Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
Matematika Wajib — Kelas X SMA/SMK
📘 Materi
1. Pengertian Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berderajat dua yang bentuk umumnya:
di mana:
• \(a\) = koefisien dari \(x^2\)
• \(b\) = koefisien dari \(x\)
• \(c\) = konstanta
• \(x\) = variabel (yang dicari nilainya)
2. Akar-akar Persamaan Kuadrat
Jika \(x_1\) dan \(x_2\) adalah akar-akar dari \(ax^2 + bx + c = 0\), maka akar-akar tersebut dapat dicari menggunakan rumus ABC (rumus kuadratik):
Nilai \(D = b^2 – 4ac\) disebut diskriminan, yang menentukan jenis akar:
| Diskriminan | Jenis Akar |
|---|---|
| \(D > 0\) | Dua akar real berbeda |
| \(D = 0\) | Dua akar real sama (kembar) |
| \(D < 0\) | Tidak memiliki akar real |
3. Rumus Vieta (Hubungan Akar dan Koefisien)
Tanpa menghitung akar secara langsung, kita bisa mengetahui jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat menggunakan Rumus Vieta:
Jumlah Akar-akar:
\[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \]Hasil Kali Akar-akar:
\[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \]Pembuktian Rumus Vieta
Jika \(x_1\) dan \(x_2\) adalah akar dari \(ax^2+bx+c=0\), maka:
Uraikan ruas kanan:
\[ a(x – x_1)(x – x_2) = a\left[x^2 – (x_1+x_2)x + x_1 \cdot x_2\right] \] \[ = ax^2 – a(x_1+x_2)x + a \cdot x_1 \cdot x_2 \]Samakan koefisien:
• Koefisien \(x\): \(b = -a(x_1+x_2)\) → \(x_1+x_2 = -\frac{b}{a}\)
• Konstanta: \(c = a \cdot x_1 \cdot x_2\) → \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)
4. Rumus-rumus Turunan Penting
Dari jumlah dan hasil kali akar, kita bisa menurunkan berbagai rumus lain yang sering dipakai:
a) Selisih kuadrat akar:
\[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 – 2x_1 x_2 \]b) Selisih akar:
\[ (x_1 – x_2)^2 = (x_1+x_2)^2 – 4x_1 x_2 \]c) Kubik akar:
\[ x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)^3 – 3x_1 x_2(x_1+x_2) \]d) Kebalikan akar:
\[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1 \cdot x_2} \]e) Persamaan kuadrat baru dari akar \(x_1\) dan \(x_2\):
\[ x^2 – (x_1+x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0 \]5. Hubungan dengan Grafik Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat \(f(x) = ax^2+bx+c\) memiliki grafik berupa parabola. Akar-akar persamaan kuadrat adalah titik potong parabola dengan sumbu-\(x\).
Titik Puncak Parabola:
\[ \left(-\frac{b}{2a},\ -\frac{D}{4a}\right) \quad \text{dengan } D = b^2-4ac \]Perhatikan bahwa \(-\frac{b}{2a} = \frac{x_1+x_2}{2}\), artinya sumbu simetri parabola berada tepat di tengah-tengah kedua akar!
📝 Contoh Soal & Pembahasan
🟢 Tingkat Mudah
Mudah Contoh 1. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari \(x^2 – 5x + 6 = 0\).
Diketahui: \(a=1,\ b=-5,\ c=6\)
Jumlah akar:
\[ x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-5}{1} = 5 \]Hasil kali akar:
\[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{6}{1} = 6 \]Verifikasi: Faktorkan: \((x-2)(x-3)=0\), akar: 2 dan 3. Jumlah = 5 ✓, Kali = 6 ✓
Mudah Contoh 2. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari \(x^2 + 7x + 12 = 0\).
\(a=1,\ b=7,\ c=12\)
\[ x_1+x_2 = -\frac{7}{1} = -7 \] \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{12}{1} = 12 \]Verifikasi: \((x+3)(x+4)=0\) → akar: \(-3\) dan \(-4\). Jumlah = \(-7\) ✓, Kali = 12 ✓
Mudah Contoh 3. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari \(2x^2 – 8x + 6 = 0\).
\(a=2,\ b=-8,\ c=6\)
\[ x_1+x_2 = -\frac{-8}{2} = 4 \] \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{6}{2} = 3 \]Verifikasi: \(2(x-1)(x-3)=0\) → akar: 1 dan 3. Jumlah = 4 ✓, Kali = 3 ✓
Mudah Contoh 4. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari \(x^2 – 9 = 0\).
\(a=1,\ b=0,\ c=-9\)
\[ x_1+x_2 = -\frac{0}{1} = 0 \] \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{-9}{1} = -9 \]Verifikasi: \((x-3)(x+3)=0\) → akar: 3 dan \(-3\). Jumlah = 0 ✓, Kali = \(-9\) ✓
Mudah Contoh 5. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari \(3x^2 + 6x – 9 = 0\).
\(a=3,\ b=6,\ c=-9\)
\[ x_1+x_2 = -\frac{6}{3} = -2 \] \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{-9}{3} = -3 \]Verifikasi: \(3(x+3)(x-1)=0\) → akar: \(-3\) dan 1. Jumlah = \(-2\) ✓, Kali = \(-3\) ✓
🟡 Tingkat Sedang
Sedang Contoh 6. Jika \(x_1\) dan \(x_2\) adalah akar-akar dari \(x^2 – 4x + 1 = 0\), tentukan nilai \(x_1^2 + x_2^2\).
\(a=1,\ b=-4,\ c=1\)
\(x_1+x_2 = 4\), \(x_1 \cdot x_2 = 1\)
Gunakan rumus:
\[ x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2 – 2x_1 x_2 = (4)^2 – 2(1) = 16-2 = \boxed{14} \]Sedang Contoh 7. Jika akar-akar \(2x^2 – 10x + 8 = 0\) adalah \(x_1\) dan \(x_2\), tentukan nilai \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\).
\(a=2,\ b=-10,\ c=8\)
\(x_1+x_2 = \frac{10}{2}=5\), \(x_1 \cdot x_2 = \frac{8}{2}=4\)
\[ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1 \cdot x_2} = \frac{5}{4} = \boxed{1{,}25} \]Sedang Contoh 8. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 kali akar-akar dari \(x^2 – 3x + 2 = 0\).
PK asal: \(x_1+x_2=3\), \(x_1 \cdot x_2=2\)
Akar baru: \(p=2x_1\), \(q=2x_2\)
\[ p+q = 2(x_1+x_2)= 2(3)=6 \] \[ p \cdot q = 4 \cdot x_1 x_2 = 4(2) = 8 \]PK baru: \(x^2 – (p+q)x + p \cdot q = 0\)
\[ \boxed{x^2 – 6x + 8 = 0} \]Verifikasi: \((x-2)(x-4)=0\), akar: 2 dan 4 (= 2×1 dan 2×2) ✓
Sedang Contoh 9. Jika \(x_1\) dan \(x_2\) akar dari \(x^2+6x+5=0\), tentukan \((x_1-x_2)^2\).
\(x_1+x_2=-6\), \(x_1 \cdot x_2=5\)
\[ (x_1-x_2)^2 = (x_1+x_2)^2 – 4x_1 x_2 = 36-20 = \boxed{16} \]Maka \(|x_1-x_2|=4\). (Akar: \(-1\) dan \(-5\), selisih = 4 ✓)
Sedang Contoh 10. Tentukan nilai \(k\) agar jumlah akar-akar dari \(x^2 – (2k+1)x + k^2 = 0\) sama dengan 7.
\(a=1,\ b=-(2k+1)\)
\[ x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = 2k+1 = 7 \] \[ 2k = 6 \implies \boxed{k = 3} \]Verifikasi: PK menjadi \(x^2-7x+9=0\), jumlah akar = 7 ✓
🔴 Tingkat Sulit
Sulit Contoh 11. Jika \(x_1, x_2\) akar dari \(x^2-5x+3=0\), tentukan \(x_1^3+x_2^3\).
\(x_1+x_2=5\), \(x_1 x_2=3\)
\[ x_1^3+x_2^3 = (x_1+x_2)^3 – 3x_1 x_2(x_1+x_2) \] \[ = 125 – 3(3)(5) = 125 – 45 = \boxed{80} \]Sulit Contoh 12. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya \(\frac{1}{x_1}\) dan \(\frac{1}{x_2}\) jika \(x_1, x_2\) akar dari \(3x^2-7x+2=0\).
PK asal: \(x_1+x_2=\frac{7}{3}\), \(x_1 x_2=\frac{2}{3}\)
Akar baru: \(p=\frac{1}{x_1}\), \(q=\frac{1}{x_2}\)
\[ p+q = \frac{x_1+x_2}{x_1 x_2} = \frac{7/3}{2/3} = \frac{7}{2} \] \[ p \cdot q = \frac{1}{x_1 x_2} = \frac{3}{2} \]PK baru: \(x^2-\frac{7}{2}x+\frac{3}{2}=0\), kalikan 2:
\[ \boxed{2x^2-7x+3=0} \]Sulit Contoh 13. Jika \(x_1, x_2\) akar dari \(x^2-px+q=0\) dan \(x_1^2+x_2^2=p^2-2q\), buktikan bahwa persamaan tersebut konsisten untuk semua \(p,q\). Kemudian tentukan nilai \(x_1^4+x_2^4\) dalam \(p\) dan \(q\).
Bukti konsistensi:
\(x_1+x_2=p\), \(x_1 x_2=q\)
\[ x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2-2x_1 x_2 = p^2-2q \quad \checkmark \]Ini selalu benar (identitas), jadi konsisten untuk semua \(p,q\).
Menentukan \(x_1^4+x_2^4\):
\[ x_1^4+x_2^4 = (x_1^2+x_2^2)^2 – 2(x_1 x_2)^2 \] \[ = (p^2-2q)^2 – 2q^2 \] \[ = p^4-4p^2q+4q^2-2q^2 \] \[ = \boxed{p^4-4p^2q+2q^2} \]Sulit Contoh 14. Persamaan \(x^2-(m+2)x+2m=0\) memiliki akar-akar positif. Tentukan rentang nilai \(m\).
Syarat kedua akar positif:
1) \(D \geq 0\):
\[ (m+2)^2-4(2m) \geq 0 \implies m^2+4m+4-8m \geq 0 \] \[ m^2-4m+4 \geq 0 \implies (m-2)^2 \geq 0 \quad \text{(selalu benar)} \]2) Jumlah akar > 0:
\[ x_1+x_2 = m+2 > 0 \implies m > -2 \]3) Hasil kali akar > 0:
\[ x_1 \cdot x_2 = 2m > 0 \implies m > 0 \]Irisan: \(\boxed{m > 0}\)
Sulit Contoh 15. Jika \(x_1, x_2\) akar \(2x^2-6x+1=0\), tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya \(x_1^2-1\) dan \(x_2^2-1\).
\(x_1+x_2=3\), \(x_1 x_2=\frac{1}{2}\)
Akar baru: \(p=x_1^2-1\), \(q=x_2^2-1\)
Jumlah akar baru:
\[ p+q = (x_1^2+x_2^2)-2 = [(x_1+x_2)^2-2x_1 x_2]-2 \] \[ = [9-1]-2 = 6 \]Hasil kali akar baru:
\[ p \cdot q = (x_1^2-1)(x_2^2-1) = x_1^2 x_2^2 – x_1^2 – x_2^2 + 1 \] \[ = (x_1 x_2)^2 – (x_1^2+x_2^2) + 1 = \frac{1}{4}-8+1 = -\frac{27}{4} \]PK baru: \(x^2-6x-\frac{27}{4}=0\), kalikan 4:
\[ \boxed{4x^2-24x-27=0} \]✏️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan rumus Vieta!
🟢 Tingkat Mudah
Mudah 1. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari \(x^2-8x+15=0\).
Mudah 2. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari \(x^2+3x-10=0\).
Mudah 3. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari \(4x^2-12x+8=0\).
Mudah 4. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari \(x^2-16=0\).
Mudah 5. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari \(5x^2+10x-15=0\).
🟡 Tingkat Sedang
Sedang 6. Jika \(x_1, x_2\) akar dari \(x^2-6x+2=0\), tentukan \(x_1^2+x_2^2\).
Sedang 7. Jika akar-akar \(3x^2-12x+9=0\) adalah \(x_1\) dan \(x_2\), tentukan \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\).
Sedang 8. Tentukan PK baru yang akar-akarnya 3 kali akar-akar dari \(x^2-4x+3=0\).
Sedang 9. Jika \(x_1, x_2\) akar \(x^2+8x+12=0\), tentukan \((x_1-x_2)^2\).
Sedang 10. Tentukan nilai \(m\) agar hasil kali akar dari \(x^2-(m+3)x+2m+1=0\) sama dengan 5.
🔴 Tingkat Sulit
Sulit 11. Jika \(x_1, x_2\) akar dari \(x^2-7x+4=0\), tentukan \(x_1^3+x_2^3\).
Sulit 12. Tentukan PK baru yang akar-akarnya \(\frac{1}{x_1}\) dan \(\frac{1}{x_2}\) jika \(x_1,x_2\) akar dari \(5x^2-3x+1=0\).
Sulit 13. Jika \(x_1,x_2\) akar \(x^2-ax+b=0\), nyatakan \(x_1^4+x_2^4\) dalam \(a\) dan \(b\).
Sulit 14. Persamaan \(x^2-2kx+k+2=0\) memiliki kedua akar positif. Tentukan rentang nilai \(k\).
Sulit 15. Jika \(x_1,x_2\) akar \(3x^2-9x+2=0\), tentukan PK baru yang akar-akarnya \(x_1^2+1\) dan \(x_2^2+1\).