Teknik Pengambilan Sampel

Teknik Pengambilan Sampel

Pengambilan Sampel Sekaligus & Satu Demi Satu

1. Pengambilan Sampel Sekaligus

Pengertian

Pengambilan sampel sekaligus adalah teknik pengambilan sampel di mana seluruh sampel diambil secara bersamaan (sekaligus) dari populasi, tanpa ada pengembalian di antara pengambilan. Karena diambil bersamaan, urutan pengambilan tidak diperhatikan.

💡 Catatan Penting: Karena urutan tidak penting, maka teknik ini menggunakan Kombinasi, bukan Permutasi.

Rumus Utama

Banyaknya cara mengambil r objek dari n objek secara sekaligus:

C(n, r) = n!r! × (n − r)!

Keterangan:

  • n = jumlah total objek dalam populasi
  • r = jumlah objek yang diambil (ukuran sampel)
  • n! = n faktorial = n × (n−1) × (n−2) × … × 1
  • C(n, r) juga ditulis sebagai nCr atau  n  r 

Rumus Peluang

P(A) = Banyak cara kejadian ABanyak cara seluruh kemungkinan

Contoh Sederhana

Dari 5 bola diambil 3 bola sekaligus:

C(5, 3) = 5!3! × 2! = 1206 × 2 = 10 cara

Kapan Digunakan?

Situasi Teknik
Mengambil kartu dari setumpuk kartu Sekaligus
Memilih anggota panitia dari kelas Sekaligus
Mengambil bola dari kotak tanpa melihat Sekaligus

2. Contoh Soal: Sampel Sekaligus

MUDAH Contoh Soal Mudah

Contoh 1. Dari 6 bola diambil 2 bola sekaligus. Berapa banyak cara pengambilan?

Diketahui: n = 6, r = 2

Rumus: C(n, r) = C(6, 2)

C(6, 2) = 6!2! × 4! = 6 × 52 × 1 = 302 = 15 cara

Contoh 2. Dari 8 siswa dipilih 3 siswa sebagai panitia. Berapa banyak cara pemilihan?

Diketahui: n = 8, r = 3

C(8, 3) = 8!3! × 5! = 8 × 7 × 63 × 2 × 1 = 3366 = 56 cara

Contoh 3. Sebuah kotak berisi 4 bola merah dan 3 bola putih. Diambil 2 bola sekaligus. Berapa peluang terambil 2 bola merah?

Diketahui: 4 merah, 3 putih, total = 7, diambil 2

Ruang sampel: C(7, 2) = 21

Kejadian 2 merah: C(4, 2) = 6

P(2 merah) = C(4, 2)C(7, 2) = 621 = 27

Contoh 4. Dari 10 buku diambil 4 buku sekaligus. Berapa banyak cara pengambilan?

C(10, 4) = 10!4! × 6! = 10 × 9 × 8 × 74 × 3 × 2 × 1 = 504024 = 210 cara

Contoh 5. Dari 5 bola biru dan 3 bola kuning, diambil 3 bola sekaligus. Berapa peluang terambil semua bola biru?

Total bola: 5 + 3 = 8

Ruang sampel: C(8, 3) = 56

Kejadian 3 biru: C(5, 3) = 10

P(3 biru) = 1056 = 528

SEDANG Contoh Soal Sedang

Contoh 6. Kotak berisi 5 bola merah dan 4 bola putih. Diambil 3 bola sekaligus. Berapa peluang terambil 2 merah dan 1 putih?

Total: 9 bola, diambil 3

Ruang sampel: C(9, 3) = 84

Kejadian 2 merah dan 1 putih:

C(5, 2) × C(4, 1) = 10 × 4 = 40
P = 4084 = 1021

Contoh 7. Dari 6 pria dan 5 wanita, dipilih panitia 4 orang. Berapa peluang terpilih 2 pria dan 2 wanita?

Total: 11 orang, dipilih 4

Ruang sampel: C(11, 4) = 330

Kejadian 2 pria 2 wanita:

C(6, 2) × C(5, 2) = 15 × 10 = 150
P = 150330 = 511

Contoh 8. Kotak berisi 3 bola merah, 4 bola biru, 5 bola hijau. Diambil 4 bola sekaligus. Berapa peluang tidak ada bola merah?

Total: 12 bola, diambil 4

Ruang sampel: C(12, 4) = 495

Tidak ada merah → ambil dari biru + hijau = 9 bola

C(9, 4) = 126
P(tanpa merah) = 126495 = 1455

Contoh 9. Dari 52 kartu bridge diambil 5 kartu sekaligus. Berapa peluang terambil tepat 3 kartu As?

Jumlah As: 4, Bukan As: 48, diambil 5

Ruang sampel: C(52, 5) = 2.598.960

Kejadian 3 As dan 2 bukan As:

C(4, 3) × C(48, 2) = 4 × 1.128 = 4.512
P = 4.5122.598.960 = 9454.145 ≈ 0,00174

Contoh 10. Kotak berisi 7 bola merah dan 5 bola putih. Diambil 4 bola sekaligus. Berapa peluang terambil paling sedikit 1 bola putih?

Total: 12 bola, diambil 4

Ruang sampel: C(12, 4) = 495

Komplemen: P(≥1 putih) = 1 − P(0 putih)

P(0 putih) = C(7, 4)C(12, 4) = 35495 = 799
P(≥1 putih) = 1 − 799 = 9299

SULIT Contoh Soal Sulit

Contoh 11. Kotak A berisi 4 bola merah dan 3 bola putih. Kotak B berisi 5 bola merah dan 2 bola putih. Dari kotak A diambil 2 bola dan dari kotak B diambil 3 bola, semuanya sekaligus. Berapa peluang terambil tepat 3 bola merah dari total 5 bola?

Kasus: 3 merah dari total 5 bola. Kemungkinan distribusi merah dari A dan B:

Merah dari A Merah dari B Putih dari A Putih dari B
0 3 2 0
1 2 1 1
2 1 0 2

Ruang sampel: C(7,2) × C(7,3) = 21 × 35 = 735

Kasus 1: (0M,2P dari A) × (3M,0P dari B)

C(4,0)×C(3,2) × C(5,3)×C(2,0) = 1×3 × 10×1 = 30

Kasus 2: (1M,1P dari A) × (2M,1P dari B)

C(4,1)×C(3,1) × C(5,2)×C(2,1) = 4×3 × 10×2 = 240

Kasus 3: (2M,0P dari A) × (1M,2P dari B)

C(4,2)×C(3,0) × C(5,1)×C(2,2) = 6×1 × 5×1 = 30
P = 30 + 240 + 30735 = 300735 = 2049

Contoh 12. Dari 8 orang yang terdiri dari 3 pasangan suami-istri dan 2 bujangan, dipilih 4 orang panitia. Berapa peluang tidak ada pasangan suami-istri yang terpilih bersama?

Ruang sampel: C(8, 4) = 70

Strategi: Pilih dari tiap pasangan paling banyak 1 orang.

Ada 3 pasangan (A, B, C) dan 2 bujangan (D, E). Kita pilih berapa pasangan yg diwakili.

Kasus: pilih k pasangan yang mengirim 1 wakil, sisanya dari bujangan

Total harus = 4 orang. Bujangan = 2.

  • k=2: 2 wakil pasangan + 2 bujangan. C(3,2)×2²×C(2,2) = 3×4×1 = 12
  • k=3: 3 wakil pasangan + 1 bujangan. C(3,3)×2³×C(2,1) = 1×8×2 = 16
Total yang memenuhi = 12 + 16 = 28
P = 2870 = 25

Contoh 13. Dari 15 orang (6 insinyur, 5 dokter, 4 guru) dibentuk tim 5 orang. Berapa peluang setiap profesi terwakili minimal 1 orang?

Ruang sampel: C(15, 5) = 3.003

Distribusi (I, D, G) yang mungkin dengan masing-masing ≥ 1:

Insinyur Dokter Guru Banyak cara
1 1 3 C(6,1)×C(5,1)×C(4,3) = 6×5×4 = 120
1 3 1 C(6,1)×C(5,3)×C(4,1) = 6×10×4 = 240
3 1 1 C(6,3)×C(5,1)×C(4,1) = 20×5×4 = 400
1 2 2 C(6,1)×C(5,2)×C(4,2) = 6×10×6 = 360
2 1 2 C(6,2)×C(5,1)×C(4,2) = 15×5×6 = 450
2 2 1 C(6,2)×C(5,2)×C(4,1) = 15×10×4 = 600
Total = 120 + 240 + 400 + 360 + 450 + 600 = 2.170
P = 2.1703.003 = 310429 ≈ 0,7226

Contoh 14. Terdapat 10 bola bernomor 1–10. Diambil 4 bola sekaligus. Berapa peluang jumlah nomor yang terambil genap?

Bola ganjil: {1,3,5,7,9} = 5 bola. Bola genap: {2,4,6,8,10} = 5 bola.

Ruang sampel: C(10, 4) = 210

Jumlah 4 bola genap jika: jumlah ganjil yang diambil genap (0 atau 2 atau 4 ganjil).

  • 0 ganjil, 4 genap: C(5,0)×C(5,4) = 1×5 = 5
  • 2 ganjil, 2 genap: C(5,2)×C(5,2) = 10×10 = 100
  • 4 ganjil, 0 genap: C(5,4)×C(5,0) = 5×1 = 5
P = 5 + 100 + 5210 = 110210 = 1121

Contoh 15. Dari 12 siswa yang terdiri dari 7 laki-laki dan 5 perempuan, dibentuk kelompok 5 orang dengan syarat perempuan tidak boleh lebih banyak dari laki-laki. Berapa peluangnya?

Ruang sampel: C(12, 5) = 792

Syarat: jumlah perempuan ≤ jumlah laki-laki. Distribusi (L, P):

Laki-laki Perempuan Banyak cara
5 0 C(7,5)×C(5,0) = 21×1 = 21
4 1 C(7,4)×C(5,1) = 35×5 = 175
3 2 C(7,3)×C(5,2) = 35×10 = 350
Total = 21 + 175 + 350 = 546
P = 546792 = 91132 ≈ 0,6894

3. Latihan Soal: Sampel Sekaligus

MUDAH

1. Dari 7 bola diambil 3 bola sekaligus. Berapa banyak cara pengambilan?

2. Dari 10 siswa dipilih 2 orang sebagai delegasi. Berapa banyak cara pemilihan?

3. Kotak berisi 5 bola merah dan 4 bola putih. Diambil 2 bola sekaligus. Berapa peluang keduanya merah?

4. Dari 9 buku dipilih 3 buku sekaligus. Berapa banyak cara?

5. Dari 6 bola biru dan 4 bola kuning, diambil 2 bola sekaligus. Berapa peluang keduanya biru?

SEDANG

6. Kotak berisi 6 bola merah dan 4 bola putih. Diambil 4 sekaligus. Berapa peluang terambil 2 merah dan 2 putih?

7. Dari 5 pria dan 7 wanita dipilih 3 orang. Berapa peluang terpilih 1 pria dan 2 wanita?

8. Dari 52 kartu bridge diambil 4 kartu sekaligus. Berapa peluang terambil tepat 2 As?

9. Kotak berisi 4 merah, 3 biru, 5 hijau. Diambil 3 sekaligus. Berapa peluang masing-masing warna terambil 1?

10. Dari 8 bola diambil 3 sekaligus. Berapa peluang terambil paling sedikit 1 bola merah, jika ada 3 bola merah dan 5 bola putih?

SULIT

11. Kotak A berisi 3 merah dan 4 putih, kotak B berisi 5 merah dan 2 putih. Dari A diambil 2, dari B diambil 2 sekaligus. Berapa peluang terambil tepat 2 bola merah total?

12. Dari 14 orang (5 insinyur, 4 dokter, 5 guru) dibentuk tim 6 orang dengan setiap profesi minimal 1 orang. Berapa peluangnya?

13. Dari 10 siswa (4 dari kelas A, 6 dari kelas B) dipilih 5 orang. Berapa peluang kelas A lebih banyak terpilih daripada kelas B?

14. Kotak berisi bola bernomor 1–12. Diambil 5 sekaligus. Berapa peluang jumlah nomor bola ganjil?

15. Dari 6 pasang sepatu (12 sepatu) diambil 4 sepatu sekaligus. Berapa peluang tidak ada pasangan yang lengkap?

4. Pengambilan Sampel Satu Demi Satu

Pengertian

Pengambilan sampel satu demi satu adalah teknik pengambilan di mana objek diambil satu per satu secara berurutan. Ada dua variasi:

Variasi Penjelasan Sifat
Tanpa Pengembalian Objek yang sudah diambil tidak dikembalikan Populasi berkurang setiap pengambilan
Dengan Pengembalian Objek yang diambil dikembalikan sebelum pengambilan berikutnya Populasi tetap sama

Rumus: Tanpa Pengembalian

Pengambilan berurutan, urutan diperhatikan → gunakan aturan perkalian dengan probabilitas berubah.

P(A₁ ∩ A₂ ∩ … ∩ Aₖ) = P(A₁) × P(A₂|A₁) × P(A₃|A₁∩A₂) × …
💡 Penting: Setiap pengambilan mengubah komposisi populasi. Peluang pada pengambilan berikutnya tergantung hasil pengambilan sebelumnya (peluang bersyarat).

Rumus: Dengan Pengembalian

Setiap pengambilan independen karena populasi selalu sama.

P(A₁ ∩ A₂ ∩ … ∩ Aₖ) = P(A₁) × P(A₂) × P(A₃) × …

Ilustrasi Perbandingan

Kotak berisi 3 merah dan 2 putih. Diambil 2 bola satu demi satu.

Tanpa Pengembalian Dengan Pengembalian
P(merah₁) 35 35
P(merah₂ | merah₁) 24 (populasi jadi 4) 35 (populasi tetap 5)
P(2 merah) 35 × 24 = 620 = 310 35 × 35 = 925

5. Contoh Soal: Sampel Satu Demi Satu

MUDAH Contoh Soal Mudah

Contoh 1. Kotak berisi 4 merah dan 3 putih. Diambil 2 bola satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang keduanya merah?

Pengambilan 1: P(merah₁) = 47

Pengambilan 2: P(merah₂ | merah₁) = 36

P(2 merah) = 47 × 36 = 1242 = 27

Contoh 2. Kantong berisi 5 bola merah dan 3 bola biru. Diambil 2 bola satu demi satu dengan pengembalian. Berapa peluang keduanya biru?

Dengan pengembalian → setiap pengambilan independen.

P(2 biru) = 38 × 38 = 964

Contoh 3. Kotak berisi 6 bola merah dan 4 bola putih. Diambil 1 bola, tidak dikembalikan, lalu diambil 1 bola lagi. Berapa peluang pertama merah, kedua putih?

P = 610 × 49 = 2490 = 415

Contoh 4. Dari 10 kartu bernomor 1–10, diambil 2 kartu satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang kedua kartu bernomor genap?

Kartu genap: {2,4,6,8,10} = 5 kartu

P = 510 × 49 = 2090 = 29

Contoh 5. Kantong berisi 3 bola hitam dan 5 bola putih. Diambil 2 bola satu demi satu dengan pengembalian. Berapa peluang pertama hitam, kedua putih?

P = 38 × 58 = 1564

SEDANG Contoh Soal Sedang

Contoh 6. Kotak berisi 4 merah, 3 biru, 2 hijau. Diambil 3 bola satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang urutan: merah, biru, hijau?

Total = 9

P = 49 × 38 × 27 = 24504 = 121

Contoh 7. Kotak berisi 5 merah dan 4 putih. Diambil 3 bola satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang tepat 2 merah? (urutan apapun)

Urutan 2 merah dan 1 putih: MMB, MBM, BMM

MMB: 59 × 48 × 47 = 80504

MBM: 59 × 48 × 47 = 80504

BMM: 49 × 58 × 47 = 80504

P = 3 × 80504 = 240504 = 1021

Contoh 8. Dadu dilempar 3 kali (model “dengan pengembalian”). Berapa peluang muncul angka 6 tepat 2 kali?

Ini adalah distribusi binomial: n=3, k=2, p=1/6, q=5/6

P = C(3,2) × (16)² × (56)¹ = 3 × 136 × 56 = 15216 = 572

Contoh 9. Kotak berisi 7 merah dan 3 putih. Diambil 3 satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang paling sedikit 1 putih?

Komplemen: P(≥1 putih) = 1 − P(0 putih)

P(0 putih) = 710 × 69 × 58 = 210720 = 724
P(≥1 putih) = 1 − 724 = 1724

Contoh 10. Koin dilempar 4 kali. Berapa peluang muncul tepat 3 gambar?

Model dengan pengembalian (independen), n=4, k=3, p=1/2

P = C(4,3) × (12)³ × (12)¹ = 4 × 116 = 416 = 14

SULIT Contoh Soal Sulit

Contoh 11. Kotak berisi 5 merah, 4 biru, 3 hijau. Diambil 4 bola satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang bola ketiga yang pertama kali berwarna hijau muncul pada pengambilan ke-3?

Artinya: Pengambilan 1 dan 2 bukan hijau, pengambilan 3 hijau.

Total = 12, hijau = 3, bukan hijau = 9

P = 912 × 811 × 310 = 2161320 = 18110 = 955

Contoh 12. Dari kotak berisi 6 merah dan 4 putih, diambil bola satu demi satu tanpa pengembalian sampai terambil bola putih pertama. Berapa peluang bola putih pertama muncul pada pengambilan ke-4?

Artinya: Pengambilan 1, 2, 3 merah; pengambilan 4 putih.

P = 610 × 59 × 48 × 47 = 4805040 = 221

Contoh 13. Kantong berisi 4 merah dan 6 putih. Diambil 5 bola satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang bola merah dan putih terambil selang-seling (mulai dari merah)?

Urutan: M, P, M, P, M → 3 merah, 2 putih

P = 410 × 69 × 38 × 57 × 26 = 72030240 = 142

Contoh 14. Kotak berisi 3 merah, 3 putih, 3 biru. Diambil 3 bola satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang ketiga bola berbeda warna?

Semua urutan 3 bola berbeda warna:

Ada 3! = 6 urutan warna yang mungkin. Setiap urutan memiliki peluang yang sama:

P(satu urutan, misal M-P-B) = 39 × 38 × 37 = 27504
P(berbeda warna) = 6 × 27504 = 162504 = 928

Contoh 15. Kotak berisi 5 bola merah bernomor 1–5 dan 5 bola putih bernomor 1–5. Diambil 3 bola satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang nomor terambil membentuk barisan naik?

Total bola: 10. Ruang sampel berurutan: P(10,3) = 10 × 9 × 8 = 720

Pilih 3 nomor: Bisa nomor 1–5. Karena ada 2 bola per nomor (merah & putih), kita perhatikan bahwa nomor pada bola adalah 1–5 masing-masing 2.

Kasus barisan naik (a < b < c):

Pilih 3 nomor berbeda dari {1,2,3,4,5}: C(5,3) = 10 cara. Urutan hanya 1 (naik). Tiap posisi bisa merah/putih: 2³ = 8.

Kejadian = 10 × 1 × 8 = 80

Tapi juga ada kasus 2 nomor sama (misal nomor 2 merah dan 2 putih). Barisan naik artinya n₁ < n₂ < n₃ → semua nomor harus berbeda.

P = 80720 = 19

6. Latihan Soal: Sampel Satu Demi Satu

MUDAH

1. Kotak berisi 5 merah dan 3 putih. Diambil 2 bola satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang keduanya putih?

2. Kantong berisi 4 biru dan 6 kuning. Diambil 2 satu demi satu dengan pengembalian. Berapa peluang keduanya kuning?

3. Dari 8 kartu bernomor 1–8, diambil 2 satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang kedua kartu bernomor ganjil?

4. Koin dilempar 3 kali. Berapa peluang muncul tepat 2 angka?

5. Kotak berisi 6 merah dan 4 putih. Diambil 2 satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang pertama merah, kedua putih?

SEDANG

6. Kotak berisi 3 merah, 4 biru, 3 hijau. Diambil 3 satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang urutan: merah, biru, hijau?

7. Dadu dilempar 4 kali. Berapa peluang muncul tepat 1 angka 6?

8. Kotak berisi 8 merah dan 4 putih. Diambil 3 satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang tepat 1 putih?

9. Kantong berisi 5 merah dan 5 putih. Diambil 4 satu demi satu dengan pengembalian. Berapa peluang tepat 2 merah?

10. Dari 10 bola diambil satu demi satu tanpa pengembalian. 6 merah, 4 putih. Berapa peluang pengambilan ke-3 pertama kali putih?

SULIT

11. Kotak berisi 4 merah, 4 putih, 4 biru. Diambil 4 satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang tidak ada warna yang terambil lebih dari 2 kali?

12. Dari 8 merah dan 4 putih, diambil satu demi satu tanpa pengembalian sampai putih pertama muncul. Berapa peluang bola putih muncul pada pengambilan ke-5?

13. Kotak berisi 5 merah dan 5 putih. Diambil 4 satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang merah dan putih selang-seling (mulai dari merah)?

14. Dadu dilempar 5 kali. Berapa peluang angka 6 muncul pada lemparan ke-3 untuk pertama kalinya?

15. Kotak berisi 3 merah, 3 putih, 3 biru, 3 hijau. Diambil 4 satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang keempat bola berbeda warna?

7. Tabel Perbandingan

Aspek Sekaligus Satu Demi Satu (Tanpa Pengembalian) Satu Demi Satu (Dengan Pengembalian)
Cara pengambilan Semua diambil bersamaan Satu per satu, tidak dikembalikan Satu per satu, dikembalikan
Urutan Tidak penting Penting (bisa penting/tidak) Penting (bisa penting/tidak)
Populasi Berkurang sekaligus Berkurang bertahap Tetap
Rumus utama Kombinasi C(n,r) Peluang bersyarat bertahap Peluang independen (perkalian)
Kejadian Independen (1 kali ambil) Dependen (saling bergantung) Independen
💡 Tips Mengerjakan:
  • Jika soal mengatakan “diambil sekaligus” → gunakan Kombinasi
  • Jika soal mengatakan “diambil satu per satu tanpa dikembalikan” → gunakan Peluang Bersyarat
  • Jika soal mengatakan “diambil satu per satu dan dikembalikan” → gunakan Perkalian Peluang Independen
  • Gunakan teknik komplemen untuk soal “paling sedikit” atau “minimal”

— Teknik Pengambilan Sampel —

By admin

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

You cannot copy content of this page