Persamaan Kuadrat

Materi lengkap: Pemfaktoran, Melengkapkan Kuadrat Sempurna, dan Rumus Kuadrat

Pendahuluan

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berderajat dua dengan bentuk umum:

\[ ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0 \]

dengan \(a\), \(b\), \(c\) adalah konstanta real. Nilai \(x\) yang memenuhi persamaan disebut akar-akar persamaan kuadrat.

Diskriminan: \( D = b^2 – 4ac \)

\(D > 0\): dua akar real berbeda
\(D = 0\): dua akar real sama (kembar)
\(D < 0\): tidak memiliki akar real

1. Menentukan Akar dengan Pemfaktoran

Prinsip: Jika \(ax^2+bx+c=0\) dapat difaktorkan menjadi \((px+q)(rx+s)=0\), maka:

\[ px+q=0 \quad \text{atau} \quad rx+s=0 \]

Langkah:

Cari dua bilangan yang jika dikalikan = \(a \times c\) dan jika dijumlahkan = \(b\).
Uraikan suku tengah menggunakan dua bilangan tersebut.
Faktorkan secara berkelompok.
Tentukan nilai \(x\).

Contoh Soal — Pemfaktoran

Mudah

1. Tentukan akar-akar dari \(x^2 – 5x + 6 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

Cari dua bilangan: hasil kali = 6, jumlah = −5 → (−2) dan (−3)

\(x^2 – 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0\)

\(x = 2\) atau \(x = 3\)

2. Tentukan akar-akar dari \(x^2 + 7x + 12 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

Hasil kali = 12, jumlah = 7 → 3 dan 4

\((x+3)(x+4) = 0\)

\(x = -3\) atau \(x = -4\)

3. Tentukan akar-akar dari \(x^2 – 9 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

Selisih dua kuadrat: \(x^2 – 9 = (x-3)(x+3) = 0\)

\(x = 3\) atau \(x = -3\)

4. Tentukan akar-akar dari \(x^2 – 4x = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

Faktor persekutuan: \(x(x-4) = 0\)

\(x = 0\) atau \(x = 4\)

5. Tentukan akar-akar dari \(x^2 + 2x – 8 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

Hasil kali = −8, jumlah = 2 → 4 dan (−2)

\((x+4)(x-2) = 0\)

\(x = -4\) atau \(x = 2\)

Sedang

6. Tentukan akar-akar dari \(2x^2 + 5x – 3 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

\(a \times c = 2 \times (-3) = -6\). Cari dua bilangan: hasil kali = −6, jumlah = 5 → 6 dan (−1)

\(2x^2 + 6x – x – 3 = 2x(x+3) – 1(x+3) = (2x-1)(x+3) = 0\)

\(x = \frac{1}{2}\) atau \(x = -3\)

7. Tentukan akar-akar dari \(3x^2 – 10x + 8 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

\(a \times c = 24\). Bilangan: −6 dan −4 (kali=24, jumlah=−10)

\(3x^2 – 6x – 4x + 8 = 3x(x-2) – 4(x-2) = (3x-4)(x-2) = 0\)

\(x = \frac{4}{3}\) atau \(x = 2\)

8. Tentukan akar-akar dari \(4x^2 – 12x + 9 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

Perhatikan: \(4x^2-12x+9 = (2x-3)^2 = 0\)

\(x = \frac{3}{2}\) (akar kembar)

9. Tentukan akar-akar dari \(6x^2 + x – 2 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

\(a \times c = -12\). Bilangan: 4 dan −3 (kali=−12, jumlah=1)

\(6x^2+4x-3x-2 = 2x(3x+2)-(3x+2) = (2x-1)(3x+2)=0\)

\(x = \frac{1}{2}\) atau \(x = -\frac{2}{3}\)

10. Tentukan akar-akar dari \(2x^2 – 7x + 6 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

\(a \times c = 12\). Bilangan: −3 dan −4 (kali=12, jumlah=−7)

\(2x^2-4x-3x+6 = 2x(x-2)-3(x-2) = (2x-3)(x-2)=0\)

\(x = \frac{3}{2}\) atau \(x = 2\)

Sulit

11. Tentukan akar-akar dari \(6x^2 – 13x – 5 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

\(a \times c = -30\). Bilangan: −15 dan 2 (kali=−30, jumlah=−13)

\(6x^2-15x+2x-5 = 3x(2x-5)+1(2x-5) = (3x+1)(2x-5)=0\)

\(x = -\frac{1}{3}\) atau \(x = \frac{5}{2}\)

12. Tentukan akar-akar dari \(10x^2 + 11x – 6 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

\(a \times c = -60\). Bilangan: 15 dan −4 (kali=−60, jumlah=11)

\(10x^2+15x-4x-6 = 5x(2x+3)-2(2x+3) = (5x-2)(2x+3)=0\)

\(x = \frac{2}{5}\) atau \(x = -\frac{3}{2}\)

13. Tentukan akar-akar dari \(12x^2 – 7x – 10 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

\(a \times c = -120\). Bilangan: 8 dan −15 (kali=−120, jumlah=−7)

\(12x^2+8x-15x-10 = 4x(3x+2)-5(3x+2) = (4x-5)(3x+2)=0\)

\(x = \frac{5}{4}\) atau \(x = -\frac{2}{3}\)

14. Tentukan akar-akar dari \(8x^2 – 2x – 15 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

\(a \times c = -120\). Bilangan: 10 dan −12 (kali=−120, jumlah=−2)

\(8x^2+10x-12x-15 = 2x(4x+5)-3(4x+5) = (2x-3)(4x+5)=0\)

\(x = \frac{3}{2}\) atau \(x = -\frac{5}{4}\)

15. Tentukan akar-akar dari \(15x^2 + x – 6 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

\(a \times c = -90\). Bilangan: 10 dan −9 (kali=−90, jumlah=1)

\(15x^2+10x-9x-6 = 5x(3x+2)-3(3x+2) = (5x-3)(3x+2)=0\)

\(x = \frac{3}{5}\) atau \(x = -\frac{2}{3}\)

Latihan Soal — Pemfaktoran

Mudah

\(x^2 – 7x + 10 = 0\)
\(x^2 + 5x + 6 = 0\)
\(x^2 – 16 = 0\)
\(x^2 + 3x = 0\)
\(x^2 – x – 6 = 0\)

Sedang

\(2x^2 + 3x – 2 = 0\)
\(3x^2 – 11x + 6 = 0\)
\(4x^2 + 4x – 3 = 0\)
\(5x^2 – 7x + 2 = 0\)
\(2x^2 – 9x + 10 = 0\)

Sulit

\(6x^2 + 7x – 20 = 0\)
\(10x^2 – 19x + 6 = 0\)
\(12x^2 + x – 6 = 0\)
\(8x^2 + 14x – 15 = 0\)
\(15x^2 – 14x – 8 = 0\)

2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Prinsip: Ubah \(ax^2+bx+c=0\) menjadi bentuk \((x+p)^2 = q\).

Langkah:

Bagi seluruh persamaan dengan \(a\) (jika \(a \neq 1\)).
Pindahkan konstanta ke ruas kanan.
Tambahkan \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) ke kedua ruas.
Faktorkan ruas kiri menjadi kuadrat sempurna.
Akarkan kedua ruas.

Contoh Soal — Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Mudah

1. Selesaikan \(x^2 + 6x + 5 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

\(x^2 + 6x = -5\)

Tambah \(\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9\) ke kedua ruas:

\(x^2 + 6x + 9 = 4\)

\((x+3)^2 = 4\)

\(x+3 = \pm 2\)

\(x = -1\) atau \(x = -5\)

2. Selesaikan \(x^2 – 4x – 5 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

\(x^2 – 4x = 5\)

Tambah \(4\): \((x-2)^2 = 9\)

\(x-2 = \pm 3\)

\(x = 5\) atau \(x = -1\)

3. Selesaikan \(x^2 + 2x – 3 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

\(x^2 + 2x = 3\), tambah 1: \((x+1)^2 = 4\)

\(x = 1\) atau \(x = -3\)

4. Selesaikan \(x^2 – 10x + 21 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

\(x^2 – 10x = -21\), tambah 25: \((x-5)^2 = 4\)

\(x = 7\) atau \(x = 3\)

5. Selesaikan \(x^2 + 8x + 12 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

\(x^2 + 8x = -12\), tambah 16: \((x+4)^2 = 4\)

\(x = -2\) atau \(x = -6\)

Sedang

6. Selesaikan \(2x^2 + 8x – 10 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

Bagi 2: \(x^2 + 4x – 5 = 0\)

\(x^2 + 4x = 5\), tambah 4: \((x+2)^2 = 9\)

\(x = 1\) atau \(x = -5\)

7. Selesaikan \(x^2 – 3x – 4 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

\(x^2 – 3x = 4\), tambah \(\frac{9}{4}\): \(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}\)

\(x – \frac{3}{2} = \pm \frac{5}{2}\)

\(x = 4\) atau \(x = -1\)

8. Selesaikan \(3x^2 – 12x + 9 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

Bagi 3: \(x^2 – 4x + 3 = 0\)

\(x^2-4x = -3\), tambah 4: \((x-2)^2 = 1\)

\(x = 3\) atau \(x = 1\)

9. Selesaikan \(x^2 + 5x + 2 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

\(x^2+5x = -2\), tambah \(\frac{25}{4}\): \(\left(x+\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{17}{4}\)

\(x = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}\)

10. Selesaikan \(2x^2 – 6x + 1 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

Bagi 2: \(x^2 – 3x + \frac{1}{2} = 0\)

\(x^2-3x = -\frac{1}{2}\), tambah \(\frac{9}{4}\): \(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{7}{4}\)

\(x = \frac{3 \pm \sqrt{7}}{2}\)

Sulit

11. Selesaikan \(3x^2 + 5x – 2 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

Bagi 3: \(x^2 + \frac{5}{3}x = \frac{2}{3}\)

Tambah \(\left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}\):

\(\left(x+\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{2}{3}+\frac{25}{36} = \frac{24+25}{36} = \frac{49}{36}\)

\(x+\frac{5}{6} = \pm\frac{7}{6}\)

\(x = \frac{1}{3}\) atau \(x = -2\)

12. Selesaikan \(5x^2 – 4x – 1 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

Bagi 5: \(x^2-\frac{4}{5}x = \frac{1}{5}\)

Tambah \(\frac{4}{25}\): \(\left(x-\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{5+4}{25} = \frac{9}{25}\)

\(x = 1\) atau \(x = -\frac{1}{5}\)

13. Selesaikan \(4x^2 + 6x – 1 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

Bagi 4: \(x^2+\frac{3}{2}x = \frac{1}{4}\)

Tambah \(\frac{9}{16}\): \(\left(x+\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{4+9}{16} = \frac{13}{16}\)

\(x = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{4}\)

14. Selesaikan \(7x^2 – 2x – 5 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

Bagi 7: \(x^2-\frac{2}{7}x = \frac{5}{7}\)

Tambah \(\frac{1}{49}\): \(\left(x-\frac{1}{7}\right)^2 = \frac{35+1}{49} = \frac{36}{49}\)

\(x = 1\) atau \(x = -\frac{5}{7}\)

15. Selesaikan \(2x^2 + 3x – 7 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

Bagi 2: \(x^2+\frac{3}{2}x = \frac{7}{2}\)

Tambah \(\frac{9}{16}\): \(\left(x+\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{56+9}{16} = \frac{65}{16}\)

\(x = \frac{-3 \pm \sqrt{65}}{4}\)

Latihan Soal — Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Mudah

\(x^2 + 4x – 12 = 0\)
\(x^2 – 6x + 8 = 0\)
\(x^2 + 10x + 16 = 0\)
\(x^2 – 2x – 15 = 0\)
\(x^2 + 12x + 20 = 0\)

Sedang

\(2x^2 – 10x + 8 = 0\)
\(x^2 + 7x + 3 = 0\)
\(3x^2 + 6x – 9 = 0\)
\(x^2 – 5x + 1 = 0\)
\(4x^2 – 8x – 5 = 0\)

Sulit

\(5x^2 + 3x – 4 = 0\)
\(6x^2 – 5x – 1 = 0\)
\(3x^2 + 7x + 1 = 0\)
\(7x^2 – 3x – 2 = 0\)
\(4x^2 + 10x – 3 = 0\)

3. Rumus Kuadrat (Rumus abc)

Untuk \(ax^2+bx+c=0\), akar-akarnya adalah:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

Contoh Soal — Rumus Kuadrat

Mudah

1. Selesaikan \(x^2 – 5x + 6 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

\(a=1,\ b=-5,\ c=6\)

\(D = 25-24 = 1\)

\(x = \frac{5 \pm 1}{2}\)

\(x = 3\) atau \(x = 2\)

2. Selesaikan \(x^2 + 3x – 10 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

\(a=1,\ b=3,\ c=-10\)

\(D = 9+40 = 49\)

\(x = \frac{-3 \pm 7}{2}\)

\(x = 2\) atau \(x = -5\)

3. Selesaikan \(x^2 – 8x + 16 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

\(D = 64-64 = 0\)

\(x = \frac{8}{2} = 4\) (akar kembar)

4. Selesaikan \(x^2 + x – 12 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

\(D = 1+48=49\)

\(x = \frac{-1 \pm 7}{2}\)

\(x = 3\) atau \(x = -4\)

5. Selesaikan \(x^2 – 2x – 8 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

\(D = 4+32=36\)

\(x = \frac{2 \pm 6}{2}\)

\(x = 4\) atau \(x = -2\)

Sedang

6. Selesaikan \(2x^2 – 3x – 5 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

\(a=2,\ b=-3,\ c=-5\)

\(D = 9+40 = 49\)

\(x = \frac{3 \pm 7}{4}\)

\(x = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}\) atau \(x = -1\)

7. Selesaikan \(3x^2 + 2x – 1 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

\(D = 4+12 = 16\)

\(x = \frac{-2 \pm 4}{6}\)

\(x = \frac{1}{3}\) atau \(x = -1\)

8. Selesaikan \(x^2 + 4x + 1 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

\(D = 16-4 = 12\)

\(x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}\)

9. Selesaikan \(4x^2 – 4x – 3 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

\(D = 16+48 = 64\)

\(x = \frac{4 \pm 8}{8}\)

\(x = \frac{3}{2}\) atau \(x = -\frac{1}{2}\)

10. Selesaikan \(2x^2 + x – 6 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

\(D = 1+48 = 49\)

\(x = \frac{-1 \pm 7}{4}\)

\(x = \frac{3}{2}\) atau \(x = -2\)

Sulit

11. Selesaikan \(5x^2 + 2x – 3 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

\(D = 4+60 = 64\)

\(x = \frac{-2 \pm 8}{10}\)

\(x = \frac{3}{5}\) atau \(x = -1\)

12. Selesaikan \(3x^2 – x – 5 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

\(D = 1+60 = 61\)

\(x = \frac{1 \pm \sqrt{61}}{6}\)

13. Selesaikan \(7x^2 + 5x – 2 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

\(D = 25+56 = 81\)

\(x = \frac{-5 \pm 9}{14}\)

\(x = \frac{2}{7}\) atau \(x = -1\)

14. Selesaikan \(6x^2 – x – 12 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

\(D = 1+288 = 289 = 17^2\)

\(x = \frac{1 \pm 17}{12}\)

\(x = \frac{3}{2}\) atau \(x = -\frac{4}{3}\)

15. Selesaikan \(4x^2 + 7x – 2 = 0\)

▶ Lihat Pembahasan

\(D = 49+32 = 81\)

\(x = \frac{-7 \pm 9}{8}\)

\(x = \frac{1}{4}\) atau \(x = -2\)

Latihan Soal — Rumus Kuadrat

Mudah

\(x^2 – 3x + 2 = 0\)
\(x^2 + 6x + 8 = 0\)
\(x^2 – x – 20 = 0\)
\(x^2 + 4x – 21 = 0\)
\(x^2 – 9x + 14 = 0\)

Sedang

\(2x^2 + 5x – 7 = 0\)
\(3x^2 – x – 4 = 0\)
\(x^2 + 3x – 1 = 0\)
\(5x^2 – 6x + 1 = 0\)
\(2x^2 – x – 10 = 0\)

Sulit

\(8x^2 + 6x – 5 = 0\)
\(9x^2 – 3x – 2 = 0\)
\(6x^2 + 11x – 7 = 0\)
\(10x^2 – 7x – 12 = 0\)
\(12x^2 + 5x – 3 = 0\)

Diskriminan Persamaan Kuadrat

Materi Lengkap, Contoh Soal & Latihan

1. Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berderajat dua yang bentuk umumnya:

ax² + bx + c = 0, dengan a ≠ 0

Keterangan:

a = koefisien x²
b = koefisien x
c = konstanta
x = variabel (yang dicari nilainya)

Notasi Persamaan Kuadrat

Persamaan	a	b	c
2x² + 3x − 5 = 0	2	3	−5
x² − 4x + 4 = 0	1	−4	4
3x² + 6 = 0	3	0	6

2. Diskriminan (D)

Diskriminan adalah nilai yang menentukan jenis dan banyaknya akar (solusi) dari suatu persamaan kuadrat. Diskriminan dilambangkan dengan D dan rumusnya:

D = b² − 4ac

Jenis-jenis Akar Berdasarkan Nilai D

Nilai D	Jenis Akar	Keterangan
D > 0	Dua akar real berbeda	Grafik memotong sumbu-x di 2 titik
D = 0	Dua akar real sama (kembar)	Grafik menyinggung sumbu-x
D < 0	Tidak ada akar real	Grafik tidak memotong sumbu-x

Grafik Ilustrasi Diskriminan

D > 0

2 titik potong

D = 0

1 titik singgung

D < 0

Tidak memotong sumbu-x

3. Fungsi Kuadrat dan Grafiknya

Fungsi kuadrat ditulis sebagai:

f(x) = ax² + bx + c

Hubungan fungsi kuadrat dengan diskriminan:

Titik potong grafik dengan sumbu-x adalah akar-akar persamaan f(x) = 0
Titik puncak (vertex): x_p = −b/(2a), y_p = −D/(4a)

Contoh Tabel Nilai Fungsi

Untuk f(x) = x² − 2x − 3:

x	−2	−1	0	1	2	3	4
f(x)	5	0	−3	−4	−3	0	5

Dari tabel: akar-akar adalah x = −1 dan x = 3 → D = (−2)² − 4(1)(−3) = 4 + 12 = 16 > 0 ✓

4. Menentukan Akar dengan Rumus ABC

Jika D ≥ 0, akar-akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan:

x = (−b ± √D) / (2a)

Dengan:

x₁ = (−b + √D) / (2a) dan x₂ = (−b − √D) / (2a)

5. Contoh Soal & Pembahasan

Mudah

Soal 1:

Tentukan nilai diskriminan dari x² + 4x + 3 = 0

Lihat Pembahasan

a = 1, b = 4, c = 3

D = b² − 4ac = 4² − 4(1)(3) = 16 − 12 = 4

Karena D = 4 > 0, persamaan memiliki dua akar real berbeda.

Soal 2:

Tentukan nilai diskriminan dari x² − 6x + 9 = 0

Lihat Pembahasan

a = 1, b = −6, c = 9

D = (−6)² − 4(1)(9) = 36 − 36 = 0

Karena D = 0, persamaan memiliki dua akar kembar.

Soal 3:

Tentukan nilai diskriminan dari x² + 2x + 5 = 0

Lihat Pembahasan

a = 1, b = 2, c = 5

D = 2² − 4(1)(5) = 4 − 20 = −16

Karena D = −16 < 0, persamaan tidak memiliki akar real.

Soal 4:

Tentukan akar-akar dari x² − 5x + 6 = 0

Lihat Pembahasan

a = 1, b = −5, c = 6

D = (−5)² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1

x = (5 ± √1) / 2 = (5 ± 1) / 2

x₁ = 6/2 = 3, x₂ = 4/2 = 2

Soal 5:

Tentukan jenis akar dari 2x² + 4x + 2 = 0

Lihat Pembahasan

a = 2, b = 4, c = 2

D = 4² − 4(2)(2) = 16 − 16 = 0

Jenis akar: dua akar real sama (kembar)

x = −4/(2×2) = −1

Sedang

Soal 6:

Tentukan nilai k agar persamaan x² + kx + 9 = 0 memiliki akar kembar.

Lihat Pembahasan

Akar kembar → D = 0

a = 1, b = k, c = 9

D = k² − 4(1)(9) = 0

k² = 36

k = 6 atau k = −6

Soal 7:

Tentukan nilai m agar 2x² − 4x + m = 0 memiliki dua akar real berbeda.

Lihat Pembahasan

Dua akar real berbeda → D > 0

D = (−4)² − 4(2)(m) > 0

16 − 8m > 0

8m < 16

m < 2

Soal 8:

Tentukan akar-akar dari 2x² − 3x − 2 = 0 menggunakan rumus ABC.

Lihat Pembahasan

a = 2, b = −3, c = −2

D = (−3)² − 4(2)(−2) = 9 + 16 = 25

√D = 5

x = (3 ± 5) / 4

x₁ = 8/4 = 2, x₂ = −2/4 = −½

Soal 9:

Jika x₁ dan x₂ adalah akar dari x² − 7x + 10 = 0, tentukan x₁² + x₂².

Lihat Pembahasan

Dari Vieta: x₁ + x₂ = 7, x₁·x₂ = 10

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂

= 7² − 2(10) = 49 − 20 = 29

Soal 10:

Tentukan nilai p agar persamaan x² + (p−1)x + p + 2 = 0 tidak memiliki akar real.

Lihat Pembahasan

Tidak ada akar real → D < 0

a = 1, b = p−1, c = p+2

D = (p−1)² − 4(1)(p+2) < 0

p² − 2p + 1 − 4p − 8 < 0

p² − 6p − 7 < 0

(p − 7)(p + 1) < 0

−1 < p < 7

Sulit

Soal 11:

Tentukan nilai k agar persamaan (k−2)x² + 2kx + k + 3 = 0 memiliki akar kembar. Tentukan akar kembarnya.

Lihat Pembahasan

Syarat: k ≠ 2 (agar tetap kuadrat) dan D = 0

a = k−2, b = 2k, c = k+3

D = (2k)² − 4(k−2)(k+3) = 0

4k² − 4(k² + k − 6) = 0

4k² − 4k² − 4k + 24 = 0

−4k + 24 = 0 → k = 6

Persamaan: 4x² + 12x + 9 = 0

x = −12/(2×4) = −3/2

Soal 12:

Persamaan x² − (2a+1)x + a² + 2 = 0 memiliki dua akar positif. Tentukan range a.

Lihat Pembahasan

Syarat dua akar positif:

1) D ≥ 0: (2a+1)² − 4(a²+2) ≥ 0

4a² + 4a + 1 − 4a² − 8 ≥ 0

4a − 7 ≥ 0 → a ≥ 7/4

2) x₁ + x₂ > 0: 2a+1 > 0 → a > −½

3) x₁·x₂ > 0: a²+2 > 0 (selalu benar)

Irisan: a ≥ 7/4

Soal 13:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar x² − 3x − 4 = 0.

Lihat Pembahasan

Akar asli: x² − 3x − 4 = 0 → (x−4)(x+1) = 0 → x = 4, −1

Akar baru: 4+2 = 6 dan −1+2 = 1

Substitusi y = x − 2 ke persamaan asli:

(x−2)² − 3(x−2) − 4 = 0

x² − 4x + 4 − 3x + 6 − 4 = 0

x² − 7x + 6 = 0

Verifikasi D = 49 − 24 = 25 > 0 ✓, akar: 6 dan 1 ✓

Soal 14:

Persamaan x² + px + q = 0 memiliki akar x₁ = 2 + √3. Tentukan p dan q (bilangan bulat).

Lihat Pembahasan

Karena koefisien rasional dan satu akar irasional, akar lain: x₂ = 2 − √3

x₁ + x₂ = 4 = −p → p = −4

x₁·x₂ = (2+√3)(2−√3) = 4 − 3 = 1 = q → q = 1

Persamaan: x² − 4x + 1 = 0, D = 16 − 4 = 12 > 0 ✓

Soal 15:

Tentukan semua nilai k agar persamaan kx² − (2k+3)x + k + 2 = 0 memiliki dua akar yang memenuhi x₁ < 1 < x₂.

Lihat Pembahasan

Misalkan f(x) = kx² − (2k+3)x + (k+2)

Agar 1 berada di antara kedua akar: a·f(1) < 0

f(1) = k − (2k+3) + (k+2) = −1

a·f(1) = k·(−1) = −k < 0

−k < 0 → k > 0

(Syarat k ≠ 0 sudah terpenuhi karena k > 0)

6. Latihan Soal

Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan rumus D = b² − 4ac.

Mudah

1. Tentukan diskriminan dari x² + 6x + 8 = 0

2. Tentukan diskriminan dari 3x² − 12x + 12 = 0

3. Tentukan jenis akar dari x² − 2x + 5 = 0

4. Tentukan akar-akar dari x² − 3x + 2 = 0

5. Tentukan diskriminan dan jenis akar dari 4x² + 4x + 1 = 0

Sedang

6. Tentukan nilai k agar x² − 2kx + k + 6 = 0 memiliki akar kembar.

7. Tentukan akar-akar 3x² + 7x − 6 = 0 menggunakan rumus ABC.

8. Tentukan nilai m agar x² + mx + m + 3 = 0 tidak memiliki akar real.

9. Jika x₁ dan x₂ akar dari 2x² − 5x + 1 = 0, tentukan 1/x₁ + 1/x₂.

10. Tentukan range p agar 2x² − (p+1)x + 3 = 0 memiliki dua akar real.

Sulit

11. Tentukan nilai a agar (a+1)x² − 2(a−1)x + 3a − 7 = 0 memiliki akar kembar.

12. Persamaan x² − 2px + p² − p − 2 = 0 memiliki dua akar positif. Tentukan range p.

13. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar 3x² − 7x + 2 = 0.

14. Jika selisih kuadrat akar-akar x² − 5x + c = 0 adalah 3, tentukan c.

15. Tentukan semua nilai k agar kedua akar x² − (k+2)x + 2k + 1 = 0 lebih besar dari 1.

Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

Jumlah dan Hasil Kali Akar Persamaan Kuadrat

Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

Matematika Wajib — Kelas X SMA/SMK

📘 Materi

1. Pengertian Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berderajat dua yang bentuk umumnya:

\[ ax^2 + bx + c = 0 \quad \text{dengan } a \neq 0 \]

di mana:
• \(a\) = koefisien dari \(x^2\)
• \(b\) = koefisien dari \(x\)
• \(c\) = konstanta
• \(x\) = variabel (yang dicari nilainya)

2. Akar-akar Persamaan Kuadrat

Jika \(x_1\) dan \(x_2\) adalah akar-akar dari \(ax^2 + bx + c = 0\), maka akar-akar tersebut dapat dicari menggunakan rumus ABC (rumus kuadratik):

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]

Nilai \(D = b^2 – 4ac\) disebut diskriminan, yang menentukan jenis akar:

Diskriminan	Jenis Akar
\(D > 0\)	Dua akar real berbeda
\(D = 0\)	Dua akar real sama (kembar)
\(D < 0\)	Tidak memiliki akar real

3. Rumus Vieta (Hubungan Akar dan Koefisien)

Tanpa menghitung akar secara langsung, kita bisa mengetahui jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat menggunakan Rumus Vieta:

Jumlah Akar-akar:

\[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \]

Hasil Kali Akar-akar:

\[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \]

Pembuktian Rumus Vieta

Jika \(x_1\) dan \(x_2\) adalah akar dari \(ax^2+bx+c=0\), maka:

\[ ax^2+bx+c = a(x – x_1)(x – x_2) \]

Uraikan ruas kanan:

\[ a(x – x_1)(x – x_2) = a\left[x^2 – (x_1+x_2)x + x_1 \cdot x_2\right] \] \[ = ax^2 – a(x_1+x_2)x + a \cdot x_1 \cdot x_2 \]

Samakan koefisien:

• Koefisien \(x\): \(b = -a(x_1+x_2)\) → \(x_1+x_2 = -\frac{b}{a}\)

• Konstanta: \(c = a \cdot x_1 \cdot x_2\) → \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)

4. Rumus-rumus Turunan Penting

Dari jumlah dan hasil kali akar, kita bisa menurunkan berbagai rumus lain yang sering dipakai:

a) Selisih kuadrat akar:

\[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 – 2x_1 x_2 \]

b) Selisih akar:

\[ (x_1 – x_2)^2 = (x_1+x_2)^2 – 4x_1 x_2 \]

c) Kubik akar:

\[ x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)^3 – 3x_1 x_2(x_1+x_2) \]

d) Kebalikan akar:

\[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1 \cdot x_2} \]

e) Persamaan kuadrat baru dari akar \(x_1\) dan \(x_2\):

\[ x^2 – (x_1+x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0 \]

5. Hubungan dengan Grafik Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat \(f(x) = ax^2+bx+c\) memiliki grafik berupa parabola. Akar-akar persamaan kuadrat adalah titik potong parabola dengan sumbu-\(x\).

Titik Puncak Parabola:

\[ \left(-\frac{b}{2a},\ -\frac{D}{4a}\right) \quad \text{dengan } D = b^2-4ac \]

Perhatikan bahwa \(-\frac{b}{2a} = \frac{x_1+x_2}{2}\), artinya sumbu simetri parabola berada tepat di tengah-tengah kedua akar!

📝 Contoh Soal & Pembahasan

🟢 Tingkat Mudah

Mudah Contoh 1. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari \(x^2 – 5x + 6 = 0\).

Diketahui: \(a=1,\ b=-5,\ c=6\)

Jumlah akar:

\[ x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-5}{1} = 5 \]

Hasil kali akar:

\[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{6}{1} = 6 \]

Verifikasi: Faktorkan: \((x-2)(x-3)=0\), akar: 2 dan 3. Jumlah = 5 ✓, Kali = 6 ✓

Mudah Contoh 2. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari \(x^2 + 7x + 12 = 0\).

\(a=1,\ b=7,\ c=12\)

\[ x_1+x_2 = -\frac{7}{1} = -7 \] \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{12}{1} = 12 \]

Verifikasi: \((x+3)(x+4)=0\) → akar: \(-3\) dan \(-4\). Jumlah = \(-7\) ✓, Kali = 12 ✓

Mudah Contoh 3. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari \(2x^2 – 8x + 6 = 0\).

\(a=2,\ b=-8,\ c=6\)

\[ x_1+x_2 = -\frac{-8}{2} = 4 \] \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{6}{2} = 3 \]

Verifikasi: \(2(x-1)(x-3)=0\) → akar: 1 dan 3. Jumlah = 4 ✓, Kali = 3 ✓

Mudah Contoh 4. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari \(x^2 – 9 = 0\).

\(a=1,\ b=0,\ c=-9\)

\[ x_1+x_2 = -\frac{0}{1} = 0 \] \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{-9}{1} = -9 \]

Verifikasi: \((x-3)(x+3)=0\) → akar: 3 dan \(-3\). Jumlah = 0 ✓, Kali = \(-9\) ✓

Mudah Contoh 5. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari \(3x^2 + 6x – 9 = 0\).

\(a=3,\ b=6,\ c=-9\)

\[ x_1+x_2 = -\frac{6}{3} = -2 \] \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{-9}{3} = -3 \]

Verifikasi: \(3(x+3)(x-1)=0\) → akar: \(-3\) dan 1. Jumlah = \(-2\) ✓, Kali = \(-3\) ✓

🟡 Tingkat Sedang

Sedang Contoh 6. Jika \(x_1\) dan \(x_2\) adalah akar-akar dari \(x^2 – 4x + 1 = 0\), tentukan nilai \(x_1^2 + x_2^2\).

\(a=1,\ b=-4,\ c=1\)

\(x_1+x_2 = 4\), \(x_1 \cdot x_2 = 1\)

Gunakan rumus:

\[ x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2 – 2x_1 x_2 = (4)^2 – 2(1) = 16-2 = \boxed{14} \]

Sedang Contoh 7. Jika akar-akar \(2x^2 – 10x + 8 = 0\) adalah \(x_1\) dan \(x_2\), tentukan nilai \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\).

\(a=2,\ b=-10,\ c=8\)

\(x_1+x_2 = \frac{10}{2}=5\), \(x_1 \cdot x_2 = \frac{8}{2}=4\)

\[ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1 \cdot x_2} = \frac{5}{4} = \boxed{1{,}25} \]

Sedang Contoh 8. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 kali akar-akar dari \(x^2 – 3x + 2 = 0\).

PK asal: \(x_1+x_2=3\), \(x_1 \cdot x_2=2\)

Akar baru: \(p=2x_1\), \(q=2x_2\)

\[ p+q = 2(x_1+x_2)= 2(3)=6 \] \[ p \cdot q = 4 \cdot x_1 x_2 = 4(2) = 8 \]

PK baru: \(x^2 – (p+q)x + p \cdot q = 0\)

\[ \boxed{x^2 – 6x + 8 = 0} \]

Verifikasi: \((x-2)(x-4)=0\), akar: 2 dan 4 (= 2×1 dan 2×2) ✓

Sedang Contoh 9. Jika \(x_1\) dan \(x_2\) akar dari \(x^2+6x+5=0\), tentukan \((x_1-x_2)^2\).

\(x_1+x_2=-6\), \(x_1 \cdot x_2=5\)

\[ (x_1-x_2)^2 = (x_1+x_2)^2 – 4x_1 x_2 = 36-20 = \boxed{16} \]

Maka \(|x_1-x_2|=4\). (Akar: \(-1\) dan \(-5\), selisih = 4 ✓)

Sedang Contoh 10. Tentukan nilai \(k\) agar jumlah akar-akar dari \(x^2 – (2k+1)x + k^2 = 0\) sama dengan 7.

\(a=1,\ b=-(2k+1)\)

\[ x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = 2k+1 = 7 \] \[ 2k = 6 \implies \boxed{k = 3} \]

Verifikasi: PK menjadi \(x^2-7x+9=0\), jumlah akar = 7 ✓

🔴 Tingkat Sulit

Sulit Contoh 11. Jika \(x_1, x_2\) akar dari \(x^2-5x+3=0\), tentukan \(x_1^3+x_2^3\).

\(x_1+x_2=5\), \(x_1 x_2=3\)

\[ x_1^3+x_2^3 = (x_1+x_2)^3 – 3x_1 x_2(x_1+x_2) \] \[ = 125 – 3(3)(5) = 125 – 45 = \boxed{80} \]

Sulit Contoh 12. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya \(\frac{1}{x_1}\) dan \(\frac{1}{x_2}\) jika \(x_1, x_2\) akar dari \(3x^2-7x+2=0\).

PK asal: \(x_1+x_2=\frac{7}{3}\), \(x_1 x_2=\frac{2}{3}\)

Akar baru: \(p=\frac{1}{x_1}\), \(q=\frac{1}{x_2}\)

\[ p+q = \frac{x_1+x_2}{x_1 x_2} = \frac{7/3}{2/3} = \frac{7}{2} \] \[ p \cdot q = \frac{1}{x_1 x_2} = \frac{3}{2} \]

PK baru: \(x^2-\frac{7}{2}x+\frac{3}{2}=0\), kalikan 2:

\[ \boxed{2x^2-7x+3=0} \]

Sulit Contoh 13. Jika \(x_1, x_2\) akar dari \(x^2-px+q=0\) dan \(x_1^2+x_2^2=p^2-2q\), buktikan bahwa persamaan tersebut konsisten untuk semua \(p,q\). Kemudian tentukan nilai \(x_1^4+x_2^4\) dalam \(p\) dan \(q\).

Bukti konsistensi:

\(x_1+x_2=p\), \(x_1 x_2=q\)

\[ x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2-2x_1 x_2 = p^2-2q \quad \checkmark \]

Ini selalu benar (identitas), jadi konsisten untuk semua \(p,q\).

Menentukan \(x_1^4+x_2^4\):

\[ x_1^4+x_2^4 = (x_1^2+x_2^2)^2 – 2(x_1 x_2)^2 \] \[ = (p^2-2q)^2 – 2q^2 \] \[ = p^4-4p^2q+4q^2-2q^2 \] \[ = \boxed{p^4-4p^2q+2q^2} \]

Sulit Contoh 14. Persamaan \(x^2-(m+2)x+2m=0\) memiliki akar-akar positif. Tentukan rentang nilai \(m\).

Syarat kedua akar positif:

1) \(D \geq 0\):

\[ (m+2)^2-4(2m) \geq 0 \implies m^2+4m+4-8m \geq 0 \] \[ m^2-4m+4 \geq 0 \implies (m-2)^2 \geq 0 \quad \text{(selalu benar)} \]

2) Jumlah akar > 0:

\[ x_1+x_2 = m+2 > 0 \implies m > -2 \]

3) Hasil kali akar > 0:

\[ x_1 \cdot x_2 = 2m > 0 \implies m > 0 \]

Irisan: \(\boxed{m > 0}\)

Sulit Contoh 15. Jika \(x_1, x_2\) akar \(2x^2-6x+1=0\), tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya \(x_1^2-1\) dan \(x_2^2-1\).

\(x_1+x_2=3\), \(x_1 x_2=\frac{1}{2}\)

Akar baru: \(p=x_1^2-1\), \(q=x_2^2-1\)

Jumlah akar baru:

\[ p+q = (x_1^2+x_2^2)-2 = [(x_1+x_2)^2-2x_1 x_2]-2 \] \[ = [9-1]-2 = 6 \]

Hasil kali akar baru:

\[ p \cdot q = (x_1^2-1)(x_2^2-1) = x_1^2 x_2^2 – x_1^2 – x_2^2 + 1 \] \[ = (x_1 x_2)^2 – (x_1^2+x_2^2) + 1 = \frac{1}{4}-8+1 = -\frac{27}{4} \]

PK baru: \(x^2-6x-\frac{27}{4}=0\), kalikan 4:

\[ \boxed{4x^2-24x-27=0} \]

✏️ Latihan Soal

Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan rumus Vieta!

🟢 Tingkat Mudah

Mudah 1. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari \(x^2-8x+15=0\).

Mudah 2. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari \(x^2+3x-10=0\).

Mudah 3. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari \(4x^2-12x+8=0\).

Mudah 4. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari \(x^2-16=0\).

Mudah 5. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari \(5x^2+10x-15=0\).

🟡 Tingkat Sedang

Sedang 6. Jika \(x_1, x_2\) akar dari \(x^2-6x+2=0\), tentukan \(x_1^2+x_2^2\).

Sedang 7. Jika akar-akar \(3x^2-12x+9=0\) adalah \(x_1\) dan \(x_2\), tentukan \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\).

Sedang 8. Tentukan PK baru yang akar-akarnya 3 kali akar-akar dari \(x^2-4x+3=0\).

Sedang 9. Jika \(x_1, x_2\) akar \(x^2+8x+12=0\), tentukan \((x_1-x_2)^2\).

Sedang 10. Tentukan nilai \(m\) agar hasil kali akar dari \(x^2-(m+3)x+2m+1=0\) sama dengan 5.

🔴 Tingkat Sulit

Sulit 11. Jika \(x_1, x_2\) akar dari \(x^2-7x+4=0\), tentukan \(x_1^3+x_2^3\).

Sulit 12. Tentukan PK baru yang akar-akarnya \(\frac{1}{x_1}\) dan \(\frac{1}{x_2}\) jika \(x_1,x_2\) akar dari \(5x^2-3x+1=0\).

Sulit 13. Jika \(x_1,x_2\) akar \(x^2-ax+b=0\), nyatakan \(x_1^4+x_2^4\) dalam \(a\) dan \(b\).

Sulit 14. Persamaan \(x^2-2kx+k+2=0\) memiliki kedua akar positif. Tentukan rentang nilai \(k\).

Sulit 15. Jika \(x_1,x_2\) akar \(3x^2-9x+2=0\), tentukan PK baru yang akar-akarnya \(x_1^2+1\) dan \(x_2^2+1\).

Menyusun Persamaan Kuadrat

Materi Lengkap, Contoh Soal & Latihan

Materi 1

Menyusun Persamaan Kuadrat jika Diketahui Akar-akarnya

📖 Teori Dasar

Jika suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar \(x_1\) dan \(x_2\), maka persamaan kuadrat tersebut dapat disusun dengan dua cara:

Cara 1: Menggunakan Faktor

\[ (x - x_1)(x - x_2) = 0 \]

Cara 2: Menggunakan Rumus Jumlah & Hasil Kali Akar

Untuk persamaan \(ax^2 + bx + c = 0\), berlaku:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{dan} \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Sehingga persamaan kuadrat dapat ditulis:

x^2 – (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0

💡 Catatan Penting

Jika \(a = 1\), maka \(x_1 + x_2 = -b\) dan \(x_1 \cdot x_2 = c\).
Persamaan kuadrat dengan akar-akar yang sama menghasilkan diskriminan \(D = 0\).
Persamaan kuadrat tidak tunggal: \(2x^2 – 6x + 4 = 0\) dan \(x^2 – 3x + 2 = 0\) memiliki akar yang sama.

📝 Contoh Soal

1. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 5.

Cara 1 (Faktor):

(x-2)(x-5)=0\]\[x^2 – 5x – 2x + 10 = 0\]\[x^2 – 7x + 10 = 0

Cara 2 (Jumlah & Hasil Kali):

x_1+x_2=2+5=7,\quad x_1 \cdot x_2=2 \times 5=10\]\[x^2-7x+10=0

2. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 1 dan 4.

(x-1)(x-4)=0 \Rightarrow x^2-5x+4=0

3. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya −3 dan 2.

(x+3)(x-2)=0 \Rightarrow x^2+x-6=0

4. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 0 dan 6.

x(x-6)=0 \Rightarrow x^2-6x=0

5. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya −1 dan −4.

(x+1)(x+4)=0 \Rightarrow x^2+5x+4=0

1. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya \(\frac{2+\sqrt{3}}{3}\) dan \(\frac{2-\sqrt{3}}{3}\).

x_1+x_2=\frac{4}{3},\quad x_1 \cdot x_2=\frac{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}{9}=\frac{4-3}{9}=\frac{1}{9}

x^2-\frac{4}{3}x+\frac{1}{9}=0 \Rightarrow 9x^2-12x+1=0

2. Jika \(\alpha\) dan \(\beta\) akar-akar \(x^2-3x+1=0\), susunlah PK yang akar-akarnya \(\alpha^2\) dan \(\beta^2\).

\(\alpha+\beta=3\), \(\alpha\beta=1\)

\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=9-2=7

\alpha^2\cdot\beta^2=(\alpha\beta)^2=1

\[x^2-7x+1=0\]

3. Susunlah PK yang akar-akarnya merupakan kebalikan dari akar-akar \(2x^2-7x+3=0\).

Akar-akar: \(x_1+x_2=\frac{7}{2}\), \(x_1 x_2=\frac{3}{2}\)

\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1 x_2}=\frac{7/2}{3/2}=\frac{7}{3}

\frac{1}{x_1}\cdot\frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_1 x_2}=\frac{2}{3}

x^2-\frac{7}{3}x+\frac{2}{3}=0 \Rightarrow 3x^2-7x+2=0

4. Susunlah PK yang akar-akarnya \(\frac{-1+i\sqrt{7}}{4}\) dan \(\frac{-1-i\sqrt{7}}{4}\).

x_1+x_2=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2},\quad x_1 x_2=\frac{1+7}{16}=\frac{1}{2}

x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}=0 \Rightarrow 2x^2+x+1=0

5. Jika \(p\) dan \(q\) akar \(x^2-5x+3=0\), susunlah PK yang akar-akarnya \(p+\frac{1}{q}\) dan \(q+\frac{1}{p}\).

\(p+q=5\), \(pq=3\)

\left(p+\frac{1}{q}\right)+\left(q+\frac{1}{p}\right)=(p+q)+\frac{p+q}{pq}=5+\frac{5}{3}=\frac{20}{3}

\left(p+\frac{1}{q}\right)\left(q+\frac{1}{p}\right)=pq+1+1+\frac{1}{pq}=3+2+\frac{1}{3}=\frac{16}{3}

x^2-\frac{20}{3}x+\frac{16}{3}=0 \Rightarrow 3x^2-20x+16=0

✏️ Latihan Soal

1. Susunlah PK yang akar-akarnya 3 dan 7.

2. Susunlah PK yang akar-akarnya −2 dan 6.

3. Susunlah PK yang akar-akarnya 0 dan −5.

4. Susunlah PK yang akar-akarnya 1 dan 1.

5. Susunlah PK yang akar-akarnya −3 dan −8.

Materi 2

Menyusun PK yang Akar-akarnya Berhubungan dengan PK Lain

📖 Teori Dasar

Jika diketahui persamaan kuadrat \(ax^2+bx+c=0\) memiliki akar-akar \(\alpha\) dan \(\beta\), maka:

\alpha+\beta=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta=\frac{c}{a}

Kita dapat menyusun PK baru yang akar-akarnya memiliki hubungan tertentu dengan \(\alpha\) dan \(\beta\).

Hubungan Umum yang Sering Digunakan:

Akar Baru	Jumlah Akar Baru	Hasil Kali Akar Baru
\(\alpha^2, \beta^2\)	\((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\)	\((\alpha\beta)^2\)
\(\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}\)	\(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\)	\(\frac{1}{\alpha\beta}\)
\(\alpha+k, \beta+k\)	\((\alpha+\beta)+2k\)	\(\alpha\beta+k(\alpha+\beta)+k^2\)
\(k\alpha, k\beta\)	\(k(\alpha+\beta)\)	\(k^2 \alpha\beta\)
\(\alpha^2\beta, \alpha\beta^2\)	\(\alpha\beta(\alpha+\beta)\)	\((\alpha\beta)^3\)

💡 Strategi Penyelesaian

Tentukan \(\alpha+\beta\) dan \(\alpha\beta\) dari PK asal.
Nyatakan jumlah dan hasil kali akar baru dalam bentuk \(\alpha+\beta\) dan \(\alpha\beta\).
Substitusi dan susun PK baru: \(x^2 – (\text{jumlah})x + (\text{hasil kali}) = 0\).

📝 Contoh Soal

1. Akar-akar \(x^2-5x+6=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(2\alpha\) dan \(2\beta\).

\(\alpha+\beta=5\), \(\alpha\beta=6\)

2\alpha+2\beta=10,\quad 2\alpha\cdot2\beta=4\cdot6=24\]\[x^2-10x+24=0

2. Akar-akar \(x^2-4x+3=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(\alpha+1\) dan \(\beta+1\).

\(\alpha+\beta=4\), \(\alpha\beta=3\)

(\alpha+1)+(\beta+1)=6\]\[(\alpha+1)(\beta+1)=\alpha\beta+\alpha+\beta+1=3+4+1=8\]\[x^2-6x+8=0

3. Akar-akar \(x^2-7x+10=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(-\alpha\) dan \(-\beta\).

-\alpha+(-\beta)=-7,\quad (-\alpha)(-\beta)=10\]\[x^2+7x+10=0

4. Akar-akar \(x^2+2x-8=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(3\alpha\) dan \(3\beta\).

\(\alpha+\beta=-2\), \(\alpha\beta=-8\)

3\alpha+3\beta=-6,\quad 9\alpha\beta=-72\]\[x^2+6x-72=0

5. Akar-akar \(x^2-6x+5=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(\alpha-2\) dan \(\beta-2\).

\(\alpha+\beta=6\), \(\alpha\beta=5\)

(\alpha-2)+(\beta-2)=2\]\[(\alpha-2)(\beta-2)=\alpha\beta-2(\alpha+\beta)+4=5-12+4=-3\]\[x^2-2x-3=0

1. Akar-akar \(x^2-3x+1=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(\frac{1}{\alpha}\) dan \(\frac{1}{\beta}\).

\(\alpha+\beta=3\), \(\alpha\beta=1\)

\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{3}{1}=3\]\[\frac{1}{\alpha}\cdot\frac{1}{\beta}=\frac{1}{\alpha\beta}=1\]\[x^2-3x+1=0

2. Akar-akar \(2x^2-5x+1=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(\alpha^2\) dan \(\beta^2\).

\(\alpha+\beta=\frac{5}{2}\), \(\alpha\beta=\frac{1}{2}\)

\alpha^2+\beta^2=\left(\frac{5}{2}\right)^2-2\cdot\frac{1}{2}=\frac{25}{4}-1=\frac{21}{4}

\alpha^2\beta^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}

x^2-\frac{21}{4}x+\frac{1}{4}=0 \Rightarrow 4x^2-21x+1=0

3. Akar-akar \(x^2-4x+2=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(\alpha+\frac{1}{\beta}\) dan \(\beta+\frac{1}{\alpha}\).

\(\alpha+\beta=4\), \(\alpha\beta=2\)

\text{Jumlah}=(\alpha+\beta)+\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=4+2=6

\text{HK}=\alpha\beta+1+1+\frac{1}{\alpha\beta}=2+2+\frac{1}{2}=\frac{9}{2}

x^2-6x+\frac{9}{2}=0 \Rightarrow 2x^2-12x+9=0

4. Akar-akar \(x^2-6x+4=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(\alpha\beta^2\) dan \(\alpha^2\beta\).

\(\alpha+\beta=6\), \(\alpha\beta=4\)

\alpha\beta^2+\alpha^2\beta=\alpha\beta(\alpha+\beta)=4\cdot6=24

\alpha\beta^2\cdot\alpha^2\beta=(\alpha\beta)^3=64

\[x^2-24x+64=0\]

5. Akar-akar \(x^2+3x-5=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(\alpha-\beta\) dan \(\beta-\alpha\).

\(\alpha+\beta=-3\), \(\alpha\beta=-5\)

(\alpha-\beta)+(\beta-\alpha)=0

(\alpha-\beta)(\beta-\alpha)=-(\alpha-\beta)^2

(\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=9+20=29

x^2-0\cdot x+(-29)=0 \Rightarrow x^2-29=0

1. Akar-akar \(x^2-2x-1=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(\alpha^3\) dan \(\beta^3\).

\(\alpha+\beta=2\), \(\alpha\beta=-1\)

\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=4+2=6

\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)(\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2)=2(6+1)=14

\alpha^3\beta^3=(\alpha\beta)^3=-1

\[x^2-14x-1=0\]

2. Akar-akar \(x^2-5x+3=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(\frac{\alpha}{\beta}\) dan \(\frac{\beta}{\alpha}\).

\(\alpha+\beta=5\), \(\alpha\beta=3\)

\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}=\frac{25-6}{3}=\frac{19}{3}

\frac{\alpha}{\beta}\cdot\frac{\beta}{\alpha}=1

x^2-\frac{19}{3}x+1=0 \Rightarrow 3x^2-19x+3=0

3. Akar-akar \(2x^2-3x-4=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(\alpha^2-1\) dan \(\beta^2-1\).

\(\alpha+\beta=\frac{3}{2}\), \(\alpha\beta=-2\)

\alpha^2+\beta^2=\frac{9}{4}+4=\frac{25}{4}

(\alpha^2-1)+(\beta^2-1)=\frac{25}{4}-2=\frac{17}{4}

(\alpha^2-1)(\beta^2-1)=\alpha^2\beta^2-(\alpha^2+\beta^2)+1=4-\frac{25}{4}+1=-\frac{5}{4}

x^2-\frac{17}{4}x-\frac{5}{4}=0 \Rightarrow 4x^2-17x-5=0

4. Akar-akar \(x^2-px+q=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(\alpha^2+\beta\) dan \(\beta^2+\alpha\).

\(\alpha+\beta=p\), \(\alpha\beta=q\)

(\alpha^2+\beta)+(\beta^2+\alpha)=\alpha^2+\beta^2+\alpha+\beta=p^2-2q+p

(\alpha^2+\beta)(\beta^2+\alpha)=\alpha^2\beta^2+\alpha^3+\beta^3+\alpha\beta

\[=q^2+p(p^2-3q)+q=q^2+p^3-3pq+q\]

\[x^2-(p^2+p-2q)x+(p^3+q^2+q-3pq)=0\]

5. Akar-akar \(x^2-4x+1=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(\frac{\alpha^2}{\beta}\) dan \(\frac{\beta^2}{\alpha}\).

\(\alpha+\beta=4\), \(\alpha\beta=1\)

\frac{\alpha^2}{\beta}+\frac{\beta^2}{\alpha}=\frac{\alpha^3+\beta^3}{\alpha\beta}

\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)=64-12=52

\text{Jumlah}=\frac{52}{1}=52

\frac{\alpha^2}{\beta}\cdot\frac{\beta^2}{\alpha}=\alpha\beta=1

\[x^2-52x+1=0\]

✏️ Latihan Soal

1. Akar-akar \(x^2-3x+2=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(4\alpha\) dan \(4\beta\).

2. Akar-akar \(x^2-8x+12=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(\alpha+3\) dan \(\beta+3\).

3. Akar-akar \(x^2+4x+3=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(-\alpha\) dan \(-\beta\).

4. Akar-akar \(x^2-10x+21=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(\frac{\alpha}{2}\) dan \(\frac{\beta}{2}\).

5. Akar-akar \(x^2-2x-3=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(\alpha-1\) dan \(\beta-1\).

Fungsi Kuadrat

📐 Fungsi Kuadrat

Materi Lengkap, Contoh Soal & Latihan

1. Pengertian Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial berderajat dua yang memiliki bentuk umum:

\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]

dengan \(a, b, c \in \mathbb{R}\) dan \(a \neq 0\)

Keterangan:

\(a\) = koefisien dari \(x^2\) (menentukan arah dan lebar parabola)
\(b\) = koefisien dari \(x\)
\(c\) = konstanta (titik potong sumbu-\(y\))

Ciri-ciri Fungsi Kuadrat:

Grafiknya berupa parabola
Jika \(a > 0\), parabola terbuka ke atas (∪)
Jika \(a < 0\), parabola terbuka ke bawah (∩)
Memiliki titik puncak (vertex) di \(\left(-\dfrac{b}{2a},\ -\dfrac{D}{4a}\right)\) dengan \(D = b^2 – 4ac\)
Memiliki sumbu simetri \(x = -\dfrac{b}{2a}\)

Contoh fungsi kuadrat:

\(f(x) = 2x^2 + 3x – 5\) → \(a=2,\ b=3,\ c=-5\)
\(f(x) = -x^2 + 4\) → \(a=-1,\ b=0,\ c=4\)
\(f(x) = x^2\) → \(a=1,\ b=0,\ c=0\)

Contoh Soal – Pengertian Fungsi Kuadrat

Mudah

1. Tentukan nilai \(a\), \(b\), dan \(c\) dari \(f(x) = 3x^2 – 6x + 2\).

Pembahasan

Bandingkan dengan bentuk umum \(f(x)=ax^2+bx+c\):
\(a = 3\), \(b = -6\), \(c = 2\).

2. Apakah \(f(x) = 5x + 1\) merupakan fungsi kuadrat? Jelaskan!

Pembahasan

Bukan. Fungsi kuadrat memiliki pangkat tertinggi 2. Pada \(f(x)=5x+1\), pangkat tertinggi \(x\) adalah 1, sehingga ini fungsi linear.

3. Tentukan nilai \(f(0)\) untuk \(f(x) = x^2 – 4x + 7\).

Pembahasan

\(f(0) = (0)^2 – 4(0) + 7 = 7\).

4. Tentukan nilai \(f(2)\) untuk \(f(x) = 2x^2 + x – 3\).

Pembahasan

\(f(2) = 2(4) + 2 – 3 = 8 + 2 – 3 = 7\).

5. Tentukan koefisien \(a\) pada \(f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 3x\).

Pembahasan

\(a = -\dfrac{1}{2}\), \(b = 3\), \(c = 0\). Karena \(a < 0\), parabola terbuka ke bawah.

Sedang

1. Tentukan titik potong sumbu-\(y\) dan sumbu simetri dari \(f(x) = 2x^2 – 8x + 6\).

Pembahasan

Titik potong sumbu-\(y\): \(f(0)=6\), jadi titik \((0,6)\).
Sumbu simetri: \(x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-8}{2(2)}=2\).

2. Tentukan titik puncak dari \(f(x) = x^2 – 6x + 5\).

Pembahasan

\(x_p = -\dfrac{-6}{2(1)}=3\)
\(D = 36 – 20 = 16\)
\(y_p = -\dfrac{16}{4(1)}=-4\)
Titik puncak: \((3, -4)\).

3. Tentukan titik potong sumbu-\(x\) dari \(f(x) = x^2 – 5x + 6\).

Pembahasan

\(x^2 – 5x + 6 = 0\)
\((x-2)(x-3)=0\)
\(x=2\) atau \(x=3\)
Titik potong sumbu-\(x\): \((2,0)\) dan \((3,0)\).

4. Jika \(f(x) = ax^2 + 4x + 1\) memiliki sumbu simetri \(x = -1\), tentukan nilai \(a\).

Pembahasan

\(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2a} = -1\)
\(\dfrac{4}{2a} = 1 \Rightarrow 2a = 4 \Rightarrow a = 2\).

5. Tentukan nilai minimum dari \(f(x) = 3x^2 – 12x + 15\).

Pembahasan

\(D = 144 – 180 = -36\)
Nilai minimum \(= -\dfrac{D}{4a} = -\dfrac{-36}{12} = 3\).
Karena \(a=3>0\), fungsi memiliki nilai minimum = 3.

Sulit

1. Tentukan nilai \(k\) agar \(f(x)=2x^2 – kx + 8\) memiliki titik puncak di \(x=3\).

Pembahasan

\(x_p = -\dfrac{-k}{2(2)} = \dfrac{k}{4} = 3\)
\(k = 12\).

2. Fungsi \(f(x)=x^2+bx+c\) memiliki titik puncak \((2,-1)\). Tentukan \(b\) dan \(c\).

Pembahasan

\(x_p = -\dfrac{b}{2} = 2 \Rightarrow b = -4\)
\(f(2) = 4 – 8 + c = -1 \Rightarrow c = 3\).
Jadi \(b=-4,\ c=3\).

3. Tentukan rentang nilai \(m\) agar \(f(x)=x^2 – 4x + m\) selalu positif untuk semua \(x\).

Pembahasan

Agar \(f(x) > 0\) untuk semua \(x\), syarat: \(a > 0\) dan \(D < 0\).
\(a = 1 > 0\) ✓
\(D = 16 – 4m < 0 \Rightarrow m > 4\).

4. Tentukan persamaan sumbu simetri dan koordinat titik puncak \(f(x) = -3x^2 + 12x – 7\), lalu tentukan nilai maksimumnya.

Pembahasan

\(x_p = -\dfrac{12}{2(-3)} = 2\)
\(f(2) = -12 + 24 – 7 = 5\)
Sumbu simetri: \(x = 2\). Titik puncak: \((2, 5)\).
Karena \(a < 0\), nilai maksimum = 5.

5. Diketahui \(f(x) = (k-1)x^2 + 2kx + k+3\). Tentukan nilai \(k\) agar \(f(x)\) merupakan fungsi kuadrat dan grafiknya memotong sumbu-\(x\) di dua titik berbeda.

Pembahasan

Syarat fungsi kuadrat: \(k-1 \neq 0 \Rightarrow k \neq 1\).
Memotong sumbu-\(x\) di dua titik: \(D > 0\).
\(D = 4k^2 – 4(k-1)(k+3) > 0\)
\(= 4k^2 – 4(k^2+2k-3) > 0\)
\(= 4k^2 – 4k^2 – 8k + 12 > 0\)
\(= -8k + 12 > 0\)
\(k < \dfrac{3}{2}\) dan \(k \neq 1\).

Latihan Soal – Pengertian Fungsi Kuadrat

Mudah

Tentukan \(a, b, c\) dari \(f(x) = -4x^2 + x – 9\).
Hitung \(f(1)\) jika \(f(x)=x^2+2x+3\).
Apakah \(g(x)=7x^3-2x+1\) termasuk fungsi kuadrat?
Tentukan titik potong sumbu-\(y\) dari \(f(x)=5x^2-3x+10\).
Tentukan arah bukaan parabola \(f(x)=-2x^2+x\).

Sedang

Tentukan sumbu simetri dan titik puncak \(f(x)=x^2-4x+3\).
Tentukan titik potong sumbu-\(x\) dari \(f(x)=x^2-9\).
Hitung nilai minimum \(f(x)=2x^2+8x+10\).
Jika sumbu simetri \(f(x)=3x^2+bx+5\) adalah \(x=2\), tentukan \(b\).
Tentukan \(f(-1)\) dan \(f(3)\) untuk \(f(x)=-x^2+6x-5\).

Sulit

Tentukan nilai \(p\) agar \(f(x)=x^2-6x+p\) menyinggung sumbu-\(x\).
Tentukan \(k\) agar \(f(x)=kx^2+4x+k\) memiliki nilai minimum \(-1\).
Buktikan \(f(x)=2x^2-4x+5\) selalu positif untuk semua \(x \in \mathbb{R}\).
Tentukan \(m\) agar grafik \(f(x)=x^2+mx+m+3\) tidak memotong sumbu-\(x\).
Jika titik puncak \(f(x)=ax^2+bx+1\) adalah \((1,3)\), tentukan \(a\) dan \(b\).

2. Daerah Asal, Daerah Kawan, dan Daerah Hasil

Pada fungsi \(f: A \to B\) dengan \(y = f(x)\):

Daerah Asal (Domain) \(D_f\): Himpunan semua nilai \(x\) yang mungkin dimasukkan ke fungsi. Untuk fungsi kuadrat, domain umumnya adalah \(\mathbb{R}\) (semua bilangan real).
Daerah Kawan (Kodomain): Himpunan tempat nilai fungsi dipetakan, biasanya \(\mathbb{R}\).
Daerah Hasil (Range) \(R_f\): Himpunan semua nilai \(y\) yang benar-benar dihasilkan oleh fungsi.

Menentukan Range Fungsi Kuadrat:

Jika \(f(x)=ax^2+bx+c\) dengan titik puncak \((x_p, y_p)\):

Jika \(a > 0\) (terbuka ke atas): \(R_f = \{y \mid y \geq y_p\}\) atau \([y_p, \infty)\)
Jika \(a < 0\) (terbuka ke bawah): \(R_f = \{y \mid y \leq y_p\}\) atau \((-\infty, y_p]\)

Diagram Pemetaan Fungsi

Contoh: \(f(x)=x^2-4x+3\), \(a=1, b=-4, c=3\).

Domain: \(D_f = \mathbb{R}\)
Titik puncak: \(x_p=2,\ y_p = f(2)= 4-8+3=-1\)
Karena \(a>0\): Range = \(\{y \mid y \geq -1\} = [-1, \infty)\)

\(x\)	-1	0	1	2	3	4	5
\(f(x)\)	8	3	0	-1	0	3	8

Contoh Soal – Domain, Kodomain, Range

Mudah

1. Tentukan domain dari \(f(x) = x^2 + 1\).

Pembahasan

Fungsi kuadrat terdefinisi untuk semua bilangan real.
Domain: \(D_f = \mathbb{R}\) atau \((-\infty, \infty)\).

2. Tentukan range dari \(f(x) = x^2\).

Pembahasan

Titik puncak: \((0,0)\), \(a=1>0\).
Range: \(\{y \mid y \geq 0\} = [0, \infty)\).

3. Tentukan range dari \(f(x)=-x^2+9\).

Pembahasan

\(a=-1<0\), titik puncak: \((0,9)\).
Range: \(\{y \mid y \leq 9\} = (-\infty, 9]\).

4. Buat tabel nilai \(f(x)=x^2-1\) untuk \(x = -2,-1,0,1,2\).

Pembahasan

\(x\)	-2	-1	0	1	2
\(f(x)\)	3	0	-1	0	3

5. Tentukan kodomain dari \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 2x^2 – 5\).

Pembahasan

Kodomain adalah himpunan yang menjadi tempat pemetaan, yaitu \(\mathbb{R}\).

Sedang

1. Tentukan range dari \(f(x)=2x^2 – 8x + 10\).

Pembahasan

\(x_p=2\), \(f(2)=8-16+10=2\). \(a=2>0\).
Range: \([2, \infty)\).

2. Tentukan range dari \(f(x)=-x^2+6x-5\).

Pembahasan

\(x_p=3\), \(f(3)=-9+18-5=4\). \(a=-1<0\).
Range: \((-\infty, 4]\).

3. Jika \(f(x)=x^2-2x+3\) dan domain dibatasi \(0 \leq x \leq 4\), tentukan range.

Pembahasan

\(x_p=1\), \(f(1)=2\) (minimum).
\(f(0)=3\), \(f(4)=11\) (maksimum di ujung).
Range: \([2, 11]\).

4. Tentukan domain dari \(f(x)=\sqrt{x^2-4x+3}\).

Pembahasan

Syarat: \(x^2-4x+3 \geq 0\)
\((x-1)(x-3) \geq 0\)
\(x \leq 1\) atau \(x \geq 3\).
Domain: \((-\infty, 1] \cup [3, \infty)\).

5. Jika \(f(x)=x^2+2x\) dengan domain \(\{-3,-2,-1,0,1,2\}\), tentukan range.

Pembahasan

\(f(-3)=3\), \(f(-2)=0\), \(f(-1)=-1\), \(f(0)=0\), \(f(1)=3\), \(f(2)=8\).
Range: \(\{-1, 0, 3, 8\}\).

Sulit

1. Tentukan range dari \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2+2}\).

Pembahasan

Misalkan \(y = \dfrac{x^2+1}{x^2+2}\). Maka \(y(x^2+2)=x^2+1\).
\(yx^2 + 2y = x^2+1\)
\(x^2(y-1) = 1-2y\)
\(x^2 = \dfrac{1-2y}{y-1}\)
Syarat: \(x^2 \geq 0\), sehingga \(\dfrac{1-2y}{y-1} \geq 0\).
Analisis: \(\dfrac{1}{2} \leq y < 1\).
Range: \(\left[\dfrac{1}{2}, 1\right)\).

2. Jika \(f(x)=-2x^2+8x-3\) dengan domain \([-1,5]\), tentukan range.

Pembahasan

\(x_p=2\), \(f(2)=-8+16-3=5\) (maksimum).
\(f(-1)=-2-8-3=-13\)
\(f(5)=-50+40-3=-13\)
Range: \([-13, 5]\).

3. Tentukan domain dan range dari \(g(x) = \sqrt{-x^2+6x-8}\).

Pembahasan

Syarat: \(-x^2+6x-8 \geq 0 \Rightarrow x^2-6x+8 \leq 0\)
\((x-2)(x-4) \leq 0 \Rightarrow 2 \leq x \leq 4\). Domain: \([2,4]\).
Maks \(-x^2+6x-8\) di \(x=3\): \(-9+18-8=1\).
Range \(g\): \([0, 1]\).

4. Tentukan semua nilai \(k\) agar range \(f(x)=x^2-2x+k\) mencakup \(y=0\).

Pembahasan

\(y_p = f(1)= 1-2+k = k-1\).
Agar \(0\) termasuk range: \(y_p \leq 0\), karena \(a>0\).
\(k-1 \leq 0 \Rightarrow k \leq 1\).

5. Diketahui \(f(x) = x^2 + 2x + 5\) dan \(g(x) = -x^2 + 4x + 1\). Tentukan range masing-masing dan tentukan apakah range keduanya beririsan.

Pembahasan

\(f\): \(x_p=-1\), \(f(-1)=4\). Range \(f = [4, \infty)\).
\(g\): \(x_p=2\), \(g(2)=5\). Range \(g = (-\infty, 5]\).
Irisan: \([4,5]\). Ya, range keduanya beririsan.

Latihan Soal – Domain, Kodomain, Range

Mudah

Tentukan domain dari \(f(x)=3x^2-x+2\).
Tentukan range dari \(f(x)=x^2+4\).
Tentukan range dari \(f(x)=-x^2\).
Buat tabel \(f(x)=x^2+x\) untuk \(x=-3\) sampai \(x=3\).
Tentukan nilai minimum \(f(x)=x^2-2x+5\).

Sedang

Tentukan range \(f(x)=3x^2-6x+1\).
Jika domain \(f(x)=x^2-4x\) dibatasi \([0,5]\), tentukan range.
Tentukan domain \(g(x)=\sqrt{x^2-9}\).
Jika domain \(f(x)=-x^2+4x\) adalah \(\{0,1,2,3,4\}\), tentukan range.
Tentukan nilai maksimum \(f(x)=-2x^2+12x-10\).

Sulit

Tentukan domain dan range \(h(x)=\sqrt{-x^2+4x}\).
Tentukan range \(f(x)=\dfrac{2x^2}{x^2+1}\).
Tentukan \(k\) agar range \(f(x)=-x^2+4x+k\) mencakup \(y=10\).
Jika \(f(x)=x^2-6x+c\) pada domain \([1,5]\) memiliki range \([-2, c-5]\), tentukan \(c\).
Tentukan range dari \(f(x)=|x^2-4x+3|\).

3. Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat

Langkah-langkah menyketsa grafik fungsi kuadrat \(f(x)=ax^2+bx+c\):

Tentukan arah parabola: \(a>0\) → terbuka ke atas; \(a<0\) → terbuka ke bawah.
Tentukan titik potong sumbu-\(y\): substitusi \(x=0\), diperoleh \((0,c)\).
Tentukan titik potong sumbu-\(x\) (jika ada): selesaikan \(ax^2+bx+c=0\).
Tentukan titik puncak: \(\left(-\dfrac{b}{2a},\ -\dfrac{D}{4a}\right)\).
Buat tabel nilai untuk beberapa titik di sekitar puncak.
Gambar grafiknya dengan menghubungkan titik-titik secara mulus.

Pengaruh Diskriminan \(D = b^2 – 4ac\):

\(D > 0\): grafik memotong sumbu-\(x\) di dua titik
\(D = 0\): grafik menyinggung sumbu-\(x\) (satu titik singgung)
\(D < 0\): grafik tidak memotong sumbu-\(x\)

Contoh Grafik: \(f(x)=x^2-4x+3\)

\(a=1, b=-4, c=3\). Titik puncak \((2,-1)\). Potong sumbu-\(x\): \((1,0)\) dan \((3,0)\).

Titik potong sumbu-x Titik puncak Titik potong sumbu-y Sumbu simetri

Contoh Grafik: \(f(x)=-x^2+2x-3\) (D < 0, terbuka bawah)

Contoh Soal – Sketsa Grafik

Mudah

1. Tentukan arah bukaan dan titik potong sumbu-\(y\) dari \(f(x)=x^2+2\).

Pembahasan

\(a=1>0\): terbuka ke atas.
Titik potong sumbu-\(y\): \(f(0)=2\), yaitu \((0,2)\).

2. Tentukan titik puncak dari \(f(x)=x^2-2x\).

Pembahasan

\(x_p=1\), \(f(1)=1-2=-1\). Titik puncak: \((1,-1)\).

3. Hitung diskriminan \(f(x)=x^2-4x+4\) dan tentukan berapa titik potong sumbu-\(x\).

Pembahasan

\(D = 16-16 = 0\). Grafik menyinggung sumbu-\(x\) di satu titik.
\(x=2\), titik singgung \((2,0)\).

4. Buat tabel nilai \(f(x)=x^2\) untuk \(x=-2,-1,0,1,2\).

Pembahasan

\(x\)	-2	-1	0	1	2
\(f(x)\)	4	1	0	1	4

5. Tentukan sumbu simetri dari \(f(x)=-2x^2+8x-1\).

Pembahasan

\(x = -\dfrac{8}{2(-2)} = 2\). Sumbu simetri: \(x=2\).

Sedang

1. Sketsa grafik \(f(x)=x^2-2x-3\). Tentukan titik potong sumbu-\(x\), sumbu-\(y\), dan titik puncak.

Pembahasan

Sumbu-\(y\): \((0,-3)\).
Sumbu-\(x\): \(x^2-2x-3=0 \Rightarrow (x-3)(x+1)=0\), titik \((-1,0)\) dan \((3,0)\).
Puncak: \(x_p=1\), \(f(1)=-4\). Titik puncak \((1,-4)\).
Parabola terbuka ke atas karena \(a=1>0\).

2. Tentukan semua informasi penting dan sketsa grafik \(f(x)=-x^2+4x\).

Pembahasan

\(a=-1<0\): terbuka ke bawah.
Sumbu-\(y\): \((0,0)\).
Sumbu-\(x\): \(-x(x-4)=0\), titik \((0,0)\) dan \((4,0)\).
Puncak: \(x_p=2\), \(f(2)=4\). Titik puncak \((2,4)\).

3. Sketsa grafik \(f(x)=2x^2-4x+2\). Ada berapa titik potong sumbu-\(x\)?

Pembahasan

\(D = 16 – 16 = 0\). Satu titik singgung.
\(2(x-1)^2 = 0 \Rightarrow x=1\). Titik singgung \((1,0)\).
Puncak: \((1,0)\). Terbuka ke atas.

4. Grafik \(f(x)=x^2+2x+5\) apakah memotong sumbu-\(x\)?

Pembahasan

\(D = 4-20 = -16 < 0\).
Tidak memotong sumbu-\(x\). Seluruh grafik berada di atas sumbu-\(x\) (karena \(a>0\)).

5. Tentukan persamaan sumbu simetri, titik puncak, dan arah bukaan dari \(f(x)=-\frac{1}{2}x^2+3x-4\).

Pembahasan

\(x_p = -\dfrac{3}{2(-\frac{1}{2})} = 3\)
\(f(3) = -\frac{9}{2}+9-4 = \frac{1}{2}\)
Sumbu simetri \(x=3\), puncak \((3, \frac{1}{2})\), terbuka ke bawah.

Sulit

1. Sketsa grafik \(f(x)=|x^2-4|\). Tentukan titik-titik penting.

Pembahasan

\(x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm2\).
Untuk \(|x| \geq 2\): \(f(x)=x^2-4\) (parabola biasa).
Untuk \(-2 < x < 2\): \(f(x) = 4-x^2\) (parabola terbalik).
Titik puncak bagian atas: \((0,4)\). Titik sentuh sumbu-\(x\): \((\pm 2, 0)\).
Grafik berbentuk “W” simetris.

2. Tentukan titik potong grafik \(f(x)=x^2-3x+2\) dengan \(g(x)=-x^2+x+6\).

Pembahasan

\(x^2-3x+2 = -x^2+x+6\)
\(2x^2-4x-4=0\)
\(x^2-2x-2=0\)
\(x = 1 \pm \sqrt{3}\)
Titik potong: \((1+\sqrt{3},\ f(1+\sqrt{3}))\) dan \((1-\sqrt{3},\ f(1-\sqrt{3}))\).

3. Diketahui grafik \(f(x)=ax^2+bx+c\) melalui \((0,3)\), \((1,0)\), dan \((3,0)\). Tentukan \(f(x)\) dan sketsakan.

Pembahasan

\(c=3\) (dari titik \((0,3)\)).
\(a+b+3=0\) dan \(9a+3b+3=0\).
Dari persamaan 1: \(b = -a-3\). Substitusi ke persamaan 2:
\(9a+3(-a-3)+3=0 \Rightarrow 6a-6=0 \Rightarrow a=1\), \(b=-4\).
\(f(x) = x^2-4x+3\).

4. Tentukan \(k\) agar grafik \(f(x)=x^2-2kx+k^2-1\) menyinggung garis \(y=-1\).

Pembahasan

\(f(x) = (x-k)^2 – 1\). Titik puncak: \((k, -1)\).
Karena \(a=1>0\), nilai minimum = \(-1\), artinya grafik menyinggung \(y=-1\) di puncak.
Ini berlaku untuk semua nilai \(k \in \mathbb{R}\).

5. Sketsa grafik \(f(x)=x^2-4x+3\) untuk \(-1 \leq x \leq 5\), dan tentukan nilai maksimum dan minimum pada interval tersebut.

Pembahasan

Puncak: \((2,-1)\), minimum \(=-1\).
\(f(-1)=1+4+3=8\), \(f(5)=25-20+3=8\).
Nilai maksimum pada interval = 8 (di kedua ujung).
Nilai minimum pada interval = \(-1\) (di puncak).

Latihan Soal – Sketsa Grafik

Mudah

Tentukan arah bukaan dan titik potong sumbu-\(y\) dari \(f(x)=-3x^2+6\).
Hitung diskriminan \(f(x)=x^2+x+1\).
Tentukan titik puncak \(f(x)=x^2-6x+8\).
Buat tabel nilai \(f(x)=-x^2+4\) untuk \(x=-3\) sampai \(3\).
Tentukan sumbu simetri \(f(x)=4x^2-8x+3\).

Sedang

Sketsa grafik \(f(x)=x^2-x-6\). Tentukan semua titik penting.
Tentukan apakah grafik \(f(x)=2x^2-3x+5\) memotong sumbu-\(x\).
Sketsa grafik \(f(x)=-x^2+6x-9\) dan tentukan titik singgungnya.
Tentukan titik puncak dan titik potong sumbu koordinat dari \(f(x)=x^2+4x\).
Sketsa grafik \(f(x)=-2x^2+4x+6\). Tentukan nilai maksimumnya.

Sulit

Tentukan titik potong grafik \(f(x)=x^2\) dan \(g(x)=2x+3\).
Sketsa \(f(x)=|x^2-2x-3|\). Tentukan titik-titik penting.
Tentukan \(a\) agar grafik \(f(x)=ax^2-4x+a\) menyinggung sumbu-\(x\).
Pada interval \([0,4]\), tentukan nilai maks dan min dari \(f(x)=-x^2+6x-5\).
Grafik \(y=ax^2+bx+c\) melalui \((0,2)\), puncaknya di \((1,1)\). Tentukan \(f(x)\).

4. Menyusun Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat dapat disusun jika diketahui informasi tertentu. Terdapat tiga cara utama:

Cara 1: Diketahui Titik Puncak \((x_p, y_p)\) dan Satu Titik Lain

\[ f(x) = a(x – x_p)^2 + y_p \]

Substitusi titik lain yang diketahui untuk mencari nilai \(a\).

Cara 2: Diketahui Dua Titik Potong Sumbu-\(x\): \((x_1, 0)\) dan \((x_2, 0)\)

\[ f(x) = a(x – x_1)(x – x_2) \]

Substitusi satu titik lain yang diketahui untuk mencari nilai \(a\).

Cara 3: Diketahui Tiga Titik yang Dilalui

\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]

Substitusi ketiga titik untuk mendapatkan sistem persamaan linear tiga variabel (\(a, b, c\)).

Contoh Soal – Menyusun Fungsi Kuadrat

Mudah

1. Tentukan fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak \((0,0)\) dan melalui titik \((1,3)\).

Pembahasan

\(f(x) = a(x-0)^2 + 0 = ax^2\)
Melalui \((1,3)\): \(3 = a(1)^2 \Rightarrow a = 3\).
\(f(x) = 3x^2\).

2. Tentukan fungsi kuadrat dengan akar-akar \(x=1\) dan \(x=3\) serta \(a=1\).

Pembahasan

\(f(x) = 1 \cdot (x-1)(x-3) = x^2 – 4x + 3\).

3. Tentukan fungsi kuadrat dengan puncak \((2,1)\) dan \(a=2\).

Pembahasan

\(f(x) = 2(x-2)^2 + 1 = 2(x^2-4x+4)+1 = 2x^2-8x+9\).

4. Tentukan \(f(x)\) jika akar-akarnya \(x=0\) dan \(x=4\), serta \(a=-1\).

Pembahasan

\(f(x) = -1 \cdot x(x-4) = -x^2+4x\).

5. Fungsi kuadrat memiliki puncak \((1,-4)\) dan melalui \((0,-3)\). Tentukan \(f(x)\).

Pembahasan

\(f(x) = a(x-1)^2 – 4\)
Melalui \((0,-3)\): \(-3 = a(1) – 4 \Rightarrow a = 1\).
\(f(x) = (x-1)^2 – 4 = x^2 – 2x – 3\).

Sedang

1. Tentukan fungsi kuadrat yang memotong sumbu-\(x\) di \((−1,0)\) dan \((5,0)\) serta melalui \((0,−5)\).

Pembahasan

\(f(x) = a(x+1)(x-5)\)
\(f(0) = a(1)(-5) = -5a = -5 \Rightarrow a = 1\).
\(f(x) = (x+1)(x-5) = x^2-4x-5\).

2. Grafik fungsi kuadrat memiliki puncak \((3,2)\) dan melalui \((1,-6)\). Tentukan \(f(x)\).

Pembahasan

\(f(x) = a(x-3)^2 + 2\)
\(f(1) = a(4) + 2 = -6 \Rightarrow 4a = -8 \Rightarrow a = -2\).
\(f(x) = -2(x-3)^2+2 = -2x^2+12x-16\).

3. Tentukan fungsi kuadrat yang melalui \((0,1)\), \((1,0)\), dan \((2,3)\).

Pembahasan

\(f(0)=c=1\).
\(f(1)=a+b+1=0 \Rightarrow a+b=-1\) … (i)
\(f(2)=4a+2b+1=3 \Rightarrow 4a+2b=2 \Rightarrow 2a+b=1\) … (ii)
(ii)−(i): \(a=2\), maka \(b=-3\).
\(f(x) = 2x^2-3x+1\).

4. Fungsi kuadrat memiliki sumbu simetri \(x=2\), melalui \((0,5)\) dan \((1,0)\). Tentukan \(f(x)\).

Pembahasan

\(-\dfrac{b}{2a}=2 \Rightarrow b=-4a\).
\(f(0)=c=5\).
\(f(1)=a+b+5=0 \Rightarrow a-4a=-5 \Rightarrow -3a=-5 \Rightarrow a=\frac{5}{3}\).
\(b = -\frac{20}{3}\).
\(f(x)=\frac{5}{3}x^2-\frac{20}{3}x+5\).

5. Tentukan fungsi kuadrat dengan akar-akar \(x=2\) dan \(x=-3\) yang melalui titik \((1,8)\).

Pembahasan

\(f(x)=a(x-2)(x+3)\)
\(f(1)=a(-1)(4)=-4a=8 \Rightarrow a=-2\).
\(f(x)=-2(x-2)(x+3)=-2x^2-2x+12\).

Sulit

1. Tentukan fungsi kuadrat yang melalui \((-1,10)\), \((2,1)\), dan \((4,9)\).

Pembahasan

\(a-b+c=10\) … (i)
\(4a+2b+c=1\) … (ii)
\(16a+4b+c=9\) … (iii)
(ii)−(i): \(3a+3b=-9 \Rightarrow a+b=-3\) … (iv)
(iii)−(ii): \(12a+2b=8 \Rightarrow 6a+b=4\) … (v)
(v)−(iv): \(5a=7 \Rightarrow a=\frac{7}{5}\), \(b=-3-\frac{7}{5}=-\frac{22}{5}\).
Dari (i): \(c=10-a+b=10-\frac{7}{5}-\frac{22}{5}=10-\frac{29}{5}=\frac{21}{5}\).
\(f(x) = \frac{7}{5}x^2-\frac{22}{5}x+\frac{21}{5}\).

2. Grafik \(f(x)\) memiliki puncak \((p, -3)\), melalui \((0,1)\) dan \((4,1)\). Tentukan \(f(x)\).

Pembahasan

Karena \(f(0)=f(4)=1\), sumbu simetri: \(x=\frac{0+4}{2}=2\). Jadi \(p=2\).
\(f(x)=a(x-2)^2-3\)
\(f(0)=4a-3=1 \Rightarrow a=1\).
\(f(x)=(x-2)^2-3=x^2-4x+1\).

3. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung garis \(y=2x-1\) di titik \((1,1)\) dan melalui \((0,3)\).

Pembahasan

\(f(x)=ax^2+bx+c\). Melalui \((1,1)\): \(a+b+c=1\).
Melalui \((0,3)\): \(c=3\). Sehingga \(a+b=-2\).
Menyinggung \(y=2x-1\) di \(x=1\): \(f'(1)=2\).
\(f'(x)=2ax+b\), \(f'(1)=2a+b=2\).
Dari \(a+b=-2\) dan \(2a+b=2\): \(a=4\), \(b=-6\).
\(f(x)=4x^2-6x+3\).

4. Fungsi kuadrat \(f(x)\) memiliki nilai minimum 2, memotong sumbu-\(y\) di \((0,6)\), dan salah satu akarnya \(x=1\). Tentukan \(f(x)\).

Pembahasan

Tunggu — jika minimum = 2, maka \(f(x) \geq 2\), tidak mungkin \(f(1)=0\).
Periksa: mungkin “akarnya” berarti \(f(x)-2=0\) punya akar \(x=1\).
Atau: \(c=6\), min = 2, dan melalui \((1,0)\).
\(f(1)=a+b+6=0 \Rightarrow a+b=-6\).
\(y_p = c – \frac{b^2}{4a} = 6 – \frac{b^2}{4a} = 2 \Rightarrow \frac{b^2}{4a}=4\).
\(b = -6-a\). \(\frac{(-6-a)^2}{4a}=4\).
\((6+a)^2=16a \Rightarrow a^2+12a+36=16a \Rightarrow a^2-4a+36=0\).
\(D=16-144 < 0\). Tidak ada solusi real.
Kemungkinan soal: “melalui \((1, f(1))\)” bukan akar. Mari asumsikan nilai minimum 2, \(c=6\), dan sumbu simetri \(x=1\):
\(x_p=1\), \(f(1)=a+b+6=2\), \(a+b=-4\).
\(-\frac{b}{2a}=1 \Rightarrow b=-2a\). Maka \(a-2a=-4 \Rightarrow a=4\), \(b=-8\).
\(f(x)=4x^2-8x+6\).

5. Tentukan semua fungsi kuadrat \(f(x)=ax^2+bx+c\) yang memenuhi: \(f(0)=3\), \(f(1)=f(-1)\), dan nilai minimum fungsi = 1.

Pembahasan

\(c=3\).
\(f(1)=a+b+3\), \(f(-1)=a-b+3\). \(f(1)=f(-1) \Rightarrow b=0\).
\(f(x)=ax^2+3\). Nilai minimum di \(x=0\): \(f(0)=3\).
Tapi min = 1, jadi perlu \(a>0\) dan min = \(3 – \frac{0}{4a} = 3\).
Kontradiksi (min=3≠1) jika \(b=0\).
Periksa ulang: dengan \(b=0\), min = 3. Agar min = 1:
Ini tidak mungkin dengan \(b=0\) karena puncak = \((0,3)\).
Jadi tidak ada fungsi kuadrat yang memenuhi ketiga syarat tersebut sekaligus.

Latihan Soal – Menyusun Fungsi Kuadrat

Mudah

Tentukan \(f(x)\) dengan puncak \((0,0)\) dan melalui \((2,8)\).
Tentukan \(f(x)\) dengan akar \(x=0\) dan \(x=6\), serta \(a=1\).
Tentukan \(f(x)\) dengan puncak \((3,0)\) dan \(a=2\).
Tentukan \(f(x)\) dengan akar \(x=-2\) dan \(x=4\), melalui \((0,8)\).
Tentukan \(f(x)\) dengan puncak \((1,5)\) dan melalui \((0,7)\).

Sedang

Tentukan \(f(x)\) yang melalui \((0,6)\), \((1,3)\), dan \((2,2)\).
Grafik memotong sumbu-\(x\) di \((-2,0)\) dan \((3,0)\), melalui \((1,-6)\). Tentukan \(f(x)\).
Puncak \((-1,4)\), melalui \((1,0)\). Tentukan \(f(x)\).
Tentukan \(f(x)\) yang melalui \((-1,0)\), \((0,-3)\), dan \((3,0)\).
Grafik simetri terhadap \(x=3\), melalui \((0,10)\) dan \((1,2)\). Tentukan \(f(x)\).

Sulit

Tentukan \(f(x)\) yang melalui \((1,2)\), \((2,9)\), dan \((3,22)\).
Puncak di \((p,q)\) dengan \(p+q=5\), melalui \((0,7)\) dan \((2,3)\). Tentukan \(f(x)\).
Grafik menyinggung \(y=4x+1\) di \((2,9)\) dan melalui \((0,1)\). Tentukan \(f(x)\).
Fungsi kuadrat nilai minimumnya 3 pada \(x=2\), dan \(f(0)=7\). Tentukan \(f(x)\).
Tentukan \(f(x)=ax^2+bx+c\) yang memenuhi \(f(1)=0\), \(f(-2)=0\), dan \(f(2)=8\).

Model Matematika untuk Fungsi Kuadrat

Model Matematika Fungsi Kuadrat dari Soal Cerita

📋

Model Matematika Fungsi Kuadrat dari Soal Cerita

Mengubah Masalah Dunia Nyata menjadi Persamaan Matematika

📐 1. Konsep Model Matematika

Apa itu Model Matematika?

Model matematika adalah representasi masalah dunia nyata dalam bentuk persamaan atau fungsi yang dapat diselesaikan dan dianalisis.

💡 Ide Utama: Masalah cerita → Identifikasi variabel → Tulis persamaan → Selesaikan
      

Bentuk Umum Fungsi Kuadrat

f (x) = ax 2 + bx + c

Dalam soal cerita:

x = variabel bebas (waktu, jarak, panjang, dll)
f(x) = variabel terikat yang dicari (luas, tinggi, keuntungan, dll)
a, b, c = konstanta dari kondisi soal

Kapan Fungsi Kuadrat Muncul?

Luas & Keliling: Misalkan sisi = x, maka L = x(10-x) = -x² + 10x (kuadrat!)
Gerak Benda: h = -5t² + 20t + 10 (persamaan kinematika)
Keuntungan: K = -2x² + 100x – 500 (fungsi kuadrat)
Masalah Optimasi: Cari nilai maksimum/minimum dengan puncak parabola

🔧 2. Langkah-Langkah Membuat Model Matematika

Prosedur Sistematis

Langkah 1: Baca & Pahami Soal
Identifikasi apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan

Langkah 2: Tentukan Variabel
Misalkan x = … (variabel yang kita pilih untuk mempermudah)

Langkah 3: Nyatakan Besaran Lain Dalam x
Jika ada 2 besaran yang terhubung, nyatakan satu dalam variabel lain

Langkah 4: Tulis Model Matematika
Buat persamaan hubungan antar variabel (biasanya bentuk kuadrat)

Langkah 5: Selesaikan & Interpretasi
Cari nilai x yang memenuhi kondisi (biasanya nilai maksimum/minimum)

Contoh Sederhana

Soal: Kawat sepanjang 20 m akan dibuat kerangka persegi panjang. Jika panjang = x, tentukan model untuk luas persegi panjang.

Penyelesaian:

L1: Keliling = 2(panjang + lebar) = 20

Jadi: panjang + lebar = 10

L2: Misalkan panjang = x, maka lebar = 10 – x

L3: Luas = panjang × lebar = x(10 – x)

Model: L(x) = x(10 – x) = -x² + 10x

Ini adalah fungsi kuadrat dengan a = -1, b = 10, c = 0

📏 3. Luas & Keliling (Problem Geometri)

Konsep Dasar

Masalah geometri sering melibatkan 2 variabel yang terhubung (misal: panjang & lebar, atau jari-jari & tinggi).

Strategi: Gunakan hubungan geometri (luas, keliling, volume) untuk mengubah 2 variabel menjadi 1 variabel, lalu buat model kuadrat.

✏️ Contoh Soal — Luas & Keliling

MUDAH

1. Sebuah persegi panjang memiliki keliling 24 cm. Jika panjang = x cm, tentukan model untuk luas persegi panjang.

Diketahui: Keliling = 24 cm

Model: 2(panjang + lebar) = 24 → panjang + lebar = 12

Panjang = x, maka lebar = 12 – x

Luas = x(12 – x) = -x² + 12x

Domain: 0 < x < 12 (karena lebar harus positif)

2. Segitiga memiliki alas = 2x dan tinggi = 3x – 4. Jika luas = 12, tentukan nilai x.

Model Luas: L = ½ × alas × tinggi

12 = ½ × 2x × (3x – 4)

12 = x(3x – 4)

12 = 3x² – 4x

Model Kuadrat: 3x² – 4x – 12 = 0

Gunakan rumus ABC: x = 2 (ambil nilai positif)

3. Persegi panjang dengan panjang 5 cm lebih dari lebarnya. Jika keliling 50 cm, tentukan model dan luas persegi panjang.

Misalkan: lebar = x, panjang = x + 5

Keliling: 2(x + x + 5) = 50 → 2(2x + 5) = 50 → 4x + 10 = 50 → x = 10

Lebar = 10 cm, panjang = 15 cm

Luas = 10 × 15 = 150 cm²

4. Kawat 60 m akan membentuk kerangka balok dengan alas persegi. Jika sisi alas = x, tentukan model volume balok.

Kawat balok: 4(alas) + 4(tinggi) = 60

4x + 4t = 60 → t = (60 – 4x)/4 = 15 – x

Volume = alas × alas × tinggi = x² × (15 – x) = -x³ + 15x²

(Catatan: Ini kubik, bukan kuadrat. Setiap masalah berbeda!)

5. Tanah dengan panjang 20 m dan lebar 12 m akan dibuat kolam persegi dengan sisa lahan 80 m². Tentukan sisi kolam.

Luas tanah: 20 × 12 = 240 m²

Misalkan: sisi kolam = x

Model: Luas kolam = 240 – 80 = 160 m²

x² = 160 → x = √160 = 4√10 ≈ 12,6 m

SEDANG

1. Persegi panjang dengan panjang 3 cm lebih panjang dari lebar. Jika diagonalnya 5 cm, tentukan panjang dan lebar.

Misalkan: lebar = x, panjang = x + 3

Pythagoras: x² + (x + 3)² = 5²

x² + x² + 6x + 9 = 25

2x² + 6x – 16 = 0 → x² + 3x – 8 = 0

x = (-3 + √(9 + 32))/2 = (-3 + √41)/2 ≈ 1.7 cm

Lebar ≈ 1.7 cm, Panjang ≈ 4.7 cm

2. Pagar akan menutup tiga sisi persegi panjang (satu sisi menempel tembok). Jika pagar 120 m, tentukan model luas dan luas maksimum.

Misalkan: lebar = x (sejajar tembok), panjang = y

Pagar: x + 2y = 120 → x = 120 – 2y

Luas: L = x × y = (120 – 2y) × y = 120y – 2y²

Model: L(y) = -2y² + 120y

Luas maksimum saat yₚ = 120/4 = 30 m

Luas maks = -2(900) + 3600 = 1800 m²

3. Kertas berbentuk persegi dengan sisi 20 cm. Di setiap sudut dipotong persegi kecil dengan sisi x cm. Kertas dilipat menjadi kotak tanpa tutup. Tentukan model volume dan volume maksimum.

Setelah dilipat: panjang = 20 – 2x, lebar = 20 – 2x, tinggi = x

Volume: V = (20 – 2x)(20 – 2x) × x = (20 – 2x)² × x

= (400 – 80x + 4x²) × x = 400x – 80x² + 4x³

Model: V(x) = 4x³ – 80x² + 400x

(Ini kubik, cari turunan untuk maksimum: V'(x) = 12x² – 160x + 400 = 0)

4. Lingkaran dengan jari-jari r diperbesar sehingga luasnya menjadi 4 kali lipat. Tentukan perbandingan jari-jari baru terhadap jari-jari lama.

Luas awal: L₁ = πr²

Luas baru: L₂ = 4πr² = π(r’)²

(r’)² = 4r² → r’ = 2r

Perbandingan: r’ : r = 2 : 1

5. Pelindung layar ponsel berbentuk persegi panjang dengan keliling 40 cm. Jika panjang bertambah 2 cm dan lebar berkurang 1 cm, keliling tetap. Tentukan dimensi asli.

Keliling awal: 2(p + l) = 40 → p + l = 20 …(1)

Keliling baru: 2((p+2) + (l-1)) = 40 → (p+2) + (l-1) = 20 → p + l + 1 = 20 → p + l = 19

Ini kontradiksi! Soal tidak valid atau ada kesalahan.

SULIT

1. Dua kawat masing-masing 60 cm akan dibentuk persegi panjang dan lingkaran. Jika luas total minimum, tentukan panjang kawat untuk setiap bangun.

Kawat 1 (persegi panjang): 2(p + l) = x → p + l = x/2

Luas = pl (maksimum saat p = l = x/4), L₁ = (x/4)² = x²/16

Kawat 2 (lingkaran): 2πr = 60 – x → r = (60-x)/(2π)

Luas = πr² = π[(60-x)/(2π)]² = (60-x)²/(4π), L₂ = (60-x)²/(4π)

Total: L = x²/16 + (60-x)²/(4π)

Minimum saat dL/dx = 0 → 2x/16 – 2(60-x)/(4π) = 0

x/8 = (60-x)/(2π) → πx = 4(60-x) → πx = 240 – 4x → x(π+4) = 240

x = 240/(π+4) ≈ 42 cm untuk persegi, 18 cm untuk lingkaran

2. Taman berbentuk persegi panjang dengan panjang 80 m dan lebar 60 m. Akan dibuat jalan mengelilingi taman dengan lebar x meter. Jika sisa taman 3200 m², tentukan lebar jalan.

Luas taman awal: 80 × 60 = 4800 m²

Setelah jalan: panjang = 80 – 2x, lebar = 60 – 2x

Model: (80 – 2x)(60 – 2x) = 3200

4800 – 160x – 120x + 4x² = 3200

4x² – 280x + 1600 = 0 → x² – 70x + 400 = 0

x = (70 ± √(4900-1600))/2 = (70 ± √3300)/2 = (70 ± 10√33)/2

x ≈ (70 – 57.4)/2 ≈ 6.3 m atau x ≈ 63.7 m (tidak masuk akal)

3. Bak air berbentuk balok dengan alas persegi sisi x meter dan tinggi 2 meter. Biaya material alas dan tutup Rp 50.000/m², dinding Rp 30.000/m². Jika volume 8 m³ dan biaya total minimum, tentukan x.

Volume: x² × 2 = 8 → x² = 4 → x = 2

Biaya: B = 50.000 × 2x² + 30.000 × 4(2x)

B = 100.000x² + 240.000x

Karena x = 2 (dari volume), B = 100.000(4) + 240.000(2) = 880.000

Sisi alas: x = 2 meter

4. Saluran air berbentuk trapesium isosceles dengan dasar 40 cm, tinggi h, dan kedua sisi miring masing-masing membentuk sudut 45°. Jika luas penampang 1200 cm², tentukan tinggi saluran.

Trapesium isosceles 45°: atas = 40 + 2h (karena tan 45° = 1)

Luas: ½(40 + 40 + 2h) × h = 1200

½(80 + 2h) × h = 1200 → (40 + h)h = 1200

h² + 40h – 1200 = 0

h = (-40 + √(1600 + 4800))/2 = (-40 + √6400)/2 = (-40 + 80)/2 = 20 cm

5. Sebuah kertas A4 (21 × 29.7 cm) akan dilipat menjadi prisma segitiga dengan menghubungkan dua sisi panjang. Tentukan model volume prisma jika sisi segitiga = x.

Setelah dilipat: segitiga sama sisi dengan sisi x cm, panjang prisma = 21 cm

Luas segitiga: A = (x² √3)/4

Volume: V = A × 21 = (21x² √3)/4 = 5.25x²√3

(Volume maksimum saat x = 29.7/3 ≈ 9.9 cm)

📝 Latihan Soal — Luas & Keliling

MUDAH

1. Persegi panjang keliling 36 cm. Jika panjang = x, tulis model luas.

2. Segitiga alas 2x, tinggi 3x. Jika luas 24, tentukan x.

3. Lingkaran luas 78.5 cm². Tentukan jari-jarinya (gunakan π ≈ 3.14).

4. Kawat 30 m membentuk persegi panjang. Panjang 8 m, tentukan lebar dan luas.

5. Persegi dengan sisi 10 m diperbesar 2x. Tentukan luas baru.

SEDANG

1. Persegi panjang panjang 4 cm lebih dari lebar, keliling 48 cm. Tentukan luas.

2. Pagar 100 m mengelilingi 2 sisi persegi panjang. Model luas maksimum.

3. Persegi panjang diagonal 10 cm, lebar x. Tentukan luas maksimum.

4. Kertas 24×18 cm, sudut dipotong persegi x cm. Model volume kotak tanpa tutup.

5. Lingkaran diperbesar jari-jarinya dari 5 cm jadi 10 cm. Perbandingan luasnya?

SULIT

1. Dua bangun (persegi & lingkaran) keliling masing-masing 40 m. Mana luasnya lebih besar?

2. Taman 100×80 m, jalan x meter mengelilingi. Sisa taman 6000 m². Cari x.

3. Kotak tanpa tutup, alas persegi sisi x, tinggi 5. Volume 500. Biaya minimum jika alas Rp 100k/m², dinding Rp 50k/m².

4. Saluran trapesium dasar 50 cm, sudut 60°. Luas 2000 cm². Tinggi?

5. Kertas A3 (29.7×42 cm) dilipat prisma segitiga. Model volume jika sisi segitiga x.

🚀 4. Gerak Benda (Kinematika)

Persamaan Gerak Jatuh Bebas & Peluru

Untuk benda yang dilempar atau jatuh dengan gravitasi g = 10 m/s² (atau 9.8 m/s²):

h (t) = h 0 + v 0 t - ½ gt 2

Dimana:

h(t) = tinggi pada waktu t (meter)
h₀ = tinggi awal (meter)
v₀ = kecepatan awal (m/s), positif jika ke atas
g = percepatan gravitasi ≈ 10 m/s²
t = waktu (sekon)

Contoh Grafik Gerak Benda

h(t) = 20 + 10t – 5t²: Parabola terbuka ke bawah, puncak di (1, 25)

✏️ Contoh Soal — Gerak Benda

MUDAH

1. Bola dilempar ke atas dari tanah dengan kecepatan awal 20 m/s. Model tinggi bola (g=10).

h₀ = 0 (dari tanah), v₀ = 20 m/s

Model: h(t) = 0 + 20t – 5t² = 20t – 5t² = -5t² + 20t

2. Jika bola di soal 1 dilempar dari ketinggian 5 m, model tingginya.

h₀ = 5 m, v₀ = 20 m/s

Model: h(t) = 5 + 20t – 5t² = -5t² + 20t + 5

3. Dari contoh 1, kapan bola mencapai tinggi maksimum?

h(t) = -5t² + 20t → tₚ = -20/(2×(-5)) = 20/10 = 2 sekon

4. Dari contoh 1, berapa tinggi maksimum bola?

h(2) = -5(4) + 20(2) = -20 + 40 = 20 meter

5. Bola dijatuhkan dari atap rumah 10 m tingginya (tanpa kecepatan awal). Kapan bola menyentuh tanah?

h₀ = 10 m, v₀ = 0

h(t) = 10 – 5t² = 0 → t² = 2 → t = √2 ≈ 1.41 sekon

SEDANG

1. Peluru ditembakkan dari ketinggian 1.5 m dengan kecepatan awal 30 m/s. Tentukan lama waktu hingga menyentuh tanah (g=10).

h₀ = 1.5, v₀ = 30

h(t) = 1.5 + 30t – 5t² = 0

5t² – 30t – 1.5 = 0 → t² – 6t – 0.3 = 0

t = (6 + √(36 + 1.2))/2 = (6 + √37.2)/2 ≈ (6 + 6.1)/2 ≈ 6.05 sekon

2. Bola dilempar ke atas dari tanah dengan v₀ = 40 m/s. Tentukan saat bola berada di tinggi 60 m.

h(t) = 40t – 5t² = 60

-5t² + 40t – 60 = 0 → t² – 8t + 12 = 0

(t – 2)(t – 6) = 0 → t = 2 atau t = 6

Saat naik (t=2 s) dan saat turun (t=6 s)

3. Perahu motor melontarkan peluru dari ketinggian 2 m dengan v₀ = 25 m/s. Pada detik ke berapa tinggi peluru sama dengan tinggi lontaran awal?

h(t) = 2 + 25t – 5t² = 2

25t – 5t² = 0 → 5t(5 – t) = 0

t = 0 atau t = 5

Saat t = 5 sekon (kembali ke ketinggian awal)

4. Tinggi maksimum peluru h(t) = -5t² + 50t + 5 dicapai pada waktu berapa?

tₚ = -50/(2×(-5)) = 50/10 = 5 sekon

hₚ = -5(25) + 50(5) + 5 = -125 + 250 + 5 = 130 meter

5. Dua bola berbeda kondisi awal. Bola A: h_A(t) = 30t – 5t². Bola B: h_B(t) = 20 + 15t – 5t². Mana yang mencapai tinggi maksimum lebih dulu?

Bola A: t_A = -30/(2×(-5)) = 3 sekon

Bola B: t_B = -15/(2×(-5)) = 1.5 sekon

Bola B lebih dulu (1.5 s < 3 s)

SULIT

1. Dua bola dilontarkan dari tanah. A: h_A = 25t – 5t², B: h_B = 15t – 5t². Kapan tinggi kedua bola sama (di atas tanah)?

h_A = h_B → 25t – 5t² = 15t – 5t²

10t = 0 → t = 0 (mulai awal)

Mereka hanya sama saat t = 0 (mulai dari tanah). Tidak ada waktu lain.

2. Bola A dari tanah v₀ = 40 m/s, Bola B dari ketinggian 5 m dengan v₀ = 30 m/s. Berapa waktu keduanya menyentuh tanah? Mana yang lebih lama?

Bola A: 40t – 5t² = 0 → t(40 – 5t) = 0 → t = 8 s

Bola B: 5 + 30t – 5t² = 0 → 5t² – 30t – 5 = 0 → t² – 6t – 1 = 0

t = (6 + √(36+4))/2 = (6 + √40)/2 ≈ 6.16 s

Bola A lebih lama (8 s > 6.16 s)

3. Roket model dilempar dari ketinggian 2 m dengan v₀ = 50 m/s. Tentukan 3 saat kapan roket berada di ketinggian 90 m.

2 + 50t – 5t² = 90 → -5t² + 50t – 88 = 0 → 5t² – 50t + 88 = 0

D = 2500 – 1760 = 740, √740 ≈ 27.2

t = (50 ± 27.2)/10 = 7.72 atau 2.28 sekon

Dua saat: saat naik (2.28 s) dan saat turun (7.72 s). Tidak ada saat ketiga.

4. Berapa lama bola h(t) = 50 + 40t – 5t² berada di atas ketinggian 80 m?

h(t) > 80 → 50 + 40t – 5t² > 80

-5t² + 40t – 30 > 0 → t² – 8t + 6 < 0

t = (8 ± √(64-24))/2 = (8 ± √40)/2 = 4 ± √10

t₁ ≈ 0.84 s, t₂ ≈ 7.16 s

Lama berada di atas 80 m: 7.16 – 0.84 ≈ 6.32 sekon

5. Tinggi rata-rata h̄ dari bola antara t=1 hingga t=3 adalah (1/2)∫₁³ h(t)dt. Jika h(t) = 30 + 10t – 5t², hitung h̄.

∫(30 + 10t – 5t²)dt = 30t + 5t² – (5/3)t³

|₁³ = [90 + 45 – 45] – [30 + 5 – 5/3]

= 90 – (30 + 5 – 5/3) = 90 – 35 + 5/3 = 55 + 5/3 ≈ 56.67

h̄ = (1/2) × 56.67 ≈ 28.33 meter

📝 Latihan Soal — Gerak Benda

MUDAH

1. Bola dilempar ke atas dari tanah v₀=15 m/s. Model tinggi h(t).

2. Dari contoh 1, kapan bola mencapai tinggi maks? Berapa tinggi maksnya?

3. Bola dijatuhkan dari 20 m tanpa v₀. Kapan tiba di tanah? (g=10)

4. Model h(t) = 25 + 10t – 5t². Kapan h = 30 m?

5. Peluru h(t) = -5t² + 60t. Tinggi maksimum?

SEDANG

1. Bola dari 5 m, v₀=35 m/s. Kapan menyentuh tanah?

2. h(t) = 45 + 20t – 5t². Berapa lama di atas 50 m?

3. Dua bola A: h_A = 30t-5t², B: h_B = 10+25t-5t². Kapan sama tinggi?

4. Roket dari 2 m, v₀=50 m/s. Tinggi pada t=4 detik?

5. Berapa v₀ jika bola dari tanah mencapai 125 m (g=10)?

SULIT

1. Dua bola: A dari tanah v₀=50m/s, B dari 10m v₀=30m/s. Mana sampai tanah duluan?

2. h(t)=100+40t-5t². Berapa lama antara tinggi 120m saat naik dan saat turun?

3. Bola dari 50 m, v₀=-20 m/s (ke bawah). Model h(t) dan kapan jatuh?

4. Cari v₀ jika bola dari 10 m mencapai maks 35 m (g=10).

5. Rata-rata tinggi h(t)=-5t²+40t antara t=0 dan t=4 detik?

💰 5. Keuntungan & Biaya (Ekonomi)

Konsep Dasar Ekonomi

Masalah ekonomi sering melibatkan keuntungan, biaya, atau pendapatan yang tergantung pada jumlah barang atau harga jual.

Keuntungan (K) = Pendapatan (P) - Biaya (B)

Sering menghasilkan fungsi kuadrat untuk menemukan keuntungan maksimum atau biaya minimum.

Contoh Situasi

Penurunan harga: Semakin banyak barang (x), harga turun. P(x) = harga × x menjadi kuadrat.
Biaya produksi: B(x) = biaya tetap + biaya per unit × x. Sering linier, tapi efisiensi skala bisa kuadrat.
Laba maksimum: Cari x yang membuat K = P – B maksimal menggunakan puncak parabola.

✏️ Contoh Soal — Keuntungan & Biaya

MUDAH

1. Toko menjual barang x unit dengan harga (200 – x) ribu per unit. Jika biaya tetap 10 juta dan biaya per unit 50 ribu, tentukan model keuntungan.

Pendapatan: P(x) = x × (200 – x) = 200x – x²

Biaya: B(x) = 10.000 + 50x

Keuntungan: K(x) = (200x – x²) – (10.000 + 50x)

K(x) = -x² + 150x – 10.000 (dalam ribuan)

2. Dari soal 1, pada penjualan berapa unit keuntungan maksimum?

K(x) = -x² + 150x – 10.000

xₚ = -150/(2×(-1)) = 75 unit

Keuntungan maksimum saat 75 unit terjual

3. Dari soal 1, berapa keuntungan maksimumnya?

K(75) = -75² + 150(75) – 10.000

= -5.625 + 11.250 – 10.000

= -4.375 ribu = -4.375.000 (rugi!)

Artinya dengan model ini, toko selalu rugi. Perlu revisi harga.

4. Pedagang menjual barang x butir dengan harga (10 – 0.1x) ribu per butir. Biaya tetap 5 ribu, biaya per butir 2 ribu. Model keuntungan.

Pendapatan: P = x(10 – 0.1x) = 10x – 0.1x²

Biaya: B = 5 + 2x

K(x) = -0.1x² + 8x – 5

5. Dari soal 4, berapa keuntungan maksimum?

xₚ = -8/(2×(-0.1)) = 40 butir

K(40) = -0.1(1.600) + 8(40) – 5 = -160 + 320 – 5 = 155 ribu

SEDANG

1. Restoran menjual paket dengan jumlah x paket/hari. Harga = (500 – 2x) ribu/paket. Biaya produksi = (50x + 100) ribu. Model keuntungan harian.

P(x) = x(500 – 2x) = 500x – 2x²

B(x) = 50x + 100

K(x) = 500x – 2x² – 50x – 100

K(x) = -2x² + 450x – 100

Keuntungan maksimum saat x = 450/4 = 112.5 ≈ 112 paket

2. Berapa keuntungan maksimum restoran dari soal 1?

K(112.5) = -2(112.5)² + 450(112.5) – 100

= -2(12.656) + 50.625 – 100

= -25.312 + 50.625 – 100 = -74.687 ribu (rugi!)

Atau K(112) = -2(12.544) + 50.400 – 100 ≈ 25.712 ribu

3. Pabrik memproduksi x unit/minggu dengan biaya B(x) = 5x² – 100x + 5000 ribu. Harga jual 300 ribu/unit. Tentukan keuntungan maksimum.

P(x) = 300x

B(x) = 5x² – 100x + 5000

K(x) = 300x – (5x² – 100x + 5000)

= -5x² + 400x – 5000

xₚ = -400/(2×(-5)) = 40 unit

K(40) = -5(1.600) + 400(40) – 5000 = -8000 + 16000 – 5000 = 3000 ribu

4. Toko online menjual x unit/hari dengan harga (1000 – 10x) rupiah. Biaya = 100x + 50000 rupiah. Tentukan BEP (break-even point).

P(x) = x(1000 – 10x) = 1000x – 10x²

K(x) = 1000x – 10x² – 100x – 50000 = -10x² + 900x – 50000

BEP: K(x) = 0 → -10x² + 900x – 50000 = 0

x² – 90x + 5000 = 0

x = (90 ± √(8100 – 20000))/2 → D < 0, tidak ada solusi nyata

Berarti toko selalu rugi dengan model ini

5. Perusahaan ingin keuntungan 100 juta dari K(x) = -2x² + 500x – 50000. Berapa unit yang harus dijual?

-2x² + 500x – 50000 = 100000

-2x² + 500x – 150000 = 0 → x² – 250x + 75000 = 0

x = (250 ± √(62500 – 300000))/2

D < 0, tidak ada solusi. Keuntungan tidak bisa mencapai 100 juta.

SULIT

1. Dua toko bersaing. Toko A: harga (100 – x) ribu/unit, K_A = (100-x)x – 20x. Toko B: harga (80 – 0.5x) ribu/unit, K_B = (80-0.5x)x – 15x. Siapa keuntungan lebih besar jika x = 30?

Toko A: K_A = 100x – x² – 20x = -x² + 80x

K_A(30) = -900 + 2400 = 1500 ribu

Toko B: K_B = 80x – 0.5x² – 15x = -0.5x² + 65x

K_B(30) = -0.5(900) + 1950 = -450 + 1950 = 1500 ribu

Keuntungan sama!

2. Produsen mainan memproduksi x unit dengan biaya B = 0.1x² + 10x + 1000. Harga jual 50 ribu/unit, ingin keuntungan minimal 5 juta. Berapa range x yang memenuhi?

K(x) = 50x – (0.1x² + 10x + 1000) = -0.1x² + 40x – 1000

K(x) ≥ 5000 → -0.1x² + 40x – 1000 ≥ 5000

-0.1x² + 40x – 6000 ≥ 0 → x² – 400x + 60000 ≤ 0

x = (400 ± √(160000 – 240000))/2 → D < 0

Tidak ada range x yang memenuhi (keuntungan maks < 5 juta)

3. Diskriminasi harga: zona A bayar 100 ribu/unit, zona B bayar (100 – 0.2x) ribu/unit. Total penjualan x unit. Model keuntungan total jika biaya 40x + 5000.

Misalkan zona A beli a unit, zona B beli b unit, x = a + b

Pendapatan: P = 100a + (100 – 0.2b)b = 100a + 100b – 0.2b²

Karena a = x – b: P = 100(x-b) + 100b – 0.2b²

= 100x – 0.2b² (optimal saat b = 0, artinya jual semua ke zona A)

K(x) = 100x – (40x + 5000) = 60x – 5000

(Fungsi linier, bukan kuadrat, karena optimal selalu jual ke zona A)

4. Elastisitas permintaan: harga p dan kuantitas q memenuhi p + q = 100. Biaya C = 10q + 500. Tentukan harga dan kuantitas untuk keuntungan maksimum.

p = 100 – q

P(q) = pq = (100 – q)q = 100q – q²

K(q) = 100q – q² – 10q – 500 = -q² + 90q – 500

qₚ = 45 unit, p = 100 – 45 = 55 ribu

K(45) = -2025 + 4050 – 500 = 1525 ribu

Harga: 55 ribu/unit, Kuantitas: 45 unit, Keuntungan: 1.525 juta

5. Pedagang memiliki modal M. Membeli barang seharga m/unit, menjual x unit dengan harga jual per unit = M/(x). Tentukan model keuntungan.

Pendapatan: P = x × (M/x) = M (konstan)

Biaya: B = mx

Keuntungan: K = M – mx (linier, bukan kuadrat)

Keuntungan maksimum saat x sekecil mungkin, tapi harus > 0

Model ini tidak menghasilkan fungsi kuadrat atau optimasi kuadrat.

📝 Latihan Soal — Keuntungan & Biaya

MUDAH

1. Toko jual x unit, harga (500-x) ribu/unit, biaya 100x+5000. Model K(x).

2. Dari soal 1, berapa unit untuk keuntungan maksimum?

3. Keuntungan K(x) = -5x² + 100x – 500. Kapan K = 0 (BEP)?

4. Pabrik K(x) = -x² + 200x – 10000. Keuntungan maksimum berapa?

5. Harga jual 1000 ribu/unit, biaya 600x. Jual berapa untuk untung 100 juta?

SEDANG

1. Restoran K(x) = -3x² + 600x – 50000. Keuntungan maks? (dalam ribuan)

2. Toko A: K_A = -x²+80x, Toko B: K_B = -2x²+100x. Pada x berapa K_A = K_B?

3. Biaya B(x) = 0.5x² + 20x + 1000, harga jual 100 ribu/unit. Model K(x).

4. K(x) = -2x² + 400x – 50000. Berapa range x untuk K ≥ 30000?

5. Dua produk: P₁: K = -x²+50x, P₂: K = -0.5x²+60x. Pilih mana?

SULIT

1. Produsen K(x) = -0.1x² + 50x – 5000. Berapa biaya produksi per unit saat keuntungan max?

2. Elastisitas: p + 2q = 200, C = 20q + 1000. Harga & qty untuk K max?

3. K(x)=- x²+100x-1000. Berapa lama keuntungan ≥ 1500 (x dalam jam)?

4. Kompetitor: K₁ = -x²+100x, K₂ = -2x²+120x. Kapan keduanya sama rugi?

5. Produsen ingin K = 50 juta dari K(x) = -5x² + 1000x – 100000. Berapa x?