Limit Fungsi yang Mengarah ke Konsep Turunan
Matematika Kelas XI — Materi, Contoh Soal & Latihan
1. Pengertian Limit Fungsi
Limit fungsi menyatakan nilai yang didekati oleh suatu fungsi ketika variabelnya mendekati suatu nilai tertentu. Secara formal:
Artinya: ketika \(x\) mendekati \(a\), nilai \(f(x)\) mendekati \(L\).
2. Limit dan Konsep Turunan (Derivatif)
Turunan fungsi \(f(x)\) di titik \(x = a\) didefinisikan sebagai limit dari laju perubahan rata-rata:
Atau bentuk ekuivalen:
Secara geometris, turunan adalah gradien garis singgung kurva \(y = f(x)\) di titik \((a, f(a))\).
3. Ilustrasi Geometris
Perhatikan ilustrasi berikut yang menunjukkan garis potong mendekati garis singgung:
Ketika \(h \to 0\), garis potong (kuning putus-putus) mendekati garis singgung (hijau).
4. Tabel Pendekatan Nilai Limit
Contoh: \(f(x) = x^2\), cari \(f'(2)\) menggunakan tabel pendekatan \(h \to 0\):
| \(h\) | \(f(2+h)\) | \(\frac{f(2+h)-f(2)}{h}\) |
|---|---|---|
| 1 | 9 | 5 |
| 0.1 | 4.41 | 4.1 |
| 0.01 | 4.0401 | 4.01 |
| 0.001 | 4.004001 | 4.001 |
| → 0 | → 4 | → 4 |
Kesimpulan: \(f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^2 – 4}{h} = 4\)
5. Rumus-Rumus Turunan Dasar
Contoh Soal & Pembahasan
MUDAHContoh Soal Tingkat Mudah
Contoh 1
Tentukan \(f'(x)\) dari \(f(x) = 3x + 5\) menggunakan definisi limit turunan.
\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h}\]
\[= \lim_{h \to 0} \frac{[3(x+h)+5] – [3x+5]}{h}\]
\[= \lim_{h \to 0} \frac{3x + 3h + 5 – 3x – 5}{h}\]
\[= \lim_{h \to 0} \frac{3h}{h} = \lim_{h \to 0} 3 = 3\]
Jawaban: \(f'(x) = 3\)
Contoh 2
Tentukan \(f'(x)\) dari \(f(x) = x^2\) menggunakan definisi limit.
\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 – x^2}{h}\]
\[= \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 – x^2}{h}\]
\[= \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x\]
Jawaban: \(f'(x) = 2x\)
Contoh 3
Tentukan \(f'(1)\) jika \(f(x) = 4x – 1\).
\[f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) – f(1)}{h}\]
\[= \lim_{h \to 0} \frac{[4(1+h)-1] – [4(1)-1]}{h}\]
\[= \lim_{h \to 0} \frac{4+4h-1-3}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{4h}{h} = 4\]
Jawaban: \(f'(1) = 4\)
Contoh 4
Tentukan \(f'(x)\) dari \(f(x) = 5\) (fungsi konstan).
\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{5-5}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = 0\]
Jawaban: \(f'(x) = 0\)
Contoh 5
Tentukan \(f'(x)\) dari \(f(x) = 2x^2 + 1\) menggunakan definisi limit.
\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{[2(x+h)^2+1]-[2x^2+1]}{h}\]
\[= \lim_{h \to 0} \frac{2x^2+4xh+2h^2+1-2x^2-1}{h}\]
\[= \lim_{h \to 0} \frac{4xh+2h^2}{h} = \lim_{h \to 0}(4x+2h) = 4x\]
Jawaban: \(f'(x) = 4x\)
SEDANGContoh Soal Tingkat Sedang
Contoh 6
Tentukan \(f'(x)\) dari \(f(x) = x^3\) menggunakan definisi limit.
\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3 – x^3}{h}\]
Ekspansi: \((x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3\)
\[= \lim_{h \to 0} \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} = \lim_{h \to 0}(3x^2 + 3xh + h^2) = 3x^2\]
Jawaban: \(f'(x) = 3x^2\)
Contoh 7
Tentukan \(f'(x)\) dari \(f(x) = \frac{1}{x}\) menggunakan definisi limit.
\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x+h} – \frac{1}{x}}{h}\]
\[= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h \cdot x(x+h)}\]
\[= \lim_{h \to 0} \frac{-1}{x(x+h)} = \frac{-1}{x^2}\]
Jawaban: \(f'(x) = -\frac{1}{x^2}\)
Contoh 8
Tentukan \(f'(x)\) dari \(f(x) = \sqrt{x}\) menggunakan definisi limit.
\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} – \sqrt{x}}{h}\]
Kalikan sekawan:
\[= \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\]
\[= \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]
Jawaban: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
Contoh 9
Tentukan gradien garis singgung kurva \(y = x^2 – 3x + 2\) di titik \(x = 2\).
\[f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h}\]
\(f(2) = 4-6+2 = 0\)
\(f(2+h) = (2+h)^2 – 3(2+h)+2 = 4+4h+h^2-6-3h+2 = h^2+h\)
\[f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{h^2+h-0}{h} = \lim_{h \to 0}(h+1) = 1\]
Jawaban: Gradien = 1
Contoh 10
Tentukan \(f'(x)\) dari \(f(x) = x^2 + 4x\) menggunakan definisi limit, lalu hitung \(f'(3)\).
\[f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{[(x+h)^2+4(x+h)]-[x^2+4x]}{h}\]
\[= \lim_{h \to 0}\frac{2xh+h^2+4h}{h} = \lim_{h \to 0}(2x+h+4) = 2x+4\]
\(f'(3) = 2(3)+4 = 10\)
Jawaban: \(f'(x) = 2x+4\), \(f'(3) = 10\)
SULITContoh Soal Tingkat Sulit
Contoh 11
Tentukan \(f'(x)\) dari \(f(x) = \frac{x}{x+1}\) menggunakan definisi limit.
\[f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{\frac{x+h}{x+h+1} – \frac{x}{x+1}}{h}\]
Samakan penyebut pembilang:
\[= \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)(x+1) – x(x+h+1)}{h(x+h+1)(x+1)}\]
\[= \lim_{h \to 0}\frac{x^2+x+hx+h – x^2-hx-x}{h(x+h+1)(x+1)}\]
\[= \lim_{h \to 0}\frac{h}{h(x+h+1)(x+1)} = \frac{1}{(x+1)^2}\]
Jawaban: \(f'(x) = \frac{1}{(x+1)^2}\)
Contoh 12
Tentukan \(f'(x)\) dari \(f(x) = \sqrt{2x+1}\) menggunakan definisi limit.
\[f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{2(x+h)+1}-\sqrt{2x+1}}{h}\]
Kalikan sekawan:
\[= \lim_{h \to 0}\frac{[2(x+h)+1]-[2x+1]}{h[\sqrt{2x+2h+1}+\sqrt{2x+1}]}\]
\[= \lim_{h \to 0}\frac{2h}{h[\sqrt{2x+2h+1}+\sqrt{2x+1}]} = \frac{2}{2\sqrt{2x+1}} = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}\]
Jawaban: \(f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}\)
Contoh 13
Tentukan \(f'(x)\) dari \(f(x) = x^2 \cdot \sqrt{x}\) menggunakan definisi limit di \(x = 4\).
Tulis ulang: \(f(x) = x^{5/2}\)
\[f'(4) = \lim_{x \to 4}\frac{x^{5/2}-4^{5/2}}{x-4} = \lim_{x \to 4}\frac{x^{5/2}-32}{x-4}\]
Substitusi \(u = \sqrt{x}\), jadi \(x = u^2\), \(x \to 4 \Rightarrow u \to 2\):
\[= \lim_{u \to 2}\frac{u^5-32}{u^2-4} = \lim_{u \to 2}\frac{(u-2)(u^4+2u^3+4u^2+8u+16)}{(u-2)(u+2)}\]
\[= \frac{16+16+16+16+16}{4} = \frac{80}{4} = 20\]
Jawaban: \(f'(4) = 20\)
Contoh 14
Tentukan persamaan garis singgung kurva \(y = \frac{1}{x^2}\) di titik \(x = 1\).
Titik singgung: \((1, 1)\)
\[f'(1) = \lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{(1+h)^2}-1}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{1-(1+h)^2}{h(1+h)^2}\]
\[= \lim_{h \to 0}\frac{1-1-2h-h^2}{h(1+h)^2} = \lim_{h \to 0}\frac{-2h-h^2}{h(1+h)^2}\]
\[= \lim_{h \to 0}\frac{-2-h}{(1+h)^2} = \frac{-2}{1} = -2\]
Persamaan garis singgung: \(y – 1 = -2(x-1)\) → \(y = -2x + 3\)
Jawaban: \(y = -2x + 3\)
Contoh 15
Jika \(f(x) = x^3 – 2x^2 + x\), tentukan titik-titik di mana garis singgung horizontal (gradien = 0).
Cari \(f'(x)\) menggunakan limit:
\[f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{[(x+h)^3-2(x+h)^2+(x+h)]-[x^3-2x^2+x]}{h}\]
Setelah ekspansi dan penyederhanaan:
\[f'(x) = 3x^2 – 4x + 1\]
Syarat gradien = 0: \(3x^2 – 4x + 1 = 0\)
\((3x-1)(x-1) = 0\) → \(x = \frac{1}{3}\) atau \(x = 1\)
\(f(\frac{1}{3}) = \frac{1}{27}-\frac{2}{9}+\frac{1}{3} = \frac{4}{27}\)
\(f(1) = 1-2+1 = 0\)
Jawaban: Titik \((\frac{1}{3}, \frac{4}{27})\) dan \((1, 0)\)
Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan contoh soal di atas.
MUDAHLatihan Tingkat Mudah
1. Tentukan \(f'(x)\) dari \(f(x) = 7x – 2\) menggunakan definisi limit turunan.
2. Tentukan \(f'(x)\) dari \(f(x) = -3x + 10\) menggunakan definisi limit turunan.
3. Tentukan \(f'(2)\) jika \(f(x) = x^2 + 1\).
4. Tentukan \(f'(x)\) dari \(f(x) = 5x^2\) menggunakan definisi limit.
5. Tentukan \(f'(0)\) jika \(f(x) = x^2 – 4x + 3\).
SEDANGLatihan Tingkat Sedang
6. Tentukan \(f'(x)\) dari \(f(x) = x^3 + 2x\) menggunakan definisi limit.
7. Tentukan \(f'(x)\) dari \(f(x) = \frac{2}{x}\) menggunakan definisi limit.
8. Tentukan gradien garis singgung kurva \(y = x^2 + 2x – 1\) di titik \(x = 3\).
9. Tentukan \(f'(x)\) dari \(f(x) = \sqrt{3x}\) menggunakan definisi limit.
10. Tentukan \(f'(x)\) dari \(f(x) = x^2 – \frac{1}{x}\) menggunakan definisi limit.
SULITLatihan Tingkat Sulit
11. Tentukan \(f'(x)\) dari \(f(x) = \frac{2x+1}{x-1}\) menggunakan definisi limit.
12. Tentukan \(f'(x)\) dari \(f(x) = \sqrt{x^2+1}\) menggunakan definisi limit.
13. Tentukan persamaan garis singgung kurva \(y = x^3 – x\) di titik \((1, 0)\).
14. Tentukan \(f'(x)\) dari \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+2}}\) menggunakan definisi limit.
15. Jika \(f(x) = x^4 – 4x^2\), tentukan semua titik di mana garis singgung kurva memiliki gradien = 0.