Korespondensi Satu-satu
Materi Lengkap · Contoh Soal · Latihan
📖 Pengertian Korespondensi Satu-satu
Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang memiliki jumlah anggota sama, yaitu n(A) = n(B). Korespondensi satu-satu dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu pemasangan (fungsi bijektif) sehingga:
- Setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B
- Setiap anggota B dipasangkan dengan tepat satu anggota A
- Tidak ada anggota yang tersisa di kedua himpunan
Diagram Panah — Korespondensi Satu-satu
Perhatikan A = {1, 2, 3} dan B = {a, b, c}. Berikut contoh korespondensi satu-satu:
1→a, 2→b, 3→c (Korespondensi satu-satu ✓)
Contoh Bukan Korespondensi Satu-satu
1→a, 2→a, 3→c — b tidak memiliki pasangan ✗
Notasi Himpunan Pasangan Berurutan
Korespondensi satu-satu dapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan berurutan:
Tabel Korespondensi
| x (Anggota A) | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| f(x) (Anggota B) | a | b | c |
✏️ Contoh Soal — Pengertian
Mudah
1. Diketahui A = {p, q} dan B = {1, 2}. Tentukan apakah f = {(p,1), (q,2)} merupakan korespondensi satu-satu!
Pembahasan:
• n(A) = 2, n(B) = 2 → jumlah anggota sama ✓
• p dipasangkan ke 1, q dipasangkan ke 2 → setiap anggota A punya tepat 1 pasangan di B ✓
• 1 dipasangkan dari p, 2 dipasangkan dari q → setiap anggota B punya tepat 1 pasangan di A ✓
Jawaban: Ya, f adalah korespondensi satu-satu.
2. A = {a} dan B = {x}. Berapa banyak korespondensi satu-satu yang mungkin?
Pembahasan:
n(A) = n(B) = 1. Hanya ada 1 cara memasangkan: a→x.
Banyak korespondensi satu-satu = 1! = 1
3. Diketahui A = {1, 2, 3} dan B = {4, 5}. Apakah mungkin membuat korespondensi satu-satu dari A ke B?
Pembahasan:
n(A) = 3 dan n(B) = 2. Karena n(A) ≠ n(B), maka tidak mungkin membuat korespondensi satu-satu.
4. Perhatikan diagram berikut:
Apakah diagram di atas menunjukkan korespondensi satu-satu?
Pembahasan:
• a→2 dan b→1. Setiap anggota domain memiliki tepat satu bayangan, dan setiap anggota kodomain memiliki tepat satu kawan.
Jawaban: Ya, korespondensi satu-satu ✓
5. Nyatakan korespondensi satu-satu A = {x, y} ke B = {3, 4} dalam bentuk pasangan berurutan!
Pembahasan:
Korespondensi satu-satu yang mungkin:
f₁ = {(x, 3), (y, 4)}
f₂ = {(x, 4), (y, 3)}
Ada 2! = 2 korespondensi satu-satu.
Sedang
1. Diketahui A = {1, 2, 3} dan B = {a, b, c}. Tuliskan semua korespondensi satu-satu yang mungkin dari A ke B!
Pembahasan:
Banyak korespondensi = 3! = 6. Semua kemungkinan:
f₁ = {(1,a), (2,b), (3,c)}
f₂ = {(1,a), (2,c), (3,b)}
f₃ = {(1,b), (2,a), (3,c)}
f₄ = {(1,b), (2,c), (3,a)}
f₅ = {(1,c), (2,a), (3,b)}
f₆ = {(1,c), (2,b), (3,a)}
2. Dari fungsi f: A → B berikut, manakah yang merupakan korespondensi satu-satu?
(i) A = {1,2,3}, B = {4,5,6}, f = {(1,4),(2,5),(3,6)}
(ii) A = {1,2,3}, B = {4,5,6}, f = {(1,4),(2,4),(3,6)}
Pembahasan:
(i) Setiap anggota A memiliki tepat satu pasangan unik di B, dan sebaliknya → Korespondensi satu-satu ✓
(ii) 1 dan 2 sama-sama dipasangkan ke 4, sehingga 5 tidak memiliki kawan → Bukan korespondensi satu-satu ✗
3. Diketahui himpunan A = {merah, biru, hijau} dan B = {🔴, 🔵, 🟢}. Buatlah satu contoh korespondensi satu-satu dan tunjukkan dalam tabel!
Pembahasan:
| Warna (A) | merah | biru | hijau |
|---|---|---|---|
| Simbol (B) | 🔴 | 🔵 | 🟢 |
Setiap warna dipasangkan tepat satu simbol yang sesuai, dan sebaliknya → Korespondensi satu-satu ✓
4. Jika A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c, d}, tentukan apakah f = {(1,b), (2,d), (3,a), (4,c)} korespondensi satu-satu. Gambarkan diagramnya!
Pembahasan:
n(A) = n(B) = 4 ✓. Pemasangan: 1→b, 2→d, 3→a, 4→c.
Setiap anggota A punya tepat satu pasangan di B, dan setiap anggota B punya tepat satu kawan di A.
Jawaban: Ya, korespondensi satu-satu ✓
5. Diketahui A = {2, 4, 6} dan B = {1, 3, 5}. Relasi f: A→B didefinisikan f(x) = x − 1. Apakah f korespondensi satu-satu?
Pembahasan:
f(2) = 2−1 = 1 ✓ (1 ∈ B)
f(4) = 4−1 = 3 ✓ (3 ∈ B)
f(6) = 6−1 = 5 ✓ (5 ∈ B)
Setiap anggota A menghasilkan anggota B yang berbeda-beda → Korespondensi satu-satu ✓
Sulit
1. Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c, d}. Dari semua fungsi f: A→B, berapa banyak yang bukan korespondensi satu-satu?
Pembahasan:
Total fungsi dari A ke B = 4⁴ = 256
Banyak korespondensi satu-satu = 4! = 24
Fungsi yang bukan korespondensi satu-satu = 256 − 24 = 232
2. Himpunan A = {x | x bilangan prima, x < 12} dan B = {y | y bilangan ganjil, 1 < y < 12}. Apakah korespondensi satu-satu mungkin antara A dan B? Jelaskan!
Pembahasan:
A = {2, 3, 5, 7, 11} → n(A) = 5
B = {3, 5, 7, 9, 11} → n(B) = 5
n(A) = n(B) = 5, sehingga korespondensi satu-satu mungkin.
Contoh: {(2,3), (3,5), (5,7), (7,9), (11,11)}
3. Buktikan bahwa f: ℤ → ℤ dengan f(x) = x + 5 adalah korespondensi satu-satu.
Pembahasan:
Injektif (satu-satu): Misalkan f(a) = f(b), maka a + 5 = b + 5, sehingga a = b. ✓
Surjektif (onto): Untuk setiap y ∈ ℤ, ada x = y − 5 ∈ ℤ sehingga f(x) = (y−5) + 5 = y. ✓
Karena f injektif dan surjektif, maka f adalah bijektif (korespondensi satu-satu). ✓
4. Diketahui A = {1,2,3,4,5}. Berapa banyak korespondensi satu-satu dari A ke A sendiri (permutasi) yang memenuhi f(1) ≠ 1?
Pembahasan:
Total korespondensi satu-satu = 5! = 120
Korespondensi dengan f(1) = 1: kita permutasi sisa 4 anggota = 4! = 24
Korespondensi dengan f(1) ≠ 1 = 120 − 24 = 96
5. Tunjukkan bahwa f: ℝ → ℝ dengan f(x) = x² bukan korespondensi satu-satu, tetapi jika domain dibatasi menjadi f: [0,∞) → [0,∞), maka f adalah korespondensi satu-satu.
Pembahasan:
f: ℝ → ℝ, f(x) = x²:
Tidak injektif: f(2) = 4 = f(−2), tetapi 2 ≠ −2 → Bukan satu-satu ✗
Tidak surjektif: tidak ada x ∈ ℝ sehingga f(x) = −1 → Bukan onto ✗
f: [0,∞) → [0,∞), f(x) = x²:
Injektif: Jika f(a) = f(b), maka a² = b². Karena a,b ≥ 0, maka a = b ✓
Surjektif: Untuk setiap y ≥ 0, ada x = √y ≥ 0 sehingga f(x) = y ✓
Dengan domain terbatas, f adalah korespondensi satu-satu ✓
📝 Latihan Soal — Pengertian
Mudah
- Apakah A = {a,b} dan B = {1,2} dengan f = {(a,2),(b,1)} merupakan korespondensi satu-satu?
- Tentukan apakah korespondensi satu-satu mungkin antara A = {1,2} dan B = {3,4,5}!
- Nyatakan korespondensi satu-satu A = {m, n} ke B = {5, 6} dalam bentuk pasangan berurutan!
- Gambarkan diagram panah korespondensi satu-satu A = {x, y, z} ke B = {1, 2, 3}!
- Dari f = {(1,a),(2,b),(3,a)}, apakah f korespondensi satu-satu dari {1,2,3} ke {a,b,c}? Jelaskan!
Sedang
- Tuliskan semua korespondensi satu-satu dari {p, q, r} ke {7, 8, 9}!
- Diketahui f: {1,2,3,4} → {a,b,c,d} dengan f(1)=c, f(2)=a, f(3)=d, f(4)=b. Tunjukkan bahwa f korespondensi satu-satu!
- Jika A = {bilangan genap antara 1 dan 9} dan B = {10,20,30,40}, apakah korespondensi satu-satu mungkin?
- Buatlah tabel korespondensi satu-satu dari A = {Senin, Selasa, Rabu} ke B = {1, 2, 3}!
- Tentukan apakah f(x) = 2x dari A = {1,2,3} ke B = {2,4,6} korespondensi satu-satu!
Sulit
- Dari semua fungsi f: {1,2,3} → {a,b,c}, berapa banyak yang bukan korespondensi satu-satu?
- Tentukan semua korespondensi satu-satu f: {1,2,3,4} → {1,2,3,4} dengan f(1) = 2!
- Buktikan bahwa f: ℤ → ℤ, f(x) = 3x + 1 adalah korespondensi satu-satu pada domain dan kodomain tertentu!
- Jika A memiliki n anggota, berapa banyak fungsi dari A ke A yang bukan korespondensi satu-satu?
- Tunjukkan bahwa f: ℝ→ℝ, f(x) = |x| bukan korespondensi satu-satu. Batasi domain agar menjadi korespondensi satu-satu!