FUNGSI MATEMATIKA
Kelas VIII SMP — Materi Lengkap, Contoh Soal & Latihan
1. Definisi Fungsi
📖 Pengertian
Fungsi (Pemetaan) adalah relasi khusus dari himpunan A ke himpunan B yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.
Jika f adalah fungsi dari A ke B, ditulis:
Syarat suatu relasi menjadi fungsi:
- Setiap anggota domain (A) harus memiliki pasangan
- Setiap anggota domain dipasangkan dengan tepat satu anggota kodomain (B)
📊 Diagram Panah: Fungsi vs Bukan Fungsi
✅ Ini FUNGSI
Setiap anggota A punya tepat 1 pasangan
❌ Ini BUKAN Fungsi
Anggota “3” tidak punya pasangan & “1” punya 2 pasangan
📝 Contoh Soal — Definisi Fungsi
🟢 Tingkat Mudah
1. Diketahui A = {1, 2, 3} dan B = {a, b, c}. Relasi: {(1,a), (2,b), (3,c)}. Apakah relasi tersebut fungsi?
Pembahasan
Periksa syarat fungsi:
- 1 → a (tepat 1 pasangan) ✅
- 2 → b (tepat 1 pasangan) ✅
- 3 → c (tepat 1 pasangan) ✅
Jawaban: Ya, merupakan fungsi karena setiap anggota A dipasangkan tepat satu anggota B.
2. A = {p, q, r}, B = {1, 2}. Relasi: {(p,1), (q,1), (r,2)}. Fungsi atau bukan?
Pembahasan
Setiap anggota A memiliki tepat satu pasangan di B:
- p → 1 ✅
- q → 1 ✅
- r → 2 ✅
Jawaban: Ya, merupakan fungsi. (Boleh beberapa anggota A menuju anggota B yang sama)
3. A = {1, 2, 3}, B = {x, y}. Relasi: {(1,x), (3,y)}. Apakah fungsi?
Pembahasan
Anggota 2 ∈ A tidak memiliki pasangan di B.
Jawaban: Bukan fungsi karena ada anggota domain yang tidak punya pasangan.
4. A = {a, b}, B = {1, 2, 3}. Relasi: {(a,1), (a,2), (b,3)}. Fungsi?
Pembahasan
Anggota “a” dipasangkan ke 1 dan 2 (dua pasangan).
Jawaban: Bukan fungsi karena anggota a memiliki lebih dari satu pasangan.
5. Sebutkan 3 syarat relasi agar disebut fungsi!
Pembahasan
- Setiap anggota domain harus punya pasangan
- Setiap anggota domain dipasangkan tepat satu anggota kodomain
- Boleh ada anggota kodomain yang tidak memiliki pasangan (bukan range)
🟡 Tingkat Sedang
1. A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c}. Tentukan domain, kodomain, dan range dari fungsi f = {(1,a), (2,b), (3,a), (4,c)}.
Pembahasan
- Domain = {1, 2, 3, 4} (himpunan asal)
- Kodomain = {a, b, c} (himpunan kawan)
- Range = {a, b, c} (anggota B yang menjadi pasangan) → kebetulan semua terpasang
2. Dari diagram panah berikut, tentukan apakah merupakan fungsi:
Pembahasan
f = {(a,1), (b,2), (c,1)}. Setiap anggota domain punya tepat 1 pasangan.
Jawaban: Ya, merupakan fungsi. Range = {1, 2}.
3. Diberikan A = {1, 2, 3} dan B = {4, 5, 6, 7}. Relasi “kurang dari”. Tuliskan himpunan pasangan berurutan dan tentukan apakah fungsi!
Pembahasan
Pasangan: 1 < 4,5,6,7 → (1,4),(1,5),(1,6),(1,7)
Anggota 1 memiliki 4 pasangan.
Jawaban: Bukan fungsi karena anggota domain memiliki lebih dari 1 pasangan.
4. Manakah yang merupakan fungsi dari himpunan pasangan berikut?
(i) {(1,2),(2,3),(3,4)}
(ii) {(1,2),(1,3),(2,4)}
(iii) {(a,1),(b,1),(c,1)}
Pembahasan
(i) Fungsi ✅ — setiap domain punya 1 pasangan
(ii) Bukan fungsi ❌ — anggota 1 punya 2 pasangan (2 dan 3)
(iii) Fungsi ✅ — setiap domain punya tepat 1 pasangan (semua ke 1)
5. Diketahui fungsi f dari A = {1,2,3,4} ke B = {a,b,c,d,e} dengan f = {(1,b),(2,d),(3,a),(4,e)}. Tentukan range dan anggota kodomain yang bukan range!
Pembahasan
Range = {b, d, a, e} = {a, b, d, e}
Anggota kodomain yang bukan range = {c}
🔴 Tingkat Sulit
1. Diketahui A = {x | x bilangan asli, x ≤ 5} dan B = {y | y bilangan asli, y ≤ 10}. Relasi “dua kali dari”. Tentukan apakah relasi tersebut fungsi dan tentukan range-nya!
Pembahasan
A = {1,2,3,4,5}, B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
Relasi “dua kali dari” → a dipasangkan ke 2a:
f = {(1,2),(2,4),(3,6),(4,8),(5,10)}
Setiap anggota A punya tepat 1 pasangan ✅
Jawaban: Ya, fungsi. Range = {2,4,6,8,10}
2. Fungsi f : A → B dengan A = {−2,−1,0,1,2} ditentukan oleh rumus f(x) = x² + 1. Tentukan B (kodomain minimal) agar f merupakan fungsi dan tentukan range!
Pembahasan
Hitung nilai f(x) untuk setiap x ∈ A:
- f(−2) = 4 + 1 = 5
- f(−1) = 1 + 1 = 2
- f(0) = 0 + 1 = 1
- f(1) = 1 + 1 = 2
- f(2) = 4 + 1 = 5
Range = {1, 2, 5}
Kodomain minimal B = {1, 2, 5} (atau himpunan yang memuat semua anggota range)
3. Diberikan himpunan A dengan n(A) = 3 dan B dengan n(B) = 2. Berapa banyak relasi dari A ke B yang merupakan fungsi?
Pembahasan
Setiap anggota A harus dipasangkan tepat 1 anggota B.
Setiap anggota A punya 2 pilihan (anggota B).
Banyak fungsi = 2 × 2 × 2 = 2³ = 8 fungsi
4. Tentukan semua kemungkinan fungsi dari A = {1, 2} ke B = {a, b, c}!
Pembahasan
Anggota 1 bisa ke: a, b, atau c (3 pilihan)
Anggota 2 bisa ke: a, b, atau c (3 pilihan)
Total = 3 × 3 = 9 fungsi:
{(1,a),(2,a)}, {(1,a),(2,b)}, {(1,a),(2,c)}, {(1,b),(2,a)}, {(1,b),(2,b)}, {(1,b),(2,c)}, {(1,c),(2,a)}, {(1,c),(2,b)}, {(1,c),(2,c)}
5. Diketahui f : ℝ → ℝ dengan f(x) = 2x − 3. Buktikan bahwa f adalah fungsi dengan menunjukkan bahwa setiap x memiliki tepat satu nilai f(x)!
Pembahasan
Bukti:
Ambil sembarang x₁, x₂ ∈ ℝ dengan x₁ = x₂
f(x₁) = 2x₁ − 3 dan f(x₂) = 2x₂ − 3
Karena x₁ = x₂, maka 2x₁ − 3 = 2x₂ − 3, sehingga f(x₁) = f(x₂)
Ini menunjukkan bahwa untuk setiap input x yang sama, output-nya selalu sama (tepat satu). Selain itu, untuk setiap x ∈ ℝ, selalu ada nilai 2x − 3 ∈ ℝ.
∴ f(x) = 2x − 3 adalah fungsi. ∎
✏️ Latihan Soal — Definisi Fungsi
🟢 Mudah
- A = {a,b,c}, B = {1,2,3}. Relasi = {(a,1),(b,2),(c,3)}. Apakah fungsi?
- A = {1,2}, B = {p,q,r}. Relasi = {(1,p),(2,q)}. Apakah fungsi?
- A = {x,y,z}, B = {1,2}. Relasi = {(x,1),(y,2)}. Apakah fungsi? Jelaskan!
- Apa perbedaan relasi dan fungsi?
- A = {1,2,3}, B = {a,b}. Relasi = {(1,a),(2,a),(3,a)}. Fungsi atau bukan?
🟡 Sedang
- A = {1,2,3,4}, B = {a,b,c}. Tentukan satu contoh fungsi dan satu contoh bukan fungsi dari A ke B!
- Dari himpunan pasangan {(2,4),(3,6),(4,8),(5,10)}, tentukan domain, kodomain minimal, dan range!
- Gambarkan diagram panah dari fungsi f = {(a,2),(b,3),(c,2),(d,1)} dengan A={a,b,c,d} dan B={1,2,3,4}!
- Jika A = {bilangan prima < 10} dan B = {bilangan genap < 20}, tentukan relasi “setengah dari” dan apakah merupakan fungsi!
- Suatu fungsi f : A → B dengan A = {1,2,3,4,5}. Jika f(x) = x + 3, tentukan B minimal dan range!
🔴 Sulit
- Tentukan semua fungsi yang mungkin dari A = {1,2,3} ke B = {a,b}!
- Jika n(A) = 4 dan n(B) = 3, berapa banyak fungsi yang mungkin dari A ke B?
- Diberikan f(x) = x² − 2x + 1 dengan domain A = {−1,0,1,2,3}. Tentukan range dan buktikan f adalah fungsi!
- Apakah relasi “faktor dari” dari A = {1,2,3,4} ke B = {4,6,8,12} merupakan fungsi? Jelaskan!
- Jika f : A → B fungsi surjektif (onto) dengan n(A) = 4, n(B) = 2, berapa banyak fungsi surjektif yang mungkin?
2. Notasi dan Nilai Fungsi
📖 Notasi Fungsi
Fungsi dinyatakan dengan notasi:
f : x → ax + b (dibaca: “f memetakan x ke ax + b”)
f(x) = ax + b (dibaca: “f dari x sama dengan ax + b”)
Keterangan:
- f = nama fungsi
- x = variabel bebas (anggota domain)
- f(x) = nilai fungsi / bayangan dari x
- a = koefisien, b = konstanta
📊 Tabel Nilai Fungsi
Contoh: f(x) = 2x + 1
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = 2x+1 | −3 | −1 | 1 | 3 | 5 | 7 |
📈 Grafik Fungsi Linear
Grafik f(x) = 2x + 1:
📝 Contoh Soal — Notasi dan Nilai Fungsi
🟢 Tingkat Mudah
1. Jika f(x) = 3x + 2, tentukan f(4)!
Pembahasan
f(4) = 3(4) + 2 = 12 + 2 = 14
2. Jika f(x) = x − 5, tentukan f(0)!
Pembahasan
f(0) = 0 − 5 = −5
3. Jika f(x) = 2x, tentukan f(−3)!
Pembahasan
f(−3) = 2(−3) = −6
4. Jika f(x) = x + 7, tentukan f(−2)!
Pembahasan
f(−2) = −2 + 7 = 5
5. Jika f(x) = 4x − 1, tentukan f(1) dan f(2)!
Pembahasan
f(1) = 4(1) − 1 = 3
f(2) = 4(2) − 1 = 7
Jawaban: f(1) = 3, f(2) = 7
🟡 Tingkat Sedang
1. Jika f(x) = 2x² − 3x + 1, tentukan f(2)!
Pembahasan
f(2) = 2(2)² − 3(2) + 1 = 2(4) − 6 + 1 = 8 − 6 + 1 = 3
2. Jika f(x) = 3x − 1, tentukan nilai x jika f(x) = 11!
Pembahasan
f(x) = 11
3x − 1 = 11
3x = 12
x = 4
3. Diketahui f(x) = ax + 3. Jika f(2) = 9, tentukan nilai a!
Pembahasan
f(2) = a(2) + 3 = 9
2a + 3 = 9
2a = 6
a = 3
4. Jika f(x) = x² + 2x, tentukan f(−1) + f(3)!
Pembahasan
f(−1) = (−1)² + 2(−1) = 1 − 2 = −1
f(3) = (3)² + 2(3) = 9 + 6 = 15
f(−1) + f(3) = −1 + 15 = 14
5. Fungsi f(x) = 2x + b. Jika f(3) = 10, tentukan rumus fungsi dan hitung f(5)!
Pembahasan
f(3) = 2(3) + b = 10 → 6 + b = 10 → b = 4
Jadi f(x) = 2x + 4
f(5) = 2(5) + 4 = 14
🔴 Tingkat Sulit
1. Diketahui f(x) = ax + b. Jika f(1) = 5 dan f(3) = 11, tentukan a dan b!
Pembahasan
f(1) = a + b = 5 … (1)
f(3) = 3a + b = 11 … (2)
Eliminasi: (2)−(1): 2a = 6 → a = 3
Substitusi: 3 + b = 5 → b = 2
Jawaban: a = 3, b = 2 → f(x) = 3x + 2
2. Jika f(x) = x² − 4x + 3, tentukan nilai x agar f(x) = 0!
Pembahasan
x² − 4x + 3 = 0
(x − 1)(x − 3) = 0
x = 1 atau x = 3
3. Diketahui f(x) = 2x − 1 dan g(x) = x + 3. Tentukan nilai x jika f(x) = g(x)!
Pembahasan
2x − 1 = x + 3
2x − x = 3 + 1
x = 4
Verifikasi: f(4) = 7, g(4) = 7 ✅
4. Jika f(x) = 3x − 2, tentukan f(2a + 1)!
Pembahasan
f(2a + 1) = 3(2a + 1) − 2
= 6a + 3 − 2
= 6a + 1
5. Diketahui f(x) = ax² + bx + c dengan f(0) = 1, f(1) = 6, dan f(−1) = 2. Tentukan a, b, dan c!
Pembahasan
f(0) = c = 1
f(1) = a + b + c = 6 → a + b = 5 … (1)
f(−1) = a − b + c = 2 → a − b = 1 … (2)
Dari (1)+(2): 2a = 6 → a = 3
Dari (1): 3 + b = 5 → b = 2
Jawaban: a = 3, b = 2, c = 1 → f(x) = 3x² + 2x + 1
✏️ Latihan Soal — Notasi dan Nilai Fungsi
🟢 Mudah
- Jika f(x) = 5x − 3, tentukan f(2)!
- Jika f(x) = x + 10, tentukan f(−4)!
- Jika f(x) = −2x + 1, tentukan f(0)!
- Jika f(x) = 4x, tentukan f(−5)!
- Jika f(x) = x − 8, tentukan f(8)!
🟡 Sedang
- Jika f(x) = x² − 1, tentukan f(3) dan f(−3)!
- Jika f(x) = 2x + a dan f(4) = 11, tentukan a!
- Jika f(x) = 3x − 7, tentukan x jika f(x) = 8!
- Tentukan f(−2) + f(5) jika f(x) = x² − 3x!
- Buat tabel nilai fungsi f(x) = −x + 4 untuk x = {−2,−1,0,1,2,3}!
🔴 Sulit
- Diketahui f(x) = ax + b, f(2) = 7, f(5) = 16. Tentukan f(x)!
- Jika f(x) = x² − 5x + 6, tentukan x agar f(x) = 0!
- Diketahui f(x) = 4x − 3. Tentukan f(a+2) dalam bentuk sederhana!
- Jika f(x) = 2x + 1 dan f(a) = f(a+1) − 2, buktikan persamaan ini benar untuk semua a!
- Tentukan rumus f(x) = ax² + bx + c jika f(0) = −2, f(1) = 1, f(2) = 8!
3. Sifat-sifat Fungsi
📖 Jenis-jenis Fungsi
1. Fungsi Injektif (Satu-satu)
Setiap anggota kodomain dipasangkan dengan paling banyak satu anggota domain.
Jika f(a) = f(b), maka a = b
Tidak ada 2 panah menuju titik yang sama
2. Fungsi Surjektif (Onto)
Setiap anggota kodomain memiliki paling sedikit satu pasangan dari domain (Range = Kodomain).
Semua anggota B terpasangkan (tidak ada yang tersisa)
3. Fungsi Bijektif (Korespondensi satu-satu)
Fungsi yang bersifat injektif sekaligus surjektif. n(A) = n(B).
Pasangan sempurna satu-satu, n(A) = n(B)
📝 Contoh Soal — Sifat-sifat Fungsi
🟢 Tingkat Mudah
1. f = {(1,a),(2,b),(3,c)} dari A={1,2,3} ke B={a,b,c}. Tentukan jenis fungsinya!
Pembahasan
• Injektif? Tidak ada 2 anggota A yang menuju anggota B yang sama ✅
• Surjektif? Semua anggota B terpasangkan ✅
Jawaban: Fungsi Bijektif (injektif + surjektif)
2. f = {(1,a),(2,a),(3,b)} dari A={1,2,3} ke B={a,b}. Tentukan jenis fungsinya!
Pembahasan
• Injektif? 1 dan 2 keduanya menuju a → TIDAK injektif
• Surjektif? Range = {a,b} = Kodomain ✅
Jawaban: Surjektif (tapi bukan injektif)
3. f = {(1,a),(2,b)} dari A={1,2} ke B={a,b,c}. Tentukan jenis fungsinya!
Pembahasan
• Injektif? Setiap elemen B dipasangkan paling banyak 1 ✅
• Surjektif? c tidak memiliki pasangan → TIDAK surjektif
Jawaban: Injektif (tapi bukan surjektif)
4. Apa syarat fungsi bijektif?
Pembahasan
Syarat bijektif:
- Injektif (satu-satu): tidak ada 2 domain ke kodomain yang sama
- Surjektif (onto): semua kodomain punya pasangan
- Konsekuensi: n(A) = n(B)
5. f = {(a,1),(b,1),(c,1)} dari {a,b,c} ke {1,2,3}. Injektif? Surjektif?
Pembahasan
• Injektif? a,b,c semua menuju 1 → TIDAK injektif
• Surjektif? Range = {1}, kodomain = {1,2,3} → TIDAK surjektif
Jawaban: Tidak injektif dan tidak surjektif
🟡 Tingkat Sedang
1. f(x) = 2x + 1 dari A = {1,2,3} ke B = {3,5,7,9}. Tentukan sifat fungsi!
Pembahasan
f(1)=3, f(2)=5, f(3)=7. Range={3,5,7}
• Injektif? Semua hasil berbeda ✅
• Surjektif? 9∈B tidak ada pasangan → TIDAK
Jawaban: Injektif tapi bukan surjektif
2. f(x) = x² dari A = {−2,−1,0,1,2} ke B = {0,1,4}. Tentukan sifat fungsi!
Pembahasan
f(−2)=4, f(−1)=1, f(0)=0, f(1)=1, f(2)=4
• Injektif? f(−2)=f(2)=4 tapi −2≠2 → TIDAK injektif
• Surjektif? Range={0,1,4}=Kodomain ✅
Jawaban: Surjektif tapi bukan injektif
3. Tentukan apakah f(x) = 3x − 1 dari ℝ ke ℝ bersifat injektif!
Pembahasan
Misalkan f(a) = f(b):
3a − 1 = 3b − 1
3a = 3b → a = b
Karena f(a)=f(b) mengakibatkan a=b, maka f injektif ✅
4. A = {1,2,3,4}, B = {p,q}. Berikan contoh fungsi surjektif dari A ke B!
Pembahasan
Fungsi surjektif → semua anggota B harus terpasangkan
Contoh: f = {(1,p),(2,q),(3,p),(4,q)}
Range = {p,q} = Kodomain ✅
5. Apakah fungsi f(x) = |x| dari {−2,−1,0,1,2} ke {0,1,2} bersifat bijektif?
Pembahasan
f(−2)=2, f(−1)=1, f(0)=0, f(1)=1, f(2)=2
n(A)=5, n(B)=3 → n(A) ≠ n(B)
• Injektif? f(−1)=f(1)=1 → TIDAK
• Surjektif? Range={0,1,2}=B ✅
Jawaban: Surjektif tapi BUKAN bijektif (karena tidak injektif)
🔴 Tingkat Sulit
1. Buktikan f(x) = 2x + 3 dari ℝ ke ℝ adalah fungsi bijektif!
Pembahasan
Bukti Injektif:
Misal f(a)=f(b): 2a+3=2b+3 → 2a=2b → a=b ✅
Bukti Surjektif:
Ambil sembarang y∈ℝ. Cari x agar f(x)=y:
2x+3=y → x=(y−3)/2 ∈ ℝ
Untuk setiap y ada x=(y−3)/2 sehingga f(x)=y ✅
∴ f bijektif ∎
2. f(x) = x² dari ℝ ke ℝ. Apakah injektif? Apakah surjektif? Jelaskan!
Pembahasan
Injektif? f(2)=4=f(−2) tapi 2≠−2. TIDAK injektif ❌
Surjektif? Tidak ada x∈ℝ sehingga x²=−1 (karena x²≥0). TIDAK surjektif ❌
Jawaban: Tidak injektif dan tidak surjektif
3. Jika n(A)=4 dan n(B)=4, berapa banyak fungsi bijektif dari A ke B?
Pembahasan
Fungsi bijektif = permutasi (setiap anggota A dipasangkan unik ke B)
Anggota pertama A: 4 pilihan
Anggota kedua A: 3 pilihan (1 sudah terpakai)
Anggota ketiga A: 2 pilihan
Anggota keempat A: 1 pilihan
Banyak fungsi bijektif = 4! = 4×3×2×1 = 24
4. Tentukan semua nilai a agar f(x) = ax + 2 dari {1,2,3} ke {5,8,11} merupakan fungsi bijektif!
Pembahasan
Agar bijektif, range harus = kodomain = {5,8,11}
f(1)=a+2, f(2)=2a+2, f(3)=3a+2
Himpunan {a+2, 2a+2, 3a+2} = {5, 8, 11}
Coba a=3: {5, 8, 11} = {5, 8, 11} ✅
Jawaban: a = 3
5. Diberikan A = {1,2,3,4,5}, B = {1,2,3}. Berapa banyak fungsi surjektif dari A ke B?
Pembahasan
Total fungsi dari A ke B = 3⁵ = 243
Fungsi yang range-nya hanya 1 elemen = 3 (semua ke 1, semua ke 2, semua ke 3)
Fungsi yang range-nya tepat 2 elemen = C(3,2) × (2⁵ − 2) = 3 × 30 = 90
Fungsi surjektif = Total − (hanya 1 elemen) − (tepat 2 elemen)
= 243 − 3 − 90 = 150
✏️ Latihan Soal — Sifat-sifat Fungsi
🟢 Mudah
- f = {(a,1),(b,2),(c,3)} dari {a,b,c} ke {1,2,3}. Injektif? Surjektif? Bijektif?
- f = {(1,x),(2,x),(3,y)} dari {1,2,3} ke {x,y,z}. Tentukan sifatnya!
- Apa perbedaan fungsi injektif dan surjektif?
- f = {(p,1),(q,2),(r,3),(s,4)} dari {p,q,r,s} ke {1,2,3,4}. Bijektif?
- Apakah mungkin fungsi bijektif jika n(A) ≠ n(B)? Jelaskan!
🟡 Sedang
- f(x) = x + 5 dari {1,2,3} ke {6,7,8,9}. Tentukan sifat fungsinya!
- Berikan contoh fungsi dari {1,2,3} ke {a,b} yang surjektif!
- f(x) = 2x dari {1,2,3,4} ke {2,4,6,8}. Bijektif?
- f(x) = x² dari {−3,−2,−1,0,1,2,3} ke {0,1,4,9}. Injektif?
- Tentukan apakah f(x) = −x + 5 dari ℤ ke ℤ injektif!
🔴 Sulit
- Buktikan f(x) = 5x − 7 dari ℝ ke ℝ bijektif!
- Berapa banyak fungsi bijektif dari himpunan 5 elemen ke himpunan 5 elemen?
- Jika n(A)=3, n(B)=2, berapa banyak fungsi surjektif dari A ke B?
- Apakah f(x) = x³ dari ℝ ke ℝ bijektif? Buktikan!
- Diberikan f(x) = 2x − 1 dari {1,2,3,4,5} ke B. Tentukan B minimal agar f surjektif!
4. Menentukan Banyak Pemetaan
📖 Rumus Banyak Pemetaan
Banyak fungsi dari A ke B = n(B)n(A)
dengan n(A) = banyak anggota A, n(B) = banyak anggota B
Penjelasan:
Setiap anggota domain A punya n(B) pilihan untuk dipasangkan. Karena ada n(A) anggota yang masing-masing memilih secara independen:
n(B) × n(B) × … × n(B) = n(B)n(A)
(sebanyak n(A) kali)
📊 Tabel Ringkasan
| n(A) | n(B) | Banyak Fungsi | Rumus |
|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 4 | 2² = 4 |
| 2 | 3 | 9 | 3² = 9 |
| 3 | 2 | 8 | 2³ = 8 |
| 3 | 3 | 27 | 3³ = 27 |
| 3 | 4 | 64 | 4³ = 64 |
| 4 | 2 | 16 | 2⁴ = 16 |
| 4 | 3 | 81 | 3⁴ = 81 |
📖 Rumus Tambahan
Banyak fungsi bijektif (jika n(A) = n(B) = n):
n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 1
Banyak fungsi surjektif dari A ke B (n(A) ≥ n(B)):
Menggunakan prinsip inklusi-eksklusi
= Σ(−1)k C(n(B),k) × (n(B)−k)n(A)
📝 Contoh Soal — Banyak Pemetaan
🟢 Tingkat Mudah
1. A = {1,2}, B = {a,b,c}. Berapa banyak fungsi dari A ke B?
Pembahasan
n(A) = 2, n(B) = 3
Banyak fungsi = n(B)n(A) = 3² = 9
2. A = {p,q,r}, B = {1,2}. Berapa banyak fungsi dari A ke B?
Pembahasan
n(A) = 3, n(B) = 2
Banyak fungsi = 2³ = 8
3. A memiliki 2 anggota, B memiliki 2 anggota. Berapa banyak pemetaan?
Pembahasan
Banyak fungsi = 2² = 4
4. n(A) = 1, n(B) = 5. Berapa banyak fungsi dari A ke B?
Pembahasan
Banyak fungsi = 5¹ = 5
(Satu-satunya anggota A punya 5 pilihan)
5. A = {a,b,c,d}, B = {1,2}. Berapa banyak pemetaan?
Pembahasan
n(A) = 4, n(B) = 2
Banyak fungsi = 2⁴ = 16
🟡 Tingkat Sedang
1. A = {bilangan prima < 8}, B = {huruf vokal}. Berapa banyak fungsi dari A ke B?
Pembahasan
A = {2,3,5,7} → n(A) = 4
B = {a,i,u,e,o} → n(B) = 5
Banyak fungsi = 5⁴ = 625
2. Banyak fungsi dari A ke B adalah 27. Jika n(A) = 3, tentukan n(B)!
Pembahasan
n(B)n(A) = 27
n(B)³ = 27
n(B) = ³√27 = 3
3. Banyak pemetaan dari A ke B = 16. Jika n(B) = 2, tentukan n(A)!
Pembahasan
2n(A) = 16
2n(A) = 2⁴
n(A) = 4
4. A = {1,2,3}, B = {1,2,3}. Berapa banyak fungsi bijektif dari A ke B?
Pembahasan
n(A) = n(B) = 3
Banyak fungsi bijektif = 3! = 3 × 2 × 1 = 6
5. Banyak fungsi dari A ke B adalah 32. Tentukan kemungkinan n(A) dan n(B)!
Pembahasan
n(B)n(A) = 32 = 2⁵
Kemungkinan: n(B) = 2, n(A) = 5 → 2⁵ = 32 ✅
Atau: n(B) = 32, n(A) = 1 → 32¹ = 32 ✅
Jawaban paling umum: n(A) = 5, n(B) = 2
🔴 Tingkat Sulit
1. A = {1,2,3,4,5}, B = {a,b,c}. Berapa banyak fungsi surjektif dari A ke B?
Pembahasan
Gunakan inklusi-eksklusi:
Total = 3⁵ = 243
Yang range tepat 1 elemen: C(3,1)×1⁵ − … → menggunakan rumus:
Surjektif = Σ(−1)k C(3,k)(3−k)⁵
= C(3,0)×3⁵ − C(3,1)×2⁵ + C(3,2)×1⁵ − C(3,3)×0⁵
= 243 − 3(32) + 3(1) − 0
= 243 − 96 + 3 = 150
2. Dari 5 orang siswa akan dipilih ketua, wakil, dan sekretaris. Berapa banyak cara?
Pembahasan
Ini sama dengan fungsi injektif dari {ketua, wakil, sekretaris} ke {5 siswa}
= P(5,3) = 5 × 4 × 3 = 60 cara
3. n(A) = n, n(B) = n. Banyak fungsi bijektif = 120. Tentukan n!
Pembahasan
Banyak bijektif = n! = 120
5! = 5×4×3×2×1 = 120 ✅
Jawaban: n = 5
4. Banyak fungsi dari A ke B = 256. Banyak fungsi dari B ke A = 81. Tentukan n(A) dan n(B)!
Pembahasan
n(B)n(A) = 256 … (1)
n(A)n(B) = 81 … (2)
Dari (2): 81 = 3⁴ → kemungkinan n(A)=3, n(B)=4
Cek (1): 4³ = 64 ≠ 256 ❌
Coba n(A)=4, n(B)=4: 4⁴=256 ✅, 4⁴=256 ≠ 81 ❌
Coba n(A)=81, n(B)=… → terlalu besar
Coba n(A)=3, n(B)=… → n(B)³=256 → bukan bilangan bulat
Coba (1): 256=4⁴ → n(B)=4, n(A)=4. Tapi (2): 4⁴=256≠81
Coba 256=2⁸ → n(B)=2, n(A)=8. (2): 8²=64≠81 ❌
Coba 256=16² → n(B)=16, n(A)=2. (2): 2¹⁶≠81 ❌
Hmm… 81=3⁴ → n(A)=3,n(B)=4: cek 4³=64≠256
256=4⁴ jadi n(B)=4,n(A)=4 tapi cek ulang 4⁴=256✅ dan 4⁴=256≠81
Jawaban: n(A)=4, n(B)=4 TIDAK konsisten. Soal perlu diperiksa ulang atau: n(A)=2, n(B)=16 → 16²=256✅, 2¹⁶≠81. Kemungkinan: n(A)=4,n(B)=4 hanya memenuhi persamaan pertama.
Koreksi soal: Jika 256 dan 64 → n(A)=3, n(B)=4 (4³=64, 3⁴=81). n(A)=3, n(B)=4 memenuhi: B^A=4³=64 dan A^B=3⁴=81.
5. A = {1,2,3,4}, B = {a,b,c,d}. Berapa banyak fungsi injektif (bukan bijektif) dari A ke B?
Pembahasan
Karena n(A) = n(B) = 4, setiap fungsi injektif pasti surjektif juga (bijektif)
Banyak injektif = P(4,4) = 4! = 24
Semua fungsi injektif = fungsi bijektif
Jawaban: Tidak ada fungsi injektif yang bukan bijektif. Semua 24 fungsi injektif adalah bijektif.
✏️ Latihan Soal — Banyak Pemetaan
🟢 Mudah
- A = {a,b}, B = {1,2,3,4}. Berapa banyak fungsi dari A ke B?
- n(A) = 3, n(B) = 3. Berapa banyak pemetaan dari A ke B?
- A = {x,y,z}, B = {p,q}. Hitung banyak fungsi!
- n(A) = 4, n(B) = 1. Berapa banyak fungsi dari A ke B?
- A = {1,2,3,4,5}, B = {a,b}. Berapa banyak pemetaan?
🟡 Sedang
- Banyak fungsi dari A ke B = 64. Jika n(A) = 3, tentukan n(B)!
- Banyak fungsi dari A ke B = 125. Jika n(B) = 5, tentukan n(A)!
- A = {1,2,3,4}, B = {a,b,c,d}. Berapa banyak fungsi bijektif?
- Jika n(A) = n(B) = 4, berapa selisih banyak fungsi total dengan banyak fungsi bijektif?
- A = {huruf dalam kata “BOLA”}, B = {1,2,3}. Berapa banyak fungsi dari A ke B?
🔴 Sulit
- n(A) = n, n(B) = n. Banyak fungsi bijektif = 720. Tentukan n!
- A = {1,2,3}, B = {a,b}. Berapa banyak fungsi surjektif dari A ke B?
- Dari 6 siswa dipilih 3 orang untuk menjadi ketua, wakil, sekretaris. Berapa banyak cara? (Gunakan konsep fungsi injektif)
- n(B)n(A) = 625 dan n(A)n(B) = 256. Tentukan n(A) dan n(B)!
- A = {1,2,3,4}, B = {x,y,z}. Berapa banyak fungsi yang BUKAN surjektif?