Barisan dan Deret Geometri
Materi Lengkap • Contoh Soal • Latihan
1. Barisan Geometri
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki rasio tetap (r) antara dua suku berurutan. Artinya, setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan bilangan tetap r.
Bentuk Umum Barisan Geometri:
a, ar, ar2, ar3, …, arn−1
di mana:
- a = suku pertama (U1)
- r = rasio = Un / Un−1
- n = nomor suku
Rumus Suku ke-n:
Un = a · rn−1
Notasi dan Ilustrasi
Perhatikan barisan geometri: 2, 6, 18, 54, 162, …
| Suku | Notasi | Nilai | Cara Hitung |
|---|---|---|---|
| U1 | a | 2 | a = 2 |
| U2 | a · r | 6 | 2 × 3 = 6 |
| U3 | a · r2 | 18 | 2 × 32 = 18 |
| U4 | a · r3 | 54 | 2 × 33 = 54 |
| U5 | a · r4 | 162 | 2 × 34 = 162 |
📊 Grafik Visual Barisan Geometri (2, 6, 18, 54, 162)
Perhatikan pertumbuhan eksponensial — setiap batang naik jauh lebih cepat dari sebelumnya.
Contoh Soal — Barisan Geometri
1. Tentukan suku ke-5 dari barisan geometri: 3, 6, 12, 24, …
Diketahui: a = 3, r = 6/3 = 2, n = 5
U5 = a · rn−1 = 3 · 24 = 3 · 16 = 48
2. Barisan geometri: 5, 15, 45, … Tentukan rasio (r)!
r = U2 / U1 = 15 / 5 = 3
Cek: U3 / U2 = 45 / 15 = 3 ✓
3. Suku pertama barisan geometri = 4, rasio = 2. Tentukan U4!
U4 = 4 · 23 = 4 · 8 = 32
4. Barisan: 100, 50, 25, … Tentukan suku ke-4!
a = 100, r = 50/100 = ½
U4 = 100 · (½)3 = 100 · ⅛ = 12,5
5. Tentukan 3 suku pertama barisan geometri jika a = 7 dan r = 3!
U1 = 7
U2 = 7 · 3 = 21
U3 = 7 · 9 = 63
Barisan: 7, 21, 63
1. Suku ke-3 barisan geometri = 18, suku ke-5 = 162. Tentukan a dan r!
U3 = ar2 = 18 … (i)
U5 = ar4 = 162 … (ii)
Bagi (ii)/(i): r2 = 162/18 = 9 → r = 3
Substitusi ke (i): a · 9 = 18 → a = 2
Jadi a = 2, r = 3
2. Suku ke-2 = 10, suku ke-4 = 40. Tentukan suku ke-6!
U2 = ar = 10 … (i)
U4 = ar3 = 40 … (ii)
(ii)/(i): r2 = 4 → r = 2
a = 10/2 = 5
U6 = 5 · 25 = 5 · 32 = 160
3. Barisan geometri memiliki U1 = 2 dan U6 = 64. Tentukan r!
U6 = ar5 → 64 = 2 · r5
r5 = 32 → r = 2
Jadi r = 2
4. Tiga suku berurutan barisan geometri: x, x+6, x+9. Tentukan x!
Syarat barisan geometri: (U2)2 = U1 · U3
(x+6)2 = x(x+9)
x2 + 12x + 36 = x2 + 9x
3x = −36 → x = −12
Barisan: −12, −6, −3 (r = ½) ✓
5. Jika U3 = 12 dan r = ½, tentukan U1 dan U7!
U3 = ar2 = a · (½)2 = a/4 = 12 → a = 48
U7 = 48 · (½)6 = 48 · 1/64 = ¾ = 0,75
1. Jumlah tiga suku pertama barisan geometri = 21 dan jumlah kuadrat ketiga suku tersebut = 189. Tentukan barisan tersebut!
Misal tiga suku: a/r, a, ar
Jumlah: a/r + a + ar = 21 → a(1/r + 1 + r) = 21 … (i)
Jumlah kuadrat: a2/r2 + a2 + a2r2 = 189
a2(1/r2 + 1 + r2) = 189 … (ii)
Dari (i): a = 21 / (1/r + 1 + r)
Perhatikan: (1/r + 1 + r)2 = 1/r2 + 1 + r2 + 2(1/r + 1 + r) − 2
Jadi 1/r2 + 1 + r2 = (1/r + 1 + r)2 − 2(1/r + 1 + r)
Misalkan S = 1/r + 1 + r. Dari (i): a = 21/S.
(ii): (21/S)2 · (S2 − 2S) = 189
441(S2 − 2S)/S2 = 189
441 − 882/S = 189 → 882/S = 252 → S = 3,5
a = 21/3,5 = 6. Dan 1/r + 1 + r = 3,5 → r2 − 2,5r + 1 = 0
r = 2 atau r = ½
Barisan: 3, 6, 12 atau 12, 6, 3
2. Barisan geometri: a, b, c. Jika a + c = 20 dan b = 8, tentukan a dan c!
Karena a, b, c barisan geometri: b2 = ac → 64 = ac
a + c = 20 dan ac = 64
Persamaan kuadrat: t2 − 20t + 64 = 0
(t − 4)(t − 16) = 0 → t = 4 atau t = 16
Jadi: a = 4, c = 16 atau a = 16, c = 4
3. Suku ke-n barisan geometri: Un = 3 · 22n−1. Tentukan rasio dan suku pertama!
Un = 3 · 22n−1 = 3 · 22n · 2−1 = (3/2) · 4n
= (3/2) · 4 · 4n−1 = 6 · 4n−1
Bentuk umum: Un = a · rn−1
Jadi a = 6, r = 4
Cek: U1 = 3 · 21 = 6 ✓, U2 = 3 · 23 = 24 = 6 · 4 ✓
4. Log suku-suku barisan geometri membentuk barisan aritmetika. Jika U1 = 2 dan U4 = 54, buktikan dan tentukan suku ke-7!
r3 = U4/U1 = 54/2 = 27 → r = 3
Log barisan: log 2, log 6, log 18, log 54
= log 2, log 2 + log 3, log 2 + 2log 3, log 2 + 3log 3
Beda = log 3 (konstan) → terbukti barisan aritmetika ✓
U7 = 2 · 36 = 2 · 729 = 1458
5. Barisan geometri memiliki U2 + U4 = 30 dan U3 + U5 = 60. Tentukan U8!
U2 + U4 = ar + ar3 = ar(1 + r2) = 30 … (i)
U3 + U5 = ar2 + ar4 = ar2(1 + r2) = 60 … (ii)
(ii)/(i): r = 60/30 = 2
Substitusi: a · 2 · (1 + 4) = 30 → 10a = 30 → a = 3
U8 = 3 · 27 = 3 · 128 = 384
Latihan Soal — Barisan Geometri
1. Tentukan suku ke-6 dari barisan: 2, 8, 32, …
2. Tentukan rasio barisan geometri: 81, 27, 9, 3, …
3. Jika a = 5 dan r = 4, tentukan U5!
4. Barisan: 1, 3, 9, 27, … Tentukan U7!
5. Tentukan 4 suku pertama jika a = 10 dan r = ½!
1. U3 = 36 dan U6 = 972. Tentukan a dan r!
2. Tiga suku berurutan: x, x+3, x+8. Tentukan x!
3. Jika U2 = 6 dan U5 = 48, tentukan U8!
4. Barisan geometri memiliki r = −2 dan U5 = 80. Tentukan U1!
5. Tentukan n jika Un = 3072, a = 3, r = 4!
1. U2 + U3 = 12, U4 + U5 = 108. Tentukan barisan!
2. Jumlah tiga suku pertama = 26 dan hasilkalinya = 216. Tentukan ketiga suku!
3. Un = 5 · 32n+1. Tentukan a dan r!
4. Barisan geometri: a, b, c, d. Jika a + d = 65 dan b + c = 26, tentukan r!
5. Suku ke-3 dan ke-7 barisan geometri masing-masing 20 dan 320. Tentukan suku ke-10!
2. Deret Geometri
Deret geometri adalah jumlah dari suku-suku barisan geometri. Jika barisan geometri: a, ar, ar2, …, maka deret geometri: Sn = a + ar + ar2 + … + arn−1
Rumus Jumlah n Suku Pertama:
Jika r ≠ 1:
Sn = a · (rn − 1) / (r − 1) untuk r > 1
Sn = a · (1 − rn) / (1 − r) untuk r < 1
Notasi dan Ilustrasi
Deret geometri: 3 + 6 + 12 + 24 + 48 (a = 3, r = 2)
| n | Un | Sn (Jumlah) | Rumus |
|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 3 | 3 |
| 2 | 6 | 9 | 3(22−1)/(2−1) = 9 |
| 3 | 12 | 21 | 3(23−1)/1 = 21 |
| 4 | 24 | 45 | 3(24−1)/1 = 45 |
| 5 | 48 | 93 | 3(25−1)/1 = 93 |
Contoh Soal — Deret Geometri
1. Tentukan S5 dari deret: 2 + 6 + 18 + …
a = 2, r = 3, n = 5
S5 = 2 · (35 − 1)/(3 − 1) = 2 · (243 − 1)/2 = 242
2. Hitung S4: 1 + 2 + 4 + 8
a = 1, r = 2, n = 4
S4 = 1 · (24 − 1)/(2 − 1) = 15/1 = 15
Cek langsung: 1 + 2 + 4 + 8 = 15 ✓
3. Deret: 5 + 10 + 20 + … Tentukan S6!
a = 5, r = 2, n = 6
S6 = 5 · (26 − 1)/(2 − 1) = 5 · 63 = 315
4. S3 dari deret: 4 + 12 + 36 + …
a = 4, r = 3, n = 3
S3 = 4(33 − 1)/(3 − 1) = 4 · 26/2 = 52
5. Deret: 64 + 32 + 16 + … Tentukan S4!
a = 64, r = ½, n = 4
S4 = 64 · (1 − (½)4)/(1 − ½) = 64 · (1 − 1/16)/(½) = 64 · (15/16) · 2 = 120
1. Sn = 3n − 1. Tentukan U4!
U4 = S4 − S3 = (34 − 1) − (33 − 1) = 80 − 26 = 54
2. Jumlah 6 suku pertama deret geometri = 189 dan r = 2. Tentukan a!
S6 = a(26 − 1)/(2 − 1) = 63a = 189
a = 189/63 = 3
3. Deret geometri: a + ar + ar2 + … S3 = 21 dan S6 = 189. Tentukan r!
S6/S3 = (r6 − 1)/(r3 − 1) = (r3 + 1)(r3 − 1)/(r3 − 1) = r3 + 1
189/21 = r3 + 1 → 9 = r3 + 1 → r3 = 8 → r = 2
4. Berapa banyak suku deret: 3 + 6 + 12 + … agar jumlahnya = 381?
381 = 3(2n − 1)/(2 − 1) = 3(2n − 1)
2n − 1 = 127 → 2n = 128 = 27
n = 7
5. Tentukan S8 dari deret: 1 − 2 + 4 − 8 + …
a = 1, r = −2, n = 8
S8 = 1 · (1 − (−2)8)/(1 − (−2)) = (1 − 256)/3 = −255/3 = −85
1. Sn = 2n+2 − 4. Buktikan bahwa deret tersebut geometri dan tentukan a serta r!
U1 = S1 = 23 − 4 = 4
Un = Sn − Sn−1 = (2n+2 − 4) − (2n+1 − 4) = 2n+2 − 2n+1 = 2n+1
Un/Un−1 = 2n+1/2n = 2 (konstan) → terbukti geometri ✓
a = 4, r = 2
2. Deret geometri memiliki S4 = 120 dan S8 = 1020. Tentukan S12!
Sifat: S4, S8 − S4, S12 − S8 membentuk barisan geometri
S8 − S4 = 1020 − 120 = 900
Rasio: 900/120 = 7,5
S12 − S8 = 900 · 7,5 = 6750
S12 = 1020 + 6750 = 7770
3. Jumlah n suku pertama deret geometri: Sn = 5(4n − 1)/3. Tentukan U5!
U5 = S5 − S4
S5 = 5(45 − 1)/3 = 5(1024 − 1)/3 = 5 · 1023/3 = 1705
S4 = 5(44 − 1)/3 = 5(256 − 1)/3 = 5 · 255/3 = 425
U5 = 1705 − 425 = 1280
4. Deret geometri dengan S3 = 7 dan S6 = 63. Tentukan S9!
S3, S6 − S3, S9 − S6 barisan geometri
S6 − S3 = 63 − 7 = 56
Rasio = 56/7 = 8
S9 − S6 = 56 · 8 = 448
S9 = 63 + 448 = 511
5. Deret: 1 + r + r2 + … + r9 = 341. Tentukan r jika r bilangan bulat positif!
S10 = (r10 − 1)/(r − 1) = 341
Coba r = 2: (1024 − 1)/1 = 1023 ≠ 341
Perhatikan: 341 = 1 + 4 + 16 + 64 + 256 → ini 5 suku saja!
Periksa ulang: jumlah 10 suku. Coba r ≈ kecil.
Coba r = 2: terlalu besar. Coba a = 1, 10 suku.
(r10 − 1)/(r − 1) = 341. Untuk r = 2: 1023. Untuk r bukan 1.
Sebenarnya ini bisa ditulis: 341 = 40 + 41 + 42 + 43 + 44 = (45−1)/3 = 1023/3 = 341
Jadi ini deret dengan a = 1, r = 4, n = 5. Namun soal menyebut 10 suku (r0 sampai r9).
Perlu diperiksa: Tidak ada r bulat positif > 1 yang memenuhi 10 suku = 341.
Jika soalnya: 1 + r + r2 + r3 + r4 = 341 → r = 4
Latihan Soal — Deret Geometri
1. Tentukan S5 dari deret: 1 + 3 + 9 + …
2. Hitung S4: 2 + 10 + 50 + …
3. Deret: 3 + 6 + 12 + 24. Tentukan S4!
4. S3 dari deret: 7 + 14 + 28 + …
5. Deret: 100 + 50 + 25 + … Tentukan S5!
1. Sn = 2n − 1. Tentukan U5!
2. Jumlah 5 suku pertama = 341 dan r = 4. Tentukan a!
3. S4 = 40 dan r = 3. Tentukan a!
4. Berapa n agar Sn = 1023 jika a = 1, r = 2?
5. S8 dari deret: 2 − 4 + 8 − 16 + …
1. S4 = 80, S8 = 6560. Tentukan a dan r!
2. Sn = 3(5n − 1)/4. Tentukan U6!
3. S3 = 13, S6 = 364. Tentukan S9!
4. Buktikan: Jika Sn = 7n − 1, maka deret tsb geometri!
5. Deret geometri: S5/S3 = 31/7. Tentukan r!
3. Suku Tengah Barisan/Deret Geometri
Suku tengah barisan geometri adalah suku yang terletak di posisi tengah dari barisan dengan jumlah suku ganjil.
Rumus Suku Tengah:
Jika barisan memiliki 2k + 1 suku (ganjil), maka suku tengah = Uk+1
Ut = √(U1 · Un)
di mana n = jumlah suku (harus ganjil), t = (n+1)/2
Sifat Penting:
Dalam barisan geometri dengan 3 suku: a, b, c → b2 = a · c
b disebut rata-rata geometri (mean geometri) dari a dan c.
| Barisan | Jumlah Suku | Suku Tengah | Perhitungan |
|---|---|---|---|
| 2, 6, 18 | 3 | U2 = 6 | √(2 × 18) = √36 = 6 |
| 1, 3, 9, 27, 81 | 5 | U3 = 9 | √(1 × 81) = √81 = 9 |
| 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 | 7 | U4 = 16 | √(2 × 128) = √256 = 16 |
Contoh Soal — Suku Tengah
1. Tentukan suku tengah barisan: 4, 12, 36!
3 suku → suku tengah = U2
Ut = √(4 × 36) = √144 = 12 ✓
2. Barisan: 5, …, 45. Jika 3 suku geometri, tentukan suku tengah!
Ut = √(5 × 45) = √225 = 15
3. Tentukan suku tengah dari barisan geometri: 1, 2, 4, 8, 16!
5 suku → suku tengah = U3 = 4
Cek: √(1 × 16) = √16 = 4 ✓
4. Barisan geometri: 3, 9, 27. Tentukan rata-rata geometri!
Rata-rata geometri = √(3 × 27) = √81 = 9
5. Suku tengah barisan geometri 7 suku = 32. Jika U1 = 2, tentukan U7!
Ut = √(U1 · U7)
32 = √(2 · U7) → 1024 = 2 · U7 → U7 = 512
1. Barisan geometri 5 suku: U1 = 3, r = 2. Tentukan suku tengah!
Suku tengah = U3 = 3 · 22 = 12
Cek: U5 = 3 · 16 = 48. √(3 × 48) = √144 = 12 ✓
2. Sisipkan satu suku tengah geometri antara 8 dan 128!
b = √(8 × 128) = √1024 = 32
Barisan: 8, 32, 128 (r = 4) ✓
3. U1 · U9 = 256. Tentukan suku tengah (U5)!
U5 = √(U1 · U9) = √256 = 16
4. Tiga bilangan geometri jumlahnya 91, bilangan terbesar 64. Tentukan ketiga bilangan!
Misal: a/r, a, ar. Yang terbesar = ar = 64
Jumlah: a/r + a + ar = 91 → a(1/r + 1 + r) = 91
Coba: Jika a = 16, ar = 64 → r = 4
a/r = 16/4 = 4. Jumlah: 4 + 16 + 64 = 84 ≠ 91
Coba langsung: b2 = a·c dan a + b + c = 91, c = 64
a + b = 27 dan b2 = 64a → b2 = 64(27 − b)
b2 + 64b − 1728 = 0 → b = (−64 + √(4096 + 6912))/2 = (−64 + √11008)/2
≈ (−64 + 104.9)/2 ≈ 20.5. Tidak bulat, coba c terbesar dengan r > 1.
Bilangan: suku a/r, a, ar = 64. Misalkan ar = 64.
Jumlah = a/r + a + 64 = 91 → a/r + a = 27 → a(1 + r)/r = 27
Dan a = 64/r → (64/r)(1+r)/r = 27 → 64(1+r)/r2 = 27
27r2 − 64r − 64 = 0 → r = (64 ± √(4096 + 6912))/54 = (64 ± √11008)/54
r ≈ (64 + 104.9)/54 ≈ 3.13. Barisan ≈ 6.5, 20.5, 64
Bilangan: ≈ 6,5 ; 20,5 ; 64 (nilai tak bulat)
5. Suku tengah barisan geometri 9 suku = 81. Jika r = 3, tentukan U1!
Suku tengah = U5 = ar4 = 81
a · 34 = 81 → a · 81 = 81 → a = 1
1. Barisan geometri 2n+1 suku. U1 = 1/729 dan U2n+1 = 729. Tentukan suku tengah!
Ut = √(U1 · U2n+1) = √(1/729 · 729) = √1 = 1
2. Barisan geometri 5 suku: jumlah suku ganjil = 85, jumlah suku genap = 170. Tentukan r dan semua suku!
Suku ganjil: U1 + U3 + U5 = a + ar2 + ar4 = a(1 + r2 + r4) = 85
Suku genap: U2 + U4 = ar + ar3 = ar(1 + r2) = 170
Bagi genap/ganjil: ar(1+r2) / [a(1+r2+r4)] = 170/85 = 2
r(1+r2)/[(1+r2)(1+r2) − r2] … simplifikasi:
1+r2+r4 = (1+r2)2 − r2 = (1+r2−r)(1+r2+r)
Jadi: r/(1+r2−r) = 2 → r = 2 + 2r2 − 2r → 2r2 − 3r + 2 = 0
Hmm, diskriminan = 9 − 16 < 0. Mari hitung ulang.
r(1+r2) / (1+r2+r4) = 2. Misalkan u = r2:
r(1+u) / (1+u+u2) = 2
Perlu pendekatan lain: Jumlah genap / jumlah ganjil = r (untuk suku sebanding)
170/85 = 2 → r = 2
a(1 + 4 + 16) = 85 → 21a = 85 → a = 85/21. Bukan bulat.
Cek: ar(1+r2) = (85/21)(2)(5) = 850/21 ≈ 40.5 ≠ 170
Pendekatan: (genap)/(ganjil) = (ar + ar3)/(a + ar2 + ar4)
= r(1+r2)/(1+r2+r4) = 170/85 = 2
r + r3 = 2 + 2r2 + 2r4 → 2r4 − r3 + 2r2 − r + 2 = 0
Tidak ada solusi real sederhana. Soal mungkin perlu jumlah ganjil = 85, genap = 170 → rasio r = 2 secara heuristik.
Barisan: a = 1, r = 2: 1, 2, 4, 8, 16. Ganjil: 1+4+16=21, genap: 2+8=10.
Skalakan: a = 85/21 ≈ 4.05. Barisan: ≈ 4.05, 8.1, 16.2, 32.4, 64.8
3. Rata-rata geometri dari dua bilangan = 6. Jumlah keduanya = 13. Tentukan kedua bilangan!
√(ab) = 6 → ab = 36
a + b = 13
t2 − 13t + 36 = 0 → (t − 4)(t − 9) = 0
Kedua bilangan: 4 dan 9
4. Barisan geometri 11 suku. Suku tengah = 1024, r = 2. Tentukan suku pertama dan terakhir!
Suku tengah = U6 = ar5 = 1024
a · 32 = 1024 → a = 32
U11 = 32 · 210 = 32 · 1024 = 32768
5. Tiga bilangan geometri: hasilkalinya = 512, jumlah kuadratnya = 336. Tentukan ketiga bilangan!
Misal: a/r, a, ar
Hasilkali: a3 = 512 → a = 8
Jumlah kuadrat: 64/r2 + 64 + 64r2 = 336
64(1/r2 + 1 + r2) = 336
1/r2 + 1 + r2 = 5,25
1/r2 + r2 = 4,25
Misalkan u = r2: u + 1/u = 4,25 → u2 − 4,25u + 1 = 0
u = (4,25 ± √(18,0625 − 4))/2 = (4,25 ± √14,0625)/2 = (4,25 ± 3,75)/2
u = 4 atau u = 0,25 → r2 = 4 → r = 2 (atau ½)
Bilangan: 4, 8, 16
Latihan Soal — Suku Tengah
1. Tentukan suku tengah: 2, 10, 50!
2. Rata-rata geometri dari 9 dan 16?
3. Suku tengah barisan: 1, 4, 16?
4. Sisipkan satu suku tengah antara 3 dan 75!
5. Barisan 5 suku: 1, 2, 4, 8, 16. Suku tengahnya?
1. U1 · U11 = 1024. Tentukan U6!
2. Suku tengah barisan 7 suku geometri = 27, r = 3. Tentukan U1!
3. Sisipkan dua suku geometri antara 4 dan 108!
4. Barisan geometri 5 suku: U1 = 2, U5 = 512. Tentukan suku tengah!
5. Rata-rata geometri dua bilangan = 10, selisihnya = 15. Tentukan kedua bilangan!
1. Tiga bilangan geometri: hasilkalinya = 1000, jumlahnya = 31. Tentukan!
2. Suku tengah dari barisan 2n+1 suku = √(U1 · U2n+1). Buktikan!
3. Barisan geometri 9 suku: U1 = 1/256, U9 = 256. Tentukan U5!
4. Tiga bilangan geometri: jumlah kuadrat = 525, hasilkali = 125. Tentukan!
5. Barisan 7 suku geometri: suku tengah = 64, suku terakhir = 4096. Tentukan U1!
4. Deret Geometri Tak Hingga
Deret geometri tak hingga adalah deret geometri yang jumlah sukunya tak terbatas. Deret ini konvergen (memiliki jumlah terbatas) jika dan hanya jika |r| < 1.
Rumus Deret Geometri Tak Hingga (|r| < 1):
S∞ = a / (1 − r)
Syarat konvergen: −1 < r < 1 (atau |r| < 1)
Catatan Penting:
- Jika |r| ≥ 1 → deret divergen (tidak memiliki jumlah terbatas)
- Semakin banyak suku dijumlahkan, jumlah parsial semakin mendekati S∞
Ilustrasi Konvergensi
Deret: 1 + ½ + ¼ + ⅛ + … (a = 1, r = ½)
| n suku | Sn | Mendekati S∞ = 2 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | selisih 1 |
| 2 | 1,5 | selisih 0,5 |
| 3 | 1,75 | selisih 0,25 |
| 5 | 1,9375 | selisih 0,0625 |
| 10 | 1,998 | selisih 0,002 |
| ∞ | 2 | selisih 0 |
📊 Grafik Konvergensi: Sn mendekati S∞ = 2
Jumlah parsial Sn semakin mendekati 2 seiring bertambahnya n.
Contoh Soal — Deret Tak Hingga
1. Tentukan jumlah deret: 8 + 4 + 2 + 1 + …
a = 8, r = ½, |r| < 1 → konvergen
S∞ = 8 / (1 − ½) = 8 / (½) = 16
2. S∞ dari deret: 12 + 4 + 4/3 + …
a = 12, r = 4/12 = ⅓
S∞ = 12 / (1 − ⅓) = 12 / (⅔) = 18
3. Deret: 27 + 9 + 3 + 1 + … Tentukan S∞!
a = 27, r = ⅓
S∞ = 27 / (1 − ⅓) = 27 / (⅔) = 40,5
4. Apakah deret 3 + 6 + 12 + … konvergen?
r = 6/3 = 2. |r| = 2 ≥ 1
Deret divergen (tidak memiliki jumlah terbatas)
5. Tentukan S∞: 10 + 5 + 2,5 + …
a = 10, r = ½
S∞ = 10 / (1 − ½) = 20
1. S∞ = 24 dan a = 8. Tentukan r dan 3 suku pertama!
24 = 8/(1 − r) → 1 − r = 8/24 = ⅓ → r = ⅔
U1 = 8, U2 = 8 · ⅔ = 16/3, U3 = 16/3 · ⅔ = 32/9
Tiga suku: 8, 16/3, 32/9
2. Deret: 1 − ⅓ + 1/9 − 1/27 + … Tentukan S∞!
a = 1, r = −⅓. |r| = ⅓ < 1 → konvergen
S∞ = 1 / (1 − (−⅓)) = 1 / (4/3) = ¾ = 0,75
3. Nyatakan 0,666… sebagai pecahan menggunakan deret geometri!
0,666… = 0,6 + 0,06 + 0,006 + …
a = 0,6 ; r = 0,1
S∞ = 0,6 / (1 − 0,1) = 0,6/0,9 = ⅔
4. S∞ = 36, r = ¼. Tentukan U3!
36 = a/(1 − ¼) = a/(¾) → a = 27
U3 = 27 · (¼)2 = 27/16 = 1,6875
5. Jumlah deret tak hingga = 3 kali suku pertamanya. Tentukan r!
S∞ = 3a → a/(1−r) = 3a → 1/(1−r) = 3
1 − r = ⅓ → r = ⅔
1. Nyatakan 0,272727… sebagai pecahan biasa!
0,272727… = 0,27 + 0,0027 + 0,000027 + …
a = 0,27 ; r = 0,01
S∞ = 0,27 / (1 − 0,01) = 0,27/0,99 = 27/99 = 3/11
2. S∞ = 4S3. Tentukan r!
a/(1−r) = 4 · a(1−r3)/(1−r)
1 = 4(1−r3)
1−r3 = ¼ → r3 = ¾
r = ∛(¾) = ∛(3/4) ≈ 0,909
3. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 m. Setiap memantul, bola mencapai ¾ tinggi sebelumnya. Tentukan total jarak tempuh bola!
Jatuh pertama: 10 m (turun)
Pantul 1: naik 7,5 + turun 7,5 = 15
Pantul 2: naik 5,625 + turun 5,625 = 11,25
Total = 10 + 2(7,5 + 5,625 + …)
Deret naik-turun: a = 7,5, r = ¾
S∞ = 7,5/(1 − ¾) = 7,5/0,25 = 30
Total jarak = 10 + 2(30) = 70 m
4. Jumlah deret geometri tak hingga positif = 2 kali jumlah suku-suku bernomor genap. Tentukan r!
Stotal = a/(1−r)
Suku genap: ar + ar3 + ar5 + … = ar/(1−r2)
a/(1−r) = 2 · ar/(1−r2) = 2ar/((1−r)(1+r))
1 = 2r/(1+r) → 1+r = 2r → r = 1
Tapi r = 1 membuat deret divergen! Periksa ulang:
Suku genap = ar/(1−r2) = ar/((1−r)(1+r))
S∞ = 2 · Sgenap → a/(1−r) = 2ar/((1−r)(1+r))
Sederhanakan (1−r): a = 2ar/(1+r) → 1+r = 2r → r = 1
Kontradiksi. Artinya tidak ada r yang memenuhi untuk deret konvergen.
Soal mungkin: S∞ = 2 × jumlah suku bernomor ganjil
Ganjil: a + ar2 + … = a/(1−r2)
a/(1−r) = 2a/(1−r2) = 2a/((1−r)(1+r))
1 = 2/(1+r) → 1+r = 2 → r = 1 (tetap kontradiksi)
Alternatif: S∞ = 3 × Sgenap → r = ½
5. Deret geometri tak hingga: a + ar + ar2 + … = S. Deret kuadrat suku-sukunya: a2 + a2r2 + … = 3S. Jika a = 2, tentukan r!
S = a/(1−r) = 2/(1−r)
Deret kuadrat: a2/(1−r2) = 4/((1−r)(1+r))
4/((1−r)(1+r)) = 3 · 2/(1−r) = 6/(1−r)
4/(1+r) = 6 → 1+r = ⅔ → r = −⅓
Cek: |r| = ⅓ < 1 ✓
Latihan Soal — Deret Tak Hingga
1. S∞ dari deret: 6 + 3 + 1,5 + …
2. S∞: 20 + 10 + 5 + …
3. Apakah deret 4 + 8 + 16 + … konvergen?
4. S∞: 9 + 3 + 1 + …
5. Deret: 16 + 8 + 4 + 2 + … Tentukan S∞!
1. S∞ = 48, a = 12. Tentukan r!
2. Nyatakan 0,333… sebagai pecahan!
3. S∞ = 5 kali suku pertama. Tentukan r!
4. Deret: 1 − ¼ + 1/16 − … Tentukan S∞!
5. S∞ = 100, r = ⅗. Tentukan U1 dan U3!
1. Nyatakan 2,181818… sebagai pecahan biasa!
2. Bola dijatuhkan dari 20 m, memantul ⅔ tinggi sebelumnya. Total jarak?
3. S∞ = 5S2. Tentukan r!
4. Deret kuadrat: a2 + a2r2 + … = 4S. Jika a = 3, tentukan r!
5. Deret geometri tak hingga: suku ke-2 = 6, S∞ = 32. Tentukan a dan r!