Epres Math – Lingkaran

Macam-macam Irisan Kerucut

Materi lengkap, contoh soal & latihan — Lingkaran, Parabola, Elips, Hiperbola

📐 Pendahuluan: Apa Itu Irisan Kerucut?

Irisan kerucut adalah kurva yang dihasilkan dari perpotongan sebuah bidang datar dengan sebuah kerucut ganda (dua kerucut yang saling berlawanan). Tergantung sudut kemiringan bidang pemotong terhadap sumbu kerucut, kita dapat memperoleh empat jenis kurva:

Jenis	Posisi Bidang Pemotong	Eksentrisitas (e)
Lingkaran	Tegak lurus sumbu kerucut	e = 0
Elips	Miring, memotong satu sisi kerucut	0 < e < 1
Parabola	Sejajar garis pelukis kerucut	e = 1
Hiperbola	Memotong kedua sisi kerucut	e > 1

⭕ 1. Lingkaran

Definisi

Lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang datar yang berjarak sama (disebut jari-jari, r) terhadap suatu titik tetap (disebut pusat).

Persamaan Umum

Pusat (a, b), jari-jari r: (x − a)² + (y − b)² = r²

Pusat O(0, 0), jari-jari r: x² + y² = r²

Bentuk umum: x² + y² + Ax + By + C = 0
Pusat = (−A/2, −B/2), r = √(A²/4 + B²/4 − C)

Persamaan Garis Singgung

Di titik (x₁, y₁) pada lingkaran x² + y² = r²:

x·x₁ + y·y₁ = r²

Di titik (x₁, y₁) pada lingkaran (x−a)² + (y−b)² = r²:

(x₁−a)(x−a) + (y₁−b)(y−b) = r²

📝 Contoh Soal Lingkaran

Mudah

1. Tentukan persamaan lingkaran berpusat di O(0,0) dengan jari-jari 5.

2. Tentukan persamaan lingkaran berpusat di (3, −2) dengan jari-jari 4.

3. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x² + y² = 49.

4. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran (x − 1)² + (y − 4)² = 9.

5. Apakah titik (3, 4) terletak pada lingkaran x² + y² = 25?

Sedang

1. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0.

2. Tentukan persamaan lingkaran berpusat di (2, −1) dan melalui titik (5, 3).

3. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 25 di titik (3, 4).

4. Tentukan persamaan lingkaran yang berdiameter ujung A(1, 2) dan B(7, 6).

5. Tentukan posisi titik (1, 2) terhadap lingkaran x² + y² − 4x − 6y + 9 = 0.

Sulit

1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 20 yang bergradien 2.

2. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (0,0), (6,0), dan (0,8).

3. Tentukan panjang garis singgung dari titik (7, 1) ke lingkaran x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0.

4. Dua lingkaran: x² + y² = 25 dan x² + y² − 8x − 6y + 15 = 0. Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong keduanya.

5. Tentukan persamaan lingkaran berpusat di garis y = x, menyinggung sumbu-x, dan melalui titik (4, 2).

✏️ Latihan Soal Lingkaran

Mudah

1. Tentukan persamaan lingkaran berpusat di O(0,0) dengan r = 8.

2. Tentukan persamaan lingkaran berpusat di (−1, 3) dengan r = 6.

3. Tentukan pusat dan jari-jari dari (x − 5)² + (y + 2)² = 36.

4. Apakah titik (0, 7) terletak pada lingkaran x² + y² = 49?

5. Tentukan persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) yang melalui (6, 8).

Sedang

1. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x² + y² + 8x − 10y + 16 = 0.

2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 13 di titik (2, 3).

3. Tentukan persamaan lingkaran berdiameter A(−2, 1) dan B(4, 5).

4. Tentukan posisi titik (3, 1) terhadap lingkaran (x−2)² + (y−3)² = 4.

5. Tentukan persamaan lingkaran berpusat di (1, −3) dan menyinggung sumbu-x.

Sulit

1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 50 yang bergradien −1.

2. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui (1,1), (5,1), dan (3,5).

3. Tentukan panjang garis singgung dari titik (8, 6) ke lingkaran x² + y² = 25.

4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong lingkaran x² + y² = 16 dan x² + y² − 6x + 2y − 8 = 0.

5. Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung garis x + y = 6, berpusat di (1, 1).

🪂 2. Parabola

Definisi

Parabola adalah himpunan semua titik yang jaraknya ke suatu titik tetap (fokus) sama dengan jaraknya ke suatu garis tetap (direktriks).

Persamaan Standar

Persamaan	Bukaan	Fokus	Direktriks
y² = 4px	Kanan	(p, 0)	x = −p
y² = −4px	Kiri	(−p, 0)	x = p
x² = 4py	Atas	(0, p)	y = −p
x² = −4py	Bawah	(0, −p)	y = p

Puncak (h, k): (y − k)² = 4p(x − h) atau (x − h)² = 4p(y − k)

📝 Contoh Soal Parabola

Mudah

1. Tentukan fokus dan direktriks parabola y² = 12x.

2. Tentukan fokus dan direktriks parabola x² = 8y.

3. Tentukan persamaan parabola berpuncak di O dengan fokus (0, 5).

4. Tentukan persamaan parabola berpuncak di O dengan fokus (−4, 0).

5. Tentukan arah bukaan parabola y² = −20x.

Sedang

1. Tentukan fokus, direktriks, dan panjang latus rectum parabola y² = −24x.

2. Tentukan persamaan parabola berpuncak di (2, 3) dan fokus (2, 5).

3. Parabola x² = 16y. Tentukan persamaan garis singgung di titik (8, 4).

4. Tentukan persamaan parabola dengan direktriks y = 3 dan puncak di (0, 0).

5. Tentukan titik potong parabola y² = 8x dengan garis y = x − 2.

Sulit

1. Tentukan persamaan garis singgung parabola y² = 12x yang bergradien 3.

2. Tentukan persamaan garis singgung dari titik (−3, 2) ke parabola y² = 8x.

3. Sebuah parabola berpuncak (1, −2) mempunyai sumbu simetri sejajar sumbu-x dan melalui titik (3, 0). Tentukan persamaannya.

4. Tentukan luas daerah yang dibatasi parabola y² = 4x dan garis x = 4.

5. Cahaya paralel mengenai cermin parabola y² = 16x. Tentukan titik di mana semua cahaya berkumpul.

✏️ Latihan Soal Parabola

Mudah

1. Tentukan fokus dan direktriks parabola y² = 16x.

2. Tentukan fokus dan direktriks parabola x² = −20y.

3. Tentukan persamaan parabola berpuncak di O dengan fokus (7, 0).

4. Tentukan arah bukaan parabola x² = 24y.

5. Tentukan persamaan parabola berpuncak di O dengan fokus (0, −3).

Sedang

1. Tentukan persamaan parabola berpuncak di (1, −1) dan fokus (1, 2).

2. Tentukan panjang latus rectum parabola y² = −32x.

3. Tentukan persamaan garis singgung parabola x² = 12y di titik (6, 3).

4. Tentukan persamaan parabola dengan direktriks x = −5 dan puncak O.

5. Tentukan persamaan parabola berpuncak di (−2, 3), sumbu simetri sejajar sumbu-y, melalui (0, 5).

Sulit

1. Tentukan persamaan garis singgung parabola y² = 20x yang bergradien 5.

2. Tentukan persamaan garis singgung dari titik (2, −5) ke parabola y² = 4x.

3. Tentukan luas daerah yang dibatasi parabola x² = 8y dan garis y = 2.

4. Parabola (y−1)² = 8(x+2) memotong sumbu-y di dua titik. Tentukan kedua titik tersebut.

5. Tentukan persamaan parabola yang fokusnya (3, 2) dan direktriksnya y = −2.

🥚 3. Elips

Definisi

Elips adalah himpunan semua titik yang jumlah jaraknya ke dua titik tetap (fokus) adalah konstan. Jika dua fokus F₁ dan F₂, maka untuk setiap titik P pada elips: PF₁ + PF₂ = 2a.

Persamaan Standar

Sumbu mayor horizontal: x²/a² + y²/b² = 1 (a > b), c² = a² − b²

Sumbu mayor vertikal: x²/b² + y²/a² = 1 (a > b), c² = a² − b²

Pusat (h, k): (x−h)²/a² + (y−k)²/b² = 1

Unsur	Horizontal (a > b)	Vertikal (a > b)
Pusat	(0, 0)	(0, 0)
Fokus	(±c, 0)	(0, ±c)
Puncak	(±a, 0)	(0, ±a)
Eksentrisitas	e = c/a, 0 < e < 1
Latus Rectum	LR = 2b²/a

📝 Contoh Soal Elips

Mudah

1. Tentukan panjang sumbu mayor, sumbu minor, dan fokus dari elips x²/25 + y²/9 = 1.

2. Tentukan persamaan elips berpusat di O, fokus (0, ±3), dan a = 5.

3. Tentukan eksentrisitas elips x²/36 + y²/16 = 1.

4. Tentukan titik puncak elips x²/49 + y²/25 = 1.

5. Apakah titik (3, 2) berada di dalam elips x²/25 + y²/9 = 1?

Sedang

1. Tentukan persamaan elips berpusat di O dengan puncak (6, 0) dan melalui (3, 3).

2. Tentukan persamaan garis singgung elips x²/16 + y²/9 = 1 di titik (2√2, 3/√2).

3. Tentukan panjang latus rectum elips x²/25 + y²/16 = 1.

4. Tentukan persamaan elips berpusat di (1, −2), a = 4, b = 3, mayor horizontal.

5. Elips x²/100 + y²/64 = 1. Tentukan koordinat fokus dan panjang sumbu mayor.

Sulit

1. Tentukan persamaan garis singgung elips x²/9 + y²/4 = 1 yang bergradien 1.

2. Tentukan persamaan elips yang fokusnya (±4, 0) dan melalui titik (4, 9/5).

3. Tentukan luas elips x²/16 + y²/9 = 1.

4. Tentukan persamaan elips berpusat di O, jumlah jarak ke fokus = 10, dan e = 3/5.

5. Tentukan persamaan elips berpusat di (2, 1), melalui (5, 1) dan (2, −1), mayor horizontal.

✏️ Latihan Soal Elips

Mudah

1. Tentukan a, b, c dari elips x²/36 + y²/4 = 1.

2. Tentukan fokus elips x²/9 + y²/25 = 1.

3. Tentukan persamaan elips berpusat O, a = 7, b = 3, mayor horizontal.

4. Tentukan puncak-puncak elips x²/16 + y²/49 = 1.

5. Tentukan eksentrisitas elips x²/100 + y²/36 = 1.

Sedang

1. Tentukan persamaan elips berpusat O dengan puncak (0, 8) dan melalui (3, 4).

2. Tentukan panjang latus rectum elips x²/49 + y²/36 = 1.

3. Tentukan persamaan garis singgung elips x²/25 + y²/16 = 1 di titik (3, 16/5).

4. Tentukan persamaan elips berpusat di (−1, 3), a = 5, b = 2, mayor horizontal.

5. Apakah titik (2, 1) berada di dalam, pada, atau di luar elips x²/9 + y²/4 = 1?

Sulit

1. Tentukan persamaan garis singgung elips x²/16 + y²/9 = 1 bergradien −2.

2. Tentukan persamaan elips yang fokusnya (0, ±3) dan melalui (1, 12/√13).

3. Tentukan luas elips x²/25 + y²/9 = 1.

4. Tentukan persamaan elips berpusat O, e = 4/5, panjang sumbu minor = 6.

5. Tentukan titik potong elips x²/4 + y²/1 = 1 dengan garis y = x + 1.

♾️ 4. Hiperbola

Definisi

Hiperbola adalah himpunan semua titik yang selisih jaraknya ke dua titik tetap (fokus) adalah konstan. Untuk setiap titik P: |PF₁ − PF₂| = 2a.

Persamaan Standar

Sumbu real horizontal: x²/a² − y²/b² = 1, c² = a² + b²

Sumbu real vertikal: y²/a² − x²/b² = 1, c² = a² + b²

Asimtot: y = ±(b/a)x (horizontal) atau y = ±(a/b)x (vertikal)

Unsur	Horizontal	Vertikal
Pusat	(0,0)	(0,0)
Fokus	(±c, 0)	(0, ±c)
Puncak	(±a, 0)	(0, ±a)
Asimtot	y = ±(b/a)x	y = ±(a/b)x
Eksentrisitas	e = c/a, e > 1

📝 Contoh Soal Hiperbola

Mudah

1. Tentukan a, b, c dari hiperbola x²/16 − y²/9 = 1.

2. Tentukan fokus hiperbola x²/25 − y²/144 = 1.

3. Tentukan persamaan asimtot hiperbola x²/9 − y²/16 = 1.

4. Tentukan persamaan hiperbola berpusat O, fokus (±5, 0), a = 3.

5. Tentukan eksentrisitas hiperbola x²/4 − y²/12 = 1.

Sedang

1. Tentukan persamaan hiperbola berpusat O, asimtot y = ±(3/4)x, dan melalui (8, 3).

2. Tentukan persamaan garis singgung hiperbola x²/16 − y²/9 = 1 di titik (5, 27/16).

3. Tentukan persamaan hiperbola berpusat (2, −1), a = 3, b = 4, sumbu real horizontal.

4. Tentukan panjang latus rectum hiperbola x²/25 − y²/16 = 1.

5. Hiperbola y²/9 − x²/16 = 1. Tentukan fokus dan asimtotnya.

Sulit

1. Tentukan persamaan garis singgung hiperbola x²/9 − y²/4 = 1 bergradien 2.

2. Tentukan persamaan hiperbola yang fokusnya (±5, 0) dan asimtotnya y = ±(3/4)x.

3. Tentukan persamaan hiperbola konjugat dari x²/16 − y²/9 = 1.

4. Tentukan persamaan hiperbola berpusat O, melalui (3, −4) dan (−5, 6), sumbu real di sumbu-x.

5. Tentukan jarak antara dua fokus hiperbola 9x² − 16y² = 144.

✏️ Latihan Soal Hiperbola

Mudah

1. Tentukan a, b, c dari hiperbola x²/25 − y²/11 = 1.

2. Tentukan fokus hiperbola y²/36 − x²/64 = 1.

3. Tentukan asimtot hiperbola x²/4 − y²/9 = 1.

4. Tentukan persamaan hiperbola berpusat O, fokus (±10, 0), a = 6.

5. Tentukan eksentrisitas hiperbola x²/9 − y²/7 = 1.

Sedang

1. Tentukan persamaan hiperbola berpusat O, asimtot y = ±2x, melalui (1, √3).

2. Tentukan panjang latus rectum hiperbola y²/16 − x²/9 = 1.

3. Tentukan persamaan hiperbola berpusat (1, 2), a = 4, b = 3, sumbu real horizontal.

4. Hiperbola x²/36 − y²/64 = 1. Tentukan fokus, puncak, asimtot.

5. Tentukan persamaan hiperbola dengan puncak (0, ±4) dan fokus (0, ±5).

Sulit

1. Tentukan persamaan garis singgung hiperbola x²/25 − y²/16 = 1 bergradien 1.

2. Tentukan persamaan hiperbola yang fokusnya (0, ±13) dan asimtotnya y = ±12x/5.

3. Tentukan hiperbola konjugat dari 4x² − 9y² = 36, beserta fokusnya.

4. Tentukan jarak fokus hiperbola 25y² − 4x² = 100.

5. Tentukan persamaan garis singgung dari titik (6, 0) ke hiperbola x²/4 − y²/5 = 1.

Lingkaran

Materi Lingkaran

1. Persamaan Lingkaran

📖 Materi

Lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang datar yang berjarak sama (disebut jari-jari, dilambangkan r) terhadap suatu titik tetap (disebut pusat).

A. Bentuk Baku (Pusat (a, b), jari-jari r)

(x − a)² + (y − b)² = r²

Jika pusat di titik asal O(0,0):

x² + y² = r²

B. Bentuk Umum

x² + y² + Ax + By + C = 0

Hubungan dengan bentuk baku:

Pusat = (−A/2 , −B/2)
Jari-jari r = √( (A/2)² + (B/2)² − C )

Bentuk	Persamaan	Pusat	Jari-jari
Baku (pusat O)	x² + y² = r²	(0, 0)	r
Baku (pusat (a,b))	(x−a)² + (y−b)² = r²	(a, b)	r
Umum	x²+y²+Ax+By+C=0	(−A/2, −B/2)	√((A/2)²+(B/2)²−C)

✏️ Contoh Soal

Mudah

1. Tentukan persamaan lingkaran berpusat di O(0,0) dengan jari-jari 5.

Lihat Pembahasan

Pusat (0,0), r = 5

Persamaan: x² + y² = r² = 5² = 25

Jawaban: x² + y² = 25

2. Tentukan persamaan lingkaran berpusat di (2, 3) dengan jari-jari 4.

Lihat Pembahasan

Pusat (a,b) = (2,3), r = 4

(x − 2)² + (y − 3)² = 4² = 16

Jawaban: (x − 2)² + (y − 3)² = 16

3. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x² + y² = 49.

Lihat Pembahasan

Bentuk: x² + y² = r² → r² = 49 → r = 7

Jawaban: Pusat (0, 0), jari-jari = 7

4. Tentukan persamaan lingkaran berpusat di (−1, 4) dengan r = 3.

Lihat Pembahasan

(x − (−1))² + (y − 4)² = 9

Jawaban: (x + 1)² + (y − 4)² = 9

5. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran (x − 5)² + (y + 2)² = 36.

Lihat Pembahasan

Pusat = (5, −2), r² = 36 → r = 6

Jawaban: Pusat (5, −2), jari-jari = 6

Sedang

1. Ubah persamaan x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 ke bentuk baku. Tentukan pusat dan jari-jari.

Lihat Pembahasan

Kelompokkan: (x² − 6x) + (y² + 4y) = 12

Lengkapkan kuadrat sempurna:

(x² − 6x + 9) + (y² + 4y + 4) = 12 + 9 + 4

(x − 3)² + (y + 2)² = 25

Jawaban: Pusat (3, −2), jari-jari = 5

2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (1, −3) dan melalui titik (4, 1).

Lihat Pembahasan

r = jarak pusat ke titik = √((4−1)² + (1−(−3))²) = √(9+16) = √25 = 5

Jawaban: (x − 1)² + (y + 3)² = 25

3. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x² + y² + 8x − 2y + 8 = 0.

Lihat Pembahasan

A = 8, B = −2, C = 8

Pusat = (−A/2, −B/2) = (−4, 1)

r = √((4)² + (−1)² − 8) = √(16 + 1 − 8) = √9 = 3

Jawaban: Pusat (−4, 1), jari-jari = 3

4. Ubah (x + 3)² + (y − 1)² = 20 ke bentuk umum.

Lihat Pembahasan

x² + 6x + 9 + y² − 2y + 1 = 20

x² + y² + 6x − 2y + 10 − 20 = 0

Jawaban: x² + y² + 6x − 2y − 10 = 0

5. Tentukan persamaan lingkaran berpusat di (−2, 5) dan menyinggung sumbu-x.

Lihat Pembahasan

Menyinggung sumbu-x berarti r = |b| = |5| = 5

Jawaban: (x + 2)² + (y − 5)² = 25

Sulit

1. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik A(1,2), B(3,4), dan C(5,2).

Lihat Pembahasan

Substitusi x²+y²+Ax+By+C=0:

A(1,2): 1+4+A+2B+C=0 → A+2B+C = −5 …(i)

B(3,4): 9+16+3A+4B+C=0 → 3A+4B+C = −25 …(ii)

C(5,2): 25+4+5A+2B+C=0 → 5A+2B+C = −29 …(iii)

(ii)−(i): 2A+2B = −20 → A+B = −10 …(iv)

(iii)−(i): 4A = −24 → A = −6

Dari (iv): B = −4

Dari (i): −6−8+C = −5 → C = 9

Jawaban: x² + y² − 6x − 4y + 9 = 0

Pusat (3, 2), r = √(9+4−9) = 2

2. Tentukan persamaan lingkaran berpusat di garis y = x dan melalui (0,0) serta (4,2).

Lihat Pembahasan

Pusat di y = x → pusat = (a, a)

Jarak ke (0,0) = jarak ke (4,2):

√(a²+a²) = √((a−4)²+(a−2)²)

2a² = a²−8a+16+a²−4a+4

2a² = 2a²−12a+20

12a = 20 → a = 5/3

r² = 2(5/3)² = 50/9

Jawaban: (x − 5/3)² + (y − 5/3)² = 50/9

3. Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu-x dan sumbu-y serta berpusat di kuadran I dengan r = 6.

Lihat Pembahasan

Menyinggung sumbu-x → r = |b| = 6 → b = 6 (kuadran I)

Menyinggung sumbu-y → r = |a| = 6 → a = 6 (kuadran I)

Jawaban: (x − 6)² + (y − 6)² = 36

4. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3, −1) dan menyinggung garis 3x + 4y − 7 = 0.

Lihat Pembahasan

r = jarak pusat ke garis = |3(3)+4(−1)−7| / √(9+16)

= |9−4−7| / 5 = |−2| / 5 = 2/5

r² = 4/25

Jawaban: (x − 3)² + (y + 1)² = 4/25

5. Tentukan persamaan lingkaran yang konsentris dengan x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0 dan melalui titik (5, −1).

Lihat Pembahasan

Konsentris → pusat sama. Pusat: (−(−4)/2, −6/2) = (2, −3)

r = √((5−2)²+(−1+3)²) = √(9+4) = √13

Jawaban: (x − 2)² + (y + 3)² = 13

📝 Latihan Soal

Mudah

Tentukan persamaan lingkaran berpusat di O(0,0) dengan r = 8.
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran (x − 4)² + (y − 1)² = 9.
Tentukan persamaan lingkaran berpusat di (0, −5) dengan r = 5.
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x² + y² = 100.
Tentukan persamaan lingkaran berpusat di (7, 0) dengan r = 2.

Sedang

Ubah x² + y² − 10x + 2y + 10 = 0 ke bentuk baku.
Tentukan persamaan lingkaran berpusat di (3, −2) dan melalui titik (6, 2).
Tentukan pusat dan jari-jari: x² + y² + 4x − 6y − 3 = 0.
Tentukan persamaan lingkaran berpusat di (1, 7) dan menyinggung sumbu-y.
Ubah (x − 2)² + (y + 5)² = 18 ke bentuk umum.

Sulit

Tentukan persamaan lingkaran melalui A(0,0), B(6,0), C(0,8).
Tentukan persamaan lingkaran berpusat di garis x + y = 4, menyinggung sumbu-x, dan r = 3.
Tentukan persamaan lingkaran konsentris dengan x² + y² + 2x − 8y + 8 = 0 dan menyinggung garis x − y + 6 = 0.
Tentukan persamaan lingkaran yang berdiameter AB dengan A(1,3) dan B(7, −1).
Tentukan persamaan lingkaran melalui (2, −1) dan (−4, 3) dengan pusat di garis y = 1.

2. Kedudukan Titik terhadap Lingkaran

📖 Materi

Untuk lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0, kedudukan titik P(x₁, y₁) ditentukan oleh nilai:

S = x₁² + y₁² + Ax₁ + By₁ + C

Nilai S	Kedudukan Titik
S < 0	Titik di dalam lingkaran
S = 0	Titik pada lingkaran
S > 0	Titik di luar lingkaran

✏️ Contoh Soal

Mudah

1. Tentukan kedudukan titik (1, 2) terhadap lingkaran x² + y² = 9.

Lihat Pembahasan

S = 1² + 2² − 9 = 1 + 4 − 9 = −4

S < 0

Jawaban: Titik (1, 2) berada di dalam lingkaran.

2. Tentukan kedudukan titik (3, 0) terhadap lingkaran x² + y² = 9.

Lihat Pembahasan

S = 9 + 0 − 9 = 0

Jawaban: Titik (3, 0) berada pada lingkaran.

3. Tentukan kedudukan titik (4, 3) terhadap lingkaran x² + y² = 16.

Lihat Pembahasan

S = 16 + 9 − 16 = 9

S > 0

Jawaban: Titik (4, 3) berada di luar lingkaran.

4. Tentukan kedudukan titik (0, 0) terhadap lingkaran x² + y² − 4x + 2y − 4 = 0.

Lihat Pembahasan

S = 0 + 0 − 0 + 0 − 4 = −4

S < 0

Jawaban: Titik (0, 0) berada di dalam lingkaran.

5. Tentukan kedudukan titik (5, 0) terhadap lingkaran x² + y² = 25.

Lihat Pembahasan

S = 25 + 0 − 25 = 0

Jawaban: Titik (5, 0) berada pada lingkaran.

Sedang

1. Tentukan kedudukan titik (3, −1) terhadap lingkaran x² + y² − 6x + 2y + 6 = 0.

Lihat Pembahasan

S = 9 + 1 − 18 − 2 + 6 = −4

S < 0

Jawaban: Di dalam lingkaran.

2. Tentukan kedudukan titik (5, 3) terhadap lingkaran (x − 2)² + (y − 1)² = 16.

Lihat Pembahasan

Ubah ke bentuk umum: x²+y²−4x−2y−11=0

S = 25+9−20−6−11 = −3

S < 0

Jawaban: Di dalam lingkaran.

3. Tentukan kedudukan titik (−1, 4) terhadap lingkaran x² + y² + 2x − 8y + 13 = 0.

Lihat Pembahasan

S = 1 + 16 − 2 − 32 + 13 = −4

S < 0

Jawaban: Di dalam lingkaran.

4. Tentukan kedudukan titik (6, 1) terhadap lingkaran x² + y² − 4x + 2y − 20 = 0.

Lihat Pembahasan

S = 36 + 1 − 24 + 2 − 20 = −5

S < 0

Jawaban: Di dalam lingkaran.

5. Tentukan nilai k agar titik (2, k) berada pada lingkaran x² + y² = 13.

Lihat Pembahasan

S = 0: 4 + k² = 13 → k² = 9 → k = ±3

Jawaban: k = 3 atau k = −3

Sulit

1. Tentukan nilai m agar titik (m, m+1) berada di dalam lingkaran x² + y² − 4x − 6y + 9 = 0.

Lihat Pembahasan

S < 0:

m² + (m+1)² − 4m − 6(m+1) + 9 < 0

m² + m²+2m+1 − 4m − 6m−6 + 9 < 0

2m² − 8m + 4 < 0

m² − 4m + 2 < 0

m = (4 ± √8)/2 = 2 ± √2

Jawaban: 2 − √2 < m < 2 + √2

2. Tentukan nilai a agar titik (a, 2a) berada di luar lingkaran x² + y² − 2x + 4y − 4 = 0.

Lihat Pembahasan

S > 0:

a² + 4a² − 2a + 8a − 4 > 0

5a² + 6a − 4 > 0

a = (−6 ± √(36+80))/10 = (−6 ± √116)/10

= (−6 ± 2√29)/10 = (−3 ± √29)/5

Jawaban: a < (−3−√29)/5 atau a > (−3+√29)/5

3. Tentukan kedudukan titik (2, −3) terhadap lingkaran yang melalui A(1,0), B(5,0), C(3,4).

Lihat Pembahasan

Cari persamaan lingkaran: substitusi ke x²+y²+Ax+By+C=0

A(1,0): 1+A+C=0 …(i)

B(5,0): 25+5A+C=0 …(ii)

C(3,4): 25+3A+4B+C=0 …(iii)

(ii)−(i): 24+4A=0 → A=−6

Dari (i): C=5

Dari (iii): 25−18+4B+5=0 → 4B=−12 → B=−3

Lingkaran: x²+y²−6x−3y+5=0

S(2,−3) = 4+9−12+9+5 = 15 > 0

Jawaban: Di luar lingkaran.

4. Tentukan semua nilai p bilangan bulat agar titik (p, 1) berada di dalam lingkaran (x−3)² + (y−2)² = 25.

Lihat Pembahasan

Bentuk umum: x²+y²−6x−4y−12=0

S < 0: p²+1−6p−4−12 < 0

p²−6p−15 < 0

p = (6±√(36+60))/2 = (6±√96)/2 = 3±2√6

2√6 ≈ 4.899

−1.899 < p < 7.899

Jawaban: p ∈ {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

5. Titik P(a, a²) berada pada lingkaran x² + y² − 2x − 12y + 12 = 0. Tentukan nilai a.

Lihat Pembahasan

S = 0: a² + a⁴ − 2a − 12a² + 12 = 0

a⁴ − 11a² − 2a + 12 = 0

Coba a=1: 1−11−2+12 = 0 ✓

Coba a=−3: 81−99+6+12 = 0 ✓

Faktorisasi: (a−1)(a+3)(a²−2a−4) = 0

a²−2a−4=0 → a = 1±√5

Jawaban: a = 1, a = −3, a = 1+√5, a = 1−√5

📝 Latihan Soal

Mudah

Tentukan kedudukan titik (2, 1) terhadap lingkaran x² + y² = 16.
Tentukan kedudukan titik (0, 4) terhadap lingkaran x² + y² = 16.
Tentukan kedudukan titik (3, 5) terhadap lingkaran x² + y² = 25.
Tentukan kedudukan titik (1, 1) terhadap lingkaran x² + y² = 4.
Tentukan kedudukan titik (6, 0) terhadap lingkaran x² + y² = 25.

Sedang

Tentukan kedudukan titik (4, −2) terhadap lingkaran x² + y² − 2x + 4y − 11 = 0.
Tentukan kedudukan titik (0, 3) terhadap lingkaran (x − 1)² + (y − 2)² = 4.
Tentukan nilai k agar (k, 0) berada pada lingkaran x² + y² − 6x + 8 = 0.
Tentukan kedudukan titik (−2, 1) terhadap lingkaran x² + y² + 6x − 2y + 1 = 0.
Tentukan kedudukan titik (3, 3) terhadap lingkaran x² + y² − 8x − 4y + 16 = 0.

Sulit

Tentukan nilai m agar titik (m, 2m) berada di dalam lingkaran x² + y² − 6x + 2y + 5 = 0.
Tentukan semua bilangan bulat n agar (n, n) berada di dalam lingkaran (x−3)²+(y−3)²=18.
Tentukan kedudukan titik (1, −2) terhadap lingkaran melalui (0,0), (4,0), (0,6).
Tentukan nilai t agar titik (t, t²−1) terletak pada lingkaran x²+y²=5.
Tentukan rentang a agar (a, 3−a) berada di luar lingkaran x²+y²−4x−2y=0.

3. Jarak Titik terhadap Lingkaran

📖 Materi

Jarak titik P(x₁, y₁) terhadap lingkaran adalah jarak dari titik P ke titik terdekat pada lingkaran.

Rumus Jarak Titik terhadap Lingkaran

Untuk titik P(x₁, y₁) dan lingkaran berpusat O(a, b) jari-jari r:

d = |OP| − r

d = √((x₁ − a)² + (y₁ − b)²) − r

d > 0: Titik di luar → jarak = d
d = 0: Titik pada lingkaran → jarak = 0
d < 0: Titik di dalam → jarak ke lingkaran terdekat = |d|

💡 Catatan Penting

Untuk lingkaran bentuk umum x²+y²+Ax+By+C=0, cari dulu pusat (−A/2, −B/2) dan r = √((A/2)²+(B/2)²−C), lalu gunakan rumus di atas.

✏️ Contoh Soal

Mudah

1. Tentukan jarak titik (7, 0) terhadap lingkaran x² + y² = 16.

Lihat Pembahasan

Pusat (0,0), r = 4

|OP| = √(49+0) = 7

d = 7 − 4 = 3

Jawaban: Jarak = 3 satuan

2. Tentukan jarak titik (0, 0) terhadap lingkaran (x−3)² + (y−4)² = 1.

Lihat Pembahasan

Pusat (3,4), r = 1

|OP| = √(9+16) = 5

d = 5 − 1 = 4

Jawaban: Jarak = 4 satuan

3. Tentukan jarak titik (5, 0) terhadap lingkaran x² + y² = 25.

Lihat Pembahasan

|OP| = 5, r = 5

d = 5 − 5 = 0

Jawaban: Jarak = 0 (titik pada lingkaran)

4. Tentukan jarak titik (1, 0) terhadap lingkaran x² + y² = 9.

Lihat Pembahasan

|OP| = 1, r = 3

d = 1 − 3 = −2

Titik di dalam, jarak ke lingkaran terdekat = |−2| = 2

Jawaban: Jarak = 2 satuan

5. Tentukan jarak titik (10, 0) terhadap lingkaran x² + y² = 36.

Lihat Pembahasan

|OP| = 10, r = 6

d = 10 − 6 = 4

Jawaban: Jarak = 4 satuan

Sedang

1. Tentukan jarak titik (7, 1) terhadap lingkaran x² + y² − 4x + 2y − 20 = 0.

Lihat Pembahasan

Pusat = (2, −1), r = √(4+1+20) = √25 = 5

|OP| = √((7−2)²+(1+1)²) = √(25+4) = √29 ≈ 5.385

d = √29 − 5 ≈ 0.385

Jawaban: Jarak = √29 − 5 satuan

2. Tentukan jarak titik (−1, 2) terhadap lingkaran x² + y² + 6x − 4y + 4 = 0.

Lihat Pembahasan

Pusat = (−3, 2), r = √(9+4−4) = 3

|OP| = √((−1+3)²+(2−2)²) = 2

d = 2 − 3 = −1 → titik di dalam

Jawaban: Jarak = 1 satuan

3. Tentukan jarak titik (6, 8) terhadap lingkaran (x − 1)² + (y − 2)² = 9.

Lihat Pembahasan

Pusat (1,2), r = 3

|OP| = √(25+36) = √61 ≈ 7.81

d = √61 − 3

Jawaban: Jarak = √61 − 3 ≈ 4.81 satuan

4. Tentukan jarak titik (3, 4) terhadap lingkaran x² + y² − 6x − 8y = 0.

Lihat Pembahasan

Pusat = (3, 4), r = √(9+16) = 5

|OP| = √(0+0) = 0

d = 0 − 5 = −5 → titik di dalam (pusat lingkaran!)

Jawaban: Jarak = 5 satuan (titik adalah pusat lingkaran)

5. Tentukan jarak titik (0, 7) terhadap lingkaran (x + 3)² + (y − 3)² = 25.

Lihat Pembahasan

Pusat (−3, 3), r = 5

|OP| = √(9+16) = 5

d = 5 − 5 = 0

Jawaban: Jarak = 0 (titik berada pada lingkaran)

Sulit

1. Tentukan jarak titik (8, 6) terhadap lingkaran yang melalui (0,0), (6,0), (0,8).

Lihat Pembahasan

Cari lingkaran: x²+y²+Ax+By+C=0

(0,0): C=0

(6,0): 36+6A=0 → A=−6

(0,8): 64+8B=0 → B=−8

Lingkaran: x²+y²−6x−8y=0

Pusat (3,4), r = √(9+16) = 5

|OP| = √((8−3)²+(6−4)²) = √(25+4) = √29

d = √29 − 5 ≈ 0.39

Jawaban: Jarak = √29 − 5 satuan

2. Titik P terletak pada garis y = x dan berjarak 2 satuan dari lingkaran x² + y² = 8. Tentukan koordinat P jika P di kuadran I.

Lihat Pembahasan

P = (a, a), r = 2√2

|OP| − r = 2: √(2a²) − 2√2 = 2

a√2 = 2 + 2√2

a = (2+2√2)/√2 = √2 + 2

Jawaban: P = (2+√2, 2+√2)

3. Tentukan jarak terdekat dan terjauh titik (10, 0) terhadap lingkaran (x−3)² + (y−4)² = 4.

Lihat Pembahasan

Pusat (3,4), r = 2

|OP| = √(49+16) = √65

Jarak terdekat = √65 − 2

Jarak terjauh = √65 + 2

Jawaban: Terdekat = √65 − 2 ≈ 6.06, Terjauh = √65 + 2 ≈ 10.06

4. Tentukan nilai k agar jarak titik (k, 0) terhadap lingkaran x² + y² = 9 sama dengan 2.

Lihat Pembahasan

r = 3, |OP| = |k|

Kasus 1 (luar): |k| − 3 = 2 → |k| = 5 → k = ±5

Kasus 2 (dalam): 3 − |k| = 2 → |k| = 1 → k = ±1

Jawaban: k ∈ {−5, −1, 1, 5}

5. Tentukan titik pada lingkaran x² + y² − 2x − 4y − 4 = 0 yang terdekat dan terjauh dari titik (7, 8).

Lihat Pembahasan

Pusat O(1,2), r = √(1+4+4) = 3

|OP| = √(36+36) = 6√2

Arah dari O ke P: vektor (6,6), panjang 6√2

Vektor satuan: (6/(6√2), 6/(6√2)) = (1/√2, 1/√2)

Titik terdekat: O + 3·(1/√2, 1/√2) = (1 + 3/√2, 2 + 3/√2)

= (1 + 3√2/2, 2 + 3√2/2)

Titik terjauh: O − 3·(1/√2, 1/√2) = (1 − 3√2/2, 2 − 3√2/2)

Jawaban: Terdekat (1+3√2/2, 2+3√2/2), Terjauh (1−3√2/2, 2−3√2/2)

📝 Latihan Soal

Mudah

Tentukan jarak titik (8, 0) terhadap lingkaran x² + y² = 25.
Tentukan jarak titik (0, 0) terhadap lingkaran (x−5)² + y² = 9.
Tentukan jarak titik (0, 10) terhadap lingkaran x² + y² = 36.
Tentukan jarak titik (3, 4) terhadap lingkaran x² + y² = 25.
Tentukan jarak titik (12, 0) terhadap lingkaran x² + y² = 49.

Sedang

Tentukan jarak titik (5, 3) terhadap lingkaran x² + y² − 2x + 4y − 11 = 0.
Tentukan jarak titik (0, −2) terhadap lingkaran (x+1)² + (y−1)² = 4.
Tentukan jarak titik (4, 4) terhadap lingkaran x² + y² − 8x − 6y + 16 = 0.
Tentukan jarak terdekat titik asal ke lingkaran (x−5)² + (y−12)² = 16.
Tentukan jarak titik (−3, 0) terhadap lingkaran x² + y² + 4x − 6y + 9 = 0.

Sulit

Tentukan jarak terdekat dan terjauh titik (13, 0) terhadap lingkaran (x−1)² + (y−5)² = 25.
Titik Q di garis y = 2x berjarak 3 dari lingkaran x²+y²=5. Tentukan koordinat Q (kuadran I).
Tentukan nilai p agar jarak (p, 0) ke lingkaran (x−4)²+(y−3)²=4 sama dengan 3.
Tentukan titik pada lingkaran x²+y²−4x−6y+9=0 yang terdekat ke titik (8,10).
Dua lingkaran L₁: x²+y²=9 dan L₂: (x−8)²+y²=4. Tentukan jarak terpendek antara kedua lingkaran.

📐 Materi Lingkaran — Selamat Belajar! 🎯

Materi Lingkaran

Matematika SMA — Kedudukan Garis, Garis Singgung, Hubungan Dua Lingkaran & Tempat Kedudukan

1. Kedudukan Garis terhadap Lingkaran

📘 Materi

Persamaan lingkaran umum: x² + y² + Ax + By + C = 0 dengan pusat P(−A/2, −B/2) dan jari-jari r = √(A²/4 + B²/4 − C).

Atau bentuk baku: (x − a)² + (y − b)² = r² dengan pusat (a, b) dan jari-jari r.

Untuk menentukan kedudukan garis y = mx + n terhadap lingkaran, substitusikan garis ke persamaan lingkaran sehingga diperoleh persamaan kuadrat. Hitung Diskriminan (D):

D = b² − 4ac

• D > 0 → Garis memotong lingkaran di 2 titik
• D = 0 → Garis menyinggung lingkaran (1 titik)
• D < 0 → Garis tidak memotong lingkaran

Cara alternatif: Bandingkan jarak pusat lingkaran ke garis dengan jari-jari.

Jarak pusat (a, b) ke garis px + qy + r = 0:

d = |pa + qb + r| / √(p² + q²)

• d < r → Garis memotong lingkaran
• d = r → Garis menyinggung lingkaran
• d > r → Garis tidak memotong lingkaran

✏️ Contoh Soal

🟢 Tingkat Mudah

1. Tentukan kedudukan garis y = x + 1 terhadap lingkaran x² + y² = 4.

▶ Lihat Pembahasan

Substitusi y = x + 1 ke x² + y² = 4:

x² + (x+1)² = 4 → x² + x² + 2x + 1 = 4 → 2x² + 2x − 3 = 0

D = 4 − 4(2)(−3) = 4 + 24 = 28 > 0

Kesimpulan: Garis memotong lingkaran di 2 titik.

2. Tentukan kedudukan garis y = 2x + 5 terhadap lingkaran x² + y² = 4.

▶ Lihat Pembahasan

Substitusi y = 2x + 5: x² + (2x+5)² = 4 → x² + 4x² + 20x + 25 = 4 → 5x² + 20x + 21 = 0

D = 400 − 4(5)(21) = 400 − 420 = −20 < 0

Kesimpulan: Garis tidak memotong lingkaran.

3. Tentukan kedudukan garis y = x + 2√2 terhadap lingkaran x² + y² = 8.

▶ Lihat Pembahasan

Pusat (0,0), r = 2√2. Garis: x − y + 2√2 = 0

d = |0 − 0 + 2√2| / √(1+1) = 2√2 / √2 = 2

r = 2√2 ≈ 2,83. Karena d = 2 < r = 2√2 → memotong.

Atau substitusi: x² + (x + 2√2)² = 8 → 2x² + 4√2 x + 8 = 8 → 2x² + 4√2 x = 0

D = 32 − 0 = 32 > 0. Memotong di 2 titik.

4. Tentukan kedudukan garis y = 3 terhadap lingkaran x² + y² = 9.

▶ Lihat Pembahasan

Substitusi y = 3: x² + 9 = 9 → x² = 0 → x = 0

D = 0 (hanya 1 solusi). Garis menyinggung lingkaran di titik (0, 3).

5. Tentukan kedudukan garis y = −x + 5 terhadap lingkaran x² + y² = 9.

▶ Lihat Pembahasan

Garis: x + y − 5 = 0. Pusat (0,0), r = 3.

d = |0 + 0 − 5| / √(1+1) = 5/√2 = 5√2/2 ≈ 3,54

Karena d ≈ 3,54 > r = 3. Garis tidak memotong lingkaran.

🟡 Tingkat Sedang

1. Tentukan nilai k agar garis y = 2x + k menyinggung lingkaran x² + y² = 5.

▶ Lihat Pembahasan

Substitusi: x² + (2x+k)² = 5 → x² + 4x² + 4kx + k² = 5 → 5x² + 4kx + (k²−5) = 0

Syarat singgung D = 0: (4k)² − 4(5)(k²−5) = 0

16k² − 20k² + 100 = 0 → −4k² + 100 = 0 → k² = 25 → k = ±5

2. Tentukan kedudukan garis 3x − 4y + 20 = 0 terhadap lingkaran (x−1)² + (y−2)² = 16.

▶ Lihat Pembahasan

Pusat (1, 2), r = 4.

d = |3(1) − 4(2) + 20| / √(9+16) = |3 − 8 + 20| / 5 = 15/5 = 3

Karena d = 3 < r = 4. Garis memotong lingkaran di 2 titik.

3. Tentukan titik potong garis y = x + 2 dengan lingkaran x² + y² = 8.

▶ Lihat Pembahasan

x² + (x+2)² = 8 → 2x² + 4x + 4 = 8 → 2x² + 4x − 4 = 0 → x² + 2x − 2 = 0

x = (−2 ± √(4+8))/2 = (−2 ± 2√3)/2 = −1 ± √3

y₁ = (−1+√3) + 2 = 1+√3; y₂ = (−1−√3) + 2 = 1−√3

Titik potong: (−1+√3, 1+√3) dan (−1−√3, 1−√3)

4. Tentukan panjang tali busur yang dibentuk garis y = x pada lingkaran x² + y² − 4x − 2y = 0.

▶ Lihat Pembahasan

Pusat: (2, 1), r = √(4+1) = √5.

Garis: x − y = 0. Jarak pusat ke garis: d = |2−1|/√2 = 1/√2 = √2/2

Setengah panjang tali busur: L/2 = √(r² − d²) = √(5 − 1/2) = √(9/2) = 3/√2

Panjang tali busur = 2 × 3/√2 = 3√2

5. Garis y = mx + 3 memotong lingkaran x² + y² = 5 di dua titik. Tentukan rentang nilai m.

▶ Lihat Pembahasan

Substitusi: x² + (mx+3)² = 5 → (1+m²)x² + 6mx + 4 = 0

D > 0: 36m² − 16(1+m²) > 0 → 36m² − 16 − 16m² > 0 → 20m² > 16 → m² > 4/5

m < −2/√5 atau m > 2/√5 (yaitu m < −2√5/5 atau m > 2√5/5)

🔴 Tingkat Sulit

1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (5, 1) dan menyinggung lingkaran x² + y² = 10.

▶ Lihat Pembahasan

Cek: 5² + 1² = 26 > 10, titik di luar lingkaran.

Garis melalui (5,1): y − 1 = m(x − 5) → y = mx − 5m + 1

Substitusi ke x² + y² = 10: x² + (mx − 5m + 1)² = 10

(1+m²)x² + 2m(1−5m)x + (1−5m)² − 10 = 0

D = 0: 4m²(1−5m)² − 4(1+m²)[(1−5m)²−10] = 0

m²(1−5m)² − (1+m²)(1−10m+25m²−10) = 0

Setelah penyederhanaan: m²−10m+25m⁴ − (25m²−10m−9−9m²) … → simplifikasi:

Cara cepat: gunakan rumus singgung dari titik luar. Garis singgung dari (5,1) ke x²+y²=10:

xx₁ + yy₁ = 10 → 5x + y = 10 … cek: titik (5,1) → 25+1≠10 (bukan titik pada lingkaran).

Gunakan cara substitusi lengkap. (1+m²)x² + 2m(1−5m)x + (1−5m)²−10 = 0, D=0:

4m²(1−5m)² = 4(1+m²)[(1−5m)²−10]

m²(1−10m+25m²) = (1+m²)(1−10m+25m²−10)

m²−10m³+25m⁴ = −9−10m+25m²−9m²−10m³+25m⁴

m² = −9−10m+16m² → 15m²−10m−9 = 0 → Belum tepat, mari hitung ulang.

(1−5m)² − 10 = 1 − 10m + 25m² − 10 = 25m² − 10m − 9

m²(1−10m+25m²) = (1+m²)(25m²−10m−9)

m² − 10m³ + 25m⁴ = 25m² − 10m − 9 + 25m⁴ − 10m³ − 9m²

m² = 16m² − 10m − 9

0 = 15m² − 10m − 9 → Hmm, D = 100+540 = 640, m = (10±8√10)/30

Alternatif: Gunakan d = r. Garis mx − y + (1−5m) = 0, pusat (0,0), r=√10.

d = |1−5m|/√(m²+1) = √10 → (1−5m)² = 10(m²+1)

1−10m+25m² = 10m²+10 → 15m²−10m−9 = 0

m = (10 ± √(100+540))/30 = (10 ± √640)/30 = (10 ± 8√10)/30 = (5 ± 4√10)/15

Persamaan garis: y = m(x−5)+1 dengan m = (5+4√10)/15 atau m = (5−4√10)/15

2. Tentukan nilai a agar garis 2x + y = a memotong lingkaran x² + y² − 6x + 2y − 15 = 0 membentuk tali busur sepanjang 4√2.

▶ Lihat Pembahasan

Pusat (3, −1), r = √(9+1+15) = 5.

Setengah tali busur = 2√2. Maka d² + (2√2)² = 25 → d² = 25−8 = 17 → d = √17.

Garis: 2x + y − a = 0. Jarak pusat ke garis:

d = |2(3) + (−1) − a|/√(4+1) = |5−a|/√5 = √17

|5−a| = √85 → a = 5 ± √85

a = 5 + √85 atau a = 5 − √85

3. Garis y = 2x + k menyinggung lingkaran (x−3)² + (y+1)² = 20. Tentukan titik singgungnya.

▶ Lihat Pembahasan

Pusat (3,−1), r = 2√5. Garis: 2x − y + k = 0

d = r: |2(3)−(−1)+k|/√5 = 2√5 → |7+k| = 10

k = 3 atau k = −17

Untuk k=3: y=2x+3. Substitusi ke lingkaran: (x−3)²+(2x+3+1)²=20

(x−3)²+(2x+4)²=20 → x²−6x+9+4x²+16x+16=20 → 5x²+10x+5=0 → x²+2x+1=0 → (x+1)²=0

x=−1, y=2(−1)+3=1. Titik singgung (−1, 1)

Untuk k=−17: y=2x−17. (x−3)²+(2x−18)²=20 → x²−6x+9+4x²−72x+324=20

5x²−78x+313=0. D=0 → cek: x=(78)/(10)=7,8. y=2(7,8)−17=−1,4

Titik singgung (39/5, −7/5)

4. Garis ax + by = 1 menyinggung lingkaran x² + y² = 1/(a²+b²). Buktikan hal ini selalu benar.

▶ Lihat Pembahasan

Pusat (0,0), r = 1/√(a²+b²).

Garis: ax + by − 1 = 0. Jarak pusat ke garis:

d = |a(0)+b(0)−1|/√(a²+b²) = 1/√(a²+b²) = r

Karena d = r, garis selalu menyinggung lingkaran. Terbukti.

5. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (7, 1) dan memotong lingkaran x² + y² = 25 membentuk tali busur terpendek.

▶ Lihat Pembahasan

Tali busur terpendek terjadi saat jarak pusat ke garis maksimum (d maks).

d maks = jarak pusat ke titik (7,1) = √(49+1) = √50 = 5√2.

Tapi d harus < r=5 agar memotong. Karena 5√2 > 5, titik (7,1) di luar lingkaran.

Tali busur terpendek → d maksimum (mendekati r). Garis tegak lurus OP di titik (7,1).

Gradien OP = 1/7. Garis ⊥ OP melalui (7,1): y−1 = −7(x−7) → y = −7x + 50

d = |0+0+50|/√(49+1) = 50/5√2 = 5√2 > 5. Garis tidak memotong!

Koreksi: Tali busur terpendek yang melewati titik di luar → garis melalui (7,1) dengan d terbesar yang masih < r. Ini sebenarnya tidak ada minimum/maks dalam arti konvensional. Yang dimaksud: tali busur minimum dari semua garis melalui (7,1) yang memotong lingkaran.

Garis melalui (7,1) tegak lurus garis pusat-titik memberi d terbesar → tali busur terpendek.

Gradien OP = 1/7, garis ⊥: m = −7. y−1=−7(x−7) → 7x+y−50=0

d = |50|/√50 = 50/(5√2) = 5√2 ≈ 7.07 > 5 = r

Maka garis ini tidak memotong. Titik (7,1) di luar lingkaran r=5.

Soal valid hanya jika titik di dalam lingkaran. Jika (7,1) di luar, semua tali busur memiliki panjang terbatas. Garis melalui pusat (0,0) dan (7,1) memberi tali busur terpanjang (diameter). Garis terjauh dari pusat memberi tali busur terpendek.

d = jarak pusat ke garis. Maks d (garis masih potong) → d < 5.

Garis 7x + y − 50 = 0 memberi d = 5√2 > 5 (tidak potong).

Maka tali busur terpendek terjadi saat garis hampir sejajar dgn garis ⊥OP tapi masih memotong. Sebenarnya, dari semua garis melalui (7,1) yang memotong lingkaran, yang memberi tali busur terpendek adalah garis yang jaraknya ke pusat paling besar.

Jarak maks yang masih memotong: d → 5⁻. Panjang tali busur → 0⁺. Tidak ada minimum positif.

Revisi soal: Titik (3,1) di dalam lingkaran r=5.

OP = √10. Garis ⊥OP: gradien OP=1/3, m=−3. y−1=−3(x−3) → 3x+y−10=0

d = 10/√10 = √10. Panjang tali busur = 2√(25−10) = 2√15.

Persamaan: 3x + y − 10 = 0, tali busur terpendek = 2√15.

📝 Latihan Soal

🟢 Mudah

Tentukan kedudukan garis y = 2x terhadap lingkaran x² + y² = 1.
Tentukan kedudukan garis y = x − 5 terhadap lingkaran x² + y² = 9.
Tentukan kedudukan garis y = −x + 3√2 terhadap lingkaran x² + y² = 9.
Tentukan kedudukan garis x = 4 terhadap lingkaran x² + y² = 16.
Tentukan kedudukan garis y = 0 terhadap lingkaran x² + y² = 25.

🟡 Sedang

Tentukan nilai k agar garis y = 3x + k menyinggung lingkaran x² + y² = 10.
Tentukan titik potong garis y = 2x − 1 dengan lingkaran x² + y² = 10.
Tentukan kedudukan garis x + 2y − 10 = 0 terhadap lingkaran (x−2)² + (y−1)² = 5.
Tentukan panjang tali busur garis y = 2x terhadap lingkaran x² + y² − 4x = 0.
Tentukan nilai m agar garis y = mx + 4 menyinggung lingkaran x² + y² = 4.

🔴 Sulit

Tentukan persamaan garis melalui (4, 3) yang menyinggung lingkaran x² + y² = 10.
Garis y = mx + 2 memotong lingkaran x² + y² − 2x − 4y = 0 di dua titik A dan B. Tentukan panjang AB jika m = 1.
Tentukan nilai a agar garis x + y = a membentuk tali busur sepanjang 6 pada lingkaran x² + y² = 25.
Tentukan kedudukan garis y = kx − 3 terhadap lingkaran x² + y² − 4x + 6y + 3 = 0 untuk semua nilai k.
Dari titik (6, 0) ditarik garis yang memotong lingkaran x² + y² = 9 membentuk tali busur terpendek. Tentukan persamaan garisnya dan panjang tali busurnya.

2. Garis Singgung pada Lingkaran

📘 Materi

Garis singgung adalah garis yang menyentuh lingkaran tepat di satu titik dan tegak lurus jari-jari di titik singgung.

A. Garis singgung di titik (x₁, y₁) pada lingkaran x² + y² = r²:

xx₁ + yy₁ = r²

B. Garis singgung di titik (x₁, y₁) pada lingkaran (x−a)² + (y−b)² = r²:

(x₁−a)(x−a) + (y₁−b)(y−b) = r²

C. Garis singgung di titik (x₁, y₁) pada lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0:

xx₁ + yy₁ + A(x+x₁)/2 + B(y+y₁)/2 + C = 0

D. Garis singgung dengan gradien m pada lingkaran x² + y² = r²:

y = mx ± r√(1 + m²)

E. Garis singgung dengan gradien m pada lingkaran (x−a)² + (y−b)² = r²:

y − b = m(x − a) ± r√(1 + m²)

✏️ Contoh Soal

🟢 Tingkat Mudah

1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 25 di titik (3, 4).

▶ Lihat Pembahasan

Rumus: xx₁ + yy₁ = r²

3x + 4y = 25

Persamaan garis singgung: 3x + 4y = 25

2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 13 di titik (2, 3).

▶ Lihat Pembahasan

xx₁ + yy₁ = 13 → 2x + 3y = 13

Persamaan: 2x + 3y = 13

3. Tentukan garis singgung lingkaran x² + y² = 9 dengan gradien m = 1.

▶ Lihat Pembahasan

y = mx ± r√(1+m²) = x ± 3√2

y = x + 3√2 atau y = x − 3√2

4. Tentukan garis singgung lingkaran x² + y² = 4 dengan gradien m = 2.

▶ Lihat Pembahasan

y = 2x ± 2√(1+4) = 2x ± 2√5

y = 2x + 2√5 atau y = 2x − 2√5

5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 50 di titik (5, −5).

▶ Lihat Pembahasan

5x + (−5)y = 50 → 5x − 5y = 50 → x − y = 10

Persamaan: x − y = 10

🟡 Tingkat Sedang

1. Tentukan garis singgung lingkaran (x−2)² + (y−3)² = 4 di titik (2, 5).

▶ Lihat Pembahasan

(x₁−a)(x−a) + (y₁−b)(y−b) = r²

(2−2)(x−2) + (5−3)(y−3) = 4 → 0 + 2(y−3) = 4 → y−3 = 2 → y = 5

Persamaan: y = 5

2. Tentukan garis singgung lingkaran (x+1)² + (y−2)² = 25 dengan gradien 3/4.

▶ Lihat Pembahasan

Pusat (−1, 2), r = 5, m = 3/4

y − 2 = (3/4)(x + 1) ± 5√(1 + 9/16)

y − 2 = (3/4)(x + 1) ± 5(5/4)

y − 2 = (3/4)(x + 1) ± 25/4

y = (3/4)x + 3/4 + 2 ± 25/4 = (3/4)x + 11/4 ± 25/4

y = (3/4)x + 9 atau y = (3/4)x − 7/2

3. Tentukan garis singgung lingkaran x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0 di titik (5, 1).

▶ Lihat Pembahasan

Gunakan rumus: xx₁ + yy₁ + A(x+x₁)/2 + B(y+y₁)/2 + C = 0

A=−4, B=6, C=−12, (x₁,y₁)=(5,1)

5x + y + (−4)(x+5)/2 + 6(y+1)/2 − 12 = 0

5x + y − 2(x+5) + 3(y+1) − 12 = 0

5x + y − 2x − 10 + 3y + 3 − 12 = 0

3x + 4y − 19 = 0

Persamaan: 3x + 4y = 19

4. Tentukan panjang garis singgung dari titik (5, 6) ke lingkaran x² + y² = 20.

▶ Lihat Pembahasan

Panjang garis singgung dari titik luar (x₁,y₁) ke lingkaran x²+y²=r²:

L = √(x₁² + y₁² − r²) = √(25 + 36 − 20) = √41

Panjang garis singgung = √41

5. Tentukan garis singgung lingkaran x² + y² = 16 yang sejajar dengan garis 3x + 4y = 10.

▶ Lihat Pembahasan

Gradien garis 3x+4y=10 → m = −3/4

y = −(3/4)x ± 4√(1+9/16) = −(3/4)x ± 4(5/4) = −(3/4)x ± 5

Atau: 3x + 4y = ±4(5) → 3x + 4y = 20 atau 3x + 4y = −20

3x + 4y = 20 atau 3x + 4y = −20

🔴 Tingkat Sulit

1. Dari titik (7, 1) ditarik garis singgung ke lingkaran x² + y² = 25. Tentukan persamaan garis singgungnya.

▶ Lihat Pembahasan

Garis melalui (7,1): y − 1 = m(x − 7) → y = mx − 7m + 1

Jarak pusat ke garis = r: |−7m+1|/√(m²+1) = 5

(−7m+1)² = 25(m²+1) → 49m²−14m+1 = 25m²+25

24m²−14m−24 = 0 → 12m²−7m−12 = 0

m = (7±√(49+576))/24 = (7±25)/24

m = 32/24 = 4/3 atau m = −18/24 = −3/4

Untuk m=4/3: y = (4/3)x − 28/3 + 1 = (4/3)x − 25/3 → 4x − 3y − 25 = 0

Untuk m=−3/4: y = −(3/4)x + 21/4 + 1 = −(3/4)x + 25/4 → 3x + 4y − 25 = 0

Persamaan: 4x − 3y = 25 atau 3x + 4y = 25

2. Tentukan luas segitiga yang dibentuk oleh garis singgung lingkaran x² + y² = 9 di titik (0, 3) dengan sumbu-x dan sumbu-y.

▶ Lihat Pembahasan

Garis singgung di (0,3): 0·x + 3y = 9 → y = 3

Garis y = 3 sejajar sumbu-x, tidak memotong sumbu-x di titik terbatas.

Maka segitiga tidak terbentuk (luas tak hingga). Mari gunakan titik lain.

Revisi: Garis singgung di titik (√5, 2): √5·x + 2y = 9

Potong sumbu-x (y=0): x = 9/√5 = 9√5/5

Potong sumbu-y (x=0): y = 9/2

Luas = ½ × 9√5/5 × 9/2 = 81√5/20

Luas = 81√5/20 satuan luas

3. Dua garis singgung lingkaran x² + y² = 16 saling tegak lurus. Tentukan tempat kedudukan titik potong kedua garis singgung.

▶ Lihat Pembahasan

Garis singgung gradient m: y = mx ± 4√(1+m²)

Garis singgung tegak lurus: y = −(1/m)x ± 4√(1+1/m²)

Misalkan titik potong (h,k). Maka h dan k memenuhi kedua persamaan.

Dari garis singgung: k = mh ± 4√(1+m²) → (k−mh)² = 16(1+m²) …(i)

Dari garis tegak lurus: (k+h/m)² = 16(1+1/m²) …(ii)

(i): k²−2mkh+m²h² = 16+16m² …(i)

(ii): k²+2kh/m+h²/m² = 16+16/m² → kalikan m²: m²k²+2mkh+h² = 16m²+16 …(ii)

Jumlahkan (i)+(ii): k²(1+m²)+h²(m²+1) = 32+16m²+16m² → Hmm

(i): k²+m²h²−2mkh = 16(1+m²)

(ii): m²k²+h²+2mkh = 16(1+m²)

Jumlah: k²(1+m²)+h²(1+m²) = 32(1+m²)

(1+m²)(h²+k²) = 32(1+m²) → h²+k² = 32

Tempat kedudukan: x² + y² = 32

4. Tentukan persamaan garis singgung persekutuan luar lingkaran x² + y² = 4 dan (x−5)² + y² = 1.

▶ Lihat Pembahasan

L₁: pusat O₁(0,0), r₁=2. L₂: pusat O₂(5,0), r₂=1.

Titik bagi luar: membagi O₁O₂ di luar dengan perbandingan r₁:r₂ = 2:1

T = (2×5−1×0)/(2−1), (2×0−1×0)/(2−1)) = (10, 0)

Garis singgung melalui (10,0): y = m(x−10)

Jarak dari O₁(0,0) = r₁=2: |m(−10)|/√(m²+1) = 2 → 100m² = 4(m²+1)

96m² = 4 → m² = 1/24 → m = ±1/(2√6)

y = (1/(2√6))(x−10) atau y = −(1/(2√6))(x−10)

Atau: x − 2√6·y − 10 = 0 dan x + 2√6·y − 10 = 0

5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² + 4x − 6y − 12 = 0 yang tegak lurus garis 2x − y + 3 = 0.

▶ Lihat Pembahasan

Lingkaran: pusat (−2, 3), r = √(4+9+12) = 5

Gradien garis 2x−y+3=0 → m₁ = 2. Garis tegak lurus: m = −1/2

Garis singgung: y − 3 = −(1/2)(x + 2) ± 5√(1 + 1/4)

y − 3 = −(1/2)(x + 2) ± 5(√5/2)

y = −(1/2)x − 1 + 3 ± 5√5/2 = −(1/2)x + 2 ± 5√5/2

Atau: x + 2y − (4 ± 5√5) = 0

x + 2y = 4 + 5√5 atau x + 2y = 4 − 5√5

📝 Latihan Soal

🟢 Mudah

Tentukan garis singgung lingkaran x² + y² = 36 di titik (0, 6).
Tentukan garis singgung lingkaran x² + y² = 20 di titik (2, 4).
Tentukan garis singgung lingkaran x² + y² = 5 dengan gradien 2.
Tentukan garis singgung lingkaran x² + y² = 18 dengan gradien −1.
Tentukan garis singgung lingkaran x² + y² = 100 di titik (6, 8).

🟡 Sedang

Tentukan garis singgung lingkaran (x−1)² + (y+2)² = 9 di titik (1, 1).
Tentukan panjang garis singgung dari titik (4, 5) ke lingkaran x² + y² − 2x + 4y − 11 = 0.
Tentukan garis singgung lingkaran x² + y² = 25 yang sejajar 4x − 3y = 7.
Tentukan garis singgung lingkaran x² + y² − 6x − 8y = 0 di titik (6, 8).
Tentukan garis singgung lingkaran (x−3)² + (y−4)² = 25 dengan gradien 0.

🔴 Sulit

Dari titik (8, 6) ditarik garis singgung ke lingkaran x² + y² = 25. Tentukan persamaan kedua garis singgung dan luas segitiga yang dibentuk.
Tentukan persamaan garis singgung persekutuan dalam lingkaran x² + y² = 9 dan (x−8)² + y² = 4.
Garis singgung lingkaran x² + y² = r² di titik A dan B saling tegak lurus di titik C. Jika OC = 10 dan r = 5√2, tentukan luas △OAB.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² − 4x + 2y − 20 = 0 yang membuat sudut 45° dengan sumbu-x positif.
Dua garis singgung ditarik dari titik (a, 0) ke lingkaran x² + y² = 9. Tentukan nilai a agar sudut antara kedua garis singgung = 60°.

3. Hubungan antar Dua Lingkaran

📘 Materi

Dua lingkaran dengan pusat P₁, P₂ dan jari-jari r₁, r₂ (r₁ ≥ r₂). Jarak antar pusat: d = |P₁P₂|.

Lima kedudukan dua lingkaran:

Saling lepas di luar: d > r₁ + r₂
Bersinggungan luar: d = r₁ + r₂
Berpotongan di 2 titik: |r₁ − r₂| < d < r₁ + r₂
Bersinggungan dalam: d = |r₁ − r₂| (r₁ ≠ r₂)
Saling lepas di dalam (konsentris jika d=0): d < |r₁ − r₂|

Garis singgung persekutuan:

• Singgung persekutuan luar (SPL): Titik bagi luar T membagi P₁P₂ di luar dengan perbandingan r₁ : r₂

• Singgung persekutuan dalam (SPD): Titik bagi dalam U membagi P₁P₂ di dalam dengan perbandingan r₁ : r₂

Panjang garis singgung persekutuan:

• SPL = √(d² − (r₁−r₂)²)

• SPD = √(d² − (r₁+r₂)²)

✏️ Contoh Soal

🟢 Tingkat Mudah

1. Tentukan hubungan lingkaran x² + y² = 4 dan (x−5)² + y² = 1.

▶ Lihat Pembahasan

P₁(0,0), r₁=2; P₂(5,0), r₂=1. d = 5.

r₁+r₂ = 3, |r₁−r₂| = 1. Karena d=5 > r₁+r₂=3 → saling lepas di luar.

2. Tentukan hubungan lingkaran x² + y² = 9 dan (x−5)² + y² = 4.

▶ Lihat Pembahasan

P₁(0,0), r₁=3; P₂(5,0), r₂=2. d=5. r₁+r₂=5.

d = r₁+r₂ → bersinggungan luar.

3. Tentukan hubungan lingkaran x² + y² = 25 dan (x−3)² + y² = 4.

▶ Lihat Pembahasan

P₁(0,0), r₁=5; P₂(3,0), r₂=2. d=3. |r₁−r₂|=3.

d = |r₁−r₂| → bersinggungan dalam.

4. Tentukan hubungan lingkaran x² + y² = 16 dan (x−3)² + (y−4)² = 1.

▶ Lihat Pembahasan

P₁(0,0), r₁=4; P₂(3,4), r₂=1. d=√(9+16)=5.

r₁+r₂=5. d=5=r₁+r₂ → bersinggungan luar.

5. Tentukan hubungan lingkaran x² + y² = 100 dan (x−2)² + (y−1)² = 4.

▶ Lihat Pembahasan

P₁(0,0), r₁=10; P₂(2,1), r₂=2. d=√5≈2,24. |r₁−r₂|=8.

d=√5 < |r₁−r₂|=8 → saling lepas di dalam.

🟡 Tingkat Sedang

1. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar lingkaran berpusat (1, 2) r=3 dan berpusat (9, 8) r=1.

▶ Lihat Pembahasan

d = √((9−1)²+(8−2)²) = √(64+36) = 10

SPL = √(d²−(r₁−r₂)²) = √(100−4) = √96 = 4√6

Panjang SPL = 4√6

2. Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran berpusat (0, 0) r=5 dan berpusat (12, 0) r=3.

▶ Lihat Pembahasan

d = 12, r₁+r₂ = 8.

SPD = √(d²−(r₁+r₂)²) = √(144−64) = √80 = 4√5

Panjang SPD = 4√5

3. Tentukan titik potong lingkaran x² + y² = 25 dan x² + y² − 8x + 6y − 15 = 0.

▶ Lihat Pembahasan

Kurangkan: (x²+y²−8x+6y−15) − (x²+y²−25) = 0

−8x+6y−15+25 = 0 → −8x+6y+10 = 0 → 4x−3y−5 = 0 → y = (4x−5)/3

Substitusi ke x²+y²=25: x² + (4x−5)²/9 = 25

9x² + 16x²−40x+25 = 225 → 25x²−40x−200 = 0 → 5x²−8x−40 = 0

x = (8±√(64+800))/10 = (8±√864)/10 = (8±12√6)/10 = (4±6√6)/5

Titik potong: x = (4+6√6)/5 dan x = (4−6√6)/5, y diperoleh dari y = (4x−5)/3

4. Tentukan nilai k agar lingkaran x² + y² = 9 dan (x−k)² + y² = 16 bersinggungan luar.

▶ Lihat Pembahasan

r₁=3, r₂=4. d=|k|. Syarat singgung luar: d=r₁+r₂=7.

|k|=7 → k = 7 atau k = −7

5. Tentukan jumlah garis singgung persekutuan lingkaran x² + y² = 4 dan (x−4)² + y² = 1.

▶ Lihat Pembahasan

P₁(0,0), r₁=2; P₂(4,0), r₂=1. d=4. r₁+r₂=3, |r₁−r₂|=1.

Karena d=4 > r₁+r₂=3 → saling lepas di luar.

Jumlah garis singgung persekutuan = 4 (2 luar + 2 dalam)

🔴 Tingkat Sulit

1. Tentukan persamaan garis singgung persekutuan dalam lingkaran x² + y² = 9 dan (x−12)² + y² = 4.

▶ Lihat Pembahasan

P₁(0,0), r₁=3; P₂(12,0), r₂=2. Titik bagi dalam U membagi P₁P₂ dengan r₁:r₂=3:2.

U = (3×12/(3+2), 0) = (36/5, 0)

Garis melalui (36/5, 0): y = m(x − 36/5)

Jarak dari P₁(0,0) = 3: |m(−36/5)|/√(m²+1) = 3

1296m²/25 = 9(m²+1) → 1296m² = 225m² + 225

1071m² = 225 → m² = 225/1071 = 25/119 → m = ±5/√119

y = ±(5/√119)(x − 36/5), atau 5x ∓ √119·y − 36 = 0

2. Dua lingkaran berpotongan di titik A(1,2) dan B(3,4). Jika lingkaran pertama x²+y²=5 (verifikasi A ada di lingkaran: 1+4=5 ✓), tentukan persamaan garis AB.

▶ Lihat Pembahasan

Cek B(3,4) pada L₁: 9+16=25≠5. Maka B bukan di L₁. Revisi soal.

L₁: x²+y²=25, L₂: x²+y²−10x−10y+25=0. Pusat L₂=(5,5), r₂=5.

Garis radikal (garis AB): L₁−L₂ = 0 → (x²+y²−25)−(x²+y²−10x−10y+25)=0

10x+10y−50=0 → x + y = 5

3. Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu-x, menyinggung lingkaran x² + y² = 4 secara luar, dan berpusat di kuadran I.

▶ Lihat Pembahasan

Pusat (a, b) di kuadran I (a>0, b>0). Menyinggung sumbu-x → r = b.

Singgung luar dengan x²+y²=4 (pusat O(0,0), R=2): d = r+R = b+2.

d = √(a²+b²) = b+2 → a²+b² = (b+2)² = b²+4b+4

a² = 4b+4 → b = (a²−4)/4

r = b = (a²−4)/4. Syarat r>0 → a>2.

Keluarga lingkaran: (x−a)² + (y−(a²−4)/4)² = ((a²−4)/4)² untuk a > 2.

Contoh: a=4 → b=3, r=3. Lingkaran: (x−4)²+(y−3)²=9

4. Lingkaran L₁: x²+y²=25 dan L₂: x²+y²−12x−16y+75=0. Tentukan panjang tali busur persekutuan.

▶ Lihat Pembahasan

L₂: pusat (6,8), r₂=√(36+64−75)=5. d=√(36+64)=10. r₁=5, r₂=5.

|r₁−r₂|=0 < d=10 < r₁+r₂=10. Hmm d=r₁+r₂ → singgung luar, bukan berpotongan!

Revisi: L₂: x²+y²−12x−16y+51=0, pusat(6,8), r₂=√(36+64−51)=7.

|r₁−r₂|=2 < d=10 < r₁+r₂=12 → berpotongan.

Garis radikal: L₁−L₂: 12x+16y−51−25… Mari hitung: (x²+y²−25)−(x²+y²−12x−16y+51)=0

12x+16y−76=0 → 3x+4y=19

Jarak pusat L₁(0,0) ke garis: d₁=19/5. Setengah tali busur = √(25−361/25)=√(264/25)=√264/5=2√66/5

Panjang tali busur = 4√66/5

5. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong lingkaran x²+y²=25 dan x²+y²−4x−2y−20=0, serta melalui titik (1, 7).

▶ Lihat Pembahasan

Keluarga lingkaran: L₁ + k(L₂−L₁) = 0 → L₁ + k(−4x−2y+5) = 0

x²+y²−25 + k(−4x−2y+5) = 0

Melalui (1,7): 1+49−25 + k(−4−14+5) = 0 → 25 + k(−13) = 0 → k = 25/13

x²+y²−25 + (25/13)(−4x−2y+5) = 0

x²+y²−(100/13)x−(50/13)y−25+125/13 = 0

x²+y²−(100/13)x−(50/13)y + (−325+125)/13 = 0

x²+y²−(100/13)x−(50/13)y − 200/13 = 0

Kali 13: 13x²+13y²−100x−50y−200 = 0

Atau: x²+y²−(100/13)x−(50/13)y−200/13 = 0

📝 Latihan Soal

🟢 Mudah

Tentukan hubungan lingkaran x²+y²=1 dan (x−4)²+y²=4.
Tentukan hubungan lingkaran x²+y²=9 dan (x−4)²+(y−3)²=4.
Tentukan hubungan lingkaran x²+y²=36 dan (x−1)²+y²=1.
Tentukan jumlah garis singgung persekutuan lingkaran x²+y²=16 dan (x−10)²+y²=9.
Tentukan hubungan lingkaran x²+y²=4 dan (x−3)²+(y−4)²=25.

🟡 Sedang

Tentukan panjang SPL lingkaran berpusat (0,0) r=5 dan berpusat (13,0) r=2.
Tentukan panjang SPD lingkaran berpusat (1,1) r=4 dan berpusat (9,7) r=2.
Tentukan nilai p agar lingkaran x²+y²=4 dan (x−p)²+y²=9 bersinggungan dalam.
Tentukan garis radikal lingkaran x²+y²=16 dan x²+y²−6x+8y=0.
Tentukan titik potong lingkaran x²+y²=13 dan x²+y²−4x−6y+3=0.

🔴 Sulit

Tentukan persamaan SPL lingkaran x²+y²=4 dan (x−8)²+y²=1.
Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong x²+y²=25 dan x²+y²−6x−8y=0 serta melalui pusat (0,0).
Dua lingkaran berpotongan membentuk tali busur sepanjang 8. Jika r₁=5, r₂=5, tentukan jarak antar pusat.
Tentukan persamaan lingkaran yang singgung dalam dengan x²+y²=16 dan singgung luar dengan (x−6)²+y²=1 serta berpusat di sumbu-x.
Lingkaran L₁: x²+y²−2x−4y−4=0 dan L₂: x²+y²+4x−2y−6=0. Tentukan luas daerah irisan kedua lingkaran (gunakan pendekatan).

4. Lingkaran sebagai Tempat Kedudukan

📘 Materi

Tempat kedudukan (locus) adalah himpunan semua titik yang memenuhi syarat tertentu. Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama (r) dari suatu titik tetap (pusat).

Bentuk-bentuk tempat kedudukan yang menghasilkan lingkaran:

Titik-titik berjarak tetap r dari titik P(a,b): (x−a)²+(y−b)²=r²
Titik-titik yang memandang ruas garis AB dengan sudut 90°: lingkaran berdiameter AB
Titik-titik yang jumlah kuadrat jaraknya ke dua titik tetap = konstan
Ujung garis singgung dari titik tetap ke lingkaran

Lingkaran dengan diameter AB:

Jika A(x₁, y₁) dan B(x₂, y₂) ujung diameter, maka:

(x−x₁)(x−x₂) + (y−y₁)(y−y₂) = 0

✏️ Contoh Soal

🟢 Tingkat Mudah

1. Tentukan persamaan tempat kedudukan titik yang berjarak 5 dari titik (2, 3).

▶ Lihat Pembahasan

Jarak = 5 dari (2,3) → lingkaran pusat (2,3) jari-jari 5.

(x−2)² + (y−3)² = 25

2. Tentukan persamaan lingkaran berdiameter AB dengan A(0, 0) dan B(6, 0).

▶ Lihat Pembahasan

(x−0)(x−6) + (y−0)(y−0) = 0 → x(x−6) + y² = 0 → x²−6x+y² = 0

Atau: (x−3)² + y² = 9

3. Tentukan persamaan tempat kedudukan titik yang berjarak 4 dari titik asal.

▶ Lihat Pembahasan

x² + y² = 16

4. Tentukan persamaan lingkaran berdiameter AB dengan A(−2, 1) dan B(4, 5).

▶ Lihat Pembahasan

(x+2)(x−4) + (y−1)(y−5) = 0

x²−2x−8 + y²−6y+5 = 0 → x²+y²−2x−6y−3 = 0

Pusat (1, 3), r = √(1+9+3) = √13

(x−1)² + (y−3)² = 13

5. Titik P(x, y) berjarak tetap 7 dari titik (−1, 4). Tentukan tempat kedudukannya.

▶ Lihat Pembahasan

(x+1)² + (y−4)² = 49

🟡 Tingkat Sedang

1. Tentukan tempat kedudukan titik P(x,y) yang jumlah kuadrat jaraknya ke A(1,0) dan B(−1,0) sama dengan 10.

▶ Lihat Pembahasan

PA² + PB² = 10

(x−1)²+y² + (x+1)²+y² = 10

x²−2x+1+y² + x²+2x+1+y² = 10

2x²+2y²+2 = 10 → x²+y² = 4

Lingkaran: x² + y² = 4 (pusat O, r=2)

2. Tentukan tempat kedudukan titik tengah tali busur lingkaran x²+y²=25 yang sejajar garis y = 2x.

▶ Lihat Pembahasan

Tali busur sejajar y=2x memiliki gradien 2. Titik tengah tali busur terletak pada garis yang melalui pusat dan tegak lurus tali busur.

Gradien tegak lurus = −1/2. Garis melalui pusat (0,0): y = −x/2 → x + 2y = 0

Titik tengah (h,k): h+2k=0 dan h²+k² < 25 (di dalam lingkaran)

Tempat kedudukan: x + 2y = 0 (garis, bukan lingkaran dalam kasus ini)

3. Titik P(x,y) memandang ruas garis AB dengan A(0,0) dan B(4,2) dengan sudut siku-siku. Tentukan tempat kedudukan P.

▶ Lihat Pembahasan

∠APB = 90° → P terletak pada lingkaran berdiameter AB.

(x−0)(x−4) + (y−0)(y−2) = 0

x²−4x+y²−2y = 0 → (x−2)²+(y−1)²=5

(x−2)² + (y−1)² = 5

4. Tentukan tempat kedudukan titik P yang jaraknya ke (3,0) sama dengan 2 kali jaraknya ke (0,0).

▶ Lihat Pembahasan

√((x−3)²+y²) = 2√(x²+y²)

(x−3)²+y² = 4(x²+y²)

x²−6x+9+y² = 4x²+4y²

3x²+3y²+6x−9 = 0 → x²+y²+2x−3 = 0

(x+1)²+y² = 4

Lingkaran pusat (−1, 0) jari-jari 2

5. Tentukan tempat kedudukan titik P(x,y) yang perbandingan jaraknya ke A(4,0) dan ke B(−1,0) adalah 2:1.

▶ Lihat Pembahasan

PA/PB = 2/1 → PA = 2PB → PA² = 4PB²

(x−4)²+y² = 4[(x+1)²+y²]

x²−8x+16+y² = 4x²+8x+4+4y²

3x²+3y²+16x−12 = 0 → x²+y²+(16/3)x−4 = 0

(x+8/3)²+y² = 64/9+4 = 100/9

Lingkaran pusat (−8/3, 0) jari-jari 10/3

🔴 Tingkat Sulit

1. Titik C bergerak pada lingkaran x²+y²=16. A(4,0) dan B(−4,0) adalah titik tetap. Tentukan tempat kedudukan titik berat segitiga ABC.

▶ Lihat Pembahasan

C(p,q) pada lingkaran: p²+q²=16.

Titik berat G = ((4+(−4)+p)/3, (0+0+q)/3) = (p/3, q/3)

Misalkan G(x,y): x=p/3, y=q/3 → p=3x, q=3y

Substitusi: (3x)²+(3y)²=16 → 9x²+9y²=16

x² + y² = 16/9 (lingkaran pusat O, r = 4/3)

2. Dari titik P(x,y) ditarik garis singgung ke lingkaran x²+y²=9 dengan panjang sama dengan jarak P ke titik (6,0). Tentukan tempat kedudukan P.

▶ Lihat Pembahasan

Panjang garis singgung dari P(x,y) ke x²+y²=9: L = √(x²+y²−9)

Jarak P ke (6,0): d = √((x−6)²+y²)

Syarat L = d: x²+y²−9 = (x−6)²+y²

x²+y²−9 = x²−12x+36+y²

−9 = −12x+36 → 12x = 45 → x = 45/12 = 15/4

Tempat kedudukan: x = 15/4 (garis vertikal)

3. Tentukan tempat kedudukan titik P(x,y) sehingga PA²−PB² = 20 dengan A(5,0) dan B(−3,2).

▶ Lihat Pembahasan

PA² = (x−5)²+y² = x²−10x+25+y²

PB² = (x+3)²+(y−2)² = x²+6x+9+y²−4y+4

PA²−PB² = −10x+25−6x−9+4y−4 = −16x+4y+12 = 20

−16x+4y = 8 → −4x+y = 2 → y = 4x+2

Tempat kedudukan: y = 4x + 2 (garis lurus, bukan lingkaran)

4. Titik P bergerak sehingga selisih kuadrat jaraknya ke A(3,0) dan B(−3,0) tetap = 12. Tentukan tempat kedudukannya. Kemudian tentukan TK titik Q yang merupakan titik tengah AP.

▶ Lihat Pembahasan

PA²−PB²=12: (x−3)²+y²−(x+3)²−y²=12

x²−6x+9−x²−6x−9=12 → −12x=12 → x=−1

TK P: garis x=−1.

Q titik tengah AP: A(3,0), P(−1,t) dimana t bebas.

Q = ((3+(−1))/2, (0+t)/2) = (1, t/2)

x_Q=1 (konstan), y_Q=t/2 (bebas).

TK Q: garis x = 1

5. Titik P(x,y) bergerak sedemikian sehingga ∠APB = 90° dengan A(−2, 0) dan B(2, 4). Tentukan tempat kedudukan P dan luas lingkaran tersebut.

▶ Lihat Pembahasan

∠APB = 90° → P pada lingkaran berdiameter AB.

(x+2)(x−2) + (y−0)(y−4) = 0

x²−4 + y²−4y = 0 → x²+y²−4y−4 = 0

x²+(y−2)² = 8

Pusat (0, 2), r = 2√2.

Luas = πr² = π(8) = 8π satuan luas

Verifikasi: AB = √(16+16) = 4√2. Diameter = 4√2, r = 2√2. ✓

📝 Latihan Soal

🟢 Mudah

Tentukan persamaan tempat kedudukan titik yang berjarak 6 dari titik (0, −3).
Tentukan persamaan lingkaran berdiameter AB dengan A(2, 2) dan B(8, 6).
Tentukan TK titik yang berjarak 3 dari titik (1, 1).
Tentukan persamaan lingkaran berdiameter AB dengan A(−3, 0) dan B(3, 0).
Tentukan TK titik yang berjarak √10 dari titik (−2, 5).

🟡 Sedang

Tentukan TK titik P yang jumlah kuadrat jaraknya ke (2,0) dan (−2,0) = 20.
Titik P memandang ruas garis dari (1,3) dan (5,7) dengan sudut 90°. Tentukan TK-nya.
Tentukan TK titik yang jaraknya ke (4,0) sama dengan 3 kali jaraknya ke (0,0).
Titik C pada lingkaran x²+y²=9. Tentukan TK titik tengah dari A(3,0) dan C.
Tentukan TK titik P(x,y) yang PA=PB dengan A(2,3) dan B(6,1).

🔴 Sulit

Dari titik P ditarik garis singgung ke lingkaran x²+y²=4 dengan panjang = jarak P ke (5,0). Tentukan TK P.
Titik P bergerak sehingga perbandingan jaraknya ke (6,0) dan (−2,0) adalah 3:1. Tentukan TK-nya.
Titik berat segitiga ABC dimana A(0,0), B(6,0), dan C pada lingkaran x²+y²=9. Tentukan TK titik berat.
Tentukan TK titik P yang PA²+PB²=2PC² dengan A(1,0), B(−1,0), C(0,3).
Dua garis singgung dari P ke lingkaran x²+y²=16 saling tegak lurus. Tentukan TK titik P dan luasnya.

Macam-macam Irisan Kerucut

📐 Pendahuluan: Apa Itu Irisan Kerucut?

⭕ 1. Lingkaran

Definisi

Persamaan Umum

Persamaan Garis Singgung

📝 Contoh Soal Lingkaran

✏️ Latihan Soal Lingkaran

🪂 2. Parabola

Definisi

Persamaan Standar

📝 Contoh Soal Parabola

✏️ Latihan Soal Parabola

🥚 3. Elips

Definisi

Persamaan Standar

📝 Contoh Soal Elips

✏️ Latihan Soal Elips

♾️ 4. Hiperbola

Definisi

Persamaan Standar

📝 Contoh Soal Hiperbola

✏️ Latihan Soal Hiperbola

Lingkaran

1. Persamaan Lingkaran

📖 Materi

✏️ Contoh Soal

📝 Latihan Soal

2. Kedudukan Titik terhadap Lingkaran

📖 Materi

✏️ Contoh Soal

📝 Latihan Soal

3. Jarak Titik terhadap Lingkaran

📖 Materi

✏️ Contoh Soal

📝 Latihan Soal

1. Kedudukan Garis terhadap Lingkaran

📘 Materi

✏️ Contoh Soal

🟢 Tingkat Mudah

🟡 Tingkat Sedang

🔴 Tingkat Sulit

📝 Latihan Soal

🟢 Mudah

🟡 Sedang

🔴 Sulit

2. Garis Singgung pada Lingkaran

📘 Materi

✏️ Contoh Soal

🟢 Tingkat Mudah

🟡 Tingkat Sedang

🔴 Tingkat Sulit

📝 Latihan Soal

🟢 Mudah

🟡 Sedang

🔴 Sulit

3. Hubungan antar Dua Lingkaran

📘 Materi

✏️ Contoh Soal

🟢 Tingkat Mudah

🟡 Tingkat Sedang

🔴 Tingkat Sulit

📝 Latihan Soal

🟢 Mudah

🟡 Sedang

🔴 Sulit

4. Lingkaran sebagai Tempat Kedudukan

📘 Materi

✏️ Contoh Soal

🟢 Tingkat Mudah

🟡 Tingkat Sedang

🔴 Tingkat Sulit

📝 Latihan Soal

🟢 Mudah

🟡 Sedang

🔴 Sulit

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed