Peluang Suatu Kejadian
Matematika — Materi, Contoh Soal & Latihan
1. Pengertian Percobaan, Ruang Sampel, dan Kejadian
A. Percobaan (Eksperimen)
Percobaan adalah suatu kegiatan yang hasilnya belum pasti (tidak dapat diprediksi dengan pasti sebelumnya). Contoh: melempar dadu, melempar koin, mengambil kartu dari setumpuk kartu.
B. Ruang Sampel (S)
Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan.
n(S) = banyaknya anggota ruang sampel
Contoh:
- Pelemparan 1 koin: S = {A, G} → n(S) = 2
- Pelemparan 1 dadu: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(S) = 6
- Pelemparan 2 koin: S = {AA, AG, GA, GG} → n(S) = 4
C. Kejadian (Event)
Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Kejadian dilambangkan dengan huruf kapital (A, B, C, …).
n(A) = banyaknya anggota kejadian A
Contoh: Pada pelemparan 1 dadu, kejadian munculnya angka genap: A = {2, 4, 6} → n(A) = 3
D. Tabel Ruang Sampel
Pelemparan 2 dadu dapat disajikan dalam tabel berikut:
| Dadu 1 \ Dadu 2 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
n(S) = 36 titik sampel
📘 Contoh Soal — Pengertian Percobaan, Ruang Sampel, dan Kejadian
Mudah
1. Tentukan ruang sampel dari pelemparan satu koin!
2. Tentukan ruang sampel dari pelemparan satu dadu!
3. Pada pelemparan satu dadu, tentukan kejadian munculnya angka prima!
4. Sebuah kantong berisi 3 bola: merah (M), biru (B), hijau (H). Jika diambil 1 bola, tentukan ruang sampelnya!
5. Pada pelemparan satu dadu, tentukan kejadian munculnya angka kurang dari 4!
Sedang
6. Tentukan ruang sampel pelemparan 2 koin sekaligus!
7. Pada pelemparan 2 dadu, tentukan kejadian jumlah mata dadu = 7!
8. Tentukan ruang sampel pelemparan 1 koin dan 1 dadu secara bersamaan!
9. Pada pelemparan 2 dadu, tentukan kejadian mata dadu pertama lebih besar dari mata dadu kedua!
10. Dari angka 1, 2, 3, 4 akan disusun bilangan dua angka tanpa pengulangan. Tentukan ruang sampelnya!
Sulit
11. Tiga koin dilempar bersamaan. Tentukan ruang sampel dan kejadian munculnya paling sedikit 2 angka!
12. Dari angka 0, 1, 2, 3, 4, tentukan banyaknya bilangan tiga angka genap yang dapat disusun (tanpa pengulangan)!
Kasus 1: angka terakhir = 0 → angka pertama: 4 pilihan, angka kedua: 3 pilihan = 4×3 = 12.
Kasus 2: angka terakhir = 2 → angka pertama: 3 pilihan (≠0, ≠2), angka kedua: 3 pilihan = 3×3 = 9.
Kasus 3: angka terakhir = 4 → angka pertama: 3 pilihan (≠0, ≠4), angka kedua: 3 pilihan = 3×3 = 9.
Total = 12 + 9 + 9 = 30 bilangan.
13. Pada pelemparan 2 dadu, tentukan kejadian selisih mata dadu = 2!
14. Empat orang (A, B, C, D) akan duduk berjajar. Tentukan banyak susunan jika A dan B harus bersebelahan!
15. Dari 5 buku berbeda akan dipilih 3 buku untuk disusun di rak. Berapa banyak susunan yang mungkin?
📝 Latihan Soal — Pengertian Percobaan, Ruang Sampel, dan Kejadian
Mudah
- Tentukan ruang sampel dari pemilihan 1 kartu dari kartu bertuliskan huruf A, B, C, D, E!
- Pada pelemparan satu dadu, tentukan kejadian munculnya angka ganjil!
- Sebuah kantong berisi 4 kelereng: merah, kuning, hijau, biru. Tentukan n(S) jika diambil 1 kelereng!
- Pada pelemparan satu koin, tentukan kejadian munculnya sisi gambar!
- Tentukan ruang sampel dari pemilihan 1 hari dalam seminggu!
Sedang
- Tentukan ruang sampel pelemparan 1 dadu dan 1 koin secara bersamaan!
- Pada pelemparan 2 dadu, tentukan kejadian jumlah mata dadu = 9!
- Dari angka 1, 2, 3, 4, 5 akan dibuat bilangan 2 angka tanpa pengulangan. Berapa n(S)?
- Pada pelemparan 2 koin dan 1 dadu, tentukan n(S)!
- Pada pelemparan 2 dadu, tentukan kejadian hasil kali mata dadu = 12!
Sulit
- Empat koin dilempar bersamaan. Tentukan n(S) dan kejadian munculnya tepat 2 gambar!
- Dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5 akan disusun bilangan 3 angka ganjil tanpa pengulangan. Berapa banyak?
- Lima orang akan duduk melingkar. Berapa banyak susunan yang mungkin?
- Pada pelemparan 3 dadu, tentukan banyaknya titik sampel yang jumlah matanya = 5!
- Dari kata “MAKAN”, berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibuat?
2. Aturan Pencacahan untuk Menentukan Banyak Ruang Sampel
A. Aturan Perkalian
Jika percobaan pertama memiliki m hasil dan percobaan kedua memiliki n hasil, maka total hasil gabungan = m × n.
B. Permutasi
Permutasi adalah banyaknya susunan r objek dari n objek berbeda, dimana urutan diperhatikan.
n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 2 × 1
0! = 1
Permutasi dengan unsur sama:
C. Kombinasi
Kombinasi adalah banyaknya cara memilih r objek dari n objek berbeda, dimana urutan tidak diperhatikan.
D. Permutasi Siklis (Melingkar)
📘 Contoh Soal — Aturan Pencacahan
Mudah
1. Hitung nilai 5!
2. Ada 3 baju dan 4 celana. Berapa banyak pasangan pakaian yang bisa dipilih?
3. Hitung P(4, 2)!
4. Hitung C(5, 2)!
5. Berapa banyak cara menyusun 3 buku berbeda dalam satu baris?
Sedang
6. Dari 7 siswa akan dipilih ketua dan wakil ketua. Berapa banyak cara?
7. Dari 8 orang akan dipilih 3 orang untuk tim. Berapa banyak cara?
8. Berapa banyak susunan huruf dari kata “BUKU”?
9. Plat nomor terdiri dari 2 huruf (dari A–Z) dan 3 angka (0–9). Berapa banyak plat yang mungkin?
10. Berapa banyak cara 5 orang duduk melingkar?
Sulit
11. Dari 6 pria dan 4 wanita, akan dibentuk panitia 5 orang yang terdiri dari 3 pria dan 2 wanita. Berapa banyak cara?
12. Berapa banyak susunan huruf dari kata “MATEMATIKA”?
13. Dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, berapa banyak bilangan 4 angka yang lebih besar dari 3000 (tanpa pengulangan)?
14. Sebuah tim basket 5 orang dipilih dari 8 pemain dimana kapten harus selalu terpilih. Berapa banyak cara?
15. 6 orang duduk melingkar. Berapa banyak susunan jika 2 orang tertentu tidak boleh bersebelahan?
📝 Latihan Soal — Aturan Pencacahan
Mudah
- Hitung nilai 6!
- Ada 5 kemeja dan 3 dasi. Berapa banyak kombinasi pakaian?
- Hitung P(5, 3)!
- Hitung C(6, 2)!
- Berapa banyak cara menyusun 4 orang dalam satu baris?
Sedang
- Dari 10 siswa akan dipilih ketua, wakil, dan sekretaris. Berapa cara?
- Berapa banyak susunan huruf dari kata “PAPA”?
- PIN ATM 4 digit (0–9) tanpa pengulangan. Berapa banyak PIN?
- Dari 9 pemain akan dipilih 4 orang untuk relay. Berapa cara (urutan penting)?
- Berapa banyak cara 6 orang duduk melingkar?
Sulit
- Dari 5 pria dan 6 wanita akan dibentuk tim 4 orang minimal 2 wanita. Berapa cara?
- Berapa banyak susunan huruf dari kata “INDONESIA”?
- Dari angka 0–9, berapa bilangan 3 angka genap tanpa pengulangan?
- 8 orang duduk melingkar, 3 orang tertentu harus bersebelahan. Berapa susunan?
- Dari 12 soal ujian, siswa harus mengerjakan 8 soal dimana 3 soal pertama wajib. Berapa cara memilih?
3. Menentukan Peluang Kejadian dalam Berbagai Situasi
A. Definisi Peluang
Peluang suatu kejadian A adalah perbandingan banyaknya kejadian A terhadap banyaknya ruang sampel.
Dimana:
• P(A) = peluang kejadian A
• n(A) = banyaknya anggota kejadian A
• n(S) = banyaknya anggota ruang sampel
Sifat: 0 ≤ P(A) ≤ 1
B. Peluang Komplemen
A’ = komplemen kejadian A (kejadian A tidak terjadi)
C. Peluang Gabungan Dua Kejadian
Jika A dan B saling lepas (A ∩ B = ∅):
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
D. Diagram Peluang
Diagram Venn: Peluang gabungan A ∪ B
E. Skala Peluang
📘 Contoh Soal — Peluang Kejadian
Mudah
1. Sebuah dadu dilempar sekali. Berapa peluang muncul angka 4?
2. Sebuah koin dilempar sekali. Berapa peluang muncul angka?
3. Sebuah dadu dilempar sekali. Berapa peluang muncul angka genap?
4. Dari kantong berisi 3 bola merah dan 2 bola biru, diambil 1 bola. Berapa peluang terambil bola merah?
5. Sebuah dadu dilempar sekali. Berapa peluang TIDAK muncul angka 6?
Sedang
6. Dua dadu dilempar bersamaan. Berapa peluang jumlah mata dadu = 8?
7. Dari 52 kartu bridge, diambil 1 kartu. Berapa peluang terambil kartu As?
8. Dua koin dilempar. Berapa peluang keduanya muncul sisi yang sama?
9. Dari 10 siswa (6 laki-laki, 4 perempuan), dipilih 2 orang secara acak. Berapa peluang keduanya perempuan?
10. Sebuah dadu dilempar. Kejadian A = muncul prima, B = muncul ganjil. Tentukan P(A ∪ B)!
Sulit
11. Dari 52 kartu bridge, diambil 5 kartu sekaligus. Berapa peluang mendapat tepat 3 kartu hati?
12. Tiga dadu dilempar. Berapa peluang jumlah mata dadu = 10?
13. Dari 8 orang (5 pria, 3 wanita) dipilih panitia 4 orang. Berapa peluang panitia terdiri dari minimal 2 wanita?
2 wanita 2 pria: C(3,2)×C(5,2) = 3×10 = 30.
3 wanita 1 pria: C(3,3)×C(5,1) = 1×5 = 5.
n(A) = 35. P(A) = 35/70 = 1/2.
14. Sebuah kata disusun acak dari huruf “PELUANG”. Berapa peluang huruf vokal selalu berdampingan?
15. Dari 20 produk (3 cacat), dipilih 4 secara acak untuk diperiksa. Berapa peluang paling sedikit 1 produk cacat terambil?
n(S) = C(20,4) = 4845.
P(0 cacat) = C(17,4)/C(20,4) = 2380/4845 = 476/969.
P(min 1 cacat) = 1 − 476/969 = 493/969 ≈ 0,5088.
📝 Latihan Soal — Peluang Kejadian
Mudah
- Sebuah dadu dilempar sekali. Berapa peluang muncul angka lebih dari 4?
- Dari kantong berisi 5 bola merah dan 3 bola putih, diambil 1 bola. Berapa peluang terambil bola putih?
- Sebuah koin dilempar 2 kali. Berapa peluang muncul dua gambar?
- Berapa peluang tidak muncul angka genap pada pelemparan 1 dadu?
- Dari angka 1–10 dipilih satu secara acak. Berapa peluang terpilih angka kelipatan 3?
Sedang
- Dua dadu dilempar. Berapa peluang jumlah mata dadu kurang dari 5?
- Dari 52 kartu bridge diambil 1 kartu. Berapa peluang terambil kartu merah bernomor genap?
- Dari 12 siswa (7 putra, 5 putri) dipilih 3 orang. Berapa peluang terpilih 2 putra dan 1 putri?
- Sebuah dadu dilempar. A = prima, B = ≤ 4. Tentukan P(A ∩ B)!
- Tiga koin dilempar. Berapa peluang muncul paling sedikit 1 angka?
Sulit
- Dari 15 produk (4 cacat) dipilih 3 secara acak. Berapa peluang tepat 1 cacat?
- 5 orang duduk melingkar secara acak. Berapa peluang 2 orang tertentu duduk bersebelahan?
- Dari huruf “STATISTIKA” disusun acak. Berapa peluang dimulai dan diakhiri huruf konsonan?
- Dari 52 kartu bridge diambil 3 kartu. Berapa peluang ketiganya dari jenis berbeda?
- 10 lampu (3 rusak) dipasang acak pada 5 slot. Berapa peluang tidak ada lampu rusak yang terpasang?
Peluang Suatu Kejadian
Materi Matematika — Kelas VIII / IX
A. Arti Nilai Peluang Suatu Kejadian
Pengertian
Peluang suatu kejadian adalah ukuran kemungkinan terjadinya suatu kejadian dalam suatu percobaan. Nilai peluang berkisar antara 0 dan 1.
Rumus Peluang:
P(A) = n(A) / n(S)
P(A) = Peluang kejadian A
n(A) = Banyak anggota kejadian A
n(S) = Banyak anggota ruang sampel S
Rentang Nilai Peluang:
0 ≤ P(A) ≤ 1
- P(A) = 0 → Kejadian mustahil (tidak mungkin terjadi)
- P(A) = 1 → Kejadian pasti (pasti terjadi)
- 0 < P(A) < 1 → Kejadian mungkin terjadi
Komplemen Kejadian:
P(A’) = 1 − P(A)
P(A’) = Peluang kejadian A tidak terjadi (komplemen A)
Ilustrasi Nilai Peluang
| Nilai P(A) | Arti | Contoh |
|---|---|---|
| 0 | Mustahil | Muncul angka 7 pada dadu |
| 1/6 ≈ 0,17 | Kecil kemungkinan | Muncul angka 4 pada dadu |
| 1/2 = 0,5 | Berimbang | Muncul sisi gambar pada koin |
| 5/6 ≈ 0,83 | Besar kemungkinan | Muncul bukan angka 4 pada dadu |
| 1 | Pasti | Muncul angka ≤ 6 pada dadu |
Contoh Soal
Mudah
1. Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang muncul angka 5!
Pembahasan:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(S) = 6
A = {5} → n(A) = 1
P(A) = n(A)/n(S) = 1/6
2. Sebuah koin dilempar sekali. Tentukan peluang muncul sisi angka!
Pembahasan:
S = {Angka, Gambar} → n(S) = 2
A = {Angka} → n(A) = 1
P(A) = 1/2
3. Dalam kotak terdapat 3 bola merah dan 7 bola putih. Tentukan peluang terambil bola merah!
Pembahasan:
n(S) = 3 + 7 = 10
n(A) = 3
P(A) = 3/10
4. Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang muncul angka genap!
Pembahasan:
S = {1,2,3,4,5,6} → n(S) = 6
A = {2, 4, 6} → n(A) = 3
P(A) = 3/6 = 1/2
5. Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang muncul angka kurang dari 3!
Pembahasan:
S = {1,2,3,4,5,6} → n(S) = 6
A = {1, 2} → n(A) = 2
P(A) = 2/6 = 1/3
Sedang
6. Dua buah dadu dilempar bersama. Tentukan peluang jumlah mata dadu sama dengan 7!
Pembahasan:
n(S) = 6 × 6 = 36
A = {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)} → n(A) = 6
P(A) = 6/36 = 1/6
7. Dari kartu bernomor 1 sampai 20, diambil satu kartu secara acak. Tentukan peluang terambil kartu bernomor prima!
Pembahasan:
n(S) = 20
Bilangan prima 1–20: {2,3,5,7,11,13,17,19} → n(A) = 8
P(A) = 8/20 = 2/5
8. Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang muncul angka bukan 4!
Pembahasan:
P(muncul 4) = 1/6
P(bukan 4) = 1 − 1/6 = 5/6
9. Dalam kantong terdapat 5 bola merah, 3 bola biru, dan 2 bola hijau. Jika diambil satu bola secara acak, tentukan peluang terambil bola bukan merah!
Pembahasan:
n(S) = 5 + 3 + 2 = 10
P(merah) = 5/10 = 1/2
P(bukan merah) = 1 − 1/2 = 1/2
10. Dua koin dilempar bersama. Tentukan peluang muncul tepat satu gambar!
Pembahasan:
S = {AA, AG, GA, GG} → n(S) = 4
A (tepat 1 gambar) = {AG, GA} → n(A) = 2
P(A) = 2/4 = 1/2
Sulit
11. Tiga koin dilempar bersamaan. Tentukan peluang muncul paling sedikit 2 gambar!
Pembahasan:
n(S) = 2³ = 8
S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}
A (≥2 gambar) = {AGG, GAG, GGA, GGG} → n(A) = 4
P(A) = 4/8 = 1/2
12. Dua dadu dilempar bersama. Tentukan peluang jumlah mata dadu lebih dari 9!
Pembahasan:
n(S) = 36
Jumlah > 9: jumlah 10, 11, 12
Jumlah 10: (4,6),(5,5),(6,4) = 3
Jumlah 11: (5,6),(6,5) = 2
Jumlah 12: (6,6) = 1
n(A) = 3 + 2 + 1 = 6
P(A) = 6/36 = 1/6
13. Dari angka 1, 2, 3, 4, 5 akan dibentuk bilangan 3 digit tanpa pengulangan. Tentukan peluang bilangan yang terbentuk adalah bilangan genap!
Pembahasan:
Total bilangan 3 digit tanpa pengulangan = 5 × 4 × 3 = 60
Bilangan genap → digit terakhir genap (2 atau 4)
Jika digit terakhir 2: 4 × 3 × 1 = 12
Jika digit terakhir 4: 4 × 3 × 1 = 12
n(A) = 12 + 12 = 24
P(A) = 24/60 = 2/5
14. Sebuah kotak berisi 4 bola merah dan 6 bola putih. Diambil 2 bola sekaligus. Tentukan peluang terambil 2 bola merah!
Pembahasan:
n(S) = C(10,2) = 10!/(2!×8!) = 45
n(A) = C(4,2) = 4!/(2!×2!) = 6
P(A) = 6/45 = 2/15
15. Dari 52 kartu bridge, diambil 1 kartu. Tentukan peluang terambil kartu As atau kartu berwarna merah!
Pembahasan:
n(S) = 52
n(As) = 4, n(Merah) = 26, n(As ∩ Merah) = 2
P(As ∪ Merah) = P(As) + P(Merah) − P(As ∩ Merah)
= 4/52 + 26/52 − 2/52 = 28/52 = 7/13
Latihan Soal
Mudah
1. Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang muncul angka 3!
2. Dalam kotak ada 4 bola merah dan 6 bola biru. Tentukan peluang terambil bola biru!
3. Sebuah koin dilempar sekali. Tentukan peluang muncul sisi gambar!
4. Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang muncul angka ganjil!
5. Dari kartu bernomor 1–10, tentukan peluang terambil kartu bernomor 7!
Sedang
6. Dua koin dilempar bersama. Tentukan peluang muncul keduanya gambar!
7. Dari kartu bernomor 1–30, tentukan peluang terambil kartu bernomor kelipatan 5!
8. Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang muncul angka lebih dari 4!
9. Dalam kotak ada 8 bola merah dan 12 bola putih. Tentukan peluang terambil bola bukan putih!
10. Dua dadu dilempar bersama. Tentukan peluang jumlah mata dadu sama dengan 5!
Sulit
11. Tiga koin dilempar bersamaan. Tentukan peluang muncul tepat 2 angka!
12. Dua dadu dilempar bersama. Tentukan peluang selisih mata dadu sama dengan 2!
13. Dari angka 0–9, dibentuk bilangan 2 digit. Tentukan peluang bilangan yang terbentuk habis dibagi 3!
14. Dari 52 kartu bridge, tentukan peluang terambil kartu King atau kartu hati!
15. Kotak berisi 5 bola merah dan 4 bola biru. Diambil 3 bola sekaligus. Tentukan peluang terambil 2 merah dan 1 biru!
B. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Pengertian
Frekuensi harapan adalah banyaknya kejadian yang diharapkan terjadi jika percobaan dilakukan sebanyak n kali.
Rumus Frekuensi Harapan:
Fh = n × P(A)
Fh = Frekuensi harapan
n = Banyak percobaan
P(A) = Peluang kejadian A
Hubungan Frekuensi Relatif dan Peluang:
Jika percobaan dilakukan berulang-ulang, maka frekuensi relatif akan mendekati nilai peluang teoritis.
Fr = fA / n → mendekati P(A) saat n → ∞
Ilustrasi: Pelemparan Dadu 60 Kali
| Mata Dadu | P(A) | Fh (60 kali) |
|---|---|---|
| 1 | 1/6 | 60 × 1/6 = 10 |
| 2 | 1/6 | 10 |
| 3 | 1/6 | 10 |
| 4 | 1/6 | 10 |
| 5 | 1/6 | 10 |
| 6 | 1/6 | 10 |
Contoh Soal
Mudah
1. Sebuah dadu dilempar 120 kali. Berapa frekuensi harapan muncul angka 6?
Pembahasan:
P(6) = 1/6
Fh = 120 × 1/6 = 20
2. Sebuah koin dilempar 80 kali. Berapa frekuensi harapan muncul gambar?
Pembahasan:
P(Gambar) = 1/2
Fh = 80 × 1/2 = 40
3. Sebuah dadu dilempar 90 kali. Berapa frekuensi harapan muncul angka genap?
Pembahasan:
P(genap) = 3/6 = 1/2
Fh = 90 × 1/2 = 45
4. Dalam kotak ada 2 bola merah dan 3 bola putih. Jika percobaan mengambil 1 bola dilakukan 50 kali (dengan pengembalian), berapa frekuensi harapan terambil bola merah?
Pembahasan:
P(merah) = 2/5
Fh = 50 × 2/5 = 20
5. Sebuah dadu dilempar 60 kali. Berapa frekuensi harapan muncul angka kurang dari 4?
Pembahasan:
A = {1,2,3} → P(A) = 3/6 = 1/2
Fh = 60 × 1/2 = 30
Sedang
6. Dua koin dilempar bersama sebanyak 100 kali. Berapa frekuensi harapan muncul tepat 1 angka?
Pembahasan:
S = {AA, AG, GA, GG} → n(S) = 4
Tepat 1 angka = {AG, GA} → P = 2/4 = 1/2
Fh = 100 × 1/2 = 50
7. Sebuah dadu dilempar 180 kali. Berapa frekuensi harapan muncul angka prima?
Pembahasan:
Prima pada dadu = {2, 3, 5} → P = 3/6 = 1/2
Fh = 180 × 1/2 = 90
8. Dalam kantong ada 4 bola merah, 3 bola biru, dan 5 bola putih. Jika percobaan dilakukan 240 kali, berapa frekuensi harapan terambil bola biru?
Pembahasan:
n(S) = 4 + 3 + 5 = 12
P(biru) = 3/12 = 1/4
Fh = 240 × 1/4 = 60
9. Dua dadu dilempar bersama sebanyak 72 kali. Berapa frekuensi harapan jumlah mata dadu = 8?
Pembahasan:
Jumlah 8: (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) → n(A) = 5
P(A) = 5/36
Fh = 72 × 5/36 = 10
10. Sebuah spinner memiliki 8 sektor sama besar bernomor 1–8. Jika diputar 200 kali, berapa frekuensi harapan berhenti di angka kelipatan 3?
Pembahasan:
Kelipatan 3 dari 1–8: {3, 6} → P = 2/8 = 1/4
Fh = 200 × 1/4 = 50
Sulit
11. Tiga koin dilempar bersama sebanyak 400 kali. Berapa frekuensi harapan muncul paling sedikit 2 gambar?
Pembahasan:
n(S) = 8. A(≥2 gambar) = {AGG, GAG, GGA, GGG} → n(A) = 4
P(A) = 4/8 = 1/2
Fh = 400 × 1/2 = 200
12. Dua dadu dilempar bersama 360 kali. Berapa frekuensi harapan hasil kali mata dadu lebih dari 20?
Pembahasan:
Hasil kali > 20: (4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),(4,5 tidak, 4×5=20)
Cek: (4,6)=24✓ (6,4)=24✓ (5,5)=25✓ (5,6)=30✓ (6,5)=30✓ (6,6)=36✓
n(A) = 6, P(A) = 6/36 = 1/6
Fh = 360 × 1/6 = 60
13. Dari kartu bernomor 1–20, diambil 1 kartu secara acak lalu dikembalikan. Percobaan dilakukan 500 kali. Berapa frekuensi harapan terambil kartu bernomor kuadrat sempurna?
Pembahasan:
Kuadrat sempurna 1–20: {1, 4, 9, 16} → n(A) = 4
P(A) = 4/20 = 1/5
Fh = 500 × 1/5 = 100
14. Sebuah kotak berisi 6 bola merah dan 4 bola putih. Diambil 2 bola sekaligus sebanyak 270 kali (dikembalikan setiap kali). Berapa frekuensi harapan terambil 1 merah dan 1 putih?
Pembahasan:
n(S) = C(10,2) = 45
n(1M, 1P) = C(6,1) × C(4,1) = 6 × 4 = 24
P = 24/45 = 8/15
Fh = 270 × 8/15 = 144
15. Dua dadu dilempar 720 kali. Berapa frekuensi harapan selisih mata dadu sama dengan 0 (mata sama)?
Pembahasan:
Mata sama: (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6) → n(A) = 6
P(A) = 6/36 = 1/6
Fh = 720 × 1/6 = 120
Latihan Soal
Mudah
1. Sebuah dadu dilempar 300 kali. Berapa frekuensi harapan muncul angka 2?
2. Sebuah koin dilempar 150 kali. Berapa frekuensi harapan muncul angka?
3. Dadu dilempar 240 kali. Berapa frekuensi harapan muncul angka ganjil?
4. Kotak berisi 3 bola merah dan 7 bola putih. Percobaan 200 kali. Berapa frekuensi harapan terambil bola putih?
5. Koin dilempar 500 kali. Berapa frekuensi harapan muncul gambar?
Sedang
6. Dadu dilempar 180 kali. Berapa frekuensi harapan muncul angka lebih dari 4?
7. Kantong berisi 5 bola merah, 3 bola biru, 2 bola kuning. Percobaan 300 kali. Berapa Fh terambil bola kuning?
8. Dua koin dilempar 200 kali. Berapa Fh muncul keduanya angka?
9. Dua dadu dilempar 144 kali. Berapa Fh jumlah mata dadu = 6?
10. Spinner 10 sektor (1–10) diputar 250 kali. Berapa Fh berhenti di bilangan prima?
Sulit
11. Tiga koin dilempar 320 kali. Berapa Fh muncul tepat 1 gambar?
12. Dua dadu dilempar 540 kali. Berapa Fh jumlah mata dadu ≥ 10?
13. Kartu bernomor 1–25, diambil 1 kartu 375 kali. Berapa Fh terambil bilangan kelipatan 4?
14. Kotak berisi 7 bola merah dan 3 bola putih. Diambil 2 bola sekaligus 450 kali. Berapa Fh terambil 2 bola merah?
15. Dua dadu dilempar 900 kali. Berapa Fh hasil kali mata dadu = 12?
C. Peluang Kejadian Majemuk
Pengertian
Peluang kejadian majemuk adalah peluang yang melibatkan gabungan (union) atau irisan (intersection) dari dua kejadian atau lebih.
1. Peluang Gabungan (A atau B):
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Jika A dan B saling lepas (mutually exclusive): P(A ∩ B) = 0
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
2. Peluang Irisan (A dan B):
P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)
Jika A dan B saling bebas (independent): P(B|A) = P(B)
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
3. Peluang Bersyarat:
P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)
P(B|A) = Peluang B terjadi dengan syarat A sudah terjadi
Diagram Venn: Hubungan Kejadian
Tidak Saling Lepas
Saling Lepas (A∩B = ∅)
Ringkasan Rumus
| Kondisi | Rumus |
|---|---|
| A dan B tidak saling lepas | P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) |
| A dan B saling lepas | P(A∪B) = P(A) + P(B) |
| A dan B saling bebas | P(A∩B) = P(A) × P(B) |
| A dan B tidak saling bebas | P(A∩B) = P(A) × P(B|A) |
Contoh Soal
Mudah
1. Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang muncul angka genap atau angka 5!
Pembahasan:
A(genap) = {2,4,6}, B = {5}. A∩B = ∅ (saling lepas)
P(A∪B) = P(A) + P(B) = 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3
2. Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang muncul angka genap atau angka kurang dari 4!
Pembahasan:
A(genap) = {2,4,6}, B(<4) = {1,2,3}. A∩B = {2}
P(A∪B) = 3/6 + 3/6 − 1/6 = 5/6
3. Sebuah koin dan dadu dilempar bersama. Tentukan peluang muncul gambar dan angka 6!
Pembahasan:
Kejadian saling bebas.
P(Gambar) = 1/2, P(6) = 1/6
P(Gambar ∩ 6) = 1/2 × 1/6 = 1/12
4. Peluang hujan hari ini 0,3 dan peluang macet 0,5. Jika kedua kejadian saling bebas, tentukan peluang hujan dan macet terjadi bersamaan!
Pembahasan:
P(H ∩ M) = P(H) × P(M) = 0,3 × 0,5 = 0,15
5. Dalam kotak ada 3 bola merah dan 2 bola biru. Diambil 1 bola, lalu dikembalikan, kemudian diambil lagi 1 bola. Tentukan peluang keduanya merah!
Pembahasan:
P(M₁) = 3/5, P(M₂) = 3/5 (dengan pengembalian → saling bebas)
P(M₁ ∩ M₂) = 3/5 × 3/5 = 9/25
Sedang
6. Dari 52 kartu bridge, diambil 1 kartu. Tentukan peluang terambil kartu hati atau kartu King!
Pembahasan:
n(Hati) = 13, n(King) = 4, n(King Hati) = 1
P(Hati ∪ King) = 13/52 + 4/52 − 1/52 = 16/52 = 4/13
7. Kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Diambil 2 bola satu per satu tanpa pengembalian. Tentukan peluang bola pertama merah dan bola kedua putih!
Pembahasan:
P(M₁) = 5/8
P(P₂|M₁) = 3/7 (sisa: 4M, 3P → total 7)
P(M₁ ∩ P₂) = 5/8 × 3/7 = 15/56
8. Peluang Andi lulus ujian 0,8 dan peluang Budi lulus 0,7. Tentukan peluang paling sedikit satu dari mereka lulus!
Pembahasan:
P(minimal 1 lulus) = 1 − P(keduanya gagal)
P(Andi gagal) = 0,2, P(Budi gagal) = 0,3
P(keduanya gagal) = 0,2 × 0,3 = 0,06
P(minimal 1 lulus) = 1 − 0,06 = 0,94
9. Dua dadu dilempar. Tentukan peluang dadu pertama genap atau dadu kedua lebih dari 4!
Pembahasan:
P(A) = P(dadu1 genap) = 3/6 = 1/2
P(B) = P(dadu2 > 4) = 2/6 = 1/3
A dan B saling bebas → P(A∩B) = 1/2 × 1/3 = 1/6
P(A∪B) = 1/2 + 1/3 − 1/6 = 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3
10. Dari 40 siswa: 25 suka Matematika, 20 suka IPA, 10 suka keduanya. Jika dipilih 1 siswa, tentukan peluang siswa suka Matematika atau IPA!
Pembahasan:
P(M) = 25/40, P(I) = 20/40, P(M∩I) = 10/40
P(M∪I) = 25/40 + 20/40 − 10/40 = 35/40 = 7/8
Sulit
11. Kotak I berisi 3 bola merah dan 2 putih. Kotak II berisi 4 merah dan 1 putih. Dari masing-masing kotak diambil 1 bola. Tentukan peluang keduanya merah!
Pembahasan:
P(M dari I) = 3/5, P(M dari II) = 4/5
Kejadian saling bebas.
P(keduanya M) = 3/5 × 4/5 = 12/25
12. Kantong berisi 6 bola merah dan 4 bola biru. Diambil 3 bola satu per satu tanpa pengembalian. Tentukan peluang bola yang terambil berurutan: merah, biru, merah!
Pembahasan:
P(M₁) = 6/10 = 3/5
P(B₂|M₁) = 4/9
P(M₃|M₁∩B₂) = 5/8
P = 3/5 × 4/9 × 5/8 = 60/360 = 1/6
13. Peluang A menang = 1/3, B menang = 1/4, C menang = 1/5. Jika saling bebas, tentukan peluang tepat satu dari mereka menang!
Pembahasan:
P(A’) = 2/3, P(B’) = 3/4, P(C’) = 4/5
P(hanya A) = 1/3 × 3/4 × 4/5 = 12/60 = 1/5
P(hanya B) = 2/3 × 1/4 × 4/5 = 8/60 = 2/15
P(hanya C) = 2/3 × 3/4 × 1/5 = 6/60 = 1/10
P(tepat 1) = 1/5 + 2/15 + 1/10 = 6/30 + 4/30 + 3/30 = 13/30
14. Dalam sebuah kelas: P(laki-laki) = 0,6 dan P(suka olahraga | laki-laki) = 0,7. Tentukan peluang seseorang adalah laki-laki dan suka olahraga!
Pembahasan:
P(L ∩ O) = P(L) × P(O|L) = 0,6 × 0,7 = 0,42
15. Dari 100 karyawan: 60 pria, 40 wanita. Dari pria, 45 sudah menikah. Dari wanita, 30 sudah menikah. Jika dipilih 1 karyawan, tentukan P(menikah | wanita) dan P(wanita ∩ menikah)!
Pembahasan:
P(menikah | wanita) = 30/40 = 3/4
P(wanita) = 40/100 = 2/5
P(wanita ∩ menikah) = P(wanita) × P(menikah|wanita) = 2/5 × 3/4 = 6/20 = 3/10
Latihan Soal
Mudah
1. Dadu dilempar sekali. Tentukan P(muncul angka ganjil atau angka 6)!
2. Koin dan dadu dilempar bersama. Tentukan P(angka pada koin dan angka 3 pada dadu)!
3. P(A) = 0,4 dan P(B) = 0,3. Jika saling bebas, tentukan P(A∩B)!
4. P(A) = 1/3, P(B) = 1/4. A dan B saling lepas. Tentukan P(A∪B)!
5. Kotak berisi 4 merah, 6 biru. Diambil 1 bola, dikembalikan, diambil lagi. P(keduanya biru)?
Sedang
6. Dari 52 kartu bridge, tentukan P(terambil kartu Queen atau kartu sekop)!
7. Kotak berisi 7 merah dan 5 putih. Diambil 2 tanpa pengembalian. P(pertama merah, kedua putih)?
8. P(Ani lulus) = 0,75 dan P(Budi lulus) = 0,6. P(keduanya lulus)?
9. Dari 50 siswa: 30 suka basket, 25 suka voli, 10 suka keduanya. P(suka basket atau voli)?
10. P(hujan) = 0,4, P(banjir|hujan) = 0,6. P(hujan dan banjir)?
Sulit
11. Kotak I: 4M, 3P. Kotak II: 2M, 5P. Dari masing-masing diambil 1. P(keduanya putih)?
12. Kantong berisi 5M, 3B. Diambil 3 tanpa pengembalian. P(urutan: M, B, M)?
13. P(A)=1/2, P(B)=1/3, P(C)=1/4, saling bebas. P(tidak satupun terjadi)?
14. P(lulus|rajin) = 0,9, P(rajin) = 0,6, P(lulus|tidak rajin) = 0,3. Tentukan P(lulus)!
15. Dari 200 siswa: 120 suka Mat, 100 suka Fis, 80 suka Kim, 60 suka Mat&Fis, 50 suka Mat&Kim, 40 suka Fis&Kim, 30 suka ketiganya. P(suka minimal 1 pelajaran)?
📚 Materi Peluang Suatu Kejadian — Selamat Belajar!