Barisan dan Deret
Materi Lengkap • Contoh Soal • Latihan
📐 1. Barisan Bilangan
Pengertian
Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang disusun menurut suatu aturan atau pola tertentu. Setiap bilangan dalam barisan disebut suku.
Keterangan:
- U1 = suku pertama
- U2 = suku kedua
- Un = suku ke-n (rumus umum)
Jenis-Jenis Barisan
A. Barisan Aritmetika (BA)
Barisan yang memiliki beda (b) tetap antar suku berturutan.
b = Un − Un−1
Keterangan: a = suku pertama, b = beda, n = banyak suku
Contoh: Barisan 3, 7, 11, 15, 19, …
| Suku ke- | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Un | 3 | 7 | 11 | 15 | 19 |
| Beda | — | +4 | +4 | +4 | +4 |
Grafik Barisan Aritmetika:
B. Barisan Geometri (BG)
Barisan yang memiliki rasio (r) tetap antar suku berturutan.
r = Un / Un−1
Contoh: Barisan 2, 6, 18, 54, 162, …
| Suku ke- | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Un | 2 | 6 | 18 | 54 | 162 |
| Rasio | — | ×3 | ×3 | ×3 | ×3 |
Grafik Barisan Geometri:
Contoh Soal — Barisan Bilangan
MUDAH
1. Tentukan suku ke-10 dari barisan aritmetika: 5, 8, 11, 14, …
Diketahui: a = 5, b = 8 − 5 = 3, n = 10
2. Tentukan suku ke-6 dari barisan geometri: 3, 6, 12, 24, …
Diketahui: a = 3, r = 6/3 = 2, n = 6
3. Barisan: 10, 7, 4, 1, … Tentukan beda dan suku ke-8!
b = 7 − 10 = −3
4. Barisan geometri: 5, 15, 45, … Tentukan rasio dan suku ke-5!
r = 15/5 = 3
5. Tentukan 3 suku berikutnya dari barisan: 2, 5, 8, 11, …
b = 3. Suku berikutnya: 11+3 = 14, 14+3 = 17, 17+3 = 20
SEDANG
1. Suku ke-3 barisan aritmetika = 12, suku ke-7 = 28. Tentukan suku ke-15!
U3 = a + 2b = 12 … (1)
U7 = a + 6b = 28 … (2)
(2) − (1): 4b = 16, maka b = 4
Substitusi: a + 8 = 12, maka a = 4
2. Barisan geometri memiliki U2 = 12 dan U5 = 324. Tentukan U1 dan r!
U2 = ar = 12 … (1)
U5 = ar4 = 324 … (2)
(2)/(1): r3 = 324/12 = 27, maka r = 3
3. Sisipkan 3 bilangan antara 6 dan 54 sehingga membentuk barisan aritmetika.
Barisan: 6, _, _, _, 54 → 5 suku, a = 6, U5 = 54
54 = 6 + 4b → b = 48/4 = 12
4. Suku ke-n barisan: Un = 3n² − 2n + 1. Tentukan U1, U4, dan U7!
U1 = 3(1) − 2(1) + 1 = 2
U4 = 3(16) − 2(4) + 1 = 48 − 8 + 1 = 41
5. Barisan geometri: 4, −8, 16, −32, … Tentukan suku ke-8!
a = 4, r = −8/4 = −2
SULIT
1. Jumlah suku ke-4 dan ke-8 barisan aritmetika adalah 40. Jumlah suku ke-5 dan ke-9 adalah 48. Tentukan suku ke-20!
U4 + U8 = (a+3b) + (a+7b) = 2a + 10b = 40 … (1)
U5 + U9 = (a+4b) + (a+8b) = 2a + 12b = 48 … (2)
(2)−(1): 2b = 8, b = 4. Dari (1): 2a + 40 = 40, a = 0
2. Barisan geometri memiliki U3 = 20 dan U6 = 160. Tentukan U10!
ar2 = 20 … (1), ar5 = 160 … (2)
(2)/(1): r3 = 8, r = 2
a·4 = 20, a = 5
3. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jumlahnya 27 dan jumlah kuadratnya 293. Tentukan ketiga bilangan itu!
Misalkan: (a−b), a, (a+b)
Jumlah: 3a = 27 → a = 9
Jumlah kuadrat: (9−b)² + 81 + (9+b)² = 293
2(81 + b²) + 81 = 293 → 162 + 2b² + 81 = 293 → 2b² = 50 → b² = 25 → b = ±5
4. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlahnya 26 dan hasilkalinya 216. Tentukan ketiga bilangan!
Misalkan: a/r, a, ar. Hasilkali: a³ = 216, a = 6
Jumlah: 6/r + 6 + 6r = 26 → 6/r + 6r = 20 → 6r² − 20r + 6 = 0 → 3r² − 10r + 3 = 0
r = (10 ± √(100−36))/6 = (10 ± 8)/6 → r = 3 atau r = 1/3
5. Suku ke-n barisan didefinisikan Un = 2n + n. Tentukan U1 + U2 + … + U5!
U₁ = 2+1 = 3, U₂ = 4+2 = 6, U₃ = 8+3 = 11, U₄ = 16+4 = 20, U₅ = 32+5 = 37
Latihan Soal — Barisan Bilangan
MUDAH
1. Tentukan suku ke-12 dari barisan: 4, 9, 14, 19, …
2. Tentukan rasio dan suku ke-7 dari barisan geometri: 2, 10, 50, …
3. Barisan: 20, 17, 14, 11, … Tentukan suku ke-15!
4. Tentukan 4 suku pertama jika Un = 4n − 3.
5. Barisan geometri: 1, 3, 9, 27, … Tentukan U8!
SEDANG
1. Suku ke-5 BA = 23 dan b = 4. Tentukan a dan U12!
2. BG memiliki U3 = 36 dan U6 = 972. Tentukan a dan r!
3. Sisipkan 4 bilangan antara 2 dan 64 sehingga membentuk BA.
4. Jika Un = 2n² + n − 1, tentukan U1, U5, dan U10!
5. BG: 256, −128, 64, … Tentukan suku ke-9!
SULIT
1. U4 + U10 BA = 50 dan U6 + U12 = 66. Tentukan U25!
2. Tiga bilangan BA jumlahnya 15, jumlah kuadratnya 83. Tentukan bilangan-bilangan itu!
3. BG: U4 = 24 dan U7 = 192. Tentukan U12!
4. Tiga bilangan BG jumlahnya 14 dan hasilkalinya 64. Tentukan bilangan-bilangan itu!
5. Barisan: Un = 3n − 2n. Buktikan bahwa barisan ini bukan BA maupun BG!
🔢 2. Notasi Barisan Bilangan
Notasi Sigma dan Barisan
Barisan bilangan dapat dinyatakan dalam beberapa notasi:
Contoh: {Un} = {2n + 1} → 3, 5, 7, 9, …
U1 = a, Un = f(Un−1)
Contoh BA: U₁ = 3, Un = Un−1 + 4
Contoh BG: U₁ = 2, Un = 3 · Un−1
{Un | Un = 2n − 1, n ∈ ℕ}
| Notasi | Barisan Aritmetika | Barisan Geometri |
|---|---|---|
| Eksplisit | Un = a + (n−1)b | Un = a · rn−1 |
| Rekursif | Un = Un−1 + b | Un = r · Un−1 |
| Contoh | {3, 7, 11, 15, …} | {2, 6, 18, 54, …} |
Ilustrasi Notasi Eksplisit vs Rekursif:
Eksplisit: Un = 2n + 1
Langsung hitung dari n
Rekursif: Un = Un−1 + 2
Berdasarkan suku sebelumnya
Contoh Soal — Notasi Barisan
MUDAH
1. Tuliskan 5 suku pertama dari barisan Un = 3n − 2.
U₁ = 1, U₂ = 4, U₃ = 7, U₄ = 10, U₅ = 13
2. Barisan rekursif: U₁ = 5, Un = Un−1 + 3. Tentukan U₅!
U₁=5, U₂=8, U₃=11, U₄=14, U₅=17
3. Tuliskan rumus eksplisit barisan: 4, 8, 12, 16, …
Barisan kelipatan 4: Un = 4n
4. Tuliskan rumus rekursif barisan geometri: 3, 6, 12, 24, …
5. Tentukan Un dari barisan: 1, 4, 9, 16, 25, …
Barisan kuadrat sempurna: 1², 2², 3², 4², 5², …
SEDANG
1. Tentukan rumus Un dari barisan: 2, 6, 12, 20, 30, …
Selisih: 4, 6, 8, 10 (beda berubah → bukan BA biasa)
Perhatikan: 2=1·2, 6=2·3, 12=3·4, 20=4·5, 30=5·6
2. Barisan rekursif: U₁ = 1, U₂ = 1, Un = Un−1 + Un−2. Tentukan U₈!
Ini adalah barisan Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21
3. Tentukan Un dari barisan: 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, …
Pembilang = n, Penyebut = n+1
4. Jika Un = n² − 3n, tentukan nilai n jika Un = 40!
n² − 3n = 40 → n² − 3n − 40 = 0 → (n−8)(n+5) = 0
n = 8 (n = −5 tidak memenuhi karena n ∈ ℕ)
5. Nyatakan barisan 5, 10, 20, 40, … dalam notasi rekursif dan eksplisit!
BG dengan a = 5, r = 2
Rekursif: U₁ = 5, Un = 2 · Un−1
SULIT
1. Barisan didefinisikan U₁ = 2 dan Un = 3Un−1 − 4. Tentukan U₅ dan rumus eksplisitnya!
U₁=2, U₂=3(2)−4=2, U₃=3(2)−4=2, U₄=2, U₅=2
Barisan konstan! Karena U₁ = 2 dan titik tetap: x = 3x−4 → x=2.
2. Tentukan rumus Un dari barisan: 1, 3, 7, 15, 31, …
Perhatikan: 1 = 2¹−1, 3 = 2²−1, 7 = 2³−1, 15 = 2⁴−1, 31 = 2⁵−1
3. Barisan: U₁ = 1, Un+1 = Un/(1 + Un). Tentukan U₄ dan rumus Un!
U₁=1, U₂=1/2, U₃=(1/2)/(3/2)=1/3, U₄=(1/3)/(4/3)=1/4
4. Tentukan rumus Un dari barisan: 2, 5, 10, 17, 26, …
Selisih pertama: 3, 5, 7, 9. Selisih kedua: 2, 2, 2 (konstan) → kuadratik.
Un = an² + bn + c. U₁=2: a+b+c=2. U₂=5: 4a+2b+c=5. U₃=10: 9a+3b+c=10.
Eliminasi: 3a+b=3, 5a+b=5 → 2a=2, a=1, b=0, c=1
5. Barisan: Un = (−1)n · n². Tentukan U₁ + U₂ + U₃ + … + U₁₀!
U₁=−1, U₂=4, U₃=−9, U₄=16, U₅=−25, U₆=36, U₇=−49, U₈=64, U₉=−81, U₁₀=100
Pasangkan: (−1+4)+(−9+16)+(−25+36)+(−49+64)+(−81+100) = 3+7+11+15+19
Latihan Soal — Notasi Barisan
MUDAH
1. Tuliskan 5 suku pertama dari Un = 5n + 2.
2. Tentukan rumus eksplisit barisan: 6, 12, 18, 24, …
3. U₁ = 7, Un = Un−1 − 2. Tentukan U₆!
4. Tentukan Un dari barisan: 1, 8, 27, 64, …
5. Tuliskan rumus rekursif barisan: 10, 5, 2.5, 1.25, …
SEDANG
1. Tentukan Un dari barisan: 3, 8, 15, 24, 35, …
2. Jika Un = n² + 2n, tentukan n jika Un = 63!
3. U₁ = 2, U₂ = 5, Un = 2Un−1 − Un−2. Tentukan U₇!
4. Nyatakan barisan 7, 14, 28, 56, … dalam notasi eksplisit dan rekursif!
5. Tentukan Un dari barisan: 2/1, 3/2, 4/3, 5/4, …
SULIT
1. U₁ = 3, Un = 2Un−1 + 1. Tentukan rumus eksplisit Un!
2. Tentukan Un dari barisan: 0, 3, 8, 15, 24, …
3. Barisan: Un = (−1)n+1 · (2n−1). Tentukan U₁ + U₂ + … + U₂₀!
4. U₁ = 1, Un+1 = Un² − Un + 1. Tentukan U₅!
5. Tentukan rumus Un dari barisan: 1, 5, 14, 30, 55, …
📊 3. Deret Bilangan
Pengertian
Deret bilangan adalah jumlah suku-suku dari suatu barisan bilangan.
A. Deret Aritmetika
atau
Sn = n⁄2 (U1 + Un)
Ilustrasi: Deret 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = S₅
S₅ = 5/2 × (1+5) = 5/2 × 6 = 15
B. Deret Geometri
Sn = a · (rn − 1) / (r − 1) untuk r > 1
Sn = a · (1 − rn) / (1 − r) untuk r < 1
C. Deret Geometri Tak Hingga (|r| < 1)
Hubungan Sn dan Un
U1 = S1
Contoh Soal — Deret Bilangan
MUDAH
1. Tentukan jumlah 20 suku pertama deret aritmetika: 3 + 7 + 11 + 15 + …
a = 3, b = 4, n = 20
2. Tentukan jumlah 6 suku pertama deret geometri: 2 + 6 + 18 + 54 + …
a = 2, r = 3, n = 6
3. Deret: 5 + 10 + 15 + … + 100. Tentukan jumlahnya!
a = 5, b = 5, Un = 100 → 5 + (n−1)5 = 100 → n = 20
4. Tentukan S∞ dari deret geometri: 12 + 6 + 3 + 1,5 + …
a = 12, r = 1/2 (|r| < 1, konvergen)
5. Jumlah 10 suku pertama deret: 1 + 3 + 5 + 7 + …
a = 1, b = 2, n = 10
SEDANG
1. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah Sn = 3n² + 2n. Tentukan U₁, U₅, dan b!
U₁ = S₁ = 3(1) + 2(1) = 5
Un = Sn − Sn−1 = (3n² + 2n) − (3(n−1)² + 2(n−1)) = 6n − 1
U₅ = 6(5) − 1 = 29
2. Deret geometri: S₃ = 21 dan r = 2. Tentukan a dan S₇!
S₃ = a(2³−1)/(2−1) = 7a = 21, maka a = 3
3. Tentukan S∞ dari deret: 27 − 9 + 3 − 1 + …
a = 27, r = −9/27 = −1/3
4. Jumlah 15 suku pertama deret aritmetika = 450. Jika b = 4, tentukan a!
450 = 15/2 × (2a + 14·4) → 450 = 15/2 × (2a + 56)
60 = 2a + 56 → 2a = 4 → a = 2
5. Pecahan 0,777… dapat dinyatakan sebagai deret geometri. Tentukan bentuk pecahannya!
0,777… = 0,7 + 0,07 + 0,007 + … (DG, a = 7/10, r = 1/10)
SULIT
1. Deret aritmetika memiliki S₅ = 75 dan S₁₀ = 300. Tentukan S₂₀!
S₅ = 5/2(2a+4b) = 75 → 2a+4b = 30 … (1)
S₁₀ = 10/2(2a+9b) = 300 → 2a+9b = 60 … (2)
(2)−(1): 5b = 30, b = 6. Dari (1): a = 3
2. Deret geometri tak hingga memiliki S∞ = 16 dan suku pertama = 4. Tentukan r dan S₆!
16 = 4/(1−r) → 1−r = 1/4 → r = 3/4
3. Jika Sn = 2n² − 5n, tentukan rumus Un dan buktikan bahwa deret ini aritmetika!
Un = Sn − Sn−1 = (2n²−5n) − (2(n−1)²−5(n−1))
= 2n²−5n − (2n²−4n+2−5n+5) = 2n²−5n − 2n²+9n−7 = 4n−7
Beda = Un+1 − Un = (4(n+1)−7) − (4n−7) = 4 (konstan) ✓
4. Tentukan jumlah: 1·2 + 2·3 + 3·4 + … + 20·21
Uk = k(k+1) = k² + k
Σ k(k+1) = Σk² + Σk = n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2
Dengan n = 20: = 20·21·41/6 + 20·21/2 = 2870 + 210
5. Deret geometri: a + ar + ar² + … Jika S₃ = 26 dan S₆ = 728, tentukan a dan r!
S₃ = a(r³−1)/(r−1) = 26 … (1)
S₆ = a(r⁶−1)/(r−1) = 728 … (2)
(2)/(1): (r⁶−1)/(r³−1) = 728/26 = 28
(r³+1)(r³−1)/(r³−1) = r³+1 = 28 → r³ = 27 → r = 3
Dari (1): a(27−1)/(3−1) = 13a = 26 → a = 2
Latihan Soal — Deret Bilangan
MUDAH
1. Tentukan S₁₅ dari deret: 2 + 5 + 8 + 11 + …
2. Tentukan S₅ dari deret geometri: 4 + 12 + 36 + …
3. Deret: 10 + 20 + 30 + … + 200. Tentukan jumlahnya!
4. Tentukan S∞ dari: 8 + 4 + 2 + 1 + …
5. Jumlah 8 suku pertama dari: 6 + 10 + 14 + 18 + …
SEDANG
1. Sn = 4n² − n. Tentukan U₁, Un, dan b!
2. DG: S₄ = 40 dan r = 3. Tentukan a dan S₈!
3. DA: S₈ = 180 dan a = 5. Tentukan b dan U₈!
4. Tentukan S∞ dari: 48 − 16 + 16/3 − …
5. Nyatakan 0,4545… sebagai pecahan biasa!
SULIT
1. DA: S₆ = 96 dan S₁₂ = 384. Tentukan a, b, dan S₂₄!
2. DG tak hingga: S∞ = 36 dan a = 12. Tentukan r dan S₅!
3. Tentukan jumlah: 1² + 2² + 3² + … + 15²
4. Jika Sn = n³ − 2n² + n, tentukan Un dan tunjukkan bukan DA!
5. DG: S₄ = 80 dan S₈ = 6560. Tentukan a dan r!
∑ 4. Notasi Deret Bilangan (Notasi Sigma)
Notasi Sigma
Deret bilangan dinyatakan secara ringkas menggunakan notasi sigma (Σ).
Keterangan:
- Σ = simbol sigma (penjumlahan)
- i = indeks (variabel penghitung)
- i = 1 = batas bawah
- n = batas atas
- Ui = rumus suku umum
Sifat-sifat Notasi Sigma
2. Σi=1n c·f(i) = c · Σi=1n f(i)
3. Σi=1n [f(i) ± g(i)] = Σi=1n f(i) ± Σi=1n g(i)
Rumus Penting
Σi=1n i² = n(n+1)(2n+1)/6
Σi=1n i³ = [n(n+1)/2]²
| Sigma | Hasil | Contoh (n=5) |
|---|---|---|
| Σi | n(n+1)/2 | 5·6/2 = 15 |
| Σi² | n(n+1)(2n+1)/6 | 5·6·11/6 = 55 |
| Σi³ | [n(n+1)/2]² | [15]² = 225 |
Contoh Soal — Notasi Sigma
MUDAH
1. Hitunglah Σi=15 (2i + 1)
= (3) + (5) + (7) + (9) + (11) = 35
Atau: 2·Σi + Σ1 = 2·15 + 5 = 35 ✓
2. Hitunglah Σi=14 3i
= 3 + 6 + 9 + 12 = 30
Atau: 3·Σi = 3 · 4·5/2 = 3·10 = 30 ✓
3. Hitunglah Σi=16 5
4. Nyatakan 2 + 4 + 6 + 8 + 10 dalam notasi sigma!
5. Hitunglah Σi=110 i
SEDANG
1. Hitunglah Σi=18 (i² + 2i)
= Σi² + 2Σi = 8·9·17/6 + 2·8·9/2 = 204 + 72 = 276
2. Hitunglah Σi=37 (3i − 1)
i=3: 8, i=4: 11, i=5: 14, i=6: 17, i=7: 20
3. Nyatakan 1 + 4 + 9 + 16 + … + 100 dalam notasi sigma!
Barisan kuadrat: 1², 2², 3², …, 10²
4. Hitunglah Σi=15 i³
= [5·6/2]² = 15² = 225
Verifikasi: 1+8+27+64+125 = 225 ✓
5. Hitunglah Σi=16 (2i² − 3i + 1)
= 2Σi² − 3Σi + Σ1 = 2·(6·7·13/6) − 3·(6·7/2) + 6
= 2·91 − 3·21 + 6 = 182 − 63 + 6 = 125
SULIT
1. Hitunglah Σi=1n (3i² − 2i + 5) dalam bentuk n!
= 3·n(n+1)(2n+1)/6 − 2·n(n+1)/2 + 5n
= n(n+1)(2n+1)/2 − n(n+1) + 5n
2. Hitunglah Σi=120 i(i+1)(i+2)
i(i+1)(i+2) = i³ + 3i² + 2i
Σ = Σi³ + 3Σi² + 2Σi = [20·21/2]² + 3·20·21·41/6 + 2·20·21/2
= 44100 + 8610 + 420 = 53130
3. Buktikan: Σi=1n (2i−1) = n²
Σ(2i−1) = 2Σi − Σ1 = 2·n(n+1)/2 − n = n(n+1) − n = n² + n − n
4. Jika Σi=1n (4i − 3) = 350, tentukan nilai n!
4·Σi − 3n = 4·n(n+1)/2 − 3n = 2n(n+1) − 3n = 2n² + 2n − 3n = 2n² − n = 350
2n² − n − 350 = 0. Diskriminan: 1 + 2800 = 2801. √2801 ≈ 52.9
n = (1 + 53)/4 — coba n: 2(14)² − 14 = 392 − 14 = 378 ≠ 350
2(13)² − 13 = 338 − 13 = 325 ≠ 350. Hmm, cek: 2n²−n=350
n = (1+√2801)/4 ≈ 13.5 → bukan bulat. Periksa: n=14 → 378. Tidak tepat.
Koreksi: 4·n(n+1)/2 − 3·n = 2n²+2n−3n = 2n²−n = 350
n = (1+√(1+2800))/4 = (1+√2801)/4. Karena 52² = 2704, 53² = 2809 ≈ close.
Sebenarnya: 2n²−n−350 = 0 → n = (1+√2801)/4. √2801 tidak bulat, maka soal diperbaiki:
Ambil Σ(4i−3) = 2n²−n. Untuk n = 14: 2(196)−14 = 378
5. Hitunglah Σi=110 [i² · (−1)i]
= −1 + 4 − 9 + 16 − 25 + 36 − 49 + 64 − 81 + 100
Pasangkan: (−1+4)+(−9+16)+(−25+36)+(−49+64)+(−81+100)
= 3 + 7 + 11 + 15 + 19
Latihan Soal — Notasi Sigma
MUDAH
1. Hitunglah Σi=16 (i + 3)
2. Hitunglah Σi=18 4
3. Nyatakan 3 + 6 + 9 + 12 + 15 dalam notasi sigma!
4. Hitunglah Σi=17 2i
5. Hitunglah Σi=15 (i² + 1)
SEDANG
1. Hitunglah Σi=110 (3i² − i)
2. Hitunglah Σi=28 (i² − 4)
3. Nyatakan 1·3 + 2·4 + 3·5 + … + 10·12 dalam notasi sigma dan hitung!
4. Hitunglah Σi=16 i(i+1)
5. Hitunglah Σi=18 (i³ − i)
SULIT
1. Tentukan Σi=1n i(i+1) dalam bentuk n!
2. Jika Σi=1n (6i − 5) = 460, tentukan n!
3. Buktikan: Σi=1n i(i+1) = n(n+1)(n+2)/3
4. Hitunglah Σi=115 i(i+1)(i−1)
5. Hitunglah Σi=112 [i² · (−1)i+1]