Diskriminan Persamaan Kuadrat
Materi Lengkap, Contoh Soal & Latihan
1. Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berderajat dua yang bentuk umumnya:
Keterangan:
- a = koefisien x2
- b = koefisien x
- c = konstanta
- x = variabel (yang dicari nilainya)
Notasi Persamaan Kuadrat
| Persamaan | a | b | c |
|---|---|---|---|
| 2x2 + 3x − 5 = 0 | 2 | 3 | −5 |
| x2 − 4x + 4 = 0 | 1 | −4 | 4 |
| 3x2 + 6 = 0 | 3 | 0 | 6 |
2. Diskriminan (D)
Diskriminan adalah nilai yang menentukan jenis dan banyaknya akar (solusi) dari suatu persamaan kuadrat. Diskriminan dilambangkan dengan D dan rumusnya:
Jenis-jenis Akar Berdasarkan Nilai D
| Nilai D | Jenis Akar | Keterangan |
|---|---|---|
| D > 0 | Dua akar real berbeda | Grafik memotong sumbu-x di 2 titik |
| D = 0 | Dua akar real sama (kembar) | Grafik menyinggung sumbu-x |
| D < 0 | Tidak ada akar real | Grafik tidak memotong sumbu-x |
Grafik Ilustrasi Diskriminan
D > 0
2 titik potong
D = 0
1 titik singgung
D < 0
Tidak memotong sumbu-x
3. Fungsi Kuadrat dan Grafiknya
Fungsi kuadrat ditulis sebagai:
Hubungan fungsi kuadrat dengan diskriminan:
- Titik potong grafik dengan sumbu-x adalah akar-akar persamaan f(x) = 0
- Titik puncak (vertex): xp = −b/(2a), yp = −D/(4a)
Contoh Tabel Nilai Fungsi
Untuk f(x) = x2 − 2x − 3:
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 5 | 0 | −3 | −4 | −3 | 0 | 5 |
Dari tabel: akar-akar adalah x = −1 dan x = 3 → D = (−2)2 − 4(1)(−3) = 4 + 12 = 16 > 0 ✓
4. Menentukan Akar dengan Rumus ABC
Jika D ≥ 0, akar-akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan:
Dengan:
5. Contoh Soal & Pembahasan
Mudah
Soal 1:
Tentukan nilai diskriminan dari x2 + 4x + 3 = 0
Lihat Pembahasan
a = 1, b = 4, c = 3
D = b2 − 4ac = 42 − 4(1)(3) = 16 − 12 = 4
Karena D = 4 > 0, persamaan memiliki dua akar real berbeda.
Soal 2:
Tentukan nilai diskriminan dari x2 − 6x + 9 = 0
Lihat Pembahasan
a = 1, b = −6, c = 9
D = (−6)2 − 4(1)(9) = 36 − 36 = 0
Karena D = 0, persamaan memiliki dua akar kembar.
Soal 3:
Tentukan nilai diskriminan dari x2 + 2x + 5 = 0
Lihat Pembahasan
a = 1, b = 2, c = 5
D = 22 − 4(1)(5) = 4 − 20 = −16
Karena D = −16 < 0, persamaan tidak memiliki akar real.
Soal 4:
Tentukan akar-akar dari x2 − 5x + 6 = 0
Lihat Pembahasan
a = 1, b = −5, c = 6
D = (−5)2 − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1
x = (5 ± √1) / 2 = (5 ± 1) / 2
x1 = 6/2 = 3, x2 = 4/2 = 2
Soal 5:
Tentukan jenis akar dari 2x2 + 4x + 2 = 0
Lihat Pembahasan
a = 2, b = 4, c = 2
D = 42 − 4(2)(2) = 16 − 16 = 0
Jenis akar: dua akar real sama (kembar)
x = −4/(2×2) = −1
Sedang
Soal 6:
Tentukan nilai k agar persamaan x2 + kx + 9 = 0 memiliki akar kembar.
Lihat Pembahasan
Akar kembar → D = 0
a = 1, b = k, c = 9
D = k2 − 4(1)(9) = 0
k2 = 36
k = 6 atau k = −6
Soal 7:
Tentukan nilai m agar 2x2 − 4x + m = 0 memiliki dua akar real berbeda.
Lihat Pembahasan
Dua akar real berbeda → D > 0
D = (−4)2 − 4(2)(m) > 0
16 − 8m > 0
8m < 16
m < 2
Soal 8:
Tentukan akar-akar dari 2x2 − 3x − 2 = 0 menggunakan rumus ABC.
Lihat Pembahasan
a = 2, b = −3, c = −2
D = (−3)2 − 4(2)(−2) = 9 + 16 = 25
√D = 5
x = (3 ± 5) / 4
x1 = 8/4 = 2, x2 = −2/4 = −½
Soal 9:
Jika x1 dan x2 adalah akar dari x2 − 7x + 10 = 0, tentukan x12 + x22.
Lihat Pembahasan
Dari Vieta: x1 + x2 = 7, x1·x2 = 10
x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1x2
= 72 − 2(10) = 49 − 20 = 29
Soal 10:
Tentukan nilai p agar persamaan x2 + (p−1)x + p + 2 = 0 tidak memiliki akar real.
Lihat Pembahasan
Tidak ada akar real → D < 0
a = 1, b = p−1, c = p+2
D = (p−1)2 − 4(1)(p+2) < 0
p2 − 2p + 1 − 4p − 8 < 0
p2 − 6p − 7 < 0
(p − 7)(p + 1) < 0
−1 < p < 7
Sulit
Soal 11:
Tentukan nilai k agar persamaan (k−2)x2 + 2kx + k + 3 = 0 memiliki akar kembar. Tentukan akar kembarnya.
Lihat Pembahasan
Syarat: k ≠ 2 (agar tetap kuadrat) dan D = 0
a = k−2, b = 2k, c = k+3
D = (2k)2 − 4(k−2)(k+3) = 0
4k2 − 4(k2 + k − 6) = 0
4k2 − 4k2 − 4k + 24 = 0
−4k + 24 = 0 → k = 6
Persamaan: 4x2 + 12x + 9 = 0
x = −12/(2×4) = −3/2
Soal 12:
Persamaan x2 − (2a+1)x + a2 + 2 = 0 memiliki dua akar positif. Tentukan range a.
Lihat Pembahasan
Syarat dua akar positif:
1) D ≥ 0: (2a+1)2 − 4(a2+2) ≥ 0
4a2 + 4a + 1 − 4a2 − 8 ≥ 0
4a − 7 ≥ 0 → a ≥ 7/4
2) x1 + x2 > 0: 2a+1 > 0 → a > −½
3) x1·x2 > 0: a2+2 > 0 (selalu benar)
Irisan: a ≥ 7/4
Soal 13:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar x2 − 3x − 4 = 0.
Lihat Pembahasan
Akar asli: x2 − 3x − 4 = 0 → (x−4)(x+1) = 0 → x = 4, −1
Akar baru: 4+2 = 6 dan −1+2 = 1
Substitusi y = x − 2 ke persamaan asli:
(x−2)2 − 3(x−2) − 4 = 0
x2 − 4x + 4 − 3x + 6 − 4 = 0
x2 − 7x + 6 = 0
Verifikasi D = 49 − 24 = 25 > 0 ✓, akar: 6 dan 1 ✓
Soal 14:
Persamaan x2 + px + q = 0 memiliki akar x1 = 2 + √3. Tentukan p dan q (bilangan bulat).
Lihat Pembahasan
Karena koefisien rasional dan satu akar irasional, akar lain: x2 = 2 − √3
x1 + x2 = 4 = −p → p = −4
x1·x2 = (2+√3)(2−√3) = 4 − 3 = 1 = q → q = 1
Persamaan: x2 − 4x + 1 = 0, D = 16 − 4 = 12 > 0 ✓
Soal 15:
Tentukan semua nilai k agar persamaan kx2 − (2k+3)x + k + 2 = 0 memiliki dua akar yang memenuhi x1 < 1 < x2.
Lihat Pembahasan
Misalkan f(x) = kx2 − (2k+3)x + (k+2)
Agar 1 berada di antara kedua akar: a·f(1) < 0
f(1) = k − (2k+3) + (k+2) = −1
a·f(1) = k·(−1) = −k < 0
−k < 0 → k > 0
(Syarat k ≠ 0 sudah terpenuhi karena k > 0)
6. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan rumus D = b² − 4ac.
Mudah
1. Tentukan diskriminan dari x2 + 6x + 8 = 0
2. Tentukan diskriminan dari 3x2 − 12x + 12 = 0
3. Tentukan jenis akar dari x2 − 2x + 5 = 0
4. Tentukan akar-akar dari x2 − 3x + 2 = 0
5. Tentukan diskriminan dan jenis akar dari 4x2 + 4x + 1 = 0
Sedang
6. Tentukan nilai k agar x2 − 2kx + k + 6 = 0 memiliki akar kembar.
7. Tentukan akar-akar 3x2 + 7x − 6 = 0 menggunakan rumus ABC.
8. Tentukan nilai m agar x2 + mx + m + 3 = 0 tidak memiliki akar real.
9. Jika x1 dan x2 akar dari 2x2 − 5x + 1 = 0, tentukan 1/x1 + 1/x2.
10. Tentukan range p agar 2x2 − (p+1)x + 3 = 0 memiliki dua akar real.
Sulit
11. Tentukan nilai a agar (a+1)x2 − 2(a−1)x + 3a − 7 = 0 memiliki akar kembar.
12. Persamaan x2 − 2px + p2 − p − 2 = 0 memiliki dua akar positif. Tentukan range p.
13. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar 3x2 − 7x + 2 = 0.
14. Jika selisih kuadrat akar-akar x2 − 5x + c = 0 adalah 3, tentukan c.
15. Tentukan semua nilai k agar kedua akar x2 − (k+2)x + 2k + 1 = 0 lebih besar dari 1.