Epres Math – Peluang

Kaidah Pencacahan

Matematika — Peluang & Kombinatorika

1. Aturan Pengisian Tempat yang Tersedia

📖 Materi

Aturan pengisian tempat (filling slots rule) digunakan untuk menghitung banyaknya cara mengisi sejumlah tempat yang tersedia dengan syarat tertentu.

Aturan Perkalian:

Jika terdapat k tempat, di mana tempat ke-1 dapat diisi n₁ cara, tempat ke-2 dapat diisi n₂ cara, …, tempat ke-k dapat diisi nₖ cara, maka banyak cara mengisi seluruh tempat adalah:

n₁ × n₂ × n₃ × … × nₖ

Aturan Penjumlahan:

Jika suatu peristiwa dapat terjadi melalui cara A ATAU cara B (saling lepas), maka total cara = cara A + cara B.

Ilustrasi: 3 tempat dengan pilihan berbeda

Tempat 1

pilihan

Tempat 2

pilihan

Tempat 3

pilihan

Total

cara

✏️ Contoh Soal

MUDAH

1. Seseorang memiliki 3 kemeja dan 4 celana. Berapa banyak cara ia berpakaian?

Pembahasan:

Tempat 1 (kemeja) = 3 pilihan

Tempat 2 (celana) = 4 pilihan

Total cara = 3 × 4 = 12 cara

2. Dari kota A ke kota B ada 3 jalan, dari kota B ke kota C ada 2 jalan. Berapa cara perjalanan dari A ke C melalui B?

Pembahasan:

A→B = 3 cara, B→C = 2 cara

Total = 3 × 2 = 6 cara

3. Pelat nomor kendaraan terdiri dari 1 huruf (A-Z, 26 pilihan) dan 1 angka (0-9). Berapa banyak pelat yang mungkin?

Pembahasan:

Huruf = 26 pilihan, Angka = 10 pilihan

Total = 26 × 10 = 260 pelat

4. Sebuah restoran menyediakan 5 menu makanan dan 3 menu minuman. Berapa cara memilih 1 makanan dan 1 minuman?

Pembahasan:

Makanan = 5, Minuman = 3

Total = 5 × 3 = 15 cara

5. Ada 2 pintu masuk dan 3 pintu keluar sebuah gedung. Berapa cara seseorang masuk dan keluar?

Pembahasan:

Masuk = 2, Keluar = 3

Total = 2 × 3 = 6 cara

SEDANG

1. Berapa bilangan genap 3 angka yang dapat dibentuk dari angka 1, 2, 3, 4, 5 tanpa pengulangan?

Pembahasan:

Bilangan genap → angka terakhir harus genap (2 atau 4) → 2 pilihan

Angka pertama: dari 4 sisa angka (tidak boleh 0, tapi di sini semua ≥1) → 4 pilihan

Angka kedua: 3 sisa → 3 pilihan

Total = 4 × 3 × 2 = 24 bilangan

2. Kode PIN terdiri dari 4 digit angka (0-9). Jika tidak ada pengulangan, berapa banyak PIN yang mungkin?

Pembahasan:

Digit 1 = 10, Digit 2 = 9, Digit 3 = 8, Digit 4 = 7

Total = 10 × 9 × 8 × 7 = 5.040 PIN

3. Dari 5 orang akan dipilih ketua, wakil ketua, dan sekretaris. Berapa cara pemilihan?

Pembahasan:

Ketua = 5 pilihan, Wakil = 4 pilihan, Sekretaris = 3 pilihan

Total = 5 × 4 × 3 = 60 cara

4. Berapa bilangan 3 angka yang lebih besar dari 400 yang dapat dibentuk dari angka 1, 2, 3, 4, 5 tanpa pengulangan?

Pembahasan:

Angka pertama harus ≥ 4, maka pilihan: 4 atau 5 → 2 pilihan

Angka kedua: 4 sisa → 4 pilihan

Angka ketiga: 3 sisa → 3 pilihan

Total = 2 × 4 × 3 = 24 bilangan

5. Pelat nomor berisi 2 huruf diikuti 3 angka. Huruf boleh sama, angka tidak boleh sama. Berapa banyak pelat?

Pembahasan:

Huruf: 26 × 26 = 676

Angka: 10 × 9 × 8 = 720

Total = 676 × 720 = 486.720 pelat

SULIT

1. Berapa bilangan 4 angka genap yang dapat dibentuk dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5 tanpa pengulangan?

Pembahasan:

Bilangan 4 angka → angka pertama ≠ 0. Angka terakhir genap (0, 2, 4).

Kasus 1: Angka terakhir = 0

Angka pertama: 5 pilihan (1-5), kedua: 4, ketiga: 3

= 5 × 4 × 3 × 1 = 60

Kasus 2: Angka terakhir = 2 atau 4 (2 pilihan)

Angka pertama: 4 pilihan (1-5 kecuali yang dipakai terakhir, bukan 0), kedua: 4, ketiga: 3

= 4 × 4 × 3 × 2 = 96

Total = 60 + 96 = 156 bilangan

2. Lima orang duduk melingkar. Berapa banyak susunan jika 2 orang tertentu harus bersebelahan?

Pembahasan:

Anggap 2 orang yang bersebelahan sebagai 1 unit → ada 4 unit.

Susunan melingkar 4 unit = (4-1)! = 3! = 6

2 orang dalam unit bisa bertukar = 2! = 2

Total = 6 × 2 = 12 susunan

3. Dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5 akan dibentuk bilangan 3 angka yang habis dibagi 5 tanpa pengulangan. Berapa banyak?

Pembahasan:

Habis dibagi 5 → digit terakhir 0 atau 5.

Kasus 1: Digit terakhir = 0

Digit pertama: 5 pilihan (1-5), digit kedua: 4 pilihan

= 5 × 4 = 20

Kasus 2: Digit terakhir = 5

Digit pertama: 4 pilihan (1,2,3,4 — bukan 0 bukan 5), digit kedua: 4 pilihan

= 4 × 4 = 16

Total = 20 + 16 = 36 bilangan

4. Berapa banyak bilangan 5 angka yang angka-angkanya naik (dari kiri ke kanan) dari angka 1-9?

Pembahasan:

Jika angka harus naik, maka kita cukup memilih 5 angka dari 9 angka (1-9), dan urutannya pasti naik (hanya 1 cara urut).

Banyak cara = C(9,5) = 9!/(5!×4!) = 126

Total = 126 bilangan

5. Sebuah password terdiri dari 3 huruf berbeda diikuti 2 angka berbeda. Huruf pertama harus vokal. Berapa password yang mungkin?

Pembahasan:

Huruf pertama: vokal (A,I,U,E,O) = 5 pilihan

Huruf kedua: 25 sisa huruf, Huruf ketiga: 24 sisa

Angka pertama: 10, Angka kedua: 9

Total = 5 × 25 × 24 × 10 × 9 = 270.000 password

📝 Latihan Soal

MUDAH

1. Toko es krim menyediakan 6 rasa dan 3 jenis cone. Berapa cara memilih 1 rasa dan 1 cone?

2. Tersedia 4 warna baju dan 5 warna rok. Berapa pasangan yang mungkin?

3. Dari kota P ke Q ada 4 bus, dari Q ke R ada 3 bus. Berapa cara dari P ke R via Q?

4. Kode terdiri dari 1 huruf dan 1 angka. Berapa kode yang mungkin?

5. Sebuah dadu dan koin dilempar bersamaan. Berapa hasil yang mungkin?

SEDANG

1. Berapa bilangan ganjil 3 angka dari angka 1, 2, 3, 4, 5 tanpa pengulangan?

2. Dari 8 orang akan dipilih ketua dan wakil. Berapa cara?

3. Kode akses terdiri dari 3 huruf berbeda dan 2 angka berbeda. Berapa kode yang mungkin?

4. Berapa bilangan 3 angka antara 200 dan 500 dari angka 0-6 tanpa pengulangan?

5. Lima buku berbeda akan disusun di rak. Berapa susunan jika buku Matematika harus di ujung?

SULIT

1. Berapa bilangan 4 angka dari 0-7 tanpa pengulangan yang habis dibagi 4?

2. Enam orang duduk melingkar. Berapa susunan jika 3 orang tertentu tidak boleh bersebelahan?

3. Berapa bilangan 5 angka dari 1-9 (boleh ulang) yang jumlah digitnya genap?

4. Password 6 karakter: 2 huruf kapital, 2 huruf kecil, 2 angka (urutan bebas). Berapa kemungkinan?

5. Dari 10 titik di mana 4 titik segaris, berapa segitiga yang dapat dibentuk?

2. Permutasi

📖 Materi

Permutasi adalah susunan yang memperhatikan urutan. Pemilihan r objek dari n objek yang berbeda dengan memperhatikan urutan.

Permutasi n objek diambil r:

P(n, r) = n! / (n – r)!

Permutasi seluruh objek (r = n):

P(n, n) = n!

Permutasi Siklis (melingkar):

P_siklis = (n – 1)!

Permutasi dengan unsur yang sama:

n! / (n₁! × n₂! × … × nₖ!)

di mana n₁, n₂, …, nₖ adalah banyak unsur yang sama.

Tabel Faktorial:

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8
n!	1	1	2	6	24	120	720	5040	40320

✏️ Contoh Soal

MUDAH

1. Berapa nilai P(5, 3)?

Pembahasan:

P(5,3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 120 / 2 = 60

2. Ada 6 pelari dalam lomba. Berapa cara menentukan juara 1, 2, dan 3?

Pembahasan:

P(6,3) = 6! / 3! = 720 / 6 = 120 cara

3. Berapa cara menyusun 4 buku berbeda di rak?

Pembahasan:

P(4,4) = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 cara

4. Berapa nilai P(7, 2)?

Pembahasan:

P(7,2) = 7! / 5! = 7 × 6 = 42

5. Dari 8 siswa dipilih ketua dan wakil ketua. Berapa cara?

Pembahasan:

P(8,2) = 8 × 7 = 56 cara

SEDANG

1. Berapa susunan huruf dari kata “BUKU”?

Pembahasan:

Kata BUKU: 4 huruf, huruf U muncul 2 kali.

Permutasi = 4! / 2! = 24 / 2 = 12 susunan

2. Lima orang duduk melingkar. Berapa susunan yang mungkin?

Pembahasan:

Permutasi siklis = (5-1)! = 4! = 24 susunan

3. Berapa susunan huruf dari kata “MAMA”?

Pembahasan:

MAMA: 4 huruf, M = 2 kali, A = 2 kali

= 4! / (2! × 2!) = 24 / 4 = 6 susunan

4. Delapan orang akan duduk di bangku panjang. Berapa susunan jika 2 orang tertentu harus berdampingan?

Pembahasan:

2 orang dijadikan 1 unit → ada 7 unit

Susunan 7 unit = 7! = 5040

2 orang dalam unit bisa bertukar = 2! = 2

Total = 5040 × 2 = 10.080 susunan

5. Berapa cara menyusun 5 buku di rak jika buku A harus di kiri buku B (tidak harus bersebelahan)?

Pembahasan:

Total susunan tanpa syarat = 5! = 120

Dari semua susunan, setengahnya A di kiri B dan setengahnya B di kiri A (simetris).

Jawaban = 120 / 2 = 60 susunan

SULIT

1. Berapa susunan huruf dari kata “MATEMATIKA”?

Pembahasan:

MATEMATIKA: 10 huruf

M = 2, A = 3, T = 2, E = 1, I = 1, K = 1

= 10! / (2! × 3! × 2!) = 3.628.800 / (2 × 6 × 2) = 3.628.800 / 24 = 151.200 susunan

2. Enam orang duduk melingkar di meja bundar. Berapa susunan jika 2 orang tertentu tidak boleh bersebelahan?

Pembahasan:

Total susunan melingkar = (6-1)! = 120

Susunan dengan 2 orang bersebelahan: anggap 1 unit → (5-1)! × 2! = 24 × 2 = 48

Tidak bersebelahan = 120 – 48 = 72 susunan

3. 4 buku Matematika dan 3 buku Fisika disusun di rak. Berapa susunan jika buku yang sama jenisnya harus berdampingan?

Pembahasan:

2 kelompok buku bisa diatur: 2! = 2 cara

Buku Mat saling diatur: 4! = 24

Buku Fis saling diatur: 3! = 6

Total = 2 × 24 × 6 = 288 susunan

4. Berapa susunan huruf kata “INDONESIA” jika huruf vokal harus menempati posisi ganjil?

Pembahasan:

INDONESIA: 9 huruf. Posisi ganjil: 1,3,5,7,9 (5 posisi).

Vokal: I, O, E, I, A → 5 vokal (I muncul 2 kali)

Konsonan: N, D, N, S → 4 konsonan (N muncul 2 kali)

Vokal di posisi ganjil: 5! / 2! = 60

Konsonan di posisi genap: 4! / 2! = 12

Total = 60 × 12 = 720 susunan

5. Berapa cara 8 orang (4 pria, 4 wanita) duduk melingkar jika pria dan wanita harus selang-seling?

Pembahasan:

Fiksasi 1 pria (permutasi siklis pria) = (4-1)! = 6

4 wanita mengisi 4 celah di antara pria = 4! = 24

Total = 6 × 24 = 144 susunan

📝 Latihan Soal

MUDAH

1. Hitung P(6, 4).

2. Berapa cara menyusun huruf A, B, C, D?

3. Dari 10 siswa dipilih ketua, wakil, sekretaris. Berapa cara?

4. Hitung P(9, 2).

5. Berapa cara 3 orang duduk di 5 kursi berjajar?

SEDANG

1. Berapa susunan huruf dari kata “PAPAYA”?

2. Tujuh orang duduk melingkar. Berapa susunan?

3. 6 orang duduk sebaris. Berapa susunan jika A dan B harus berdampingan?

4. Berapa susunan huruf “SUCCESS”?

5. 5 buku disusun di rak. Buku tertentu harus di posisi pertama atau terakhir. Berapa susunan?

SULIT

1. Berapa susunan huruf “MISSISSIPPI”?

2. 10 orang (5 pria, 5 wanita) duduk melingkar, pria-wanita selang-seling. Berapa susunan?

3. 7 orang duduk sebaris. Berapa susunan jika A, B, C tidak boleh berdampingan satu sama lain?

4. Berapa susunan huruf “PERMUTASI” jika vokal harus urut abjad?

5. 5 pasang suami istri duduk melingkar. Setiap pasangan harus berdampingan. Berapa susunan?

3. Kombinasi

📖 Materi

Kombinasi adalah pemilihan r objek dari n objek tanpa memperhatikan urutan.

Rumus Kombinasi:

C(n, r) = n! / (r! × (n – r)!)

Sifat-sifat Kombinasi:

C(n, 0) = C(n, n) = 1
C(n, 1) = C(n, n-1) = n
C(n, r) = C(n, n-r)
C(n, r) + C(n, r+1) = C(n+1, r+1)

Perbedaan Permutasi dan Kombinasi:

Aspek	Permutasi	Kombinasi
Urutan	Diperhatikan	Tidak diperhatikan
Contoh	Susunan pengurus	Pemilihan tim
Rumus	n!/(n-r)!	n!/(r!(n-r)!)

✏️ Contoh Soal

MUDAH

1. Hitung C(6, 2).

Pembahasan:

C(6,2) = 6! / (2! × 4!) = (6×5) / (2×1) = 30/2 = 15

2. Dari 7 siswa akan dipilih 3 orang menjadi panitia. Berapa cara?

Pembahasan:

C(7,3) = 7! / (3! × 4!) = (7×6×5) / (3×2×1) = 210/6 = 35 cara

3. Dari 10 buah, dipilih 4 untuk diberikan. Berapa cara?

Pembahasan:

C(10,4) = 10! / (4! × 6!) = (10×9×8×7) / (4×3×2×1) = 5040/24 = 210 cara

4. Hitung C(8, 6).

Pembahasan:

C(8,6) = C(8,2) = (8×7) / (2×1) = 28

5. Dari 5 warna, dipilih 2 untuk kombinasi. Berapa cara?

Pembahasan:

C(5,2) = (5×4) / (2×1) = 10 cara

SEDANG

1. Dari 6 pria dan 4 wanita, dipilih panitia 3 pria dan 2 wanita. Berapa cara?

Pembahasan:

Pilih pria: C(6,3) = 20

Pilih wanita: C(4,2) = 6

Total = 20 × 6 = 120 cara

2. Berapa segitiga yang dapat dibentuk dari 8 titik yang tidak ada 3 titik segaris?

Pembahasan:

Segitiga = pilih 3 titik = C(8,3) = (8×7×6)/(3×2×1) = 56 segitiga

3. Dari 12 orang, dipilih tim 5 orang yang harus menyertakan ketua kelas. Berapa cara?

Pembahasan:

Ketua kelas pasti terpilih. Pilih 4 dari 11 sisanya.

= C(11,4) = (11×10×9×8)/(4×3×2×1) = 330 cara

4. Berapa diagonal yang dapat dibuat dari segi-10?

Pembahasan:

Total garis = C(10,2) = 45

Sisi = 10

Diagonal = 45 – 10 = 35 diagonal

5. Dari 9 buku berbeda, dipilih 4 buku. Berapa cara jika buku tertentu harus terpilih?

Pembahasan:

1 buku pasti terpilih. Pilih 3 dari 8 sisa.

= C(8,3) = 56 cara. 56 cara

SULIT

1. Dari 7 pria dan 5 wanita, dipilih panitia 5 orang dengan minimal 2 wanita. Berapa cara?

Pembahasan:

Kasus 2W, 3P: C(5,2) × C(7,3) = 10 × 35 = 350

Kasus 3W, 2P: C(5,3) × C(7,2) = 10 × 21 = 210

Kasus 4W, 1P: C(5,4) × C(7,1) = 5 × 7 = 35

Kasus 5W, 0P: C(5,5) × C(7,0) = 1 × 1 = 1

Total = 350 + 210 + 35 + 1 = 596 cara

2. Berapa cara memilih 4 kartu dari 52 kartu sehingga tepat 2 kartu berwarna merah?

Pembahasan:

Kartu merah = 26, kartu hitam = 26

Pilih 2 merah: C(26,2) = 325

Pilih 2 hitam: C(26,2) = 325

Total = 325 × 325 = 105.625 cara

3. Dari 10 titik di mana 4 titik segaris, berapa segi empat yang bisa dibentuk?

Pembahasan:

Segi empat = pilih 4 titik (tidak ada 3 segaris dari 4 titik yang dipilih).

Total pilih 4 dari 10: C(10,4) = 210

Pilih 4 titik yang 4-nya segaris: C(4,4) = 1 (tidak membentuk segi empat)

Pilih 3 dari 4 segaris + 1 lainnya: C(4,3) × C(6,1) = 4 × 6 = 24 (tidak membentuk segi empat)

Segi empat = 210 – 1 – 24 = 185 segi empat

4. Tim basket 5 orang dipilih dari 12 pemain (3 center, 4 forward, 5 guard). Tim harus punya minimal 1 dari tiap posisi. Berapa cara?

Pembahasan:

Total tanpa syarat: C(12,5) = 792

Tanpa center: C(9,5) = 126

Tanpa forward: C(8,5) = 56

Tanpa guard: C(7,5) = 21

Tanpa center & forward: C(5,5) = 1

Tanpa center & guard: C(4,5) = 0

Tanpa forward & guard: C(3,5) = 0

Inklusi-eksklusi: 792 – 126 – 56 – 21 + 1 + 0 + 0 = 590 cara

5. Berapa cara membagikan 10 buku berbeda ke 3 anak masing-masing mendapat 4, 3, dan 3 buku?

Pembahasan:

Pilih 4 buku untuk anak 1: C(10,4) = 210

Pilih 3 buku untuk anak 2: C(6,3) = 20

Sisanya 3 buku untuk anak 3: C(3,3) = 1

Total = 210 × 20 × 1 = 4.200 cara

📝 Latihan Soal

MUDAH

1. Hitung C(9, 3).

2. Dari 8 buah dipilih 5. Berapa cara?

3. Berapa garis lurus dari 6 titik (tidak ada 3 segaris)?

4. Hitung C(10, 7).

5. Dari 6 mata pelajaran, siswa memilih 4. Berapa cara?

SEDANG

1. Dari 5 pria dan 6 wanita, dipilih tim 4 orang dengan 2 pria dan 2 wanita. Berapa cara?

2. Berapa segitiga dari 9 titik jika 3 titik segaris?

3. Dari 15 soal ujian, siswa harus menjawab 10 termasuk 3 soal pertama yang wajib. Berapa cara?

4. Berapa diagonal segi-12?

5. Dari 8 orang, dibentuk 2 kelompok masing-masing 4 orang. Berapa cara?

SULIT

1. Dari 8 pria dan 6 wanita, dipilih panitia 6 orang dengan minimal 3 pria. Berapa cara?

2. Berapa cara memilih 5 kartu dari 52 kartu dengan tepat 1 AS?

3. Dari 12 titik (5 segaris), berapa segitiga yang bisa dibentuk?

4. 20 orang dibagi 4 kelompok @ 5 orang. Berapa cara?

5. Berapa bilangan subset dari himpunan {1,2,…,10} yang memuat tepat 3 bilangan genap?

4. Binom Newton

📖 Materi

Binom Newton (Binomial Theorem) memberikan cara untuk mengembangkan bentuk (a + b)ⁿ.

Rumus Binom Newton:

(a + b)ⁿ = Σ C(n, k) × aⁿ⁻ᵏ × bᵏ

untuk k = 0, 1, 2, …, n

Bentuk Lengkap:

(a + b)ⁿ = C(n,0)aⁿ + C(n,1)aⁿ⁻¹b + C(n,2)aⁿ⁻²b² + … + C(n,n)bⁿ

Suku ke-(k+1):

T_k+1 = C(n, k) × aⁿ⁻ᵏ × bᵏ

Segitiga Pascal (Koefisien Binom):

n=0: 1

n=1: 1 1

n=2: 1 2 1

n=3: 1 3 3 1

n=4: 1 4 6 4 1

n=5: 1 5 10 10 5 1

Sifat Penting:

Jumlah semua koefisien: substitusi a=1, b=1 → 2ⁿ
Jumlah koefisien genap = jumlah koefisien ganjil = 2ⁿ⁻¹
(a – b)ⁿ → ganti b dengan (-b), suku genap negatif

✏️ Contoh Soal

MUDAH

1. Jabarkan (a + b)³.

Pembahasan:

= C(3,0)a³ + C(3,1)a²b + C(3,2)ab² + C(3,3)b³

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

2. Jabarkan (x + y)⁴.

Pembahasan:

= x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴

Koefisien dari segitiga Pascal baris ke-4: 1, 4, 6, 4, 1

3. Tentukan koefisien x² dalam (x + 1)⁵.

Pembahasan:

Suku dengan x²: T_k+1 = C(5,k) × x⁵⁻ᵏ × 1ᵏ

x⁵⁻ᵏ = x² → k = 3

Koefisien = C(5,3) = 10

4. Jabarkan (1 + x)³.

Pembahasan:

= 1 + 3x + 3x² + x³

5. Berapa jumlah koefisien dalam penjabaran (a + b)⁶?

Pembahasan:

Jumlah koefisien = 2⁶ = 64

(substitusi a = 1, b = 1)

SEDANG

1. Tentukan suku ke-4 dari (2x + 3)⁶.

Pembahasan:

T₄ = T₃₊₁ → k = 3

T₄ = C(6,3) × (2x)³ × 3³

= 20 × 8x³ × 27 = 4320x³

2. Tentukan koefisien x³ dalam (2x – 1)⁵.

Pembahasan:

T_k+1 = C(5,k) × (2x)⁵⁻ᵏ × (-1)ᵏ

(2x)⁵⁻ᵏ memuat x⁵⁻ᵏ. Untuk x³ → k = 2

T₃ = C(5,2) × (2x)³ × (-1)² = 10 × 8x³ × 1 = 80x³

Koefisien = 80

3. Jabarkan (x – 2)⁴.

Pembahasan:

= C(4,0)x⁴(-2)⁰ + C(4,1)x³(-2)¹ + C(4,2)x²(-2)² + C(4,3)x(-2)³ + C(4,4)(-2)⁴

= x⁴ – 8x³ + 24x² – 32x + 16

4. Tentukan suku tengah dari (x + 2)⁶.

Pembahasan:

n = 6 (genap), suku tengah = suku ke-(n/2 + 1) = suku ke-4

T₄ = C(6,3) × x³ × 2³ = 20 × x³ × 8 = 160x³

5. Tentukan koefisien x⁴ dalam (x² + 1)⁵.

Pembahasan:

T_k+1 = C(5,k) × (x²)⁵⁻ᵏ × 1ᵏ = C(5,k) × x¹⁰⁻²ᵏ

Untuk x⁴: 10 – 2k = 4 → k = 3

Koefisien = C(5,3) = 10

SULIT

1. Tentukan suku yang memuat x² dalam (x² – 1/x)⁹.

Pembahasan:

T_k+1 = C(9,k) × (x²)⁹⁻ᵏ × (-1/x)ᵏ

= C(9,k) × (-1)ᵏ × x¹⁸⁻²ᵏ × x⁻ᵏ

= C(9,k) × (-1)ᵏ × x¹⁸⁻³ᵏ

Untuk x²: 18 – 3k = 2 → k = 16/3 (bukan bulat)

Tidak ada suku yang memuat tepat x². Tidak ada.

2. Tentukan suku yang tidak memuat x dalam (x² – 2/x)⁶.

Pembahasan:

T_k+1 = C(6,k) × (x²)⁶⁻ᵏ × (-2/x)ᵏ

= C(6,k) × (-2)ᵏ × x¹²⁻²ᵏ⁻ᵏ = C(6,k) × (-2)ᵏ × x¹²⁻³ᵏ

Tidak memuat x → 12 – 3k = 0 → k = 4

T₅ = C(6,4) × (-2)⁴ = 15 × 16 = 240

3. Jika (1 + x)ⁿ, koefisien suku ke-3 adalah 36. Tentukan n.

Pembahasan:

Suku ke-3: T₃ = C(n,2) × x²

C(n,2) = 36

n(n-1)/2 = 36 → n(n-1) = 72 → n² – n – 72 = 0

(n-9)(n+8) = 0 → n = 9

4. Tentukan koefisien x⁵ dalam (1 + x)³(1 + x)⁷.

Pembahasan:

(1+x)³ × (1+x)⁷ = (1+x)¹⁰

Koefisien x⁵ = C(10,5) = 252

5. Tentukan jumlah semua koefisien dalam penjabaran (2x – 3)⁸.

Pembahasan:

Jumlah koefisien = substitusi x = 1:

(2(1) – 3)⁸ = (-1)⁸ = 1

📝 Latihan Soal

MUDAH

1. Jabarkan (a + b)⁵.

2. Tentukan koefisien x³ dalam (x + 1)⁶.

3. Jabarkan (1 – x)⁴.

4. Tentukan suku ke-3 dari (a + b)⁷.

5. Berapa banyak suku dalam penjabaran (x + y)⁸?

SEDANG

1. Tentukan koefisien x⁴ dalam (3x – 2)⁶.

2. Tentukan suku tengah dari (2x + 1)⁸.

3. Jabarkan (x – 3)⁵ dan tentukan koefisien x².

4. Tentukan koefisien x³y⁴ dalam (x + y)⁷.

5. Jika suku ke-4 dari (x + a)⁸ adalah 1792x⁵, tentukan a.

SULIT

1. Tentukan suku bebas x (konstanta) dalam (x – 3/x²)⁹.

2. Tentukan n jika koefisien x³ dalam (1 + 2x)ⁿ adalah 80.

3. Tentukan koefisien x⁶ dalam (1 + x + x²)⁵. (Petunjuk: tulis sebagai ((1+x) + x²)⁵)

4. Buktikan C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + … + C(n,n) = 2ⁿ menggunakan binom Newton.

5. Tentukan 3 suku pertama dari (1 + x)¹⁰(1 – x)¹⁰.

Peluang Suatu Kejadian

Matematika — Materi, Contoh Soal & Latihan

1. Pengertian Percobaan, Ruang Sampel, dan Kejadian

A. Percobaan (Eksperimen)

Percobaan adalah suatu kegiatan yang hasilnya belum pasti (tidak dapat diprediksi dengan pasti sebelumnya). Contoh: melempar dadu, melempar koin, mengambil kartu dari setumpuk kartu.

B. Ruang Sampel (S)

Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan.

Notasi: S = {hasil₁, hasil₂, …, hasilₙ}
n(S) = banyaknya anggota ruang sampel

Contoh:

Pelemparan 1 koin: S = {A, G} → n(S) = 2
Pelemparan 1 dadu: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(S) = 6
Pelemparan 2 koin: S = {AA, AG, GA, GG} → n(S) = 4

C. Kejadian (Event)

Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Kejadian dilambangkan dengan huruf kapital (A, B, C, …).

Notasi: A ⊆ S
n(A) = banyaknya anggota kejadian A

Contoh: Pada pelemparan 1 dadu, kejadian munculnya angka genap: A = {2, 4, 6} → n(A) = 3

D. Tabel Ruang Sampel

Pelemparan 2 dadu dapat disajikan dalam tabel berikut:

Dadu 1 \ Dadu 2	1	2	3	4	5	6
1	(1,1)	(1,2)	(1,3)	(1,4)	(1,5)	(1,6)
2	(2,1)	(2,2)	(2,3)	(2,4)	(2,5)	(2,6)
3	(3,1)	(3,2)	(3,3)	(3,4)	(3,5)	(3,6)
4	(4,1)	(4,2)	(4,3)	(4,4)	(4,5)	(4,6)
5	(5,1)	(5,2)	(5,3)	(5,4)	(5,5)	(5,6)
6	(6,1)	(6,2)	(6,3)	(6,4)	(6,5)	(6,6)

n(S) = 36 titik sampel

📘 Contoh Soal — Pengertian Percobaan, Ruang Sampel, dan Kejadian

Mudah

1. Tentukan ruang sampel dari pelemparan satu koin!

Pembahasan: Koin memiliki 2 sisi: Angka (A) dan Gambar (G). Maka S = {A, G}, n(S) = 2.

2. Tentukan ruang sampel dari pelemparan satu dadu!

Pembahasan: Dadu memiliki 6 sisi. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6.

3. Pada pelemparan satu dadu, tentukan kejadian munculnya angka prima!

Pembahasan: Angka prima pada dadu: 2, 3, 5. Maka A = {2, 3, 5}, n(A) = 3.

4. Sebuah kantong berisi 3 bola: merah (M), biru (B), hijau (H). Jika diambil 1 bola, tentukan ruang sampelnya!

Pembahasan: S = {M, B, H}, n(S) = 3.

5. Pada pelemparan satu dadu, tentukan kejadian munculnya angka kurang dari 4!

Pembahasan: Angka kurang dari 4: 1, 2, 3. Maka A = {1, 2, 3}, n(A) = 3.

Sedang

6. Tentukan ruang sampel pelemparan 2 koin sekaligus!

Pembahasan: Koin 1: {A, G}, Koin 2: {A, G}. S = {AA, AG, GA, GG}, n(S) = 4.

7. Pada pelemparan 2 dadu, tentukan kejadian jumlah mata dadu = 7!

Pembahasan: Pasangan yang jumlahnya 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). n(A) = 6.

8. Tentukan ruang sampel pelemparan 1 koin dan 1 dadu secara bersamaan!

Pembahasan: S = {A1, A2, A3, A4, A5, A6, G1, G2, G3, G4, G5, G6}, n(S) = 12.

9. Pada pelemparan 2 dadu, tentukan kejadian mata dadu pertama lebih besar dari mata dadu kedua!

Pembahasan: Pasangan: (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5). n(A) = 15.

10. Dari angka 1, 2, 3, 4 akan disusun bilangan dua angka tanpa pengulangan. Tentukan ruang sampelnya!

Pembahasan: S = {12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43}, n(S) = 12.

Sulit

11. Tiga koin dilempar bersamaan. Tentukan ruang sampel dan kejadian munculnya paling sedikit 2 angka!

Pembahasan: S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}, n(S) = 8. Kejadian paling sedikit 2 angka: A = {AAA, AAG, AGA, GAA} → n(A) = 4.

12. Dari angka 0, 1, 2, 3, 4, tentukan banyaknya bilangan tiga angka genap yang dapat disusun (tanpa pengulangan)!

Pembahasan: Bilangan 3 angka → angka pertama ≠ 0. Bilangan genap → angka terakhir genap (0, 2, 4).
Kasus 1: angka terakhir = 0 → angka pertama: 4 pilihan, angka kedua: 3 pilihan = 4×3 = 12.
Kasus 2: angka terakhir = 2 → angka pertama: 3 pilihan (≠0, ≠2), angka kedua: 3 pilihan = 3×3 = 9.
Kasus 3: angka terakhir = 4 → angka pertama: 3 pilihan (≠0, ≠4), angka kedua: 3 pilihan = 3×3 = 9.
Total = 12 + 9 + 9 = 30 bilangan.

13. Pada pelemparan 2 dadu, tentukan kejadian selisih mata dadu = 2!

Pembahasan: |a − b| = 2. Pasangan: (1,3), (2,4), (3,5), (4,6), (3,1), (4,2), (5,3), (6,4). n(A) = 8.

14. Empat orang (A, B, C, D) akan duduk berjajar. Tentukan banyak susunan jika A dan B harus bersebelahan!

Pembahasan: Anggap AB sebagai 1 unit → ada 3 unit (AB, C, D) → 3! = 6 susunan. AB bisa ditukar menjadi BA → 2 × 6 = 12 susunan.

15. Dari 5 buku berbeda akan dipilih 3 buku untuk disusun di rak. Berapa banyak susunan yang mungkin?

Pembahasan: Ini adalah permutasi P(5,3) = 5!/(5−3)! = 5!/2! = 120/2 = 60 susunan.

📝 Latihan Soal — Pengertian Percobaan, Ruang Sampel, dan Kejadian

Mudah

Tentukan ruang sampel dari pemilihan 1 kartu dari kartu bertuliskan huruf A, B, C, D, E!
Pada pelemparan satu dadu, tentukan kejadian munculnya angka ganjil!
Sebuah kantong berisi 4 kelereng: merah, kuning, hijau, biru. Tentukan n(S) jika diambil 1 kelereng!
Pada pelemparan satu koin, tentukan kejadian munculnya sisi gambar!
Tentukan ruang sampel dari pemilihan 1 hari dalam seminggu!

Sedang

Tentukan ruang sampel pelemparan 1 dadu dan 1 koin secara bersamaan!
Pada pelemparan 2 dadu, tentukan kejadian jumlah mata dadu = 9!
Dari angka 1, 2, 3, 4, 5 akan dibuat bilangan 2 angka tanpa pengulangan. Berapa n(S)?
Pada pelemparan 2 koin dan 1 dadu, tentukan n(S)!
Pada pelemparan 2 dadu, tentukan kejadian hasil kali mata dadu = 12!

Sulit

Empat koin dilempar bersamaan. Tentukan n(S) dan kejadian munculnya tepat 2 gambar!
Dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5 akan disusun bilangan 3 angka ganjil tanpa pengulangan. Berapa banyak?
Lima orang akan duduk melingkar. Berapa banyak susunan yang mungkin?
Pada pelemparan 3 dadu, tentukan banyaknya titik sampel yang jumlah matanya = 5!
Dari kata “MAKAN”, berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibuat?

2. Aturan Pencacahan untuk Menentukan Banyak Ruang Sampel

A. Aturan Perkalian

Jika percobaan pertama memiliki m hasil dan percobaan kedua memiliki n hasil, maka total hasil gabungan = m × n.

n(S) = n₁ × n₂ × n₃ × … × nₖ

B. Permutasi

Permutasi adalah banyaknya susunan r objek dari n objek berbeda, dimana urutan diperhatikan.

P(n, r) = n! / (n − r)!

n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 2 × 1
0! = 1

Permutasi dengan unsur sama:

P = n! / (n₁! × n₂! × … × nₖ!)

C. Kombinasi

Kombinasi adalah banyaknya cara memilih r objek dari n objek berbeda, dimana urutan tidak diperhatikan.

C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!)

D. Permutasi Siklis (Melingkar)

P_siklis = (n − 1)!

📘 Contoh Soal — Aturan Pencacahan

Mudah

1. Hitung nilai 5!

Pembahasan: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

2. Ada 3 baju dan 4 celana. Berapa banyak pasangan pakaian yang bisa dipilih?

Pembahasan: Aturan perkalian: 3 × 4 = 12 pasangan.

3. Hitung P(4, 2)!

Pembahasan: P(4,2) = 4!/(4−2)! = 24/2 = 12.

4. Hitung C(5, 2)!

Pembahasan: C(5,2) = 5!/(2! × 3!) = 120/(2 × 6) = 10.

5. Berapa banyak cara menyusun 3 buku berbeda dalam satu baris?

Pembahasan: 3! = 3 × 2 × 1 = 6 cara.

Sedang

6. Dari 7 siswa akan dipilih ketua dan wakil ketua. Berapa banyak cara?

Pembahasan: Urutan penting (ketua ≠ wakil). P(7,2) = 7!/5! = 7 × 6 = 42 cara.

7. Dari 8 orang akan dipilih 3 orang untuk tim. Berapa banyak cara?

Pembahasan: Urutan tidak penting. C(8,3) = 8!/(3! × 5!) = 336/6 = 56 cara.

8. Berapa banyak susunan huruf dari kata “BUKU”?

Pembahasan: 4 huruf, U muncul 2 kali. P = 4!/2! = 24/2 = 12 susunan.

9. Plat nomor terdiri dari 2 huruf (dari A–Z) dan 3 angka (0–9). Berapa banyak plat yang mungkin?

Pembahasan: 26 × 26 × 10 × 10 × 10 = 676.000 plat.

10. Berapa banyak cara 5 orang duduk melingkar?

Pembahasan: Permutasi siklis = (5−1)! = 4! = 24 cara.

Sulit

11. Dari 6 pria dan 4 wanita, akan dibentuk panitia 5 orang yang terdiri dari 3 pria dan 2 wanita. Berapa banyak cara?

Pembahasan: C(6,3) × C(4,2) = 20 × 6 = 120 cara.

12. Berapa banyak susunan huruf dari kata “MATEMATIKA”?

Pembahasan: 10 huruf. M=2, A=3, T=2, E=1, I=1, K=1. P = 10!/(2! × 3! × 2!) = 3.628.800/(2 × 6 × 2) = 151.200 susunan.

13. Dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, berapa banyak bilangan 4 angka yang lebih besar dari 3000 (tanpa pengulangan)?

Pembahasan: Angka pertama ≥ 3, yaitu: 3, 4, 5, 6 (4 pilihan). Sisa 3 posisi dari 5 angka tersisa: P(5,3) = 60. Total = 4 × 60 = 240 bilangan.

14. Sebuah tim basket 5 orang dipilih dari 8 pemain dimana kapten harus selalu terpilih. Berapa banyak cara?

Pembahasan: Kapten pasti masuk, tinggal memilih 4 dari 7 pemain lainnya. C(7,4) = 7!/(4! × 3!) = 35 cara.

15. 6 orang duduk melingkar. Berapa banyak susunan jika 2 orang tertentu tidak boleh bersebelahan?

Pembahasan: Total susunan melingkar = (6−1)! = 120. Susunan 2 orang bersebelahan: anggap 1 unit → (5−1)! × 2! = 24 × 2 = 48. Tidak bersebelahan = 120 − 48 = 72 susunan.

📝 Latihan Soal — Aturan Pencacahan

Mudah

Hitung nilai 6!
Ada 5 kemeja dan 3 dasi. Berapa banyak kombinasi pakaian?
Hitung P(5, 3)!
Hitung C(6, 2)!
Berapa banyak cara menyusun 4 orang dalam satu baris?

Sedang

Dari 10 siswa akan dipilih ketua, wakil, dan sekretaris. Berapa cara?
Berapa banyak susunan huruf dari kata “PAPA”?
PIN ATM 4 digit (0–9) tanpa pengulangan. Berapa banyak PIN?
Dari 9 pemain akan dipilih 4 orang untuk relay. Berapa cara (urutan penting)?
Berapa banyak cara 6 orang duduk melingkar?

Sulit

Dari 5 pria dan 6 wanita akan dibentuk tim 4 orang minimal 2 wanita. Berapa cara?
Berapa banyak susunan huruf dari kata “INDONESIA”?
Dari angka 0–9, berapa bilangan 3 angka genap tanpa pengulangan?
8 orang duduk melingkar, 3 orang tertentu harus bersebelahan. Berapa susunan?
Dari 12 soal ujian, siswa harus mengerjakan 8 soal dimana 3 soal pertama wajib. Berapa cara memilih?

3. Menentukan Peluang Kejadian dalam Berbagai Situasi

A. Definisi Peluang

Peluang suatu kejadian A adalah perbandingan banyaknya kejadian A terhadap banyaknya ruang sampel.

P(A) = n(A) / n(S)

Dimana:
• P(A) = peluang kejadian A
• n(A) = banyaknya anggota kejadian A
• n(S) = banyaknya anggota ruang sampel

Sifat: 0 ≤ P(A) ≤ 1

B. Peluang Komplemen

P(A’) = 1 − P(A)
A’ = komplemen kejadian A (kejadian A tidak terjadi)

C. Peluang Gabungan Dua Kejadian

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Jika A dan B saling lepas (A ∩ B = ∅):
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

D. Diagram Peluang

Diagram Venn: Peluang gabungan A ∪ B

E. Skala Peluang

Mustahil

Pasti

0.5 = kemungkinan sama besar

📘 Contoh Soal — Peluang Kejadian

Mudah

1. Sebuah dadu dilempar sekali. Berapa peluang muncul angka 4?

Pembahasan: n(A) = 1 (hanya angka 4), n(S) = 6. P(A) = 1/6.

2. Sebuah koin dilempar sekali. Berapa peluang muncul angka?

Pembahasan: n(A) = 1, n(S) = 2. P(A) = 1/2.

3. Sebuah dadu dilempar sekali. Berapa peluang muncul angka genap?

Pembahasan: A = {2, 4, 6}, n(A) = 3, n(S) = 6. P(A) = 3/6 = 1/2.

4. Dari kantong berisi 3 bola merah dan 2 bola biru, diambil 1 bola. Berapa peluang terambil bola merah?

Pembahasan: n(A) = 3, n(S) = 5. P(A) = 3/5.

5. Sebuah dadu dilempar sekali. Berapa peluang TIDAK muncul angka 6?

Pembahasan: P(muncul 6) = 1/6. P(tidak muncul 6) = 1 − 1/6 = 5/6.

Sedang

6. Dua dadu dilempar bersamaan. Berapa peluang jumlah mata dadu = 8?

Pembahasan: n(S) = 36. Pasangan jumlah 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) → n(A) = 5. P(A) = 5/36.

7. Dari 52 kartu bridge, diambil 1 kartu. Berapa peluang terambil kartu As?

Pembahasan: Ada 4 kartu As. P(A) = 4/52 = 1/13.

8. Dua koin dilempar. Berapa peluang keduanya muncul sisi yang sama?

Pembahasan: S = {AA, AG, GA, GG}. Kejadian sama = {AA, GG}, n(A) = 2. P(A) = 2/4 = 1/2.

9. Dari 10 siswa (6 laki-laki, 4 perempuan), dipilih 2 orang secara acak. Berapa peluang keduanya perempuan?

Pembahasan: n(S) = C(10,2) = 45. n(A) = C(4,2) = 6. P(A) = 6/45 = 2/15.

10. Sebuah dadu dilempar. Kejadian A = muncul prima, B = muncul ganjil. Tentukan P(A ∪ B)!

Pembahasan: A = {2,3,5}, B = {1,3,5}. A∩B = {3,5}. P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B) = 3/6 + 3/6 − 2/6 = 4/6 = 2/3.

Sulit

11. Dari 52 kartu bridge, diambil 5 kartu sekaligus. Berapa peluang mendapat tepat 3 kartu hati?

Pembahasan: n(S) = C(52,5) = 2.598.960. n(A) = C(13,3) × C(39,2) = 286 × 741 = 211.926. P(A) = 211.926/2.598.960 ≈ 0,0815.

12. Tiga dadu dilempar. Berapa peluang jumlah mata dadu = 10?

Pembahasan: n(S) = 6³ = 216. Kombinasi jumlah 10: kita hitung semua (a,b,c) dimana a+b+c=10, 1≤a,b,c≤6. Dengan pencacahan: (1,3,6)→6, (1,4,5)→6, (2,2,6)→3, (2,3,5)→6, (2,4,4)→3, (3,3,4)→3 = 27 cara. P = 27/216 = 1/8.

13. Dari 8 orang (5 pria, 3 wanita) dipilih panitia 4 orang. Berapa peluang panitia terdiri dari minimal 2 wanita?

Pembahasan: n(S) = C(8,4) = 70.
2 wanita 2 pria: C(3,2)×C(5,2) = 3×10 = 30.
3 wanita 1 pria: C(3,3)×C(5,1) = 1×5 = 5.
n(A) = 35. P(A) = 35/70 = 1/2.

14. Sebuah kata disusun acak dari huruf “PELUANG”. Berapa peluang huruf vokal selalu berdampingan?

Pembahasan: 7 huruf berbeda. Total susunan = 7! = 5040. Vokal: E, U, A (3 huruf). Anggap vokal 1 unit → 5 unit disusun: 5! = 120. Vokal sendiri: 3! = 6. Susunan vokal berdampingan = 120 × 6 = 720. P = 720/5040 = 1/7.

15. Dari 20 produk (3 cacat), dipilih 4 secara acak untuk diperiksa. Berapa peluang paling sedikit 1 produk cacat terambil?

Pembahasan: Gunakan komplemen. P(min 1 cacat) = 1 − P(0 cacat).
n(S) = C(20,4) = 4845.
P(0 cacat) = C(17,4)/C(20,4) = 2380/4845 = 476/969.
P(min 1 cacat) = 1 − 476/969 = 493/969 ≈ 0,5088.

📝 Latihan Soal — Peluang Kejadian

Mudah

Sebuah dadu dilempar sekali. Berapa peluang muncul angka lebih dari 4?
Dari kantong berisi 5 bola merah dan 3 bola putih, diambil 1 bola. Berapa peluang terambil bola putih?
Sebuah koin dilempar 2 kali. Berapa peluang muncul dua gambar?
Berapa peluang tidak muncul angka genap pada pelemparan 1 dadu?
Dari angka 1–10 dipilih satu secara acak. Berapa peluang terpilih angka kelipatan 3?

Sedang

Dua dadu dilempar. Berapa peluang jumlah mata dadu kurang dari 5?
Dari 52 kartu bridge diambil 1 kartu. Berapa peluang terambil kartu merah bernomor genap?
Dari 12 siswa (7 putra, 5 putri) dipilih 3 orang. Berapa peluang terpilih 2 putra dan 1 putri?
Sebuah dadu dilempar. A = prima, B = ≤ 4. Tentukan P(A ∩ B)!
Tiga koin dilempar. Berapa peluang muncul paling sedikit 1 angka?

Sulit

Dari 15 produk (4 cacat) dipilih 3 secara acak. Berapa peluang tepat 1 cacat?
5 orang duduk melingkar secara acak. Berapa peluang 2 orang tertentu duduk bersebelahan?
Dari huruf “STATISTIKA” disusun acak. Berapa peluang dimulai dan diakhiri huruf konsonan?
Dari 52 kartu bridge diambil 3 kartu. Berapa peluang ketiganya dari jenis berbeda?
10 lampu (3 rusak) dipasang acak pada 5 slot. Berapa peluang tidak ada lampu rusak yang terpasang?

Peluang Suatu Kejadian

Materi Matematika — Kelas VIII / IX

A. Arti Nilai Peluang Suatu Kejadian

Pengertian

Peluang suatu kejadian adalah ukuran kemungkinan terjadinya suatu kejadian dalam suatu percobaan. Nilai peluang berkisar antara 0 dan 1.

Rumus Peluang:

P(A) = n(A) / n(S)

P(A) = Peluang kejadian A
n(A) = Banyak anggota kejadian A
n(S) = Banyak anggota ruang sampel S

Rentang Nilai Peluang:

0 ≤ P(A) ≤ 1

P(A) = 0 → Kejadian mustahil (tidak mungkin terjadi)
P(A) = 1 → Kejadian pasti (pasti terjadi)
0 < P(A) < 1 → Kejadian mungkin terjadi

Komplemen Kejadian:

P(A’) = 1 − P(A)

P(A’) = Peluang kejadian A tidak terjadi (komplemen A)

Ilustrasi Nilai Peluang

Nilai P(A)	Arti	Contoh
0	Mustahil	Muncul angka 7 pada dadu
1/6 ≈ 0,17	Kecil kemungkinan	Muncul angka 4 pada dadu
1/2 = 0,5	Berimbang	Muncul sisi gambar pada koin
5/6 ≈ 0,83	Besar kemungkinan	Muncul bukan angka 4 pada dadu
1	Pasti	Muncul angka ≤ 6 pada dadu

Contoh Soal

Mudah

1. Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang muncul angka 5!

Pembahasan:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(S) = 6

A = {5} → n(A) = 1

P(A) = n(A)/n(S) = 1/6

2. Sebuah koin dilempar sekali. Tentukan peluang muncul sisi angka!

Pembahasan:

S = {Angka, Gambar} → n(S) = 2

A = {Angka} → n(A) = 1

P(A) = 1/2

3. Dalam kotak terdapat 3 bola merah dan 7 bola putih. Tentukan peluang terambil bola merah!

Pembahasan:

n(S) = 3 + 7 = 10

n(A) = 3

P(A) = 3/10

4. Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang muncul angka genap!

Pembahasan:

S = {1,2,3,4,5,6} → n(S) = 6

A = {2, 4, 6} → n(A) = 3

P(A) = 3/6 = 1/2

5. Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang muncul angka kurang dari 3!

Pembahasan:

S = {1,2,3,4,5,6} → n(S) = 6

A = {1, 2} → n(A) = 2

P(A) = 2/6 = 1/3

Sedang

6. Dua buah dadu dilempar bersama. Tentukan peluang jumlah mata dadu sama dengan 7!

Pembahasan:

n(S) = 6 × 6 = 36

A = {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)} → n(A) = 6

P(A) = 6/36 = 1/6

7. Dari kartu bernomor 1 sampai 20, diambil satu kartu secara acak. Tentukan peluang terambil kartu bernomor prima!

Pembahasan:

n(S) = 20

Bilangan prima 1–20: {2,3,5,7,11,13,17,19} → n(A) = 8

P(A) = 8/20 = 2/5

8. Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang muncul angka bukan 4!

Pembahasan:

P(muncul 4) = 1/6

P(bukan 4) = 1 − 1/6 = 5/6

9. Dalam kantong terdapat 5 bola merah, 3 bola biru, dan 2 bola hijau. Jika diambil satu bola secara acak, tentukan peluang terambil bola bukan merah!

Pembahasan:

n(S) = 5 + 3 + 2 = 10

P(merah) = 5/10 = 1/2

P(bukan merah) = 1 − 1/2 = 1/2

10. Dua koin dilempar bersama. Tentukan peluang muncul tepat satu gambar!

Pembahasan:

S = {AA, AG, GA, GG} → n(S) = 4

A (tepat 1 gambar) = {AG, GA} → n(A) = 2

P(A) = 2/4 = 1/2

Sulit

11. Tiga koin dilempar bersamaan. Tentukan peluang muncul paling sedikit 2 gambar!

Pembahasan:

n(S) = 2³ = 8

S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}

A (≥2 gambar) = {AGG, GAG, GGA, GGG} → n(A) = 4

P(A) = 4/8 = 1/2

12. Dua dadu dilempar bersama. Tentukan peluang jumlah mata dadu lebih dari 9!

Pembahasan:

n(S) = 36

Jumlah > 9: jumlah 10, 11, 12

Jumlah 10: (4,6),(5,5),(6,4) = 3

Jumlah 11: (5,6),(6,5) = 2

Jumlah 12: (6,6) = 1

n(A) = 3 + 2 + 1 = 6

P(A) = 6/36 = 1/6

13. Dari angka 1, 2, 3, 4, 5 akan dibentuk bilangan 3 digit tanpa pengulangan. Tentukan peluang bilangan yang terbentuk adalah bilangan genap!

Pembahasan:

Total bilangan 3 digit tanpa pengulangan = 5 × 4 × 3 = 60

Bilangan genap → digit terakhir genap (2 atau 4)

Jika digit terakhir 2: 4 × 3 × 1 = 12

Jika digit terakhir 4: 4 × 3 × 1 = 12

n(A) = 12 + 12 = 24

P(A) = 24/60 = 2/5

14. Sebuah kotak berisi 4 bola merah dan 6 bola putih. Diambil 2 bola sekaligus. Tentukan peluang terambil 2 bola merah!

Pembahasan:

n(S) = C(10,2) = 10!/(2!×8!) = 45

n(A) = C(4,2) = 4!/(2!×2!) = 6

P(A) = 6/45 = 2/15

15. Dari 52 kartu bridge, diambil 1 kartu. Tentukan peluang terambil kartu As atau kartu berwarna merah!

Pembahasan:

n(S) = 52

n(As) = 4, n(Merah) = 26, n(As ∩ Merah) = 2

P(As ∪ Merah) = P(As) + P(Merah) − P(As ∩ Merah)

= 4/52 + 26/52 − 2/52 = 28/52 = 7/13

Latihan Soal

Mudah

1. Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang muncul angka 3!

2. Dalam kotak ada 4 bola merah dan 6 bola biru. Tentukan peluang terambil bola biru!

3. Sebuah koin dilempar sekali. Tentukan peluang muncul sisi gambar!

4. Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang muncul angka ganjil!

5. Dari kartu bernomor 1–10, tentukan peluang terambil kartu bernomor 7!

Sedang

6. Dua koin dilempar bersama. Tentukan peluang muncul keduanya gambar!

7. Dari kartu bernomor 1–30, tentukan peluang terambil kartu bernomor kelipatan 5!

8. Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang muncul angka lebih dari 4!

9. Dalam kotak ada 8 bola merah dan 12 bola putih. Tentukan peluang terambil bola bukan putih!

10. Dua dadu dilempar bersama. Tentukan peluang jumlah mata dadu sama dengan 5!

Sulit

11. Tiga koin dilempar bersamaan. Tentukan peluang muncul tepat 2 angka!

12. Dua dadu dilempar bersama. Tentukan peluang selisih mata dadu sama dengan 2!

13. Dari angka 0–9, dibentuk bilangan 2 digit. Tentukan peluang bilangan yang terbentuk habis dibagi 3!

14. Dari 52 kartu bridge, tentukan peluang terambil kartu King atau kartu hati!

15. Kotak berisi 5 bola merah dan 4 bola biru. Diambil 3 bola sekaligus. Tentukan peluang terambil 2 merah dan 1 biru!

B. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian

Pengertian

Frekuensi harapan adalah banyaknya kejadian yang diharapkan terjadi jika percobaan dilakukan sebanyak n kali.

Rumus Frekuensi Harapan:

Fh = n × P(A)

Fh = Frekuensi harapan
n = Banyak percobaan
P(A) = Peluang kejadian A

Hubungan Frekuensi Relatif dan Peluang:

Jika percobaan dilakukan berulang-ulang, maka frekuensi relatif akan mendekati nilai peluang teoritis.

Fr = fA / n → mendekati P(A) saat n → ∞

Ilustrasi: Pelemparan Dadu 60 Kali

Mata Dadu	P(A)	Fh (60 kali)
1	1/6	60 × 1/6 = 10
2	1/6	10
3	1/6	10
4	1/6	10
5	1/6	10
6	1/6	10

Contoh Soal

Mudah

1. Sebuah dadu dilempar 120 kali. Berapa frekuensi harapan muncul angka 6?

Pembahasan:

P(6) = 1/6

Fh = 120 × 1/6 = 20

2. Sebuah koin dilempar 80 kali. Berapa frekuensi harapan muncul gambar?

Pembahasan:

P(Gambar) = 1/2

Fh = 80 × 1/2 = 40

3. Sebuah dadu dilempar 90 kali. Berapa frekuensi harapan muncul angka genap?

Pembahasan:

P(genap) = 3/6 = 1/2

Fh = 90 × 1/2 = 45

4. Dalam kotak ada 2 bola merah dan 3 bola putih. Jika percobaan mengambil 1 bola dilakukan 50 kali (dengan pengembalian), berapa frekuensi harapan terambil bola merah?

Pembahasan:

P(merah) = 2/5

Fh = 50 × 2/5 = 20

5. Sebuah dadu dilempar 60 kali. Berapa frekuensi harapan muncul angka kurang dari 4?

Pembahasan:

A = {1,2,3} → P(A) = 3/6 = 1/2

Fh = 60 × 1/2 = 30

Sedang

6. Dua koin dilempar bersama sebanyak 100 kali. Berapa frekuensi harapan muncul tepat 1 angka?

Pembahasan:

S = {AA, AG, GA, GG} → n(S) = 4

Tepat 1 angka = {AG, GA} → P = 2/4 = 1/2

Fh = 100 × 1/2 = 50

7. Sebuah dadu dilempar 180 kali. Berapa frekuensi harapan muncul angka prima?

Pembahasan:

Prima pada dadu = {2, 3, 5} → P = 3/6 = 1/2

Fh = 180 × 1/2 = 90

8. Dalam kantong ada 4 bola merah, 3 bola biru, dan 5 bola putih. Jika percobaan dilakukan 240 kali, berapa frekuensi harapan terambil bola biru?

Pembahasan:

n(S) = 4 + 3 + 5 = 12

P(biru) = 3/12 = 1/4

Fh = 240 × 1/4 = 60

9. Dua dadu dilempar bersama sebanyak 72 kali. Berapa frekuensi harapan jumlah mata dadu = 8?

Pembahasan:

Jumlah 8: (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) → n(A) = 5

P(A) = 5/36

Fh = 72 × 5/36 = 10

10. Sebuah spinner memiliki 8 sektor sama besar bernomor 1–8. Jika diputar 200 kali, berapa frekuensi harapan berhenti di angka kelipatan 3?

Pembahasan:

Kelipatan 3 dari 1–8: {3, 6} → P = 2/8 = 1/4

Fh = 200 × 1/4 = 50

Sulit

11. Tiga koin dilempar bersama sebanyak 400 kali. Berapa frekuensi harapan muncul paling sedikit 2 gambar?

Pembahasan:

n(S) = 8. A(≥2 gambar) = {AGG, GAG, GGA, GGG} → n(A) = 4

P(A) = 4/8 = 1/2

Fh = 400 × 1/2 = 200

12. Dua dadu dilempar bersama 360 kali. Berapa frekuensi harapan hasil kali mata dadu lebih dari 20?

Pembahasan:

Hasil kali > 20: (4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),(4,5 tidak, 4×5=20)

Cek: (4,6)=24✓ (6,4)=24✓ (5,5)=25✓ (5,6)=30✓ (6,5)=30✓ (6,6)=36✓

n(A) = 6, P(A) = 6/36 = 1/6

Fh = 360 × 1/6 = 60

13. Dari kartu bernomor 1–20, diambil 1 kartu secara acak lalu dikembalikan. Percobaan dilakukan 500 kali. Berapa frekuensi harapan terambil kartu bernomor kuadrat sempurna?

Pembahasan:

Kuadrat sempurna 1–20: {1, 4, 9, 16} → n(A) = 4

P(A) = 4/20 = 1/5

Fh = 500 × 1/5 = 100

14. Sebuah kotak berisi 6 bola merah dan 4 bola putih. Diambil 2 bola sekaligus sebanyak 270 kali (dikembalikan setiap kali). Berapa frekuensi harapan terambil 1 merah dan 1 putih?

Pembahasan:

n(S) = C(10,2) = 45

n(1M, 1P) = C(6,1) × C(4,1) = 6 × 4 = 24

P = 24/45 = 8/15

Fh = 270 × 8/15 = 144

15. Dua dadu dilempar 720 kali. Berapa frekuensi harapan selisih mata dadu sama dengan 0 (mata sama)?

Pembahasan:

Mata sama: (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6) → n(A) = 6

P(A) = 6/36 = 1/6

Fh = 720 × 1/6 = 120

Latihan Soal

Mudah

1. Sebuah dadu dilempar 300 kali. Berapa frekuensi harapan muncul angka 2?

2. Sebuah koin dilempar 150 kali. Berapa frekuensi harapan muncul angka?

3. Dadu dilempar 240 kali. Berapa frekuensi harapan muncul angka ganjil?

4. Kotak berisi 3 bola merah dan 7 bola putih. Percobaan 200 kali. Berapa frekuensi harapan terambil bola putih?

5. Koin dilempar 500 kali. Berapa frekuensi harapan muncul gambar?

Sedang

6. Dadu dilempar 180 kali. Berapa frekuensi harapan muncul angka lebih dari 4?

7. Kantong berisi 5 bola merah, 3 bola biru, 2 bola kuning. Percobaan 300 kali. Berapa Fh terambil bola kuning?

8. Dua koin dilempar 200 kali. Berapa Fh muncul keduanya angka?

9. Dua dadu dilempar 144 kali. Berapa Fh jumlah mata dadu = 6?

10. Spinner 10 sektor (1–10) diputar 250 kali. Berapa Fh berhenti di bilangan prima?

Sulit

11. Tiga koin dilempar 320 kali. Berapa Fh muncul tepat 1 gambar?

12. Dua dadu dilempar 540 kali. Berapa Fh jumlah mata dadu ≥ 10?

13. Kartu bernomor 1–25, diambil 1 kartu 375 kali. Berapa Fh terambil bilangan kelipatan 4?

14. Kotak berisi 7 bola merah dan 3 bola putih. Diambil 2 bola sekaligus 450 kali. Berapa Fh terambil 2 bola merah?

15. Dua dadu dilempar 900 kali. Berapa Fh hasil kali mata dadu = 12?

C. Peluang Kejadian Majemuk

Pengertian

Peluang kejadian majemuk adalah peluang yang melibatkan gabungan (union) atau irisan (intersection) dari dua kejadian atau lebih.

1. Peluang Gabungan (A atau B):

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Jika A dan B saling lepas (mutually exclusive): P(A ∩ B) = 0

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

2. Peluang Irisan (A dan B):

P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)

Jika A dan B saling bebas (independent): P(B|A) = P(B)

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

3. Peluang Bersyarat:

P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)

P(B|A) = Peluang B terjadi dengan syarat A sudah terjadi

Diagram Venn: Hubungan Kejadian

A B A∩B

Tidak Saling Lepas

A B

Saling Lepas (A∩B = ∅)

Ringkasan Rumus

Kondisi	Rumus
A dan B tidak saling lepas	P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
A dan B saling lepas	P(A∪B) = P(A) + P(B)
A dan B saling bebas	P(A∩B) = P(A) × P(B)
A dan B tidak saling bebas	P(A∩B) = P(A) × P(B\|A)

Contoh Soal

Mudah

1. Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang muncul angka genap atau angka 5!

Pembahasan:

A(genap) = {2,4,6}, B = {5}. A∩B = ∅ (saling lepas)

P(A∪B) = P(A) + P(B) = 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3

2. Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang muncul angka genap atau angka kurang dari 4!

Pembahasan:

A(genap) = {2,4,6}, B(<4) = {1,2,3}. A∩B = {2}

P(A∪B) = 3/6 + 3/6 − 1/6 = 5/6

3. Sebuah koin dan dadu dilempar bersama. Tentukan peluang muncul gambar dan angka 6!

Pembahasan:

Kejadian saling bebas.

P(Gambar) = 1/2, P(6) = 1/6

P(Gambar ∩ 6) = 1/2 × 1/6 = 1/12

4. Peluang hujan hari ini 0,3 dan peluang macet 0,5. Jika kedua kejadian saling bebas, tentukan peluang hujan dan macet terjadi bersamaan!

Pembahasan:

P(H ∩ M) = P(H) × P(M) = 0,3 × 0,5 = 0,15

5. Dalam kotak ada 3 bola merah dan 2 bola biru. Diambil 1 bola, lalu dikembalikan, kemudian diambil lagi 1 bola. Tentukan peluang keduanya merah!

Pembahasan:

P(M₁) = 3/5, P(M₂) = 3/5 (dengan pengembalian → saling bebas)

P(M₁ ∩ M₂) = 3/5 × 3/5 = 9/25

Sedang

6. Dari 52 kartu bridge, diambil 1 kartu. Tentukan peluang terambil kartu hati atau kartu King!

Pembahasan:

n(Hati) = 13, n(King) = 4, n(King Hati) = 1

P(Hati ∪ King) = 13/52 + 4/52 − 1/52 = 16/52 = 4/13

7. Kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Diambil 2 bola satu per satu tanpa pengembalian. Tentukan peluang bola pertama merah dan bola kedua putih!

Pembahasan:

P(M₁) = 5/8

P(P₂|M₁) = 3/7 (sisa: 4M, 3P → total 7)

P(M₁ ∩ P₂) = 5/8 × 3/7 = 15/56

8. Peluang Andi lulus ujian 0,8 dan peluang Budi lulus 0,7. Tentukan peluang paling sedikit satu dari mereka lulus!

Pembahasan:

P(minimal 1 lulus) = 1 − P(keduanya gagal)

P(Andi gagal) = 0,2, P(Budi gagal) = 0,3

P(keduanya gagal) = 0,2 × 0,3 = 0,06

P(minimal 1 lulus) = 1 − 0,06 = 0,94

9. Dua dadu dilempar. Tentukan peluang dadu pertama genap atau dadu kedua lebih dari 4!

Pembahasan:

P(A) = P(dadu1 genap) = 3/6 = 1/2

P(B) = P(dadu2 > 4) = 2/6 = 1/3

A dan B saling bebas → P(A∩B) = 1/2 × 1/3 = 1/6

P(A∪B) = 1/2 + 1/3 − 1/6 = 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3

10. Dari 40 siswa: 25 suka Matematika, 20 suka IPA, 10 suka keduanya. Jika dipilih 1 siswa, tentukan peluang siswa suka Matematika atau IPA!

Pembahasan:

P(M) = 25/40, P(I) = 20/40, P(M∩I) = 10/40

P(M∪I) = 25/40 + 20/40 − 10/40 = 35/40 = 7/8

Sulit

11. Kotak I berisi 3 bola merah dan 2 putih. Kotak II berisi 4 merah dan 1 putih. Dari masing-masing kotak diambil 1 bola. Tentukan peluang keduanya merah!

Pembahasan:

P(M dari I) = 3/5, P(M dari II) = 4/5

Kejadian saling bebas.

P(keduanya M) = 3/5 × 4/5 = 12/25

12. Kantong berisi 6 bola merah dan 4 bola biru. Diambil 3 bola satu per satu tanpa pengembalian. Tentukan peluang bola yang terambil berurutan: merah, biru, merah!

Pembahasan:

P(M₁) = 6/10 = 3/5

P(B₂|M₁) = 4/9

P(M₃|M₁∩B₂) = 5/8

P = 3/5 × 4/9 × 5/8 = 60/360 = 1/6

13. Peluang A menang = 1/3, B menang = 1/4, C menang = 1/5. Jika saling bebas, tentukan peluang tepat satu dari mereka menang!

Pembahasan:

P(A’) = 2/3, P(B’) = 3/4, P(C’) = 4/5

P(hanya A) = 1/3 × 3/4 × 4/5 = 12/60 = 1/5

P(hanya B) = 2/3 × 1/4 × 4/5 = 8/60 = 2/15

P(hanya C) = 2/3 × 3/4 × 1/5 = 6/60 = 1/10

P(tepat 1) = 1/5 + 2/15 + 1/10 = 6/30 + 4/30 + 3/30 = 13/30

14. Dalam sebuah kelas: P(laki-laki) = 0,6 dan P(suka olahraga | laki-laki) = 0,7. Tentukan peluang seseorang adalah laki-laki dan suka olahraga!

Pembahasan:

P(L ∩ O) = P(L) × P(O|L) = 0,6 × 0,7 = 0,42

15. Dari 100 karyawan: 60 pria, 40 wanita. Dari pria, 45 sudah menikah. Dari wanita, 30 sudah menikah. Jika dipilih 1 karyawan, tentukan P(menikah | wanita) dan P(wanita ∩ menikah)!

Pembahasan:

P(menikah | wanita) = 30/40 = 3/4

P(wanita) = 40/100 = 2/5

P(wanita ∩ menikah) = P(wanita) × P(menikah|wanita) = 2/5 × 3/4 = 6/20 = 3/10

Latihan Soal

Mudah

1. Dadu dilempar sekali. Tentukan P(muncul angka ganjil atau angka 6)!

2. Koin dan dadu dilempar bersama. Tentukan P(angka pada koin dan angka 3 pada dadu)!

3. P(A) = 0,4 dan P(B) = 0,3. Jika saling bebas, tentukan P(A∩B)!

4. P(A) = 1/3, P(B) = 1/4. A dan B saling lepas. Tentukan P(A∪B)!

5. Kotak berisi 4 merah, 6 biru. Diambil 1 bola, dikembalikan, diambil lagi. P(keduanya biru)?

Sedang

6. Dari 52 kartu bridge, tentukan P(terambil kartu Queen atau kartu sekop)!

7. Kotak berisi 7 merah dan 5 putih. Diambil 2 tanpa pengembalian. P(pertama merah, kedua putih)?

8. P(Ani lulus) = 0,75 dan P(Budi lulus) = 0,6. P(keduanya lulus)?

9. Dari 50 siswa: 30 suka basket, 25 suka voli, 10 suka keduanya. P(suka basket atau voli)?

10. P(hujan) = 0,4, P(banjir|hujan) = 0,6. P(hujan dan banjir)?

Sulit

11. Kotak I: 4M, 3P. Kotak II: 2M, 5P. Dari masing-masing diambil 1. P(keduanya putih)?

12. Kantong berisi 5M, 3B. Diambil 3 tanpa pengembalian. P(urutan: M, B, M)?

13. P(A)=1/2, P(B)=1/3, P(C)=1/4, saling bebas. P(tidak satupun terjadi)?

14. P(lulus|rajin) = 0,9, P(rajin) = 0,6, P(lulus|tidak rajin) = 0,3. Tentukan P(lulus)!

15. Dari 200 siswa: 120 suka Mat, 100 suka Fis, 80 suka Kim, 60 suka Mat&Fis, 50 suka Mat&Kim, 40 suka Fis&Kim, 30 suka ketiganya. P(suka minimal 1 pelajaran)?

📚 Materi Peluang Suatu Kejadian — Selamat Belajar!

Teknik Pengambilan Sampel

Pengambilan Sampel Sekaligus & Satu Demi Satu

1. Pengambilan Sampel Sekaligus

Pengertian

Pengambilan sampel sekaligus adalah teknik pengambilan sampel di mana seluruh sampel diambil secara bersamaan (sekaligus) dari populasi, tanpa ada pengembalian di antara pengambilan. Karena diambil bersamaan, urutan pengambilan tidak diperhatikan.

💡 Catatan Penting: Karena urutan tidak penting, maka teknik ini menggunakan Kombinasi, bukan Permutasi.

Rumus Utama

Banyaknya cara mengambil r objek dari n objek secara sekaligus:

C(n, r) = n!r! × (n − r)!

Keterangan:

n = jumlah total objek dalam populasi
r = jumlah objek yang diambil (ukuran sampel)
n! = n faktorial = n × (n−1) × (n−2) × … × 1
C(n, r) juga ditulis sebagai _nC_r atau n r

Rumus Peluang

P(A) = Banyak cara kejadian ABanyak cara seluruh kemungkinan

Contoh Sederhana

Dari 5 bola diambil 3 bola sekaligus:

C(5, 3) = 5!3! × 2! = 1206 × 2 = 10 cara

Kapan Digunakan?

Situasi	Teknik
Mengambil kartu dari setumpuk kartu	Sekaligus
Memilih anggota panitia dari kelas	Sekaligus
Mengambil bola dari kotak tanpa melihat	Sekaligus

2. Contoh Soal: Sampel Sekaligus

MUDAH Contoh Soal Mudah

Contoh 1. Dari 6 bola diambil 2 bola sekaligus. Berapa banyak cara pengambilan?

Diketahui: n = 6, r = 2

Rumus: C(n, r) = C(6, 2)

C(6, 2) = 6!2! × 4! = 6 × 52 × 1 = 302 = 15 cara

Contoh 2. Dari 8 siswa dipilih 3 siswa sebagai panitia. Berapa banyak cara pemilihan?

Diketahui: n = 8, r = 3

C(8, 3) = 8!3! × 5! = 8 × 7 × 63 × 2 × 1 = 3366 = 56 cara

Contoh 3. Sebuah kotak berisi 4 bola merah dan 3 bola putih. Diambil 2 bola sekaligus. Berapa peluang terambil 2 bola merah?

Diketahui: 4 merah, 3 putih, total = 7, diambil 2

Ruang sampel: C(7, 2) = 21

Kejadian 2 merah: C(4, 2) = 6

P(2 merah) = C(4, 2)C(7, 2) = 621 = 27

Contoh 4. Dari 10 buku diambil 4 buku sekaligus. Berapa banyak cara pengambilan?

C(10, 4) = 10!4! × 6! = 10 × 9 × 8 × 74 × 3 × 2 × 1 = 504024 = 210 cara

Contoh 5. Dari 5 bola biru dan 3 bola kuning, diambil 3 bola sekaligus. Berapa peluang terambil semua bola biru?

Total bola: 5 + 3 = 8

Ruang sampel: C(8, 3) = 56

Kejadian 3 biru: C(5, 3) = 10

P(3 biru) = 1056 = 528

SEDANG Contoh Soal Sedang

Contoh 6. Kotak berisi 5 bola merah dan 4 bola putih. Diambil 3 bola sekaligus. Berapa peluang terambil 2 merah dan 1 putih?

Total: 9 bola, diambil 3

Ruang sampel: C(9, 3) = 84

Kejadian 2 merah dan 1 putih:

C(5, 2) × C(4, 1) = 10 × 4 = 40

P = 4084 = 1021

Contoh 7. Dari 6 pria dan 5 wanita, dipilih panitia 4 orang. Berapa peluang terpilih 2 pria dan 2 wanita?

Total: 11 orang, dipilih 4

Ruang sampel: C(11, 4) = 330

Kejadian 2 pria 2 wanita:

C(6, 2) × C(5, 2) = 15 × 10 = 150

P = 150330 = 511

Contoh 8. Kotak berisi 3 bola merah, 4 bola biru, 5 bola hijau. Diambil 4 bola sekaligus. Berapa peluang tidak ada bola merah?

Total: 12 bola, diambil 4

Ruang sampel: C(12, 4) = 495

Tidak ada merah → ambil dari biru + hijau = 9 bola

C(9, 4) = 126

P(tanpa merah) = 126495 = 1455

Contoh 9. Dari 52 kartu bridge diambil 5 kartu sekaligus. Berapa peluang terambil tepat 3 kartu As?

Jumlah As: 4, Bukan As: 48, diambil 5

Ruang sampel: C(52, 5) = 2.598.960

Kejadian 3 As dan 2 bukan As:

C(4, 3) × C(48, 2) = 4 × 1.128 = 4.512

P = 4.5122.598.960 = 9454.145 ≈ 0,00174

Contoh 10. Kotak berisi 7 bola merah dan 5 bola putih. Diambil 4 bola sekaligus. Berapa peluang terambil paling sedikit 1 bola putih?

Total: 12 bola, diambil 4

Ruang sampel: C(12, 4) = 495

Komplemen: P(≥1 putih) = 1 − P(0 putih)

P(0 putih) = C(7, 4)C(12, 4) = 35495 = 799

P(≥1 putih) = 1 − 799 = 9299

SULIT Contoh Soal Sulit

Contoh 11. Kotak A berisi 4 bola merah dan 3 bola putih. Kotak B berisi 5 bola merah dan 2 bola putih. Dari kotak A diambil 2 bola dan dari kotak B diambil 3 bola, semuanya sekaligus. Berapa peluang terambil tepat 3 bola merah dari total 5 bola?

Kasus: 3 merah dari total 5 bola. Kemungkinan distribusi merah dari A dan B:

Merah dari A	Merah dari B	Putih dari A	Putih dari B
0	3	2	0
1	2	1	1
2	1	0	2

Ruang sampel: C(7,2) × C(7,3) = 21 × 35 = 735

Kasus 1: (0M,2P dari A) × (3M,0P dari B)

C(4,0)×C(3,2) × C(5,3)×C(2,0) = 1×3 × 10×1 = 30

Kasus 2: (1M,1P dari A) × (2M,1P dari B)

C(4,1)×C(3,1) × C(5,2)×C(2,1) = 4×3 × 10×2 = 240

Kasus 3: (2M,0P dari A) × (1M,2P dari B)

C(4,2)×C(3,0) × C(5,1)×C(2,2) = 6×1 × 5×1 = 30

P = 30 + 240 + 30735 = 300735 = 2049

Contoh 12. Dari 8 orang yang terdiri dari 3 pasangan suami-istri dan 2 bujangan, dipilih 4 orang panitia. Berapa peluang tidak ada pasangan suami-istri yang terpilih bersama?

Ruang sampel: C(8, 4) = 70

Strategi: Pilih dari tiap pasangan paling banyak 1 orang.

Ada 3 pasangan (A, B, C) dan 2 bujangan (D, E). Kita pilih berapa pasangan yg diwakili.

Kasus: pilih k pasangan yang mengirim 1 wakil, sisanya dari bujangan

Total harus = 4 orang. Bujangan = 2.

k=2: 2 wakil pasangan + 2 bujangan. C(3,2)×2²×C(2,2) = 3×4×1 = 12
k=3: 3 wakil pasangan + 1 bujangan. C(3,3)×2³×C(2,1) = 1×8×2 = 16

Total yang memenuhi = 12 + 16 = 28
P = 2870 = 25

Contoh 13. Dari 15 orang (6 insinyur, 5 dokter, 4 guru) dibentuk tim 5 orang. Berapa peluang setiap profesi terwakili minimal 1 orang?

Ruang sampel: C(15, 5) = 3.003

Distribusi (I, D, G) yang mungkin dengan masing-masing ≥ 1:

Insinyur	Dokter	Guru	Banyak cara
1	1	3	C(6,1)×C(5,1)×C(4,3) = 6×5×4 = 120
1	3	1	C(6,1)×C(5,3)×C(4,1) = 6×10×4 = 240
3	1	1	C(6,3)×C(5,1)×C(4,1) = 20×5×4 = 400
1	2	2	C(6,1)×C(5,2)×C(4,2) = 6×10×6 = 360
2	1	2	C(6,2)×C(5,1)×C(4,2) = 15×5×6 = 450
2	2	1	C(6,2)×C(5,2)×C(4,1) = 15×10×4 = 600

Total = 120 + 240 + 400 + 360 + 450 + 600 = 2.170
P = 2.1703.003 = 310429 ≈ 0,7226

Contoh 14. Terdapat 10 bola bernomor 1–10. Diambil 4 bola sekaligus. Berapa peluang jumlah nomor yang terambil genap?

Bola ganjil: {1,3,5,7,9} = 5 bola. Bola genap: {2,4,6,8,10} = 5 bola.

Ruang sampel: C(10, 4) = 210

Jumlah 4 bola genap jika: jumlah ganjil yang diambil genap (0 atau 2 atau 4 ganjil).

0 ganjil, 4 genap: C(5,0)×C(5,4) = 1×5 = 5
2 ganjil, 2 genap: C(5,2)×C(5,2) = 10×10 = 100
4 ganjil, 0 genap: C(5,4)×C(5,0) = 5×1 = 5

P = 5 + 100 + 5210 = 110210 = 1121

Contoh 15. Dari 12 siswa yang terdiri dari 7 laki-laki dan 5 perempuan, dibentuk kelompok 5 orang dengan syarat perempuan tidak boleh lebih banyak dari laki-laki. Berapa peluangnya?

Ruang sampel: C(12, 5) = 792

Syarat: jumlah perempuan ≤ jumlah laki-laki. Distribusi (L, P):

Laki-laki	Perempuan	Banyak cara
5	0	C(7,5)×C(5,0) = 21×1 = 21
4	1	C(7,4)×C(5,1) = 35×5 = 175
3	2	C(7,3)×C(5,2) = 35×10 = 350

Total = 21 + 175 + 350 = 546
P = 546792 = 91132 ≈ 0,6894

3. Latihan Soal: Sampel Sekaligus

MUDAH

1. Dari 7 bola diambil 3 bola sekaligus. Berapa banyak cara pengambilan?

2. Dari 10 siswa dipilih 2 orang sebagai delegasi. Berapa banyak cara pemilihan?

3. Kotak berisi 5 bola merah dan 4 bola putih. Diambil 2 bola sekaligus. Berapa peluang keduanya merah?

4. Dari 9 buku dipilih 3 buku sekaligus. Berapa banyak cara?

5. Dari 6 bola biru dan 4 bola kuning, diambil 2 bola sekaligus. Berapa peluang keduanya biru?

SEDANG

6. Kotak berisi 6 bola merah dan 4 bola putih. Diambil 4 sekaligus. Berapa peluang terambil 2 merah dan 2 putih?

7. Dari 5 pria dan 7 wanita dipilih 3 orang. Berapa peluang terpilih 1 pria dan 2 wanita?

8. Dari 52 kartu bridge diambil 4 kartu sekaligus. Berapa peluang terambil tepat 2 As?

9. Kotak berisi 4 merah, 3 biru, 5 hijau. Diambil 3 sekaligus. Berapa peluang masing-masing warna terambil 1?

10. Dari 8 bola diambil 3 sekaligus. Berapa peluang terambil paling sedikit 1 bola merah, jika ada 3 bola merah dan 5 bola putih?

SULIT

11. Kotak A berisi 3 merah dan 4 putih, kotak B berisi 5 merah dan 2 putih. Dari A diambil 2, dari B diambil 2 sekaligus. Berapa peluang terambil tepat 2 bola merah total?

12. Dari 14 orang (5 insinyur, 4 dokter, 5 guru) dibentuk tim 6 orang dengan setiap profesi minimal 1 orang. Berapa peluangnya?

13. Dari 10 siswa (4 dari kelas A, 6 dari kelas B) dipilih 5 orang. Berapa peluang kelas A lebih banyak terpilih daripada kelas B?

14. Kotak berisi bola bernomor 1–12. Diambil 5 sekaligus. Berapa peluang jumlah nomor bola ganjil?

15. Dari 6 pasang sepatu (12 sepatu) diambil 4 sepatu sekaligus. Berapa peluang tidak ada pasangan yang lengkap?

4. Pengambilan Sampel Satu Demi Satu

Pengertian

Pengambilan sampel satu demi satu adalah teknik pengambilan di mana objek diambil satu per satu secara berurutan. Ada dua variasi:

Variasi	Penjelasan	Sifat
Tanpa Pengembalian	Objek yang sudah diambil tidak dikembalikan	Populasi berkurang setiap pengambilan
Dengan Pengembalian	Objek yang diambil dikembalikan sebelum pengambilan berikutnya	Populasi tetap sama

Rumus: Tanpa Pengembalian

Pengambilan berurutan, urutan diperhatikan → gunakan aturan perkalian dengan probabilitas berubah.

P(A₁ ∩ A₂ ∩ … ∩ Aₖ) = P(A₁) × P(A₂|A₁) × P(A₃|A₁∩A₂) × …

💡 Penting: Setiap pengambilan mengubah komposisi populasi. Peluang pada pengambilan berikutnya tergantung hasil pengambilan sebelumnya (peluang bersyarat).

Rumus: Dengan Pengembalian

Setiap pengambilan independen karena populasi selalu sama.

P(A₁ ∩ A₂ ∩ … ∩ Aₖ) = P(A₁) × P(A₂) × P(A₃) × …

Ilustrasi Perbandingan

Kotak berisi 3 merah dan 2 putih. Diambil 2 bola satu demi satu.

	Tanpa Pengembalian	Dengan Pengembalian
P(merah₁)	35	35
P(merah₂ \| merah₁)	24 (populasi jadi 4)	35 (populasi tetap 5)
P(2 merah)	35 × 24 = 620 = 310	35 × 35 = 925

5. Contoh Soal: Sampel Satu Demi Satu

MUDAH Contoh Soal Mudah

Contoh 1. Kotak berisi 4 merah dan 3 putih. Diambil 2 bola satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang keduanya merah?

Pengambilan 1: P(merah₁) = 47

Pengambilan 2: P(merah₂ | merah₁) = 36

P(2 merah) = 47 × 36 = 1242 = 27

Contoh 2. Kantong berisi 5 bola merah dan 3 bola biru. Diambil 2 bola satu demi satu dengan pengembalian. Berapa peluang keduanya biru?

Dengan pengembalian → setiap pengambilan independen.

P(2 biru) = 38 × 38 = 964

Contoh 3. Kotak berisi 6 bola merah dan 4 bola putih. Diambil 1 bola, tidak dikembalikan, lalu diambil 1 bola lagi. Berapa peluang pertama merah, kedua putih?

P = 610 × 49 = 2490 = 415

Contoh 4. Dari 10 kartu bernomor 1–10, diambil 2 kartu satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang kedua kartu bernomor genap?

Kartu genap: {2,4,6,8,10} = 5 kartu

P = 510 × 49 = 2090 = 29

Contoh 5. Kantong berisi 3 bola hitam dan 5 bola putih. Diambil 2 bola satu demi satu dengan pengembalian. Berapa peluang pertama hitam, kedua putih?

P = 38 × 58 = 1564

SEDANG Contoh Soal Sedang

Contoh 6. Kotak berisi 4 merah, 3 biru, 2 hijau. Diambil 3 bola satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang urutan: merah, biru, hijau?

Total = 9

P = 49 × 38 × 27 = 24504 = 121

Contoh 7. Kotak berisi 5 merah dan 4 putih. Diambil 3 bola satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang tepat 2 merah? (urutan apapun)

Urutan 2 merah dan 1 putih: MMB, MBM, BMM

MMB: 59 × 48 × 47 = 80504

MBM: 59 × 48 × 47 = 80504

BMM: 49 × 58 × 47 = 80504

P = 3 × 80504 = 240504 = 1021

Contoh 8. Dadu dilempar 3 kali (model “dengan pengembalian”). Berapa peluang muncul angka 6 tepat 2 kali?

Ini adalah distribusi binomial: n=3, k=2, p=1/6, q=5/6

P = C(3,2) × (16)² × (56)¹ = 3 × 136 × 56 = 15216 = 572

Contoh 9. Kotak berisi 7 merah dan 3 putih. Diambil 3 satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang paling sedikit 1 putih?

Komplemen: P(≥1 putih) = 1 − P(0 putih)

P(0 putih) = 710 × 69 × 58 = 210720 = 724

P(≥1 putih) = 1 − 724 = 1724

Contoh 10. Koin dilempar 4 kali. Berapa peluang muncul tepat 3 gambar?

Model dengan pengembalian (independen), n=4, k=3, p=1/2

P = C(4,3) × (12)³ × (12)¹ = 4 × 116 = 416 = 14

SULIT Contoh Soal Sulit

Contoh 11. Kotak berisi 5 merah, 4 biru, 3 hijau. Diambil 4 bola satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang bola ketiga yang pertama kali berwarna hijau muncul pada pengambilan ke-3?

Artinya: Pengambilan 1 dan 2 bukan hijau, pengambilan 3 hijau.

Total = 12, hijau = 3, bukan hijau = 9

P = 912 × 811 × 310 = 2161320 = 18110 = 955

Contoh 12. Dari kotak berisi 6 merah dan 4 putih, diambil bola satu demi satu tanpa pengembalian sampai terambil bola putih pertama. Berapa peluang bola putih pertama muncul pada pengambilan ke-4?

Artinya: Pengambilan 1, 2, 3 merah; pengambilan 4 putih.

P = 610 × 59 × 48 × 47 = 4805040 = 221

Contoh 13. Kantong berisi 4 merah dan 6 putih. Diambil 5 bola satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang bola merah dan putih terambil selang-seling (mulai dari merah)?

Urutan: M, P, M, P, M → 3 merah, 2 putih

P = 410 × 69 × 38 × 57 × 26 = 72030240 = 142

Contoh 14. Kotak berisi 3 merah, 3 putih, 3 biru. Diambil 3 bola satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang ketiga bola berbeda warna?

Semua urutan 3 bola berbeda warna:

Ada 3! = 6 urutan warna yang mungkin. Setiap urutan memiliki peluang yang sama:

P(satu urutan, misal M-P-B) = 39 × 38 × 37 = 27504

P(berbeda warna) = 6 × 27504 = 162504 = 928

Contoh 15. Kotak berisi 5 bola merah bernomor 1–5 dan 5 bola putih bernomor 1–5. Diambil 3 bola satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang nomor terambil membentuk barisan naik?

Total bola: 10. Ruang sampel berurutan: P(10,3) = 10 × 9 × 8 = 720

Pilih 3 nomor: Bisa nomor 1–5. Karena ada 2 bola per nomor (merah & putih), kita perhatikan bahwa nomor pada bola adalah 1–5 masing-masing 2.

Kasus barisan naik (a < b < c):

Pilih 3 nomor berbeda dari {1,2,3,4,5}: C(5,3) = 10 cara. Urutan hanya 1 (naik). Tiap posisi bisa merah/putih: 2³ = 8.

Kejadian = 10 × 1 × 8 = 80

Tapi juga ada kasus 2 nomor sama (misal nomor 2 merah dan 2 putih). Barisan naik artinya n₁ < n₂ < n₃ → semua nomor harus berbeda.

P = 80720 = 19

6. Latihan Soal: Sampel Satu Demi Satu

MUDAH

1. Kotak berisi 5 merah dan 3 putih. Diambil 2 bola satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang keduanya putih?

2. Kantong berisi 4 biru dan 6 kuning. Diambil 2 satu demi satu dengan pengembalian. Berapa peluang keduanya kuning?

3. Dari 8 kartu bernomor 1–8, diambil 2 satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang kedua kartu bernomor ganjil?

4. Koin dilempar 3 kali. Berapa peluang muncul tepat 2 angka?

5. Kotak berisi 6 merah dan 4 putih. Diambil 2 satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang pertama merah, kedua putih?

SEDANG

6. Kotak berisi 3 merah, 4 biru, 3 hijau. Diambil 3 satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang urutan: merah, biru, hijau?

7. Dadu dilempar 4 kali. Berapa peluang muncul tepat 1 angka 6?

8. Kotak berisi 8 merah dan 4 putih. Diambil 3 satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang tepat 1 putih?

9. Kantong berisi 5 merah dan 5 putih. Diambil 4 satu demi satu dengan pengembalian. Berapa peluang tepat 2 merah?

10. Dari 10 bola diambil satu demi satu tanpa pengembalian. 6 merah, 4 putih. Berapa peluang pengambilan ke-3 pertama kali putih?

SULIT

11. Kotak berisi 4 merah, 4 putih, 4 biru. Diambil 4 satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang tidak ada warna yang terambil lebih dari 2 kali?

12. Dari 8 merah dan 4 putih, diambil satu demi satu tanpa pengembalian sampai putih pertama muncul. Berapa peluang bola putih muncul pada pengambilan ke-5?

13. Kotak berisi 5 merah dan 5 putih. Diambil 4 satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang merah dan putih selang-seling (mulai dari merah)?

14. Dadu dilempar 5 kali. Berapa peluang angka 6 muncul pada lemparan ke-3 untuk pertama kalinya?

15. Kotak berisi 3 merah, 3 putih, 3 biru, 3 hijau. Diambil 4 satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang keempat bola berbeda warna?

7. Tabel Perbandingan

Aspek	Sekaligus	Satu Demi Satu (Tanpa Pengembalian)	Satu Demi Satu (Dengan Pengembalian)
Cara pengambilan	Semua diambil bersamaan	Satu per satu, tidak dikembalikan	Satu per satu, dikembalikan
Urutan	Tidak penting	Penting (bisa penting/tidak)	Penting (bisa penting/tidak)
Populasi	Berkurang sekaligus	Berkurang bertahap	Tetap
Rumus utama	Kombinasi C(n,r)	Peluang bersyarat bertahap	Peluang independen (perkalian)
Kejadian	Independen (1 kali ambil)	Dependen (saling bergantung)	Independen

💡 Tips Mengerjakan:

Jika soal mengatakan “diambil sekaligus” → gunakan Kombinasi
Jika soal mengatakan “diambil satu per satu tanpa dikembalikan” → gunakan Peluang Bersyarat
Jika soal mengatakan “diambil satu per satu dan dikembalikan” → gunakan Perkalian Peluang Independen
Gunakan teknik komplemen untuk soal “paling sedikit” atau “minimal”

— Teknik Pengambilan Sampel —