Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang
Materi Matematika — Geometri Ruang
1. Kedudukan Titik terhadap Garis dan Bidang
📘 Materi
A. Kedudukan Titik terhadap Garis
- Titik terletak pada garis — Titik P dikatakan terletak pada garis g jika P merupakan salah satu anggota dari himpunan titik-titik pada g.
- Titik di luar garis — Titik P di luar garis g jika P bukan anggota himpunan titik pada g.
B. Kedudukan Titik terhadap Bidang
- Titik terletak pada bidang — Titik P terletak pada bidang α jika P ∈ α.
- Titik di luar bidang — Titik P di luar bidang α jika P ∉ α.
Contoh dalam kubus ABCD.EFGH:
- Titik A terletak pada garis AB
- Titik A terletak pada bidang ABCD
- Titik A di luar bidang EFGH
- Titik E di luar garis AB
📝 Contoh Soal
▸ Tingkat Mudah
1. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan kedudukan titik A terhadap garis BC!
Pembahasan
Garis BC memuat titik-titik B dan C. Titik A bukan titik B maupun C, dan A tidak terletak segaris dengan B dan C (A, B, C membentuk sudut siku-siku pada B).
Jawaban: Titik A terletak di luar garis BC.
2. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan kedudukan titik E terhadap bidang ABCD!
Pembahasan
Bidang ABCD adalah bidang alas kubus. Titik E berada di atas bidang alas (merupakan titik atap). Maka E ∉ ABCD.
Jawaban: Titik E di luar bidang ABCD.
3. Pada kubus ABCD.EFGH, apakah titik B terletak pada garis AB?
Pembahasan
Garis AB melewati titik A dan titik B. Karena B adalah salah satu titik ujung dari ruas garis AB, maka B terletak pada garis AB.
Jawaban: Ya, titik B terletak pada garis AB.
4. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan kedudukan titik G terhadap bidang EFGH!
Pembahasan
Bidang EFGH adalah bidang atap kubus. Titik G merupakan salah satu titik sudut bidang EFGH.
Jawaban: Titik G terletak pada bidang EFGH.
5. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan kedudukan titik D terhadap garis EF!
Pembahasan
Garis EF memuat titik E dan F di bidang atap. Titik D berada di bidang alas dan bukan merupakan titik segaris dengan E dan F.
Jawaban: Titik D di luar garis EF.
▸ Tingkat Sedang
1. Pada kubus ABCD.EFGH, titik P adalah titik tengah EF. Tentukan kedudukan titik P terhadap bidang ABFE!
Pembahasan
Bidang ABFE memuat titik A, B, F, E. Titik P adalah titik tengah EF, artinya P terletak pada ruas garis EF. Karena E dan F keduanya terletak pada bidang ABFE, maka seluruh garis EF (termasuk titik P) terletak pada bidang ABFE.
Jawaban: Titik P terletak pada bidang ABFE.
2. Pada kubus ABCD.EFGH, titik Q adalah titik tengah AC (diagonal alas). Tentukan kedudukan titik Q terhadap garis BD!
Pembahasan
Pada persegi ABCD, diagonal AC dan BD berpotongan di tengah-tengahnya. Titik tengah AC = titik tengah BD = titik Q (karena diagonal persegi saling membagi dua sama panjang).
Jawaban: Titik Q terletak pada garis BD (bahkan Q adalah titik tengah BD juga).
3. Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Titik M adalah titik tengah AB. Tentukan kedudukan titik M terhadap bidang DCGH!
Pembahasan
Bidang DCGH memuat titik D, C, G, H. Titik M adalah titik tengah AB. Titik M tidak terletak pada salah satu titik D, C, G, H, dan M tidak berada di bidang yang melewati keempat titik tersebut (bidang belakang kubus). M berada 3 cm di depan bidang DCGH.
Jawaban: Titik M di luar bidang DCGH, berjarak 3 cm dari bidang tersebut.
4. Pada kubus ABCD.EFGH, titik R terletak pada diagonal ruang AG sedemikian sehingga AR : RG = 1 : 2. Tentukan kedudukan titik R terhadap bidang ABCD!
Pembahasan
Diagonal ruang AG menghubungkan A (di alas) dan G (di atap). Titik R membagi AG dengan perbandingan 1:2 dari A. Karena R tidak berada tepat di A, maka R sudah “naik” dari bidang ABCD. Jadi R di luar bidang ABCD.
Jawaban: Titik R di luar bidang ABCD.
5. Pada limas segitiga T.ABC, titik P terletak pada rusuk TA sehingga TP:PA = 1:1. Tentukan kedudukan titik P terhadap bidang ABC!
Pembahasan
Titik P adalah titik tengah TA. Bidang ABC adalah bidang alas. Titik T berada di atas bidang alas, sehingga setiap titik pada rusuk TA selain titik A sendiri berada di luar bidang ABC. Karena P ≠ A, maka P di luar bidang ABC.
Jawaban: Titik P di luar bidang ABC.
▸ Tingkat Sulit
1. Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Titik P pada BG sehingga BP = 2 cm. Tentukan jarak titik P ke bidang ADHE!
Pembahasan
Misal kubus diletakkan pada koordinat: A(0,0,0), B(8,0,0), C(8,8,0), D(0,8,0), E(0,0,8), F(8,0,8), G(8,8,8), H(0,8,8).
Bidang ADHE: x = 0.
B = (8,0,0), G = (8,8,8). Vektor BG = (0,8,8), |BG| = 8√2.
P = B + (2/(8√2))·(0,8,8) = (8, 2/√2, 2/√2) = (8, √2, √2).
Jarak P ke bidang x = 0 adalah koordinat x dari P = 8 cm.
Jawaban: Jarak titik P ke bidang ADHE = 8 cm.
2. Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Titik P adalah titik tengah EG. Buktikan bahwa P juga merupakan titik tengah FH, lalu tentukan jarak P ke bidang ABCD!
Pembahasan
Koordinat: E(0,0,6), F(6,0,6), G(6,6,6), H(0,6,6).
Titik tengah EG = ((0+6)/2, (0+6)/2, (6+6)/2) = (3,3,6).
Titik tengah FH = ((6+0)/2, (0+6)/2, (6+6)/2) = (3,3,6). ✓ Sama.
Bidang ABCD: z = 0. Jarak P(3,3,6) ke z = 0 adalah 6 cm.
Jawaban: Terbukti P = titik tengah FH. Jarak P ke ABCD = 6 cm.
3. Pada balok ABCD.EFGH dengan AB = 6, BC = 4, AE = 3. Titik P pada diagonal ruang AG dengan AP:PG = 1:2. Tentukan jarak titik P ke bidang BCGF!
Pembahasan
Koordinat: A(0,0,0), B(6,0,0), C(6,4,0), D(0,4,0), E(0,0,3), G(6,4,3).
P = A + (1/3)·AG = (0,0,0) + (1/3)(6,4,3) = (2, 4/3, 1).
Bidang BCGF: semua titik dengan x = 6.
Jarak P ke bidang x = 6: |2 – 6| = 4.
Jawaban: Jarak P ke bidang BCGF = 4 cm.
4. Pada limas beraturan T.ABCD dengan alas persegi sisi 6 cm dan tinggi limas 8 cm. Titik P pada TA sehingga TP:PA = 3:1. Tentukan jarak titik P ke bidang alas ABCD!
Pembahasan
Misal pusat alas O(3,3,0), T(3,3,8), A(0,0,0).
TP:PA = 3:1, maka P membagi TA dari T dengan perbandingan 3:1 (dari T ke A).
P = T + (3/4)(A – T) = (3,3,8) + (3/4)(-3,-3,-8) = (3-9/4, 3-9/4, 8-6) = (3/4, 3/4, 2).
Bidang ABCD: z = 0. Jarak P ke z = 0 adalah z-koordinat P = 2 cm.
Jawaban: Jarak titik P ke bidang ABCD = 2 cm.
5. Pada kubus ABCD.EFGH rusuk 10 cm. Titik P pada BF sehingga BP = 3 cm, dan titik Q pada DH sehingga DQ = 7 cm. Tentukan kedudukan titik P dan Q terhadap bidang ACGE, serta jarak masing-masing ke bidang tersebut!
Pembahasan
Koordinat: A(0,0,0), B(10,0,0), C(10,10,0), D(0,10,0), E(0,0,10), F(10,0,10), G(10,10,10), H(0,10,10).
Bidang ACGE memuat A(0,0,0), C(10,10,0), G(10,10,10), E(0,0,10).
Persamaan bidang: vektor normal. AC = (10,10,0), AE = (0,0,10). Normal = AC × AE = (100, 0, 0)… Mari gunakan vektor lain.
Titik-titik pada bidang: A(0,0,0), C(10,10,0), G(10,10,10). Vektor AC=(10,10,0), AG=(10,10,10). Normal = AC×AG = (10·10-0·10, 0·10-10·10, 10·10-10·10) = (100,-100,0). Sederhanakan: (1,-1,0).
Persamaan bidang: 1(x-0) -1(y-0) + 0(z-0) = 0 → x – y = 0.
P pada BF: B(10,0,0), F(10,0,10). P = B + (3/10)(F-B) = (10, 0, 3). Jarak P ke x-y=0: |10-0|/√2 = 10/√2 = 5√2 cm.
Q pada DH: D(0,10,0), H(0,10,10). Q = D + (7/10)(H-D) = (0, 10, 7). Jarak Q ke x-y=0: |0-10|/√2 = 10/√2 = 5√2 cm.
Jawaban: P dan Q keduanya di luar bidang ACGE, masing-masing berjarak 5√2 cm dari bidang tersebut.
✏️ Latihan Soal
▸ Mudah
▸ Sedang
▸ Sulit
2. Kedudukan Garis terhadap Garis Lain
📘 Materi
Dalam ruang dimensi tiga, dua garis dapat memiliki tiga kemungkinan kedudukan:
| Kedudukan | Definisi | Contoh pada Kubus |
|---|---|---|
| Sejajar | Dua garis terletak pada satu bidang dan tidak berpotongan | AB ∥ DC, AB ∥ EF |
| Berpotongan | Dua garis memiliki tepat satu titik persekutuan | AB dan BC berpotongan di B |
| Bersilangan | Dua garis tidak terletak pada satu bidang (tidak sejajar dan tidak berpotongan) | AB dan CG bersilangan |
📝 Contoh Soal
▸ Tingkat Mudah
1. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan kedudukan garis AB terhadap garis EF!
Pembahasan
AB dan EF keduanya sejajar sumbu x, terletak di bidang berbeda (ABCD dan EFGH) tetapi memiliki arah yang sama dan tidak berpotongan.
Jawaban: AB ∥ EF (sejajar).
2. Tentukan kedudukan garis AB terhadap garis AD pada kubus ABCD.EFGH!
Pembahasan
AB dan AD memiliki titik persekutuan yaitu titik A. Keduanya terletak pada bidang ABCD.
Jawaban: AB dan AD berpotongan di titik A.
3. Tentukan kedudukan garis AB dan garis HG pada kubus ABCD.EFGH!
Pembahasan
AB searah dengan DC, dan DC searah dengan HG. Maka AB ∥ HG. Keduanya tidak berpotongan dan dapat dimuat dalam satu bidang (bidang ABGH).
Jawaban: AB ∥ HG (sejajar).
4. Tentukan kedudukan garis AE terhadap garis BF!
Pembahasan
AE dan BF keduanya merupakan rusuk tegak kubus. Keduanya sejajar (sama-sama tegak lurus bidang alas dan tidak berpotongan).
Jawaban: AE ∥ BF (sejajar).
5. Tentukan kedudukan garis EF terhadap garis FG!
Pembahasan
EF dan FG bertemu di titik F. Keduanya terletak pada bidang EFGH.
Jawaban: EF dan FG berpotongan di titik F.
▸ Tingkat Sedang
1. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan kedudukan garis AB terhadap garis CG!
Pembahasan
AB berarah horizontal (dari A ke B), CG berarah vertikal (dari C ke G). Keduanya tidak berpotongan (tidak memiliki titik persekutuan) dan tidak sejajar (arah berbeda). Maka bersilangan.
Jawaban: AB dan CG bersilangan.
2. Tentukan kedudukan garis AG (diagonal ruang) terhadap garis HF (diagonal ruang lain)!
Pembahasan
Koordinat: A(0,0,0), G(a,a,a), H(0,a,a), F(a,0,a). Parametrik AG: (t,t,t). Parametrik HF: (s·a, a-s·a, a) = (sa, a(1-s), a).
Persamaan: t = sa, t = a(1-s), t = a. Dari t=a: s=1, maka t = a(1-1)=0 ≠ a. Kontradiksi. Tidak berpotongan.
Arah AG: (1,1,1), arah HF: (1,-1,0). Bukan kelipatan → tidak sejajar.
Jawaban: AG dan HF bersilangan.
3. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan kedudukan garis AC (diagonal alas) dan garis EG (diagonal atap)!
Pembahasan
AC dari A(0,0,0) ke C(a,a,0), arah (1,1,0). EG dari E(0,0,a) ke G(a,a,a), arah (1,1,0). Arah sama, tidak berpotongan (beda ketinggian z).
Jawaban: AC ∥ EG (sejajar).
4. Tentukan kedudukan garis AF (diagonal bidang) terhadap garis HC!
Pembahasan
A(0,0,0), F(a,0,a): arah AF=(1,0,1). H(0,a,a), C(a,a,0): arah HC=(1,0,-1).
Parametrik AF: (t, 0, t). Parametrik HC: (s, a, a-s).
y: 0 = a → kontradiksi. Jadi tidak berpotongan. Arah bukan kelipatan → bersilangan.
Jawaban: AF dan HC bersilangan.
5. Tentukan kedudukan garis BD (diagonal alas) terhadap garis FH (diagonal atap)!
Pembahasan
B(a,0,0), D(0,a,0): arah BD=(-1,1,0). F(a,0,a), H(0,a,a): arah FH=(-1,1,0). Arah sama.
BD dan FH tidak berpotongan (berbeda level z). Maka sejajar.
Jawaban: BD ∥ FH (sejajar).
▸ Tingkat Sulit
1. Pada kubus ABCD.EFGH rusuk a. Tentukan jarak antara garis AB dan garis CG (dua garis bersilangan)!
Pembahasan
AB: dari A(0,0,0) arah u=(1,0,0). CG: dari C(a,a,0) arah v=(0,0,1).
Vektor AC = (a,a,0). Jarak = |AC · (u×v)| / |u×v|.
u×v = (1,0,0)×(0,0,1) = (0·1-0·0, 0·0-1·1, 1·0-0·0) = (0,-1,0). |u×v| = 1.
AC · (0,-1,0) = (a)(0) + (a)(-1) + (0)(0) = -a. |−a| = a.
Jawaban: Jarak AB dan CG = a.
2. Pada kubus ABCD.EFGH rusuk 6 cm. Tentukan jarak antara garis AE dan garis diagonal bidang BG!
Pembahasan
AE: dari A(0,0,0) arah u=(0,0,1). BG: dari B(6,0,0) arah v=(0,6,6), sederhanakan v=(0,1,1).
Vektor AB = (6,0,0). u×v = (0,0,1)×(0,1,1) = (0·1-1·1, 1·0-0·1, 0·1-0·0) = (-1,-1,0). |u×v| = √2.
AB · (-1,-1,0) = 6(-1)+0(-1)+0(0) = -6. |−6|/√2 = 6/√2 = 3√2.
Jawaban: Jarak AE dan BG = 3√2 cm.
3. Pada kubus ABCD.EFGH rusuk a. Tentukan jarak antara diagonal ruang AG dan diagonal ruang BH!
Pembahasan
AG: dari A(0,0,0) arah u=(1,1,1). BH: dari B(a,0,0) arah v=(-1,1,1) (karena H=(0,a,a)).
Vektor AB = (a,0,0). u×v = (1,1,1)×(-1,1,1) = (1-1, -1-1, 1+1) = (0,-2,2). |u×v| = √(0+4+4)=2√2.
AB · (0,-2,2) = a(0)+0(-2)+0(2) = 0. Jarak = 0/2√2 = 0?
Cek ulang: AG dan BH berpotongan? Parametrik AG:(t,t,t), BH:(a-s,s,s). Dari t=s dan t=s: konsisten. t=a-s → t=a-t → 2t=a → t=a/2. Titik potong: (a/2, a/2, a/2) = pusat kubus.
Jawaban: AG dan BH berpotongan di pusat kubus, jarak = 0 (berpotongan, bukan bersilangan).
4. Pada kubus ABCD.EFGH rusuk 4 cm. Tentukan jarak antara garis AF dan garis DG!
Pembahasan
A(0,0,0), F(4,0,4): arah AF u=(1,0,1). D(0,4,0), G(4,4,4): arah DG v=(1,0,1).
Arah sama! Cek apakah sejajar: u = v = (1,0,1). Ya, AF ∥ DG.
Jarak dua garis sejajar: ambil titik A dan proyeksikan ke garis DG.
Vektor AD = (0,4,0). Komponen tegak lurus arah v: AD – (AD·v̂)v̂ = (0,4,0) – [(0+0+0)/2](1,0,1) = (0,4,0).
|jarak| = |(0,4,0)| = 4 cm.
Jawaban: Jarak AF dan DG = 4 cm.
5. Pada balok ABCD.EFGH dengan AB=6, BC=4, AE=3. Tentukan jarak antara garis AG dan garis BH!
Pembahasan
A(0,0,0), G(6,4,3): arah u=(6,4,3). B(6,0,0), H(0,4,3): arah v=(-6,4,3).
AB = (6,0,0). u×v = (4·3-3·4, 3·(-6)-6·3, 6·4-4·(-6)) = (0, -36, 48). Sederhanakan (0,-3,4), |u×v| = √(0+9+16)·12 → hitung langsung: |(0,-36,48)| = √(1296+2304) = √3600 = 60.
AB · (0,-36,48) = 6(0)+0(-36)+0(48) = 0.
Jarak = 0? Cek potong: (6t,4t,3t) = (6-6s,4s,3s). → 4t=4s → t=s. 3t=3s → t=s. 6t=6-6s=6-6t → 12t=6 → t=½.
Titik potong: (3,2,1.5). AG dan BH berpotongan!
Jawaban: AG dan BH berpotongan di titik (3, 2, 1.5), jaraknya = 0.
✏️ Latihan Soal
▸ Mudah
▸ Sedang
▸ Sulit
3. Kedudukan Garis terhadap Bidang
📘 Materi
Tiga kemungkinan kedudukan garis terhadap bidang:
| Kedudukan | Definisi | Contoh pada Kubus |
|---|---|---|
| Garis pada bidang | Setiap titik pada garis juga merupakan titik pada bidang (g ⊂ α) | AB terletak pada bidang ABCD |
| Garis sejajar bidang | Garis dan bidang tidak memiliki titik persekutuan (g ∥ α) | AB ∥ bidang EFGH |
| Garis memotong/menembus bidang | Garis dan bidang memiliki tepat satu titik persekutuan | AE menembus bidang ABCD di titik A |
Catatan khusus: Garis tegak lurus bidang (g ⊥ α) jika g menembus α dan g tegak lurus terhadap setiap garis pada α yang melewati titik tembus.
📝 Contoh Soal
▸ Tingkat Mudah
1. Tentukan kedudukan garis AB terhadap bidang ABCD pada kubus ABCD.EFGH!
Pembahasan
Titik A dan B keduanya terletak pada bidang ABCD. Karena dua titik garis AB ada di bidang ABCD, maka seluruh garis AB terletak pada bidang ABCD.
Jawaban: Garis AB terletak pada bidang ABCD.
2. Tentukan kedudukan garis AB terhadap bidang EFGH!
Pembahasan
AB sejajar EF, dan EF terletak pada EFGH. AB tidak memiliki titik persekutuan dengan EFGH.
Jawaban: AB ∥ bidang EFGH (sejajar).
3. Tentukan kedudukan garis AE terhadap bidang ABCD!
Pembahasan
AE melewati titik A (yang ada di ABCD) dan titik E (yang tidak di ABCD). Jadi AE menembus bidang ABCD di titik A. Bahkan AE ⊥ ABCD.
Jawaban: Garis AE menembus (tegak lurus) bidang ABCD di titik A.
4. Tentukan kedudukan garis EH terhadap bidang ABCD!
Pembahasan
E dan H keduanya tidak di ABCD. EH sejajar AD (yang ada di ABCD). Maka EH ∥ ABCD.
Jawaban: EH ∥ bidang ABCD.
5. Tentukan kedudukan garis BF terhadap bidang BCGF!
Pembahasan
B dan F keduanya terletak di bidang BCGF. Maka seluruh garis BF terletak pada bidang BCGF.
Jawaban: Garis BF terletak pada bidang BCGF.
▸ Tingkat Sedang
1. Tentukan kedudukan garis AC (diagonal alas) terhadap bidang BDHF!
Pembahasan
Bidang BDHF memuat B(a,0,0), D(0,a,0), H(0,a,a), F(a,0,a). Garis AC dari A(0,0,0) ke C(a,a,0).
Titik tengah AC = (a/2, a/2, 0). Cek apakah di bidang BDHF: persamaan bidang melalui B,D,F: x+y=a (verifikasi: B: a+0=a✓, D:0+a=a✓, F:a+0=a✓, H:0+a=a✓).
A: 0+0=0≠a, C: a+a=2a≠a. Titik tengah: a/2+a/2=a ✓. Jadi AC menembus bidang BDHF di titik tengah AC.
Jawaban: Garis AC menembus bidang BDHF di titik tengah AC.
2. Tentukan kedudukan garis EG (diagonal atap) terhadap bidang ABCD!
Pembahasan
E(0,0,a) dan G(a,a,a) keduanya memiliki z=a. Bidang ABCD: z=0. EG tidak pernah memiliki z=0. Jadi EG ∥ ABCD.
Alternatif: EG ∥ AC, dan AC ⊂ ABCD, maka EG ∥ ABCD.
Jawaban: EG ∥ bidang ABCD.
3. Tentukan kedudukan garis AG (diagonal ruang) terhadap bidang ABCD!
Pembahasan
A(0,0,0) ∈ ABCD, G(a,a,a) ∉ ABCD. Garis AG hanya memiliki satu titik di ABCD yaitu A. Jadi AG menembus ABCD di titik A.
Jawaban: AG menembus bidang ABCD di titik A.
4. Tentukan kedudukan garis FH terhadap bidang ABFE!
Pembahasan
F(a,0,a) ∈ ABFE. H(0,a,a) — cek apakah H ∈ ABFE. Bidang ABFE: y=0 (memuat A(0,0,0), B(a,0,0), F(a,0,a), E(0,0,a) — semua y=0). H memiliki y=a ≠ 0.
Jadi FH memiliki F di ABFE tapi H tidak di ABFE. FH menembus ABFE di F.
Jawaban: Garis FH menembus bidang ABFE di titik F.
5. Sebutkan semua garis rusuk kubus yang sejajar bidang ABFE!
Pembahasan
Bidang ABFE: y=0. Rusuk sejajar harus tidak memotong dan tidak berada di bidang y=0.
Rusuk dengan y tetap ≠ 0: DC (y=a, z=0), HG (y=a, z=a), DH (x=0, y=a), CG (x=a, y=a).
Jawaban: DC, HG, DH, CG sejajar bidang ABFE.
▸ Tingkat Sulit
1. Pada kubus ABCD.EFGH rusuk 6 cm. Tentukan sudut yang dibentuk garis AG dengan bidang ABCD!
Pembahasan
A(0,0,0), G(6,6,6). Proyeksi AG ke bidang ABCD (z=0) adalah garis AC dari A(0,0,0) ke C(6,6,0).
tan θ = tinggi/proyeksi = |AG vertikal|/|AC| = 6/(6√2) = 1/√2.
θ = arctan(1/√2) = arctan(½√2) ≈ 35,26°.
Jawaban: Sudut AG dengan bidang ABCD = arctan(1/√2) ≈ 35°16′.
2. Pada kubus ABCD.EFGH rusuk a. Tentukan sudut antara garis BG dan bidang BCGF!
Pembahasan
Bidang BCGF: x=a (semua titik B(a,0,0), C(a,a,0), G(a,a,a), F(a,0,a) memiliki x=a). Jadi normal bidang = (1,0,0).
Tunggu — semua titik memiliki x=a, jadi garis BG (dari B(a,0,0) ke G(a,a,a)) juga memiliki x=a selalu! Maka BG terletak pada bidang BCGF.
Jawaban: Garis BG terletak pada bidang BCGF (sudut = 0°).
3. Pada kubus ABCD.EFGH rusuk 10 cm. Garis AF menembus bidang BDHF. Tentukan sudut yang dibentuk garis AF dengan bidang BDHF!
Pembahasan
Bidang BDHF: persamaan x+y=a=10. Normal n=(1,1,0), |n|=√2.
AF: A(0,0,0) ke F(10,0,10), arah d=(1,0,1), |d|=√2.
sin θ = |d·n|/(|d||n|) = |1+0+0|/(√2·√2) = 1/2.
θ = 30°.
Jawaban: Sudut garis AF dengan bidang BDHF = 30°.
4. Pada kubus ABCD.EFGH rusuk a. Tentukan titik tembus garis AG dengan bidang BDHF!
Pembahasan
Bidang BDHF: x + y = a. Garis AG: parametrik (t, t, t) dengan t ∈ ℝ (dari A(0,0,0) arah (1,1,1) diskalakan).
Substitusi: t + t = a → 2t = a → t = a/2.
Titik tembus: (a/2, a/2, a/2) = pusat kubus.
Jawaban: Titik tembus AG dengan BDHF adalah pusat kubus (a/2, a/2, a/2).
5. Pada balok ABCD.EFGH dengan AB=8, BC=6, AE=4. Tentukan sudut garis AG dengan bidang ABCD!
Pembahasan
A(0,0,0), G(8,6,4). Proyeksi AG ke ABCD: AC = A ke (8,6,0). |AC| = √(64+36) = 10.
Komponen vertikal AG = 4. tan θ = 4/10 = 2/5.
θ = arctan(2/5) ≈ 21,8°.
Jawaban: Sudut AG dengan bidang ABCD = arctan(2/5) ≈ 21°48′.
✏️ Latihan Soal
▸ Mudah
▸ Sedang
▸ Sulit
4. Kedudukan Bidang terhadap Bidang Lain
📘 Materi
Dua bidang dalam ruang memiliki dua kemungkinan:
| Kedudukan | Definisi | Contoh |
|---|---|---|
| Sejajar (α ∥ β) | Tidak memiliki titik persekutuan sama sekali | ABCD ∥ EFGH |
| Berpotongan | Memiliki persekutuan berupa sebuah garis (garis potong) | ABCD ∩ ABFE = garis AB |
Catatan khusus:
- Dua bidang tegak lurus (α ⊥ β) jika sudut diantaranya = 90°.
- Pada kubus, bidang ABCD ⊥ ABFE (membentuk sudut 90°).
- Sudut diederal: sudut antara dua bidang diukur melalui garis potongnya.
📝 Contoh Soal
▸ Tingkat Mudah
1. Tentukan kedudukan bidang ABCD terhadap bidang EFGH pada kubus ABCD.EFGH!
Pembahasan
ABCD (z=0) dan EFGH (z=a) tidak memiliki titik persekutuan karena berbeda ketinggian.
Jawaban: ABCD ∥ EFGH (sejajar).
2. Tentukan kedudukan bidang ABCD terhadap bidang ABFE!
Pembahasan
Kedua bidang memiliki garis persekutuan AB (titik A dan B terletak di kedua bidang).
Jawaban: ABCD dan ABFE berpotongan pada garis AB.
3. Tentukan kedudukan bidang ABFE terhadap bidang DCGH!
Pembahasan
ABFE (y=0) dan DCGH (y=a) tidak punya titik persekutuan.
Jawaban: ABFE ∥ DCGH (sejajar).
4. Tentukan garis potong bidang ABCD dan bidang BCGF!
Pembahasan
Titik yang sama-sama di kedua bidang: B dan C. Jadi garis potong = BC.
Jawaban: Garis potong ABCD ∩ BCGF = garis BC.
5. Tentukan kedudukan bidang ADHE terhadap bidang BCGF!
Pembahasan
ADHE (x=0) dan BCGF (x=a). Tidak ada titik persekutuan.
Jawaban: ADHE ∥ BCGF (sejajar).
▸ Tingkat Sedang
1. Tentukan sudut antara bidang ABCD dan bidang ABFE pada kubus ABCD.EFGH!
Pembahasan
Garis potong = AB. Pada titik A, tarik garis di ABCD tegak lurus AB: garis AD. Tarik garis di ABFE tegak lurus AB: garis AE.
Sudut diederal = ∠DAE = 90° (karena AD dan AE saling tegak lurus pada kubus).
Jawaban: Sudut antara ABCD dan ABFE = 90° (saling tegak lurus).
2. Tentukan garis potong bidang ACGE dengan bidang ABCD!
Pembahasan
Bidang ACGE memuat A dan C yang juga ada di ABCD. Garis AC ada di kedua bidang.
Jawaban: Garis potong = AC (diagonal alas).
3. Tentukan garis potong bidang BDHF dengan bidang EFGH!
Pembahasan
Titik di kedua bidang: F dan H (keduanya ada di BDHF dan EFGH).
Jawaban: Garis potong = FH (diagonal atap).
4. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan kedudukan bidang ACGE terhadap bidang BDHF!
Pembahasan
ACGE: x+y=a (cek A(0,0,0)→ 0≠a… Mari gunakan cara lain).
ACGE memuat A(0,0,0), C(a,a,0), G(a,a,a), E(0,0,a). Pers: y=x → x-y=0.
BDHF memuat B(a,0,0), D(0,a,0), H(0,a,a), F(a,0,a). Pers: x+y=a.
Cek potong: x-y=0 dan x+y=a → x=a/2, y=a/2. Banyak titik yang memenuhi (untuk semua z). Garis potong: x=a/2, y=a/2, z bebas → garis vertikal melalui pusat.
Jawaban: ACGE dan BDHF berpotongan pada garis vertikal melalui pusat kubus.
5. Tentukan sudut antara bidang ACGE dan bidang ABCD pada kubus!
Pembahasan
Garis potong = AC. Normal ABCD = (0,0,1). Normal ACGE: dari vektor AC=(1,1,0) dan AE=(0,0,1), normal = AC×AE = (1,-1,0).
Sudut antara bidang = sudut antara normal: cos θ = |(0,0,1)·(1,-1,0)| / (1·√2) = 0/√2 = 0.
θ = 90°.
Jawaban: Bidang ACGE tegak lurus bidang ABCD (sudut = 90°).
▸ Tingkat Sulit
1. Pada kubus ABCD.EFGH rusuk a. Tentukan sudut diederal antara bidang AFH dan bidang ABCD!
Pembahasan
A(0,0,0), F(a,0,a), H(0,a,a). Bidang AFH: vektor AF=(a,0,a), AH=(0,a,a). Normal = AF×AH = (0·a-a·a, a·0-a·a, a·a-0·0) = (-a², -a², a²). Sederhanakan: (-1,-1,1).
Normal ABCD = (0,0,1). cos θ = |(-1,-1,1)·(0,0,1)| / (√3·1) = 1/√3.
θ = arccos(1/√3) ≈ 54,74°.
Jawaban: Sudut diederal bidang AFH dengan ABCD = arccos(1/√3) ≈ 54°44′.
2. Pada kubus ABCD.EFGH rusuk a. Tentukan sudut antara bidang BEG dan bidang ABCD!
Pembahasan
B(a,0,0), E(0,0,a), G(a,a,a). Vektor BE=(-a,0,a), BG=(0,a,a). Normal = BE×BG = (0·a-a·a, a·0-(-a)·a, (-a)·a-0·0) = (-a², a², -a²). Sederhanakan: (-1,1,-1).
Normal ABCD = (0,0,1). cos θ = |(-1,1,-1)·(0,0,1)| / (√3·1) = 1/√3.
θ = arccos(1/√3) ≈ 54,74°.
Jawaban: Sudut bidang BEG dengan ABCD = arccos(1/√3) ≈ 54°44′.
3. Pada limas beraturan T.ABCD, alas persegi sisi 8 cm, tinggi 6 cm. Tentukan sudut antara bidang TAB dan bidang alas ABCD!
Pembahasan
Pusat alas O(4,4,0), T(4,4,6). Garis potong = AB. Tarik garis dari T ke AB yang tegak lurus AB.
A(0,0,0), B(8,0,0). Titik tengah AB = M(4,0,0). TM dari T(4,4,6) ke M(4,0,0). Panjang TM = √(0+16+36) = √52.
Proyeksi kaki dari O ke AB: O'(4,0,0) = M. OM = √(0+16+0) = 4.
Sudut diederal: tan θ = tinggi T di atas M / jarak O ke AB vertikal… Gunakan metode yang benar:
Garis potong = AB (sumbu x). Di titik M(4,0,0), tarik garis tegak lurus AB di bidang ABCD: arah (0,1,0). Di bidang TAB tegak lurus AB: arah dari M ke T = (0,4,6)/||(0,4,6)|| → tan θ = 6/4 = 3/2.
θ = arctan(3/2) ≈ 56,31°.
Jawaban: Sudut bidang TAB dengan ABCD = arctan(3/2) ≈ 56°19′.
4. Pada kubus ABCD.EFGH rusuk a. Tentukan sudut antara bidang ACGE dan bidang BDHF!
Pembahasan
Normal ACGE: vektor (1,-1,0) (dari pers x-y=0). Normal BDHF: vektor (1,1,0) (dari pers x+y=a).
cos θ = |(1,-1,0)·(1,1,0)| / (√2·√2) = |1-1|/2 = 0.
θ = 90°.
Jawaban: Bidang ACGE ⊥ BDHF (saling tegak lurus, sudut = 90°).
5. Pada balok ABCD.EFGH dengan AB=6, BC=6, AE=3. Tentukan sudut antara bidang AFH dan bidang ABCD!
Pembahasan
A(0,0,0), F(6,0,3), H(0,6,3). AF=(6,0,3), AH=(0,6,3). Normal AFH = AF×AH = (0·3-3·6, 3·0-6·3, 6·6-0·0) = (-18,-18,36). Sederhanakan: (-1,-1,2).
Normal ABCD = (0,0,1). cos θ = |(-1,-1,2)·(0,0,1)| / (√6·1) = 2/√6 = √6/3.
θ = arccos(√6/3) ≈ 35,26°.
Jawaban: Sudut bidang AFH dengan ABCD = arccos(√6/3) ≈ 35°16′.
✏️ Latihan Soal
▸ Mudah
▸ Sedang
▸ Sulit