Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang

Materi Matematika — Geometri Ruang

1. Kedudukan Titik terhadap Garis dan Bidang

📘 Materi

A. Kedudukan Titik terhadap Garis

Titik terletak pada garis — Titik P dikatakan terletak pada garis g jika P merupakan salah satu anggota dari himpunan titik-titik pada g.
Titik di luar garis — Titik P di luar garis g jika P bukan anggota himpunan titik pada g.

B. Kedudukan Titik terhadap Bidang

Titik terletak pada bidang — Titik P terletak pada bidang α jika P ∈ α.
Titik di luar bidang — Titik P di luar bidang α jika P ∉ α.

Contoh dalam kubus ABCD.EFGH:

Titik A terletak pada garis AB
Titik A terletak pada bidang ABCD
Titik A di luar bidang EFGH
Titik E di luar garis AB

📝 Contoh Soal

▸ Tingkat Mudah

Mudah

1. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan kedudukan titik A terhadap garis BC!

Pembahasan

Garis BC memuat titik-titik B dan C. Titik A bukan titik B maupun C, dan A tidak terletak segaris dengan B dan C (A, B, C membentuk sudut siku-siku pada B).

Jawaban: Titik A terletak di luar garis BC.

Mudah

2. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan kedudukan titik E terhadap bidang ABCD!

Pembahasan

Bidang ABCD adalah bidang alas kubus. Titik E berada di atas bidang alas (merupakan titik atap). Maka E ∉ ABCD.

Jawaban: Titik E di luar bidang ABCD.

Mudah

3. Pada kubus ABCD.EFGH, apakah titik B terletak pada garis AB?

Pembahasan

Garis AB melewati titik A dan titik B. Karena B adalah salah satu titik ujung dari ruas garis AB, maka B terletak pada garis AB.

Jawaban: Ya, titik B terletak pada garis AB.

Mudah

4. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan kedudukan titik G terhadap bidang EFGH!

Pembahasan

Bidang EFGH adalah bidang atap kubus. Titik G merupakan salah satu titik sudut bidang EFGH.

Jawaban: Titik G terletak pada bidang EFGH.

Mudah

5. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan kedudukan titik D terhadap garis EF!

Pembahasan

Garis EF memuat titik E dan F di bidang atap. Titik D berada di bidang alas dan bukan merupakan titik segaris dengan E dan F.

Jawaban: Titik D di luar garis EF.

▸ Tingkat Sedang

Sedang

1. Pada kubus ABCD.EFGH, titik P adalah titik tengah EF. Tentukan kedudukan titik P terhadap bidang ABFE!

Pembahasan

Bidang ABFE memuat titik A, B, F, E. Titik P adalah titik tengah EF, artinya P terletak pada ruas garis EF. Karena E dan F keduanya terletak pada bidang ABFE, maka seluruh garis EF (termasuk titik P) terletak pada bidang ABFE.

Jawaban: Titik P terletak pada bidang ABFE.

Sedang

2. Pada kubus ABCD.EFGH, titik Q adalah titik tengah AC (diagonal alas). Tentukan kedudukan titik Q terhadap garis BD!

Pembahasan

Pada persegi ABCD, diagonal AC dan BD berpotongan di tengah-tengahnya. Titik tengah AC = titik tengah BD = titik Q (karena diagonal persegi saling membagi dua sama panjang).

Jawaban: Titik Q terletak pada garis BD (bahkan Q adalah titik tengah BD juga).

Sedang

3. Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Titik M adalah titik tengah AB. Tentukan kedudukan titik M terhadap bidang DCGH!

Pembahasan

Bidang DCGH memuat titik D, C, G, H. Titik M adalah titik tengah AB. Titik M tidak terletak pada salah satu titik D, C, G, H, dan M tidak berada di bidang yang melewati keempat titik tersebut (bidang belakang kubus). M berada 3 cm di depan bidang DCGH.

Jawaban: Titik M di luar bidang DCGH, berjarak 3 cm dari bidang tersebut.

Sedang

4. Pada kubus ABCD.EFGH, titik R terletak pada diagonal ruang AG sedemikian sehingga AR : RG = 1 : 2. Tentukan kedudukan titik R terhadap bidang ABCD!

Pembahasan

Diagonal ruang AG menghubungkan A (di alas) dan G (di atap). Titik R membagi AG dengan perbandingan 1:2 dari A. Karena R tidak berada tepat di A, maka R sudah “naik” dari bidang ABCD. Jadi R di luar bidang ABCD.

Jawaban: Titik R di luar bidang ABCD.

Sedang

5. Pada limas segitiga T.ABC, titik P terletak pada rusuk TA sehingga TP:PA = 1:1. Tentukan kedudukan titik P terhadap bidang ABC!

Pembahasan

Titik P adalah titik tengah TA. Bidang ABC adalah bidang alas. Titik T berada di atas bidang alas, sehingga setiap titik pada rusuk TA selain titik A sendiri berada di luar bidang ABC. Karena P ≠ A, maka P di luar bidang ABC.

Jawaban: Titik P di luar bidang ABC.

▸ Tingkat Sulit

Sulit

1. Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Titik P pada BG sehingga BP = 2 cm. Tentukan jarak titik P ke bidang ADHE!

Pembahasan

Misal kubus diletakkan pada koordinat: A(0,0,0), B(8,0,0), C(8,8,0), D(0,8,0), E(0,0,8), F(8,0,8), G(8,8,8), H(0,8,8).

Bidang ADHE: x = 0.

B = (8,0,0), G = (8,8,8). Vektor BG = (0,8,8), |BG| = 8√2.

P = B + (2/(8√2))·(0,8,8) = (8, 2/√2, 2/√2) = (8, √2, √2).

Jarak P ke bidang x = 0 adalah koordinat x dari P = 8 cm.

Jawaban: Jarak titik P ke bidang ADHE = 8 cm.

Sulit

2. Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Titik P adalah titik tengah EG. Buktikan bahwa P juga merupakan titik tengah FH, lalu tentukan jarak P ke bidang ABCD!

Pembahasan

Koordinat: E(0,0,6), F(6,0,6), G(6,6,6), H(0,6,6).

Titik tengah EG = ((0+6)/2, (0+6)/2, (6+6)/2) = (3,3,6).

Titik tengah FH = ((6+0)/2, (0+6)/2, (6+6)/2) = (3,3,6). ✓ Sama.

Bidang ABCD: z = 0. Jarak P(3,3,6) ke z = 0 adalah 6 cm.

Jawaban: Terbukti P = titik tengah FH. Jarak P ke ABCD = 6 cm.

Sulit

3. Pada balok ABCD.EFGH dengan AB = 6, BC = 4, AE = 3. Titik P pada diagonal ruang AG dengan AP:PG = 1:2. Tentukan jarak titik P ke bidang BCGF!

Pembahasan

Koordinat: A(0,0,0), B(6,0,0), C(6,4,0), D(0,4,0), E(0,0,3), G(6,4,3).

P = A + (1/3)·AG = (0,0,0) + (1/3)(6,4,3) = (2, 4/3, 1).

Bidang BCGF: semua titik dengan x = 6.

Jarak P ke bidang x = 6: |2 – 6| = 4.

Jawaban: Jarak P ke bidang BCGF = 4 cm.

Sulit

4. Pada limas beraturan T.ABCD dengan alas persegi sisi 6 cm dan tinggi limas 8 cm. Titik P pada TA sehingga TP:PA = 3:1. Tentukan jarak titik P ke bidang alas ABCD!

Pembahasan

Misal pusat alas O(3,3,0), T(3,3,8), A(0,0,0).

TP:PA = 3:1, maka P membagi TA dari T dengan perbandingan 3:1 (dari T ke A).

P = T + (3/4)(A – T) = (3,3,8) + (3/4)(-3,-3,-8) = (3-9/4, 3-9/4, 8-6) = (3/4, 3/4, 2).

Bidang ABCD: z = 0. Jarak P ke z = 0 adalah z-koordinat P = 2 cm.

Jawaban: Jarak titik P ke bidang ABCD = 2 cm.

Sulit

5. Pada kubus ABCD.EFGH rusuk 10 cm. Titik P pada BF sehingga BP = 3 cm, dan titik Q pada DH sehingga DQ = 7 cm. Tentukan kedudukan titik P dan Q terhadap bidang ACGE, serta jarak masing-masing ke bidang tersebut!

Pembahasan

Koordinat: A(0,0,0), B(10,0,0), C(10,10,0), D(0,10,0), E(0,0,10), F(10,0,10), G(10,10,10), H(0,10,10).

Bidang ACGE memuat A(0,0,0), C(10,10,0), G(10,10,10), E(0,0,10).

Persamaan bidang: vektor normal. AC = (10,10,0), AE = (0,0,10). Normal = AC × AE = (100, 0, 0)… Mari gunakan vektor lain.

Titik-titik pada bidang: A(0,0,0), C(10,10,0), G(10,10,10). Vektor AC=(10,10,0), AG=(10,10,10). Normal = AC×AG = (10·10-0·10, 0·10-10·10, 10·10-10·10) = (100,-100,0). Sederhanakan: (1,-1,0).

Persamaan bidang: 1(x-0) -1(y-0) + 0(z-0) = 0 → x – y = 0.

P pada BF: B(10,0,0), F(10,0,10). P = B + (3/10)(F-B) = (10, 0, 3). Jarak P ke x-y=0: |10-0|/√2 = 10/√2 = 5√2 cm.

Q pada DH: D(0,10,0), H(0,10,10). Q = D + (7/10)(H-D) = (0, 10, 7). Jarak Q ke x-y=0: |0-10|/√2 = 10/√2 = 5√2 cm.

Jawaban: P dan Q keduanya di luar bidang ACGE, masing-masing berjarak 5√2 cm dari bidang tersebut.

✏️ Latihan Soal

▸ Mudah

1. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan kedudukan titik F terhadap garis GH!

2. Tentukan kedudukan titik C terhadap bidang ABFE!

3. Apakah titik H terletak pada garis EH?

4. Tentukan kedudukan titik A terhadap bidang BCGF!

5. Tentukan kedudukan titik D terhadap garis AC!

▸ Sedang

1. Titik M adalah titik tengah FG. Tentukan kedudukan M terhadap bidang ABCD!

2. Titik P pada AE sehingga AP:PE = 2:1. Apakah P terletak pada bidang ABFE?

3. Titik tengah diagonal BD disebut O. Tentukan kedudukan O terhadap garis AC!

4. Pada kubus rusuk 12 cm, titik Q pada CG sehingga CQ = 4 cm. Tentukan jarak Q ke bidang ABCD!

5. Titik R pada diagonal ruang CE sehingga CR:RE = 1:3. Tentukan kedudukan R terhadap bidang EFGH!

▸ Sulit

1. Pada balok ABCD.EFGH dengan AB=8, BC=6, AE=4. Titik P pada AG sehingga AP:PG=2:1. Tentukan jarak P ke bidang ADHE!

2. Pada kubus ABCD.EFGH rusuk 10 cm. Tentukan jarak titik tengah BG ke bidang ACGE!

3. Pada limas T.ABCD beraturan, alas persegi sisi 8 dan tinggi 6. Titik P di TA sehingga TP=2. Tentukan jarak P ke bidang ABCD!

4. Pada kubus ABCD.EFGH rusuk a. Titik P pada BF, Q pada DH, BP=DQ=¼a. Buktikan P, Q, dan pusat kubus segaris!

5. Pada kubus ABCD.EFGH rusuk 6. Tentukan jarak titik potong diagonal AG dan CE ke bidang ABCD!

2. Kedudukan Garis terhadap Garis Lain

📘 Materi

Dalam ruang dimensi tiga, dua garis dapat memiliki tiga kemungkinan kedudukan:

Kedudukan	Definisi	Contoh pada Kubus
Sejajar	Dua garis terletak pada satu bidang dan tidak berpotongan	AB ∥ DC, AB ∥ EF
Berpotongan	Dua garis memiliki tepat satu titik persekutuan	AB dan BC berpotongan di B
Bersilangan	Dua garis tidak terletak pada satu bidang (tidak sejajar dan tidak berpotongan)	AB dan CG bersilangan

📝 Contoh Soal

▸ Tingkat Mudah

Mudah

1. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan kedudukan garis AB terhadap garis EF!

Pembahasan

AB dan EF keduanya sejajar sumbu x, terletak di bidang berbeda (ABCD dan EFGH) tetapi memiliki arah yang sama dan tidak berpotongan.

Jawaban: AB ∥ EF (sejajar).

Mudah

2. Tentukan kedudukan garis AB terhadap garis AD pada kubus ABCD.EFGH!

Pembahasan

AB dan AD memiliki titik persekutuan yaitu titik A. Keduanya terletak pada bidang ABCD.

Jawaban: AB dan AD berpotongan di titik A.

Mudah

3. Tentukan kedudukan garis AB dan garis HG pada kubus ABCD.EFGH!

Pembahasan

AB searah dengan DC, dan DC searah dengan HG. Maka AB ∥ HG. Keduanya tidak berpotongan dan dapat dimuat dalam satu bidang (bidang ABGH).

Jawaban: AB ∥ HG (sejajar).

Mudah

4. Tentukan kedudukan garis AE terhadap garis BF!

Pembahasan

AE dan BF keduanya merupakan rusuk tegak kubus. Keduanya sejajar (sama-sama tegak lurus bidang alas dan tidak berpotongan).

Jawaban: AE ∥ BF (sejajar).

Mudah

5. Tentukan kedudukan garis EF terhadap garis FG!

Pembahasan

EF dan FG bertemu di titik F. Keduanya terletak pada bidang EFGH.

Jawaban: EF dan FG berpotongan di titik F.

▸ Tingkat Sedang

Sedang

1. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan kedudukan garis AB terhadap garis CG!

Pembahasan

AB berarah horizontal (dari A ke B), CG berarah vertikal (dari C ke G). Keduanya tidak berpotongan (tidak memiliki titik persekutuan) dan tidak sejajar (arah berbeda). Maka bersilangan.

Jawaban: AB dan CG bersilangan.

Sedang

2. Tentukan kedudukan garis AG (diagonal ruang) terhadap garis HF (diagonal ruang lain)!

Pembahasan

Koordinat: A(0,0,0), G(a,a,a), H(0,a,a), F(a,0,a). Parametrik AG: (t,t,t). Parametrik HF: (s·a, a-s·a, a) = (sa, a(1-s), a).

Persamaan: t = sa, t = a(1-s), t = a. Dari t=a: s=1, maka t = a(1-1)=0 ≠ a. Kontradiksi. Tidak berpotongan.

Arah AG: (1,1,1), arah HF: (1,-1,0). Bukan kelipatan → tidak sejajar.

Jawaban: AG dan HF bersilangan.

Sedang

3. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan kedudukan garis AC (diagonal alas) dan garis EG (diagonal atap)!

Pembahasan

AC dari A(0,0,0) ke C(a,a,0), arah (1,1,0). EG dari E(0,0,a) ke G(a,a,a), arah (1,1,0). Arah sama, tidak berpotongan (beda ketinggian z).

Jawaban: AC ∥ EG (sejajar).

Sedang

4. Tentukan kedudukan garis AF (diagonal bidang) terhadap garis HC!

Pembahasan

A(0,0,0), F(a,0,a): arah AF=(1,0,1). H(0,a,a), C(a,a,0): arah HC=(1,0,-1).

Parametrik AF: (t, 0, t). Parametrik HC: (s, a, a-s).

y: 0 = a → kontradiksi. Jadi tidak berpotongan. Arah bukan kelipatan → bersilangan.

Jawaban: AF dan HC bersilangan.

Sedang

5. Tentukan kedudukan garis BD (diagonal alas) terhadap garis FH (diagonal atap)!

Pembahasan

B(a,0,0), D(0,a,0): arah BD=(-1,1,0). F(a,0,a), H(0,a,a): arah FH=(-1,1,0). Arah sama.

BD dan FH tidak berpotongan (berbeda level z). Maka sejajar.

Jawaban: BD ∥ FH (sejajar).

▸ Tingkat Sulit

Sulit

1. Pada kubus ABCD.EFGH rusuk a. Tentukan jarak antara garis AB dan garis CG (dua garis bersilangan)!

Pembahasan

AB: dari A(0,0,0) arah u=(1,0,0). CG: dari C(a,a,0) arah v=(0,0,1).

Vektor AC = (a,a,0). Jarak = |AC · (u×v)| / |u×v|.

u×v = (1,0,0)×(0,0,1) = (0·1-0·0, 0·0-1·1, 1·0-0·0) = (0,-1,0). |u×v| = 1.

AC · (0,-1,0) = (a)(0) + (a)(-1) + (0)(0) = -a. |−a| = a.

Jawaban: Jarak AB dan CG = a.

Sulit

2. Pada kubus ABCD.EFGH rusuk 6 cm. Tentukan jarak antara garis AE dan garis diagonal bidang BG!

Pembahasan

AE: dari A(0,0,0) arah u=(0,0,1). BG: dari B(6,0,0) arah v=(0,6,6), sederhanakan v=(0,1,1).

Vektor AB = (6,0,0). u×v = (0,0,1)×(0,1,1) = (0·1-1·1, 1·0-0·1, 0·1-0·0) = (-1,-1,0). |u×v| = √2.

AB · (-1,-1,0) = 6(-1)+0(-1)+0(0) = -6. |−6|/√2 = 6/√2 = 3√2.

Jawaban: Jarak AE dan BG = 3√2 cm.

Sulit

3. Pada kubus ABCD.EFGH rusuk a. Tentukan jarak antara diagonal ruang AG dan diagonal ruang BH!

Pembahasan

AG: dari A(0,0,0) arah u=(1,1,1). BH: dari B(a,0,0) arah v=(-1,1,1) (karena H=(0,a,a)).

Vektor AB = (a,0,0). u×v = (1,1,1)×(-1,1,1) = (1-1, -1-1, 1+1) = (0,-2,2). |u×v| = √(0+4+4)=2√2.

AB · (0,-2,2) = a(0)+0(-2)+0(2) = 0. Jarak = 0/2√2 = 0?

Cek ulang: AG dan BH berpotongan? Parametrik AG:(t,t,t), BH:(a-s,s,s). Dari t=s dan t=s: konsisten. t=a-s → t=a-t → 2t=a → t=a/2. Titik potong: (a/2, a/2, a/2) = pusat kubus.

Jawaban: AG dan BH berpotongan di pusat kubus, jarak = 0 (berpotongan, bukan bersilangan).

Sulit

4. Pada kubus ABCD.EFGH rusuk 4 cm. Tentukan jarak antara garis AF dan garis DG!

Pembahasan

A(0,0,0), F(4,0,4): arah AF u=(1,0,1). D(0,4,0), G(4,4,4): arah DG v=(1,0,1).

Arah sama! Cek apakah sejajar: u = v = (1,0,1). Ya, AF ∥ DG.

Jarak dua garis sejajar: ambil titik A dan proyeksikan ke garis DG.

Vektor AD = (0,4,0). Komponen tegak lurus arah v: AD – (AD·v̂)v̂ = (0,4,0) – [(0+0+0)/2](1,0,1) = (0,4,0).

|jarak| = |(0,4,0)| = 4 cm.

Jawaban: Jarak AF dan DG = 4 cm.

Sulit

5. Pada balok ABCD.EFGH dengan AB=6, BC=4, AE=3. Tentukan jarak antara garis AG dan garis BH!

Pembahasan

A(0,0,0), G(6,4,3): arah u=(6,4,3). B(6,0,0), H(0,4,3): arah v=(-6,4,3).

AB = (6,0,0). u×v = (4·3-3·4, 3·(-6)-6·3, 6·4-4·(-6)) = (0, -36, 48). Sederhanakan (0,-3,4), |u×v| = √(0+9+16)·12 → hitung langsung: |(0,-36,48)| = √(1296+2304) = √3600 = 60.

AB · (0,-36,48) = 6(0)+0(-36)+0(48) = 0.

Jarak = 0? Cek potong: (6t,4t,3t) = (6-6s,4s,3s). → 4t=4s → t=s. 3t=3s → t=s. 6t=6-6s=6-6t → 12t=6 → t=½.

Titik potong: (3,2,1.5). AG dan BH berpotongan!

Jawaban: AG dan BH berpotongan di titik (3, 2, 1.5), jaraknya = 0.

✏️ Latihan Soal

▸ Mudah

1. Tentukan kedudukan garis DC terhadap garis HG pada kubus ABCD.EFGH!

2. Tentukan kedudukan garis AE terhadap garis DH!

3. Tentukan kedudukan garis BC terhadap garis CD!

4. Tentukan kedudukan garis EF terhadap garis AB!

5. Tentukan kedudukan garis BF terhadap garis CG!

▸ Sedang

1. Tentukan kedudukan garis AB terhadap garis DG pada kubus!

2. Tentukan kedudukan garis EG terhadap garis AC!

3. Tentukan kedudukan garis AH terhadap garis BG!

4. Tentukan kedudukan garis AF terhadap garis EG!

5. Sebutkan 3 pasang garis yang bersilangan dengan garis AB!

▸ Sulit

1. Pada kubus ABCD.EFGH rusuk 8 cm, tentukan jarak garis AE dan garis BC!

2. Tentukan jarak antara garis AB dan garis DH pada kubus rusuk a!

3. Pada balok ABCD.EFGH (AB=8, BC=6, AE=4), tentukan jarak garis AG dan garis CE!

4. Pada kubus rusuk 10, tentukan jarak antara garis AF dan garis HC!

5. Tentukan sudut antara garis AG dan garis BF pada kubus ABCD.EFGH!

3. Kedudukan Garis terhadap Bidang

📘 Materi

Tiga kemungkinan kedudukan garis terhadap bidang:

Kedudukan	Definisi	Contoh pada Kubus
Garis pada bidang	Setiap titik pada garis juga merupakan titik pada bidang (g ⊂ α)	AB terletak pada bidang ABCD
Garis sejajar bidang	Garis dan bidang tidak memiliki titik persekutuan (g ∥ α)	AB ∥ bidang EFGH
Garis memotong/menembus bidang	Garis dan bidang memiliki tepat satu titik persekutuan	AE menembus bidang ABCD di titik A

Catatan khusus: Garis tegak lurus bidang (g ⊥ α) jika g menembus α dan g tegak lurus terhadap setiap garis pada α yang melewati titik tembus.

📝 Contoh Soal

▸ Tingkat Mudah

Mudah

1. Tentukan kedudukan garis AB terhadap bidang ABCD pada kubus ABCD.EFGH!

Pembahasan

Titik A dan B keduanya terletak pada bidang ABCD. Karena dua titik garis AB ada di bidang ABCD, maka seluruh garis AB terletak pada bidang ABCD.

Jawaban: Garis AB terletak pada bidang ABCD.

Mudah

2. Tentukan kedudukan garis AB terhadap bidang EFGH!

Pembahasan

AB sejajar EF, dan EF terletak pada EFGH. AB tidak memiliki titik persekutuan dengan EFGH.

Jawaban: AB ∥ bidang EFGH (sejajar).

Mudah

3. Tentukan kedudukan garis AE terhadap bidang ABCD!

Pembahasan

AE melewati titik A (yang ada di ABCD) dan titik E (yang tidak di ABCD). Jadi AE menembus bidang ABCD di titik A. Bahkan AE ⊥ ABCD.

Jawaban: Garis AE menembus (tegak lurus) bidang ABCD di titik A.

Mudah

4. Tentukan kedudukan garis EH terhadap bidang ABCD!

Pembahasan

E dan H keduanya tidak di ABCD. EH sejajar AD (yang ada di ABCD). Maka EH ∥ ABCD.

Jawaban: EH ∥ bidang ABCD.

Mudah

5. Tentukan kedudukan garis BF terhadap bidang BCGF!

Pembahasan

B dan F keduanya terletak di bidang BCGF. Maka seluruh garis BF terletak pada bidang BCGF.

Jawaban: Garis BF terletak pada bidang BCGF.

▸ Tingkat Sedang

Sedang

1. Tentukan kedudukan garis AC (diagonal alas) terhadap bidang BDHF!

Pembahasan

Bidang BDHF memuat B(a,0,0), D(0,a,0), H(0,a,a), F(a,0,a). Garis AC dari A(0,0,0) ke C(a,a,0).

Titik tengah AC = (a/2, a/2, 0). Cek apakah di bidang BDHF: persamaan bidang melalui B,D,F: x+y=a (verifikasi: B: a+0=a✓, D:0+a=a✓, F:a+0=a✓, H:0+a=a✓).

A: 0+0=0≠a, C: a+a=2a≠a. Titik tengah: a/2+a/2=a ✓. Jadi AC menembus bidang BDHF di titik tengah AC.

Jawaban: Garis AC menembus bidang BDHF di titik tengah AC.

Sedang

2. Tentukan kedudukan garis EG (diagonal atap) terhadap bidang ABCD!

Pembahasan

E(0,0,a) dan G(a,a,a) keduanya memiliki z=a. Bidang ABCD: z=0. EG tidak pernah memiliki z=0. Jadi EG ∥ ABCD.

Alternatif: EG ∥ AC, dan AC ⊂ ABCD, maka EG ∥ ABCD.

Jawaban: EG ∥ bidang ABCD.

Sedang

3. Tentukan kedudukan garis AG (diagonal ruang) terhadap bidang ABCD!

Pembahasan

A(0,0,0) ∈ ABCD, G(a,a,a) ∉ ABCD. Garis AG hanya memiliki satu titik di ABCD yaitu A. Jadi AG menembus ABCD di titik A.

Jawaban: AG menembus bidang ABCD di titik A.

Sedang

4. Tentukan kedudukan garis FH terhadap bidang ABFE!

Pembahasan

F(a,0,a) ∈ ABFE. H(0,a,a) — cek apakah H ∈ ABFE. Bidang ABFE: y=0 (memuat A(0,0,0), B(a,0,0), F(a,0,a), E(0,0,a) — semua y=0). H memiliki y=a ≠ 0.

Jadi FH memiliki F di ABFE tapi H tidak di ABFE. FH menembus ABFE di F.

Jawaban: Garis FH menembus bidang ABFE di titik F.

Sedang

5. Sebutkan semua garis rusuk kubus yang sejajar bidang ABFE!

Pembahasan

Bidang ABFE: y=0. Rusuk sejajar harus tidak memotong dan tidak berada di bidang y=0.

Rusuk dengan y tetap ≠ 0: DC (y=a, z=0), HG (y=a, z=a), DH (x=0, y=a), CG (x=a, y=a).

Jawaban: DC, HG, DH, CG sejajar bidang ABFE.

▸ Tingkat Sulit

Sulit

1. Pada kubus ABCD.EFGH rusuk 6 cm. Tentukan sudut yang dibentuk garis AG dengan bidang ABCD!

Pembahasan

A(0,0,0), G(6,6,6). Proyeksi AG ke bidang ABCD (z=0) adalah garis AC dari A(0,0,0) ke C(6,6,0).

tan θ = tinggi/proyeksi = |AG vertikal|/|AC| = 6/(6√2) = 1/√2.

θ = arctan(1/√2) = arctan(½√2) ≈ 35,26°.

Jawaban: Sudut AG dengan bidang ABCD = arctan(1/√2) ≈ 35°16′.

Sulit

2. Pada kubus ABCD.EFGH rusuk a. Tentukan sudut antara garis BG dan bidang BCGF!

Pembahasan

Bidang BCGF: x=a (semua titik B(a,0,0), C(a,a,0), G(a,a,a), F(a,0,a) memiliki x=a). Jadi normal bidang = (1,0,0).

Tunggu — semua titik memiliki x=a, jadi garis BG (dari B(a,0,0) ke G(a,a,a)) juga memiliki x=a selalu! Maka BG terletak pada bidang BCGF.

Jawaban: Garis BG terletak pada bidang BCGF (sudut = 0°).

Sulit

3. Pada kubus ABCD.EFGH rusuk 10 cm. Garis AF menembus bidang BDHF. Tentukan sudut yang dibentuk garis AF dengan bidang BDHF!

Pembahasan

Bidang BDHF: persamaan x+y=a=10. Normal n=(1,1,0), |n|=√2.

AF: A(0,0,0) ke F(10,0,10), arah d=(1,0,1), |d|=√2.

sin θ = |d·n|/(|d||n|) = |1+0+0|/(√2·√2) = 1/2.

θ = 30°.

Jawaban: Sudut garis AF dengan bidang BDHF = 30°.

Sulit

4. Pada kubus ABCD.EFGH rusuk a. Tentukan titik tembus garis AG dengan bidang BDHF!

Pembahasan

Bidang BDHF: x + y = a. Garis AG: parametrik (t, t, t) dengan t ∈ ℝ (dari A(0,0,0) arah (1,1,1) diskalakan).

Substitusi: t + t = a → 2t = a → t = a/2.

Titik tembus: (a/2, a/2, a/2) = pusat kubus.

Jawaban: Titik tembus AG dengan BDHF adalah pusat kubus (a/2, a/2, a/2).

Sulit

5. Pada balok ABCD.EFGH dengan AB=8, BC=6, AE=4. Tentukan sudut garis AG dengan bidang ABCD!

Pembahasan

A(0,0,0), G(8,6,4). Proyeksi AG ke ABCD: AC = A ke (8,6,0). |AC| = √(64+36) = 10.

Komponen vertikal AG = 4. tan θ = 4/10 = 2/5.

θ = arctan(2/5) ≈ 21,8°.

Jawaban: Sudut AG dengan bidang ABCD = arctan(2/5) ≈ 21°48′.

✏️ Latihan Soal

▸ Mudah

1. Tentukan kedudukan garis FG terhadap bidang EFGH!

2. Tentukan kedudukan garis DH terhadap bidang ABCD!

3. Tentukan kedudukan garis AB terhadap bidang DCGH!

4. Tentukan kedudukan garis CG terhadap bidang ABFE!

5. Tentukan kedudukan garis AC terhadap bidang ABCD!

▸ Sedang

1. Tentukan kedudukan garis BD terhadap bidang EFGH!

2. Tentukan kedudukan garis AG terhadap bidang BCGF!

3. Sebutkan semua rusuk kubus yang sejajar bidang ADHE!

4. Tentukan kedudukan garis EG terhadap bidang ACGE!

5. Tentukan garis yang tegak lurus bidang EFGH dan melewati titik B!

▸ Sulit

1. Pada kubus rusuk a, tentukan sudut garis BH dengan bidang ABCD!

2. Tentukan titik tembus diagonal BH dengan bidang ACGE pada kubus rusuk a!

3. Pada balok (AB=12, BC=4, AE=3), tentukan sudut garis AG dengan bidang ABFE!

4. Pada kubus rusuk 8, tentukan sudut garis AF dengan bidang ADHE!

5. Tentukan proyeksi garis AG pada bidang ABCD di kubus rusuk a, dan panjang proyeksinya!

4. Kedudukan Bidang terhadap Bidang Lain

📘 Materi

Dua bidang dalam ruang memiliki dua kemungkinan:

Kedudukan	Definisi	Contoh
Sejajar (α ∥ β)	Tidak memiliki titik persekutuan sama sekali	ABCD ∥ EFGH
Berpotongan	Memiliki persekutuan berupa sebuah garis (garis potong)	ABCD ∩ ABFE = garis AB

Catatan khusus:

Dua bidang tegak lurus (α ⊥ β) jika sudut diantaranya = 90°.
Pada kubus, bidang ABCD ⊥ ABFE (membentuk sudut 90°).
Sudut diederal: sudut antara dua bidang diukur melalui garis potongnya.

📝 Contoh Soal

▸ Tingkat Mudah

Mudah

1. Tentukan kedudukan bidang ABCD terhadap bidang EFGH pada kubus ABCD.EFGH!

Pembahasan

ABCD (z=0) dan EFGH (z=a) tidak memiliki titik persekutuan karena berbeda ketinggian.

Jawaban: ABCD ∥ EFGH (sejajar).

Mudah

2. Tentukan kedudukan bidang ABCD terhadap bidang ABFE!

Pembahasan

Kedua bidang memiliki garis persekutuan AB (titik A dan B terletak di kedua bidang).

Jawaban: ABCD dan ABFE berpotongan pada garis AB.

Mudah

3. Tentukan kedudukan bidang ABFE terhadap bidang DCGH!

Pembahasan

ABFE (y=0) dan DCGH (y=a) tidak punya titik persekutuan.

Jawaban: ABFE ∥ DCGH (sejajar).

Mudah

4. Tentukan garis potong bidang ABCD dan bidang BCGF!

Pembahasan

Titik yang sama-sama di kedua bidang: B dan C. Jadi garis potong = BC.

Jawaban: Garis potong ABCD ∩ BCGF = garis BC.

Mudah

5. Tentukan kedudukan bidang ADHE terhadap bidang BCGF!

Pembahasan

ADHE (x=0) dan BCGF (x=a). Tidak ada titik persekutuan.

Jawaban: ADHE ∥ BCGF (sejajar).

▸ Tingkat Sedang

Sedang

1. Tentukan sudut antara bidang ABCD dan bidang ABFE pada kubus ABCD.EFGH!

Pembahasan

Garis potong = AB. Pada titik A, tarik garis di ABCD tegak lurus AB: garis AD. Tarik garis di ABFE tegak lurus AB: garis AE.

Sudut diederal = ∠DAE = 90° (karena AD dan AE saling tegak lurus pada kubus).

Jawaban: Sudut antara ABCD dan ABFE = 90° (saling tegak lurus).

Sedang

2. Tentukan garis potong bidang ACGE dengan bidang ABCD!

Pembahasan

Bidang ACGE memuat A dan C yang juga ada di ABCD. Garis AC ada di kedua bidang.

Jawaban: Garis potong = AC (diagonal alas).

Sedang

3. Tentukan garis potong bidang BDHF dengan bidang EFGH!

Pembahasan

Titik di kedua bidang: F dan H (keduanya ada di BDHF dan EFGH).

Jawaban: Garis potong = FH (diagonal atap).

Sedang

4. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan kedudukan bidang ACGE terhadap bidang BDHF!

Pembahasan

ACGE: x+y=a (cek A(0,0,0)→ 0≠a… Mari gunakan cara lain).

ACGE memuat A(0,0,0), C(a,a,0), G(a,a,a), E(0,0,a). Pers: y=x → x-y=0.

BDHF memuat B(a,0,0), D(0,a,0), H(0,a,a), F(a,0,a). Pers: x+y=a.

Cek potong: x-y=0 dan x+y=a → x=a/2, y=a/2. Banyak titik yang memenuhi (untuk semua z). Garis potong: x=a/2, y=a/2, z bebas → garis vertikal melalui pusat.

Jawaban: ACGE dan BDHF berpotongan pada garis vertikal melalui pusat kubus.

Sedang

5. Tentukan sudut antara bidang ACGE dan bidang ABCD pada kubus!

Pembahasan

Garis potong = AC. Normal ABCD = (0,0,1). Normal ACGE: dari vektor AC=(1,1,0) dan AE=(0,0,1), normal = AC×AE = (1,-1,0).

Sudut antara bidang = sudut antara normal: cos θ = |(0,0,1)·(1,-1,0)| / (1·√2) = 0/√2 = 0.

θ = 90°.

Jawaban: Bidang ACGE tegak lurus bidang ABCD (sudut = 90°).

▸ Tingkat Sulit

Sulit

1. Pada kubus ABCD.EFGH rusuk a. Tentukan sudut diederal antara bidang AFH dan bidang ABCD!

Pembahasan

A(0,0,0), F(a,0,a), H(0,a,a). Bidang AFH: vektor AF=(a,0,a), AH=(0,a,a). Normal = AF×AH = (0·a-a·a, a·0-a·a, a·a-0·0) = (-a², -a², a²). Sederhanakan: (-1,-1,1).

Normal ABCD = (0,0,1). cos θ = |(-1,-1,1)·(0,0,1)| / (√3·1) = 1/√3.

θ = arccos(1/√3) ≈ 54,74°.

Jawaban: Sudut diederal bidang AFH dengan ABCD = arccos(1/√3) ≈ 54°44′.

Sulit

2. Pada kubus ABCD.EFGH rusuk a. Tentukan sudut antara bidang BEG dan bidang ABCD!

Pembahasan

B(a,0,0), E(0,0,a), G(a,a,a). Vektor BE=(-a,0,a), BG=(0,a,a). Normal = BE×BG = (0·a-a·a, a·0-(-a)·a, (-a)·a-0·0) = (-a², a², -a²). Sederhanakan: (-1,1,-1).

Normal ABCD = (0,0,1). cos θ = |(-1,1,-1)·(0,0,1)| / (√3·1) = 1/√3.

θ = arccos(1/√3) ≈ 54,74°.

Jawaban: Sudut bidang BEG dengan ABCD = arccos(1/√3) ≈ 54°44′.

Sulit

3. Pada limas beraturan T.ABCD, alas persegi sisi 8 cm, tinggi 6 cm. Tentukan sudut antara bidang TAB dan bidang alas ABCD!

Pembahasan

Pusat alas O(4,4,0), T(4,4,6). Garis potong = AB. Tarik garis dari T ke AB yang tegak lurus AB.

A(0,0,0), B(8,0,0). Titik tengah AB = M(4,0,0). TM dari T(4,4,6) ke M(4,0,0). Panjang TM = √(0+16+36) = √52.

Proyeksi kaki dari O ke AB: O'(4,0,0) = M. OM = √(0+16+0) = 4.

Sudut diederal: tan θ = tinggi T di atas M / jarak O ke AB vertikal… Gunakan metode yang benar:

Garis potong = AB (sumbu x). Di titik M(4,0,0), tarik garis tegak lurus AB di bidang ABCD: arah (0,1,0). Di bidang TAB tegak lurus AB: arah dari M ke T = (0,4,6)/||(0,4,6)|| → tan θ = 6/4 = 3/2.

θ = arctan(3/2) ≈ 56,31°.

Jawaban: Sudut bidang TAB dengan ABCD = arctan(3/2) ≈ 56°19′.

Sulit

4. Pada kubus ABCD.EFGH rusuk a. Tentukan sudut antara bidang ACGE dan bidang BDHF!

Pembahasan

Normal ACGE: vektor (1,-1,0) (dari pers x-y=0). Normal BDHF: vektor (1,1,0) (dari pers x+y=a).

cos θ = |(1,-1,0)·(1,1,0)| / (√2·√2) = |1-1|/2 = 0.

θ = 90°.

Jawaban: Bidang ACGE ⊥ BDHF (saling tegak lurus, sudut = 90°).

Sulit

5. Pada balok ABCD.EFGH dengan AB=6, BC=6, AE=3. Tentukan sudut antara bidang AFH dan bidang ABCD!

Pembahasan

A(0,0,0), F(6,0,3), H(0,6,3). AF=(6,0,3), AH=(0,6,3). Normal AFH = AF×AH = (0·3-3·6, 3·0-6·3, 6·6-0·0) = (-18,-18,36). Sederhanakan: (-1,-1,2).

Normal ABCD = (0,0,1). cos θ = |(-1,-1,2)·(0,0,1)| / (√6·1) = 2/√6 = √6/3.

θ = arccos(√6/3) ≈ 35,26°.

Jawaban: Sudut bidang AFH dengan ABCD = arccos(√6/3) ≈ 35°16′.

✏️ Latihan Soal

▸ Mudah

1. Tentukan kedudukan bidang ABFE terhadap bidang DCGH pada kubus ABCD.EFGH!

2. Tentukan garis potong bidang ABCD dan bidang ADHE!

3. Tentukan kedudukan bidang EFGH terhadap bidang ABFE!

4. Sebutkan 3 pasang bidang yang sejajar pada kubus ABCD.EFGH!

5. Tentukan garis potong bidang EFGH dan bidang BCGF!

▸ Sedang

1. Tentukan sudut antara bidang ABCD dan bidang ADHE!

2. Tentukan garis potong bidang ACGE dan bidang EFGH!

3. Tentukan kedudukan bidang ABGH terhadap bidang EFDC!

4. Tentukan garis potong bidang BDHF dan bidang ABCD!

5. Pada kubus, apakah bidang ABGH tegak lurus bidang ABCD?

▸ Sulit

1. Pada kubus rusuk a, tentukan sudut diederal antara bidang BEG dan bidang EFGH!

2. Pada limas T.ABCD beraturan (alas persegi sisi 10, tinggi 12), tentukan sudut bidang TAD dengan ABCD!

3. Pada kubus rusuk a, tentukan sudut antara bidang ACGE dan bidang ABFE!

4. Pada balok (AB=8, BC=6, AE=4), tentukan sudut bidang BEG dengan bidang ABCD!

5. Pada kubus rusuk 12, tentukan jarak antara bidang AFH dan bidang BEG (dua bidang sejajar)!

Jarak Antar Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang

Jarak Dalam Ruang

Jarak Antar Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang

Matematika

1. Jarak Titik ke Garis

Definisi: Jarak dari titik $P$ ke garis $g$ adalah panjang ruas garis terpendek dari $P$ ke garis $g$, yaitu ruas garis yang tegak lurus terhadap $g$.

Jika $P$ sebuah titik dan $g$ sebuah garis, maka jarak $P$ ke $g$ dinyatakan sebagai panjang proyeksi tegak lurus dari $P$ ke $g$.

Rumus: Jika kaki tegak lurus dari $P$ ke $g$ adalah titik $Q$, maka jarak $= |PQ|$, dengan $PQ \perp g$.

Langkah menentukan jarak titik ke garis:

Tentukan titik $P$ dan garis $g$.
Buat garis dari $P$ yang tegak lurus ke $g$, perpotongannya di titik $Q$.
Hitung panjang $PQ$.

📝 Contoh Soal

Mudah Contoh Soal

1. Kubus $ABCD.EFGH$ memiliki rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik $A$ ke garis $BC$.

Pembahasan

Garis $BC$ sejajar dengan arah tertentu. Dari $A$, garis tegak lurus ke $BC$ jatuh di titik $B$ (karena $AB \perp BC$ pada kubus).

Jarak $= AB = 6$ cm.

2. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 4 cm. Tentukan jarak titik $E$ ke garis $AB$.

Pembahasan

$E$ tepat di atas $A$. Proyeksi $E$ ke garis $AB$ jatuh di $A$. Maka $EA \perp AB$.

Jarak $= EA = 4$ cm.

3. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 5 cm. Tentukan jarak titik $A$ ke garis $EF$.

Pembahasan

$EF$ sejajar $AB$, dan $E$ di atas $A$. Proyeksi $A$ ke $EF$ jatuh di $E$.

Jarak $= AE = 5$ cm.

4. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 8 cm. Tentukan jarak titik $B$ ke garis $AD$.

Pembahasan

$AD$ sejajar $BC$. Dari $B$, proyeksi tegak lurus ke $AD$ jatuh di $A$ (karena $BA \perp AD$).

Jarak $= BA = 8$ cm.

5. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 10 cm. Tentukan jarak titik $H$ ke garis $EH$.

Pembahasan

Titik $H$ terletak pada garis $EH$, sehingga jarak $= 0$ cm.

Sedang Contoh Soal

1. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik $A$ ke garis $BG$.

Pembahasan

Ambil koordinat: $A(0,0,0)$, $B(6,0,0)$, $G(6,6,6)$.

Vektor arah $BG = G – B = (0,6,6)$.

Vektor $BA = A – B = (-6,0,0)$.

$BA \times BG = \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\-6&0&0\\0&6&6\end{vmatrix} = (0-0)\mathbf{i}-(−36-0)\mathbf{j}+(−36-0)\mathbf{k} = (0, 36, -36)$

$|BA \times BG| = \sqrt{0+1296+1296} = \sqrt{2592} = 36\sqrt{2}$

$|BG| = \sqrt{0+36+36} = 6\sqrt{2}$

Jarak $= \dfrac{36\sqrt{2}}{6\sqrt{2}} = 6$ cm.

2. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 4 cm. Tentukan jarak titik $A$ ke garis $CE$.

Pembahasan

$A(0,0,0)$, $C(4,4,0)$, $E(0,0,4)$.

$\vec{CE} = (-4,-4,4)$, $\vec{CA} = (-4,-4,0)$.

$\vec{CA}\times\vec{CE} = \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\-4&-4&0\\-4&-4&4\end{vmatrix} = (-16-0)\mathbf{i}-(−16-0)\mathbf{j}+(16-16)\mathbf{k} = (-16, 16, 0)$

$|\vec{CA}\times\vec{CE}| = \sqrt{256+256} = 16\sqrt{2}$

$|\vec{CE}| = \sqrt{16+16+16} = 4\sqrt{3}$

Jarak $= \dfrac{16\sqrt{2}}{4\sqrt{3}} = \dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \dfrac{4\sqrt{6}}{3}$ cm.

3. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik $D$ ke garis $AG$.

Pembahasan

$A(0,0,0)$, $G(6,6,6)$, $D(0,6,0)$.

$\vec{AG} = (6,6,6)$, $\vec{AD} = (0,6,0)$.

$\vec{AD}\times\vec{AG} = \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\0&6&0\\6&6&6\end{vmatrix} = (36-0)\mathbf{i}-(0-0)\mathbf{j}+(0-36)\mathbf{k} = (36, 0, -36)$

$|\vec{AD}\times\vec{AG}| = \sqrt{1296+0+1296} = 36\sqrt{2}$

$|\vec{AG}| = 6\sqrt{3}$

Jarak $= \dfrac{36\sqrt{2}}{6\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{6}$ cm.

4. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 4 cm. Tentukan jarak titik $E$ ke garis $BD$.

Pembahasan

$B(4,0,0)$, $D(0,4,0)$, $E(0,0,4)$.

$\vec{BD} = (-4,4,0)$, $\vec{BE} = (-4,0,4)$.

$\vec{BE}\times\vec{BD} = \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\-4&0&4\\-4&4&0\end{vmatrix} = (0-16)\mathbf{i}-(0+16)\mathbf{j}+(-16-0)\mathbf{k} = (-16,-16,-16)$

$|\vec{BE}\times\vec{BD}| = \sqrt{256+256+256} = 16\sqrt{3}$

$|\vec{BD}| = 4\sqrt{2}$

Jarak $= \dfrac{16\sqrt{3}}{4\sqrt{2}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{6}$ cm.

5. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 8 cm. Tentukan jarak titik $F$ ke garis $AC$.

Pembahasan

$A(0,0,0)$, $C(8,8,0)$, $F(8,0,8)$.

$\vec{AC} = (8,8,0)$, $\vec{AF} = (8,0,8)$.

$\vec{AF}\times\vec{AC} = \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\8&0&8\\8&8&0\end{vmatrix} = (0-64)\mathbf{i}-(0-64)\mathbf{j}+(64-0)\mathbf{k} = (-64,64,64)$

$|\vec{AF}\times\vec{AC}| = \sqrt{4096+4096+4096} = 64\sqrt{3}$

$|\vec{AC}| = 8\sqrt{2}$

Jarak $= \dfrac{64\sqrt{3}}{8\sqrt{2}} = \dfrac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{6}$ cm.

Sulit Contoh Soal

1. Limas beraturan $T.ABCD$ dengan alas persegi $ABCD$ rusuk 6 cm dan tinggi limas 8 cm. Tentukan jarak titik $T$ ke garis $AB$.

Pembahasan

Pusat alas $O(3,3,0)$, $T(3,3,8)$. $A(0,0,0)$, $B(6,0,0)$.

Proyeksi $T$ ke $AB$: karena $AB$ pada sumbu-$x$ dengan $y=0,z=0$, proyeksi $T$ ke $AB$ adalah $(3,0,0)$.

Jarak $= \sqrt{(3-3)^2+(3-0)^2+(8-0)^2} = \sqrt{9+64} = \sqrt{73}$ cm.

2. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk $a$. Titik $M$ tengah $EF$. Tentukan jarak titik $M$ ke garis $AG$.

Pembahasan

$A(0,0,0)$, $G(a,a,a)$, $M\left(\frac{a}{2}+\frac{a}{2}\cdot\frac{1}{1},0,a\right)$. Koreksi: $E(0,0,a)$, $F(a,0,a)$, $M=\left(\frac{a}{2},0,a\right)$.

$\vec{AG}=(a,a,a)$, $\vec{AM}=\left(\frac{a}{2},0,a\right)$.

$\vec{AM}\times\vec{AG} = \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\frac{a}{2}&0&a\\a&a&a\end{vmatrix} = (0-a^2)\mathbf{i}-({\frac{a^2}{2}}-a^2)\mathbf{j}+(\frac{a^2}{2}-0)\mathbf{k} = \left(-a^2, \frac{a^2}{2}, \frac{a^2}{2}\right)$

$|\vec{AM}\times\vec{AG}| = a^2\sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}} = a^2\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{a^2\sqrt{6}}{2}$

$|\vec{AG}| = a\sqrt{3}$

Jarak $= \dfrac{a^2\sqrt{6}/2}{a\sqrt{3}} = \dfrac{a\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.

3. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk $a$. Titik $P$ tengah $CG$ dan $Q$ tengah $AE$. Tentukan jarak titik $P$ ke garis $BQ$.

Pembahasan

$B(a,0,0)$, $Q=\left(0,0,\frac{a}{2}\right)$, $P=\left(a,a,\frac{a}{2}\right)$.

$\vec{BQ}=\left(-a,0,\frac{a}{2}\right)$, $\vec{BP}=\left(0,a,\frac{a}{2}\right)$.

$\vec{BP}\times\vec{BQ} = \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\0&a&\frac{a}{2}\\-a&0&\frac{a}{2}\end{vmatrix} = \left(\frac{a^2}{2}-0\right)\mathbf{i}-\left(0+\frac{a^2}{2}\right)\mathbf{j}+(0+a^2)\mathbf{k} = \left(\frac{a^2}{2},-\frac{a^2}{2},a^2\right)$

$|\vec{BP}\times\vec{BQ}| = a^2\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+1} = a^2\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{a^2\sqrt{6}}{2}$

$|\vec{BQ}| = \sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Jarak $= \dfrac{a^2\sqrt{6}/2}{a\sqrt{5}/2} = \dfrac{a\sqrt{6}}{\sqrt{5}} = \dfrac{a\sqrt{30}}{5}$.

4. Balok $ABCD.EFGH$ dengan $AB=4$, $BC=3$, $AE=5$. Tentukan jarak titik $A$ ke garis $HB$.

Pembahasan

$A(0,0,0)$, $B(4,0,0)$, $H(0,3,5)$.

$\vec{BH}=(-4,3,5)$, $\vec{BA}=(-4,0,0)$.

$\vec{BA}\times\vec{BH} = \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\-4&0&0\\-4&3&5\end{vmatrix} = (0)\mathbf{i}-(−20)\mathbf{j}+(-12)\mathbf{k} = (0,20,-12)$

$|\vec{BA}\times\vec{BH}| = \sqrt{0+400+144} = \sqrt{544} = 4\sqrt{34}$

$|\vec{BH}| = \sqrt{16+9+25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

Jarak $= \dfrac{4\sqrt{34}}{5\sqrt{2}} = \dfrac{4\sqrt{17}}{5}$ cm.

5. Limas beraturan $T.ABC$ dengan alas segitiga sama sisi $ABC$ sisi 6 cm, tinggi limas 6 cm. Tentukan jarak titik $T$ ke garis $BC$.

Pembahasan

Pusat alas segitiga sama sisi: $O = (3, \sqrt{3}, 0)$, $T=(3,\sqrt{3},6)$.

$B(0,0,0)$, $C(6,0,0)$.

Proyeksi $T$ ke $BC$ (sumbu-$x$): titik $(3,0,0)$.

Jarak $= \sqrt{(3-3)^2+(\sqrt{3})^2+36} = \sqrt{3+36} = \sqrt{39}$ cm.

✏️ Latihan Soal

Mudah

1. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 5 cm. Tentukan jarak titik $C$ ke garis $AB$.

2. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 7 cm. Tentukan jarak titik $G$ ke garis $GH$.

3. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 3 cm. Tentukan jarak titik $F$ ke garis $EH$.

4. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 10 cm. Tentukan jarak titik $D$ ke garis $BC$.

5. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 4 cm. Tentukan jarak titik $H$ ke garis $GF$.

Sedang

1. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik $B$ ke diagonal ruang $AG$.

2. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 8 cm. Tentukan jarak titik $C$ ke garis $BF$.

3. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 4 cm. Tentukan jarak titik $H$ ke garis $BG$.

4. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 10 cm. Tentukan jarak titik $E$ ke garis $AC$.

5. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik $D$ ke garis $CF$.

Sulit

1. Balok $ABCD.EFGH$ dengan $AB=6$, $BC=4$, $AE=3$. Tentukan jarak titik $G$ ke garis $AF$.

2. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk $a$. $M$ tengah $AB$. Tentukan jarak $M$ ke garis $CE$.

3. Limas $T.ABCD$ alas persegi rusuk 8, tinggi 6. Tentukan jarak $T$ ke garis $BD$.

4. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk $a$. $P$ tengah $FG$, $Q$ tengah $DH$. Jarak $A$ ke garis $PQ$?

5. Balok $ABCD.EFGH$ dengan $AB=3$, $BC=4$, $AE=12$. Tentukan jarak $D$ ke garis $BG$.

2. Jarak Titik ke Bidang

Definisi: Jarak dari titik $P$ ke bidang $\alpha$ adalah panjang ruas garis dari $P$ yang tegak lurus terhadap bidang $\alpha$.

Jika bidang dinyatakan dengan persamaan $ax+by+cz=d$, maka:

$$d(P, \alpha) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 – d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

dengan $P(x_0,y_0,z_0)$

📝 Contoh Soal

Mudah Contoh Soal

1. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik $A$ ke bidang $EFGH$.

Pembahasan

Bidang $EFGH$ adalah bidang atas kubus. $A$ di bidang bawah. Jarak $=$ tinggi kubus $= 6$ cm.

2. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 4 cm. Jarak titik $E$ ke bidang $ABCD$?

Pembahasan

$E$ di atas $A$, bidang $ABCD$ adalah alas. Jarak $= AE = 4$ cm.

3. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 5 cm. Jarak titik $A$ ke bidang $BCGF$?

Pembahasan

$BCGF$ adalah bidang sisi kanan. Jarak $A$ ke bidang ini $= AB = 5$ cm (karena $AB \perp BCGF$).

4. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 10 cm. Jarak titik $G$ ke bidang $ABCD$?

Pembahasan

Jarak $= $ tinggi kubus $= 10$ cm.

5. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 8 cm. Jarak titik $D$ ke bidang $ABFE$?

Pembahasan

Bidang $ABFE$ adalah sisi depan. $D$ berjarak $AD = 8$ cm secara tegak lurus ke bidang ini? Tidak, $ABFE$ memuat $A$ dan $B$. Jarak $D$ ke bidang $ABFE$ $= BC = 8$ cm (karena $D$ sejajar $C$ dan keduanya berjarak $BC$ dari $ABFE$).

Sedang Contoh Soal

1. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik $A$ ke bidang $BDG$.

Pembahasan

$B(6,0,0)$, $D(0,6,0)$, $G(6,6,6)$.

$\vec{BD}=(-6,6,0)$, $\vec{BG}=(0,6,6)$.

Normal $= \vec{BD}\times\vec{BG} = (36,6,-36)$, sederhanakan: $(6,1,-6)$.

Persamaan bidang: $6(x-6)+1(y)+(-6)(z)=0 \Rightarrow 6x+y-6z=36$.

Jarak $A(0,0,0)$: $d = \frac{|0+0-0-36|}{\sqrt{36+1+36}} = \frac{36}{\sqrt{73}}= \frac{36\sqrt{73}}{73}$ cm.

2. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 4 cm. Jarak titik $A$ ke bidang $BEG$.

Pembahasan

$B(4,0,0)$, $E(0,0,4)$, $G(4,4,4)$.

$\vec{BE}=(-4,0,4)$, $\vec{BG}=(0,4,4)$.

Normal $= (-16,-16,-16)$, arah: $(1,1,1)$.

Bidang: $x+y+z=4$.

Jarak $A(0,0,0)$: $d = \frac{|0-4|}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ cm.

3. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 6 cm. Jarak titik $C$ ke bidang $AFH$.

Pembahasan

$A(0,0,0)$, $F(6,0,6)$, $H(0,6,6)$.

$\vec{AF}=(6,0,6)$, $\vec{AH}=(0,6,6)$.

Normal $= (-36,−36,36)$, arah: $(-1,-1,1)$.

Bidang: $-x-y+z=0$, atau $x+y-z=0$.

Jarak $C(6,6,0)$: $d = \frac{|6+6-0|}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ cm.

4. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 4 cm. Jarak titik $B$ ke bidang $ACGE$.

Pembahasan

$ACGE$ adalah bidang diagonal. $A(0,0,0)$, $C(4,4,0)$, $G(4,4,4)$, $E(0,0,4)$.

$\vec{AC}=(4,4,0)$, $\vec{AE}=(0,0,4)$.

Normal $= (16,-16,0)$, arah: $(1,-1,0)$.

Bidang: $x-y=0$.

Jarak $B(4,0,0)$: $d = \frac{|4-0|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ cm.

5. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 6 cm. Jarak titik $H$ ke bidang $ABG$.

Pembahasan

$A(0,0,0)$, $B(6,0,0)$, $G(6,6,6)$.

$\vec{AB}=(6,0,0)$, $\vec{AG}=(6,6,6)$.

Normal $= (0,-36,36)$, arah: $(0,-1,1)$.

Bidang: $-y+z=0$.

Jarak $H(0,6,6)$: $d = \frac{|-6+6|}{\sqrt{2}} = 0$ cm. ($H$ terletak pada bidang $ABG$.)

Sulit Contoh Soal

1. Limas beraturan $T.ABCD$ alas persegi rusuk 6 cm, tinggi 8 cm. Tentukan jarak $T$ ke bidang $ABCD$.

Pembahasan

Bidang $ABCD$ adalah alas (bidang $z=0$). $T$ tepat di atas pusat alas, $T=(3,3,8)$. Jarak $= 8$ cm.

2. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk $a$. Titik $P$ tengah $EF$. Tentukan jarak $P$ ke bidang $BDG$.

Pembahasan

Dari contoh sebelumnya, bidang $BDG$: $6x+y-6z = 6a$ (untuk rusuk $a$).

Sesuaikan: $B(a,0,0)$, $D(0,a,0)$, $G(a,a,a)$. Normal dari $\vec{BD}\times\vec{BG}$:

$\vec{BD}=(-a,a,0)$, $\vec{BG}=(0,a,a)$. Normal $= (a^2,-a^2\cdot0… )$. Mari hitung ulang:

Normal $= (a\cdot a – 0, 0 – (-a)\cdot a, (-a)\cdot a – a\cdot 0) = (a^2, a^2, -a^2)$, arah $(1,1,-1)$.

Bidang: $x+y-z=a$.

$P = \left(\frac{a}{2}, 0, a\right)$.

$d = \frac{|\frac{a}{2}+0-a-a|}{\sqrt{3}} = \frac{|-\frac{3a}{2}|}{\sqrt{3}} = \frac{3a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

3. Balok $ABCD.EFGH$ dengan $AB=4$, $BC=3$, $AE=6$. Jarak titik $G$ ke bidang $AFH$.

Pembahasan

$A(0,0,0)$, $F(4,0,6)$, $H(0,3,6)$.

$\vec{AF}=(4,0,6)$, $\vec{AH}=(0,3,6)$.

Normal $= (0\cdot6-6\cdot3, 6\cdot0-4\cdot6, 4\cdot3-0) = (-18,-24,12)$, arah: $(-3,-4,2)$.

Bidang: $-3x-4y+2z=0$, atau $3x+4y-2z=0$.

$G(4,3,6)$: $d = \frac{|12+12-12|}{\sqrt{9+16+4}} = \frac{12}{\sqrt{29}} = \frac{12\sqrt{29}}{29}$.

4. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk $a$. $M$ tengah $AB$, $N$ tengah $GH$. Jarak titik $E$ ke bidang $MNC$.

Pembahasan

$M=(\frac{a}{2},0,0)$, $N=(a/2,a,a)$ (tengah $GH$: $G(a,a,a)$, $H(0,a,a)$, jadi $N=(\frac{a}{2},a,a)$), $C=(a,a,0)$.

$\vec{MC}=(\frac{a}{2},a,0)$, $\vec{MN}=(0,a,a)$.

Normal $= (a^2-0, 0-\frac{a^2}{2}, \frac{a^2}{2}-0) = (a^2, -\frac{a^2}{2}, \frac{a^2}{2})$, arah: $(2,-1,1)$.

Bidang melalui $M$: $2(x-\frac{a}{2})-y+z=0 \Rightarrow 2x-y+z=a$.

$E(0,0,a)$: $d = \frac{|0-0+a-a|}{\sqrt{4+1+1}} = 0$.

$E$ terletak pada bidang tersebut. Jarak $= 0$.

5. Limas $T.ABC$ dengan $ABC$ segitiga sama sisi sisi $6$ cm, $TA=TB=TC=6$ cm. Tentukan jarak $T$ ke bidang $ABC$.

Pembahasan

Segitiga sama sisi sisi 6: jari-jari lingkaran luar $R = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$.

$TA = 6$. Tinggi limas $= \sqrt{TA^2 – R^2} = \sqrt{36 – 12} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ cm.

✏️ Latihan Soal

Mudah

1. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 9 cm. Jarak $B$ ke bidang $EFGH$?

2. Kubus rusuk 7 cm. Jarak $F$ ke bidang $ABCD$?

3. Kubus rusuk 5 cm. Jarak $A$ ke bidang $DCGH$?

4. Kubus rusuk 12 cm. Jarak $H$ ke bidang $ABCD$?

5. Kubus rusuk 3 cm. Jarak $G$ ke bidang $ABFE$?

Sedang

1. Kubus rusuk 6. Jarak $D$ ke bidang $BEG$?

2. Kubus rusuk 8. Jarak $F$ ke bidang $ACH$?

3. Kubus rusuk 4. Jarak $A$ ke bidang $CFH$?

4. Kubus rusuk 10. Jarak $B$ ke bidang $ADHE$?

5. Kubus rusuk 6. Jarak $E$ ke bidang $ABG$?

Sulit

1. Balok $AB=5$, $BC=4$, $AE=3$. Jarak $G$ ke bidang $AFC$?

2. Kubus rusuk $a$. $M$ tengah $FG$. Jarak $M$ ke bidang $ACE$?

3. Limas $T.ABCD$ alas persegi sisi 8, $TA=TB=TC=TD=10$. Jarak $T$ ke $ABCD$?

4. Kubus rusuk $a$. $P$ tengah $AE$, $Q$ tengah $CG$. Jarak $B$ ke bidang $PQD$?

5. Limas $T.ABC$ sisi alas 8 cm, $TA=TB=TC=10$ cm. Jarak $T$ ke bidang $ABC$?

3. Jarak Garis ke Garis (Sejajar)

Definisi: Jarak antara dua garis sejajar $g$ dan $h$ adalah panjang ruas garis yang tegak lurus terhadap keduanya.

Ambil sembarang titik $P$ pada $g$, lalu hitung jarak $P$ ke garis $h$.

Jika $g \parallel h$, ambil $P \in g$, maka $d(g,h) = d(P, h)$

📝 Contoh Soal

Mudah

1. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 6 cm. Jarak garis $AB$ ke garis $EF$?

Pembahasan

$AB \parallel EF$, jarak $= AE = 6$ cm.

2. Kubus rusuk 4 cm. Jarak garis $AB$ ke garis $DC$?

Pembahasan

$AB \parallel DC$, jarak $= AD = 4$ cm.

3. Kubus rusuk 5 cm. Jarak garis $AE$ ke garis $BF$?

Pembahasan

$AE \parallel BF$, jarak $= AB = 5$ cm.

4. Kubus rusuk 8 cm. Jarak garis $EF$ ke garis $HG$?

Pembahasan

$EF \parallel HG$, jarak $= EH = 8$ cm.

5. Kubus rusuk 10 cm. Jarak garis $AD$ ke garis $EH$?

Pembahasan

$AD \parallel EH$, jarak $= AE = 10$ cm.

Sedang

1. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 6 cm. Jarak garis $AB$ ke garis $GH$?

Pembahasan

$AB \parallel GH$. $A(0,0,0)$, $G(6,6,6)$, $H(0,6,6)$. Titik $A$ ke garis $GH$:

Jarak $A$ ke $H$ secara tegak lurus ke $GH$. $\vec{HG}=(6,0,0)$, $\vec{HA}=(0,-6,-6)$.

Proyeksi tegak lurus: $|\vec{HA}|^2 – \frac{(\vec{HA}\cdot\vec{HG})^2}{|\vec{HG}|^2} = 72 – 0 = 72$. Jarak $= \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ cm.

2. Kubus rusuk 4 cm. Jarak garis $AE$ ke garis $CG$?

Pembahasan

$AE \parallel CG$. Jarak $= AC = 4\sqrt{2}$ cm (diagonal sisi alas, karena proyeksi tegak lurus dari $A$ ke garis $CG$ melewati diagonal alas).

3. Kubus rusuk 6 cm. Jarak garis $AD$ ke garis $FG$?

Pembahasan

$AD \parallel FG$ (keduanya sejajar sumbu-$y$). $A(0,0,0)$, $F(6,0,6)$. Jarak antara dua garis sejajar ini $= \sqrt{6^2+6^2} = 6\sqrt{2}$ cm (jarak titik $A$ ke garis $FG$ pada bidang tegak lurus).

4. Kubus rusuk 8 cm. Jarak garis $AB$ ke garis $HE$? (yang sejajar)

Pembahasan

Perhatikan: $AB$ sepanjang sumbu-$x$, $HE$ juga sepanjang sumbu-$x$ (dari $H(0,8,8)$ ke $E(0,0,8)$ — bukan sejajar $AB$). $HE$ sejajar sumbu-$y$, bukan sumbu-$x$.

Koreksi arah: $A(0,0,0)\to B(8,0,0)$ arah $x$. $H(0,8,8)\to E(0,0,8)$ arah $-y$. Tidak sejajar.

Maka ini garis bersilangan, bukan sejajar. Lihat seksi 6.

5. Kubus rusuk 6 cm. Jarak garis $BC$ ke garis $FG$?

Pembahasan

$BC \parallel FG$. $B(6,0,0)$, $F(6,0,6)$. Jarak $= BF = 6$ cm.

Sulit

1. Balok $AB=6$, $BC=4$, $AE=3$. Jarak garis $AB$ ke garis $HG$?

Pembahasan

$AB \parallel HG$. $A(0,0,0)$, $H(0,4,3)$. Jarak $= \sqrt{4^2+3^2} = 5$.

2. Balok $AB=3$, $BC=4$, $AE=12$. Jarak garis $AD$ ke garis $EF$?

Pembahasan

$AD \parallel EF$? $AD$ arah $y$, $EF$ arah $x$. Tidak sejajar! Ini bersilangan.

Koreksi: $AD$ arah $y$, $EF$ arah $x$. Ini masuk ke jarak garis bersilangan. Jarak $= AE = 12$.

3. Kubus rusuk $a$. Jarak garis $AC$ (diagonal alas) ke garis $EG$ (diagonal atas)?

Pembahasan

$AC \parallel EG$. Kedua diagonal ini sejajar dan berjarak tinggi kubus. Jarak $= a$.

4. Kubus rusuk $a$. Jarak garis $AF$ ke garis $CH$?

Pembahasan

$A(0,0,0)$, $F(a,0,a)$, $C(a,a,0)$, $H(0,a,a)$.

$\vec{AF}=(a,0,a)$, $\vec{CH}=(-a,0,a)$. Cek sejajar: $(a,0,a)$ dan $(-a,0,a)$ — tidak kelipatan. Ini garis bersilangan.

Gunakan rumus: $d = \frac{|\vec{AC}\cdot(\vec{AF}\times\vec{CH})|}{|\vec{AF}\times\vec{CH}|}$.

$\vec{AF}\times\vec{CH} = \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\a&0&a\\-a&0&a\end{vmatrix} = (0)\mathbf{i}-(2a^2)\mathbf{j}+(0)\mathbf{k} = (0,-2a^2,0)$.

$\vec{AC} = (a,a,0)$. $\vec{AC}\cdot(0,-2a^2,0) = -2a^3$.

$|\vec{AF}\times\vec{CH}| = 2a^2$. Jarak $= \frac{2a^3}{2a^2} = a$.

5. Kubus rusuk $a$. $M$ tengah $AB$, $N$ tengah $GH$. Jarak garis $MN$ ke garis $DG$?

Pembahasan

$M=(\frac{a}{2},0,0)$, $N=(\frac{a}{2},a,a)$. $\vec{MN}=(0,a,a)$.

$D(0,a,0)$, $G(a,a,a)$. $\vec{DG}=(a,0,a)$.

Cek sejajar: tidak. $\vec{MN}\times\vec{DG} = (a^2, a^2, -a^2)$, arah $(1,1,-1)$.

$\vec{MD} = (-\frac{a}{2}, a, 0)$.

$\vec{MD}\cdot(a^2,a^2,-a^2) = -\frac{a^3}{2}+a^3+0 = \frac{a^3}{2}$.

$|(1,1,-1)| = \sqrt{3}$, $|\vec{MN}\times\vec{DG}| = a^2\sqrt{3}$.

Jarak $= \frac{a^3/2}{a^2\sqrt{3}} = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

✏️ Latihan Soal

Mudah

1. Kubus rusuk 7 cm. Jarak garis $AB$ ke $DC$?

2. Kubus rusuk 9 cm. Jarak garis $AE$ ke $DH$?

3. Kubus rusuk 5 cm. Jarak garis $EF$ ke $AB$?

4. Kubus rusuk 6 cm. Jarak garis $BC$ ke $EH$?

5. Kubus rusuk 10 cm. Jarak garis $FG$ ke $BC$?

Sedang

1. Kubus rusuk 4. Jarak garis $AB$ ke garis $GH$?

2. Kubus rusuk 6. Jarak garis $BF$ ke garis $DH$?

3. Kubus rusuk 8. Jarak garis $AE$ ke garis $CG$?

4. Balok $AB=3, BC=4, AE=5$. Jarak garis $AB$ ke garis $EH$?

5. Kubus rusuk $a$. Jarak garis $BD$ ke garis $FH$?

Sulit

1. Kubus rusuk $a$. Jarak diagonal bidang $AC$ ke diagonal bidang $FH$?

2. Balok $AB=5, BC=3, AE=4$. Jarak garis $AG$ ke garis $CE$?

3. Kubus rusuk $a$. $M$ tengah $AB$, $N$ tengah $EF$. Jarak $MN$ ke $DG$?

4. Kubus rusuk $a$. Jarak garis $BH$ ke garis $DF$?

5. Balok $AB=6, BC=8, AE=10$. Jarak garis $AF$ ke garis $DG$?

4. Jarak Garis ke Bidang

Definisi: Jarak garis $g$ ke bidang $\alpha$ didefinisikan jika $g \parallel \alpha$. Jarak ini sama dengan jarak sembarang titik pada $g$ ke bidang $\alpha$.

$d(g, \alpha) = d(P, \alpha)$ untuk sembarang $P \in g$, dengan $g \parallel \alpha$.

📝 Contoh Soal

Mudah

1. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 6 cm. Jarak garis $AB$ ke bidang $EFGH$?

Pembahasan

$AB \parallel EFGH$. Jarak $= AE = 6$ cm.

2. Kubus rusuk 5 cm. Jarak garis $EF$ ke bidang $ABCD$?

Pembahasan

Jarak $= 5$ cm.

3. Kubus rusuk 4 cm. Jarak garis $AD$ ke bidang $BCGF$?

Pembahasan

$AD \parallel BCGF$. Jarak $= AB = 4$ cm.

4. Kubus rusuk 8 cm. Jarak garis $GH$ ke bidang $ABCD$?

Pembahasan

Jarak $= 8$ cm.

5. Kubus rusuk 10 cm. Jarak garis $AE$ ke bidang $BCGF$?

Pembahasan

$AE \parallel BCGF$. Jarak $= AB = 10$ cm.

Sedang

1. Kubus rusuk 6 cm. Jarak garis $AC$ (diagonal alas) ke bidang $EFGH$?

Pembahasan

$AC$ pada bidang $ABCD$, sejajar $EFGH$. Jarak $= 6$ cm.

2. Kubus rusuk 4 cm. Jarak garis $BD$ ke bidang $EFGH$?

Pembahasan

$BD$ di bidang alas, sejajar $EFGH$. Jarak $= 4$ cm.

3. Kubus rusuk 6 cm. Jarak garis $AB$ ke bidang $DCGH$?

Pembahasan

$AB \parallel DCGH$. Jarak $= AD = 6$ cm.

4. Kubus rusuk $a$. Jarak garis $EG$ ke bidang $ABCD$?

Pembahasan

$EG$ di bidang $EFGH$, sejajar $ABCD$. Jarak $= a$.

5. Balok $AB=6, BC=4, AE=3$. Jarak garis $EF$ ke bidang $ABCD$?

Pembahasan

$EF \parallel ABCD$. Jarak $= AE = 3$.

Sulit

1. Kubus rusuk 6 cm. Jarak garis $AF$ ke bidang $BDHF$?

Pembahasan

$A(0,0,0)$, $F(6,0,6)$. Bidang $BDHF$: $B(6,0,0)$, $D(0,6,0)$, $H(0,6,6)$, $F(6,0,6)$.

Normal bidang melalui $B,D,F$: $\vec{BD}=(-6,6,0)$, $\vec{BF}=(0,0,6)$. Normal $= (36,36,0)$, arah $(1,1,0)$.

Bidang: $x+y=6$.

Cek $AF$: $A(0,0,0)$, jarak $A$ ke bidang $= \frac{|0+0-6|}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.

Cek $F(6,0,6)$: $\frac{|6+0-6|}{\sqrt{2}} = 0$. $F$ pada bidang! Maka $AF$ tidak sejajar bidang. Jarak $= 0$ (garis memotong bidang).

2. Kubus rusuk $a$. Jarak garis $AB$ ke bidang diagonal $ACGE$?

Pembahasan

$AB$ terletak pada… $A$ ada di bidang $ACGE$, jadi $AB$ memotong bidang di titik $A$. Jarak $= 0$.

3. Kubus rusuk 6. Jarak garis $EF$ ke bidang $ABGH$?

Pembahasan

Bidang $ABGH$: $A(0,0,0)$, $B(6,0,0)$, $G(6,6,6)$, $H(0,6,6)$.

$\vec{AB}=(6,0,0)$, $\vec{AH}=(0,6,6)$. Normal $= (0,-36,36)$, arah $(0,-1,1)$. Bidang: $-y+z=0$.

$E(0,0,6)$: jarak $= \frac{|0+6|}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.

$F(6,0,6)$: jarak $= \frac{|0+6|}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$. Sama, jadi $EF \parallel$ bidang. Jarak $= 3\sqrt{2}$ cm.

4. Kubus rusuk $a$. Jarak garis $FH$ ke bidang $ABCD$?

Pembahasan

$FH$ di bidang $EFGH$, sejajar $ABCD$. Jarak $= a$.

5. Balok $AB=4, BC=3, AE=5$. Jarak garis $EG$ ke bidang $ABCD$?

Pembahasan

$EG$ di bidang atas, sejajar $ABCD$. Jarak $= AE = 5$.

✏️ Latihan Soal

Mudah

1. Kubus rusuk 7. Jarak garis $DC$ ke bidang $EFGH$?

2. Kubus rusuk 9. Jarak garis $FG$ ke bidang $ABCD$?

3. Kubus rusuk 5. Jarak garis $EH$ ke bidang $ABCD$?

4. Kubus rusuk 12. Jarak garis $AB$ ke bidang $DCGH$?

5. Kubus rusuk 6. Jarak garis $BF$ ke bidang $ADHE$?

Sedang

1. Kubus rusuk 8. Jarak garis $AC$ ke bidang $EFGH$?

2. Kubus rusuk $a$. Jarak garis $FH$ ke bidang $ABCD$?

3. Balok $AB=5, BC=3, AE=4$. Jarak garis $AB$ ke bidang $EFGH$?

4. Kubus rusuk 6. Jarak garis $BD$ ke bidang $EFGH$?

5. Kubus rusuk 10. Jarak garis $GH$ ke bidang $ABFE$?

Sulit

1. Kubus rusuk 6. Jarak garis $EF$ ke bidang $ABGH$?

2. Kubus rusuk $a$. Jarak garis $AC$ ke bidang $BFHD$?

3. Balok $AB=6, BC=4, AE=8$. Jarak garis $BD$ ke bidang $EFGH$?

4. Kubus rusuk $a$. Jarak garis $EG$ ke bidang $ABGH$?

5. Kubus rusuk 8. Jarak garis $AF$ ke bidang $DCGH$?

5. Jarak Bidang ke Bidang

Definisi: Jarak antara dua bidang sejajar $\alpha$ dan $\beta$ adalah jarak dari sembarang titik pada $\alpha$ ke bidang $\beta$.

Jika $\alpha: ax+by+cz=d_1$ dan $\beta: ax+by+cz=d_2$, maka $d = \dfrac{|d_1-d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

📝 Contoh Soal

Mudah

1. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 6 cm. Jarak bidang $ABCD$ ke bidang $EFGH$?

Pembahasan

Bidang alas dan atas, sejajar. Jarak $= 6$ cm.

2. Kubus rusuk 4 cm. Jarak bidang $ABFE$ ke bidang $DCGH$?

Pembahasan

Bidang depan dan belakang, sejajar. Jarak $= 4$ cm.

3. Kubus rusuk 5 cm. Jarak bidang $ADHE$ ke bidang $BCGF$?

Pembahasan

Bidang kiri dan kanan, sejajar. Jarak $= 5$ cm.

4. Balok $AB=6, BC=4, AE=3$. Jarak bidang $ABCD$ ke bidang $EFGH$?

Pembahasan

Jarak $= AE = 3$.

5. Balok $AB=8, BC=6, AE=5$. Jarak bidang $ABFE$ ke bidang $DCGH$?

Pembahasan

Jarak $= BC = 6$.

Sedang

1. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 6. Jarak bidang $ACGE$ ke bidang $BDHF$?

Pembahasan

$ACGE$: $A(0,0,0)$, $C(6,6,0)$, normal $(1,-1,0)$, bidang $x-y=0$.

$BDHF$: $B(6,0,0)$, bidang $x-y=6$.

Jarak $= \frac{|0-6|}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ cm.

2. Kubus rusuk 4. Jarak bidang $ABGH$ ke bidang $DCFE$?

Pembahasan

$ABGH$: $A(0,0,0),B(4,0,0),G(4,4,4),H(0,4,4)$. Normal $(0,-1,1)$, bidang $-y+z=0$.

$DCFE$: $D(0,4,0)$. $-4+0=-4$, bidang $-y+z=-4$.

Jarak $= \frac{|0-(-4)|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ cm.

3. Kubus rusuk $a$. Jarak bidang $ABGH$ ke bidang $EFCD$?

Pembahasan

Sama seperti di atas: jarak $= \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

4. Balok $AB=6, BC=4, AE=8$. Jarak bidang $ADHE$ ke bidang $BCGF$?

Pembahasan

Jarak $= AB = 6$.

5. Kubus rusuk 8 cm. Jarak bidang $ACGE$ ke bidang $BDHF$?

Pembahasan

$d = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$ cm.

Sulit

1. Diketahui bidang $\alpha: 2x+3y+6z=12$ dan $\beta: 2x+3y+6z=26$. Tentukan jaraknya.

Pembahasan

$d = \frac{|12-26|}{\sqrt{4+9+36}} = \frac{14}{7} = 2$.

2. Bidang $\alpha: x+2y-2z=5$ dan $\beta: x+2y-2z=-4$. Jarak?

Pembahasan

$d = \frac{|5-(-4)|}{\sqrt{1+4+4}} = \frac{9}{3} = 3$.

3. Bidang $\alpha: 3x-4y+12z=6$ dan $\beta: 3x-4y+12z=19$. Jarak?

Pembahasan

$d = \frac{|6-19|}{\sqrt{9+16+144}} = \frac{13}{13} = 1$.

4. Kubus rusuk $a$. Bidang melalui $A,F,$ titik tengah $CG$ sejajar dengan bidang melalui $D,E,$ titik tengah $BF$. Tentukan jarak keduanya.

Pembahasan

$A(0,0,0)$, $F(a,0,a)$, $M_{CG}=(a,a,\frac{a}{2})$.

$\vec{AF}=(a,0,a)$, $\vec{AM}=(a,a,\frac{a}{2})$. Normal $= (0-a^2, a^2-\frac{a^2}{2}, a^2) = (-a^2,\frac{a^2}{2},a^2)$, arah $(-2,1,2)$.

Bidang $\alpha$: $-2x+y+2z=0$.

$D(0,a,0)$: $-0+a+0=a$. Bidang $\beta$: $-2x+y+2z=a$.

Jarak $= \frac{|0-a|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{a}{3}$.

5. Bidang $\alpha: 6x+2y-3z=7$ dan $\beta: 6x+2y-3z=21$. Jarak?

Pembahasan

$d = \frac{|7-21|}{\sqrt{36+4+9}} = \frac{14}{7} = 2$.

✏️ Latihan Soal

Mudah

1. Kubus rusuk 11 cm. Jarak bidang $ABCD$ ke $EFGH$?

2. Kubus rusuk 7. Jarak bidang $ADHE$ ke $BCGF$?

3. Balok $AB=5, BC=3, AE=7$. Jarak bidang $ABCD$ ke $EFGH$?

4. Kubus rusuk 9. Jarak bidang $ABFE$ ke $DCGH$?

5. Balok $AB=10, BC=6, AE=4$. Jarak bidang $ABFE$ ke $DCGH$?

Sedang

1. Kubus rusuk 10. Jarak bidang $ACGE$ ke $BDHF$?

2. Kubus rusuk 6. Jarak bidang $ABGH$ ke $DCFE$?

3. Kubus rusuk $a$. Jarak bidang $ACGE$ ke $BDHF$?

4. Balok $AB=3, BC=4, AE=12$. Jarak bidang $ADHE$ ke $BCGF$?

5. Kubus rusuk 12. Jarak bidang $ABGH$ ke $EFCD$?

Sulit

1. Bidang $\alpha: 3x+4y-12z=5$ dan $\beta: 3x+4y-12z=18$. Jarak?

2. Bidang $\alpha: 2x-y+2z=3$ dan $\beta: 2x-y+2z=12$. Jarak?

3. Bidang $\alpha: x-2y+2z=1$ dan $\beta: 2x-4y+4z=8$. Jarak?

4. Kubus rusuk $a$. Bidang melalui $A,E,$ tengah $BC$ dan bidang sejajarnya melalui $G$. Jarak?

5. Bidang $\alpha: 4x+4y-2z=6$ dan $\beta: 4x+4y-2z=24$. Jarak?

6. Jarak Dua Garis Bersilangan

Definisi: Dua garis bersilangan adalah dua garis dalam ruang yang tidak sejajar dan tidak berpotongan. Jarak antara dua garis bersilangan adalah panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan keduanya, yang tegak lurus terhadap kedua garis.

$$d = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$$

$A \in g_1$, $B \in g_2$, $\vec{u}$ arah $g_1$, $\vec{v}$ arah $g_2$.

📝 Contoh Soal

Mudah

1. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 6 cm. Jarak garis $AB$ ke garis $DH$ (bersilangan)?

Pembahasan

$AB$ arah $x$, $DH$ arah $z$. $A(0,0,0)$, $D(0,6,0)$.

$\vec{u}=(1,0,0)$, $\vec{v}=(0,0,1)$. $\vec{u}\times\vec{v}=(0,-1,0)$.

$\vec{AD}=(0,6,0)$. $|\vec{AD}\cdot(0,-1,0)| = |-6| = 6$. $|\vec{u}\times\vec{v}|=1$.

Jarak $= 6$ cm.

2. Kubus rusuk 4 cm. Jarak garis $AB$ ke garis $CG$?

Pembahasan

$AB$ arah $x$, $CG$ arah $z$. $\vec{u}=(1,0,0)$, $\vec{v}=(0,0,1)$, $\vec{u}\times\vec{v}=(0,-1,0)$.

$\vec{AC}=(4,4,0)$. $|\vec{AC}\cdot(0,-1,0)| = 4$. Jarak $= 4$ cm.

3. Kubus rusuk 5 cm. Jarak garis $EF$ ke garis $AD$?

Pembahasan

$EF$ arah $x$ di atas, $AD$ arah $y$ di bawah. Bersilangan.

$\vec{u}=(1,0,0)$, $\vec{v}=(0,1,0)$. $\vec{u}\times\vec{v}=(0,0,1)$.

$\vec{EA}=(0,0,-5)$. $|\vec{EA}\cdot(0,0,1)| = 5$. Jarak $= 5$ cm.

4. Kubus rusuk 8 cm. Jarak garis $AB$ ke garis $EH$?

Pembahasan

$AB$ arah $x$, $EH$ arah $y$. $\vec{u}\times\vec{v}=(0,0,-1)$.

$\vec{AE}=(0,0,8)$. $|8\cdot(-1)| = 8$. Jarak $= 8$ cm.

5. Kubus rusuk 10 cm. Jarak garis $BC$ ke garis $EH$?

Pembahasan

$BC$ arah $y$: $B(10,0,0)\to C(10,10,0)$. $EH$ arah $y$: $E(0,0,10)\to H(0,10,10)$. Sejajar! Bukan bersilangan.

Jarak garis sejajar: jarak $B$ ke garis $EH$. $\vec{BE}=(-10,0,10)$. Komponen tegak lurus arah $y$: $(-10,0,10)$. Panjang $= 10\sqrt{2}$ cm.

Sedang

1. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 6 cm. Jarak garis $AG$ ke garis $BH$?

Pembahasan

$A(0,0,0)$, $G(6,6,6)$, $B(6,0,0)$, $H(0,6,6)$.

$\vec{u}=\vec{AG}=(6,6,6)$, $\vec{v}=\vec{BH}=(-6,6,6)$.

$\vec{u}\times\vec{v} = (36-36, -36+36, 36+36) = (0, 0, 72)$. Arah $(0,0,1)$.

$\vec{AB}=(6,0,0)$. $\vec{AB}\cdot(0,0,72) = 0$.

Jarak $= 0$? Ini berarti garis berpotongan, bukan bersilangan. Cek: parameterisasi dan cari perpotongan…

$A+t(6,6,6) = B+s(-6,6,6)$: $6t=6-6s, 6t=6s, 6t=6s$. Dari baris 2: $t=s$. Baris 1: $6t=6-6t$, $12t=6$, $t=\frac{1}{2}$. Titik potong: $(3,3,3)$, pusat kubus. Memang berpotongan!

Jadi jarak $= 0$.

2. Kubus rusuk 6 cm. Jarak garis $AH$ ke garis $BG$?

Pembahasan

$A(0,0,0)$, $H(0,6,6)$. $\vec{u}=(0,6,6)$.

$B(6,0,0)$, $G(6,6,6)$. $\vec{v}=(0,6,6)$.

$\vec{u} \parallel \vec{v}$! Garis sejajar, bukan bersilangan. Jarak $= $ jarak $A$ ke garis $BG = 6$ cm (dari contoh sebelumnya).

3. Kubus rusuk 6 cm. Jarak garis $AF$ ke garis $DG$?

Pembahasan

$A(0,0,0)$, $F(6,0,6)$. $\vec{u}=(6,0,6)$. $D(0,6,0)$, $G(6,6,6)$. $\vec{v}=(6,0,6)$. Sejajar lagi!

Jarak $= $ jarak $A$ ke garis $DG$. $\vec{DA}=(0,-6,0)$, $\vec{DG}=(6,0,6)$.

$\vec{DA}\times\vec{DG} = (-36, 0, 36)$. $|\cdot| = 36\sqrt{2}$. $|\vec{DG}|=6\sqrt{2}$.

Jarak $= \frac{36\sqrt{2}}{6\sqrt{2}} = 6$ cm.

4. Kubus rusuk 4 cm. Jarak garis $AB$ ke garis $GH$?

Pembahasan

$AB$: arah $(1,0,0)$, $GH$: $G(4,4,4)\to H(0,4,4)$, arah $(-1,0,0)$. Sejajar (arah berlawanan).

Jarak $= $ jarak $A(0,0,0)$ ke garis $GH$. Komponen tegak lurus: $(0,4,4)$. Jarak $= \sqrt{16+16} = 4\sqrt{2}$ cm.

5. Kubus rusuk 6 cm. Jarak garis $AE$ ke garis $FD$?

Pembahasan

$A(0,0,0)$, $E(0,0,6)$: $\vec{u}=(0,0,6)$. $F(6,0,6)$, $D(0,6,0)$: $\vec{v}=(-6,6,-6)$.

$\vec{u}\times\vec{v} = (0\cdot(-6)-6\cdot6, 6\cdot(-6)-0\cdot(-6), 0\cdot6-0\cdot(-6)) = (-36,-36,0)$, arah $(1,1,0)$.

$\vec{AF}=(6,0,6)$. $\vec{AF}\cdot(-36,-36,0) = -216$. $|\vec{u}\times\vec{v}| = 36\sqrt{2}$.

Jarak $= \frac{216}{36\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ cm.

Sulit

1. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk $a$. Jarak garis $AF$ ke garis $CH$?

Pembahasan

$A(0,0,0)$, $F(a,0,a)$: $\vec{u}=(a,0,a)$. $C(a,a,0)$, $H(0,a,a)$: $\vec{v}=(-a,0,a)$.

$\vec{u}\times\vec{v} = (0-0, -a^2-a^2, 0-0)^*$. Hitung:

$= (0\cdot a – a\cdot 0, a\cdot(-a) – a\cdot a, a\cdot 0 – 0\cdot(-a)) = (0, -2a^2, 0)$.

$\vec{AC}=(a,a,0)$. $\vec{AC}\cdot(0,-2a^2,0) = -2a^3$.

Jarak $= \frac{2a^3}{2a^2} = a$.

2. Kubus rusuk $a$. Jarak garis $BH$ ke garis $DF$?

Pembahasan

$B(a,0,0)$, $H(0,a,a)$: $\vec{u}=(-a,a,a)$. $D(0,a,0)$, $F(a,0,a)$: $\vec{v}=(a,-a,a)$.

$\vec{u}\times\vec{v} = (a^2+a^2, a^2+a^2, a^2-a^2) = (2a^2, 2a^2, 0)$. Arah $(1,1,0)$.

$\vec{BD}=(-a,a,0)$. $\vec{BD}\cdot(2a^2,2a^2,0) = -2a^3+2a^3 = 0$.

Jarak $= 0$. Garis berpotongan!

3. Balok $AB=4, BC=3, AE=6$. Jarak garis $AG$ ke garis $CE$?

Pembahasan

$A(0,0,0)$, $G(4,3,6)$: $\vec{u}=(4,3,6)$. $C(4,3,0)$, $E(0,0,6)$: $\vec{v}=(-4,-3,6)$.

$\vec{u}\times\vec{v} = (18+18, -24-24, -12+12) = (36, -48, 0)$. Arah $(3,-4,0)$.

$\vec{AC}=(4,3,0)$. $\vec{AC}\cdot(36,-48,0) = 144-144 = 0$.

Jarak $= 0$. Berpotongan!

4. Kubus rusuk $a$. $M$ tengah $AB$, $N$ tengah $GH$. Jarak garis $MN$ ke garis $DF$?

Pembahasan

$M=(\frac{a}{2},0,0)$, $N=(\frac{a}{2},a,a)$. $\vec{MN}=(0,a,a)$.

$D(0,a,0)$, $F(a,0,a)$: $\vec{DF}=(a,-a,a)$.

$\vec{MN}\times\vec{DF} = (a^2+a^2, a^2-0, 0-a^2) = (2a^2, a^2, -a^2)$.

$\vec{MD}=(-\frac{a}{2},a,0)$. $\vec{MD}\cdot(2a^2,a^2,-a^2) = -a^3+a^3+0 = 0$.

Jarak $= 0$. Berpotongan!

5. Kubus rusuk 6. Jarak garis $AE$ ke garis $FD$? (verifikasi ulang)

Pembahasan

Dari contoh sedang no.5: $\vec{u}=(0,0,6)$, $\vec{v}=(-6,6,-6)$.

$\vec{u}\times\vec{v}=(-36,-36,0)$.

$\vec{AF}=(6,0,6)$. $|\vec{AF}\cdot(-36,-36,0)| = |-216| = 216$. $|(-36,-36,0)|=36\sqrt{2}$.

Jarak $= \frac{216}{36\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ cm. ✓

✏️ Latihan Soal

Mudah

1. Kubus rusuk 5. Jarak garis $AB$ ke garis $DH$?

2. Kubus rusuk 7. Jarak garis $EF$ ke garis $AD$?

3. Kubus rusuk 4. Jarak garis $BC$ ke garis $AE$?

4. Kubus rusuk 9. Jarak garis $AB$ ke garis $CG$?

5. Kubus rusuk 6. Jarak garis $GH$ ke garis $AE$?

Sedang

1. Kubus rusuk 6. Jarak garis $AF$ ke garis $DG$?

2. Kubus rusuk 8. Jarak garis $AE$ ke garis $BD$?

3. Kubus rusuk 4. Jarak garis $AB$ ke garis $HG$?

4. Kubus rusuk 10. Jarak garis $EF$ ke garis $DH$?

5. Kubus rusuk 6. Jarak garis $AE$ ke garis $FD$?

Sulit

1. Kubus rusuk $a$. Jarak garis $AF$ ke garis $CH$?

2. Balok $AB=3, BC=4, AE=5$. Jarak garis $AH$ ke garis $BG$?

3. Kubus rusuk $a$. $M$ tengah $EF$, $N$ tengah $DH$. Jarak garis $AN$ ke garis $BM$?

4. Kubus rusuk 6. Jarak garis $AG$ ke garis $DF$?

5. Balok $AB=6, BC=4, AE=3$. Jarak garis $AF$ ke garis $CH$?

⬆ Kembali ke Atas

Besar Sudut antara Dua Garis dan Bidang

Matematika — Geometri Dimensi Tiga

A. Sudut antara Dua Buah Garis

Definisi: Sudut antara dua garis adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan atau dua garis yang sejajar ditranslasikan hingga berpotongan.

📐 Rumus Utama

Jika dua garis memiliki vektor arah a dan b, maka sudut α antara kedua garis:

cos α = | a \cdot b | | a | \cdot | b |

Dengan a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ (dot product).

📌 Catatan Penting

Sudut antara dua garis selalu bernilai 0° ≤ α ≤ 90°
Jika α = 0°, kedua garis sejajar
Jika α = 90°, kedua garis saling tegak lurus
Untuk garis bersilangan, tarik salah satu garis sejajar hingga berpotongan

Gambar: Sudut α antara garis g₁ dan g₂

📏 Pada Kubus ABCD.EFGH sisi a

Beberapa sudut yang sering muncul:

Dua Garis	Sudut
AB dan EF (sejajar)	0°
AB dan AE (tegak lurus)	90°
AG dan BH (diagonal ruang)	arccos(⅓) ≈ 70,53°
AB dan AF (rusuk & diagonal sisi)	45°
AF dan HB (diagonal sisi bersilangan)	60°

Contoh Soal — Sudut antara Dua Garis

MUDAH

1. Kubus ABCD.EFGH memiliki sisi a. Tentukan sudut antara garis AB dan garis BC.

▶ Pembahasan

AB dan BC adalah dua rusuk kubus yang bertemu di titik B.

Karena kubus memiliki sudut siku-siku pada setiap sisi, maka sudut antara AB dan BC = 90°.

2. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis AB dan garis EF.

▶ Pembahasan

AB ∥ EF (rusuk-rusuk yang bersesuaian pada sisi atas dan bawah).

Sudut antara dua garis sejajar = 0°.

3. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis AB dan garis AE.

▶ Pembahasan

AB adalah rusuk alas horizontal. AE adalah rusuk tegak vertikal. Keduanya bertemu di A.

Sudut antara rusuk horizontal dan vertikal kubus = 90°.

4. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis AD dan garis BC.

▶ Pembahasan

AD ∥ BC (sisi-sisi berlawanan pada persegi ABCD).

Sudut antara dua garis sejajar = 0°.

5. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis AE dan garis CG.

▶ Pembahasan

AE dan CG keduanya rusuk tegak → keduanya sejajar (vertikal).

Sudut antara dua garis sejajar = 0°.

SEDANG

1. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis AB dan diagonal sisi AF.

▶ Pembahasan

Misalkan A(0,0,0), B(a,0,0), F(a,0,a).

Vektor AB = (a, 0, 0), vektor AF = (a, 0, a).

cos α = |a·a + 0 + 0|a · a√2 = a²a²√2 = 1√2

α = 45°

2. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara diagonal sisi AC dan diagonal sisi AF.

▶ Pembahasan

A(0,0,0), C(a,a,0), F(a,0,a).

AC = (a, a, 0), AF = (a, 0, a).

AC · AF = a² + 0 + 0 = a².

|AC| = a√2, |AF| = a√2.

cos α = a²a√2 · a√2 = a²2a² = 12

α = 60°

3. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis AF dan garis HB.

▶ Pembahasan

A(0,0,0), F(a,0,a), H(0,a,a), B(a,0,0).

AF = (a, 0, a), HB = (a, −a, −a).

AF · HB = a² + 0 − a² = 0.

cos α = 0 → α = 90°. Kedua garis saling tegak lurus.

4. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis BE dan garis DF.

▶ Pembahasan

B(a,0,0), E(0,0,a), D(0,a,0), F(a,0,a).

BE = (−a, 0, a), DF = (a, −a, a).

BE · DF = −a² + 0 + a² = 0.

cos α = 0 → α = 90°.

5. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara diagonal sisi BG dan diagonal sisi CE.

▶ Pembahasan

B(a,0,0), G(a,a,a), C(a,a,0), E(0,0,a).

BG = (0, a, a), CE = (−a, −a, a).

BG · CE = 0 − a² + a² = 0.

cos α = 0 → α = 90°.

SULIT

1. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara diagonal ruang AG dan diagonal ruang BH.

▶ Pembahasan

A(0,0,0), G(a,a,a), B(a,0,0), H(0,a,a).

AG = (a, a, a), BH = (−a, a, a).

AG · BH = −a² + a² + a² = a².

|AG| = a√3, |BH| = a√3.

cos α = a²a√3 · a√3 = 13

α = arccos(⅓) ≈ 70,53°

2. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara diagonal ruang AG dan diagonal sisi AF.

▶ Pembahasan

AG = (a, a, a), AF = (a, 0, a).

AG · AF = a² + 0 + a² = 2a².

|AG| = a√3, |AF| = a√2.

cos α = 2a²a√3 · a√2 = 2√6

α = arccos(2/√6) ≈ 35,26°

3. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara diagonal ruang CE dan diagonal sisi BG.

▶ Pembahasan

C(a,a,0), E(0,0,a) → CE = (−a, −a, a).

B(a,0,0), G(a,a,a) → BG = (0, a, a).

CE · BG = 0 − a² + a² = 0.

cos α = 0 → α = 90°.

4. Kubus ABCD.EFGH sisi a. M adalah titik tengah EF. Tentukan sudut antara garis AM dan garis HB.

▶ Pembahasan

A(0,0,0), M(a/2, 0, a) titik tengah EF, H(0,a,a), B(a,0,0).

AM = (a/2, 0, a), HB = (a, −a, −a).

AM · HB = a²/2 + 0 − a² = −a²/2.

|AM| = √(a²/4 + a²) = √(5a²/4) = a√5/2.

|HB| = a√3.

cos α = |−a²/2|(a√5/2)(a√3) = a²/2a²√15/2 = 1√15

α = arccos(1/√15) ≈ 75,04°

5. Kubus ABCD.EFGH sisi a. P titik tengah AB, Q titik tengah GH. Tentukan sudut antara garis PQ dan diagonal ruang AG.

▶ Pembahasan

P(a/2, 0, 0), Q(a/2, a, a) → PQ = (0, a, a).

AG = (a, a, a).

PQ · AG = 0 + a² + a² = 2a².

|PQ| = a√2, |AG| = a√3.

cos α = 2a²a√2 · a√3 = 2√6

α = arccos(2/√6) ≈ 35,26°

Latihan Soal — Sudut antara Dua Garis

MUDAH

1. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis AB dan DC.

2. Tentukan sudut antara garis AE dan BF pada kubus ABCD.EFGH.

3. Tentukan sudut antara garis AB dan garis AD pada kubus ABCD.EFGH.

4. Tentukan sudut antara garis EF dan garis HG pada kubus ABCD.EFGH.

5. Tentukan sudut antara garis AE dan garis DH pada kubus ABCD.EFGH.

SEDANG

1. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis AC dan garis EG.

2. Tentukan sudut antara garis BD dan garis AE.

3. Tentukan sudut antara garis AH dan garis BF.

4. Tentukan sudut antara diagonal sisi AC dan rusuk AE.

5. Tentukan sudut antara garis DE dan garis BG.

SULIT

1. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara diagonal ruang DF dan diagonal ruang AG.

2. M titik tengah BC. Tentukan sudut antara garis AM dan diagonal ruang BH.

3. P titik tengah AE, Q titik tengah CG. Tentukan sudut antara PQ dan garis BD.

4. Tentukan sudut antara garis EM dan garis FN, di mana M titik tengah AD dan N titik tengah BC.

5. R titik tengah EH, S titik tengah FG. Tentukan sudut antara garis AR dan garis BS.

B. Sudut antara Garis dan Bidang yang Berpotongan

Definisi: Sudut antara garis g dan bidang α adalah sudut antara garis g dan proyeksinya pada bidang α.

📐 Cara Menentukan

Tentukan titik potong garis dengan bidang
Buat garis tegak lurus dari suatu titik pada garis ke bidang (proyeksi ortogonal)
Hubungkan kaki garis tegak lurus dengan titik potong → itulah proyeksi garis pada bidang
Sudut antara garis asli dan proyeksinya = sudut yang dicari

📐 Rumus dengan Vektor

Jika garis memiliki vektor arah d dan bidang memiliki vektor normal n:

sin θ = | d \cdot n | | d | \cdot | n |

Gambar: Sudut θ antara garis g dan bidang α

📌 Catatan Penting

Sudut antara garis dan bidang selalu 0° ≤ θ ≤ 90°
Jika θ = 0°, garis sejajar atau terletak pada bidang
Jika θ = 90°, garis tegak lurus bidang

Contoh Soal — Sudut antara Garis dan Bidang

MUDAH

1. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis AE dan bidang ABCD.

▶ Pembahasan

AE adalah rusuk tegak, ABCD adalah bidang alas.

AE tegak lurus bidang ABCD, maka θ = 90°.

2. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis AB dan bidang ABCD.

▶ Pembahasan

AB terletak pada bidang ABCD.

Sudut antara garis yang terletak pada bidang dengan bidangnya = 0°.

3. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis EF dan bidang ABCD.

▶ Pembahasan

EF sejajar AB, dan AB ⊂ ABCD. Maka EF sejajar bidang ABCD.

θ = 0°.

4. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis BF dan bidang ABCD.

▶ Pembahasan

BF adalah rusuk tegak (sejajar AE). BF ⊥ ABCD.

θ = 90°.

5. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis DH dan bidang ABFE.

▶ Pembahasan

DH adalah rusuk tegak sejajar AE. Bidang ABFE mengandung AE yang sejajar DH.

DH sejajar bidang ABFE → θ = 0°.

SEDANG

1. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara diagonal sisi AF dan bidang ABCD.

▶ Pembahasan

A(0,0,0), F(a,0,a). Proyeksi F ke ABCD → F'(a,0,0) = B.

Proyeksi AF pada ABCD = AB.

tan θ = BFAB = aa = 1

θ = 45°

2. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara diagonal sisi AG (bidang ABGH) dan bidang ABCD.

▶ Pembahasan

Perhatian: AG di sini bukan diagonal ruang, melainkan diagonal sisi ABGH. A(0,0,0), G(a,a,a) → ini diagonal ruang.

Jika yang dimaksud diagonal sisi bidang ABGH, maka garis AH. A(0,0,0), H(0,a,a).

Proyeksi H ke ABCD → H'(0,a,0) = D.

Proyeksi AH pada ABCD = AD.

tan θ = DHAD = aa = 1 → θ = 45°

3. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis AG (diagonal ruang) dan bidang ABCD.

▶ Pembahasan

A(0,0,0), G(a,a,a). Proyeksi G ke ABCD → G'(a,a,0) = C.

Proyeksi AG pada ABCD = AC.

AC = a√2, GG’ = a.

tan θ = aa√2 = 1√2

θ = arctan(1/√2) ≈ 35,26°

4. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis BG dan bidang ABCD.

▶ Pembahasan

B(a,0,0), G(a,a,a). Proyeksi G ke ABCD → C(a,a,0).

Proyeksi BG ke ABCD = BC. BC = a, CG = a.

tan θ = aa = 1 → θ = 45°

5. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis CE dan bidang ABCD.

▶ Pembahasan

C(a,a,0), E(0,0,a). Proyeksi E ke ABCD → E'(0,0,0) = A.

Proyeksi CE pada ABCD = CA. CA = a√2, AE vertical = a.

tan θ = aa√2 = 1√2

θ = arctan(1/√2) ≈ 35,26°

SULIT

1. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara diagonal ruang AG dan bidang ABFE.

▶ Pembahasan

Bidang ABFE: normal n⃗ = (0,1,0) (tegak lurus ke arah y).

AG = (a, a, a).

sin θ = |AG · n⃗||AG| · |n⃗| = aa√3 = 1√3

θ = arcsin(1/√3) ≈ 35,26°

2. Kubus ABCD.EFGH sisi a. M titik tengah EF. Tentukan sudut antara garis AM dan bidang ABCD.

▶ Pembahasan

A(0,0,0), M(a/2, 0, a).

Proyeksi M ke ABCD → M'(a/2, 0, 0).

AM’ = a/2 (horizontal), MM’ = a (vertikal).

tan θ = aa/2 = 2

θ = arctan(2) ≈ 63,43°

3. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara diagonal ruang BH dan bidang BCHE.

▶ Pembahasan

B(a,0,0), H(0,a,a). Bidang BCHE titik: B(a,0,0), C(a,a,0), H(0,a,a), E(0,0,a).

Vektor BC = (0,a,0), BE = (−a,0,a).

Normal n⃗ = BC × BE = (a², 0, 0) + … → n⃗ = (a², a², a²) → disederhanakan (1,1,1).

Hmm, mari hitung: BC × BE = |i j k; 0 a 0; −a 0 a| = (a·a − 0, 0·(−a) − 0·a, 0 − a·(−a)) = (a², 0, a²).

n⃗ = (a², 0, a²) → (1, 0, 1).

BH = (−a, a, a).

sin θ = |BH · n⃗||BH| · |n⃗| = |−a + 0 + a|a√3 · √2 = 0a√6 = 0

θ = 0°? Artinya BH terletak pada bidang BCHE. Cek: B ∈ BCHE ✓, H ∈ BCHE ✓. Memang BH adalah diagonal bidang BCHE.

θ = 0° (garis terletak pada bidang).

4. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara diagonal ruang AG dan bidang BDHF.

▶ Pembahasan

Bidang BDHF: B(a,0,0), D(0,a,0), H(0,a,a), F(a,0,a).

BD = (−a,a,0), BF = (0,0,a).

Normal n⃗ = BD × BF = (a, 0, 0) + … = |i j k; −a a 0; 0 0 a| = (a·a, 0·0 − (−a)·a, 0) = (a, a, 0) → (1,1,0).

AG = (a, a, a).

sin θ = |a + a + 0|a√3 · √2 = 2aa√6 = 2√6

θ = arcsin(2/√6) ≈ 54,74°

5. Limas beraturan T.ABCD dengan alas persegi sisi 6 cm dan tinggi limas 4 cm. Tentukan sudut antara rusuk TA dan bidang alas ABCD.

▶ Pembahasan

Alas persegi ABCD sisi 6. Pusat alas O = (3, 3, 0). T = (3, 3, 4).

A = (0, 0, 0). Proyeksi T ke ABCD → O(3, 3, 0).

Proyeksi TA pada ABCD = AO.

AO = √(9 + 9) = 3√2.

OT = 4 (tinggi).

tan θ = 43√2 = 4√26 = 2√23

θ = arctan(2√2/3) ≈ 43,31°

Latihan Soal — Sudut antara Garis dan Bidang

MUDAH

1. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis CG dan bidang ABCD.

2. Tentukan sudut antara garis AB dan bidang EFGH.

3. Tentukan sudut antara garis DH dan bidang DCGH.

4. Tentukan sudut antara garis BC dan bidang BCGF.

5. Tentukan sudut antara garis GH dan bidang ABCD.

SEDANG

1. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis AH dan bidang ABCD.

2. Tentukan sudut antara diagonal sisi BG dan bidang BCGF.

3. Tentukan sudut antara garis DF (diagonal ruang) dan bidang ABCD.

4. Tentukan sudut antara garis BE dan bidang ABCD.

5. Tentukan sudut antara garis CH dan bidang EFGH.

SULIT

1. Kubus ABCD.EFGH sisi a. P titik tengah AB. Tentukan sudut antara garis PG dan bidang ABCD.

2. Tentukan sudut antara diagonal ruang CE dan bidang ADHE.

3. Limas T.ABC alas segitiga sama sisi sisi 8 cm, tinggi limas 6 cm. Tentukan sudut antara rusuk TA dan bidang alas.

4. Kubus ABCD.EFGH sisi a. M titik tengah FG. Tentukan sudut antara garis DM dan bidang ABCD.

5. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis AG dan bidang ACGE.

C. Sudut antara Dua Bidang yang Berpotongan

Definisi: Sudut antara dua bidang (sudut dihedral) adalah sudut antara dua garis, masing-masing terletak pada salah satu bidang, yang keduanya tegak lurus terhadap garis potong kedua bidang tersebut dan melalui satu titik pada garis potong.

📐 Cara Menentukan

Tentukan garis potong kedua bidang
Ambil satu titik pada garis potong
Dari titik itu, buat garis tegak lurus terhadap garis potong pada masing-masing bidang
Sudut antara kedua garis tersebut = sudut dihedral

📐 Rumus dengan Vektor Normal

Jika dua bidang memiliki vektor normal n₁ dan n₂:

cos θ = | n₁ \cdot n₂ | | n₁ | \cdot | n₂ |

Gambar: Sudut dihedral θ antara bidang α dan β

📌 Catatan Penting

Sudut antara dua bidang selalu 0° ≤ θ ≤ 90° (diambil sudut terkecil)
Jika θ = 0°, kedua bidang sejajar atau berimpit
Jika θ = 90°, kedua bidang saling tegak lurus

📏 Contoh pada Kubus ABCD.EFGH

Dua Bidang	Sudut
ABCD dan EFGH	0°
ABCD dan ABFE	90°
ABCD dan ACGE (diagonal)	45°

Contoh Soal — Sudut antara Dua Bidang

MUDAH

1. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara bidang ABCD dan bidang EFGH.

▶ Pembahasan

ABCD dan EFGH adalah bidang atas dan bawah kubus → sejajar.

θ = 0°.

2. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara bidang ABCD dan bidang ABFE.

▶ Pembahasan

Garis potong: AB. Pada ABCD, garis tegak lurus AB → misalnya BC (dari B). Pada ABFE, tegak lurus AB → BF (dari B).

Sudut antara BC dan BF = 90° (rusuk kubus).

θ = 90°.

3. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara bidang ABFE dan bidang DCGH.

▶ Pembahasan

ABFE dan DCGH adalah sisi depan dan belakang kubus → sejajar.

θ = 0°.

4. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara bidang ABCD dan bidang BCGF.

▶ Pembahasan

Garis potong: BC. Pada ABCD, tegak lurus BC dari B → BA. Pada BCGF, tegak lurus BC dari B → BF.

Sudut antara BA dan BF = 90°.

θ = 90°.

5. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara bidang ADHE dan bidang BCGF.

▶ Pembahasan

ADHE dan BCGF adalah sisi kiri dan kanan kubus → sejajar.

θ = 0°.

SEDANG

1. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara bidang ABCD dan bidang BDE.

▶ Pembahasan

B(a,0,0), D(0,a,0), E(0,0,a).

Garis potong bidang BDE dengan ABCD: melalui B dan D → garis BD.

Titik tengah BD = M(a/2, a/2, 0). ME pada bidang BDE.

ME = E − M = (−a/2, −a/2, a). Proyeksi tegak lurus dari M ke BD pada ABCD: BD = (−a, a, 0). Komponen tegak lurus pada ABCD dari M arah ke O(0,0,0): arah (−1,−1,0)/√2. MO component = a/2 + a/2 = …

Alternatif: gunakan vektor normal.

n₁ ABCD = (0,0,1). Bidang BDE: BD = (−a,a,0), BE = (−a,0,a).

n₂ = BD × BE = |i j k; −a a 0; −a 0 a| = (a², a², a²) → (1,1,1).

cos θ = |(0,0,1)·(1,1,1)|1 · √3 = 1√3

θ = arccos(1/√3) ≈ 54,74°

2. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara bidang ABCD dan bidang AFH.

▶ Pembahasan

A(0,0,0), F(a,0,a), H(0,a,a).

AF = (a,0,a), AH = (0,a,a).

n₂ = AF × AH = |i j k; a 0 a; 0 a a| = (0−a, 0−a², a−0) = (−a, −a, a) → (1,1,−1) (setelah dikali −1).

n₁ ABCD = (0,0,1).

cos θ = |(0,0,1)·(1,1,−1)|1 · √3 = 1√3

θ = arccos(1/√3) ≈ 54,74°

3. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara bidang ABCD dan bidang ACGE.

▶ Pembahasan

Bidang ACGE melalui A(0,0,0), C(a,a,0), G(a,a,a), E(0,0,a).

AC = (a,a,0), AE = (0,0,a).

n₂ = AC × AE = (a,−a,0) → perlu hitung: = |i j k; a a 0; 0 0 a| = (a·a, 0−a·a, 0) = (a, −a, 0).

n₁ ABCD = (0,0,1).

cos θ = |(0,0,1)·(a,−a,0)|1 · a√2 = 0a√2 = 0

θ = 90°. Bidang ACGE tegak lurus bidang ABCD.

4. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara bidang ABCD dan bidang BDHF.

▶ Pembahasan

Bidang BDHF: B(a,0,0), D(0,a,0), H(0,a,a), F(a,0,a).

BD = (−a,a,0), BF = (0,0,a).

n₂ = BD × BF = (a, 0, 0) + … = |i j k; −a a 0; 0 0 a| = (a, a, 0).

n₁ = (0,0,1).

cos θ = |0|a√2 = 0 → θ = 90°.

5. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara bidang ABFE dan bidang ACGE.

▶ Pembahasan

n₁ (ABFE): AB = (a,0,0), AE = (0,0,a). n₁ = AB × AE = (0,−a,0) → (0,−1,0) → |n₁| = (0,1,0).

n₂ (ACGE): dari soal sebelumnya n₂ = (a,−a,0) → (1,−1,0).

cos θ = |(0)(1) + (1)(−1) + 0|1 · √2 = 1√2

θ = 45°.

SULIT

1. Limas beraturan T.ABCD alas persegi sisi 6 cm, tinggi 4 cm. Tentukan sudut antara bidang TAB dan bidang alas ABCD.

▶ Pembahasan

Alas ABCD persegi sisi 6. A(0,0,0), B(6,0,0), C(6,6,0), D(0,6,0). Pusat O(3,3,0), T(3,3,4).

Garis potong bidang TAB dengan ABCD = AB.

Titik tengah AB = M(3,0,0). Pada ABCD, tegak lurus AB dari M → arah (0,1,0), yaitu MD'(3,3,0) = menuju O, jarak MO’ = 3.

Pada bidang TAB, tegak lurus AB dari M → arah menuju T, komponen: MT = T − M = (0,3,4). Proyeksi pada bidang perpendicular: MT sudah tegak lurus AB ✓.

Pada ABCD dari M tegak lurus AB: vektor (0,1,0).

Pada TAB dari M tegak lurus AB: vektor MT = (0,3,4), |MT| = 5.

cos θ = (0)(0)+(1)(3)+(0)(4)1 · 5 = 35

θ = arccos(3/5) ≈ 53,13°

2. Limas beraturan T.ABCD alas persegi sisi 6 cm, tinggi 4 cm. Tentukan sudut antara bidang TAD dan bidang TBC.

▶ Pembahasan

A(0,0,0), B(6,0,0), C(6,6,0), D(0,6,0), T(3,3,4).

Bidang TAD: TA = (−3,−3,−4), TD = (−3,3,−4), AD = (0,6,0).

n₁ = TA × TD = |i j k; −3 −3 −4; −3 3 −4| = (12+12, 12−12, −9−9) = (24, 0, −18) → (4, 0, −3).

Bidang TBC: TB = (3,−3,−4), TC = (3,3,−4), BC = (0,6,0).

n₂ = TB × TC = |i j k; 3 −3 −4; 3 3 −4| = (12+12, −12+12, 9+9) = (24, 0, 18) → (4, 0, 3).

cos θ = |16 + 0 − 9|5 · 5 = 725

θ = arccos(7/25) ≈ 73,74°

3. Kubus ABCD.EFGH sisi a. M titik tengah AB. Tentukan sudut antara bidang ABCD dan bidang MEG.

▶ Pembahasan

M(a/2,0,0), E(0,0,a), G(a,a,a).

ME = (−a/2, 0, a), MG = (a/2, a, a).

n₂ = ME × MG = |i j k; −a/2 0 a; a/2 a a| = (0−a², a·a/2−(−a²/2), −a²/2−0) = (−a, a, −a/2) → (−2, 2, −1) dikali 2.

n₁ ABCD = (0,0,1). |n₂| = √(4+4+1) = 3.

cos θ = |0+0−1|1 · 3 = 13

θ = arccos(1/3) ≈ 70,53°

4. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara bidang BDG dan bidang BDF.

▶ Pembahasan

B(a,0,0), D(0,a,0), G(a,a,a), F(a,0,a).

BD = (−a,a,0). BG = (0,a,a). BF = (0,0,a).

n₁ (BDG) = BD × BG = |i j k; −a a 0; 0 a a| = (a, 0+a, −a) = (a, a, −a) → (1,1,−1).

n₂ (BDF) = BD × BF = |i j k; −a a 0; 0 0 a| = (a, 0+a, 0) = (a, a, 0) → (1,1,0).

cos θ = |1+1+0|√3 · √2 = 2√6

θ = arccos(2/√6) ≈ 35,26°

5. Limas beraturan T.ABC alas segitiga sama sisi sisi 6 cm, tinggi limas 3√2 cm. Tentukan sudut antara bidang TAB dan bidang TAC.

▶ Pembahasan

A(0,0,0), B(6,0,0), C(3, 3√3, 0). Pusat O(3, √3, 0). T(3, √3, 3√2).

Bidang TAB: TA = (−3, −√3, −3√2), AB = (6,0,0).

n₁ = TA × AB = |i j k; −3 −√3 −3√2; 6 0 0| = (0+0, −18√2+0, 0+6√3) = (0, −18√2, 6√3).

Bidang TAC: TA = (−3, −√3, −3√2), AC = (3, 3√3, 0).

n₂ = TA × AC = |i j k; −3 −√3 −3√2; 3 3√3 0| = (0+9√6, −9√2+0, −9√3+3√3) = (9√6, −9√2, −6√3).

n₁ · n₂ = 0 + 18√2·9√2 + 6√3·(−6√3) = 0 + 324 − 108 = 216. Hmm recalculate…

n₁ = (0, −18√2, 6√3). n₂ = (9√6, −9√2, −6√3).

n₁·n₂ = 0 + (−18√2)(−9√2) + (6√3)(−6√3) = 324 − 108 = 216.

|n₁| = √(0 + 648 + 108) = √756 = 6√21.

|n₂| = √(486 + 162 + 108) = √756 = 6√21.

cos θ = 216756 = 27

θ = arccos(2/7) ≈ 73,40°

Latihan Soal — Sudut antara Dua Bidang

MUDAH

1. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara bidang ABCD dan bidang DCGH.

2. Tentukan sudut antara bidang EFGH dan bidang ABFE.

3. Tentukan sudut antara bidang ABFE dan bidang BCGF.

4. Tentukan sudut antara bidang ADHE dan bidang ABFE.

5. Tentukan sudut antara bidang ABCD dan bidang ADHE.

SEDANG

1. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara bidang ABCD dan bidang ABG.

2. Tentukan sudut antara bidang ABCD dan bidang ACF.

3. Tentukan sudut antara bidang ABFE dan bidang BEG.

4. Tentukan sudut antara bidang BDHF dan bidang ABFE.

5. Tentukan sudut antara bidang ACGE dan bidang BDHF.

SULIT

1. Limas beraturan T.ABCD alas persegi sisi 8 cm, tinggi 6 cm. Tentukan sudut antara bidang TAB dan bidang ABCD.

2. Kubus ABCD.EFGH sisi a. P titik tengah AE. Tentukan sudut antara bidang ABCD dan bidang BPD.

3. Limas T.ABC alas segitiga sama sisi sisi 10 cm, tinggi 8 cm. Tentukan sudut antara bidang TAB dan bidang alas ABC.

4. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara bidang AFH dan bidang BEG.

5. Kubus ABCD.EFGH sisi a. M titik tengah CG, N titik tengah AE. Tentukan sudut antara bidang MNB dan bidang ABCD.

📚 Selamat Belajar! Semoga sukses dalam memahami Geometri Dimensi Tiga.