Persamaan Nilai Mutlak
Materi Matematika — Persamaan Linear & Penyelesaiannya
1. Pengertian Nilai Mutlak
Definisi:
Nilai mutlak dari bilangan real $x$, ditulis $|x|$, didefinisikan sebagai:
Secara geometri, $|x|$ menyatakan jarak bilangan $x$ terhadap titik 0 pada garis bilangan.
Contoh: $|5| = 5$, $|-7| = 7$, $|0| = 0$
2. Sifat-sifat Nilai Mutlak
- $|x| \geq 0$ untuk semua $x \in \mathbb{R}$
- $|x| = 0 \Leftrightarrow x = 0$
- $|-x| = |x|$
- $|x \cdot y| = |x| \cdot |y|$
- $\left|\dfrac{x}{y}\right| = \dfrac{|x|}{|y|}$, $y \neq 0$
- $|x + y| \leq |x| + |y|$ (Ketaksamaan Segitiga)
- $|x|^2 = x^2$
3. Persamaan Linear Nilai Mutlak
Bentuk umum persamaan linear nilai mutlak:
Aturan Penyelesaian:
- Jika $c > 0$: maka $ax + b = c$ atau $ax + b = -c$
- Jika $c = 0$: maka $ax + b = 0$
- Jika $c < 0$: tidak ada penyelesaian (karena $|ax+b| \geq 0$)
Bentuk lain yang sering muncul:
Penyelesaian: $ax + b = cx + d$ atau $ax + b = -(cx + d)$
4. Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak
Langkah-langkah menyelesaikan persamaan nilai mutlak:
- Isolasi bentuk nilai mutlak di satu sisi persamaan
- Periksa ruas kanan: jika negatif → tidak ada solusi
- Buat dua kasus berdasarkan definisi nilai mutlak
- Selesaikan masing-masing persamaan linear
- Verifikasi solusi dengan substitusi ke persamaan awal
Grafik $y = |x|$
5. Contoh Soal: Persamaan Linear Nilai Mutlak
Mudah
Soal 1.
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi $|x| = 5$
Lihat Pembahasan
Berdasarkan definisi: $|x| = 5$
Kasus 1: $x = 5$
Kasus 2: $x = -5$
HP = {−5, 5}
Soal 2.
Selesaikan $|x – 3| = 7$
Lihat Pembahasan
Kasus 1: $x – 3 = 7 \Rightarrow x = 10$
Kasus 2: $x – 3 = -7 \Rightarrow x = -4$
HP = {−4, 10}
Soal 3.
Selesaikan $|2x| = 8$
Lihat Pembahasan
Kasus 1: $2x = 8 \Rightarrow x = 4$
Kasus 2: $2x = -8 \Rightarrow x = -4$
HP = {−4, 4}
Soal 4.
Selesaikan $|x + 1| = 0$
Lihat Pembahasan
$|x + 1| = 0 \Rightarrow x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$
HP = {−1}
Soal 5.
Selesaikan $|x – 5| = -2$
Lihat Pembahasan
Karena $|x – 5| \geq 0$ untuk semua $x$, maka tidak mungkin $|x-5| = -2$
HP = ∅ (himpunan kosong)
Sedang
Soal 6.
Selesaikan $|2x – 3| = 9$
Lihat Pembahasan
Kasus 1: $2x – 3 = 9 \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6$
Kasus 2: $2x – 3 = -9 \Rightarrow 2x = -6 \Rightarrow x = -3$
HP = {−3, 6}
Soal 7.
Selesaikan $|3x + 4| = 10$
Lihat Pembahasan
Kasus 1: $3x + 4 = 10 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$
Kasus 2: $3x + 4 = -10 \Rightarrow 3x = -14 \Rightarrow x = -\frac{14}{3}$
HP = $\left\{-\frac{14}{3},\ 2\right\}$
Soal 8.
Selesaikan $|4 – x| = 6$
Lihat Pembahasan
Kasus 1: $4 – x = 6 \Rightarrow -x = 2 \Rightarrow x = -2$
Kasus 2: $4 – x = -6 \Rightarrow -x = -10 \Rightarrow x = 10$
HP = {−2, 10}
Soal 9.
Selesaikan $2|x – 1| = 14$
Lihat Pembahasan
Bagi kedua ruas dengan 2: $|x – 1| = 7$
Kasus 1: $x – 1 = 7 \Rightarrow x = 8$
Kasus 2: $x – 1 = -7 \Rightarrow x = -6$
HP = {−6, 8}
Soal 10.
Selesaikan $|5x – 2| + 3 = 18$
Lihat Pembahasan
Isolasi: $|5x – 2| = 15$
Kasus 1: $5x – 2 = 15 \Rightarrow 5x = 17 \Rightarrow x = \frac{17}{5}$
Kasus 2: $5x – 2 = -15 \Rightarrow 5x = -13 \Rightarrow x = -\frac{13}{5}$
HP = $\left\{-\frac{13}{5},\ \frac{17}{5}\right\}$
Sulit
Soal 11.
Selesaikan $|2x – 1| = |x + 5|$
Lihat Pembahasan
Kasus 1: $2x – 1 = x + 5 \Rightarrow x = 6$
Kasus 2: $2x – 1 = -(x + 5) \Rightarrow 2x – 1 = -x – 5 \Rightarrow 3x = -4 \Rightarrow x = -\frac{4}{3}$
Verifikasi $x=6$: $|11| = |11|$ ✓
Verifikasi $x=-\frac{4}{3}$: $|-\frac{11}{3}| = |\frac{11}{3}|$ ✓
HP = $\left\{-\frac{4}{3},\ 6\right\}$
Soal 12.
Selesaikan $|3x + 2| = |2x – 7|$
Lihat Pembahasan
Kasus 1: $3x + 2 = 2x – 7 \Rightarrow x = -9$
Kasus 2: $3x + 2 = -(2x – 7) \Rightarrow 3x + 2 = -2x + 7 \Rightarrow 5x = 5 \Rightarrow x = 1$
Verifikasi $x=-9$: $|-25| = |-25|$ ✓
Verifikasi $x=1$: $|5| = |-5| = 5$ ✓
HP = {−9, 1}
Soal 13.
Selesaikan $|x^2 – 4| = |x + 2|$ (bonus: bentuk kuadrat)
Lihat Pembahasan
Faktorkan: $|x^2-4| = |(x-2)(x+2)|$ dan ruas kanan $= |x+2|$
Jika $x+2 = 0 \Rightarrow x = -2$. Cek: $|4-4|=|0|$ → $0=0$ ✓
Jika $x+2 \neq 0$: bagi kedua ruas dengan $|x+2|$: $|x-2| = 1$
Kasus 1: $x-2 = 1 \Rightarrow x = 3$
Kasus 2: $x-2 = -1 \Rightarrow x = 1$
HP = {−2, 1, 3}
Soal 14.
Selesaikan $|x – 1| + |x – 5| = 6$
Lihat Pembahasan
Bagi menjadi 3 interval berdasarkan titik kritis $x=1$ dan $x=5$:
Interval $x < 1$: $(1-x) + (5-x) = 6 \Rightarrow 6-2x = 6 \Rightarrow x = 0$ ✓ (dalam interval)
Interval $1 \leq x \leq 5$: $(x-1) + (5-x) = 6 \Rightarrow 4 = 6$ (kontradiksi, tidak ada solusi)
Interval $x > 5$: $(x-1) + (x-5) = 6 \Rightarrow 2x-6 = 6 \Rightarrow x = 6$ ✓ (dalam interval)
HP = {0, 6}
Soal 15.
Selesaikan $|2x + 3| + |x – 4| = 10$
Lihat Pembahasan
Titik kritis: $x = -\frac{3}{2}$ dan $x = 4$
Interval $x < -\frac{3}{2}$: $-(2x+3) + -(x-4) = 10 \Rightarrow -3x + 1 = 10 \Rightarrow x = -3$ ✓
Interval $-\frac{3}{2} \leq x < 4$: $(2x+3) + -(x-4) = 10 \Rightarrow x + 7 = 10 \Rightarrow x = 3$ ✓
Interval $x \geq 4$: $(2x+3) + (x-4) = 10 \Rightarrow 3x – 1 = 10 \Rightarrow x = \frac{11}{3} \approx 3.67$ ✗ (tidak dalam interval)
HP = {−3, 3}
6. Latihan Soal: Persamaan Linear Nilai Mutlak
Mudah
1. Selesaikan $|x| = 9$
2. Selesaikan $|x – 4| = 3$
3. Selesaikan $|x + 2| = 6$
4. Selesaikan $|3x| = 12$
5. Selesaikan $|x + 7| = 0$
Sedang
1. Selesaikan $|4x – 5| = 11$
2. Selesaikan $|2x + 7| = 3$
3. Selesaikan $3|x – 2| = 15$
4. Selesaikan $|6 – 2x| = 10$
5. Selesaikan $|3x + 1| – 4 = 8$
Sulit
1. Selesaikan $|4x – 3| = |2x + 9|$
2. Selesaikan $|x + 3| = |5 – 2x|$
3. Selesaikan $|x – 2| + |x + 3| = 7$
4. Selesaikan $|2x – 1| + |x + 4| = 8$
5. Selesaikan $|x^2 – 9| = |x – 3|$
7. Contoh Soal: Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak
Mudah
Soal 1.
Selesaikan $|x – 2| = 4$ dan verifikasi jawabanmu.
Lihat Pembahasan
$x – 2 = 4 \Rightarrow x = 6$ atau $x – 2 = -4 \Rightarrow x = -2$
Verifikasi: $|6-2| = 4$ ✓ dan $|-2-2| = |-4| = 4$ ✓
HP = {−2, 6}
Soal 2.
Selesaikan $|x + 5| = 3$
Lihat Pembahasan
$x + 5 = 3 \Rightarrow x = -2$ atau $x + 5 = -3 \Rightarrow x = -8$
Verifikasi: $|-2+5| = 3$ ✓ dan $|-8+5| = 3$ ✓
HP = {−8, −2}
Soal 3.
Selesaikan $|3x| = 15$
Lihat Pembahasan
$3x = 15 \Rightarrow x = 5$ atau $3x = -15 \Rightarrow x = -5$
HP = {−5, 5}
Soal 4.
Selesaikan $|x| = -3$
Lihat Pembahasan
Nilai mutlak selalu $\geq 0$, maka tidak mungkin sama dengan $-3$.
HP = ∅
Soal 5.
Selesaikan $|2x – 6| = 0$
Lihat Pembahasan
$2x – 6 = 0 \Rightarrow x = 3$
HP = {3}
Sedang
Soal 6.
Selesaikan $|4x + 1| – 5 = 12$
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Isolasi → $|4x + 1| = 17$
Kasus 1: $4x + 1 = 17 \Rightarrow x = 4$
Kasus 2: $4x + 1 = -17 \Rightarrow x = -\frac{18}{4} = -\frac{9}{2}$
HP = $\left\{-\frac{9}{2},\ 4\right\}$
Soal 7.
Selesaikan $3|2x – 5| = 21$
Lihat Pembahasan
$|2x – 5| = 7$
Kasus 1: $2x – 5 = 7 \Rightarrow x = 6$
Kasus 2: $2x – 5 = -7 \Rightarrow x = -1$
HP = {−1, 6}
Soal 8.
Selesaikan $|x – 3| = 2x – 1$
Lihat Pembahasan
Syarat: ruas kanan harus $\geq 0$, yaitu $2x – 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2}$
Kasus 1: $x – 3 = 2x – 1 \Rightarrow -2 = x \Rightarrow x = -2$ ✗ (tidak memenuhi syarat)
Kasus 2: $-(x-3) = 2x – 1 \Rightarrow -x + 3 = 2x – 1 \Rightarrow 4 = 3x \Rightarrow x = \frac{4}{3}$ ✓
Verifikasi: $|\frac{4}{3}-3| = |-\frac{5}{3}| = \frac{5}{3}$ dan $2(\frac{4}{3})-1 = \frac{5}{3}$ ✓
HP = $\left\{\frac{4}{3}\right\}$
Soal 9.
Selesaikan $|x + 2| = 3x$
Lihat Pembahasan
Syarat: $3x \geq 0 \Rightarrow x \geq 0$
Kasus 1: $x + 2 = 3x \Rightarrow 2 = 2x \Rightarrow x = 1$ ✓
Kasus 2: $-(x+2) = 3x \Rightarrow -x – 2 = 3x \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$ ✗ (tidak memenuhi syarat)
HP = {1}
Soal 10.
Selesaikan $2|x + 1| – x = 5$
Lihat Pembahasan
Isolasi: $2|x+1| = x + 5$, syarat $x + 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq -5$
$|x+1| = \frac{x+5}{2}$
Kasus 1: $x + 1 = \frac{x+5}{2} \Rightarrow 2x + 2 = x + 5 \Rightarrow x = 3$ ✓
Kasus 2: $-(x+1) = \frac{x+5}{2} \Rightarrow -2x – 2 = x + 5 \Rightarrow -3x = 7 \Rightarrow x = -\frac{7}{3}$ ✓
HP = $\left\{-\frac{7}{3},\ 3\right\}$
Sulit
Soal 11.
Selesaikan $|x – 1| + |x + 3| = 8$
Lihat Pembahasan
Titik kritis: $x = 1$ dan $x = -3$
$x < -3$: $(1-x) + (-x-3) = 8 \Rightarrow -2x – 2 = 8 \Rightarrow x = -5$ ✓
$-3 \leq x < 1$: $(1-x) + (x+3) = 8 \Rightarrow 4 = 8$ ✗
$x \geq 1$: $(x-1) + (x+3) = 8 \Rightarrow 2x + 2 = 8 \Rightarrow x = 3$ ✓
HP = {−5, 3}
Soal 12.
Selesaikan $|2x – 3| = x^2 – 2x – 3$ (persamaan campuran)
Lihat Pembahasan
Syarat: $x^2 – 2x – 3 \geq 0 \Rightarrow (x-3)(x+1) \geq 0 \Rightarrow x \leq -1$ atau $x \geq 3$
Kasus 1: $2x – 3 = x^2 – 2x – 3 \Rightarrow x^2 – 4x = 0 \Rightarrow x(x-4) = 0$
$x = 0$ ✗ (tidak memenuhi syarat) atau $x = 4$ ✓
Kasus 2: $-(2x-3) = x^2 – 2x – 3 \Rightarrow -2x+3 = x^2-2x-3 \Rightarrow x^2 = 6 \Rightarrow x = \pm\sqrt{6}$
$\sqrt{6} \approx 2.45$ ✗ dan $-\sqrt{6} \approx -2.45$ ✓
HP = $\{-\sqrt{6},\ 4\}$
Soal 13.
Selesaikan $|x – 2| + |2x + 1| = |3x – 1|$
Lihat Pembahasan
Titik kritis: $x = 2$, $x = -\frac{1}{2}$, $x = \frac{1}{3}$
Urutkan: $-\frac{1}{2} < \frac{1}{3} < 2$. Uji tiap interval:
$x < -\frac{1}{2}$: $(2-x)+(-2x-1)=(-3x+1) \Rightarrow 1-3x = 1-3x$ ✓ (semua $x < -\frac{1}{2}$)
$-\frac{1}{2} \leq x < \frac{1}{3}$: $(2-x)+(2x+1)=(1-3x) \Rightarrow 3+x=1-3x \Rightarrow 4x=-2 \Rightarrow x=-\frac{1}{2}$ ✓
$\frac{1}{3} \leq x < 2$: $(2-x)+(2x+1)=(3x-1) \Rightarrow 3+x=3x-1 \Rightarrow 4=2x \Rightarrow x=2$ ✗
$x \geq 2$: $(x-2)+(2x+1)=(3x-1) \Rightarrow 3x-1=3x-1$ ✓ (semua $x \geq 2$)
HP = $\left(-\infty,\ -\frac{1}{2}\right] \cup [2,\ +\infty)$
Soal 14.
Tentukan semua $x$ yang memenuhi $||x – 3| – 5| = 2$
Lihat Pembahasan
Misalkan $u = |x – 3|$, maka $|u – 5| = 2$
$u – 5 = 2 \Rightarrow u = 7$ atau $u – 5 = -2 \Rightarrow u = 3$
Untuk $|x-3| = 7$: $x = 10$ atau $x = -4$
Untuk $|x-3| = 3$: $x = 6$ atau $x = 0$
HP = {−4, 0, 6, 10}
Soal 15.
Selesaikan $|x – 1| + |x – 3| + |x – 5| = 6$
Lihat Pembahasan
Titik kritis: $1, 3, 5$. Uji tiap interval:
$x < 1$: $(1-x)+(3-x)+(5-x) = 6 \Rightarrow 9-3x=6 \Rightarrow x=1$. Titik batas, cek: ✓
$1 \leq x \leq 3$: $(x-1)+(3-x)+(5-x) = 6 \Rightarrow 7-x=6 \Rightarrow x=1$ ✓
$3 < x \leq 5$: $(x-1)+(x-3)+(5-x) = 6 \Rightarrow x+1=6 \Rightarrow x=5$ ✓
$x > 5$: $(x-1)+(x-3)+(x-5)=6 \Rightarrow 3x-9=6 \Rightarrow x=5$. Titik batas, cek: ✓
HP = {1, 5}
8. Latihan Soal: Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak
Mudah
1. Selesaikan $|x – 6| = 2$ dan verifikasi.
2. Selesaikan $|2x + 1| = 7$
3. Selesaikan $|x + 4| = 1$
4. Selesaikan $|5 – x| = 3$
5. Selesaikan $|x – 8| = -1$
Sedang
1. Selesaikan $|3x – 2| + 4 = 13$
2. Selesaikan $|x – 5| = 2x + 1$
3. Selesaikan $2|x + 3| = x + 9$
4. Selesaikan $|4x – 7| = |x + 2|$
5. Selesaikan $|x – 1| = |3 – 2x|$
Sulit
1. Selesaikan $|x + 1| + |x – 4| = 9$
2. Selesaikan $||x + 2| – 4| = 3$
3. Selesaikan $|x^2 – 5x + 4| = |x – 1|$
4. Selesaikan $|x – 2| + |2x – 3| + |3x – 4| = 5$
5. Selesaikan $|x – 1| = x^2 – 3x + 2$