Relasi Matematika
Memahami Relasi, Cara Menyajikan Relasi, dan Sifat-sifat Relasi
1. Memahami Relasi
Definisi: Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.
Jika A = {1, 2, 3} dan B = {a, b, c}, maka relasi R dari A ke B dapat ditulis sebagai himpunan pasangan berurutan:
R = {(1, a), (2, b), (3, c)}
Notasi: Jika a ∈ A berelasi dengan b ∈ B, ditulis a R b atau (a, b) ∈ R.
Contoh Diagram Panah:
Relasi: “berpasangan dengan”
Domain, Kodomain, dan Range:
- Domain (Daerah Asal) = himpunan anggota A yang memiliki pasangan di B
- Kodomain (Daerah Kawan) = himpunan B
- Range (Daerah Hasil) = himpunan anggota B yang memiliki pasangan dari A
📘 Contoh Soal – Memahami Relasi
Level Mudah
1. Diketahui A = {1, 2, 3} dan B = {4, 5, 6}. Relasi dari A ke B adalah “dua kurangnya dari”. Tentukan himpunan pasangan berurutan!
Pembahasan
Relasi “dua kurangnya dari” berarti a + 2 = b, atau b – a = 2.
• 1 + 2 = 3 → 3 ∉ B? Tidak, 3 ∉ B. Cek: 4 – 1 = 3 ≠ 2. Hmm, mari kita cek ulang.
Arti “a dua kurangnya dari b” → b – a = 2
• b – 1 = 2 → b = 3 ∉ B
• b – 2 = 2 → b = 4 ∈ B ✓ → (2, 4)
• b – 3 = 2 → b = 5 ∈ B ✓ → (3, 5)
Juga: 1: b = 3 ∉ B
R = {(2, 4), (3, 5)}
2. Diketahui A = {2, 3, 4} dan B = {6, 8, 9, 12}. Relasi “faktor dari” dari A ke B. Tentukan pasangan berurutan!
Pembahasan
“a faktor dari b” berarti b habis dibagi a.
• 2: 6÷2=3✓, 8÷2=4✓, 12÷2=6✓ → (2,6), (2,8), (2,12)
• 3: 6÷3=2✓, 9÷3=3✓, 12÷3=4✓ → (3,6), (3,9), (3,12)
• 4: 8÷4=2✓, 12÷4=3✓ → (4,8), (4,12)
R = {(2,6), (2,8), (2,12), (3,6), (3,9), (3,12), (4,8), (4,12)}
3. Tentukan domain, kodomain, dan range dari relasi R = {(1, a), (2, b), (3, a)} dari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {a, b, c}.
Pembahasan
• Domain = anggota A yang punya pasangan = {1, 2, 3}
• Kodomain = B = {a, b, c}
• Range = anggota B yang dipasangkan = {a, b}
4. A = {apel, mangga, jeruk}, B = {merah, kuning, oranye}. Relasi “berwarna”. Tentukan himpunan pasangan berurutan!
Pembahasan
• apel berwarna merah → (apel, merah)
• mangga berwarna kuning → (mangga, kuning)
• jeruk berwarna oranye → (jeruk, oranye)
R = {(apel, merah), (mangga, kuning), (jeruk, oranye)}
5. Diketahui relasi R = {(a,1), (b,2), (c,3)}. Apakah benar bahwa range R = {1, 2, 3}?
Pembahasan
Range = himpunan semua elemen kedua pada pasangan berurutan = {1, 2, 3}.
Ya, benar. Range R = {1, 2, 3}.
Level Sedang
1. Diketahui A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {1, 2, 3, …, 25}. Relasi dari A ke B adalah “kuadrat dari”. Tentukan domain dan range!
Pembahasan
“a kuadrat dari b” berarti b = a²
• 1² = 1 ∈ B ✓, • 2² = 4 ∈ B ✓, • 3² = 9 ∈ B ✓, • 4² = 16 ∈ B ✓, • 5² = 25 ∈ B ✓
R = {(1,1), (2,4), (3,9), (4,16), (5,25)}
Domain = {1,2,3,4,5}, Range = {1,4,9,16,25}
2. Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan relasi R pada A (dari A ke A) didefinisikan “a + b = 5”. Tentukan R!
Pembahasan
Cari semua (a, b) dengan a, b ∈ A dan a + b = 5:
• 1 + 4 = 5 ✓ → (1, 4)
• 2 + 3 = 5 ✓ → (2, 3)
• 3 + 2 = 5 ✓ → (3, 2)
• 4 + 1 = 5 ✓ → (4, 1)
R = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}
3. Banyaknya relasi yang mungkin dari A = {a, b} ke B = {1, 2, 3} adalah…
Pembahasan
Banyak relasi dari A ke B = 2^(|A| × |B|) = 2^(2×3) = 2^6 = 64
4. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Relasi R pada A: “a habis membagi b dan a ≠ b”. Tentukan semua pasangan yang memuat angka 2!
Pembahasan
2 habis membagi b (b ≠ 2): b = 4, 6 → (2,4), (2,6)
a habis membagi 2 (a ≠ 2): a = 1 → (1,2)
Pasangan yang memuat 2: {(1,2), (2,4), (2,6)}
5. Dari relasi R = {(1,2), (1,3), (2,3), (3,4), (4,4)} pada A = {1,2,3,4}, tentukan elemen domain yang berelasi dengan lebih dari satu elemen!
Pembahasan
• 1 berelasi dengan 2 dan 3 (2 elemen) ✓
• 2 berelasi dengan 3 (1 elemen)
• 3 berelasi dengan 4 (1 elemen)
• 4 berelasi dengan 4 (1 elemen)
Jawaban: 1
Level Sulit
1. Diketahui |A| = 3 dan |B| = 2. Berapa banyak relasi dari A ke B yang memiliki tepat 4 pasangan berurutan?
Pembahasan
Total pasangan yang mungkin = |A| × |B| = 3 × 2 = 6
Relasi dengan tepat 4 pasangan = C(6, 4) = 6!/(4!·2!) = 15
Jawaban: 15 relasi
2. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Relasi R pada A: “a − b = 3”. Tentukan R dan nyatakan banyak anggota R!
Pembahasan
a − b = 3 → a = b + 3
• b=1, a=4 → (4,1); b=2, a=5 → (5,2); b=3, a=6 → (6,3); b=4, a=7 → (7,4); b=5, a=8 → (8,5)
R = {(4,1), (5,2), (6,3), (7,4), (8,5)}
|R| = 5
3. Diketahui A = {1, 2, 3}. Berapa banyak relasi pada A yang mengandung pasangan (1,1), (2,2), dan (3,3)?
Pembahasan
Total pasangan pada A×A = 3×3 = 9
3 pasangan sudah ditentukan: (1,1), (2,2), (3,3)
Sisa 6 pasangan bebas dipilih ada atau tidak
Banyak relasi = 2^6 = 64
4. Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c}. Berapa banyak relasi dari A ke B yang domain-nya = A (setiap elemen A punya pasangan)?
Pembahasan
Setiap elemen A harus punya minimal 1 pasangan di B.
Setiap elemen A bisa dipasangkan ke subset tak kosong dari B.
Banyak subset tak kosong B = 2³ − 1 = 7
Banyak relasi = 7⁴ = 2401
5. A = {1, 2, 3, 4, 5}. Relasi R pada A: “a × b ≤ 6 dan a ≠ b”. Tentukan banyak anggota R!
Pembahasan
Cari semua (a,b) dengan a≠b dan a×b ≤ 6:
a=1: b=2,3,4,5 (semua×1≤6) → 4 pasangan
a=2: b=1,3 (2×1=2, 2×3=6) → 2 pasangan
a=3: b=1,2 (3×1=3, 3×2=6) → 2 pasangan
a=4: b=1 (4×1=4) → 1 pasangan
a=5: b=1 (5×1=5) → 1 pasangan
Total = 4+2+2+1+1 = 10 pasangan
✏️ Latihan Soal – Memahami Relasi
Level Mudah
1. A = {2, 4, 6} dan B = {1, 2, 3}. Relasi “setengah dari”. Tentukan R!
2. Tentukan domain dan range dari R = {(a,1), (b,1), (c,2)}.
3. A = {kucing, anjing, ikan}. B = {darat, air}. Relasi “hidup di”. Tentukan R!
4. Jika R = {(1,a), (2,b)}, apakah 3 termasuk domain? Jelaskan!
5. A = {1, 2} dan B = {3, 4}. Tuliskan semua relasi yang mungkin dengan tepat 1 pasangan!
Level Sedang
1. A = {1,2,3,4,5,6}. Relasi R pada A: “a + b = 7”. Tentukan R!
2. Berapa banyak relasi dari A = {x, y} ke B = {1, 2}?
3. A = {2,3,5,7}. B = {4,6,9,10,14,15,21,25,35,49}. Relasi “a² = b”. Tentukan R!
4. Dari R = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3)} pada A = {1,2,3}, tentukan elemen yang berelasi dengan dirinya sendiri!
5. A = {1,2,3,4}. Relasi “a < b” pada A. Berapa banyak pasangan?
Level Sulit
1. |A| = 4, |B| = 3. Berapa banyak relasi dengan tepat 5 pasangan?
2. A = {1,2,…,10}. Relasi “a mod b = 0 dan a ≠ b”. Tentukan semua pasangan yang memuat 6!
3. A = {1,2,3}. Berapa banyak relasi pada A yang range-nya = A?
4. A = {1,2,3,4,5}. Relasi “GCD(a,b) = 1 dan a < b”. Tentukan banyak anggota R!
5. Diketahui |A| = n. Buktikan bahwa banyaknya relasi pada A adalah 2^(n²)!
2. Cara Menyajikan Relasi
Relasi dapat disajikan dengan 4 cara:
a) Himpunan Pasangan Berurutan
R = {(1, 2), (2, 4), (3, 6)}
Relasi “dua kali dari” dari A = {1,2,3} ke B = {2,4,6}
b) Diagram Panah
Relasi: “dua kali dari”
c) Tabel
| A \ B | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|
| 1 | ✓ | ||
| 2 | ✓ | ||
| 3 | ✓ |
d) Diagram Cartesius (Grafik)
📘 Contoh Soal – Menyajikan Relasi
Level Mudah
1. Sajikan relasi R = {(1,a), (2,b), (3,c)} dalam bentuk diagram panah!
Pembahasan
Gambar dua himpunan (elips). Kiri: {1, 2, 3}. Kanan: {a, b, c}.
Tarik panah: 1→a, 2→b, 3→c.
2. Sajikan relasi “lebih dari” dari A={2,4} ke B={1,3} dalam tabel!
Pembahasan
R: 2>1 ✓, 2>3 ✗, 4>1 ✓, 4>3 ✓
| A\B | 1 | 3 |
|---|---|---|
| 2 | ✓ | |
| 4 | ✓ | ✓ |
3. Dari diagram Cartesius yang menunjukkan titik (1,3), (2,3), (3,3), tentukan relasi dalam himpunan pasangan berurutan!
Pembahasan
R = {(1,3), (2,3), (3,3)}
Relasi ini bisa diartikan “dipasangkan dengan 3”.
4. Sajikan R = {(a,1), (b,2)} dalam bentuk diagram panah!
Pembahasan
Himpunan kiri: {a, b}. Himpunan kanan: {1, 2}. Panah: a→1, b→2.
5. Dari tabel relasi berikut, tentukan himpunan pasangan berurutan!
| A\B | p | q |
|---|---|---|
| 1 | ✓ | |
| 2 | ✓ |
Pembahasan
R = {(1, p), (2, q)}
Level Sedang
1. A = {1,2,3,4}, B = {2,3,4,5,6,7,8}. Relasi “a + 3 = b”. Sajikan dalam 4 cara!
Pembahasan
R = {(1,4), (2,5), (3,6), (4,7)}
Pasangan berurutan: R = {(1,4), (2,5), (3,6), (4,7)}
Diagram panah: 1→4, 2→5, 3→6, 4→7
Tabel:
| A\B | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | ✓ | ||||||
| 2 | ✓ | ||||||
| 3 | ✓ | ||||||
| 4 | ✓ |
Diagram Cartesius: Titik-titik di (1,4), (2,5), (3,6), (4,7)
2. Dari diagram panah: A={p,q,r}, B={1,2,3}. Panah: p→1, p→2, q→2, r→3. Sajikan dalam pasangan berurutan dan tabel!
Pembahasan
R = {(p,1), (p,2), (q,2), (r,3)}
| A\B | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| p | ✓ | ✓ | |
| q | ✓ | ||
| r | ✓ |
3. Gambarlah diagram Cartesius untuk relasi R = {(1,1), (2,4), (3,9)} dari A = {1,2,3} ke B = {1,4,9}!
Pembahasan
Sumbu-x: A = {1,2,3}. Sumbu-y: B = {1,4,9}.
Plot titik (1,1), (2,4), (3,9) pada bidang koordinat.
4. Dari tabel berikut, tentukan relasi dalam kata-kata!
| A\B | 4 | 9 | 16 |
|---|---|---|---|
| 2 | ✓ | ||
| 3 | ✓ | ||
| 4 | ✓ |
Pembahasan
2→4 (2²=4), 3→9 (3²=9), 4→16 (4²=16)
Relasi: “kuadrat dari” atau “a² = b”
5. Sajikan relasi “a membagi b” dari A={2,3} ke B={6,8,9,12} dalam diagram panah dan pasangan berurutan!
Pembahasan
2|6✓, 2|8✓, 2|9✗, 2|12✓; 3|6✓, 3|8✗, 3|9✓, 3|12✓
R = {(2,6),(2,8),(2,12),(3,6),(3,9),(3,12)}
Diagram panah: 2→6, 2→8, 2→12, 3→6, 3→9, 3→12
Level Sulit
1. A = {1,2,3,4,5}. Relasi R pada A: “a² + b² ≤ 10”. Sajikan R dalam diagram Cartesius dan hitung |R|!
Pembahasan
Cari semua (a,b) ∈ A×A dengan a²+b² ≤ 10:
a=1: 1+b²≤10 → b²≤9 → b=1,2,3 → (1,1),(1,2),(1,3)
a=2: 4+b²≤10 → b²≤6 → b=1,2 → (2,1),(2,2)
a=3: 9+b²≤10 → b²≤1 → b=1 → (3,1)
a=4: 16+b²≤10 → tidak ada
a=5: tidak ada
R = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)}, |R| = 6
2. Diberikan diagram Cartesius dengan titik-titik: (1,1),(1,4),(2,2),(2,4),(4,4). Tentukan relasi dalam notasi himpunan dan jelaskan aturannya!
Pembahasan
R = {(1,1),(1,4),(2,2),(2,4),(4,4)}
Perhatikan: setiap (a,b) memenuhi a | b (a membagi b).
1|1✓, 1|4✓, 2|2✓, 2|4✓, 4|4✓
Relasi: “a membagi b” atau “a adalah faktor dari b”
3. A = {1,2,3,4}. Relasi R: “selisih a dan b adalah bilangan genap”. Sajikan dalam tabel dan tentukan |R|!
Pembahasan
|a-b| genap jika a dan b sama paritas (sama-sama genap atau ganjil)
Ganjil: {1,3}. Genap: {2,4}.
Pasangan: (1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)
| A\A | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | ✓ | ✓ | ||
| 2 | ✓ | ✓ | ||
| 3 | ✓ | ✓ | ||
| 4 | ✓ | ✓ |
|R| = 8
4. Dari 4 cara penyajian relasi, manakah yang paling efisien jika |A| = 100 dan |B| = 100? Jelaskan!
Pembahasan
• Pasangan berurutan: praktis jika |R| kecil
• Diagram panah: tidak praktis (terlalu banyak elemen)
• Tabel: ukuran 100×100, memungkinkan tapi besar
• Diagram Cartesius: efisien karena hanya perlu plot titik yang berelasi
Paling efisien: Himpunan pasangan berurutan (jika |R| kecil) atau rumus/aturan relasi.
5. A = {1,2,3,4,5,6}. Relasi: “FPB(a,b) > 1”. Sajikan dalam tabel hanya untuk a ≤ b!
Pembahasan
FPB(a,b)>1 artinya a dan b punya faktor persekutuan selain 1.
(2,4)✓,(2,6)✓,(3,6)✓,(4,6)✓,(2,2)✓,(3,3)✓,(4,4)✓,(5,5)✓,(6,6)✓,(3,9)–tdk ada,(4,8)–tdk ada
Lengkap: (2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(4,4),(4,6),(5,5),(6,6)
| a\b | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | ||||||
| 2 | ✓ | ✓ | ✓ | |||
| 3 | ✓ | ✓ | ||||
| 4 | ✓ | ✓ | ||||
| 5 | ✓ | |||||
| 6 | ✓ |
✏️ Latihan Soal – Menyajikan Relasi
Level Mudah
1. Sajikan R = {(2,4), (3,6), (4,8)} dalam diagram panah!
2. Sajikan R = {(a,x), (b,y)} dalam bentuk tabel!
3. Dari diagram Cartesius titik (1,2) dan (3,4), tulis R dalam pasangan berurutan!
4. Sajikan “kelipatan 2” dari A={1,2,3} ke B={2,4,6} dalam 2 cara!
5. Buat diagram panah dari relasi “ibu kota” jika A={Jawa Barat, DKI Jakarta} dan B={Bandung, Jakarta}!
Level Sedang
1. A={1,2,3,4,5}, B={1,2,…,10}. Relasi “2a = b”. Sajikan dalam 4 cara!
2. Dari tabel relasi A\B dengan tanda ✓ di (1,3),(2,3),(3,3), jelaskan relasinya!
3. Gambar diagram Cartesius R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} dan jelaskan pola!
4. A={2,3,4,5}. Relasi pada A: “a+b=7”. Sajikan semua cara!
5. Konversi diagram panah (dimana 1→a, 1→b, 2→c) menjadi tabel dan pasangan berurutan!
Level Sulit
1. A={1,2,…,6}. R: “ab adalah kuadrat sempurna, a≠b”. Sajikan dalam tabel!
2. Dari diagram Cartesius 12 titik, tentukan kemungkinan relasi dan sajikan dalam pasangan berurutan!
3. A={1,2,3,4,5}. Relasi: “|a²-b²| ≤ 5, a≠b”. Sajikan R dan tentukan |R|!
4. Jelaskan kelebihan dan kekurangan masing-masing cara penyajian relasi!
5. A={1,2,…,8}. Relasi “a mod 3 = b mod 3”. Sajikan dalam bentuk tabel!
3. Sifat-sifat Relasi
Relasi R pada himpunan A dapat memiliki sifat-sifat berikut:
1. Refleksif
R bersifat refleksif jika setiap a ∈ A berlaku (a, a) ∈ R.
Artinya: setiap elemen berelasi dengan dirinya sendiri.
Contoh: “≤” pada ℤ bersifat refleksif karena a ≤ a untuk semua a.
2. Simetris
R bersifat simetris jika (a, b) ∈ R maka (b, a) ∈ R.
Artinya: jika a berelasi dengan b, maka b juga berelasi dengan a.
Contoh: “berteman dengan” bersifat simetris.
3. Antisimetris
R bersifat antisimetris jika (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R maka a = b.
Artinya: dua elemen berbeda tidak bisa saling berelasi.
Contoh: “≤” bersifat antisimetris: jika a ≤ b dan b ≤ a maka a = b.
4. Transitif
R bersifat transitif jika (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R maka (a, c) ∈ R.
Artinya: relasi “merambat” dari a ke b ke c.
Contoh: “>” bersifat transitif: jika a > b dan b > c maka a > c.
5. Relasi Ekuivalensi
Relasi R disebut relasi ekuivalensi jika bersifat:
- Refleksif
- Simetris
- Transitif
Ilustrasi Sifat-sifat:
Refleksif: a → a
Simetris: a→b dan b→a
📘 Contoh Soal – Sifat-sifat Relasi
Level Mudah
1. A = {1,2,3}. R = {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)}. Apakah R refleksif?
Pembahasan
Refleksif jika (a,a) ∈ R untuk semua a ∈ A.
(1,1) ✓, (2,2) ✓, (3,3) ✓
Ya, R bersifat refleksif.
2. A = {1,2,3}. R = {(1,2),(2,1),(2,3)}. Apakah R simetris?
Pembahasan
Cek: (1,2)∈R → (2,1)∈R? ✓
(2,1)∈R → (1,2)∈R? ✓
(2,3)∈R → (3,2)∈R? ✗ (3,2)∉R
Tidak, R tidak simetris.
3. Relasi “=” pada himpunan bilangan asli. Apakah refleksif?
Pembahasan
Untuk setiap a ∈ ℕ, a = a selalu benar.
Ya, relasi “=” bersifat refleksif.
4. R = {(1,2),(2,3),(1,3)} pada A={1,2,3}. Apakah transitif?
Pembahasan
Cek: (1,2)∈R dan (2,3)∈R → apakah (1,3)∈R? ✓
Tidak ada pasangan lain yang perlu dicek (tidak ada (x,1) selain yang sudah).
Ya, R bersifat transitif.
5. Relasi “≠” pada A = {1,2}. Apakah refleksif?
Pembahasan
Cek: (1,1) → 1≠1? Salah! Jadi (1,1)∉R.
Tidak, relasi “≠” tidak refleksif.
Level Sedang
1. A = {1,2,3,4}. R = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1)}. Tentukan sifat-sifat R!
Pembahasan
Refleksif: (1,1),(2,2),(3,3),(4,4) ∈ R ✓
Simetris: (1,3)∈R, (3,1)∈R ✓. Semua pasangan non-diagonal punya kebalikan. ✓
Antisimetris: (1,3)∈R dan (3,1)∈R tapi 1≠3 → ✗
Transitif: (1,3)∈R,(3,1)∈R → (1,1)∈R ✓; (3,1)∈R,(1,3)∈R → (3,3)∈R ✓. ✓
Sifat: Refleksif, Simetris, Transitif → Relasi Ekuivalensi!
2. Relasi “≤” pada A = {1,2,3}. Tentukan semua sifatnya!
Pembahasan
R = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)}
Refleksif: (1,1),(2,2),(3,3) ∈ R ✓
Simetris: (1,2)∈R tapi (2,1)∉R → ✗
Antisimetris: (a,b)∈R dan (b,a)∈R → a≤b dan b≤a → a=b ✓
Transitif: a≤b dan b≤c → a≤c ✓
Sifat: Refleksif, Antisimetris, Transitif
3. A = {1,2,3}. R = {(1,2),(2,3),(1,3)}. Apakah R transitif? Simetris?
Pembahasan
Transitif: (1,2)∈R,(2,3)∈R → (1,3)∈R? ✓
Simetris: (1,2)∈R → (2,1)∈R? ✗
Transitif: Ya. Simetris: Tidak.
4. Relasi “memiliki faktor persekutuan selain 1” pada A = {2,3,4,6}. Apakah simetris?
Pembahasan
Jika GCD(a,b) > 1 maka GCD(b,a) > 1 juga (karena GCD simetris).
Ya, relasi ini bersifat simetris.
5. A = {1,2,3,4}. R: “a – b genap”. Tunjukkan R adalah relasi ekuivalensi!
Pembahasan
Refleksif: a – a = 0 (genap) ✓
Simetris: a-b genap → b-a = -(a-b) juga genap ✓
Transitif: a-b genap dan b-c genap → (a-b)+(b-c) = a-c genap ✓
R adalah relasi ekuivalensi.
Level Sulit
1. A = {1,2,3,4,5,6}. R: “a mod 3 = b mod 3”. Buktikan R relasi ekuivalensi dan tentukan kelas-kelas ekuivalensinya!
Pembahasan
Refleksif: a mod 3 = a mod 3 ✓
Simetris: a mod 3 = b mod 3 → b mod 3 = a mod 3 ✓
Transitif: a mod 3 = b mod 3, b mod 3 = c mod 3 → a mod 3 = c mod 3 ✓
Kelas ekuivalensi:
[1] = {1, 4} (mod 3 = 1)
[2] = {2, 5} (mod 3 = 2)
[3] = {3, 6} (mod 3 = 0)
2. A = {1,2,3}. Tentukan relasi R terkecil pada A yang refleksif dan transitif, yang memuat (1,2) dan (2,3)!
Pembahasan
Harus refleksif: tambah (1,1),(2,2),(3,3)
Punya (1,2),(2,3) → transitif: tambah (1,3)
Cek lagi: (2,3),(3,3)→(2,3) sudah ada. OK.
R = {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)}
3. Buktikan bahwa relasi “a | b” (a membagi b) pada ℕ bersifat antisimetris dan transitif!
Pembahasan
Antisimetris: a|b berarti b = ka, dan b|a berarti a = lb.
Maka b = ka dan a = lb → b = k(lb) → 1 = kl. Karena k,l ∈ ℕ maka k=l=1, jadi a=b. ✓
Transitif: a|b berarti b = ka, b|c berarti c = lb = l(ka) = (lk)a.
Jadi a|c. ✓
4. A = {1,2,3,4}. Berapa banyak relasi pada A yang refleksif dan simetris?
Pembahasan
Refleksif: (a,a) harus ada → 4 pasangan ditentukan.
Simetris: untuk pasangan (a,b) dengan a
Banyak pasangan a
Masing-masing bisa ada atau tidak → 2^6 = 64
5. Diberikan relasi R pada ℤ: “a R b jika a − b habis dibagi 4”. Tentukan kelas ekuivalensi dari [0], [1], [2], [3] dan jelaskan!
Pembahasan
a R b ⟺ 4 | (a−b) ⟺ a ≡ b (mod 4)
Ini relasi ekuivalensi (kongruensi modulo).
[0] = {…, −8, −4, 0, 4, 8, …} = {4k : k ∈ ℤ}
[1] = {…, −7, −3, 1, 5, 9, …} = {4k+1 : k ∈ ℤ}
[2] = {…, −6, −2, 2, 6, 10, …} = {4k+2 : k ∈ ℤ}
[3] = {…, −5, −1, 3, 7, 11, …} = {4k+3 : k ∈ ℤ}
Empat kelas ini mempartisi ℤ.
✏️ Latihan Soal – Sifat-sifat Relasi
Level Mudah
1. A={1,2,3}. R={(1,1),(2,2),(3,3)}. Sebutkan sifat R!
2. Apakah relasi “>” pada ℕ bersifat refleksif? Jelaskan!
3. R = {(1,2),(2,1)} pada A={1,2}. Apakah simetris?
4. Relasi “=” pada A={a,b,c}. Sebutkan semua sifatnya!
5. R = {(1,2),(2,3)} pada A={1,2,3}. Apakah transitif?
Level Sedang
1. A={1,2,3,4}. R: “a+b genap”. Tentukan semua sifat R!
2. Relasi “⊆” pada himpunan kuasa P({1,2}). Tentukan sifat-sifatnya!
3. A={1,2,3,4,5,6}. R: “a mod 2 = b mod 2”. Buktikan R relasi ekuivalensi!
4. R = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3)} pada A={1,2,3}. Tentukan sifat-sifat R!
5. Berikan contoh relasi pada A={1,2,3} yang simetris tapi tidak refleksif!
Level Sulit
1. Buktikan relasi “sebangun” pada himpunan segitiga adalah relasi ekuivalensi!
2. A={1,2,…,n}. Berapa banyak relasi refleksif pada A? (nyatakan dalam n)
3. Tentukan relasi terkecil pada {1,2,3,4} yang refleksif, simetris, transitif, dan memuat (1,2) dan (3,4)!
4. Relasi R pada ℤ: “a R b ⟺ 3|(a²−b²)”. Apakah R relasi ekuivalensi?
5. A = {1,2,…,12}. R: “a mod 4 = b mod 4”. Tentukan kelas ekuivalensi dan partisi A!