📐 Fungsi Kuadrat
Materi Lengkap, Contoh Soal & Latihan
1. Pengertian Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial berderajat dua yang memiliki bentuk umum:
dengan \(a, b, c \in \mathbb{R}\) dan \(a \neq 0\)
Keterangan:
- \(a\) = koefisien dari \(x^2\) (menentukan arah dan lebar parabola)
- \(b\) = koefisien dari \(x\)
- \(c\) = konstanta (titik potong sumbu-\(y\))
Ciri-ciri Fungsi Kuadrat:
- Grafiknya berupa parabola
- Jika \(a > 0\), parabola terbuka ke atas (∪)
- Jika \(a < 0\), parabola terbuka ke bawah (∩)
- Memiliki titik puncak (vertex) di \(\left(-\dfrac{b}{2a},\ -\dfrac{D}{4a}\right)\) dengan \(D = b^2 – 4ac\)
- Memiliki sumbu simetri \(x = -\dfrac{b}{2a}\)
Contoh fungsi kuadrat:
- \(f(x) = 2x^2 + 3x – 5\) → \(a=2,\ b=3,\ c=-5\)
- \(f(x) = -x^2 + 4\) → \(a=-1,\ b=0,\ c=4\)
- \(f(x) = x^2\) → \(a=1,\ b=0,\ c=0\)
Contoh Soal – Pengertian Fungsi Kuadrat
Mudah
1. Tentukan nilai \(a\), \(b\), dan \(c\) dari \(f(x) = 3x^2 – 6x + 2\).
Pembahasan
\(a = 3\), \(b = -6\), \(c = 2\).
2. Apakah \(f(x) = 5x + 1\) merupakan fungsi kuadrat? Jelaskan!
Pembahasan
3. Tentukan nilai \(f(0)\) untuk \(f(x) = x^2 – 4x + 7\).
Pembahasan
4. Tentukan nilai \(f(2)\) untuk \(f(x) = 2x^2 + x – 3\).
Pembahasan
5. Tentukan koefisien \(a\) pada \(f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 3x\).
Pembahasan
Sedang
1. Tentukan titik potong sumbu-\(y\) dan sumbu simetri dari \(f(x) = 2x^2 – 8x + 6\).
Pembahasan
Sumbu simetri: \(x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-8}{2(2)}=2\).
2. Tentukan titik puncak dari \(f(x) = x^2 – 6x + 5\).
Pembahasan
\(D = 36 – 20 = 16\)
\(y_p = -\dfrac{16}{4(1)}=-4\)
Titik puncak: \((3, -4)\).
3. Tentukan titik potong sumbu-\(x\) dari \(f(x) = x^2 – 5x + 6\).
Pembahasan
\((x-2)(x-3)=0\)
\(x=2\) atau \(x=3\)
Titik potong sumbu-\(x\): \((2,0)\) dan \((3,0)\).
4. Jika \(f(x) = ax^2 + 4x + 1\) memiliki sumbu simetri \(x = -1\), tentukan nilai \(a\).
Pembahasan
\(\dfrac{4}{2a} = 1 \Rightarrow 2a = 4 \Rightarrow a = 2\).
5. Tentukan nilai minimum dari \(f(x) = 3x^2 – 12x + 15\).
Pembahasan
Nilai minimum \(= -\dfrac{D}{4a} = -\dfrac{-36}{12} = 3\).
Karena \(a=3>0\), fungsi memiliki nilai minimum = 3.
Sulit
1. Tentukan nilai \(k\) agar \(f(x)=2x^2 – kx + 8\) memiliki titik puncak di \(x=3\).
Pembahasan
\(k = 12\).
2. Fungsi \(f(x)=x^2+bx+c\) memiliki titik puncak \((2,-1)\). Tentukan \(b\) dan \(c\).
Pembahasan
\(f(2) = 4 – 8 + c = -1 \Rightarrow c = 3\).
Jadi \(b=-4,\ c=3\).
3. Tentukan rentang nilai \(m\) agar \(f(x)=x^2 – 4x + m\) selalu positif untuk semua \(x\).
Pembahasan
\(a = 1 > 0\) ✓
\(D = 16 – 4m < 0 \Rightarrow m > 4\).
4. Tentukan persamaan sumbu simetri dan koordinat titik puncak \(f(x) = -3x^2 + 12x – 7\), lalu tentukan nilai maksimumnya.
Pembahasan
\(f(2) = -12 + 24 – 7 = 5\)
Sumbu simetri: \(x = 2\). Titik puncak: \((2, 5)\).
Karena \(a < 0\), nilai maksimum = 5.
5. Diketahui \(f(x) = (k-1)x^2 + 2kx + k+3\). Tentukan nilai \(k\) agar \(f(x)\) merupakan fungsi kuadrat dan grafiknya memotong sumbu-\(x\) di dua titik berbeda.
Pembahasan
Memotong sumbu-\(x\) di dua titik: \(D > 0\).
\(D = 4k^2 – 4(k-1)(k+3) > 0\)
\(= 4k^2 – 4(k^2+2k-3) > 0\)
\(= 4k^2 – 4k^2 – 8k + 12 > 0\)
\(= -8k + 12 > 0\)
\(k < \dfrac{3}{2}\) dan \(k \neq 1\).
Latihan Soal – Pengertian Fungsi Kuadrat
Mudah
- Tentukan \(a, b, c\) dari \(f(x) = -4x^2 + x – 9\).
- Hitung \(f(1)\) jika \(f(x)=x^2+2x+3\).
- Apakah \(g(x)=7x^3-2x+1\) termasuk fungsi kuadrat?
- Tentukan titik potong sumbu-\(y\) dari \(f(x)=5x^2-3x+10\).
- Tentukan arah bukaan parabola \(f(x)=-2x^2+x\).
Sedang
- Tentukan sumbu simetri dan titik puncak \(f(x)=x^2-4x+3\).
- Tentukan titik potong sumbu-\(x\) dari \(f(x)=x^2-9\).
- Hitung nilai minimum \(f(x)=2x^2+8x+10\).
- Jika sumbu simetri \(f(x)=3x^2+bx+5\) adalah \(x=2\), tentukan \(b\).
- Tentukan \(f(-1)\) dan \(f(3)\) untuk \(f(x)=-x^2+6x-5\).
Sulit
- Tentukan nilai \(p\) agar \(f(x)=x^2-6x+p\) menyinggung sumbu-\(x\).
- Tentukan \(k\) agar \(f(x)=kx^2+4x+k\) memiliki nilai minimum \(-1\).
- Buktikan \(f(x)=2x^2-4x+5\) selalu positif untuk semua \(x \in \mathbb{R}\).
- Tentukan \(m\) agar grafik \(f(x)=x^2+mx+m+3\) tidak memotong sumbu-\(x\).
- Jika titik puncak \(f(x)=ax^2+bx+1\) adalah \((1,3)\), tentukan \(a\) dan \(b\).
2. Daerah Asal, Daerah Kawan, dan Daerah Hasil
Pada fungsi \(f: A \to B\) dengan \(y = f(x)\):
- Daerah Asal (Domain) \(D_f\): Himpunan semua nilai \(x\) yang mungkin dimasukkan ke fungsi. Untuk fungsi kuadrat, domain umumnya adalah \(\mathbb{R}\) (semua bilangan real).
- Daerah Kawan (Kodomain): Himpunan tempat nilai fungsi dipetakan, biasanya \(\mathbb{R}\).
- Daerah Hasil (Range) \(R_f\): Himpunan semua nilai \(y\) yang benar-benar dihasilkan oleh fungsi.
Menentukan Range Fungsi Kuadrat:
Jika \(f(x)=ax^2+bx+c\) dengan titik puncak \((x_p, y_p)\):
- Jika \(a > 0\) (terbuka ke atas): \(R_f = \{y \mid y \geq y_p\}\) atau \([y_p, \infty)\)
- Jika \(a < 0\) (terbuka ke bawah): \(R_f = \{y \mid y \leq y_p\}\) atau \((-\infty, y_p]\)
Diagram Pemetaan Fungsi
Contoh: \(f(x)=x^2-4x+3\), \(a=1, b=-4, c=3\).
- Domain: \(D_f = \mathbb{R}\)
- Titik puncak: \(x_p=2,\ y_p = f(2)= 4-8+3=-1\)
- Karena \(a>0\): Range = \(\{y \mid y \geq -1\} = [-1, \infty)\)
| \(x\) | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 8 | 3 | 0 | -1 | 0 | 3 | 8 |
Contoh Soal – Domain, Kodomain, Range
Mudah
1. Tentukan domain dari \(f(x) = x^2 + 1\).
Pembahasan
Domain: \(D_f = \mathbb{R}\) atau \((-\infty, \infty)\).
2. Tentukan range dari \(f(x) = x^2\).
Pembahasan
Range: \(\{y \mid y \geq 0\} = [0, \infty)\).
3. Tentukan range dari \(f(x)=-x^2+9\).
Pembahasan
Range: \(\{y \mid y \leq 9\} = (-\infty, 9]\).
4. Buat tabel nilai \(f(x)=x^2-1\) untuk \(x = -2,-1,0,1,2\).
Pembahasan
| \(x\) | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 3 | 0 | -1 | 0 | 3 |
5. Tentukan kodomain dari \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 2x^2 – 5\).
Pembahasan
Sedang
1. Tentukan range dari \(f(x)=2x^2 – 8x + 10\).
Pembahasan
Range: \([2, \infty)\).
2. Tentukan range dari \(f(x)=-x^2+6x-5\).
Pembahasan
Range: \((-\infty, 4]\).
3. Jika \(f(x)=x^2-2x+3\) dan domain dibatasi \(0 \leq x \leq 4\), tentukan range.
Pembahasan
\(f(0)=3\), \(f(4)=11\) (maksimum di ujung).
Range: \([2, 11]\).
4. Tentukan domain dari \(f(x)=\sqrt{x^2-4x+3}\).
Pembahasan
\((x-1)(x-3) \geq 0\)
\(x \leq 1\) atau \(x \geq 3\).
Domain: \((-\infty, 1] \cup [3, \infty)\).
5. Jika \(f(x)=x^2+2x\) dengan domain \(\{-3,-2,-1,0,1,2\}\), tentukan range.
Pembahasan
Range: \(\{-1, 0, 3, 8\}\).
Sulit
1. Tentukan range dari \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2+2}\).
Pembahasan
\(yx^2 + 2y = x^2+1\)
\(x^2(y-1) = 1-2y\)
\(x^2 = \dfrac{1-2y}{y-1}\)
Syarat: \(x^2 \geq 0\), sehingga \(\dfrac{1-2y}{y-1} \geq 0\).
Analisis: \(\dfrac{1}{2} \leq y < 1\).
Range: \(\left[\dfrac{1}{2}, 1\right)\).
2. Jika \(f(x)=-2x^2+8x-3\) dengan domain \([-1,5]\), tentukan range.
Pembahasan
\(f(-1)=-2-8-3=-13\)
\(f(5)=-50+40-3=-13\)
Range: \([-13, 5]\).
3. Tentukan domain dan range dari \(g(x) = \sqrt{-x^2+6x-8}\).
Pembahasan
\((x-2)(x-4) \leq 0 \Rightarrow 2 \leq x \leq 4\). Domain: \([2,4]\).
Maks \(-x^2+6x-8\) di \(x=3\): \(-9+18-8=1\).
Range \(g\): \([0, 1]\).
4. Tentukan semua nilai \(k\) agar range \(f(x)=x^2-2x+k\) mencakup \(y=0\).
Pembahasan
Agar \(0\) termasuk range: \(y_p \leq 0\), karena \(a>0\).
\(k-1 \leq 0 \Rightarrow k \leq 1\).
5. Diketahui \(f(x) = x^2 + 2x + 5\) dan \(g(x) = -x^2 + 4x + 1\). Tentukan range masing-masing dan tentukan apakah range keduanya beririsan.
Pembahasan
\(g\): \(x_p=2\), \(g(2)=5\). Range \(g = (-\infty, 5]\).
Irisan: \([4,5]\). Ya, range keduanya beririsan.
Latihan Soal – Domain, Kodomain, Range
Mudah
- Tentukan domain dari \(f(x)=3x^2-x+2\).
- Tentukan range dari \(f(x)=x^2+4\).
- Tentukan range dari \(f(x)=-x^2\).
- Buat tabel \(f(x)=x^2+x\) untuk \(x=-3\) sampai \(x=3\).
- Tentukan nilai minimum \(f(x)=x^2-2x+5\).
Sedang
- Tentukan range \(f(x)=3x^2-6x+1\).
- Jika domain \(f(x)=x^2-4x\) dibatasi \([0,5]\), tentukan range.
- Tentukan domain \(g(x)=\sqrt{x^2-9}\).
- Jika domain \(f(x)=-x^2+4x\) adalah \(\{0,1,2,3,4\}\), tentukan range.
- Tentukan nilai maksimum \(f(x)=-2x^2+12x-10\).
Sulit
- Tentukan domain dan range \(h(x)=\sqrt{-x^2+4x}\).
- Tentukan range \(f(x)=\dfrac{2x^2}{x^2+1}\).
- Tentukan \(k\) agar range \(f(x)=-x^2+4x+k\) mencakup \(y=10\).
- Jika \(f(x)=x^2-6x+c\) pada domain \([1,5]\) memiliki range \([-2, c-5]\), tentukan \(c\).
- Tentukan range dari \(f(x)=|x^2-4x+3|\).
3. Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat
Langkah-langkah menyketsa grafik fungsi kuadrat \(f(x)=ax^2+bx+c\):
- Tentukan arah parabola: \(a>0\) → terbuka ke atas; \(a<0\) → terbuka ke bawah.
- Tentukan titik potong sumbu-\(y\): substitusi \(x=0\), diperoleh \((0,c)\).
- Tentukan titik potong sumbu-\(x\) (jika ada): selesaikan \(ax^2+bx+c=0\).
- Tentukan titik puncak: \(\left(-\dfrac{b}{2a},\ -\dfrac{D}{4a}\right)\).
- Buat tabel nilai untuk beberapa titik di sekitar puncak.
- Gambar grafiknya dengan menghubungkan titik-titik secara mulus.
Pengaruh Diskriminan \(D = b^2 – 4ac\):
- \(D > 0\): grafik memotong sumbu-\(x\) di dua titik
- \(D = 0\): grafik menyinggung sumbu-\(x\) (satu titik singgung)
- \(D < 0\): grafik tidak memotong sumbu-\(x\)
Contoh Grafik: \(f(x)=x^2-4x+3\)
\(a=1, b=-4, c=3\). Titik puncak \((2,-1)\). Potong sumbu-\(x\): \((1,0)\) dan \((3,0)\).
Contoh Grafik: \(f(x)=-x^2+2x-3\) (D < 0, terbuka bawah)
Contoh Soal – Sketsa Grafik
Mudah
1. Tentukan arah bukaan dan titik potong sumbu-\(y\) dari \(f(x)=x^2+2\).
Pembahasan
Titik potong sumbu-\(y\): \(f(0)=2\), yaitu \((0,2)\).
2. Tentukan titik puncak dari \(f(x)=x^2-2x\).
Pembahasan
3. Hitung diskriminan \(f(x)=x^2-4x+4\) dan tentukan berapa titik potong sumbu-\(x\).
Pembahasan
\(x=2\), titik singgung \((2,0)\).
4. Buat tabel nilai \(f(x)=x^2\) untuk \(x=-2,-1,0,1,2\).
Pembahasan
| \(x\) | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
5. Tentukan sumbu simetri dari \(f(x)=-2x^2+8x-1\).
Pembahasan
Sedang
1. Sketsa grafik \(f(x)=x^2-2x-3\). Tentukan titik potong sumbu-\(x\), sumbu-\(y\), dan titik puncak.
Pembahasan
Sumbu-\(x\): \(x^2-2x-3=0 \Rightarrow (x-3)(x+1)=0\), titik \((-1,0)\) dan \((3,0)\).
Puncak: \(x_p=1\), \(f(1)=-4\). Titik puncak \((1,-4)\).
Parabola terbuka ke atas karena \(a=1>0\).
2. Tentukan semua informasi penting dan sketsa grafik \(f(x)=-x^2+4x\).
Pembahasan
Sumbu-\(y\): \((0,0)\).
Sumbu-\(x\): \(-x(x-4)=0\), titik \((0,0)\) dan \((4,0)\).
Puncak: \(x_p=2\), \(f(2)=4\). Titik puncak \((2,4)\).
3. Sketsa grafik \(f(x)=2x^2-4x+2\). Ada berapa titik potong sumbu-\(x\)?
Pembahasan
\(2(x-1)^2 = 0 \Rightarrow x=1\). Titik singgung \((1,0)\).
Puncak: \((1,0)\). Terbuka ke atas.
4. Grafik \(f(x)=x^2+2x+5\) apakah memotong sumbu-\(x\)?
Pembahasan
Tidak memotong sumbu-\(x\). Seluruh grafik berada di atas sumbu-\(x\) (karena \(a>0\)).
5. Tentukan persamaan sumbu simetri, titik puncak, dan arah bukaan dari \(f(x)=-\frac{1}{2}x^2+3x-4\).
Pembahasan
\(f(3) = -\frac{9}{2}+9-4 = \frac{1}{2}\)
Sumbu simetri \(x=3\), puncak \((3, \frac{1}{2})\), terbuka ke bawah.
Sulit
1. Sketsa grafik \(f(x)=|x^2-4|\). Tentukan titik-titik penting.
Pembahasan
Untuk \(|x| \geq 2\): \(f(x)=x^2-4\) (parabola biasa).
Untuk \(-2 < x < 2\): \(f(x) = 4-x^2\) (parabola terbalik).
Titik puncak bagian atas: \((0,4)\). Titik sentuh sumbu-\(x\): \((\pm 2, 0)\).
Grafik berbentuk “W” simetris.
2. Tentukan titik potong grafik \(f(x)=x^2-3x+2\) dengan \(g(x)=-x^2+x+6\).
Pembahasan
\(2x^2-4x-4=0\)
\(x^2-2x-2=0\)
\(x = 1 \pm \sqrt{3}\)
Titik potong: \((1+\sqrt{3},\ f(1+\sqrt{3}))\) dan \((1-\sqrt{3},\ f(1-\sqrt{3}))\).
3. Diketahui grafik \(f(x)=ax^2+bx+c\) melalui \((0,3)\), \((1,0)\), dan \((3,0)\). Tentukan \(f(x)\) dan sketsakan.
Pembahasan
\(a+b+3=0\) dan \(9a+3b+3=0\).
Dari persamaan 1: \(b = -a-3\). Substitusi ke persamaan 2:
\(9a+3(-a-3)+3=0 \Rightarrow 6a-6=0 \Rightarrow a=1\), \(b=-4\).
\(f(x) = x^2-4x+3\).
4. Tentukan \(k\) agar grafik \(f(x)=x^2-2kx+k^2-1\) menyinggung garis \(y=-1\).
Pembahasan
Karena \(a=1>0\), nilai minimum = \(-1\), artinya grafik menyinggung \(y=-1\) di puncak.
Ini berlaku untuk semua nilai \(k \in \mathbb{R}\).
5. Sketsa grafik \(f(x)=x^2-4x+3\) untuk \(-1 \leq x \leq 5\), dan tentukan nilai maksimum dan minimum pada interval tersebut.
Pembahasan
\(f(-1)=1+4+3=8\), \(f(5)=25-20+3=8\).
Nilai maksimum pada interval = 8 (di kedua ujung).
Nilai minimum pada interval = \(-1\) (di puncak).
Latihan Soal – Sketsa Grafik
Mudah
- Tentukan arah bukaan dan titik potong sumbu-\(y\) dari \(f(x)=-3x^2+6\).
- Hitung diskriminan \(f(x)=x^2+x+1\).
- Tentukan titik puncak \(f(x)=x^2-6x+8\).
- Buat tabel nilai \(f(x)=-x^2+4\) untuk \(x=-3\) sampai \(3\).
- Tentukan sumbu simetri \(f(x)=4x^2-8x+3\).
Sedang
- Sketsa grafik \(f(x)=x^2-x-6\). Tentukan semua titik penting.
- Tentukan apakah grafik \(f(x)=2x^2-3x+5\) memotong sumbu-\(x\).
- Sketsa grafik \(f(x)=-x^2+6x-9\) dan tentukan titik singgungnya.
- Tentukan titik puncak dan titik potong sumbu koordinat dari \(f(x)=x^2+4x\).
- Sketsa grafik \(f(x)=-2x^2+4x+6\). Tentukan nilai maksimumnya.
Sulit
- Tentukan titik potong grafik \(f(x)=x^2\) dan \(g(x)=2x+3\).
- Sketsa \(f(x)=|x^2-2x-3|\). Tentukan titik-titik penting.
- Tentukan \(a\) agar grafik \(f(x)=ax^2-4x+a\) menyinggung sumbu-\(x\).
- Pada interval \([0,4]\), tentukan nilai maks dan min dari \(f(x)=-x^2+6x-5\).
- Grafik \(y=ax^2+bx+c\) melalui \((0,2)\), puncaknya di \((1,1)\). Tentukan \(f(x)\).
4. Menyusun Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat dapat disusun jika diketahui informasi tertentu. Terdapat tiga cara utama:
Cara 1: Diketahui Titik Puncak \((x_p, y_p)\) dan Satu Titik Lain
Substitusi titik lain yang diketahui untuk mencari nilai \(a\).
Cara 2: Diketahui Dua Titik Potong Sumbu-\(x\): \((x_1, 0)\) dan \((x_2, 0)\)
Substitusi satu titik lain yang diketahui untuk mencari nilai \(a\).
Cara 3: Diketahui Tiga Titik yang Dilalui
Substitusi ketiga titik untuk mendapatkan sistem persamaan linear tiga variabel (\(a, b, c\)).
Contoh Soal – Menyusun Fungsi Kuadrat
Mudah
1. Tentukan fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak \((0,0)\) dan melalui titik \((1,3)\).
Pembahasan
Melalui \((1,3)\): \(3 = a(1)^2 \Rightarrow a = 3\).
\(f(x) = 3x^2\).
2. Tentukan fungsi kuadrat dengan akar-akar \(x=1\) dan \(x=3\) serta \(a=1\).
Pembahasan
3. Tentukan fungsi kuadrat dengan puncak \((2,1)\) dan \(a=2\).
Pembahasan
4. Tentukan \(f(x)\) jika akar-akarnya \(x=0\) dan \(x=4\), serta \(a=-1\).
Pembahasan
5. Fungsi kuadrat memiliki puncak \((1,-4)\) dan melalui \((0,-3)\). Tentukan \(f(x)\).
Pembahasan
Melalui \((0,-3)\): \(-3 = a(1) – 4 \Rightarrow a = 1\).
\(f(x) = (x-1)^2 – 4 = x^2 – 2x – 3\).
Sedang
1. Tentukan fungsi kuadrat yang memotong sumbu-\(x\) di \((−1,0)\) dan \((5,0)\) serta melalui \((0,−5)\).
Pembahasan
\(f(0) = a(1)(-5) = -5a = -5 \Rightarrow a = 1\).
\(f(x) = (x+1)(x-5) = x^2-4x-5\).
2. Grafik fungsi kuadrat memiliki puncak \((3,2)\) dan melalui \((1,-6)\). Tentukan \(f(x)\).
Pembahasan
\(f(1) = a(4) + 2 = -6 \Rightarrow 4a = -8 \Rightarrow a = -2\).
\(f(x) = -2(x-3)^2+2 = -2x^2+12x-16\).
3. Tentukan fungsi kuadrat yang melalui \((0,1)\), \((1,0)\), dan \((2,3)\).
Pembahasan
\(f(1)=a+b+1=0 \Rightarrow a+b=-1\) … (i)
\(f(2)=4a+2b+1=3 \Rightarrow 4a+2b=2 \Rightarrow 2a+b=1\) … (ii)
(ii)−(i): \(a=2\), maka \(b=-3\).
\(f(x) = 2x^2-3x+1\).
4. Fungsi kuadrat memiliki sumbu simetri \(x=2\), melalui \((0,5)\) dan \((1,0)\). Tentukan \(f(x)\).
Pembahasan
\(f(0)=c=5\).
\(f(1)=a+b+5=0 \Rightarrow a-4a=-5 \Rightarrow -3a=-5 \Rightarrow a=\frac{5}{3}\).
\(b = -\frac{20}{3}\).
\(f(x)=\frac{5}{3}x^2-\frac{20}{3}x+5\).
5. Tentukan fungsi kuadrat dengan akar-akar \(x=2\) dan \(x=-3\) yang melalui titik \((1,8)\).
Pembahasan
\(f(1)=a(-1)(4)=-4a=8 \Rightarrow a=-2\).
\(f(x)=-2(x-2)(x+3)=-2x^2-2x+12\).
Sulit
1. Tentukan fungsi kuadrat yang melalui \((-1,10)\), \((2,1)\), dan \((4,9)\).
Pembahasan
\(4a+2b+c=1\) … (ii)
\(16a+4b+c=9\) … (iii)
(ii)−(i): \(3a+3b=-9 \Rightarrow a+b=-3\) … (iv)
(iii)−(ii): \(12a+2b=8 \Rightarrow 6a+b=4\) … (v)
(v)−(iv): \(5a=7 \Rightarrow a=\frac{7}{5}\), \(b=-3-\frac{7}{5}=-\frac{22}{5}\).
Dari (i): \(c=10-a+b=10-\frac{7}{5}-\frac{22}{5}=10-\frac{29}{5}=\frac{21}{5}\).
\(f(x) = \frac{7}{5}x^2-\frac{22}{5}x+\frac{21}{5}\).
2. Grafik \(f(x)\) memiliki puncak \((p, -3)\), melalui \((0,1)\) dan \((4,1)\). Tentukan \(f(x)\).
Pembahasan
\(f(x)=a(x-2)^2-3\)
\(f(0)=4a-3=1 \Rightarrow a=1\).
\(f(x)=(x-2)^2-3=x^2-4x+1\).
3. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung garis \(y=2x-1\) di titik \((1,1)\) dan melalui \((0,3)\).
Pembahasan
Melalui \((0,3)\): \(c=3\). Sehingga \(a+b=-2\).
Menyinggung \(y=2x-1\) di \(x=1\): \(f'(1)=2\).
\(f'(x)=2ax+b\), \(f'(1)=2a+b=2\).
Dari \(a+b=-2\) dan \(2a+b=2\): \(a=4\), \(b=-6\).
\(f(x)=4x^2-6x+3\).
4. Fungsi kuadrat \(f(x)\) memiliki nilai minimum 2, memotong sumbu-\(y\) di \((0,6)\), dan salah satu akarnya \(x=1\). Tentukan \(f(x)\).
Pembahasan
Periksa: mungkin “akarnya” berarti \(f(x)-2=0\) punya akar \(x=1\).
Atau: \(c=6\), min = 2, dan melalui \((1,0)\).
\(f(1)=a+b+6=0 \Rightarrow a+b=-6\).
\(y_p = c – \frac{b^2}{4a} = 6 – \frac{b^2}{4a} = 2 \Rightarrow \frac{b^2}{4a}=4\).
\(b = -6-a\). \(\frac{(-6-a)^2}{4a}=4\).
\((6+a)^2=16a \Rightarrow a^2+12a+36=16a \Rightarrow a^2-4a+36=0\).
\(D=16-144 < 0\). Tidak ada solusi real.
Kemungkinan soal: “melalui \((1, f(1))\)” bukan akar. Mari asumsikan nilai minimum 2, \(c=6\), dan sumbu simetri \(x=1\):
\(x_p=1\), \(f(1)=a+b+6=2\), \(a+b=-4\).
\(-\frac{b}{2a}=1 \Rightarrow b=-2a\). Maka \(a-2a=-4 \Rightarrow a=4\), \(b=-8\).
\(f(x)=4x^2-8x+6\).
5. Tentukan semua fungsi kuadrat \(f(x)=ax^2+bx+c\) yang memenuhi: \(f(0)=3\), \(f(1)=f(-1)\), dan nilai minimum fungsi = 1.
Pembahasan
\(f(1)=a+b+3\), \(f(-1)=a-b+3\). \(f(1)=f(-1) \Rightarrow b=0\).
\(f(x)=ax^2+3\). Nilai minimum di \(x=0\): \(f(0)=3\).
Tapi min = 1, jadi perlu \(a>0\) dan min = \(3 – \frac{0}{4a} = 3\).
Kontradiksi (min=3≠1) jika \(b=0\).
Periksa ulang: dengan \(b=0\), min = 3. Agar min = 1:
Ini tidak mungkin dengan \(b=0\) karena puncak = \((0,3)\).
Jadi tidak ada fungsi kuadrat yang memenuhi ketiga syarat tersebut sekaligus.
Latihan Soal – Menyusun Fungsi Kuadrat
Mudah
- Tentukan \(f(x)\) dengan puncak \((0,0)\) dan melalui \((2,8)\).
- Tentukan \(f(x)\) dengan akar \(x=0\) dan \(x=6\), serta \(a=1\).
- Tentukan \(f(x)\) dengan puncak \((3,0)\) dan \(a=2\).
- Tentukan \(f(x)\) dengan akar \(x=-2\) dan \(x=4\), melalui \((0,8)\).
- Tentukan \(f(x)\) dengan puncak \((1,5)\) dan melalui \((0,7)\).
Sedang
- Tentukan \(f(x)\) yang melalui \((0,6)\), \((1,3)\), dan \((2,2)\).
- Grafik memotong sumbu-\(x\) di \((-2,0)\) dan \((3,0)\), melalui \((1,-6)\). Tentukan \(f(x)\).
- Puncak \((-1,4)\), melalui \((1,0)\). Tentukan \(f(x)\).
- Tentukan \(f(x)\) yang melalui \((-1,0)\), \((0,-3)\), dan \((3,0)\).
- Grafik simetri terhadap \(x=3\), melalui \((0,10)\) dan \((1,2)\). Tentukan \(f(x)\).
Sulit
- Tentukan \(f(x)\) yang melalui \((1,2)\), \((2,9)\), dan \((3,22)\).
- Puncak di \((p,q)\) dengan \(p+q=5\), melalui \((0,7)\) dan \((2,3)\). Tentukan \(f(x)\).
- Grafik menyinggung \(y=4x+1\) di \((2,9)\) dan melalui \((0,1)\). Tentukan \(f(x)\).
- Fungsi kuadrat nilai minimumnya 3 pada \(x=2\), dan \(f(0)=7\). Tentukan \(f(x)\).
- Tentukan \(f(x)=ax^2+bx+c\) yang memenuhi \(f(1)=0\), \(f(-2)=0\), dan \(f(2)=8\).