Kaidah Pencacahan
Matematika — Peluang & Kombinatorika
1. Aturan Pengisian Tempat yang Tersedia
📖 Materi
Aturan pengisian tempat (filling slots rule) digunakan untuk menghitung banyaknya cara mengisi sejumlah tempat yang tersedia dengan syarat tertentu.
Aturan Perkalian:
Jika terdapat k tempat, di mana tempat ke-1 dapat diisi n₁ cara, tempat ke-2 dapat diisi n₂ cara, …, tempat ke-k dapat diisi nₖ cara, maka banyak cara mengisi seluruh tempat adalah:
n₁ × n₂ × n₃ × … × nₖ
Aturan Penjumlahan:
Jika suatu peristiwa dapat terjadi melalui cara A ATAU cara B (saling lepas), maka total cara = cara A + cara B.
Ilustrasi: 3 tempat dengan pilihan berbeda
✏️ Contoh Soal
MUDAH
1. Seseorang memiliki 3 kemeja dan 4 celana. Berapa banyak cara ia berpakaian?
Pembahasan:
Tempat 1 (kemeja) = 3 pilihan
Tempat 2 (celana) = 4 pilihan
Total cara = 3 × 4 = 12 cara
2. Dari kota A ke kota B ada 3 jalan, dari kota B ke kota C ada 2 jalan. Berapa cara perjalanan dari A ke C melalui B?
Pembahasan:
A→B = 3 cara, B→C = 2 cara
Total = 3 × 2 = 6 cara
3. Pelat nomor kendaraan terdiri dari 1 huruf (A-Z, 26 pilihan) dan 1 angka (0-9). Berapa banyak pelat yang mungkin?
Pembahasan:
Huruf = 26 pilihan, Angka = 10 pilihan
Total = 26 × 10 = 260 pelat
4. Sebuah restoran menyediakan 5 menu makanan dan 3 menu minuman. Berapa cara memilih 1 makanan dan 1 minuman?
Pembahasan:
Makanan = 5, Minuman = 3
Total = 5 × 3 = 15 cara
5. Ada 2 pintu masuk dan 3 pintu keluar sebuah gedung. Berapa cara seseorang masuk dan keluar?
Pembahasan:
Masuk = 2, Keluar = 3
Total = 2 × 3 = 6 cara
SEDANG
1. Berapa bilangan genap 3 angka yang dapat dibentuk dari angka 1, 2, 3, 4, 5 tanpa pengulangan?
Pembahasan:
Bilangan genap → angka terakhir harus genap (2 atau 4) → 2 pilihan
Angka pertama: dari 4 sisa angka (tidak boleh 0, tapi di sini semua ≥1) → 4 pilihan
Angka kedua: 3 sisa → 3 pilihan
Total = 4 × 3 × 2 = 24 bilangan
2. Kode PIN terdiri dari 4 digit angka (0-9). Jika tidak ada pengulangan, berapa banyak PIN yang mungkin?
Pembahasan:
Digit 1 = 10, Digit 2 = 9, Digit 3 = 8, Digit 4 = 7
Total = 10 × 9 × 8 × 7 = 5.040 PIN
3. Dari 5 orang akan dipilih ketua, wakil ketua, dan sekretaris. Berapa cara pemilihan?
Pembahasan:
Ketua = 5 pilihan, Wakil = 4 pilihan, Sekretaris = 3 pilihan
Total = 5 × 4 × 3 = 60 cara
4. Berapa bilangan 3 angka yang lebih besar dari 400 yang dapat dibentuk dari angka 1, 2, 3, 4, 5 tanpa pengulangan?
Pembahasan:
Angka pertama harus ≥ 4, maka pilihan: 4 atau 5 → 2 pilihan
Angka kedua: 4 sisa → 4 pilihan
Angka ketiga: 3 sisa → 3 pilihan
Total = 2 × 4 × 3 = 24 bilangan
5. Pelat nomor berisi 2 huruf diikuti 3 angka. Huruf boleh sama, angka tidak boleh sama. Berapa banyak pelat?
Pembahasan:
Huruf: 26 × 26 = 676
Angka: 10 × 9 × 8 = 720
Total = 676 × 720 = 486.720 pelat
SULIT
1. Berapa bilangan 4 angka genap yang dapat dibentuk dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5 tanpa pengulangan?
Pembahasan:
Bilangan 4 angka → angka pertama ≠ 0. Angka terakhir genap (0, 2, 4).
Kasus 1: Angka terakhir = 0
Angka pertama: 5 pilihan (1-5), kedua: 4, ketiga: 3
= 5 × 4 × 3 × 1 = 60
Kasus 2: Angka terakhir = 2 atau 4 (2 pilihan)
Angka pertama: 4 pilihan (1-5 kecuali yang dipakai terakhir, bukan 0), kedua: 4, ketiga: 3
= 4 × 4 × 3 × 2 = 96
Total = 60 + 96 = 156 bilangan
2. Lima orang duduk melingkar. Berapa banyak susunan jika 2 orang tertentu harus bersebelahan?
Pembahasan:
Anggap 2 orang yang bersebelahan sebagai 1 unit → ada 4 unit.
Susunan melingkar 4 unit = (4-1)! = 3! = 6
2 orang dalam unit bisa bertukar = 2! = 2
Total = 6 × 2 = 12 susunan
3. Dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5 akan dibentuk bilangan 3 angka yang habis dibagi 5 tanpa pengulangan. Berapa banyak?
Pembahasan:
Habis dibagi 5 → digit terakhir 0 atau 5.
Kasus 1: Digit terakhir = 0
Digit pertama: 5 pilihan (1-5), digit kedua: 4 pilihan
= 5 × 4 = 20
Kasus 2: Digit terakhir = 5
Digit pertama: 4 pilihan (1,2,3,4 — bukan 0 bukan 5), digit kedua: 4 pilihan
= 4 × 4 = 16
Total = 20 + 16 = 36 bilangan
4. Berapa banyak bilangan 5 angka yang angka-angkanya naik (dari kiri ke kanan) dari angka 1-9?
Pembahasan:
Jika angka harus naik, maka kita cukup memilih 5 angka dari 9 angka (1-9), dan urutannya pasti naik (hanya 1 cara urut).
Banyak cara = C(9,5) = 9!/(5!×4!) = 126
Total = 126 bilangan
5. Sebuah password terdiri dari 3 huruf berbeda diikuti 2 angka berbeda. Huruf pertama harus vokal. Berapa password yang mungkin?
Pembahasan:
Huruf pertama: vokal (A,I,U,E,O) = 5 pilihan
Huruf kedua: 25 sisa huruf, Huruf ketiga: 24 sisa
Angka pertama: 10, Angka kedua: 9
Total = 5 × 25 × 24 × 10 × 9 = 270.000 password
📝 Latihan Soal
MUDAH
1. Toko es krim menyediakan 6 rasa dan 3 jenis cone. Berapa cara memilih 1 rasa dan 1 cone?
2. Tersedia 4 warna baju dan 5 warna rok. Berapa pasangan yang mungkin?
3. Dari kota P ke Q ada 4 bus, dari Q ke R ada 3 bus. Berapa cara dari P ke R via Q?
4. Kode terdiri dari 1 huruf dan 1 angka. Berapa kode yang mungkin?
5. Sebuah dadu dan koin dilempar bersamaan. Berapa hasil yang mungkin?
SEDANG
1. Berapa bilangan ganjil 3 angka dari angka 1, 2, 3, 4, 5 tanpa pengulangan?
2. Dari 8 orang akan dipilih ketua dan wakil. Berapa cara?
3. Kode akses terdiri dari 3 huruf berbeda dan 2 angka berbeda. Berapa kode yang mungkin?
4. Berapa bilangan 3 angka antara 200 dan 500 dari angka 0-6 tanpa pengulangan?
5. Lima buku berbeda akan disusun di rak. Berapa susunan jika buku Matematika harus di ujung?
SULIT
1. Berapa bilangan 4 angka dari 0-7 tanpa pengulangan yang habis dibagi 4?
2. Enam orang duduk melingkar. Berapa susunan jika 3 orang tertentu tidak boleh bersebelahan?
3. Berapa bilangan 5 angka dari 1-9 (boleh ulang) yang jumlah digitnya genap?
4. Password 6 karakter: 2 huruf kapital, 2 huruf kecil, 2 angka (urutan bebas). Berapa kemungkinan?
5. Dari 10 titik di mana 4 titik segaris, berapa segitiga yang dapat dibentuk?
2. Permutasi
📖 Materi
Permutasi adalah susunan yang memperhatikan urutan. Pemilihan r objek dari n objek yang berbeda dengan memperhatikan urutan.
Permutasi n objek diambil r:
P(n, r) = n! / (n – r)!
Permutasi seluruh objek (r = n):
P(n, n) = n!
Permutasi Siklis (melingkar):
Psiklis = (n – 1)!
Permutasi dengan unsur yang sama:
n! / (n₁! × n₂! × … × nₖ!)
di mana n₁, n₂, …, nₖ adalah banyak unsur yang sama.
Tabel Faktorial:
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n! | 1 | 1 | 2 | 6 | 24 | 120 | 720 | 5040 | 40320 |
✏️ Contoh Soal
MUDAH
1. Berapa nilai P(5, 3)?
Pembahasan:
P(5,3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 120 / 2 = 60
2. Ada 6 pelari dalam lomba. Berapa cara menentukan juara 1, 2, dan 3?
Pembahasan:
P(6,3) = 6! / 3! = 720 / 6 = 120 cara
3. Berapa cara menyusun 4 buku berbeda di rak?
Pembahasan:
P(4,4) = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 cara
4. Berapa nilai P(7, 2)?
Pembahasan:
P(7,2) = 7! / 5! = 7 × 6 = 42
5. Dari 8 siswa dipilih ketua dan wakil ketua. Berapa cara?
Pembahasan:
P(8,2) = 8 × 7 = 56 cara
SEDANG
1. Berapa susunan huruf dari kata “BUKU”?
Pembahasan:
Kata BUKU: 4 huruf, huruf U muncul 2 kali.
Permutasi = 4! / 2! = 24 / 2 = 12 susunan
2. Lima orang duduk melingkar. Berapa susunan yang mungkin?
Pembahasan:
Permutasi siklis = (5-1)! = 4! = 24 susunan
3. Berapa susunan huruf dari kata “MAMA”?
Pembahasan:
MAMA: 4 huruf, M = 2 kali, A = 2 kali
= 4! / (2! × 2!) = 24 / 4 = 6 susunan
4. Delapan orang akan duduk di bangku panjang. Berapa susunan jika 2 orang tertentu harus berdampingan?
Pembahasan:
2 orang dijadikan 1 unit → ada 7 unit
Susunan 7 unit = 7! = 5040
2 orang dalam unit bisa bertukar = 2! = 2
Total = 5040 × 2 = 10.080 susunan
5. Berapa cara menyusun 5 buku di rak jika buku A harus di kiri buku B (tidak harus bersebelahan)?
Pembahasan:
Total susunan tanpa syarat = 5! = 120
Dari semua susunan, setengahnya A di kiri B dan setengahnya B di kiri A (simetris).
Jawaban = 120 / 2 = 60 susunan
SULIT
1. Berapa susunan huruf dari kata “MATEMATIKA”?
Pembahasan:
MATEMATIKA: 10 huruf
M = 2, A = 3, T = 2, E = 1, I = 1, K = 1
= 10! / (2! × 3! × 2!) = 3.628.800 / (2 × 6 × 2) = 3.628.800 / 24 = 151.200 susunan
2. Enam orang duduk melingkar di meja bundar. Berapa susunan jika 2 orang tertentu tidak boleh bersebelahan?
Pembahasan:
Total susunan melingkar = (6-1)! = 120
Susunan dengan 2 orang bersebelahan: anggap 1 unit → (5-1)! × 2! = 24 × 2 = 48
Tidak bersebelahan = 120 – 48 = 72 susunan
3. 4 buku Matematika dan 3 buku Fisika disusun di rak. Berapa susunan jika buku yang sama jenisnya harus berdampingan?
Pembahasan:
2 kelompok buku bisa diatur: 2! = 2 cara
Buku Mat saling diatur: 4! = 24
Buku Fis saling diatur: 3! = 6
Total = 2 × 24 × 6 = 288 susunan
4. Berapa susunan huruf kata “INDONESIA” jika huruf vokal harus menempati posisi ganjil?
Pembahasan:
INDONESIA: 9 huruf. Posisi ganjil: 1,3,5,7,9 (5 posisi).
Vokal: I, O, E, I, A → 5 vokal (I muncul 2 kali)
Konsonan: N, D, N, S → 4 konsonan (N muncul 2 kali)
Vokal di posisi ganjil: 5! / 2! = 60
Konsonan di posisi genap: 4! / 2! = 12
Total = 60 × 12 = 720 susunan
5. Berapa cara 8 orang (4 pria, 4 wanita) duduk melingkar jika pria dan wanita harus selang-seling?
Pembahasan:
Fiksasi 1 pria (permutasi siklis pria) = (4-1)! = 6
4 wanita mengisi 4 celah di antara pria = 4! = 24
Total = 6 × 24 = 144 susunan
📝 Latihan Soal
MUDAH
1. Hitung P(6, 4).
2. Berapa cara menyusun huruf A, B, C, D?
3. Dari 10 siswa dipilih ketua, wakil, sekretaris. Berapa cara?
4. Hitung P(9, 2).
5. Berapa cara 3 orang duduk di 5 kursi berjajar?
SEDANG
1. Berapa susunan huruf dari kata “PAPAYA”?
2. Tujuh orang duduk melingkar. Berapa susunan?
3. 6 orang duduk sebaris. Berapa susunan jika A dan B harus berdampingan?
4. Berapa susunan huruf “SUCCESS”?
5. 5 buku disusun di rak. Buku tertentu harus di posisi pertama atau terakhir. Berapa susunan?
SULIT
1. Berapa susunan huruf “MISSISSIPPI”?
2. 10 orang (5 pria, 5 wanita) duduk melingkar, pria-wanita selang-seling. Berapa susunan?
3. 7 orang duduk sebaris. Berapa susunan jika A, B, C tidak boleh berdampingan satu sama lain?
4. Berapa susunan huruf “PERMUTASI” jika vokal harus urut abjad?
5. 5 pasang suami istri duduk melingkar. Setiap pasangan harus berdampingan. Berapa susunan?
3. Kombinasi
📖 Materi
Kombinasi adalah pemilihan r objek dari n objek tanpa memperhatikan urutan.
Rumus Kombinasi:
C(n, r) = n! / (r! × (n – r)!)
Sifat-sifat Kombinasi:
- C(n, 0) = C(n, n) = 1
- C(n, 1) = C(n, n-1) = n
- C(n, r) = C(n, n-r)
- C(n, r) + C(n, r+1) = C(n+1, r+1)
Perbedaan Permutasi dan Kombinasi:
| Aspek | Permutasi | Kombinasi |
|---|---|---|
| Urutan | Diperhatikan | Tidak diperhatikan |
| Contoh | Susunan pengurus | Pemilihan tim |
| Rumus | n!/(n-r)! | n!/(r!(n-r)!) |
✏️ Contoh Soal
MUDAH
1. Hitung C(6, 2).
Pembahasan:
C(6,2) = 6! / (2! × 4!) = (6×5) / (2×1) = 30/2 = 15
2. Dari 7 siswa akan dipilih 3 orang menjadi panitia. Berapa cara?
Pembahasan:
C(7,3) = 7! / (3! × 4!) = (7×6×5) / (3×2×1) = 210/6 = 35 cara
3. Dari 10 buah, dipilih 4 untuk diberikan. Berapa cara?
Pembahasan:
C(10,4) = 10! / (4! × 6!) = (10×9×8×7) / (4×3×2×1) = 5040/24 = 210 cara
4. Hitung C(8, 6).
Pembahasan:
C(8,6) = C(8,2) = (8×7) / (2×1) = 28
5. Dari 5 warna, dipilih 2 untuk kombinasi. Berapa cara?
Pembahasan:
C(5,2) = (5×4) / (2×1) = 10 cara
SEDANG
1. Dari 6 pria dan 4 wanita, dipilih panitia 3 pria dan 2 wanita. Berapa cara?
Pembahasan:
Pilih pria: C(6,3) = 20
Pilih wanita: C(4,2) = 6
Total = 20 × 6 = 120 cara
2. Berapa segitiga yang dapat dibentuk dari 8 titik yang tidak ada 3 titik segaris?
Pembahasan:
Segitiga = pilih 3 titik = C(8,3) = (8×7×6)/(3×2×1) = 56 segitiga
3. Dari 12 orang, dipilih tim 5 orang yang harus menyertakan ketua kelas. Berapa cara?
Pembahasan:
Ketua kelas pasti terpilih. Pilih 4 dari 11 sisanya.
= C(11,4) = (11×10×9×8)/(4×3×2×1) = 330 cara
4. Berapa diagonal yang dapat dibuat dari segi-10?
Pembahasan:
Total garis = C(10,2) = 45
Sisi = 10
Diagonal = 45 – 10 = 35 diagonal
5. Dari 9 buku berbeda, dipilih 4 buku. Berapa cara jika buku tertentu harus terpilih?
Pembahasan:
1 buku pasti terpilih. Pilih 3 dari 8 sisa.
= C(8,3) = 56 cara. 56 cara
SULIT
1. Dari 7 pria dan 5 wanita, dipilih panitia 5 orang dengan minimal 2 wanita. Berapa cara?
Pembahasan:
Kasus 2W, 3P: C(5,2) × C(7,3) = 10 × 35 = 350
Kasus 3W, 2P: C(5,3) × C(7,2) = 10 × 21 = 210
Kasus 4W, 1P: C(5,4) × C(7,1) = 5 × 7 = 35
Kasus 5W, 0P: C(5,5) × C(7,0) = 1 × 1 = 1
Total = 350 + 210 + 35 + 1 = 596 cara
2. Berapa cara memilih 4 kartu dari 52 kartu sehingga tepat 2 kartu berwarna merah?
Pembahasan:
Kartu merah = 26, kartu hitam = 26
Pilih 2 merah: C(26,2) = 325
Pilih 2 hitam: C(26,2) = 325
Total = 325 × 325 = 105.625 cara
3. Dari 10 titik di mana 4 titik segaris, berapa segi empat yang bisa dibentuk?
Pembahasan:
Segi empat = pilih 4 titik (tidak ada 3 segaris dari 4 titik yang dipilih).
Total pilih 4 dari 10: C(10,4) = 210
Pilih 4 titik yang 4-nya segaris: C(4,4) = 1 (tidak membentuk segi empat)
Pilih 3 dari 4 segaris + 1 lainnya: C(4,3) × C(6,1) = 4 × 6 = 24 (tidak membentuk segi empat)
Segi empat = 210 – 1 – 24 = 185 segi empat
4. Tim basket 5 orang dipilih dari 12 pemain (3 center, 4 forward, 5 guard). Tim harus punya minimal 1 dari tiap posisi. Berapa cara?
Pembahasan:
Total tanpa syarat: C(12,5) = 792
Tanpa center: C(9,5) = 126
Tanpa forward: C(8,5) = 56
Tanpa guard: C(7,5) = 21
Tanpa center & forward: C(5,5) = 1
Tanpa center & guard: C(4,5) = 0
Tanpa forward & guard: C(3,5) = 0
Inklusi-eksklusi: 792 – 126 – 56 – 21 + 1 + 0 + 0 = 590 cara
5. Berapa cara membagikan 10 buku berbeda ke 3 anak masing-masing mendapat 4, 3, dan 3 buku?
Pembahasan:
Pilih 4 buku untuk anak 1: C(10,4) = 210
Pilih 3 buku untuk anak 2: C(6,3) = 20
Sisanya 3 buku untuk anak 3: C(3,3) = 1
Total = 210 × 20 × 1 = 4.200 cara
📝 Latihan Soal
MUDAH
1. Hitung C(9, 3).
2. Dari 8 buah dipilih 5. Berapa cara?
3. Berapa garis lurus dari 6 titik (tidak ada 3 segaris)?
4. Hitung C(10, 7).
5. Dari 6 mata pelajaran, siswa memilih 4. Berapa cara?
SEDANG
1. Dari 5 pria dan 6 wanita, dipilih tim 4 orang dengan 2 pria dan 2 wanita. Berapa cara?
2. Berapa segitiga dari 9 titik jika 3 titik segaris?
3. Dari 15 soal ujian, siswa harus menjawab 10 termasuk 3 soal pertama yang wajib. Berapa cara?
4. Berapa diagonal segi-12?
5. Dari 8 orang, dibentuk 2 kelompok masing-masing 4 orang. Berapa cara?
SULIT
1. Dari 8 pria dan 6 wanita, dipilih panitia 6 orang dengan minimal 3 pria. Berapa cara?
2. Berapa cara memilih 5 kartu dari 52 kartu dengan tepat 1 AS?
3. Dari 12 titik (5 segaris), berapa segitiga yang bisa dibentuk?
4. 20 orang dibagi 4 kelompok @ 5 orang. Berapa cara?
5. Berapa bilangan subset dari himpunan {1,2,…,10} yang memuat tepat 3 bilangan genap?
4. Binom Newton
📖 Materi
Binom Newton (Binomial Theorem) memberikan cara untuk mengembangkan bentuk (a + b)ⁿ.
Rumus Binom Newton:
(a + b)ⁿ = Σ C(n, k) × aⁿ⁻ᵏ × bᵏ
untuk k = 0, 1, 2, …, n
Bentuk Lengkap:
(a + b)ⁿ = C(n,0)aⁿ + C(n,1)aⁿ⁻¹b + C(n,2)aⁿ⁻²b² + … + C(n,n)bⁿ
Suku ke-(k+1):
Tk+1 = C(n, k) × aⁿ⁻ᵏ × bᵏ
Segitiga Pascal (Koefisien Binom):
n=0: 1
n=1: 1 1
n=2: 1 2 1
n=3: 1 3 3 1
n=4: 1 4 6 4 1
n=5: 1 5 10 10 5 1
Sifat Penting:
- Jumlah semua koefisien: substitusi a=1, b=1 → 2ⁿ
- Jumlah koefisien genap = jumlah koefisien ganjil = 2ⁿ⁻¹
- (a – b)ⁿ → ganti b dengan (-b), suku genap negatif
✏️ Contoh Soal
MUDAH
1. Jabarkan (a + b)³.
Pembahasan:
= C(3,0)a³ + C(3,1)a²b + C(3,2)ab² + C(3,3)b³
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³
2. Jabarkan (x + y)⁴.
Pembahasan:
= x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴
Koefisien dari segitiga Pascal baris ke-4: 1, 4, 6, 4, 1
3. Tentukan koefisien x² dalam (x + 1)⁵.
Pembahasan:
Suku dengan x²: Tk+1 = C(5,k) × x⁵⁻ᵏ × 1ᵏ
x⁵⁻ᵏ = x² → k = 3
Koefisien = C(5,3) = 10
4. Jabarkan (1 + x)³.
Pembahasan:
= 1 + 3x + 3x² + x³
5. Berapa jumlah koefisien dalam penjabaran (a + b)⁶?
Pembahasan:
Jumlah koefisien = 2⁶ = 64
(substitusi a = 1, b = 1)
SEDANG
1. Tentukan suku ke-4 dari (2x + 3)⁶.
Pembahasan:
T₄ = T3+1 → k = 3
T₄ = C(6,3) × (2x)³ × 3³
= 20 × 8x³ × 27 = 4320x³
2. Tentukan koefisien x³ dalam (2x – 1)⁵.
Pembahasan:
Tk+1 = C(5,k) × (2x)⁵⁻ᵏ × (-1)ᵏ
(2x)⁵⁻ᵏ memuat x⁵⁻ᵏ. Untuk x³ → k = 2
T₃ = C(5,2) × (2x)³ × (-1)² = 10 × 8x³ × 1 = 80x³
Koefisien = 80
3. Jabarkan (x – 2)⁴.
Pembahasan:
= C(4,0)x⁴(-2)⁰ + C(4,1)x³(-2)¹ + C(4,2)x²(-2)² + C(4,3)x(-2)³ + C(4,4)(-2)⁴
= x⁴ – 8x³ + 24x² – 32x + 16
4. Tentukan suku tengah dari (x + 2)⁶.
Pembahasan:
n = 6 (genap), suku tengah = suku ke-(n/2 + 1) = suku ke-4
T₄ = C(6,3) × x³ × 2³ = 20 × x³ × 8 = 160x³
5. Tentukan koefisien x⁴ dalam (x² + 1)⁵.
Pembahasan:
Tk+1 = C(5,k) × (x²)⁵⁻ᵏ × 1ᵏ = C(5,k) × x¹⁰⁻²ᵏ
Untuk x⁴: 10 – 2k = 4 → k = 3
Koefisien = C(5,3) = 10
SULIT
1. Tentukan suku yang memuat x² dalam (x² – 1/x)⁹.
Pembahasan:
Tk+1 = C(9,k) × (x²)⁹⁻ᵏ × (-1/x)ᵏ
= C(9,k) × (-1)ᵏ × x¹⁸⁻²ᵏ × x⁻ᵏ
= C(9,k) × (-1)ᵏ × x¹⁸⁻³ᵏ
Untuk x²: 18 – 3k = 2 → k = 16/3 (bukan bulat)
Tidak ada suku yang memuat tepat x². Tidak ada.
2. Tentukan suku yang tidak memuat x dalam (x² – 2/x)⁶.
Pembahasan:
Tk+1 = C(6,k) × (x²)⁶⁻ᵏ × (-2/x)ᵏ
= C(6,k) × (-2)ᵏ × x¹²⁻²ᵏ⁻ᵏ = C(6,k) × (-2)ᵏ × x¹²⁻³ᵏ
Tidak memuat x → 12 – 3k = 0 → k = 4
T₅ = C(6,4) × (-2)⁴ = 15 × 16 = 240
3. Jika (1 + x)ⁿ, koefisien suku ke-3 adalah 36. Tentukan n.
Pembahasan:
Suku ke-3: T₃ = C(n,2) × x²
C(n,2) = 36
n(n-1)/2 = 36 → n(n-1) = 72 → n² – n – 72 = 0
(n-9)(n+8) = 0 → n = 9
4. Tentukan koefisien x⁵ dalam (1 + x)³(1 + x)⁷.
Pembahasan:
(1+x)³ × (1+x)⁷ = (1+x)¹⁰
Koefisien x⁵ = C(10,5) = 252
5. Tentukan jumlah semua koefisien dalam penjabaran (2x – 3)⁸.
Pembahasan:
Jumlah koefisien = substitusi x = 1:
(2(1) – 3)⁸ = (-1)⁸ = 1
📝 Latihan Soal
MUDAH
1. Jabarkan (a + b)⁵.
2. Tentukan koefisien x³ dalam (x + 1)⁶.
3. Jabarkan (1 – x)⁴.
4. Tentukan suku ke-3 dari (a + b)⁷.
5. Berapa banyak suku dalam penjabaran (x + y)⁸?
SEDANG
1. Tentukan koefisien x⁴ dalam (3x – 2)⁶.
2. Tentukan suku tengah dari (2x + 1)⁸.
3. Jabarkan (x – 3)⁵ dan tentukan koefisien x².
4. Tentukan koefisien x³y⁴ dalam (x + y)⁷.
5. Jika suku ke-4 dari (x + a)⁸ adalah 1792x⁵, tentukan a.
SULIT
1. Tentukan suku bebas x (konstanta) dalam (x – 3/x²)⁹.
2. Tentukan n jika koefisien x³ dalam (1 + 2x)ⁿ adalah 80.
3. Tentukan koefisien x⁶ dalam (1 + x + x²)⁵. (Petunjuk: tulis sebagai ((1+x) + x²)⁵)
4. Buktikan C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + … + C(n,n) = 2ⁿ menggunakan binom Newton.
5. Tentukan 3 suku pertama dari (1 + x)¹⁰(1 – x)¹⁰.