Model Matematika Fungsi Kuadrat dari Soal Cerita
Mengubah Masalah Dunia Nyata menjadi Persamaan Matematika
Apa itu Model Matematika?
Model matematika adalah representasi masalah dunia nyata dalam bentuk persamaan atau fungsi yang dapat diselesaikan dan dianalisis.
Bentuk Umum Fungsi Kuadrat
Dalam soal cerita:
- x = variabel bebas (waktu, jarak, panjang, dll)
- f(x) = variabel terikat yang dicari (luas, tinggi, keuntungan, dll)
- a, b, c = konstanta dari kondisi soal
Kapan Fungsi Kuadrat Muncul?
- Luas & Keliling: Misalkan sisi = x, maka L = x(10-x) = -x² + 10x (kuadrat!)
- Gerak Benda: h = -5t² + 20t + 10 (persamaan kinematika)
- Keuntungan: K = -2x² + 100x – 500 (fungsi kuadrat)
- Masalah Optimasi: Cari nilai maksimum/minimum dengan puncak parabola
Prosedur Sistematis
Identifikasi apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan
Misalkan x = … (variabel yang kita pilih untuk mempermudah)
Jika ada 2 besaran yang terhubung, nyatakan satu dalam variabel lain
Buat persamaan hubungan antar variabel (biasanya bentuk kuadrat)
Cari nilai x yang memenuhi kondisi (biasanya nilai maksimum/minimum)
Contoh Sederhana
Soal: Kawat sepanjang 20 m akan dibuat kerangka persegi panjang. Jika panjang = x, tentukan model untuk luas persegi panjang.
Penyelesaian:
L1: Keliling = 2(panjang + lebar) = 20
Jadi: panjang + lebar = 10
L2: Misalkan panjang = x, maka lebar = 10 – x
L3: Luas = panjang × lebar = x(10 – x)
Model: L(x) = x(10 – x) = -x² + 10x
Ini adalah fungsi kuadrat dengan a = -1, b = 10, c = 0
Konsep Dasar
Masalah geometri sering melibatkan 2 variabel yang terhubung (misal: panjang & lebar, atau jari-jari & tinggi).
Strategi: Gunakan hubungan geometri (luas, keliling, volume) untuk mengubah 2 variabel menjadi 1 variabel, lalu buat model kuadrat.
✏️ Contoh Soal — Luas & Keliling
MUDAH
1. Sebuah persegi panjang memiliki keliling 24 cm. Jika panjang = x cm, tentukan model untuk luas persegi panjang.
Diketahui: Keliling = 24 cm
Model: 2(panjang + lebar) = 24 → panjang + lebar = 12
Panjang = x, maka lebar = 12 – x
Luas = x(12 – x) = -x² + 12x
Domain: 0 < x < 12 (karena lebar harus positif)
2. Segitiga memiliki alas = 2x dan tinggi = 3x – 4. Jika luas = 12, tentukan nilai x.
Model Luas: L = ½ × alas × tinggi
12 = ½ × 2x × (3x – 4)
12 = x(3x – 4)
12 = 3x² – 4x
Model Kuadrat: 3x² – 4x – 12 = 0
Gunakan rumus ABC: x = 2 (ambil nilai positif)
3. Persegi panjang dengan panjang 5 cm lebih dari lebarnya. Jika keliling 50 cm, tentukan model dan luas persegi panjang.
Misalkan: lebar = x, panjang = x + 5
Keliling: 2(x + x + 5) = 50 → 2(2x + 5) = 50 → 4x + 10 = 50 → x = 10
Lebar = 10 cm, panjang = 15 cm
Luas = 10 × 15 = 150 cm²
4. Kawat 60 m akan membentuk kerangka balok dengan alas persegi. Jika sisi alas = x, tentukan model volume balok.
Kawat balok: 4(alas) + 4(tinggi) = 60
4x + 4t = 60 → t = (60 – 4x)/4 = 15 – x
Volume = alas × alas × tinggi = x² × (15 – x) = -x³ + 15x²
(Catatan: Ini kubik, bukan kuadrat. Setiap masalah berbeda!)
5. Tanah dengan panjang 20 m dan lebar 12 m akan dibuat kolam persegi dengan sisa lahan 80 m². Tentukan sisi kolam.
Luas tanah: 20 × 12 = 240 m²
Misalkan: sisi kolam = x
Model: Luas kolam = 240 – 80 = 160 m²
x² = 160 → x = √160 = 4√10 ≈ 12,6 m
SEDANG
1. Persegi panjang dengan panjang 3 cm lebih panjang dari lebar. Jika diagonalnya 5 cm, tentukan panjang dan lebar.
Misalkan: lebar = x, panjang = x + 3
Pythagoras: x² + (x + 3)² = 5²
x² + x² + 6x + 9 = 25
2x² + 6x – 16 = 0 → x² + 3x – 8 = 0
x = (-3 + √(9 + 32))/2 = (-3 + √41)/2 ≈ 1.7 cm
Lebar ≈ 1.7 cm, Panjang ≈ 4.7 cm
2. Pagar akan menutup tiga sisi persegi panjang (satu sisi menempel tembok). Jika pagar 120 m, tentukan model luas dan luas maksimum.
Misalkan: lebar = x (sejajar tembok), panjang = y
Pagar: x + 2y = 120 → x = 120 – 2y
Luas: L = x × y = (120 – 2y) × y = 120y – 2y²
Model: L(y) = -2y² + 120y
Luas maksimum saat yₚ = 120/4 = 30 m
Luas maks = -2(900) + 3600 = 1800 m²
3. Kertas berbentuk persegi dengan sisi 20 cm. Di setiap sudut dipotong persegi kecil dengan sisi x cm. Kertas dilipat menjadi kotak tanpa tutup. Tentukan model volume dan volume maksimum.
Setelah dilipat: panjang = 20 – 2x, lebar = 20 – 2x, tinggi = x
Volume: V = (20 – 2x)(20 – 2x) × x = (20 – 2x)² × x
= (400 – 80x + 4x²) × x = 400x – 80x² + 4x³
Model: V(x) = 4x³ – 80x² + 400x
(Ini kubik, cari turunan untuk maksimum: V'(x) = 12x² – 160x + 400 = 0)
4. Lingkaran dengan jari-jari r diperbesar sehingga luasnya menjadi 4 kali lipat. Tentukan perbandingan jari-jari baru terhadap jari-jari lama.
Luas awal: L₁ = πr²
Luas baru: L₂ = 4πr² = π(r’)²
(r’)² = 4r² → r’ = 2r
Perbandingan: r’ : r = 2 : 1
5. Pelindung layar ponsel berbentuk persegi panjang dengan keliling 40 cm. Jika panjang bertambah 2 cm dan lebar berkurang 1 cm, keliling tetap. Tentukan dimensi asli.
Keliling awal: 2(p + l) = 40 → p + l = 20 …(1)
Keliling baru: 2((p+2) + (l-1)) = 40 → (p+2) + (l-1) = 20 → p + l + 1 = 20 → p + l = 19
Ini kontradiksi! Soal tidak valid atau ada kesalahan.
SULIT
1. Dua kawat masing-masing 60 cm akan dibentuk persegi panjang dan lingkaran. Jika luas total minimum, tentukan panjang kawat untuk setiap bangun.
Kawat 1 (persegi panjang): 2(p + l) = x → p + l = x/2
Luas = pl (maksimum saat p = l = x/4), L₁ = (x/4)² = x²/16
Kawat 2 (lingkaran): 2πr = 60 – x → r = (60-x)/(2π)
Luas = πr² = π[(60-x)/(2π)]² = (60-x)²/(4π), L₂ = (60-x)²/(4π)
Total: L = x²/16 + (60-x)²/(4π)
Minimum saat dL/dx = 0 → 2x/16 – 2(60-x)/(4π) = 0
x/8 = (60-x)/(2π) → πx = 4(60-x) → πx = 240 – 4x → x(π+4) = 240
x = 240/(π+4) ≈ 42 cm untuk persegi, 18 cm untuk lingkaran
2. Taman berbentuk persegi panjang dengan panjang 80 m dan lebar 60 m. Akan dibuat jalan mengelilingi taman dengan lebar x meter. Jika sisa taman 3200 m², tentukan lebar jalan.
Luas taman awal: 80 × 60 = 4800 m²
Setelah jalan: panjang = 80 – 2x, lebar = 60 – 2x
Model: (80 – 2x)(60 – 2x) = 3200
4800 – 160x – 120x + 4x² = 3200
4x² – 280x + 1600 = 0 → x² – 70x + 400 = 0
x = (70 ± √(4900-1600))/2 = (70 ± √3300)/2 = (70 ± 10√33)/2
x ≈ (70 – 57.4)/2 ≈ 6.3 m atau x ≈ 63.7 m (tidak masuk akal)
3. Bak air berbentuk balok dengan alas persegi sisi x meter dan tinggi 2 meter. Biaya material alas dan tutup Rp 50.000/m², dinding Rp 30.000/m². Jika volume 8 m³ dan biaya total minimum, tentukan x.
Volume: x² × 2 = 8 → x² = 4 → x = 2
Biaya: B = 50.000 × 2x² + 30.000 × 4(2x)
B = 100.000x² + 240.000x
Karena x = 2 (dari volume), B = 100.000(4) + 240.000(2) = 880.000
Sisi alas: x = 2 meter
4. Saluran air berbentuk trapesium isosceles dengan dasar 40 cm, tinggi h, dan kedua sisi miring masing-masing membentuk sudut 45°. Jika luas penampang 1200 cm², tentukan tinggi saluran.
Trapesium isosceles 45°: atas = 40 + 2h (karena tan 45° = 1)
Luas: ½(40 + 40 + 2h) × h = 1200
½(80 + 2h) × h = 1200 → (40 + h)h = 1200
h² + 40h – 1200 = 0
h = (-40 + √(1600 + 4800))/2 = (-40 + √6400)/2 = (-40 + 80)/2 = 20 cm
5. Sebuah kertas A4 (21 × 29.7 cm) akan dilipat menjadi prisma segitiga dengan menghubungkan dua sisi panjang. Tentukan model volume prisma jika sisi segitiga = x.
Setelah dilipat: segitiga sama sisi dengan sisi x cm, panjang prisma = 21 cm
Luas segitiga: A = (x² √3)/4
Volume: V = A × 21 = (21x² √3)/4 = 5.25x²√3
(Volume maksimum saat x = 29.7/3 ≈ 9.9 cm)
📝 Latihan Soal — Luas & Keliling
MUDAH
1. Persegi panjang keliling 36 cm. Jika panjang = x, tulis model luas.
2. Segitiga alas 2x, tinggi 3x. Jika luas 24, tentukan x.
3. Lingkaran luas 78.5 cm². Tentukan jari-jarinya (gunakan π ≈ 3.14).
4. Kawat 30 m membentuk persegi panjang. Panjang 8 m, tentukan lebar dan luas.
5. Persegi dengan sisi 10 m diperbesar 2x. Tentukan luas baru.
SEDANG
1. Persegi panjang panjang 4 cm lebih dari lebar, keliling 48 cm. Tentukan luas.
2. Pagar 100 m mengelilingi 2 sisi persegi panjang. Model luas maksimum.
3. Persegi panjang diagonal 10 cm, lebar x. Tentukan luas maksimum.
4. Kertas 24×18 cm, sudut dipotong persegi x cm. Model volume kotak tanpa tutup.
5. Lingkaran diperbesar jari-jarinya dari 5 cm jadi 10 cm. Perbandingan luasnya?
SULIT
1. Dua bangun (persegi & lingkaran) keliling masing-masing 40 m. Mana luasnya lebih besar?
2. Taman 100×80 m, jalan x meter mengelilingi. Sisa taman 6000 m². Cari x.
3. Kotak tanpa tutup, alas persegi sisi x, tinggi 5. Volume 500. Biaya minimum jika alas Rp 100k/m², dinding Rp 50k/m².
4. Saluran trapesium dasar 50 cm, sudut 60°. Luas 2000 cm². Tinggi?
5. Kertas A3 (29.7×42 cm) dilipat prisma segitiga. Model volume jika sisi segitiga x.
Persamaan Gerak Jatuh Bebas & Peluru
Untuk benda yang dilempar atau jatuh dengan gravitasi g = 10 m/s² (atau 9.8 m/s²):
Dimana:
- h(t) = tinggi pada waktu t (meter)
- h₀ = tinggi awal (meter)
- v₀ = kecepatan awal (m/s), positif jika ke atas
- g = percepatan gravitasi ≈ 10 m/s²
- t = waktu (sekon)
Contoh Grafik Gerak Benda
h(t) = 20 + 10t – 5t²: Parabola terbuka ke bawah, puncak di (1, 25)
✏️ Contoh Soal — Gerak Benda
MUDAH
1. Bola dilempar ke atas dari tanah dengan kecepatan awal 20 m/s. Model tinggi bola (g=10).
h₀ = 0 (dari tanah), v₀ = 20 m/s
Model: h(t) = 0 + 20t – 5t² = 20t – 5t² = -5t² + 20t
2. Jika bola di soal 1 dilempar dari ketinggian 5 m, model tingginya.
h₀ = 5 m, v₀ = 20 m/s
Model: h(t) = 5 + 20t – 5t² = -5t² + 20t + 5
3. Dari contoh 1, kapan bola mencapai tinggi maksimum?
h(t) = -5t² + 20t → tₚ = -20/(2×(-5)) = 20/10 = 2 sekon
4. Dari contoh 1, berapa tinggi maksimum bola?
h(2) = -5(4) + 20(2) = -20 + 40 = 20 meter
5. Bola dijatuhkan dari atap rumah 10 m tingginya (tanpa kecepatan awal). Kapan bola menyentuh tanah?
h₀ = 10 m, v₀ = 0
h(t) = 10 – 5t² = 0 → t² = 2 → t = √2 ≈ 1.41 sekon
SEDANG
1. Peluru ditembakkan dari ketinggian 1.5 m dengan kecepatan awal 30 m/s. Tentukan lama waktu hingga menyentuh tanah (g=10).
h₀ = 1.5, v₀ = 30
h(t) = 1.5 + 30t – 5t² = 0
5t² – 30t – 1.5 = 0 → t² – 6t – 0.3 = 0
t = (6 + √(36 + 1.2))/2 = (6 + √37.2)/2 ≈ (6 + 6.1)/2 ≈ 6.05 sekon
2. Bola dilempar ke atas dari tanah dengan v₀ = 40 m/s. Tentukan saat bola berada di tinggi 60 m.
h(t) = 40t – 5t² = 60
-5t² + 40t – 60 = 0 → t² – 8t + 12 = 0
(t – 2)(t – 6) = 0 → t = 2 atau t = 6
Saat naik (t=2 s) dan saat turun (t=6 s)
3. Perahu motor melontarkan peluru dari ketinggian 2 m dengan v₀ = 25 m/s. Pada detik ke berapa tinggi peluru sama dengan tinggi lontaran awal?
h(t) = 2 + 25t – 5t² = 2
25t – 5t² = 0 → 5t(5 – t) = 0
t = 0 atau t = 5
Saat t = 5 sekon (kembali ke ketinggian awal)
4. Tinggi maksimum peluru h(t) = -5t² + 50t + 5 dicapai pada waktu berapa?
tₚ = -50/(2×(-5)) = 50/10 = 5 sekon
hₚ = -5(25) + 50(5) + 5 = -125 + 250 + 5 = 130 meter
5. Dua bola berbeda kondisi awal. Bola A: h_A(t) = 30t – 5t². Bola B: h_B(t) = 20 + 15t – 5t². Mana yang mencapai tinggi maksimum lebih dulu?
Bola A: t_A = -30/(2×(-5)) = 3 sekon
Bola B: t_B = -15/(2×(-5)) = 1.5 sekon
Bola B lebih dulu (1.5 s < 3 s)
SULIT
1. Dua bola dilontarkan dari tanah. A: h_A = 25t – 5t², B: h_B = 15t – 5t². Kapan tinggi kedua bola sama (di atas tanah)?
h_A = h_B → 25t – 5t² = 15t – 5t²
10t = 0 → t = 0 (mulai awal)
Mereka hanya sama saat t = 0 (mulai dari tanah). Tidak ada waktu lain.
2. Bola A dari tanah v₀ = 40 m/s, Bola B dari ketinggian 5 m dengan v₀ = 30 m/s. Berapa waktu keduanya menyentuh tanah? Mana yang lebih lama?
Bola A: 40t – 5t² = 0 → t(40 – 5t) = 0 → t = 8 s
Bola B: 5 + 30t – 5t² = 0 → 5t² – 30t – 5 = 0 → t² – 6t – 1 = 0
t = (6 + √(36+4))/2 = (6 + √40)/2 ≈ 6.16 s
Bola A lebih lama (8 s > 6.16 s)
3. Roket model dilempar dari ketinggian 2 m dengan v₀ = 50 m/s. Tentukan 3 saat kapan roket berada di ketinggian 90 m.
2 + 50t – 5t² = 90 → -5t² + 50t – 88 = 0 → 5t² – 50t + 88 = 0
D = 2500 – 1760 = 740, √740 ≈ 27.2
t = (50 ± 27.2)/10 = 7.72 atau 2.28 sekon
Dua saat: saat naik (2.28 s) dan saat turun (7.72 s). Tidak ada saat ketiga.
4. Berapa lama bola h(t) = 50 + 40t – 5t² berada di atas ketinggian 80 m?
h(t) > 80 → 50 + 40t – 5t² > 80
-5t² + 40t – 30 > 0 → t² – 8t + 6 < 0
t = (8 ± √(64-24))/2 = (8 ± √40)/2 = 4 ± √10
t₁ ≈ 0.84 s, t₂ ≈ 7.16 s
Lama berada di atas 80 m: 7.16 – 0.84 ≈ 6.32 sekon
5. Tinggi rata-rata h̄ dari bola antara t=1 hingga t=3 adalah (1/2)∫₁³ h(t)dt. Jika h(t) = 30 + 10t – 5t², hitung h̄.
∫(30 + 10t – 5t²)dt = 30t + 5t² – (5/3)t³
|₁³ = [90 + 45 – 45] – [30 + 5 – 5/3]
= 90 – (30 + 5 – 5/3) = 90 – 35 + 5/3 = 55 + 5/3 ≈ 56.67
h̄ = (1/2) × 56.67 ≈ 28.33 meter
📝 Latihan Soal — Gerak Benda
MUDAH
1. Bola dilempar ke atas dari tanah v₀=15 m/s. Model tinggi h(t).
2. Dari contoh 1, kapan bola mencapai tinggi maks? Berapa tinggi maksnya?
3. Bola dijatuhkan dari 20 m tanpa v₀. Kapan tiba di tanah? (g=10)
4. Model h(t) = 25 + 10t – 5t². Kapan h = 30 m?
5. Peluru h(t) = -5t² + 60t. Tinggi maksimum?
SEDANG
1. Bola dari 5 m, v₀=35 m/s. Kapan menyentuh tanah?
2. h(t) = 45 + 20t – 5t². Berapa lama di atas 50 m?
3. Dua bola A: h_A = 30t-5t², B: h_B = 10+25t-5t². Kapan sama tinggi?
4. Roket dari 2 m, v₀=50 m/s. Tinggi pada t=4 detik?
5. Berapa v₀ jika bola dari tanah mencapai 125 m (g=10)?
SULIT
1. Dua bola: A dari tanah v₀=50m/s, B dari 10m v₀=30m/s. Mana sampai tanah duluan?
2. h(t)=100+40t-5t². Berapa lama antara tinggi 120m saat naik dan saat turun?
3. Bola dari 50 m, v₀=-20 m/s (ke bawah). Model h(t) dan kapan jatuh?
4. Cari v₀ jika bola dari 10 m mencapai maks 35 m (g=10).
5. Rata-rata tinggi h(t)=-5t²+40t antara t=0 dan t=4 detik?
Konsep Dasar Ekonomi
Masalah ekonomi sering melibatkan keuntungan, biaya, atau pendapatan yang tergantung pada jumlah barang atau harga jual.
Sering menghasilkan fungsi kuadrat untuk menemukan keuntungan maksimum atau biaya minimum.
Contoh Situasi
- Penurunan harga: Semakin banyak barang (x), harga turun. P(x) = harga × x menjadi kuadrat.
- Biaya produksi: B(x) = biaya tetap + biaya per unit × x. Sering linier, tapi efisiensi skala bisa kuadrat.
- Laba maksimum: Cari x yang membuat K = P – B maksimal menggunakan puncak parabola.
✏️ Contoh Soal — Keuntungan & Biaya
MUDAH
1. Toko menjual barang x unit dengan harga (200 – x) ribu per unit. Jika biaya tetap 10 juta dan biaya per unit 50 ribu, tentukan model keuntungan.
Pendapatan: P(x) = x × (200 – x) = 200x – x²
Biaya: B(x) = 10.000 + 50x
Keuntungan: K(x) = (200x – x²) – (10.000 + 50x)
K(x) = -x² + 150x – 10.000 (dalam ribuan)
2. Dari soal 1, pada penjualan berapa unit keuntungan maksimum?
K(x) = -x² + 150x – 10.000
xₚ = -150/(2×(-1)) = 75 unit
Keuntungan maksimum saat 75 unit terjual
3. Dari soal 1, berapa keuntungan maksimumnya?
K(75) = -75² + 150(75) – 10.000
= -5.625 + 11.250 – 10.000
= -4.375 ribu = -4.375.000 (rugi!)
Artinya dengan model ini, toko selalu rugi. Perlu revisi harga.
4. Pedagang menjual barang x butir dengan harga (10 – 0.1x) ribu per butir. Biaya tetap 5 ribu, biaya per butir 2 ribu. Model keuntungan.
Pendapatan: P = x(10 – 0.1x) = 10x – 0.1x²
Biaya: B = 5 + 2x
K(x) = -0.1x² + 8x – 5
5. Dari soal 4, berapa keuntungan maksimum?
xₚ = -8/(2×(-0.1)) = 40 butir
K(40) = -0.1(1.600) + 8(40) – 5 = -160 + 320 – 5 = 155 ribu
SEDANG
1. Restoran menjual paket dengan jumlah x paket/hari. Harga = (500 – 2x) ribu/paket. Biaya produksi = (50x + 100) ribu. Model keuntungan harian.
P(x) = x(500 – 2x) = 500x – 2x²
B(x) = 50x + 100
K(x) = 500x – 2x² – 50x – 100
K(x) = -2x² + 450x – 100
Keuntungan maksimum saat x = 450/4 = 112.5 ≈ 112 paket
2. Berapa keuntungan maksimum restoran dari soal 1?
K(112.5) = -2(112.5)² + 450(112.5) – 100
= -2(12.656) + 50.625 – 100
= -25.312 + 50.625 – 100 = -74.687 ribu (rugi!)
Atau K(112) = -2(12.544) + 50.400 – 100 ≈ 25.712 ribu
3. Pabrik memproduksi x unit/minggu dengan biaya B(x) = 5x² – 100x + 5000 ribu. Harga jual 300 ribu/unit. Tentukan keuntungan maksimum.
P(x) = 300x
B(x) = 5x² – 100x + 5000
K(x) = 300x – (5x² – 100x + 5000)
= -5x² + 400x – 5000
xₚ = -400/(2×(-5)) = 40 unit
K(40) = -5(1.600) + 400(40) – 5000 = -8000 + 16000 – 5000 = 3000 ribu
4. Toko online menjual x unit/hari dengan harga (1000 – 10x) rupiah. Biaya = 100x + 50000 rupiah. Tentukan BEP (break-even point).
P(x) = x(1000 – 10x) = 1000x – 10x²
K(x) = 1000x – 10x² – 100x – 50000 = -10x² + 900x – 50000
BEP: K(x) = 0 → -10x² + 900x – 50000 = 0
x² – 90x + 5000 = 0
x = (90 ± √(8100 – 20000))/2 → D < 0, tidak ada solusi nyata
Berarti toko selalu rugi dengan model ini
5. Perusahaan ingin keuntungan 100 juta dari K(x) = -2x² + 500x – 50000. Berapa unit yang harus dijual?
-2x² + 500x – 50000 = 100000
-2x² + 500x – 150000 = 0 → x² – 250x + 75000 = 0
x = (250 ± √(62500 – 300000))/2
D < 0, tidak ada solusi. Keuntungan tidak bisa mencapai 100 juta.
SULIT
1. Dua toko bersaing. Toko A: harga (100 – x) ribu/unit, K_A = (100-x)x – 20x. Toko B: harga (80 – 0.5x) ribu/unit, K_B = (80-0.5x)x – 15x. Siapa keuntungan lebih besar jika x = 30?
Toko A: K_A = 100x – x² – 20x = -x² + 80x
K_A(30) = -900 + 2400 = 1500 ribu
Toko B: K_B = 80x – 0.5x² – 15x = -0.5x² + 65x
K_B(30) = -0.5(900) + 1950 = -450 + 1950 = 1500 ribu
Keuntungan sama!
2. Produsen mainan memproduksi x unit dengan biaya B = 0.1x² + 10x + 1000. Harga jual 50 ribu/unit, ingin keuntungan minimal 5 juta. Berapa range x yang memenuhi?
K(x) = 50x – (0.1x² + 10x + 1000) = -0.1x² + 40x – 1000
K(x) ≥ 5000 → -0.1x² + 40x – 1000 ≥ 5000
-0.1x² + 40x – 6000 ≥ 0 → x² – 400x + 60000 ≤ 0
x = (400 ± √(160000 – 240000))/2 → D < 0
Tidak ada range x yang memenuhi (keuntungan maks < 5 juta)
3. Diskriminasi harga: zona A bayar 100 ribu/unit, zona B bayar (100 – 0.2x) ribu/unit. Total penjualan x unit. Model keuntungan total jika biaya 40x + 5000.
Misalkan zona A beli a unit, zona B beli b unit, x = a + b
Pendapatan: P = 100a + (100 – 0.2b)b = 100a + 100b – 0.2b²
Karena a = x – b: P = 100(x-b) + 100b – 0.2b²
= 100x – 0.2b² (optimal saat b = 0, artinya jual semua ke zona A)
K(x) = 100x – (40x + 5000) = 60x – 5000
(Fungsi linier, bukan kuadrat, karena optimal selalu jual ke zona A)
4. Elastisitas permintaan: harga p dan kuantitas q memenuhi p + q = 100. Biaya C = 10q + 500. Tentukan harga dan kuantitas untuk keuntungan maksimum.
p = 100 – q
P(q) = pq = (100 – q)q = 100q – q²
K(q) = 100q – q² – 10q – 500 = -q² + 90q – 500
qₚ = 45 unit, p = 100 – 45 = 55 ribu
K(45) = -2025 + 4050 – 500 = 1525 ribu
Harga: 55 ribu/unit, Kuantitas: 45 unit, Keuntungan: 1.525 juta
5. Pedagang memiliki modal M. Membeli barang seharga m/unit, menjual x unit dengan harga jual per unit = M/(x). Tentukan model keuntungan.
Pendapatan: P = x × (M/x) = M (konstan)
Biaya: B = mx
Keuntungan: K = M – mx (linier, bukan kuadrat)
Keuntungan maksimum saat x sekecil mungkin, tapi harus > 0
Model ini tidak menghasilkan fungsi kuadrat atau optimasi kuadrat.
📝 Latihan Soal — Keuntungan & Biaya
MUDAH
1. Toko jual x unit, harga (500-x) ribu/unit, biaya 100x+5000. Model K(x).
2. Dari soal 1, berapa unit untuk keuntungan maksimum?
3. Keuntungan K(x) = -5x² + 100x – 500. Kapan K = 0 (BEP)?
4. Pabrik K(x) = -x² + 200x – 10000. Keuntungan maksimum berapa?
5. Harga jual 1000 ribu/unit, biaya 600x. Jual berapa untuk untung 100 juta?
SEDANG
1. Restoran K(x) = -3x² + 600x – 50000. Keuntungan maks? (dalam ribuan)
2. Toko A: K_A = -x²+80x, Toko B: K_B = -2x²+100x. Pada x berapa K_A = K_B?
3. Biaya B(x) = 0.5x² + 20x + 1000, harga jual 100 ribu/unit. Model K(x).
4. K(x) = -2x² + 400x – 50000. Berapa range x untuk K ≥ 30000?
5. Dua produk: P₁: K = -x²+50x, P₂: K = -0.5x²+60x. Pilih mana?
SULIT
1. Produsen K(x) = -0.1x² + 50x – 5000. Berapa biaya produksi per unit saat keuntungan max?
2. Elastisitas: p + 2q = 200, C = 20q + 1000. Harga & qty untuk K max?
3. K(x)=- x²+100x-1000. Berapa lama keuntungan ≥ 1500 (x dalam jam)?
4. Kompetitor: K₁ = -x²+100x, K₂ = -2x²+120x. Kapan keduanya sama rugi?
5. Produsen ingin K = 50 juta dari K(x) = -5x² + 1000x – 100000. Berapa x?