Pengukuran Sudut
Pengukuran Sudut
Satuan Pengukuran Sudut & Hubungan Derajat dan Radian
A. Satuan Pengukuran Sudut
Sudut adalah besaran yang menggambarkan rotasi dari satu sinar ke sinar lainnya yang memiliki titik pangkal yang sama. Ada tiga satuan utama pengukuran sudut:
1. Derajat (°)
Satu putaran penuh = 360°. Satu derajat dibagi menjadi 60 menit (‘), dan satu menit dibagi menjadi 60 detik (“).
2. Radian (rad)
Satu radian adalah sudut pusat lingkaran yang menghadap busur dengan panjang sama dengan jari-jari lingkaran.
3. Gradian (grad)
Satu putaran penuh = 400 grad. Digunakan terutama dalam survei dan teknik sipil.
Tabel Perbandingan Satuan Sudut
| Putaran | Derajat (°) | Radian (rad) | Gradian (grad) |
|---|---|---|---|
| 1 penuh | 360° | \(2\pi\) | 400 |
| ¾ | 270° | \(\frac{3\pi}{2}\) | 300 |
| ½ | 180° | \(\pi\) | 200 |
| ¼ | 90° | \(\frac{\pi}{2}\) | 100 |
| ⅙ | 60° | \(\frac{\pi}{3}\) | 66,67 |
| ⅛ | 45° | \(\frac{\pi}{4}\) | 50 |
| 1/12 | 30° | \(\frac{\pi}{6}\) | 33,33 |
Contoh Soal — Satuan Pengukuran Sudut
Tingkat Mudah
1. Berapakah 180° jika dinyatakan dalam gradian?
▶ Lihat Pembahasan2. Ubahlah 90° ke dalam radian!
▶ Lihat Pembahasan3. Berapakah 45° dalam menit busur (‘)?
▶ Lihat Pembahasan4. Nyatakan 200 grad dalam derajat!
▶ Lihat Pembahasan5. Sudut satu putaran penuh adalah berapa radian?
▶ Lihat PembahasanTingkat Sedang
1. Ubahlah 2°30’36” ke dalam bentuk derajat desimal!
▶ Lihat Pembahasan2. Ubahlah 150° ke dalam radian! Sederhanakan hasilnya.
▶ Lihat Pembahasan3. Ubahlah 1,25° ke dalam derajat-menit-detik!
▶ Lihat Pembahasan4. Ubahlah 75 grad ke dalam derajat dan radian!
▶ Lihat Pembahasan5. Jika sudut α = 120° dan sudut β = 100 grad, manakah yang lebih besar?
▶ Lihat PembahasanTingkat Sulit
1. Ubahlah 15°45’30” ke dalam radian! (Nyatakan dalam desimal, 4 angka di belakang koma)
▶ Lihat Pembahasan2. Sebuah roda berputar 5,5 putaran. Berapakah sudut putarannya dalam derajat, radian, dan gradian?
▶ Lihat Pembahasan3. Ubahlah 3,7 radian ke dalam derajat-menit-detik!
▶ Lihat Pembahasan4. Jarum jam bergerak dari angka 12 ke angka 5. Berapakah sudut yang ditempuh dalam derajat, radian, dan gradian?
▶ Lihat Pembahasan5. Sudut α dalam radian memenuhi \(\alpha = \frac{7\pi}{12}\). Nyatakan α dalam DMS (derajat-menit-detik) dan gradian!
▶ Lihat PembahasanLatihan Soal — Satuan Pengukuran Sudut
Tingkat Mudah
1. Ubahlah 60° ke dalam radian!
2. Ubahlah 270° ke dalam gradian!
3. Berapakah 100 grad dalam derajat?
4. Ubahlah 30° ke dalam menit busur (‘)?
5. Setengah putaran sama dengan berapa radian?
Tingkat Sedang
1. Ubahlah 3°15’45” ke dalam derajat desimal!
2. Ubahlah 225° ke dalam radian dan sederhanakan!
3. Ubahlah 250 grad ke dalam derajat!
4. Manakah yang lebih besar: 200 grad atau 170°?
5. Ubahlah 2,35° ke dalam derajat-menit-detik!
Tingkat Sulit
1. Ubahlah 47°23’18” ke dalam radian (4 desimal)!
2. Sebuah bianglala berputar 3,25 putaran. Hitung sudutnya dalam ketiga satuan!
3. Ubahlah 4,2 radian ke dalam derajat-menit-detik!
4. Jarum menit bergerak dari angka 3 ke angka 11. Hitung sudutnya dalam derajat, radian, dan gradian!
5. Sudut \(\beta = \frac{11\pi}{18}\) rad. Nyatakan dalam DMS dan gradian!
B. Hubungan Satuan Derajat dan Radian
Hubungan mendasar antara derajat dan radian berasal dari fakta bahwa satu putaran penuh lingkaran adalah 360° sekaligus \(2\pi\) radian:
Rumus Konversi
Derajat → Radian:
Radian → Derajat:
Nilai Konversi Penting
Tabel Konversi Sudut Istimewa
| Derajat | Radian | Desimal (rad) |
|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 |
| 30° | \(\frac{\pi}{6}\) | 0,5236 |
| 45° | \(\frac{\pi}{4}\) | 0,7854 |
| 60° | \(\frac{\pi}{3}\) | 1,0472 |
| 90° | \(\frac{\pi}{2}\) | 1,5708 |
| 120° | \(\frac{2\pi}{3}\) | 2,0944 |
| 135° | \(\frac{3\pi}{4}\) | 2,3562 |
| 150° | \(\frac{5\pi}{6}\) | 2,6180 |
| 180° | \(\pi\) | 3,1416 |
| 270° | \(\frac{3\pi}{2}\) | 4,7124 |
| 360° | \(2\pi\) | 6,2832 |
Grafik Hubungan Derajat dan Radian
Hubungan derajat dan radian bersifat linear: \(y = \frac{\pi}{180}x\)
Contoh Soal — Hubungan Derajat dan Radian
Tingkat Mudah
1. Ubahlah 60° ke dalam radian!
▶ Lihat Pembahasan2. Ubahlah \(\frac{\pi}{4}\) rad ke dalam derajat!
▶ Lihat Pembahasan3. Ubahlah 30° ke dalam radian!
▶ Lihat Pembahasan4. Ubahlah \(\pi\) rad ke dalam derajat!
▶ Lihat Pembahasan5. Ubahlah 120° ke dalam radian dan sederhanakan!
▶ Lihat PembahasanTingkat Sedang
1. Ubahlah \(\frac{5\pi}{4}\) rad ke dalam derajat!
▶ Lihat Pembahasan2. Ubahlah 210° ke dalam radian dan sederhanakan!
▶ Lihat Pembahasan3. Jumlah dua sudut adalah \(\pi\) rad. Jika sudut pertama 72°, berapakah sudut kedua dalam derajat?
▶ Lihat Pembahasan4. Ubahlah 2 radian ke dalam derajat (2 desimal)!
▶ Lihat Pembahasan5. Ubahlah 315° ke dalam radian dalam bentuk pecahan \(\pi\)!
▶ Lihat PembahasanTingkat Sulit
1. Panjang busur lingkaran dengan jari-jari 10 cm dan sudut pusat 72° adalah…
▶ Lihat Pembahasan2. Luas juring lingkaran dengan jari-jari 6 cm dan sudut pusat \(\frac{2\pi}{3}\) rad adalah…
▶ Lihat Pembahasan3. Dua sudut saling berpelurus. Sudut pertama = \(\frac{2\pi}{5}\) rad. Berapakah sudut kedua dalam derajat dan radian?
▶ Lihat Pembahasan4. Sebuah pendulum berayun membentuk sudut 0,8 radian. Jika panjang pendulum 50 cm, berapakah panjang lintasan ujung pendulum? Nyatakan juga sudutnya dalam derajat!
▶ Lihat Pembahasan5. Tentukan nilai \(x\) jika sudut \((3x + 15)°\) sama dengan \(\frac{7\pi}{12}\) rad!
▶ Lihat PembahasanLatihan Soal — Hubungan Derajat dan Radian
Tingkat Mudah
1. Ubahlah 45° ke dalam radian!
2. Ubahlah \(\frac{\pi}{3}\) rad ke dalam derajat!
3. Ubahlah 360° ke dalam radian!
4. Ubahlah \(\frac{\pi}{2}\) rad ke dalam derajat!
5. Ubahlah 150° ke dalam radian!
Tingkat Sedang
1. Ubahlah \(\frac{11\pi}{6}\) rad ke dalam derajat!
2. Ubahlah 240° ke dalam radian (pecahan π)!
3. Jumlah dua sudut = \(\frac{3\pi}{2}\) rad. Jika sudut pertama 100°, berapa sudut kedua (dalam derajat)?
4. Ubahlah 1,5 radian ke dalam derajat (2 desimal)!
5. Ubahlah 330° ke dalam radian!
Tingkat Sulit
1. Panjang busur lingkaran berjari-jari 8 cm dengan sudut pusat 135° adalah… (dalam cm)
2. Luas juring dengan \(r = 5\) cm dan \(\theta = \frac{3\pi}{4}\) rad adalah…
3. Dua sudut saling berkomplemen. Sudut pertama = \(\frac{\pi}{5}\) rad. Berapa sudut kedua dalam derajat dan radian?
4. Sebuah kipas membentuk sudut 2,4 radian dengan jari-jari 30 cm. Hitung panjang busur kipas dan nyatakan sudutnya dalam derajat!
5. Tentukan nilai \(x\) jika \((5x – 10)° = \frac{5\pi}{9}\) rad!
Perbandingan Trigonometri dari Suatu Sudut
Perbandingan Trigonometri
Panduan lengkap: Materi, Contoh Soal & Latihan — dari sudut istimewa hingga sudut berelasi di setiap kuadran.
1 Nilai Perbandingan Trigonometri dari Suatu Sudut
Pada segitiga siku-siku dengan sudut θ, sisi-sisi dinamakan: sisi miring (hipotenusa = r), sisi depan (depan sudut θ = y), dan sisi samping (samping sudut θ = x).
Enam Perbandingan Trigonometri:
| Fungsi | Rumus | Keterangan |
|---|---|---|
| sin θ | yr | depan / miring |
| cos θ | xr | samping / miring |
| tan θ | yx | depan / samping |
| csc θ | ry | miring / depan |
| sec θ | rx | miring / samping |
| cot θ | xy | samping / depan |
Hubungan penting: sin²θ + cos²θ = 1 (Identitas Pythagoras)
Contoh Soal — Bab 1
Latihan Soal — Bab 1
2 Menghitung Nilai Sin, Cos, Tan Sudut Istimewa
Sudut-sudut istimewa: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Nilai perbandingan trigonometrinya dapat diturunkan dari segitiga khusus.
Tabel Sudut Istimewa:
| θ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin θ | 0 | 12 | ½√2 = √22 | ½√3 = √32 | 1 |
| cos θ | 1 | √32 | √22 | 12 | 0 |
| tan θ | 0 | 1√3 = √33 | 1 | √3 | ∞ |
Segitiga 30°-60°-90°
Segitiga 45°-45°-90°
Contoh Soal — Bab 2
Latihan Soal — Bab 2
3 Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran
Tanda (+/−) perbandingan trigonometri bergantung pada kuadran sudut. Ingat aturan “All Students Take Calculus”:
| Kuadran | Rentang Sudut | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|---|
| I | 0° – 90° | + | + | + |
| II | 90° – 180° | + | − | − |
| III | 180° – 270° | − | − | + |
| IV | 270° – 360° | − | + | − |
Contoh Soal — Bab 3
Latihan Soal — Bab 3
4 Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi
Sudut berelasi menghubungkan nilai trigonometri suatu sudut dengan sudut acuan di kuadran I. Berikut rumus-rumus penting:
| Relasi | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| (180° − α) | sin α | −cos α | −tan α |
| (180° + α) | −sin α | −cos α | tan α |
| (360° − α) | −sin α | cos α | −tan α |
| (90° − α) | cos α | sin α | cot α |
| (90° + α) | cos α | −sin α | −cot α |
| (270° − α) | −cos α | −sin α | cot α |
| (270° + α) | −cos α | sin α | −cot α |
| (−α) | −sin α | cos α | −tan α |
💡 Tips Mengingat:
- 180° ± α dan 360° − α: fungsi tetap (sin→sin, cos→cos, tan→tan), tanda sesuai kuadran.
- 90° ± α dan 270° ± α: fungsi berubah (sin↔cos, tan↔cot), tanda sesuai kuadran.
Contoh Soal — Bab 4
Latihan Soal — Bab 4
Hubungan Perbandingan Trigonometri dan Identitas Trigonometri
Hubungan Perbandingan Trigonometri dan Identitas Trigonometri
Materi lengkap disertai contoh soal dan latihan
1. Perbandingan Trigonometri Dasar
Definisi pada Segitiga Siku-Siku
Pada segitiga siku-siku dengan sudut \(\alpha\), sisi depan (d), sisi samping (s), dan sisi miring (m):
\(\sin \alpha = \dfrac{\text{depan}}{\text{miring}} = \dfrac{d}{m}\)
\(\csc \alpha = \dfrac{1}{\sin \alpha} = \dfrac{m}{d}\)
\(\cos \alpha = \dfrac{\text{samping}}{\text{miring}} = \dfrac{s}{m}\)
\(\sec \alpha = \dfrac{1}{\cos \alpha} = \dfrac{m}{s}\)
\(\tan \alpha = \dfrac{\text{depan}}{\text{samping}} = \dfrac{d}{s}\)
\(\cot \alpha = \dfrac{1}{\tan \alpha} = \dfrac{s}{d}\)
Tabel Nilai Trigonometri Sudut Istimewa
| Sudut | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | 1 |
| cos | 1 | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | 0 |
| tan | 0 | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | 1 | \(\sqrt{3}\) | ∞ |
Contoh Soal – Perbandingan Trigonometri Dasar
🟢 Mudah
1. Diketahui segitiga siku-siku dengan sisi depan = 3 dan sisi miring = 5. Tentukan sin α!
Pembahasan:
\(\sin \alpha = \dfrac{d}{m} = \dfrac{3}{5}\)
2. Jika cos α = 4/5, tentukan sec α!
Pembahasan:
\(\sec \alpha = \dfrac{1}{\cos \alpha} = \dfrac{1}{\frac{4}{5}} = \dfrac{5}{4}\)
3. Tentukan nilai tan 45°!
Pembahasan:
Dari tabel sudut istimewa: \(\tan 45° = 1\)
4. Diketahui sin α = 5/13. Tentukan sisi samping jika sisi miring = 13!
Pembahasan:
d = 5, m = 13. Dengan Pythagoras: \(s = \sqrt{13^2 – 5^2} = \sqrt{169 – 25} = \sqrt{144} = 12\)
5. Tentukan nilai sin 30° + cos 60°!
Pembahasan:
\(\sin 30° + \cos 60° = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1\)
🟡 Sedang
1. Jika tan α = 3/4 dan α di kuadran I, tentukan sin α dan cos α!
Pembahasan:
tan α = d/s = 3/4, maka d = 3, s = 4.
\(m = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\)
\(\sin \alpha = \dfrac{3}{5}, \quad \cos \alpha = \dfrac{4}{5}\)
2. Tentukan nilai \(2\sin 60° \cdot \cos 30°\)!
Pembahasan:
\(2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{2}\)
3. Jika sin α = 7/25, tentukan tan α! (α di kuadran I)
Pembahasan:
d = 7, m = 25. \(s = \sqrt{625 – 49} = \sqrt{576} = 24\)
\(\tan \alpha = \dfrac{7}{24}\)
4. Tentukan nilai \(\dfrac{\sin 45°}{\cos 45°} + \tan 45°\)!
Pembahasan:
\(\dfrac{\sin 45°}{\cos 45°} = \tan 45° = 1\)
Jadi: \(1 + 1 = 2\)
5. Jika cot α = 5/12, tentukan csc α!
Pembahasan:
cot α = s/d = 5/12, maka s = 5, d = 12.
\(m = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\)
\(\csc \alpha = \dfrac{m}{d} = \dfrac{13}{12}\)
🔴 Sulit
1. Jika \(\sin \alpha = \dfrac{3}{5}\) dan α di kuadran II, tentukan nilai \(\cos \alpha + \tan \alpha\)!
Pembahasan:
Di kuadran II: sin positif, cos negatif, tan negatif.
\(\cos \alpha = -\dfrac{4}{5}\) (karena kuadran II)
\(\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{3/5}{-4/5} = -\dfrac{3}{4}\)
\(\cos \alpha + \tan \alpha = -\dfrac{4}{5} + \left(-\dfrac{3}{4}\right) = -\dfrac{16}{20} – \dfrac{15}{20} = -\dfrac{31}{20}\)
2. Buktikan bahwa \(\dfrac{\sin 60° – \sin 30°}{\cos 30° – \cos 60°} = 1\)!
Pembahasan:
\(\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2} – \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} – \frac{1}{2}} = \dfrac{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}{\frac{\sqrt{3}-1}{2}} = 1\) ✓
3. Jika \(\sec \alpha – \tan \alpha = \dfrac{1}{3}\), tentukan nilai \(\sec \alpha + \tan \alpha\)!
Pembahasan:
Gunakan identitas: \(\sec^2\alpha – \tan^2\alpha = 1\)
\((\sec\alpha – \tan\alpha)(\sec\alpha + \tan\alpha) = 1\)
\(\dfrac{1}{3} \cdot (\sec\alpha + \tan\alpha) = 1\)
\(\sec\alpha + \tan\alpha = 3\)
4. Tentukan semua perbandingan trigonometri dari α jika \(\tan \alpha = -\dfrac{5}{12}\) dan \(90° < \alpha < 180°\)!
Pembahasan:
Kuadran II: sin(+), cos(−), tan(−). d = 5, s = 12, \(m = 13\)
\(\sin\alpha = \dfrac{5}{13},\; \cos\alpha = -\dfrac{12}{13},\; \tan\alpha = -\dfrac{5}{12}\)
\(\csc\alpha = \dfrac{13}{5},\; \sec\alpha = -\dfrac{13}{12},\; \cot\alpha = -\dfrac{12}{5}\)
5. Sederhanakan: \(\dfrac{\sin^2 30° + \cos^2 60°}{\tan 45° \cdot \sin 90°}\)!
Pembahasan:
\(\dfrac{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2}{1 \cdot 1} = \dfrac{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}{1} = \dfrac{1}{2}\)
Latihan Soal – Perbandingan Trigonometri Dasar
🟢 Mudah
- Tentukan cos α jika sisi samping = 8 dan sisi miring = 17!
- Tentukan nilai sin 60°!
- Jika tan α = 1, tentukan sudut α (0° ≤ α ≤ 90°)!
- Tentukan cot 30°!
- Jika sin α = 12/13, tentukan cos α (kuadran I)!
🟡 Sedang
- Jika cos α = 5/13, tentukan semua perbandingan trigonometri di kuadran I!
- Hitung \(\sin^2 45° + \cos^2 45°\)!
- Jika sec α = 2, tentukan cos α dan tan α!
- Tentukan nilai \(\tan 60° – \tan 30°\)!
- Jika csc α = 5/3, tentukan sin α dan cos α!
🔴 Sulit
- Jika \(\sin\alpha = -\dfrac{4}{5}\) dan α di kuadran III, tentukan \(\cos\alpha + \cot\alpha\)!
- Sederhanakan \(\dfrac{\sin 30° \cdot \tan 60°}{\cos 30° \cdot \cot 60°}\)!
- Jika \(\cos\alpha = -\dfrac{7}{25}\) dan \(180° < \alpha < 270°\), tentukan semua perbandingan trigonometri!
- Buktikan \(\sin^2 60° – \sin^2 30° = \sin 90° \cdot \sin 30°\)!
- Jika \(\tan\alpha + \cot\alpha = \dfrac{25}{12}\), tentukan \(\sin\alpha \cdot \cos\alpha\)!
2. Hubungan Antar Perbandingan Trigonometri
Hubungan Kebalikan (Reciprocal)
\(\csc \alpha = \dfrac{1}{\sin \alpha}\)
\(\sec \alpha = \dfrac{1}{\cos \alpha}\)
\(\cot \alpha = \dfrac{1}{\tan \alpha}\)
Hubungan Perbandingan (Quotient)
\(\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\)
\(\cot \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\)
Hubungan Kuadrat (Pythagorean)
\(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\)
\(1 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha\)
\(1 + \cot^2\alpha = \csc^2\alpha\)
Tanda Perbandingan Trigonometri di Setiap Kuadran
Contoh Soal – Hubungan Antar Perbandingan
🟢 Mudah
1. Jika sin α = 3/5, tentukan cos α menggunakan identitas Pythagoras!
Pembahasan:
\(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\)
\(\cos^2\alpha = 1 – \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = 1 – \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}\)
\(\cos\alpha = \dfrac{4}{5}\) (kuadran I)
2. Tunjukkan bahwa \(\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) untuk α = 30°!
Pembahasan:
\(\dfrac{\sin 30°}{\cos 30°} = \dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \tan 30°\) ✓
3. Jika cos α = 5/13, tentukan tan α! (kuadran I)
Pembahasan:
\(\sin\alpha = \sqrt{1 – \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \dfrac{12}{13}\)
\(\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{12/13}{5/13} = \dfrac{12}{5}\)
4. Tentukan nilai \(\sin^2 60° + \cos^2 60°\)!
Pembahasan:
\(\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = 1\) ✓ (sesuai identitas)
5. Jika tan α = 2, tentukan sec²α!
Pembahasan:
\(\sec^2\alpha = 1 + \tan^2\alpha = 1 + 4 = 5\)
🟡 Sedang
1. Jika \(\sin\alpha = \dfrac{8}{17}\) dan α di kuadran II, tentukan tan α!
Pembahasan:
\(\cos^2\alpha = 1 – \dfrac{64}{289} = \dfrac{225}{289}\), di kuadran II cos negatif:
\(\cos\alpha = -\dfrac{15}{17}\)
\(\tan\alpha = \dfrac{8/17}{-15/17} = -\dfrac{8}{15}\)
2. Buktikan bahwa \(1 + \cot^2\alpha = \csc^2\alpha\) dari identitas dasar!
Pembahasan:
Dari \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\), bagi kedua ruas dengan \(\sin^2\alpha\):
\(1 + \dfrac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \dfrac{1}{\sin^2\alpha}\)
\(1 + \cot^2\alpha = \csc^2\alpha\) ✓
3. Jika \(\tan\alpha = -\dfrac{3}{4}\) dan α di kuadran IV, tentukan sin α + cos α!
Pembahasan:
Kuadran IV: sin(−), cos(+). d=3, s=4, m=5
\(\sin\alpha = -\dfrac{3}{5},\; \cos\alpha = \dfrac{4}{5}\)
\(\sin\alpha + \cos\alpha = -\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{5}\)
4. Sederhanakan \(\dfrac{1 – \sin^2\alpha}{\cos\alpha}\)!
Pembahasan:
\(\dfrac{1 – \sin^2\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{\cos^2\alpha}{\cos\alpha} = \cos\alpha\)
5. Jika cot α = 7/24, tentukan sin α dan cos α!
Pembahasan:
cot = s/d = 7/24. \(m = \sqrt{49+576} = \sqrt{625} = 25\)
\(\sin\alpha = \dfrac{24}{25},\; \cos\alpha = \dfrac{7}{25}\)
🔴 Sulit
1. Buktikan \(\dfrac{\tan\alpha}{1 – \cot\alpha} + \dfrac{\cot\alpha}{1 – \tan\alpha} = 1 + \sec\alpha\csc\alpha\)!
Pembahasan:
Substitusi \(\tan\alpha = \dfrac{s}{c}\), \(\cot\alpha = \dfrac{c}{s}\) dimana s = sin α, c = cos α:
\(\dfrac{\frac{s}{c}}{1-\frac{c}{s}} + \dfrac{\frac{c}{s}}{1-\frac{s}{c}} = \dfrac{\frac{s}{c}}{\frac{s-c}{s}} + \dfrac{\frac{c}{s}}{\frac{c-s}{c}}\)
\(= \dfrac{s^2}{c(s-c)} + \dfrac{c^2}{s(c-s)} = \dfrac{s^2}{c(s-c)} – \dfrac{c^2}{s(s-c)}\)
\(= \dfrac{s^3 – c^3}{sc(s-c)} = \dfrac{(s-c)(s^2+sc+c^2)}{sc(s-c)} = \dfrac{1+sc}{sc} = \dfrac{1}{sc} + 1\)
\(= \csc\alpha\sec\alpha + 1\) ✓
2. Jika \(\sin\alpha + \cos\alpha = \dfrac{7}{5}\), tentukan \(\sin\alpha \cdot \cos\alpha\)!
Pembahasan:
Kuadratkan: \((\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \dfrac{49}{25}\)
\(\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = \dfrac{49}{25}\)
\(1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{49}{25}\)
\(\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{49}{25} – 1\right) = \dfrac{24}{50} = \dfrac{12}{25}\)
3. Sederhanakan \(\dfrac{\sec\alpha – \cos\alpha}{\sin\alpha}\)!
Pembahasan:
\(\dfrac{\frac{1}{\cos\alpha} – \cos\alpha}{\sin\alpha} = \dfrac{\frac{1-\cos^2\alpha}{\cos\alpha}}{\sin\alpha} = \dfrac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha \cdot \sin\alpha} = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha\)
4. Jika \(\tan\alpha – \sin\alpha = m\) dan \(\tan\alpha + \sin\alpha = n\), buktikan \(m^2 – n^2 = -4\sqrt{mn}\) salah, dan tentukan hubungan yang benar!
Pembahasan:
\(n^2 – m^2 = (n+m)(n-m) = 2\tan\alpha \cdot 2\sin\alpha = 4\tan\alpha\sin\alpha\)
\(mn = (\tan\alpha)^2 – \sin^2\alpha = \dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} – \sin^2\alpha = \sin^2\alpha\left(\dfrac{1-\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}\right) = \dfrac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha}\)
\(4\sqrt{mn} = 4\cdot\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha} = 4\tan\alpha\sin\alpha\)
Jadi hubungan yang benar: \(n^2 – m^2 = 4\sqrt{mn}\) ✓
5. Sederhanakan \(\dfrac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha} + \dfrac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha}\)!
Pembahasan:
\(= \dfrac{(1+\sin\alpha)^2 + \cos^2\alpha}{\cos\alpha(1+\sin\alpha)}\)
\(= \dfrac{1+2\sin\alpha+\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\cos\alpha(1+\sin\alpha)}\)
\(= \dfrac{2+2\sin\alpha}{\cos\alpha(1+\sin\alpha)} = \dfrac{2(1+\sin\alpha)}{\cos\alpha(1+\sin\alpha)} = \dfrac{2}{\cos\alpha} = 2\sec\alpha\)
Latihan Soal – Hubungan Antar Perbandingan
🟢 Mudah
- Jika cos α = 7/25, tentukan sin α! (kuadran I)
- Tentukan sec²α jika tan α = 3!
- Jika sin α = 1/2, tentukan csc α!
- Tentukan cot α jika tan α = √3!
- Verifikasi bahwa sin²30° + cos²30° = 1!
🟡 Sedang
- Jika sin α = −5/13 dan α di kuadran III, tentukan cos α dan tan α!
- Sederhanakan \(\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + 1\)!
- Jika sec α = 5/3, tentukan tan α dan cot α!
- Buktikan \(1 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha\) dari identitas dasar!
- Jika cos α = 3/5 dan α di kuadran IV, tentukan csc α!
🔴 Sulit
- Jika \(\sin\alpha – \cos\alpha = \dfrac{1}{3}\), tentukan \(\sin\alpha\cos\alpha\)!
- Sederhanakan \(\dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} + \dfrac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}\)!
- Buktikan \((\sin\alpha + \cos\alpha)^2 + (\sin\alpha – \cos\alpha)^2 = 2\)!
- Jika \(\tan\alpha + \cot\alpha = 3\), tentukan \(\tan^2\alpha + \cot^2\alpha\)!
- Sederhanakan \(\dfrac{\csc\alpha – \sin\alpha}{\cos\alpha}\)!
3. Identitas Trigonometri
Identitas Dasar
| No | Identitas | Keterangan |
|---|---|---|
| 1 | \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) | Identitas Pythagoras |
| 2 | \(\tan^2\alpha + 1 = \sec^2\alpha\) | Turunan dari (1) ÷ cos²α |
| 3 | \(1 + \cot^2\alpha = \csc^2\alpha\) | Turunan dari (1) ÷ sin²α |
| 4 | \(\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) | Hubungan pembagian |
| 5 | \(\cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\) | Hubungan pembagian |
Strategi Membuktikan Identitas Trigonometri
- Pilih satu ruas (biasanya yang lebih kompleks) dan ubah menjadi ruas lainnya.
- Ubah semua ke sin dan cos jika kesulitan.
- Gunakan identitas Pythagoras untuk menyederhanakan.
- Faktorisasi jika memungkinkan.
- Kalikan dengan konjugat jika terdapat bentuk (1 ± sin) atau (1 ± cos).
Contoh Soal – Identitas Trigonometri
🟢 Mudah
1. Buktikan \(\sin^2\alpha = 1 – \cos^2\alpha\)!
Pembahasan:
Dari identitas: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\)
Pindahkan: \(\sin^2\alpha = 1 – \cos^2\alpha\) ✓
2. Sederhanakan \(\sin\alpha \cdot \csc\alpha\)!
Pembahasan:
\(\sin\alpha \cdot \csc\alpha = \sin\alpha \cdot \dfrac{1}{\sin\alpha} = 1\)
3. Sederhanakan \(\cos\alpha \cdot \tan\alpha\)!
Pembahasan:
\(\cos\alpha \cdot \tan\alpha = \cos\alpha \cdot \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \sin\alpha\)
4. Buktikan \(\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1\)!
Pembahasan:
\(\tan\alpha \cdot \cot\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 1\) ✓
5. Sederhanakan \(\sec^2\alpha – \tan^2\alpha\)!
Pembahasan:
Dari identitas \(1 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha\):
\(\sec^2\alpha – \tan^2\alpha = 1\)
🟡 Sedang
1. Buktikan \(\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = \dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}\)!
Pembahasan:
Cross multiply: \(\sin\alpha \cdot \sin\alpha = (1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)\)
\(\sin^2\alpha = 1 – \cos^2\alpha\) ✓ (identitas Pythagoras)
2. Sederhanakan \(\dfrac{1}{\sin^2\alpha} – \dfrac{1}{\tan^2\alpha}\)!
Pembahasan:
\(= \csc^2\alpha – \cot^2\alpha\)
Dari identitas \(1 + \cot^2\alpha = \csc^2\alpha\):
\(\csc^2\alpha – \cot^2\alpha = 1\)
3. Buktikan \(\cos^4\alpha – \sin^4\alpha = \cos^2\alpha – \sin^2\alpha\)!
Pembahasan:
Ruas kiri = selisih kuadrat:
\((\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)(\cos^2\alpha – \sin^2\alpha) = 1 \cdot (\cos^2\alpha – \sin^2\alpha)\)
\(= \cos^2\alpha – \sin^2\alpha\) = ruas kanan ✓
4. Sederhanakan \(\dfrac{\tan\alpha + \cot\alpha}{\csc\alpha}\)!
Pembahasan:
\(= \dfrac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}{\frac{1}{\sin\alpha}} = \dfrac{\frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}}{\frac{1}{\sin\alpha}}\)
\(= \dfrac{\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}}{\frac{1}{\sin\alpha}} = \dfrac{1}{\cos\alpha} = \sec\alpha\)
5. Buktikan \(\dfrac{1-\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha}\)!
Pembahasan:
Cross multiply: \((1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha) = \cos^2\alpha\)
\(1 – \sin^2\alpha = \cos^2\alpha\) ✓
🔴 Sulit
1. Buktikan \(\dfrac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha} – \dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = 2\cot\alpha\)!
Pembahasan:
\(= \dfrac{\sin\alpha(1+\cos\alpha) – \sin\alpha(1-\cos\alpha)}{(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)}\)
\(= \dfrac{\sin\alpha + \sin\alpha\cos\alpha – \sin\alpha + \sin\alpha\cos\alpha}{1-\cos^2\alpha}\)
\(= \dfrac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha} = \dfrac{2\cos\alpha}{\sin\alpha} = 2\cot\alpha\) ✓
2. Buktikan \((\sec\alpha + \tan\alpha)(\sec\alpha – \tan\alpha) = 1\)!
Pembahasan:
\(= \sec^2\alpha – \tan^2\alpha\)
Dari identitas: \(\sec^2\alpha = 1 + \tan^2\alpha\)
\(\sec^2\alpha – \tan^2\alpha = 1\) ✓
3. Buktikan \(\dfrac{\tan^2\alpha – \sin^2\alpha}{\tan^2\alpha \cdot \sin^2\alpha} = 1\)!
Pembahasan:
Ruas kiri \(= \dfrac{1}{\sin^2\alpha} – \dfrac{1}{\tan^2\alpha} = \csc^2\alpha – \cot^2\alpha\)
Tunggu, kita cek ulang:
\(\dfrac{\tan^2\alpha – \sin^2\alpha}{\tan^2\alpha \cdot \sin^2\alpha} = \dfrac{\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} – \sin^2\alpha}{\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\cdot\sin^2\alpha}\)
\(= \dfrac{\sin^2\alpha\left(\frac{1}{\cos^2\alpha}-1\right)}{\frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha}} = \dfrac{\sin^2\alpha \cdot \frac{1-\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{\frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha}} = \dfrac{\sin^2\alpha \cdot \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{\frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha}} = \dfrac{\frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha}}{\frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha}} = 1\) ✓
4. Sederhanakan \(\dfrac{1}{1-\sin\alpha} + \dfrac{1}{1+\sin\alpha}\)!
Pembahasan:
\(= \dfrac{(1+\sin\alpha) + (1-\sin\alpha)}{(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)} = \dfrac{2}{1-\sin^2\alpha} = \dfrac{2}{\cos^2\alpha} = 2\sec^2\alpha\)
5. Buktikan \(\dfrac{\sin^3\alpha + \cos^3\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} = 1 – \sin\alpha\cos\alpha\)!
Pembahasan:
Gunakan rumus \(a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\):
\(\dfrac{(\sin\alpha+\cos\alpha)(\sin^2\alpha – \sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha)}{\sin\alpha+\cos\alpha}\)
\(= \sin^2\alpha – \sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = 1 – \sin\alpha\cos\alpha\) ✓
Latihan Soal – Identitas Trigonometri
🟢 Mudah
- Sederhanakan \(\sin\alpha \cdot \sec\alpha\)!
- Buktikan \(\csc^2\alpha – \cot^2\alpha = 1\)!
- Sederhanakan \(\cos^2\alpha(1 + \tan^2\alpha)\)!
- Buktikan \(\sin\alpha \cdot \cot\alpha = \cos\alpha\)!
- Sederhanakan \(\dfrac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\cos\alpha}\)!
🟡 Sedang
- Buktikan \(\dfrac{\cos\alpha}{1-\sin\alpha} = \sec\alpha + \tan\alpha\)!
- Sederhanakan \(\dfrac{\sin^2\alpha – 1}{\sin\alpha – \csc\alpha}\)!
- Buktikan \(\sin^4\alpha – \cos^4\alpha = 2\sin^2\alpha – 1\)!
- Sederhanakan \((\csc\alpha – \cot\alpha)(\csc\alpha + \cot\alpha)\)!
- Buktikan \(\dfrac{\tan\alpha}{\sec\alpha} = \sin\alpha\)!
🔴 Sulit
- Buktikan \(\dfrac{1+\tan^2\alpha}{1+\cot^2\alpha} = \tan^2\alpha\)!
- Buktikan \(\dfrac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha} + \dfrac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2\sec\alpha\)!
- Buktikan \((\sin\alpha + \cos\alpha)^2 + (\sin\alpha – \cos\alpha)^2 = 2\)!
- Sederhanakan \(\dfrac{\sec^4\alpha – \tan^4\alpha}{\sec^2\alpha + \tan^2\alpha}\)!
- Buktikan \(\dfrac{\cot^2\alpha – 1}{\csc^2\alpha} = 1 – 2\sin^2\alpha\)!
Fungsi Trigonometri dan Grafiknya
Fungsi Trigonometri dan Grafiknya
Materi Lengkap dengan Contoh Soal dan Latihan
1. Fungsi Trigonometri
Pengertian
Fungsi trigonometri adalah fungsi yang menghubungkan sudut dengan perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku. Terdapat enam fungsi trigonometri utama:
1. sin θ = sisi depan / sisi miring
2. cos θ = sisi samping / sisi miring
3. tan θ = sisi depan / sisi samping
4. csc θ = 1 / sin θ
5. sec θ = 1 / cos θ
6. cot θ = 1 / tan θ
Nilai Fungsi Trigonometri Sudut Istimewa
| θ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin θ | 0 | ½ | ½√2 | ½√3 | 1 |
| cos θ | 1 | ½√3 | ½√2 | ½ | 0 |
| tan θ | 0 | ⅓√3 | 1 | √3 | ∞ |
Sifat-sifat Fungsi Trigonometri
• sin²θ + cos²θ = 1
• tan θ = sin θ / cos θ
• 1 + tan²θ = sec²θ
• 1 + cot²θ = csc²θ
Domain dan Range
| Fungsi | Domain | Range |
|---|---|---|
| sin x | Semua bilangan real | [-1, 1] |
| cos x | Semua bilangan real | [-1, 1] |
| tan x | x ≠ 90° + n·180° | Semua bilangan real |
📝 Contoh Soal: Fungsi Trigonometri
Mudah
1. Tentukan nilai sin 30°!
Pembahasan:
Dari tabel sudut istimewa, sin 30° = ½ = 0,5
2. Tentukan nilai cos 60°!
Pembahasan:
Dari tabel sudut istimewa, cos 60° = ½ = 0,5
3. Tentukan nilai tan 45°!
Pembahasan:
Dari tabel sudut istimewa, tan 45° = 1
4. Jika sin θ = ½, tentukan nilai cos θ untuk θ di kuadran I!
Pembahasan:
sin²θ + cos²θ = 1
(½)² + cos²θ = 1
¼ + cos²θ = 1
cos²θ = ¾
cos θ = ½√3 (kuadran I, cos positif)
5. Tentukan nilai sin 0° + cos 0°!
Pembahasan:
sin 0° + cos 0° = 0 + 1 = 1
Sedang
1. Tentukan nilai sin 150°!
Pembahasan:
150° berada di kuadran II, sin positif
sin 150° = sin(180° – 30°) = sin 30° = ½
2. Tentukan nilai cos 210°!
Pembahasan:
210° berada di kuadran III, cos negatif
cos 210° = cos(180° + 30°) = -cos 30° = -½√3
3. Tentukan nilai tan 135°!
Pembahasan:
135° berada di kuadran II, tan negatif
tan 135° = tan(180° – 45°) = -tan 45° = -1
4. Jika tan θ = 3/4 dan θ di kuadran I, tentukan sin θ dan cos θ!
Pembahasan:
tan θ = depan/samping = 3/4
Miring = √(3² + 4²) = √25 = 5
sin θ = 3/5, cos θ = 4/5
5. Buktikan bahwa sin²60° + cos²60° = 1!
Pembahasan:
sin 60° = ½√3, maka sin²60° = (½√3)² = ¾
cos 60° = ½, maka cos²60° = (½)² = ¼
sin²60° + cos²60° = ¾ + ¼ = 1 ✓ (terbukti)
Sulit
1. Tentukan nilai sin 750°!
Pembahasan:
750° = 2 × 360° + 30°
sin 750° = sin 30° = ½
2. Jika sin α = 5/13 dan α di kuadran II, tentukan nilai tan α + cos α!
Pembahasan:
sin α = 5/13 (kuadran II)
cos²α = 1 – sin²α = 1 – 25/169 = 144/169
cos α = -12/13 (negatif di kuadran II)
tan α = sin α / cos α = (5/13) / (-12/13) = -5/12
tan α + cos α = -5/12 + (-12/13) = -65/156 – 144/156 = -209/156
3. Sederhanakan: (sin²θ)/(1 – cos θ)
Pembahasan:
sin²θ = 1 – cos²θ = (1 – cos θ)(1 + cos θ)
(sin²θ)/(1 – cos θ) = (1 – cos θ)(1 + cos θ)/(1 – cos θ) = 1 + cos θ
4. Buktikan: (1 + tan²θ) × cos²θ = 1
Pembahasan:
1 + tan²θ = sec²θ = 1/cos²θ
(1 + tan²θ) × cos²θ = (1/cos²θ) × cos²θ = 1 ✓
5. Jika sin α + cos α = 7/5, tentukan nilai sin α × cos α!
Pembahasan:
(sin α + cos α)² = sin²α + 2 sin α cos α + cos²α
(7/5)² = 1 + 2 sin α cos α
49/25 = 1 + 2 sin α cos α
2 sin α cos α = 49/25 – 1 = 24/25
sin α × cos α = 12/25
✏️ Latihan Soal: Fungsi Trigonometri
Mudah
- Tentukan nilai sin 90°!
- Tentukan nilai cos 45°!
- Tentukan nilai tan 30°!
- Hitung sin 0° × cos 90°!
- Tentukan nilai sin²45°!
Sedang
- Tentukan nilai cos 315°!
- Tentukan nilai sin 240°!
- Jika cos θ = 3/5, θ kuadran IV, tentukan sin θ!
- Tentukan nilai 2sin 30° × cos 30°!
- Hitung tan 300°!
Sulit
- Sederhanakan: cos⁴θ – sin⁴θ
- Jika tan α = -3/4 dan α di kuadran II, tentukan sin α + cos α!
- Buktikan: (sin θ + cos θ)² + (sin θ – cos θ)² = 2
- Tentukan nilai sin 1050°!
- Jika sin x – cos x = ½, tentukan sin³x – cos³x!
2. Grafik Fungsi f(x) = sin x
Sifat-sifat Grafik f(x) = sin x
• Amplitudo = 1
• Periode = 2π = 360°
• Nilai maksimum = 1 (saat x = 90° + n·360°)
• Nilai minimum = -1 (saat x = 270° + n·360°)
• Memotong sumbu x di x = n·180° (n bilangan bulat)
• Fungsi ganjil: sin(-x) = -sin x
Grafik f(x) = sin x
Tabel Nilai
| x | 0° | 90° | 180° | 270° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin x | 0 | 1 | 0 | -1 | 0 |
📝 Contoh Soal: Grafik sin x
Mudah
1. Tentukan nilai f(90°) jika f(x) = sin x!
Pembahasan: f(90°) = sin 90° = 1
2. Berapa periode fungsi f(x) = sin x?
Pembahasan: Periode sin x = 2π = 360°
3. Di titik mana grafik sin x memotong sumbu x untuk 0° ≤ x ≤ 360°?
Pembahasan: sin x = 0 saat x = 0°, 180°, 360°
4. Tentukan amplitudo f(x) = sin x!
Pembahasan: Amplitudo = |1| = 1
5. Tentukan nilai maksimum dan minimum f(x) = sin x!
Pembahasan: Maksimum = 1, Minimum = -1
Sedang
1. Tentukan nilai f(x) = 2 sin x saat x = 30°!
Pembahasan: f(30°) = 2 sin 30° = 2 × ½ = 1
2. Tentukan amplitudo dan periode f(x) = 3 sin 2x!
Pembahasan:
Bentuk umum: f(x) = A sin Bx
Amplitudo = |A| = |3| = 3
Periode = 360°/|B| = 360°/2 = 180°
3. Untuk f(x) = sin x, di interval [0°, 360°], tentukan kapan f(x) > 0!
Pembahasan: sin x > 0 saat 0° < x < 180° (kuadran I dan II)
4. Tentukan persamaan fungsi sinus dengan amplitudo 4 dan periode 720°!
Pembahasan:
A = 4, Periode = 360°/B → 720° = 360°/B → B = ½
f(x) = 4 sin(½x)
5. Grafik f(x) = sin x digeser 90° ke kiri. Tentukan persamaan fungsi barunya!
Pembahasan:
Geser kiri 90°: f(x) = sin(x + 90°) = cos x
Sulit
1. Tentukan semua nilai x di [0°, 720°] yang memenuhi sin x = ½√2!
Pembahasan:
sin x = ½√2 = sin 45°
x = 45° + n·360° atau x = 135° + n·360°
Untuk [0°, 720°]: x = 45°, 135°, 405°, 495°
2. Tentukan persamaan grafik sinus yang melalui titik (30°, 3) dengan periode 120°!
Pembahasan:
Periode = 360°/B → 120° = 360°/B → B = 3
f(x) = A sin 3x
f(30°) = A sin 90° = A = 3
Jadi f(x) = 3 sin 3x
3. Tentukan range f(x) = 2 sin x + 3 untuk semua x!
Pembahasan:
-1 ≤ sin x ≤ 1
-2 ≤ 2 sin x ≤ 2
1 ≤ 2 sin x + 3 ≤ 5
Range: [1, 5]
4. Tentukan jumlah solusi persamaan sin x = x/720 untuk 0° ≤ x ≤ 720°!
Pembahasan:
Garis y = x/720 memotong dari (0,0) ke (720°, 1)
Dalam interval ini, sin x memiliki 2 periode lengkap
Dengan analisis grafis, terdapat 5 titik potong
5. Tentukan f(x) = sin x + sin(x + 120°) + sin(x + 240°)!
Pembahasan:
Menggunakan rumus jumlah sinus:
sin x + sin(x+120°) + sin(x+240°)
= sin x + (sin x cos 120° + cos x sin 120°) + (sin x cos 240° + cos x sin 240°)
= sin x + sin x(-½) + cos x(½√3) + sin x(-½) + cos x(-½√3)
= sin x – ½ sin x + ½√3 cos x – ½ sin x – ½√3 cos x
= sin x – sin x = 0
Jadi f(x) = 0 untuk semua x
✏️ Latihan Soal: Grafik sin x
Mudah
- Tentukan f(270°) jika f(x) = sin x!
- Di mana grafik sin x mencapai nilai maksimum pertama kali?
- Tentukan f(180°) untuk f(x) = sin x!
- Apakah sin x fungsi genap atau ganjil?
- Berapa banyak titik potong sin x dengan sumbu x di [0°, 360°]?
Sedang
- Tentukan amplitudo dan periode f(x) = 5 sin 3x!
- Gambarkan sketsa grafik f(x) = sin 2x untuk 0° ≤ x ≤ 360°!
- Tentukan range f(x) = -2 sin x!
- Untuk f(x) = sin(x – 45°), di mana nilai maksimum pertama?
- Tentukan persamaan sinus dengan amplitudo 2 dan periode 90°!
Sulit
- Tentukan semua x di [0°, 360°] sehingga 2sin²x – sin x – 1 = 0!
- Tentukan range f(x) = 3 sin x – 4 cos x!
- Berapa solusi sin 3x = ½ untuk 0° ≤ x ≤ 360°?
- Tentukan luas daerah yang dibatasi f(x) = sin x dan sumbu x di [0°, 180°]!
- Jika f(x) = sin x dan g(x) = sin 2x, tentukan semua x di [0°, 360°] sehingga f(x) = g(x)!
3. Grafik Fungsi f(x) = cos x
Sifat-sifat Grafik f(x) = cos x
• Amplitudo = 1
• Periode = 2π = 360°
• Nilai maksimum = 1 (saat x = n·360°)
• Nilai minimum = -1 (saat x = 180° + n·360°)
• Memotong sumbu x di x = 90° + n·180°
• Fungsi genap: cos(-x) = cos x
• cos x = sin(x + 90°) → grafik sin yang digeser 90° ke kiri
Grafik f(x) = cos x
Tabel Nilai
| x | 0° | 90° | 180° | 270° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|
| cos x | 1 | 0 | -1 | 0 | 1 |
📝 Contoh Soal: Grafik cos x
Mudah
1. Tentukan f(0°) jika f(x) = cos x!
Pembahasan: f(0°) = cos 0° = 1
2. Berapa amplitudo f(x) = cos x?
Pembahasan: Amplitudo = 1
3. Tentukan cos 180°!
Pembahasan: cos 180° = -1
4. Apakah cos x fungsi genap atau ganjil?
Pembahasan: cos(-x) = cos x, jadi cos x adalah fungsi genap
5. Di mana grafik cos x memotong sumbu x pertama kali (x > 0)?
Pembahasan: cos x = 0 pertama kali saat x = 90°
Sedang
1. Tentukan amplitudo dan periode f(x) = 4 cos 3x!
Pembahasan: Amplitudo = |4| = 4, Periode = 360°/3 = 120°
2. Tentukan nilai x saat f(x) = cos x mencapai minimum di [0°, 360°]!
Pembahasan: cos x minimum = -1 saat x = 180°
3. Tentukan range f(x) = 3 cos x – 1!
Pembahasan:
-1 ≤ cos x ≤ 1 → -3 ≤ 3cos x ≤ 3 → -4 ≤ 3cos x – 1 ≤ 2
Range: [-4, 2]
4. Grafik f(x) = cos x digeser 90° ke kanan. Apa persamaannya?
Pembahasan: f(x) = cos(x – 90°) = sin x
5. Untuk 0° ≤ x ≤ 360°, kapan cos x ≤ 0?
Pembahasan: cos x ≤ 0 saat 90° ≤ x ≤ 270°
Sulit
1. Tentukan semua x di [0°, 360°] sehingga 2cos²x + cos x – 1 = 0!
Pembahasan:
Misalkan u = cos x: 2u² + u – 1 = 0
(2u – 1)(u + 1) = 0 → u = ½ atau u = -1
cos x = ½ → x = 60°, 300°
cos x = -1 → x = 180°
Solusi: x = 60°, 180°, 300°
2. Tentukan persamaan cosinus dengan amplitudo 5, periode 90°, dan pergeseran fase 30° ke kanan!
Pembahasan:
A = 5, Periode = 360°/B → B = 4, fase = 30° ke kanan
f(x) = 5 cos 4(x – 30°) = 5 cos(4x – 120°)
3. Tentukan nilai minimum f(x) = cos²x + 2cos x + 3!
Pembahasan:
Misalkan u = cos x, -1 ≤ u ≤ 1
g(u) = u² + 2u + 3 = (u + 1)² + 2
Minimum saat u = -1: g(-1) = 0 + 2 = 2
4. Berapa banyak solusi cos 4x = ½ untuk 0° ≤ x ≤ 360°?
Pembahasan:
cos 4x = ½ → 4x = 60° + n·360° atau 4x = 300° + n·360°
x = 15° + n·90° atau x = 75° + n·90°
Untuk [0°, 360°]: x = 15°, 75°, 105°, 165°, 195°, 255°, 285°, 345°
Jumlah solusi = 8
5. Tentukan f(x) = cos x × cos 2x × cos 4x saat x = 20°! (Gunakan rumus produk)
Pembahasan:
Gunakan identitas: cos x · cos 2x · cos 4x = sin 8x / (8 sin x)
f(20°) = sin 160° / (8 sin 20°)
= sin 20° / (8 sin 20°) = 1/8
✏️ Latihan Soal: Grafik cos x
Mudah
- Tentukan cos 360°!
- Di mana cos x = 0 pertama kali untuk x > 0?
- Tentukan periode f(x) = cos x!
- Apakah cos 90° positif, negatif, atau nol?
- Tentukan cos(-60°)!
Sedang
- Tentukan amplitudo dan periode f(x) = 2 cos(x/2)!
- Tentukan range f(x) = -cos x + 2!
- Kapan cos 2x = 1 untuk 0° ≤ x ≤ 360°?
- Tentukan persamaan cosinus dengan A = 3 dan T = 180°!
- Grafik cos x dicerminkan terhadap sumbu x. Apa persamaannya?
Sulit
- Selesaikan cos 2x + cos x = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360°!
- Tentukan nilai maksimum f(x) = 5cos x + 12sin x!
- Berapa solusi 2cos²x = 1 + cos x di [0°, 360°]?
- Tentukan range f(x) = cos²x – 4cos x + 1!
- Buktikan cos 36° = (1 + √5)/4!
4. Grafik Fungsi f(x) = tan x
Sifat-sifat Grafik f(x) = tan x
• Tidak memiliki amplitudo (range: semua bilangan real)
• Periode = π = 180°
• Asimtot tegak di x = 90° + n·180°
• Memotong sumbu x di x = n·180°
• Fungsi ganjil: tan(-x) = -tan x
• Fungsi naik di setiap interval antara asimtot
Grafik f(x) = tan x
Tabel Nilai
| x | 0° | 45° | 90° | 135° | 180° |
|---|---|---|---|---|---|
| tan x | 0 | 1 | ∞ (tak terdefinisi) | -1 | 0 |
📝 Contoh Soal: Grafik tan x
Mudah
1. Tentukan tan 0°!
Pembahasan: tan 0° = sin 0°/cos 0° = 0/1 = 0
2. Berapa periode fungsi tan x?
Pembahasan: Periode tan x = π = 180°
3. Di mana asimtot tegak pertama tan x (x > 0)?
Pembahasan: Asimtot tegak pertama di x = 90°
4. Apakah tan x memiliki amplitudo?
Pembahasan: Tidak, karena range tan x adalah semua bilangan real (-∞, +∞)
5. Tentukan tan 180°!
Pembahasan: tan 180° = sin 180°/cos 180° = 0/(-1) = 0
Sedang
1. Tentukan periode f(x) = tan 2x!
Pembahasan: Periode = 180°/|B| = 180°/2 = 90°
2. Tentukan asimtot tegak f(x) = tan 3x di [0°, 180°]!
Pembahasan:
Asimtot: 3x = 90° + n·180° → x = 30° + n·60°
Di [0°, 180°]: x = 30°, 90°, 150°
3. Tentukan tan 225°!
Pembahasan: tan 225° = tan(180° + 45°) = tan 45° = 1
4. Untuk f(x) = 2 tan x, tentukan f(60°)!
Pembahasan: f(60°) = 2 tan 60° = 2√3
5. Kapan tan x = 1 untuk 0° ≤ x ≤ 360°?
Pembahasan: tan x = 1 → x = 45° atau x = 225°
Sulit
1. Tentukan semua x di [0°, 360°] sehingga tan²x – tan x – 2 = 0!
Pembahasan:
(tan x – 2)(tan x + 1) = 0
tan x = 2: x = arctan(2) ≈ 63,43° dan 243,43°
tan x = -1: x = 135° dan 315°
Solusi: x ≈ 63,43°, 135°, 243,43°, 315°
2. Tentukan persamaan grafik tangen dengan periode 60° dan melewati titik (15°, √3)!
Pembahasan:
Periode = 180°/B → 60° = 180°/B → B = 3
f(x) = A tan 3x
f(15°) = A tan 45° = A = √3
f(x) = √3 tan 3x
3. Buktikan: tan x + cot x = 2/sin 2x!
Pembahasan:
tan x + cot x = sin x/cos x + cos x/sin x
= (sin²x + cos²x)/(sin x cos x)
= 1/(sin x cos x)
= 2/(2 sin x cos x) = 2/sin 2x ✓
4. Hitung tan 20° × tan 40° × tan 80°!
Pembahasan:
Menggunakan identitas: tan θ · tan(60°-θ) · tan(60°+θ) = tan 3θ
Dengan θ = 20°: tan 20° · tan 40° · tan 80° = tan 60° = √3
5. Tentukan jumlah solusi tan x = 2sin x untuk 0° < x < 360°!
Pembahasan:
sin x/cos x = 2 sin x
sin x = 2 sin x cos x (kalikan cos x)
sin x(1 – 2cos x) = 0
sin x = 0: x = 180° (tidak termasuk 0° dan 360°)
cos x = ½: x = 60°, 300°
Jumlah solusi = 3
✏️ Latihan Soal: Grafik tan x
Mudah
- Tentukan tan 45°!
- Apakah tan 90° terdefinisi?
- Tentukan tan(-45°)!
- Di mana tan x = 0 di [0°, 360°]?
- Apakah tan x fungsi genap atau ganjil?
Sedang
- Tentukan periode f(x) = tan(x/2)!
- Tentukan asimtot tegak f(x) = tan 2x di [0°, 360°]!
- Selesaikan tan x = -√3 untuk 0° ≤ x ≤ 360°!
- Tentukan f(30°) untuk f(x) = 3 tan 2x!
- Berapa banyak titik potong tan x dengan sumbu x di [0°, 720°]?
Sulit
- Selesaikan tan 2x = tan x untuk 0° < x < 360°!
- Buktikan: (1 + tan²x)/(1 – tan²x) = 1/cos 2x!
- Hitung tan 10° + tan 70° + tan 10° tan 70°!
- Tentukan semua solusi 3tan²x – 1 = 0 di [0°, 360°]!
- Tentukan range f(x) = arctan(tan x) dan jelaskan grafiknya!
5. Menggambar Fungsi dengan Amplitudo dan Periode Berbeda
Bentuk Umum
f(x) = A sin(Bx + C) + D
f(x) = A cos(Bx + C) + D
• |A| = Amplitudo (tinggi gelombang dari garis tengah)
• T = 360°/|B| = Periode (satu siklus lengkap)
• -C/B = Pergeseran fase (horizontal)
• D = Pergeseran vertikal (garis tengah)
Pengaruh Parameter
| Parameter | Pengaruh | Contoh |
|---|---|---|
| A > 1 | Grafik lebih tinggi (meregang vertikal) | 3 sin x → amplitudo 3 |
| 0 < A < 1 | Grafik lebih rendah (menyusut vertikal) | ½ sin x → amplitudo ½ |
| A < 0 | Grafik terbalik (refleksi sumbu x) | -sin x |
| B > 1 | Periode lebih kecil (menyusut horizontal) | sin 2x → T = 180° |
| 0 < B < 1 | Periode lebih besar (meregang horizontal) | sin(½x) → T = 720° |
| D > 0 | Geser ke atas | sin x + 2 |
| D < 0 | Geser ke bawah | sin x – 1 |
Perbandingan Grafik
Biru: sin x | Merah: 2 sin x | Hijau: sin 2x | Ungu: sin x + 1
📝 Contoh Soal: Amplitudo dan Periode
Mudah
1. Tentukan amplitudo f(x) = 5 sin x!
Pembahasan: Amplitudo = |A| = |5| = 5
2. Tentukan periode f(x) = cos 4x!
Pembahasan: Periode = 360°/|B| = 360°/4 = 90°
3. Tentukan amplitudo f(x) = -3 cos x!
Pembahasan: Amplitudo = |A| = |-3| = 3
4. Tentukan periode f(x) = sin(x/3)!
Pembahasan: B = 1/3, Periode = 360°/(1/3) = 1080°
5. Tentukan garis tengah f(x) = sin x + 4!
Pembahasan: D = 4, jadi garis tengah di y = 4
Sedang
1. Tentukan amplitudo, periode, dan pergeseran vertikal f(x) = 2 sin 3x – 1!
Pembahasan:
A = 2 → Amplitudo = 2
B = 3 → Periode = 360°/3 = 120°
D = -1 → Pergeseran vertikal: 1 satuan ke bawah
2. Tentukan nilai maksimum dan minimum f(x) = 3 cos 2x + 5!
Pembahasan:
-1 ≤ cos 2x ≤ 1
-3 ≤ 3cos 2x ≤ 3
2 ≤ 3cos 2x + 5 ≤ 8
Maks = 8, Min = 2
3. Tentukan persamaan fungsi sinus dengan A = 4, T = 180°, geser kanan 30°!
Pembahasan:
T = 360°/B → 180° = 360°/B → B = 2
Geser kanan 30°: f(x) = 4 sin 2(x – 30°) = 4 sin(2x – 60°)
4. Berapa kali grafik f(x) = sin 4x memotong sumbu x di [0°, 360°]?
Pembahasan:
Periode = 360°/4 = 90°. Dalam [0°, 360°] ada 4 periode.
Setiap periode ada 2 titik potong + 1 di awal = 4×2 + 1 = 9 titik potong
5. Dari grafik diketahui: maks = 7, min = 1. Tentukan A dan D!
Pembahasan:
A = (maks – min)/2 = (7 – 1)/2 = 3
D = (maks + min)/2 = (7 + 1)/2 = 4
Sulit
1. Tentukan persamaan fungsi trigonometri yang grafiknya melalui (0°, 3), (90°, 5), (180°, 3), (270°, 1)!
Pembahasan:
Maks = 5, Min = 1 → A = (5-1)/2 = 2, D = (5+1)/2 = 3
Periode = 360° → B = 1
Saat x=0, f=3=D (garis tengah), lalu naik → bentuk cosinus tidak cocok
Coba sin: f(0) = 2sin(0) + 3 = 3 ✓, f(90) = 2sin(90) + 3 = 5 ✓
f(x) = 2 sin x + 3
2. Tentukan range f(x) = 3 sin x + 4 cos x!
Pembahasan:
Bentuk a sin x + b cos x → amplitudo = √(a² + b²)
R = √(3² + 4²) = √25 = 5
Range: [-5, 5]
3. Tentukan persamaan fungsi yang amplitudonya 3, periodenya 120°, geser kiri 15°, dan geser atas 2!
Pembahasan:
A = 3, T = 120° → B = 360°/120° = 3
Geser kiri 15° → C = +15° → fase = B×15 = 45°
D = 2
f(x) = 3 sin(3x + 45°) + 2
4. Untuk f(x) = A sin(Bx + C) + D, diketahui maks di (30°, 7) dan min di (90°, -1). Tentukan A, B, C, D!
Pembahasan:
A = (7-(-1))/2 = 4, D = (7+(-1))/2 = 3
Jarak maks ke min = setengah periode → 90°-30° = 60° = T/2 → T = 120°
B = 360°/120° = 3
Maks di x=30°: sin(3×30° + C) = 1 → 90° + C = 90° → C = 0°
f(x) = 4 sin 3x + 3
5. Tentukan semua x di [0°, 360°] sehingga 2sin(2x – 60°) + 1 = 2!
Pembahasan:
2sin(2x – 60°) = 1 → sin(2x – 60°) = ½
2x – 60° = 30° + n·360° → x = 45° + n·180°
2x – 60° = 150° + n·360° → x = 105° + n·180°
Untuk [0°, 360°]: x = 45°, 105°, 225°, 285°
✏️ Latihan Soal: Amplitudo dan Periode
Mudah
- Tentukan amplitudo f(x) = 7 cos x!
- Tentukan periode f(x) = sin 6x!
- Tentukan garis tengah f(x) = cos x – 3!
- Apa amplitudo f(x) = -½ sin x?
- Tentukan periode f(x) = tan 4x!
Sedang
- Tentukan maks dan min f(x) = 4 sin 2x – 3!
- Tentukan persamaan sinus dengan A = 2, T = 240°, D = 1!
- Berapa banyak siklus f(x) = cos 5x dalam [0°, 360°]?
- Dari grafik: maks = 6, min = -2. Tentukan A dan D!
- Tentukan pergeseran fase f(x) = sin(3x – 90°)!
Sulit
- Tentukan persamaan dari grafik: maks di (60°, 5), min di (180°, -3)!
- Tentukan range f(x) = 5sin x – 12cos x + 3!
- Selesaikan 3cos(2x + 30°) – 1 = ½ untuk [0°, 360°]!
- Tentukan luas daerah di bawah f(x) = 2sin x dan di atas sumbu x pada [0°, 180°]!
- Dua fungsi f(x) = sin 2x dan g(x) = cos x. Tentukan semua x di [0°, 360°] sehingga f(x) = g(x)!
6. Invers Fungsi Trigonometri
Pengertian
Invers fungsi trigonometri (arcus) adalah fungsi yang mengembalikan sudut dari nilai perbandingan trigonometri. Karena fungsi trigonometri periodik, domainnya dibatasi agar memiliki invers.
1. arcsin x (atau sin⁻¹ x)
Domain: [-1, 1] Range: [-90°, 90°]
Jika sin θ = x, maka θ = arcsin x
2. arccos x (atau cos⁻¹ x)
Domain: [-1, 1] Range: [0°, 180°]
Jika cos θ = x, maka θ = arccos x
3. arctan x (atau tan⁻¹ x)
Domain: semua bilangan real Range: (-90°, 90°)
Jika tan θ = x, maka θ = arctan x
Tabel Nilai Invers Penting
| x | arcsin x | arccos x | arctan x |
|---|---|---|---|
| 0 | 0° | 90° | 0° |
| ½ | 30° | 60° | — |
| ½√2 | 45° | 45° | — |
| ½√3 | 60° | 30° | — |
| 1 | 90° | 0° | 45° |
| -1 | -90° | 180° | -45° |
Sifat-sifat Penting
• arcsin x + arccos x = 90° (untuk -1 ≤ x ≤ 1)
• arcsin(-x) = -arcsin x (fungsi ganjil)
• arccos(-x) = 180° – arccos x
• arctan(-x) = -arctan x (fungsi ganjil)
• sin(arcsin x) = x untuk -1 ≤ x ≤ 1
• arcsin(sin x) = x hanya untuk -90° ≤ x ≤ 90°
Grafik Fungsi Invers
Biru: arcsin x | Merah: arccos x | Hijau: arctan x
📝 Contoh Soal: Invers Trigonometri
Mudah
1. Tentukan arcsin(½)!
Pembahasan: sin 30° = ½, maka arcsin(½) = 30°
2. Tentukan arccos(0)!
Pembahasan: cos 90° = 0, maka arccos(0) = 90°
3. Tentukan arctan(1)!
Pembahasan: tan 45° = 1, maka arctan(1) = 45°
4. Tentukan arcsin(1)!
Pembahasan: sin 90° = 1, maka arcsin(1) = 90°
5. Tentukan arccos(1)!
Pembahasan: cos 0° = 1, maka arccos(1) = 0°
Sedang
1. Tentukan arcsin(-½√2)!
Pembahasan:
arcsin(-x) = -arcsin(x)
arcsin(-½√2) = -arcsin(½√2) = -45°
2. Tentukan cos(arcsin(3/5))!
Pembahasan:
Misalkan θ = arcsin(3/5), maka sin θ = 3/5
cos θ = √(1 – sin²θ) = √(1 – 9/25) = √(16/25) = 4/5
3. Tentukan arcsin(½) + arccos(½)!
Pembahasan:
Menggunakan sifat: arcsin x + arccos x = 90°
arcsin(½) + arccos(½) = 90°
Verifikasi: 30° + 60° = 90° ✓
4. Tentukan tan(arccos(5/13))!
Pembahasan:
Misalkan θ = arccos(5/13), maka cos θ = 5/13
sin θ = √(1 – 25/169) = √(144/169) = 12/13
tan θ = sin θ/cos θ = (12/13)/(5/13) = 12/5
5. Tentukan arccos(-½√3)!
Pembahasan:
arccos(-x) = 180° – arccos(x)
arccos(-½√3) = 180° – arccos(½√3) = 180° – 30° = 150°
Sulit
1. Tentukan sin(2 arcsin(3/5))!
Pembahasan:
Misalkan θ = arcsin(3/5), maka sin θ = 3/5, cos θ = 4/5
sin(2θ) = 2 sin θ cos θ = 2 × (3/5) × (4/5) = 24/25
2. Buktikan: arctan(1/2) + arctan(1/3) = 45°!
Pembahasan:
tan(arctan(1/2) + arctan(1/3))
= (1/2 + 1/3)/(1 – 1/2 × 1/3)
= (5/6)/(5/6) = 1
Maka arctan(1/2) + arctan(1/3) = arctan(1) = 45° ✓
3. Tentukan cos(arctan(3/4) + arctan(5/12))!
Pembahasan:
Misalkan α = arctan(3/4): sin α = 3/5, cos α = 4/5
Misalkan β = arctan(5/12): sin β = 5/13, cos β = 12/13
cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β
= (4/5)(12/13) – (3/5)(5/13)
= 48/65 – 15/65 = 33/65
4. Tentukan domain dan range f(x) = arcsin(2x – 1)!
Pembahasan:
Domain arcsin: -1 ≤ 2x-1 ≤ 1
0 ≤ 2x ≤ 2 → 0 ≤ x ≤ 1
Domain: [0, 1]
Range tetap: [-90°, 90°]
5. Tentukan turunan f(x) = arctan(x) + arctan(1/x) untuk x > 0!
Pembahasan:
Untuk x > 0: arctan(x) + arctan(1/x) = 90°
Karena hasilnya konstanta, f'(x) = 0
Bukti: tan(arctan x + arctan(1/x)) = (x + 1/x)/(1 – x·1/x) = (x+1/x)/0 → ∞
Artinya jumlahnya = 90°
✏️ Latihan Soal: Invers Trigonometri
Mudah
- Tentukan arcsin(½√3)!
- Tentukan arccos(½√2)!
- Tentukan arctan(0)!
- Tentukan arcsin(0)!
- Tentukan arccos(-1)!
Sedang
- Tentukan sin(arccos(4/5))!
- Tentukan arctan(-√3)!
- Tentukan cos(2 arccos(3/5))!
- Tentukan domain f(x) = arcsin(x/3)!
- Hitung arcsin(sin 150°)!
Sulit
- Buktikan arctan(1) + arctan(2) + arctan(3) = 180°!
- Tentukan sin(arctan(x)) dalam bentuk aljabar!
- Selesaikan arcsin(x) + arcsin(2x) = 60°!
- Tentukan cos(arcsin(3/5) + arccos(5/13))!
- Tentukan range f(x) = arcsin(sin x) untuk x ∈ ℝ dan gambarkan grafiknya!