Persamaan Kuadrat
Materi lengkap: Pemfaktoran, Melengkapkan Kuadrat Sempurna, dan Rumus Kuadrat
Pendahuluan
Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berderajat dua dengan bentuk umum:
dengan \(a\), \(b\), \(c\) adalah konstanta real. Nilai \(x\) yang memenuhi persamaan disebut akar-akar persamaan kuadrat.
Diskriminan: \( D = b^2 – 4ac \)
- \(D > 0\): dua akar real berbeda
- \(D = 0\): dua akar real sama (kembar)
- \(D < 0\): tidak memiliki akar real
1. Menentukan Akar dengan Pemfaktoran
Prinsip: Jika \(ax^2+bx+c=0\) dapat difaktorkan menjadi \((px+q)(rx+s)=0\), maka:
Langkah:
- Cari dua bilangan yang jika dikalikan = \(a \times c\) dan jika dijumlahkan = \(b\).
- Uraikan suku tengah menggunakan dua bilangan tersebut.
- Faktorkan secara berkelompok.
- Tentukan nilai \(x\).
Contoh Soal — Pemfaktoran
Mudah1. Tentukan akar-akar dari \(x^2 – 5x + 6 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
Cari dua bilangan: hasil kali = 6, jumlah = −5 → (−2) dan (−3)
\(x^2 – 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0\)
\(x = 2\) atau \(x = 3\)
2. Tentukan akar-akar dari \(x^2 + 7x + 12 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
Hasil kali = 12, jumlah = 7 → 3 dan 4
\((x+3)(x+4) = 0\)
\(x = -3\) atau \(x = -4\)
3. Tentukan akar-akar dari \(x^2 – 9 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
Selisih dua kuadrat: \(x^2 – 9 = (x-3)(x+3) = 0\)
\(x = 3\) atau \(x = -3\)
4. Tentukan akar-akar dari \(x^2 – 4x = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
Faktor persekutuan: \(x(x-4) = 0\)
\(x = 0\) atau \(x = 4\)
5. Tentukan akar-akar dari \(x^2 + 2x – 8 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
Hasil kali = −8, jumlah = 2 → 4 dan (−2)
\((x+4)(x-2) = 0\)
\(x = -4\) atau \(x = 2\)
6. Tentukan akar-akar dari \(2x^2 + 5x – 3 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
\(a \times c = 2 \times (-3) = -6\). Cari dua bilangan: hasil kali = −6, jumlah = 5 → 6 dan (−1)
\(2x^2 + 6x – x – 3 = 2x(x+3) – 1(x+3) = (2x-1)(x+3) = 0\)
\(x = \frac{1}{2}\) atau \(x = -3\)
7. Tentukan akar-akar dari \(3x^2 – 10x + 8 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
\(a \times c = 24\). Bilangan: −6 dan −4 (kali=24, jumlah=−10)
\(3x^2 – 6x – 4x + 8 = 3x(x-2) – 4(x-2) = (3x-4)(x-2) = 0\)
\(x = \frac{4}{3}\) atau \(x = 2\)
8. Tentukan akar-akar dari \(4x^2 – 12x + 9 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
Perhatikan: \(4x^2-12x+9 = (2x-3)^2 = 0\)
\(x = \frac{3}{2}\) (akar kembar)
9. Tentukan akar-akar dari \(6x^2 + x – 2 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
\(a \times c = -12\). Bilangan: 4 dan −3 (kali=−12, jumlah=1)
\(6x^2+4x-3x-2 = 2x(3x+2)-(3x+2) = (2x-1)(3x+2)=0\)
\(x = \frac{1}{2}\) atau \(x = -\frac{2}{3}\)
10. Tentukan akar-akar dari \(2x^2 – 7x + 6 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
\(a \times c = 12\). Bilangan: −3 dan −4 (kali=12, jumlah=−7)
\(2x^2-4x-3x+6 = 2x(x-2)-3(x-2) = (2x-3)(x-2)=0\)
\(x = \frac{3}{2}\) atau \(x = 2\)
11. Tentukan akar-akar dari \(6x^2 – 13x – 5 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
\(a \times c = -30\). Bilangan: −15 dan 2 (kali=−30, jumlah=−13)
\(6x^2-15x+2x-5 = 3x(2x-5)+1(2x-5) = (3x+1)(2x-5)=0\)
\(x = -\frac{1}{3}\) atau \(x = \frac{5}{2}\)
12. Tentukan akar-akar dari \(10x^2 + 11x – 6 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
\(a \times c = -60\). Bilangan: 15 dan −4 (kali=−60, jumlah=11)
\(10x^2+15x-4x-6 = 5x(2x+3)-2(2x+3) = (5x-2)(2x+3)=0\)
\(x = \frac{2}{5}\) atau \(x = -\frac{3}{2}\)
13. Tentukan akar-akar dari \(12x^2 – 7x – 10 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
\(a \times c = -120\). Bilangan: 8 dan −15 (kali=−120, jumlah=−7)
\(12x^2+8x-15x-10 = 4x(3x+2)-5(3x+2) = (4x-5)(3x+2)=0\)
\(x = \frac{5}{4}\) atau \(x = -\frac{2}{3}\)
14. Tentukan akar-akar dari \(8x^2 – 2x – 15 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
\(a \times c = -120\). Bilangan: 10 dan −12 (kali=−120, jumlah=−2)
\(8x^2+10x-12x-15 = 2x(4x+5)-3(4x+5) = (2x-3)(4x+5)=0\)
\(x = \frac{3}{2}\) atau \(x = -\frac{5}{4}\)
15. Tentukan akar-akar dari \(15x^2 + x – 6 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
\(a \times c = -90\). Bilangan: 10 dan −9 (kali=−90, jumlah=1)
\(15x^2+10x-9x-6 = 5x(3x+2)-3(3x+2) = (5x-3)(3x+2)=0\)
\(x = \frac{3}{5}\) atau \(x = -\frac{2}{3}\)
Latihan Soal — Pemfaktoran
Mudah- \(x^2 – 7x + 10 = 0\)
- \(x^2 + 5x + 6 = 0\)
- \(x^2 – 16 = 0\)
- \(x^2 + 3x = 0\)
- \(x^2 – x – 6 = 0\)
- \(2x^2 + 3x – 2 = 0\)
- \(3x^2 – 11x + 6 = 0\)
- \(4x^2 + 4x – 3 = 0\)
- \(5x^2 – 7x + 2 = 0\)
- \(2x^2 – 9x + 10 = 0\)
- \(6x^2 + 7x – 20 = 0\)
- \(10x^2 – 19x + 6 = 0\)
- \(12x^2 + x – 6 = 0\)
- \(8x^2 + 14x – 15 = 0\)
- \(15x^2 – 14x – 8 = 0\)
2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Prinsip: Ubah \(ax^2+bx+c=0\) menjadi bentuk \((x+p)^2 = q\).
Langkah:
- Bagi seluruh persamaan dengan \(a\) (jika \(a \neq 1\)).
- Pindahkan konstanta ke ruas kanan.
- Tambahkan \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) ke kedua ruas.
- Faktorkan ruas kiri menjadi kuadrat sempurna.
- Akarkan kedua ruas.
Contoh Soal — Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Mudah1. Selesaikan \(x^2 + 6x + 5 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
\(x^2 + 6x = -5\)
Tambah \(\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9\) ke kedua ruas:
\(x^2 + 6x + 9 = 4\)
\((x+3)^2 = 4\)
\(x+3 = \pm 2\)
\(x = -1\) atau \(x = -5\)
2. Selesaikan \(x^2 – 4x – 5 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
\(x^2 – 4x = 5\)
Tambah \(4\): \((x-2)^2 = 9\)
\(x-2 = \pm 3\)
\(x = 5\) atau \(x = -1\)
3. Selesaikan \(x^2 + 2x – 3 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
\(x^2 + 2x = 3\), tambah 1: \((x+1)^2 = 4\)
\(x = 1\) atau \(x = -3\)
4. Selesaikan \(x^2 – 10x + 21 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
\(x^2 – 10x = -21\), tambah 25: \((x-5)^2 = 4\)
\(x = 7\) atau \(x = 3\)
5. Selesaikan \(x^2 + 8x + 12 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
\(x^2 + 8x = -12\), tambah 16: \((x+4)^2 = 4\)
\(x = -2\) atau \(x = -6\)
6. Selesaikan \(2x^2 + 8x – 10 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
Bagi 2: \(x^2 + 4x – 5 = 0\)
\(x^2 + 4x = 5\), tambah 4: \((x+2)^2 = 9\)
\(x = 1\) atau \(x = -5\)
7. Selesaikan \(x^2 – 3x – 4 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
\(x^2 – 3x = 4\), tambah \(\frac{9}{4}\): \(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}\)
\(x – \frac{3}{2} = \pm \frac{5}{2}\)
\(x = 4\) atau \(x = -1\)
8. Selesaikan \(3x^2 – 12x + 9 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
Bagi 3: \(x^2 – 4x + 3 = 0\)
\(x^2-4x = -3\), tambah 4: \((x-2)^2 = 1\)
\(x = 3\) atau \(x = 1\)
9. Selesaikan \(x^2 + 5x + 2 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
\(x^2+5x = -2\), tambah \(\frac{25}{4}\): \(\left(x+\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{17}{4}\)
\(x = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}\)
10. Selesaikan \(2x^2 – 6x + 1 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
Bagi 2: \(x^2 – 3x + \frac{1}{2} = 0\)
\(x^2-3x = -\frac{1}{2}\), tambah \(\frac{9}{4}\): \(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{7}{4}\)
\(x = \frac{3 \pm \sqrt{7}}{2}\)
11. Selesaikan \(3x^2 + 5x – 2 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
Bagi 3: \(x^2 + \frac{5}{3}x = \frac{2}{3}\)
Tambah \(\left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}\):
\(\left(x+\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{2}{3}+\frac{25}{36} = \frac{24+25}{36} = \frac{49}{36}\)
\(x+\frac{5}{6} = \pm\frac{7}{6}\)
\(x = \frac{1}{3}\) atau \(x = -2\)
12. Selesaikan \(5x^2 – 4x – 1 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
Bagi 5: \(x^2-\frac{4}{5}x = \frac{1}{5}\)
Tambah \(\frac{4}{25}\): \(\left(x-\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{5+4}{25} = \frac{9}{25}\)
\(x = 1\) atau \(x = -\frac{1}{5}\)
13. Selesaikan \(4x^2 + 6x – 1 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
Bagi 4: \(x^2+\frac{3}{2}x = \frac{1}{4}\)
Tambah \(\frac{9}{16}\): \(\left(x+\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{4+9}{16} = \frac{13}{16}\)
\(x = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{4}\)
14. Selesaikan \(7x^2 – 2x – 5 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
Bagi 7: \(x^2-\frac{2}{7}x = \frac{5}{7}\)
Tambah \(\frac{1}{49}\): \(\left(x-\frac{1}{7}\right)^2 = \frac{35+1}{49} = \frac{36}{49}\)
\(x = 1\) atau \(x = -\frac{5}{7}\)
15. Selesaikan \(2x^2 + 3x – 7 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
Bagi 2: \(x^2+\frac{3}{2}x = \frac{7}{2}\)
Tambah \(\frac{9}{16}\): \(\left(x+\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{56+9}{16} = \frac{65}{16}\)
\(x = \frac{-3 \pm \sqrt{65}}{4}\)
Latihan Soal — Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Mudah- \(x^2 + 4x – 12 = 0\)
- \(x^2 – 6x + 8 = 0\)
- \(x^2 + 10x + 16 = 0\)
- \(x^2 – 2x – 15 = 0\)
- \(x^2 + 12x + 20 = 0\)
- \(2x^2 – 10x + 8 = 0\)
- \(x^2 + 7x + 3 = 0\)
- \(3x^2 + 6x – 9 = 0\)
- \(x^2 – 5x + 1 = 0\)
- \(4x^2 – 8x – 5 = 0\)
- \(5x^2 + 3x – 4 = 0\)
- \(6x^2 – 5x – 1 = 0\)
- \(3x^2 + 7x + 1 = 0\)
- \(7x^2 – 3x – 2 = 0\)
- \(4x^2 + 10x – 3 = 0\)
3. Rumus Kuadrat (Rumus abc)
Untuk \(ax^2+bx+c=0\), akar-akarnya adalah:
Contoh Soal — Rumus Kuadrat
Mudah1. Selesaikan \(x^2 – 5x + 6 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
\(a=1,\ b=-5,\ c=6\)
\(D = 25-24 = 1\)
\(x = \frac{5 \pm 1}{2}\)
\(x = 3\) atau \(x = 2\)
2. Selesaikan \(x^2 + 3x – 10 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
\(a=1,\ b=3,\ c=-10\)
\(D = 9+40 = 49\)
\(x = \frac{-3 \pm 7}{2}\)
\(x = 2\) atau \(x = -5\)
3. Selesaikan \(x^2 – 8x + 16 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
\(D = 64-64 = 0\)
\(x = \frac{8}{2} = 4\) (akar kembar)
4. Selesaikan \(x^2 + x – 12 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
\(D = 1+48=49\)
\(x = \frac{-1 \pm 7}{2}\)
\(x = 3\) atau \(x = -4\)
5. Selesaikan \(x^2 – 2x – 8 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
\(D = 4+32=36\)
\(x = \frac{2 \pm 6}{2}\)
\(x = 4\) atau \(x = -2\)
6. Selesaikan \(2x^2 – 3x – 5 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
\(a=2,\ b=-3,\ c=-5\)
\(D = 9+40 = 49\)
\(x = \frac{3 \pm 7}{4}\)
\(x = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}\) atau \(x = -1\)
7. Selesaikan \(3x^2 + 2x – 1 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
\(D = 4+12 = 16\)
\(x = \frac{-2 \pm 4}{6}\)
\(x = \frac{1}{3}\) atau \(x = -1\)
8. Selesaikan \(x^2 + 4x + 1 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
\(D = 16-4 = 12\)
\(x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}\)
9. Selesaikan \(4x^2 – 4x – 3 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
\(D = 16+48 = 64\)
\(x = \frac{4 \pm 8}{8}\)
\(x = \frac{3}{2}\) atau \(x = -\frac{1}{2}\)
10. Selesaikan \(2x^2 + x – 6 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
\(D = 1+48 = 49\)
\(x = \frac{-1 \pm 7}{4}\)
\(x = \frac{3}{2}\) atau \(x = -2\)
11. Selesaikan \(5x^2 + 2x – 3 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
\(D = 4+60 = 64\)
\(x = \frac{-2 \pm 8}{10}\)
\(x = \frac{3}{5}\) atau \(x = -1\)
12. Selesaikan \(3x^2 – x – 5 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
\(D = 1+60 = 61\)
\(x = \frac{1 \pm \sqrt{61}}{6}\)
13. Selesaikan \(7x^2 + 5x – 2 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
\(D = 25+56 = 81\)
\(x = \frac{-5 \pm 9}{14}\)
\(x = \frac{2}{7}\) atau \(x = -1\)
14. Selesaikan \(6x^2 – x – 12 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
\(D = 1+288 = 289 = 17^2\)
\(x = \frac{1 \pm 17}{12}\)
\(x = \frac{3}{2}\) atau \(x = -\frac{4}{3}\)
15. Selesaikan \(4x^2 + 7x – 2 = 0\)
▶ Lihat Pembahasan
\(D = 49+32 = 81\)
\(x = \frac{-7 \pm 9}{8}\)
\(x = \frac{1}{4}\) atau \(x = -2\)
Latihan Soal — Rumus Kuadrat
Mudah- \(x^2 – 3x + 2 = 0\)
- \(x^2 + 6x + 8 = 0\)
- \(x^2 – x – 20 = 0\)
- \(x^2 + 4x – 21 = 0\)
- \(x^2 – 9x + 14 = 0\)
- \(2x^2 + 5x – 7 = 0\)
- \(3x^2 – x – 4 = 0\)
- \(x^2 + 3x – 1 = 0\)
- \(5x^2 – 6x + 1 = 0\)
- \(2x^2 – x – 10 = 0\)
- \(8x^2 + 6x – 5 = 0\)
- \(9x^2 – 3x – 2 = 0\)
- \(6x^2 + 11x – 7 = 0\)
- \(10x^2 – 7x – 12 = 0\)
- \(12x^2 + 5x – 3 = 0\)