Epres Math – Persamaan dan Fungsi Kuadrat – Menyusun Persamaan Kuadrat

Materi 1

Menyusun Persamaan Kuadrat jika Diketahui Akar-akarnya

📖 Teori Dasar

Jika suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar \(x_1\) dan \(x_2\), maka persamaan kuadrat tersebut dapat disusun dengan dua cara:

Cara 1: Menggunakan Faktor

\[ (x - x_1)(x - x_2) = 0 \]

Cara 2: Menggunakan Rumus Jumlah & Hasil Kali Akar

Untuk persamaan \(ax^2 + bx + c = 0\), berlaku:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{dan} \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Sehingga persamaan kuadrat dapat ditulis:

x^2 – (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0

💡 Catatan Penting

Jika \(a = 1\), maka \(x_1 + x_2 = -b\) dan \(x_1 \cdot x_2 = c\).
Persamaan kuadrat dengan akar-akar yang sama menghasilkan diskriminan \(D = 0\).
Persamaan kuadrat tidak tunggal: \(2x^2 – 6x + 4 = 0\) dan \(x^2 – 3x + 2 = 0\) memiliki akar yang sama.

📝 Contoh Soal

1. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 5.

Cara 1 (Faktor):

(x-2)(x-5)=0\]\[x^2 – 5x – 2x + 10 = 0\]\[x^2 – 7x + 10 = 0

Cara 2 (Jumlah & Hasil Kali):

x_1+x_2=2+5=7,\quad x_1 \cdot x_2=2 \times 5=10\]\[x^2-7x+10=0

2. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 1 dan 4.

(x-1)(x-4)=0 \Rightarrow x^2-5x+4=0

3. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya −3 dan 2.

(x+3)(x-2)=0 \Rightarrow x^2+x-6=0

4. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 0 dan 6.

x(x-6)=0 \Rightarrow x^2-6x=0

5. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya −1 dan −4.

(x+1)(x+4)=0 \Rightarrow x^2+5x+4=0

1. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya \(\frac{2+\sqrt{3}}{3}\) dan \(\frac{2-\sqrt{3}}{3}\).

x_1+x_2=\frac{4}{3},\quad x_1 \cdot x_2=\frac{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}{9}=\frac{4-3}{9}=\frac{1}{9}

x^2-\frac{4}{3}x+\frac{1}{9}=0 \Rightarrow 9x^2-12x+1=0

2. Jika \(\alpha\) dan \(\beta\) akar-akar \(x^2-3x+1=0\), susunlah PK yang akar-akarnya \(\alpha^2\) dan \(\beta^2\).

\(\alpha+\beta=3\), \(\alpha\beta=1\)

\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=9-2=7

\alpha^2\cdot\beta^2=(\alpha\beta)^2=1

\[x^2-7x+1=0\]

3. Susunlah PK yang akar-akarnya merupakan kebalikan dari akar-akar \(2x^2-7x+3=0\).

Akar-akar: \(x_1+x_2=\frac{7}{2}\), \(x_1 x_2=\frac{3}{2}\)

\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1 x_2}=\frac{7/2}{3/2}=\frac{7}{3}

\frac{1}{x_1}\cdot\frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_1 x_2}=\frac{2}{3}

x^2-\frac{7}{3}x+\frac{2}{3}=0 \Rightarrow 3x^2-7x+2=0

4. Susunlah PK yang akar-akarnya \(\frac{-1+i\sqrt{7}}{4}\) dan \(\frac{-1-i\sqrt{7}}{4}\).

x_1+x_2=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2},\quad x_1 x_2=\frac{1+7}{16}=\frac{1}{2}

x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}=0 \Rightarrow 2x^2+x+1=0

5. Jika \(p\) dan \(q\) akar \(x^2-5x+3=0\), susunlah PK yang akar-akarnya \(p+\frac{1}{q}\) dan \(q+\frac{1}{p}\).

\(p+q=5\), \(pq=3\)

\left(p+\frac{1}{q}\right)+\left(q+\frac{1}{p}\right)=(p+q)+\frac{p+q}{pq}=5+\frac{5}{3}=\frac{20}{3}

\left(p+\frac{1}{q}\right)\left(q+\frac{1}{p}\right)=pq+1+1+\frac{1}{pq}=3+2+\frac{1}{3}=\frac{16}{3}

x^2-\frac{20}{3}x+\frac{16}{3}=0 \Rightarrow 3x^2-20x+16=0

✏️ Latihan Soal

1. Susunlah PK yang akar-akarnya 3 dan 7.

2. Susunlah PK yang akar-akarnya −2 dan 6.

3. Susunlah PK yang akar-akarnya 0 dan −5.

4. Susunlah PK yang akar-akarnya 1 dan 1.

5. Susunlah PK yang akar-akarnya −3 dan −8.

Materi 2

Menyusun PK yang Akar-akarnya Berhubungan dengan PK Lain

📖 Teori Dasar

Jika diketahui persamaan kuadrat \(ax^2+bx+c=0\) memiliki akar-akar \(\alpha\) dan \(\beta\), maka:

\alpha+\beta=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta=\frac{c}{a}

Kita dapat menyusun PK baru yang akar-akarnya memiliki hubungan tertentu dengan \(\alpha\) dan \(\beta\).

Hubungan Umum yang Sering Digunakan:

Akar Baru	Jumlah Akar Baru	Hasil Kali Akar Baru
\(\alpha^2, \beta^2\)	\((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\)	\((\alpha\beta)^2\)
\(\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}\)	\(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\)	\(\frac{1}{\alpha\beta}\)
\(\alpha+k, \beta+k\)	\((\alpha+\beta)+2k\)	\(\alpha\beta+k(\alpha+\beta)+k^2\)
\(k\alpha, k\beta\)	\(k(\alpha+\beta)\)	\(k^2 \alpha\beta\)
\(\alpha^2\beta, \alpha\beta^2\)	\(\alpha\beta(\alpha+\beta)\)	\((\alpha\beta)^3\)

💡 Strategi Penyelesaian

Tentukan \(\alpha+\beta\) dan \(\alpha\beta\) dari PK asal.
Nyatakan jumlah dan hasil kali akar baru dalam bentuk \(\alpha+\beta\) dan \(\alpha\beta\).
Substitusi dan susun PK baru: \(x^2 – (\text{jumlah})x + (\text{hasil kali}) = 0\).

📝 Contoh Soal

1. Akar-akar \(x^2-5x+6=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(2\alpha\) dan \(2\beta\).

\(\alpha+\beta=5\), \(\alpha\beta=6\)

2\alpha+2\beta=10,\quad 2\alpha\cdot2\beta=4\cdot6=24\]\[x^2-10x+24=0

2. Akar-akar \(x^2-4x+3=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(\alpha+1\) dan \(\beta+1\).

\(\alpha+\beta=4\), \(\alpha\beta=3\)

(\alpha+1)+(\beta+1)=6\]\[(\alpha+1)(\beta+1)=\alpha\beta+\alpha+\beta+1=3+4+1=8\]\[x^2-6x+8=0

3. Akar-akar \(x^2-7x+10=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(-\alpha\) dan \(-\beta\).

-\alpha+(-\beta)=-7,\quad (-\alpha)(-\beta)=10\]\[x^2+7x+10=0

4. Akar-akar \(x^2+2x-8=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(3\alpha\) dan \(3\beta\).

\(\alpha+\beta=-2\), \(\alpha\beta=-8\)

3\alpha+3\beta=-6,\quad 9\alpha\beta=-72\]\[x^2+6x-72=0

5. Akar-akar \(x^2-6x+5=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(\alpha-2\) dan \(\beta-2\).

\(\alpha+\beta=6\), \(\alpha\beta=5\)

(\alpha-2)+(\beta-2)=2\]\[(\alpha-2)(\beta-2)=\alpha\beta-2(\alpha+\beta)+4=5-12+4=-3\]\[x^2-2x-3=0

1. Akar-akar \(x^2-3x+1=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(\frac{1}{\alpha}\) dan \(\frac{1}{\beta}\).

\(\alpha+\beta=3\), \(\alpha\beta=1\)

\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{3}{1}=3\]\[\frac{1}{\alpha}\cdot\frac{1}{\beta}=\frac{1}{\alpha\beta}=1\]\[x^2-3x+1=0

2. Akar-akar \(2x^2-5x+1=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(\alpha^2\) dan \(\beta^2\).

\(\alpha+\beta=\frac{5}{2}\), \(\alpha\beta=\frac{1}{2}\)

\alpha^2+\beta^2=\left(\frac{5}{2}\right)^2-2\cdot\frac{1}{2}=\frac{25}{4}-1=\frac{21}{4}

\alpha^2\beta^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}

x^2-\frac{21}{4}x+\frac{1}{4}=0 \Rightarrow 4x^2-21x+1=0

3. Akar-akar \(x^2-4x+2=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(\alpha+\frac{1}{\beta}\) dan \(\beta+\frac{1}{\alpha}\).

\(\alpha+\beta=4\), \(\alpha\beta=2\)

\text{Jumlah}=(\alpha+\beta)+\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=4+2=6

\text{HK}=\alpha\beta+1+1+\frac{1}{\alpha\beta}=2+2+\frac{1}{2}=\frac{9}{2}

x^2-6x+\frac{9}{2}=0 \Rightarrow 2x^2-12x+9=0

4. Akar-akar \(x^2-6x+4=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(\alpha\beta^2\) dan \(\alpha^2\beta\).

\(\alpha+\beta=6\), \(\alpha\beta=4\)

\alpha\beta^2+\alpha^2\beta=\alpha\beta(\alpha+\beta)=4\cdot6=24

\alpha\beta^2\cdot\alpha^2\beta=(\alpha\beta)^3=64

\[x^2-24x+64=0\]

5. Akar-akar \(x^2+3x-5=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(\alpha-\beta\) dan \(\beta-\alpha\).

\(\alpha+\beta=-3\), \(\alpha\beta=-5\)

(\alpha-\beta)+(\beta-\alpha)=0

(\alpha-\beta)(\beta-\alpha)=-(\alpha-\beta)^2

(\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=9+20=29

x^2-0\cdot x+(-29)=0 \Rightarrow x^2-29=0

1. Akar-akar \(x^2-2x-1=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(\alpha^3\) dan \(\beta^3\).

\(\alpha+\beta=2\), \(\alpha\beta=-1\)

\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=4+2=6

\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)(\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2)=2(6+1)=14

\alpha^3\beta^3=(\alpha\beta)^3=-1

\[x^2-14x-1=0\]

2. Akar-akar \(x^2-5x+3=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(\frac{\alpha}{\beta}\) dan \(\frac{\beta}{\alpha}\).

\(\alpha+\beta=5\), \(\alpha\beta=3\)

\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}=\frac{25-6}{3}=\frac{19}{3}

\frac{\alpha}{\beta}\cdot\frac{\beta}{\alpha}=1

x^2-\frac{19}{3}x+1=0 \Rightarrow 3x^2-19x+3=0

3. Akar-akar \(2x^2-3x-4=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(\alpha^2-1\) dan \(\beta^2-1\).

\(\alpha+\beta=\frac{3}{2}\), \(\alpha\beta=-2\)

\alpha^2+\beta^2=\frac{9}{4}+4=\frac{25}{4}

(\alpha^2-1)+(\beta^2-1)=\frac{25}{4}-2=\frac{17}{4}

(\alpha^2-1)(\beta^2-1)=\alpha^2\beta^2-(\alpha^2+\beta^2)+1=4-\frac{25}{4}+1=-\frac{5}{4}

x^2-\frac{17}{4}x-\frac{5}{4}=0 \Rightarrow 4x^2-17x-5=0

4. Akar-akar \(x^2-px+q=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(\alpha^2+\beta\) dan \(\beta^2+\alpha\).

\(\alpha+\beta=p\), \(\alpha\beta=q\)

(\alpha^2+\beta)+(\beta^2+\alpha)=\alpha^2+\beta^2+\alpha+\beta=p^2-2q+p

(\alpha^2+\beta)(\beta^2+\alpha)=\alpha^2\beta^2+\alpha^3+\beta^3+\alpha\beta

\[=q^2+p(p^2-3q)+q=q^2+p^3-3pq+q\]

\[x^2-(p^2+p-2q)x+(p^3+q^2+q-3pq)=0\]

5. Akar-akar \(x^2-4x+1=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(\frac{\alpha^2}{\beta}\) dan \(\frac{\beta^2}{\alpha}\).

\(\alpha+\beta=4\), \(\alpha\beta=1\)

\frac{\alpha^2}{\beta}+\frac{\beta^2}{\alpha}=\frac{\alpha^3+\beta^3}{\alpha\beta}

\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)=64-12=52

\text{Jumlah}=\frac{52}{1}=52

\frac{\alpha^2}{\beta}\cdot\frac{\beta^2}{\alpha}=\alpha\beta=1

\[x^2-52x+1=0\]

✏️ Latihan Soal

1. Akar-akar \(x^2-3x+2=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(4\alpha\) dan \(4\beta\).

2. Akar-akar \(x^2-8x+12=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(\alpha+3\) dan \(\beta+3\).

3. Akar-akar \(x^2+4x+3=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(-\alpha\) dan \(-\beta\).

4. Akar-akar \(x^2-10x+21=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(\frac{\alpha}{2}\) dan \(\frac{\beta}{2}\).

5. Akar-akar \(x^2-2x-3=0\) adalah \(\alpha,\beta\). Susunlah PK yang akarnya \(\alpha-1\) dan \(\beta-1\).

Epres Math – Persamaan dan Fungsi Kuadrat – Menyusun Persamaan Kuadrat

Menyusun Persamaan Kuadrat

Materi 1

📖 Teori Dasar

📝 Contoh Soal

✏️ Latihan Soal

Materi 2

📖 Teori Dasar

📝 Contoh Soal

✏️ Latihan Soal

By admin

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed

Perangkat Pertama OpenAI Berupa Speaker AI Tanpa Layar

Terungkap! Begini Wujud Gadget AI Pertama OpenAI yang Disebut Bakal Saingi Apple

Lingkungan Belajar Aman, Nyaman, dan Menggembirakan (LBANM)

Eksplorasi Diri : Mengenali Potensi yang Ada (Analisis SWOT)

Materi 1

📖 Teori Dasar

📝 Contoh Soal

✏️ Latihan Soal

Materi 2

📖 Teori Dasar

📝 Contoh Soal

✏️ Latihan Soal

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed