 275 = 0
n = (−3 + √(9+2200))/4 = (−3+47)/4 = 11
Jadi n = 11
9. S₁₀ = 100 dan a = 1. Tentukan beda!
Pembahasan:
100 = 10/2 × (2(1) + 9b)
100 = 5(2 + 9b)
20 = 2 + 9b → 9b = 18 → b = 2
10. Jumlah 20 suku pertama deret 100 + 95 + 90 + …
Pembahasan: a = 100, b = −5, n = 20
S₂₀ = 20/2 × (200 + 19(−5)) = 10 × (200 − 95) = 10 × 105 = 1050
11. Sn = 3n² − n. Tentukan rumus Un dan buktikan bahwa barisan tersebut aritmatika!
Pembahasan:
Un = Sn − Sn−1 (untuk n ≥ 2)
Sn−1 = 3(n−1)² − (n−1) = 3n² − 6n + 3 − n + 1 = 3n² − 7n + 4
Un = (3n²−n) − (3n²−7n+4) = 6n − 4
Cek U₁ = S₁ = 3−1 = 2 = 6(1)−4 ✓
b = Un − Un−1 = (6n−4) − (6(n−1)−4) = 6 (konstan)
Terbukti aritmatika dengan Un = 6n − 4, b = 6
12. Suatu deret aritmatika S₅ = 50 dan S₁₀ = 200. Tentukan S₁₅!
Pembahasan:
S₅ = 5/2(2a+4b) = 5(a+2b) = 50 → a+2b = 10 …(1)
S₁₀ = 10/2(2a+9b) = 5(2a+9b) = 200 → 2a+9b = 40 …(2)
Dari (1): a = 10−2b. Substitusi ke (2):
2(10−2b)+9b = 40 → 20−4b+9b = 40 → 5b = 20 → b = 4
a = 10−8 = 2
S₁₅ = 15/2(2(2)+14(4)) = 15/2(4+56) = 15/2 × 60 = 450
13. Tentukan nilai 1 + 2 + 3 + … + 100
Pembahasan:
a = 1, b = 1, n = 100, U₁₀₀ = 100
S₁₀₀ = 100/2 × (1 + 100) = 50 × 101 = 5050
14. Jumlah semua bilangan genap antara 1 dan 101 adalah?
Pembahasan:
Deret: 2 + 4 + 6 + … + 100
a = 2, b = 2, Un = 100
100 = 2 + (n−1)2 → n = 50
S₅₀ = 50/2 × (2 + 100) = 25 × 102 = 2550
15. Seorang pekerja menabung Rp10.000 di minggu pertama, tiap minggu bertambah Rp2.000. Berapa total tabungan setelah 1 tahun (52 minggu)?
Pembahasan:
a = 10.000, b = 2.000, n = 52
S₅₂ = 52/2 × (2(10.000) + 51(2.000))
= 26 × (20.000 + 102.000)
= 26 × 122.000 = Rp3.172.000
✏️ Latihan Soal
1. Tentukan S₈ dari deret 2 + 6 + 10 + 14 + …
2. Jumlah 5 suku pertama dari 4 + 7 + 10 + …
3. S₁₀ dari deret 1 + 3 + 5 + 7 + …
4. Jumlah 6 suku pertama dari 10 + 8 + 6 + …
5. S₇ dari deret 3 + 6 + 9 + 12 + …
6. Sn = n² + 2n. Tentukan U₇!
7. S₁₅ = 450 dan a = 2. Tentukan b!
8. Deret 8 + 12 + 16 + … Berapakah n jika Sn = 168?
9. S₈ = 180 dan b = 5. Tentukan suku pertama!
10. Jumlah 15 suku pertama deret 50 + 47 + 44 + …
11. S₅ = 75 dan S₁₀ = 300. Tentukan S₂₀!
12. Sn = 4n² + n. Buktikan barisan aritmatika dan tentukan b!
13. Jumlah semua bilangan kelipatan 3 antara 1 dan 200!
14. Gaji bulan pertama Rp3.000.000, naik Rp150.000/bulan. Total gaji setahun?
15. S₆ = 66 dan S₁₂ = 264. Tentukan a, b, dan S₂₀!
3. Suku Tengah Barisan/Deret Aritmatika
📘 Materi
Suku tengah berlaku jika banyaknya suku ganjil. Suku tengah adalah rata-rata dari suku pertama dan suku terakhir.
Rumus Suku Tengah (Ut):
Ut = ½ × (a + Un)
dengan posisi tengah: t = (n+1)/2
Hubungan Suku Tengah dan Jumlah Deret:
Sn = n × Ut
(hanya berlaku jika n ganjil)
Visualisasi Suku Tengah (barisan 3, 7, 11, 15, 19):
| n (ganjil) | Posisi Tengah (t) | Contoh Barisan | Ut |
|---|---|---|---|
| 3 | 2 | 4, 7, 10 | 7 |
| 5 | 3 | 2, 5, 8, 11, 14 | 8 |
| 7 | 4 | 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 | 7 |
📝 Contoh Soal
1. Tentukan suku tengah barisan 5, 9, 13, 17, 21
Pembahasan: n = 5 (ganjil), t = 3
Ut = ½(5+21) = ½(26) = 13
2. Suku tengah barisan 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26 adalah?
Pembahasan: n = 7, t = 4
Ut = ½(2+26) = 14
3. Barisan: 10, 15, 20, 25, 30. Tentukan suku tengah!
Pembahasan: n = 5, t = 3
Ut = ½(10+30) = 20
4. Barisan aritmatika memiliki 9 suku dengan a = 4 dan b = 3. Tentukan suku tengah!
Pembahasan: t = 5
U₅ = 4 + 4(3) = 16
Verifikasi: U₉ = 4+8(3) = 28. Ut = ½(4+28) = 16 ✓
5. Barisan 1, 4, 7 memiliki suku tengah?
Pembahasan: n = 3, t = 2
Ut = ½(1+7) = 4
6. Barisan aritmatika 11 suku. U₁ = 5, U₁₁ = 55. Tentukan suku tengah dan S₁₁!
Pembahasan:
t = 6, Ut = ½(5+55) = 30
S₁₁ = 11 × Ut = 11 × 30 = 330
7. Suku tengah barisan aritmatika 15 suku adalah 24. Tentukan jumlah deret!
Pembahasan:
S₁₅ = 15 × Ut = 15 × 24 = 360
8. Barisan aritmatika 9 suku. S₉ = 189. Tentukan suku tengah!
Pembahasan:
S₉ = 9 × Ut
189 = 9 × Ut → Ut = 21
9. Barisan 7 suku dengan a = 3 dan U₇ = 27. Tentukan U₂, U₃, …, U₆!
Pembahasan:
b = (27−3)/(7−1) = 24/6 = 4
Ut = U₄ = ½(3+27) = 15
Barisan: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27
10. Jika suku tengah barisan 13 suku adalah 40 dan a = 16, tentukan b!
Pembahasan:
t = 7, U₇ = 40
40 = 16 + 6b → 6b = 24 → b = 4
11. Barisan aritmatika (2n+1) suku. Suku pertama p dan suku terakhir q. Tentukan suku tengah dan jumlah deret!
Pembahasan:
t = (2n+1+1)/2 = n+1
Ut = ½(p+q)
S = (2n+1) × ½(p+q) = (2n+1)(p+q)/2
12. Barisan 21 suku. S₂₁ = 630. Jika b = 2, tentukan suku pertama!
Pembahasan:
S₂₁ = 21 × Ut → Ut = 630/21 = 30
t = 11 → U₁₁ = 30
30 = a + 10(2) → a = 30 − 20 = 10
13. Deret aritmatika 17 suku. U₅ = 20 dan U₁₃ = 44. Tentukan suku tengah dan S₁₇!
Pembahasan:
b = (44−20)/(13−5) = 24/8 = 3
U₅ = a + 4(3) = 20 → a = 8
U₁₇ = 8 + 16(3) = 56
Ut = U₉ = 8 + 8(3) = 32
S₁₇ = 17 × 32 = 544
14. Suku tengah barisan (2k−1) suku aritmatika adalah 3k+1. Jika a = 7, tentukan k dan beda!
Pembahasan:
t = ((2k−1)+1)/2 = k
Uk = 3k+1 = a + (k−1)b = 7 + (k−1)b
3k+1 = 7 + (k−1)b → (k−1)b = 3k − 6
b = (3k−6)/(k−1) = 3(k−2)/(k−1)
Agar b bilangan bulat, coba k=4: b = 3(2)/3 = 2
Verifikasi: U₄ = 7+3(2) = 13 = 3(4)+1 = 13 ✓
Jadi k = 4, b = 2
15. Barisan 11 suku. Suku tengah = 33 dan suku terakhir = 53. Tentukan a, b, dan S₁₁!
Pembahasan:
Ut = ½(a + 53) = 33 → a + 53 = 66 → a = 13
U₁₁ = 53 = 13 + 10b → 10b = 40 → b = 4
S₁₁ = 11 × 33 = 363
✏️ Latihan Soal
1. Suku tengah barisan 6, 10, 14, 18, 22 adalah?
2. Barisan 3 suku: 8, ?, 20. Tentukan suku tengah!
3. Barisan 5 suku, a=2, b=6. Tentukan suku tengah!
4. Suku tengah barisan 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25 adalah?
5. Barisan 9 suku, a=10, U₉=42. Tentukan suku tengah!
6. S₁₃ = 325. Tentukan suku tengah!
7. Suku tengah barisan 11 suku = 50 dan a = 20. Tentukan b!
8. Barisan 15 suku. Ut = 36. Tentukan S₁₅!
9. a = 5, U₁₃ = 41. Tentukan U₇ (suku tengah)!
10. S₁₇ = 510. Tentukan suku tengah!
11. Barisan 19 suku. U₅=17, U₁₅=47. Tentukan suku tengah dan S₁₉!
12. Suku tengah barisan (2n+1) suku = 5n. Jika b=5, tentukan n dan a!
13. Barisan 21 suku. Jumlah 3 suku tengah (U₁₀+U₁₁+U₁₂) = 99. Tentukan U₁₁ dan S₂₁!
14. Barisan 25 suku, S₂₅ = 1250. Jika U₁₃ (suku tengah) diperbesar 5, berapa S₂₅ baru?
15. Barisan 2k+1 suku. Suku tengah = a+kb. Buktikan rumus ini benar!
Barisan dan Deret Geometri
Barisan dan Deret Geometri
Materi Lengkap • Contoh Soal • Latihan
1. Barisan Geometri
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki rasio tetap (r) antara dua suku berurutan. Artinya, setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan bilangan tetap r.
Bentuk Umum Barisan Geometri:
a, ar, ar2, ar3, …, arn−1
di mana:
- a = suku pertama (U1)
- r = rasio = Un / Un−1
- n = nomor suku
Rumus Suku ke-n:
Un = a · rn−1
Notasi dan Ilustrasi
Perhatikan barisan geometri: 2, 6, 18, 54, 162, …
| Suku | Notasi | Nilai | Cara Hitung |
|---|---|---|---|
| U1 | a | 2 | a = 2 |
| U2 | a · r | 6 | 2 × 3 = 6 |
| U3 | a · r2 | 18 | 2 × 32 = 18 |
| U4 | a · r3 | 54 | 2 × 33 = 54 |
| U5 | a · r4 | 162 | 2 × 34 = 162 |
📊 Grafik Visual Barisan Geometri (2, 6, 18, 54, 162)
Perhatikan pertumbuhan eksponensial — setiap batang naik jauh lebih cepat dari sebelumnya.
Contoh Soal — Barisan Geometri
1. Tentukan suku ke-5 dari barisan geometri: 3, 6, 12, 24, …
Diketahui: a = 3, r = 6/3 = 2, n = 5
U5 = a · rn−1 = 3 · 24 = 3 · 16 = 48
2. Barisan geometri: 5, 15, 45, … Tentukan rasio (r)!
r = U2 / U1 = 15 / 5 = 3
Cek: U3 / U2 = 45 / 15 = 3 ✓
3. Suku pertama barisan geometri = 4, rasio = 2. Tentukan U4!
U4 = 4 · 23 = 4 · 8 = 32
4. Barisan: 100, 50, 25, … Tentukan suku ke-4!
a = 100, r = 50/100 = ½
U4 = 100 · (½)3 = 100 · ⅛ = 12,5
5. Tentukan 3 suku pertama barisan geometri jika a = 7 dan r = 3!
U1 = 7
U2 = 7 · 3 = 21
U3 = 7 · 9 = 63
Barisan: 7, 21, 63
1. Suku ke-3 barisan geometri = 18, suku ke-5 = 162. Tentukan a dan r!
U3 = ar2 = 18 … (i)
U5 = ar4 = 162 … (ii)
Bagi (ii)/(i): r2 = 162/18 = 9 → r = 3
Substitusi ke (i): a · 9 = 18 → a = 2
Jadi a = 2, r = 3
2. Suku ke-2 = 10, suku ke-4 = 40. Tentukan suku ke-6!
U2 = ar = 10 … (i)
U4 = ar3 = 40 … (ii)
(ii)/(i): r2 = 4 → r = 2
a = 10/2 = 5
U6 = 5 · 25 = 5 · 32 = 160
3. Barisan geometri memiliki U1 = 2 dan U6 = 64. Tentukan r!
U6 = ar5 → 64 = 2 · r5
r5 = 32 → r = 2
Jadi r = 2
4. Tiga suku berurutan barisan geometri: x, x+6, x+9. Tentukan x!
Syarat barisan geometri: (U2)2 = U1 · U3
(x+6)2 = x(x+9)
x2 + 12x + 36 = x2 + 9x
3x = −36 → x = −12
Barisan: −12, −6, −3 (r = ½) ✓
5. Jika U3 = 12 dan r = ½, tentukan U1 dan U7!
U3 = ar2 = a · (½)2 = a/4 = 12 → a = 48
U7 = 48 · (½)6 = 48 · 1/64 = ¾ = 0,75
1. Jumlah tiga suku pertama barisan geometri = 21 dan jumlah kuadrat ketiga suku tersebut = 189. Tentukan barisan tersebut!
Misal tiga suku: a/r, a, ar
Jumlah: a/r + a + ar = 21 → a(1/r + 1 + r) = 21 … (i)
Jumlah kuadrat: a2/r2 + a2 + a2r2 = 189
a2(1/r2 + 1 + r2) = 189 … (ii)
Dari (i): a = 21 / (1/r + 1 + r)
Perhatikan: (1/r + 1 + r)2 = 1/r2 + 1 + r2 + 2(1/r + 1 + r) − 2
Jadi 1/r2 + 1 + r2 = (1/r + 1 + r)2 − 2(1/r + 1 + r)
Misalkan S = 1/r + 1 + r. Dari (i): a = 21/S.
(ii): (21/S)2 · (S2 − 2S) = 189
441(S2 − 2S)/S2 = 189
441 − 882/S = 189 → 882/S = 252 → S = 3,5
a = 21/3,5 = 6. Dan 1/r + 1 + r = 3,5 → r2 − 2,5r + 1 = 0
r = 2 atau r = ½
Barisan: 3, 6, 12 atau 12, 6, 3
2. Barisan geometri: a, b, c. Jika a + c = 20 dan b = 8, tentukan a dan c!
Karena a, b, c barisan geometri: b2 = ac → 64 = ac
a + c = 20 dan ac = 64
Persamaan kuadrat: t2 − 20t + 64 = 0
(t − 4)(t − 16) = 0 → t = 4 atau t = 16
Jadi: a = 4, c = 16 atau a = 16, c = 4
3. Suku ke-n barisan geometri: Un = 3 · 22n−1. Tentukan rasio dan suku pertama!
Un = 3 · 22n−1 = 3 · 22n · 2−1 = (3/2) · 4n
= (3/2) · 4 · 4n−1 = 6 · 4n−1
Bentuk umum: Un = a · rn−1
Jadi a = 6, r = 4
Cek: U1 = 3 · 21 = 6 ✓, U2 = 3 · 23 = 24 = 6 · 4 ✓
4. Log suku-suku barisan geometri membentuk barisan aritmetika. Jika U1 = 2 dan U4 = 54, buktikan dan tentukan suku ke-7!
r3 = U4/U1 = 54/2 = 27 → r = 3
Log barisan: log 2, log 6, log 18, log 54
= log 2, log 2 + log 3, log 2 + 2log 3, log 2 + 3log 3
Beda = log 3 (konstan) → terbukti barisan aritmetika ✓
U7 = 2 · 36 = 2 · 729 = 1458
5. Barisan geometri memiliki U2 + U4 = 30 dan U3 + U5 = 60. Tentukan U8!
U2 + U4 = ar + ar3 = ar(1 + r2) = 30 … (i)
U3 + U5 = ar2 + ar4 = ar2(1 + r2) = 60 … (ii)
(ii)/(i): r = 60/30 = 2
Substitusi: a · 2 · (1 + 4) = 30 → 10a = 30 → a = 3
U8 = 3 · 27 = 3 · 128 = 384
Latihan Soal — Barisan Geometri
1. Tentukan suku ke-6 dari barisan: 2, 8, 32, …
2. Tentukan rasio barisan geometri: 81, 27, 9, 3, …
3. Jika a = 5 dan r = 4, tentukan U5!
4. Barisan: 1, 3, 9, 27, … Tentukan U7!
5. Tentukan 4 suku pertama jika a = 10 dan r = ½!
1. U3 = 36 dan U6 = 972. Tentukan a dan r!
2. Tiga suku berurutan: x, x+3, x+8. Tentukan x!
3. Jika U2 = 6 dan U5 = 48, tentukan U8!
4. Barisan geometri memiliki r = −2 dan U5 = 80. Tentukan U1!
5. Tentukan n jika Un = 3072, a = 3, r = 4!
1. U2 + U3 = 12, U4 + U5 = 108. Tentukan barisan!
2. Jumlah tiga suku pertama = 26 dan hasilkalinya = 216. Tentukan ketiga suku!
3. Un = 5 · 32n+1. Tentukan a dan r!
4. Barisan geometri: a, b, c, d. Jika a + d = 65 dan b + c = 26, tentukan r!
5. Suku ke-3 dan ke-7 barisan geometri masing-masing 20 dan 320. Tentukan suku ke-10!
2. Deret Geometri
Deret geometri adalah jumlah dari suku-suku barisan geometri. Jika barisan geometri: a, ar, ar2, …, maka deret geometri: Sn = a + ar + ar2 + … + arn−1
Rumus Jumlah n Suku Pertama:
Jika r ≠ 1:
Sn = a · (rn − 1) / (r − 1) untuk r > 1
Sn = a · (1 − rn) / (1 − r) untuk r < 1
Notasi dan Ilustrasi
Deret geometri: 3 + 6 + 12 + 24 + 48 (a = 3, r = 2)
| n | Un | Sn (Jumlah) | Rumus |
|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 3 | 3 |
| 2 | 6 | 9 | 3(22−1)/(2−1) = 9 |
| 3 | 12 | 21 | 3(23−1)/1 = 21 |
| 4 | 24 | 45 | 3(24−1)/1 = 45 |
| 5 | 48 | 93 | 3(25−1)/1 = 93 |
Contoh Soal — Deret Geometri
1. Tentukan S5 dari deret: 2 + 6 + 18 + …
a = 2, r = 3, n = 5
S5 = 2 · (35 − 1)/(3 − 1) = 2 · (243 − 1)/2 = 242
2. Hitung S4: 1 + 2 + 4 + 8
a = 1, r = 2, n = 4
S4 = 1 · (24 − 1)/(2 − 1) = 15/1 = 15
Cek langsung: 1 + 2 + 4 + 8 = 15 ✓
3. Deret: 5 + 10 + 20 + … Tentukan S6!
a = 5, r = 2, n = 6
S6 = 5 · (26 − 1)/(2 − 1) = 5 · 63 = 315
4. S3 dari deret: 4 + 12 + 36 + …
a = 4, r = 3, n = 3
S3 = 4(33 − 1)/(3 − 1) = 4 · 26/2 = 52
5. Deret: 64 + 32 + 16 + … Tentukan S4!
a = 64, r = ½, n = 4
S4 = 64 · (1 − (½)4)/(1 − ½) = 64 · (1 − 1/16)/(½) = 64 · (15/16) · 2 = 120
1. Sn = 3n − 1. Tentukan U4!
U4 = S4 − S3 = (34 − 1) − (33 − 1) = 80 − 26 = 54
2. Jumlah 6 suku pertama deret geometri = 189 dan r = 2. Tentukan a!
S6 = a(26 − 1)/(2 − 1) = 63a = 189
a = 189/63 = 3
3. Deret geometri: a + ar + ar2 + … S3 = 21 dan S6 = 189. Tentukan r!
S6/S3 = (r6 − 1)/(r3 − 1) = (r3 + 1)(r3 − 1)/(r3 − 1) = r3 + 1
189/21 = r3 + 1 → 9 = r3 + 1 → r3 = 8 → r = 2
4. Berapa banyak suku deret: 3 + 6 + 12 + … agar jumlahnya = 381?
381 = 3(2n − 1)/(2 − 1) = 3(2n − 1)
2n − 1 = 127 → 2n = 128 = 27
n = 7
5. Tentukan S8 dari deret: 1 − 2 + 4 − 8 + …
a = 1, r = −2, n = 8
S8 = 1 · (1 − (−2)8)/(1 − (−2)) = (1 − 256)/3 = −255/3 = −85
1. Sn = 2n+2 − 4. Buktikan bahwa deret tersebut geometri dan tentukan a serta r!
U1 = S1 = 23 − 4 = 4
Un = Sn − Sn−1 = (2n+2 − 4) − (2n+1 − 4) = 2n+2 − 2n+1 = 2n+1
Un/Un−1 = 2n+1/2n = 2 (konstan) → terbukti geometri ✓
a = 4, r = 2
2. Deret geometri memiliki S4 = 120 dan S8 = 1020. Tentukan S12!
Sifat: S4, S8 − S4, S12 − S8 membentuk barisan geometri
S8 − S4 = 1020 − 120 = 900
Rasio: 900/120 = 7,5
S12 − S8 = 900 · 7,5 = 6750
S12 = 1020 + 6750 = 7770
3. Jumlah n suku pertama deret geometri: Sn = 5(4n − 1)/3. Tentukan U5!
U5 = S5 − S4
S5 = 5(45 − 1)/3 = 5(1024 − 1)/3 = 5 · 1023/3 = 1705
S4 = 5(44 − 1)/3 = 5(256 − 1)/3 = 5 · 255/3 = 425
U5 = 1705 − 425 = 1280
4. Deret geometri dengan S3 = 7 dan S6 = 63. Tentukan S9!
S3, S6 − S3, S9 − S6 barisan geometri
S6 − S3 = 63 − 7 = 56
Rasio = 56/7 = 8
S9 − S6 = 56 · 8 = 448
S9 = 63 + 448 = 511
5. Deret: 1 + r + r2 + … + r9 = 341. Tentukan r jika r bilangan bulat positif!
S10 = (r10 − 1)/(r − 1) = 341
Coba r = 2: (1024 − 1)/1 = 1023 ≠ 341
Perhatikan: 341 = 1 + 4 + 16 + 64 + 256 → ini 5 suku saja!
Periksa ulang: jumlah 10 suku. Coba r ≈ kecil.
Coba r = 2: terlalu besar. Coba a = 1, 10 suku.
(r10 − 1)/(r − 1) = 341. Untuk r = 2: 1023. Untuk r bukan 1.
Sebenarnya ini bisa ditulis: 341 = 40 + 41 + 42 + 43 + 44 = (45−1)/3 = 1023/3 = 341
Jadi ini deret dengan a = 1, r = 4, n = 5. Namun soal menyebut 10 suku (r0 sampai r9).
Perlu diperiksa: Tidak ada r bulat positif > 1 yang memenuhi 10 suku = 341.
Jika soalnya: 1 + r + r2 + r3 + r4 = 341 → r = 4
Latihan Soal — Deret Geometri
1. Tentukan S5 dari deret: 1 + 3 + 9 + …
2. Hitung S4: 2 + 10 + 50 + …
3. Deret: 3 + 6 + 12 + 24. Tentukan S4!
4. S3 dari deret: 7 + 14 + 28 + …
5. Deret: 100 + 50 + 25 + … Tentukan S5!
1. Sn = 2n − 1. Tentukan U5!
2. Jumlah 5 suku pertama = 341 dan r = 4. Tentukan a!
3. S4 = 40 dan r = 3. Tentukan a!
4. Berapa n agar Sn = 1023 jika a = 1, r = 2?
5. S8 dari deret: 2 − 4 + 8 − 16 + …
1. S4 = 80, S8 = 6560. Tentukan a dan r!
2. Sn = 3(5n − 1)/4. Tentukan U6!
3. S3 = 13, S6 = 364. Tentukan S9!
4. Buktikan: Jika Sn = 7n − 1, maka deret tsb geometri!
5. Deret geometri: S5/S3 = 31/7. Tentukan r!
3. Suku Tengah Barisan/Deret Geometri
Suku tengah barisan geometri adalah suku yang terletak di posisi tengah dari barisan dengan jumlah suku ganjil.
Rumus Suku Tengah:
Jika barisan memiliki 2k + 1 suku (ganjil), maka suku tengah = Uk+1
Ut = √(U1 · Un)
di mana n = jumlah suku (harus ganjil), t = (n+1)/2
Sifat Penting:
Dalam barisan geometri dengan 3 suku: a, b, c → b2 = a · c
b disebut rata-rata geometri (mean geometri) dari a dan c.
| Barisan | Jumlah Suku | Suku Tengah | Perhitungan |
|---|---|---|---|
| 2, 6, 18 | 3 | U2 = 6 | √(2 × 18) = √36 = 6 |
| 1, 3, 9, 27, 81 | 5 | U3 = 9 | √(1 × 81) = √81 = 9 |
| 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 | 7 | U4 = 16 | √(2 × 128) = √256 = 16 |
Contoh Soal — Suku Tengah
1. Tentukan suku tengah barisan: 4, 12, 36!
3 suku → suku tengah = U2
Ut = √(4 × 36) = √144 = 12 ✓
2. Barisan: 5, …, 45. Jika 3 suku geometri, tentukan suku tengah!
Ut = √(5 × 45) = √225 = 15
3. Tentukan suku tengah dari barisan geometri: 1, 2, 4, 8, 16!
5 suku → suku tengah = U3 = 4
Cek: √(1 × 16) = √16 = 4 ✓
4. Barisan geometri: 3, 9, 27. Tentukan rata-rata geometri!
Rata-rata geometri = √(3 × 27) = √81 = 9
5. Suku tengah barisan geometri 7 suku = 32. Jika U1 = 2, tentukan U7!
Ut = √(U1 · U7)
32 = √(2 · U7) → 1024 = 2 · U7 → U7 = 512
1. Barisan geometri 5 suku: U1 = 3, r = 2. Tentukan suku tengah!
Suku tengah = U3 = 3 · 22 = 12
Cek: U5 = 3 · 16 = 48. √(3 × 48) = √144 = 12 ✓
2. Sisipkan satu suku tengah geometri antara 8 dan 128!
b = √(8 × 128) = √1024 = 32
Barisan: 8, 32, 128 (r = 4) ✓
3. U1 · U9 = 256. Tentukan suku tengah (U5)!
U5 = √(U1 · U9) = √256 = 16
4. Tiga bilangan geometri jumlahnya 91, bilangan terbesar 64. Tentukan ketiga bilangan!
Misal: a/r, a, ar. Yang terbesar = ar = 64
Jumlah: a/r + a + ar = 91 → a(1/r + 1 + r) = 91
Coba: Jika a = 16, ar = 64 → r = 4
a/r = 16/4 = 4. Jumlah: 4 + 16 + 64 = 84 ≠ 91
Coba langsung: b2 = a·c dan a + b + c = 91, c = 64
a + b = 27 dan b2 = 64a → b2 = 64(27 − b)
b2 + 64b − 1728 = 0 → b = (−64 + √(4096 + 6912))/2 = (−64 + √11008)/2
≈ (−64 + 104.9)/2 ≈ 20.5. Tidak bulat, coba c terbesar dengan r > 1.
Bilangan: suku a/r, a, ar = 64. Misalkan ar = 64.
Jumlah = a/r + a + 64 = 91 → a/r + a = 27 → a(1 + r)/r = 27
Dan a = 64/r → (64/r)(1+r)/r = 27 → 64(1+r)/r2 = 27
27r2 − 64r − 64 = 0 → r = (64 ± √(4096 + 6912))/54 = (64 ± √11008)/54
r ≈ (64 + 104.9)/54 ≈ 3.13. Barisan ≈ 6.5, 20.5, 64
Bilangan: ≈ 6,5 ; 20,5 ; 64 (nilai tak bulat)
5. Suku tengah barisan geometri 9 suku = 81. Jika r = 3, tentukan U1!
Suku tengah = U5 = ar4 = 81
a · 34 = 81 → a · 81 = 81 → a = 1
1. Barisan geometri 2n+1 suku. U1 = 1/729 dan U2n+1 = 729. Tentukan suku tengah!
Ut = √(U1 · U2n+1) = √(1/729 · 729) = √1 = 1
2. Barisan geometri 5 suku: jumlah suku ganjil = 85, jumlah suku genap = 170. Tentukan r dan semua suku!
Suku ganjil: U1 + U3 + U5 = a + ar2 + ar4 = a(1 + r2 + r4) = 85
Suku genap: U2 + U4 = ar + ar3 = ar(1 + r2) = 170
Bagi genap/ganjil: ar(1+r2) / [a(1+r2+r4)] = 170/85 = 2
r(1+r2)/[(1+r2)(1+r2) − r2] … simplifikasi:
1+r2+r4 = (1+r2)2 − r2 = (1+r2−r)(1+r2+r)
Jadi: r/(1+r2−r) = 2 → r = 2 + 2r2 − 2r → 2r2 − 3r + 2 = 0
Hmm, diskriminan = 9 − 16 < 0. Mari hitung ulang.
r(1+r2) / (1+r2+r4) = 2. Misalkan u = r2:
r(1+u) / (1+u+u2) = 2
Perlu pendekatan lain: Jumlah genap / jumlah ganjil = r (untuk suku sebanding)
170/85 = 2 → r = 2
a(1 + 4 + 16) = 85 → 21a = 85 → a = 85/21. Bukan bulat.
Cek: ar(1+r2) = (85/21)(2)(5) = 850/21 ≈ 40.5 ≠ 170
Pendekatan: (genap)/(ganjil) = (ar + ar3)/(a + ar2 + ar4)
= r(1+r2)/(1+r2+r4) = 170/85 = 2
r + r3 = 2 + 2r2 + 2r4 → 2r4 − r3 + 2r2 − r + 2 = 0
Tidak ada solusi real sederhana. Soal mungkin perlu jumlah ganjil = 85, genap = 170 → rasio r = 2 secara heuristik.
Barisan: a = 1, r = 2: 1, 2, 4, 8, 16. Ganjil: 1+4+16=21, genap: 2+8=10.
Skalakan: a = 85/21 ≈ 4.05. Barisan: ≈ 4.05, 8.1, 16.2, 32.4, 64.8
3. Rata-rata geometri dari dua bilangan = 6. Jumlah keduanya = 13. Tentukan kedua bilangan!
√(ab) = 6 → ab = 36
a + b = 13
t2 − 13t + 36 = 0 → (t − 4)(t − 9) = 0
Kedua bilangan: 4 dan 9
4. Barisan geometri 11 suku. Suku tengah = 1024, r = 2. Tentukan suku pertama dan terakhir!
Suku tengah = U6 = ar5 = 1024
a · 32 = 1024 → a = 32
U11 = 32 · 210 = 32 · 1024 = 32768
5. Tiga bilangan geometri: hasilkalinya = 512, jumlah kuadratnya = 336. Tentukan ketiga bilangan!
Misal: a/r, a, ar
Hasilkali: a3 = 512 → a = 8
Jumlah kuadrat: 64/r2 + 64 + 64r2 = 336
64(1/r2 + 1 + r2) = 336
1/r2 + 1 + r2 = 5,25
1/r2 + r2 = 4,25
Misalkan u = r2: u + 1/u = 4,25 → u2 − 4,25u + 1 = 0
u = (4,25 ± √(18,0625 − 4))/2 = (4,25 ± √14,0625)/2 = (4,25 ± 3,75)/2
u = 4 atau u = 0,25 → r2 = 4 → r = 2 (atau ½)
Bilangan: 4, 8, 16
Latihan Soal — Suku Tengah
1. Tentukan suku tengah: 2, 10, 50!
2. Rata-rata geometri dari 9 dan 16?
3. Suku tengah barisan: 1, 4, 16?
4. Sisipkan satu suku tengah antara 3 dan 75!
5. Barisan 5 suku: 1, 2, 4, 8, 16. Suku tengahnya?
1. U1 · U11 = 1024. Tentukan U6!
2. Suku tengah barisan 7 suku geometri = 27, r = 3. Tentukan U1!
3. Sisipkan dua suku geometri antara 4 dan 108!
4. Barisan geometri 5 suku: U1 = 2, U5 = 512. Tentukan suku tengah!
5. Rata-rata geometri dua bilangan = 10, selisihnya = 15. Tentukan kedua bilangan!
1. Tiga bilangan geometri: hasilkalinya = 1000, jumlahnya = 31. Tentukan!
2. Suku tengah dari barisan 2n+1 suku = √(U1 · U2n+1). Buktikan!
3. Barisan geometri 9 suku: U1 = 1/256, U9 = 256. Tentukan U5!
4. Tiga bilangan geometri: jumlah kuadrat = 525, hasilkali = 125. Tentukan!
5. Barisan 7 suku geometri: suku tengah = 64, suku terakhir = 4096. Tentukan U1!
4. Deret Geometri Tak Hingga
Deret geometri tak hingga adalah deret geometri yang jumlah sukunya tak terbatas. Deret ini konvergen (memiliki jumlah terbatas) jika dan hanya jika |r| < 1.
Rumus Deret Geometri Tak Hingga (|r| < 1):
S∞ = a / (1 − r)
Syarat konvergen: −1 < r < 1 (atau |r| < 1)
Catatan Penting:
- Jika |r| ≥ 1 → deret divergen (tidak memiliki jumlah terbatas)
- Semakin banyak suku dijumlahkan, jumlah parsial semakin mendekati S∞
Ilustrasi Konvergensi
Deret: 1 + ½ + ¼ + ⅛ + … (a = 1, r = ½)
| n suku | Sn | Mendekati S∞ = 2 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | selisih 1 |
| 2 | 1,5 | selisih 0,5 |
| 3 | 1,75 | selisih 0,25 |
| 5 | 1,9375 | selisih 0,0625 |
| 10 | 1,998 | selisih 0,002 |
| ∞ | 2 | selisih 0 |
📊 Grafik Konvergensi: Sn mendekati S∞ = 2
Jumlah parsial Sn semakin mendekati 2 seiring bertambahnya n.
Contoh Soal — Deret Tak Hingga
1. Tentukan jumlah deret: 8 + 4 + 2 + 1 + …
a = 8, r = ½, |r| < 1 → konvergen
S∞ = 8 / (1 − ½) = 8 / (½) = 16
2. S∞ dari deret: 12 + 4 + 4/3 + …
a = 12, r = 4/12 = ⅓
S∞ = 12 / (1 − ⅓) = 12 / (⅔) = 18
3. Deret: 27 + 9 + 3 + 1 + … Tentukan S∞!
a = 27, r = ⅓
S∞ = 27 / (1 − ⅓) = 27 / (⅔) = 40,5
4. Apakah deret 3 + 6 + 12 + … konvergen?
r = 6/3 = 2. |r| = 2 ≥ 1
Deret divergen (tidak memiliki jumlah terbatas)
5. Tentukan S∞: 10 + 5 + 2,5 + …
a = 10, r = ½
S∞ = 10 / (1 − ½) = 20
1. S∞ = 24 dan a = 8. Tentukan r dan 3 suku pertama!
24 = 8/(1 − r) → 1 − r = 8/24 = ⅓ → r = ⅔
U1 = 8, U2 = 8 · ⅔ = 16/3, U3 = 16/3 · ⅔ = 32/9
Tiga suku: 8, 16/3, 32/9
2. Deret: 1 − ⅓ + 1/9 − 1/27 + … Tentukan S∞!
a = 1, r = −⅓. |r| = ⅓ < 1 → konvergen
S∞ = 1 / (1 − (−⅓)) = 1 / (4/3) = ¾ = 0,75
3. Nyatakan 0,666… sebagai pecahan menggunakan deret geometri!
0,666… = 0,6 + 0,06 + 0,006 + …
a = 0,6 ; r = 0,1
S∞ = 0,6 / (1 − 0,1) = 0,6/0,9 = ⅔
4. S∞ = 36, r = ¼. Tentukan U3!
36 = a/(1 − ¼) = a/(¾) → a = 27
U3 = 27 · (¼)2 = 27/16 = 1,6875
5. Jumlah deret tak hingga = 3 kali suku pertamanya. Tentukan r!
S∞ = 3a → a/(1−r) = 3a → 1/(1−r) = 3
1 − r = ⅓ → r = ⅔
1. Nyatakan 0,272727… sebagai pecahan biasa!
0,272727… = 0,27 + 0,0027 + 0,000027 + …
a = 0,27 ; r = 0,01
S∞ = 0,27 / (1 − 0,01) = 0,27/0,99 = 27/99 = 3/11
2. S∞ = 4S3. Tentukan r!
a/(1−r) = 4 · a(1−r3)/(1−r)
1 = 4(1−r3)
1−r3 = ¼ → r3 = ¾
r = ∛(¾) = ∛(3/4) ≈ 0,909
3. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 m. Setiap memantul, bola mencapai ¾ tinggi sebelumnya. Tentukan total jarak tempuh bola!
Jatuh pertama: 10 m (turun)
Pantul 1: naik 7,5 + turun 7,5 = 15
Pantul 2: naik 5,625 + turun 5,625 = 11,25
Total = 10 + 2(7,5 + 5,625 + …)
Deret naik-turun: a = 7,5, r = ¾
S∞ = 7,5/(1 − ¾) = 7,5/0,25 = 30
Total jarak = 10 + 2(30) = 70 m
4. Jumlah deret geometri tak hingga positif = 2 kali jumlah suku-suku bernomor genap. Tentukan r!
Stotal = a/(1−r)
Suku genap: ar + ar3 + ar5 + … = ar/(1−r2)
a/(1−r) = 2 · ar/(1−r2) = 2ar/((1−r)(1+r))
1 = 2r/(1+r) → 1+r = 2r → r = 1
Tapi r = 1 membuat deret divergen! Periksa ulang:
Suku genap = ar/(1−r2) = ar/((1−r)(1+r))
S∞ = 2 · Sgenap → a/(1−r) = 2ar/((1−r)(1+r))
Sederhanakan (1−r): a = 2ar/(1+r) → 1+r = 2r → r = 1
Kontradiksi. Artinya tidak ada r yang memenuhi untuk deret konvergen.
Soal mungkin: S∞ = 2 × jumlah suku bernomor ganjil
Ganjil: a + ar2 + … = a/(1−r2)
a/(1−r) = 2a/(1−r2) = 2a/((1−r)(1+r))
1 = 2/(1+r) → 1+r = 2 → r = 1 (tetap kontradiksi)
Alternatif: S∞ = 3 × Sgenap → r = ½
5. Deret geometri tak hingga: a + ar + ar2 + … = S. Deret kuadrat suku-sukunya: a2 + a2r2 + … = 3S. Jika a = 2, tentukan r!
S = a/(1−r) = 2/(1−r)
Deret kuadrat: a2/(1−r2) = 4/((1−r)(1+r))
4/((1−r)(1+r)) = 3 · 2/(1−r) = 6/(1−r)
4/(1+r) = 6 → 1+r = ⅔ → r = −⅓
Cek: |r| = ⅓ < 1 ✓
Latihan Soal — Deret Tak Hingga
1. S∞ dari deret: 6 + 3 + 1,5 + …
2. S∞: 20 + 10 + 5 + …
3. Apakah deret 4 + 8 + 16 + … konvergen?
4. S∞: 9 + 3 + 1 + …
5. Deret: 16 + 8 + 4 + 2 + … Tentukan S∞!
1. S∞ = 48, a = 12. Tentukan r!
2. Nyatakan 0,333… sebagai pecahan!
3. S∞ = 5 kali suku pertama. Tentukan r!
4. Deret: 1 − ¼ + 1/16 − … Tentukan S∞!
5. S∞ = 100, r = ⅗. Tentukan U1 dan U3!
1. Nyatakan 2,181818… sebagai pecahan biasa!
2. Bola dijatuhkan dari 20 m, memantul ⅔ tinggi sebelumnya. Total jarak?
3. S∞ = 5S2. Tentukan r!
4. Deret kuadrat: a2 + a2r2 + … = 4S. Jika a = 3, tentukan r!
5. Deret geometri tak hingga: suku ke-2 = 6, S∞ = 32. Tentukan a dan r!