Jarak Antar Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang
Matematika
1. Jarak Titik ke Garis
Definisi: Jarak dari titik $P$ ke garis $g$ adalah panjang ruas garis terpendek dari $P$ ke garis $g$, yaitu ruas garis yang tegak lurus terhadap $g$.
Jika $P$ sebuah titik dan $g$ sebuah garis, maka jarak $P$ ke $g$ dinyatakan sebagai panjang proyeksi tegak lurus dari $P$ ke $g$.
- Tentukan titik $P$ dan garis $g$.
- Buat garis dari $P$ yang tegak lurus ke $g$, perpotongannya di titik $Q$.
- Hitung panjang $PQ$.
📝 Contoh Soal
Mudah Contoh Soal
1. Kubus $ABCD.EFGH$ memiliki rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik $A$ ke garis $BC$.
Pembahasan
Garis $BC$ sejajar dengan arah tertentu. Dari $A$, garis tegak lurus ke $BC$ jatuh di titik $B$ (karena $AB \perp BC$ pada kubus).
Jarak $= AB = 6$ cm.
2. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 4 cm. Tentukan jarak titik $E$ ke garis $AB$.
Pembahasan
$E$ tepat di atas $A$. Proyeksi $E$ ke garis $AB$ jatuh di $A$. Maka $EA \perp AB$.
Jarak $= EA = 4$ cm.
3. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 5 cm. Tentukan jarak titik $A$ ke garis $EF$.
Pembahasan
$EF$ sejajar $AB$, dan $E$ di atas $A$. Proyeksi $A$ ke $EF$ jatuh di $E$.
Jarak $= AE = 5$ cm.
4. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 8 cm. Tentukan jarak titik $B$ ke garis $AD$.
Pembahasan
$AD$ sejajar $BC$. Dari $B$, proyeksi tegak lurus ke $AD$ jatuh di $A$ (karena $BA \perp AD$).
Jarak $= BA = 8$ cm.
5. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 10 cm. Tentukan jarak titik $H$ ke garis $EH$.
Pembahasan
Titik $H$ terletak pada garis $EH$, sehingga jarak $= 0$ cm.
Sedang Contoh Soal
1. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik $A$ ke garis $BG$.
Pembahasan
Ambil koordinat: $A(0,0,0)$, $B(6,0,0)$, $G(6,6,6)$.
Vektor arah $BG = G – B = (0,6,6)$.
Vektor $BA = A – B = (-6,0,0)$.
$BA \times BG = \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\-6&0&0\\0&6&6\end{vmatrix} = (0-0)\mathbf{i}-(−36-0)\mathbf{j}+(−36-0)\mathbf{k} = (0, 36, -36)$
$|BA \times BG| = \sqrt{0+1296+1296} = \sqrt{2592} = 36\sqrt{2}$
$|BG| = \sqrt{0+36+36} = 6\sqrt{2}$
Jarak $= \dfrac{36\sqrt{2}}{6\sqrt{2}} = 6$ cm.
2. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 4 cm. Tentukan jarak titik $A$ ke garis $CE$.
Pembahasan
$A(0,0,0)$, $C(4,4,0)$, $E(0,0,4)$.
$\vec{CE} = (-4,-4,4)$, $\vec{CA} = (-4,-4,0)$.
$\vec{CA}\times\vec{CE} = \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\-4&-4&0\\-4&-4&4\end{vmatrix} = (-16-0)\mathbf{i}-(−16-0)\mathbf{j}+(16-16)\mathbf{k} = (-16, 16, 0)$
$|\vec{CA}\times\vec{CE}| = \sqrt{256+256} = 16\sqrt{2}$
$|\vec{CE}| = \sqrt{16+16+16} = 4\sqrt{3}$
Jarak $= \dfrac{16\sqrt{2}}{4\sqrt{3}} = \dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \dfrac{4\sqrt{6}}{3}$ cm.
3. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik $D$ ke garis $AG$.
Pembahasan
$A(0,0,0)$, $G(6,6,6)$, $D(0,6,0)$.
$\vec{AG} = (6,6,6)$, $\vec{AD} = (0,6,0)$.
$\vec{AD}\times\vec{AG} = \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\0&6&0\\6&6&6\end{vmatrix} = (36-0)\mathbf{i}-(0-0)\mathbf{j}+(0-36)\mathbf{k} = (36, 0, -36)$
$|\vec{AD}\times\vec{AG}| = \sqrt{1296+0+1296} = 36\sqrt{2}$
$|\vec{AG}| = 6\sqrt{3}$
Jarak $= \dfrac{36\sqrt{2}}{6\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{6}$ cm.
4. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 4 cm. Tentukan jarak titik $E$ ke garis $BD$.
Pembahasan
$B(4,0,0)$, $D(0,4,0)$, $E(0,0,4)$.
$\vec{BD} = (-4,4,0)$, $\vec{BE} = (-4,0,4)$.
$\vec{BE}\times\vec{BD} = \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\-4&0&4\\-4&4&0\end{vmatrix} = (0-16)\mathbf{i}-(0+16)\mathbf{j}+(-16-0)\mathbf{k} = (-16,-16,-16)$
$|\vec{BE}\times\vec{BD}| = \sqrt{256+256+256} = 16\sqrt{3}$
$|\vec{BD}| = 4\sqrt{2}$
Jarak $= \dfrac{16\sqrt{3}}{4\sqrt{2}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{6}$ cm.
5. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 8 cm. Tentukan jarak titik $F$ ke garis $AC$.
Pembahasan
$A(0,0,0)$, $C(8,8,0)$, $F(8,0,8)$.
$\vec{AC} = (8,8,0)$, $\vec{AF} = (8,0,8)$.
$\vec{AF}\times\vec{AC} = \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\8&0&8\\8&8&0\end{vmatrix} = (0-64)\mathbf{i}-(0-64)\mathbf{j}+(64-0)\mathbf{k} = (-64,64,64)$
$|\vec{AF}\times\vec{AC}| = \sqrt{4096+4096+4096} = 64\sqrt{3}$
$|\vec{AC}| = 8\sqrt{2}$
Jarak $= \dfrac{64\sqrt{3}}{8\sqrt{2}} = \dfrac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{6}$ cm.
Sulit Contoh Soal
1. Limas beraturan $T.ABCD$ dengan alas persegi $ABCD$ rusuk 6 cm dan tinggi limas 8 cm. Tentukan jarak titik $T$ ke garis $AB$.
Pembahasan
Pusat alas $O(3,3,0)$, $T(3,3,8)$. $A(0,0,0)$, $B(6,0,0)$.
Proyeksi $T$ ke $AB$: karena $AB$ pada sumbu-$x$ dengan $y=0,z=0$, proyeksi $T$ ke $AB$ adalah $(3,0,0)$.
Jarak $= \sqrt{(3-3)^2+(3-0)^2+(8-0)^2} = \sqrt{9+64} = \sqrt{73}$ cm.
2. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk $a$. Titik $M$ tengah $EF$. Tentukan jarak titik $M$ ke garis $AG$.
Pembahasan
$A(0,0,0)$, $G(a,a,a)$, $M\left(\frac{a}{2}+\frac{a}{2}\cdot\frac{1}{1},0,a\right)$. Koreksi: $E(0,0,a)$, $F(a,0,a)$, $M=\left(\frac{a}{2},0,a\right)$.
$\vec{AG}=(a,a,a)$, $\vec{AM}=\left(\frac{a}{2},0,a\right)$.
$\vec{AM}\times\vec{AG} = \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\frac{a}{2}&0&a\\a&a&a\end{vmatrix} = (0-a^2)\mathbf{i}-({\frac{a^2}{2}}-a^2)\mathbf{j}+(\frac{a^2}{2}-0)\mathbf{k} = \left(-a^2, \frac{a^2}{2}, \frac{a^2}{2}\right)$
$|\vec{AM}\times\vec{AG}| = a^2\sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}} = a^2\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{a^2\sqrt{6}}{2}$
$|\vec{AG}| = a\sqrt{3}$
Jarak $= \dfrac{a^2\sqrt{6}/2}{a\sqrt{3}} = \dfrac{a\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
3. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk $a$. Titik $P$ tengah $CG$ dan $Q$ tengah $AE$. Tentukan jarak titik $P$ ke garis $BQ$.
Pembahasan
$B(a,0,0)$, $Q=\left(0,0,\frac{a}{2}\right)$, $P=\left(a,a,\frac{a}{2}\right)$.
$\vec{BQ}=\left(-a,0,\frac{a}{2}\right)$, $\vec{BP}=\left(0,a,\frac{a}{2}\right)$.
$\vec{BP}\times\vec{BQ} = \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\0&a&\frac{a}{2}\\-a&0&\frac{a}{2}\end{vmatrix} = \left(\frac{a^2}{2}-0\right)\mathbf{i}-\left(0+\frac{a^2}{2}\right)\mathbf{j}+(0+a^2)\mathbf{k} = \left(\frac{a^2}{2},-\frac{a^2}{2},a^2\right)$
$|\vec{BP}\times\vec{BQ}| = a^2\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+1} = a^2\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{a^2\sqrt{6}}{2}$
$|\vec{BQ}| = \sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$
Jarak $= \dfrac{a^2\sqrt{6}/2}{a\sqrt{5}/2} = \dfrac{a\sqrt{6}}{\sqrt{5}} = \dfrac{a\sqrt{30}}{5}$.
4. Balok $ABCD.EFGH$ dengan $AB=4$, $BC=3$, $AE=5$. Tentukan jarak titik $A$ ke garis $HB$.
Pembahasan
$A(0,0,0)$, $B(4,0,0)$, $H(0,3,5)$.
$\vec{BH}=(-4,3,5)$, $\vec{BA}=(-4,0,0)$.
$\vec{BA}\times\vec{BH} = \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\-4&0&0\\-4&3&5\end{vmatrix} = (0)\mathbf{i}-(−20)\mathbf{j}+(-12)\mathbf{k} = (0,20,-12)$
$|\vec{BA}\times\vec{BH}| = \sqrt{0+400+144} = \sqrt{544} = 4\sqrt{34}$
$|\vec{BH}| = \sqrt{16+9+25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
Jarak $= \dfrac{4\sqrt{34}}{5\sqrt{2}} = \dfrac{4\sqrt{17}}{5}$ cm.
5. Limas beraturan $T.ABC$ dengan alas segitiga sama sisi $ABC$ sisi 6 cm, tinggi limas 6 cm. Tentukan jarak titik $T$ ke garis $BC$.
Pembahasan
Pusat alas segitiga sama sisi: $O = (3, \sqrt{3}, 0)$, $T=(3,\sqrt{3},6)$.
$B(0,0,0)$, $C(6,0,0)$.
Proyeksi $T$ ke $BC$ (sumbu-$x$): titik $(3,0,0)$.
Jarak $= \sqrt{(3-3)^2+(\sqrt{3})^2+36} = \sqrt{3+36} = \sqrt{39}$ cm.
✏️ Latihan Soal
Mudah
Sedang
Sulit
2. Jarak Titik ke Bidang
Definisi: Jarak dari titik $P$ ke bidang $\alpha$ adalah panjang ruas garis dari $P$ yang tegak lurus terhadap bidang $\alpha$.
Jika bidang dinyatakan dengan persamaan $ax+by+cz=d$, maka:
dengan $P(x_0,y_0,z_0)$
📝 Contoh Soal
Mudah Contoh Soal
1. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik $A$ ke bidang $EFGH$.
Pembahasan
Bidang $EFGH$ adalah bidang atas kubus. $A$ di bidang bawah. Jarak $=$ tinggi kubus $= 6$ cm.
2. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 4 cm. Jarak titik $E$ ke bidang $ABCD$?
Pembahasan
$E$ di atas $A$, bidang $ABCD$ adalah alas. Jarak $= AE = 4$ cm.
3. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 5 cm. Jarak titik $A$ ke bidang $BCGF$?
Pembahasan
$BCGF$ adalah bidang sisi kanan. Jarak $A$ ke bidang ini $= AB = 5$ cm (karena $AB \perp BCGF$).
4. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 10 cm. Jarak titik $G$ ke bidang $ABCD$?
Pembahasan
Jarak $= $ tinggi kubus $= 10$ cm.
5. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 8 cm. Jarak titik $D$ ke bidang $ABFE$?
Pembahasan
Bidang $ABFE$ adalah sisi depan. $D$ berjarak $AD = 8$ cm secara tegak lurus ke bidang ini? Tidak, $ABFE$ memuat $A$ dan $B$. Jarak $D$ ke bidang $ABFE$ $= BC = 8$ cm (karena $D$ sejajar $C$ dan keduanya berjarak $BC$ dari $ABFE$).
Sedang Contoh Soal
1. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik $A$ ke bidang $BDG$.
Pembahasan
$B(6,0,0)$, $D(0,6,0)$, $G(6,6,6)$.
$\vec{BD}=(-6,6,0)$, $\vec{BG}=(0,6,6)$.
Normal $= \vec{BD}\times\vec{BG} = (36,6,-36)$, sederhanakan: $(6,1,-6)$.
Persamaan bidang: $6(x-6)+1(y)+(-6)(z)=0 \Rightarrow 6x+y-6z=36$.
Jarak $A(0,0,0)$: $d = \frac{|0+0-0-36|}{\sqrt{36+1+36}} = \frac{36}{\sqrt{73}}= \frac{36\sqrt{73}}{73}$ cm.
2. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 4 cm. Jarak titik $A$ ke bidang $BEG$.
Pembahasan
$B(4,0,0)$, $E(0,0,4)$, $G(4,4,4)$.
$\vec{BE}=(-4,0,4)$, $\vec{BG}=(0,4,4)$.
Normal $= (-16,-16,-16)$, arah: $(1,1,1)$.
Bidang: $x+y+z=4$.
Jarak $A(0,0,0)$: $d = \frac{|0-4|}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ cm.
3. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 6 cm. Jarak titik $C$ ke bidang $AFH$.
Pembahasan
$A(0,0,0)$, $F(6,0,6)$, $H(0,6,6)$.
$\vec{AF}=(6,0,6)$, $\vec{AH}=(0,6,6)$.
Normal $= (-36,−36,36)$, arah: $(-1,-1,1)$.
Bidang: $-x-y+z=0$, atau $x+y-z=0$.
Jarak $C(6,6,0)$: $d = \frac{|6+6-0|}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ cm.
4. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 4 cm. Jarak titik $B$ ke bidang $ACGE$.
Pembahasan
$ACGE$ adalah bidang diagonal. $A(0,0,0)$, $C(4,4,0)$, $G(4,4,4)$, $E(0,0,4)$.
$\vec{AC}=(4,4,0)$, $\vec{AE}=(0,0,4)$.
Normal $= (16,-16,0)$, arah: $(1,-1,0)$.
Bidang: $x-y=0$.
Jarak $B(4,0,0)$: $d = \frac{|4-0|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ cm.
5. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 6 cm. Jarak titik $H$ ke bidang $ABG$.
Pembahasan
$A(0,0,0)$, $B(6,0,0)$, $G(6,6,6)$.
$\vec{AB}=(6,0,0)$, $\vec{AG}=(6,6,6)$.
Normal $= (0,-36,36)$, arah: $(0,-1,1)$.
Bidang: $-y+z=0$.
Jarak $H(0,6,6)$: $d = \frac{|-6+6|}{\sqrt{2}} = 0$ cm. ($H$ terletak pada bidang $ABG$.)
Sulit Contoh Soal
1. Limas beraturan $T.ABCD$ alas persegi rusuk 6 cm, tinggi 8 cm. Tentukan jarak $T$ ke bidang $ABCD$.
Pembahasan
Bidang $ABCD$ adalah alas (bidang $z=0$). $T$ tepat di atas pusat alas, $T=(3,3,8)$. Jarak $= 8$ cm.
2. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk $a$. Titik $P$ tengah $EF$. Tentukan jarak $P$ ke bidang $BDG$.
Pembahasan
Dari contoh sebelumnya, bidang $BDG$: $6x+y-6z = 6a$ (untuk rusuk $a$).
Sesuaikan: $B(a,0,0)$, $D(0,a,0)$, $G(a,a,a)$. Normal dari $\vec{BD}\times\vec{BG}$:
$\vec{BD}=(-a,a,0)$, $\vec{BG}=(0,a,a)$. Normal $= (a^2,-a^2\cdot0… )$. Mari hitung ulang:
Normal $= (a\cdot a – 0, 0 – (-a)\cdot a, (-a)\cdot a – a\cdot 0) = (a^2, a^2, -a^2)$, arah $(1,1,-1)$.
Bidang: $x+y-z=a$.
$P = \left(\frac{a}{2}, 0, a\right)$.
$d = \frac{|\frac{a}{2}+0-a-a|}{\sqrt{3}} = \frac{|-\frac{3a}{2}|}{\sqrt{3}} = \frac{3a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
3. Balok $ABCD.EFGH$ dengan $AB=4$, $BC=3$, $AE=6$. Jarak titik $G$ ke bidang $AFH$.
Pembahasan
$A(0,0,0)$, $F(4,0,6)$, $H(0,3,6)$.
$\vec{AF}=(4,0,6)$, $\vec{AH}=(0,3,6)$.
Normal $= (0\cdot6-6\cdot3, 6\cdot0-4\cdot6, 4\cdot3-0) = (-18,-24,12)$, arah: $(-3,-4,2)$.
Bidang: $-3x-4y+2z=0$, atau $3x+4y-2z=0$.
$G(4,3,6)$: $d = \frac{|12+12-12|}{\sqrt{9+16+4}} = \frac{12}{\sqrt{29}} = \frac{12\sqrt{29}}{29}$.
4. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk $a$. $M$ tengah $AB$, $N$ tengah $GH$. Jarak titik $E$ ke bidang $MNC$.
Pembahasan
$M=(\frac{a}{2},0,0)$, $N=(a/2,a,a)$ (tengah $GH$: $G(a,a,a)$, $H(0,a,a)$, jadi $N=(\frac{a}{2},a,a)$), $C=(a,a,0)$.
$\vec{MC}=(\frac{a}{2},a,0)$, $\vec{MN}=(0,a,a)$.
Normal $= (a^2-0, 0-\frac{a^2}{2}, \frac{a^2}{2}-0) = (a^2, -\frac{a^2}{2}, \frac{a^2}{2})$, arah: $(2,-1,1)$.
Bidang melalui $M$: $2(x-\frac{a}{2})-y+z=0 \Rightarrow 2x-y+z=a$.
$E(0,0,a)$: $d = \frac{|0-0+a-a|}{\sqrt{4+1+1}} = 0$.
$E$ terletak pada bidang tersebut. Jarak $= 0$.
5. Limas $T.ABC$ dengan $ABC$ segitiga sama sisi sisi $6$ cm, $TA=TB=TC=6$ cm. Tentukan jarak $T$ ke bidang $ABC$.
Pembahasan
Segitiga sama sisi sisi 6: jari-jari lingkaran luar $R = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$.
$TA = 6$. Tinggi limas $= \sqrt{TA^2 – R^2} = \sqrt{36 – 12} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ cm.
✏️ Latihan Soal
Mudah
Sedang
Sulit
3. Jarak Garis ke Garis (Sejajar)
Definisi: Jarak antara dua garis sejajar $g$ dan $h$ adalah panjang ruas garis yang tegak lurus terhadap keduanya.
Ambil sembarang titik $P$ pada $g$, lalu hitung jarak $P$ ke garis $h$.
📝 Contoh Soal
Mudah
1. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 6 cm. Jarak garis $AB$ ke garis $EF$?
Pembahasan
$AB \parallel EF$, jarak $= AE = 6$ cm.
2. Kubus rusuk 4 cm. Jarak garis $AB$ ke garis $DC$?
Pembahasan
$AB \parallel DC$, jarak $= AD = 4$ cm.
3. Kubus rusuk 5 cm. Jarak garis $AE$ ke garis $BF$?
Pembahasan
$AE \parallel BF$, jarak $= AB = 5$ cm.
4. Kubus rusuk 8 cm. Jarak garis $EF$ ke garis $HG$?
Pembahasan
$EF \parallel HG$, jarak $= EH = 8$ cm.
5. Kubus rusuk 10 cm. Jarak garis $AD$ ke garis $EH$?
Pembahasan
$AD \parallel EH$, jarak $= AE = 10$ cm.
Sedang
1. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 6 cm. Jarak garis $AB$ ke garis $GH$?
Pembahasan
$AB \parallel GH$. $A(0,0,0)$, $G(6,6,6)$, $H(0,6,6)$. Titik $A$ ke garis $GH$:
Jarak $A$ ke $H$ secara tegak lurus ke $GH$. $\vec{HG}=(6,0,0)$, $\vec{HA}=(0,-6,-6)$.
Proyeksi tegak lurus: $|\vec{HA}|^2 – \frac{(\vec{HA}\cdot\vec{HG})^2}{|\vec{HG}|^2} = 72 – 0 = 72$. Jarak $= \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ cm.
2. Kubus rusuk 4 cm. Jarak garis $AE$ ke garis $CG$?
Pembahasan
$AE \parallel CG$. Jarak $= AC = 4\sqrt{2}$ cm (diagonal sisi alas, karena proyeksi tegak lurus dari $A$ ke garis $CG$ melewati diagonal alas).
3. Kubus rusuk 6 cm. Jarak garis $AD$ ke garis $FG$?
Pembahasan
$AD \parallel FG$ (keduanya sejajar sumbu-$y$). $A(0,0,0)$, $F(6,0,6)$. Jarak antara dua garis sejajar ini $= \sqrt{6^2+6^2} = 6\sqrt{2}$ cm (jarak titik $A$ ke garis $FG$ pada bidang tegak lurus).
4. Kubus rusuk 8 cm. Jarak garis $AB$ ke garis $HE$? (yang sejajar)
Pembahasan
Perhatikan: $AB$ sepanjang sumbu-$x$, $HE$ juga sepanjang sumbu-$x$ (dari $H(0,8,8)$ ke $E(0,0,8)$ — bukan sejajar $AB$). $HE$ sejajar sumbu-$y$, bukan sumbu-$x$.
Koreksi arah: $A(0,0,0)\to B(8,0,0)$ arah $x$. $H(0,8,8)\to E(0,0,8)$ arah $-y$. Tidak sejajar.
Maka ini garis bersilangan, bukan sejajar. Lihat seksi 6.
5. Kubus rusuk 6 cm. Jarak garis $BC$ ke garis $FG$?
Pembahasan
$BC \parallel FG$. $B(6,0,0)$, $F(6,0,6)$. Jarak $= BF = 6$ cm.
Sulit
1. Balok $AB=6$, $BC=4$, $AE=3$. Jarak garis $AB$ ke garis $HG$?
Pembahasan
$AB \parallel HG$. $A(0,0,0)$, $H(0,4,3)$. Jarak $= \sqrt{4^2+3^2} = 5$.
2. Balok $AB=3$, $BC=4$, $AE=12$. Jarak garis $AD$ ke garis $EF$?
Pembahasan
$AD \parallel EF$? $AD$ arah $y$, $EF$ arah $x$. Tidak sejajar! Ini bersilangan.
Koreksi: $AD$ arah $y$, $EF$ arah $x$. Ini masuk ke jarak garis bersilangan. Jarak $= AE = 12$.
3. Kubus rusuk $a$. Jarak garis $AC$ (diagonal alas) ke garis $EG$ (diagonal atas)?
Pembahasan
$AC \parallel EG$. Kedua diagonal ini sejajar dan berjarak tinggi kubus. Jarak $= a$.
4. Kubus rusuk $a$. Jarak garis $AF$ ke garis $CH$?
Pembahasan
$A(0,0,0)$, $F(a,0,a)$, $C(a,a,0)$, $H(0,a,a)$.
$\vec{AF}=(a,0,a)$, $\vec{CH}=(-a,0,a)$. Cek sejajar: $(a,0,a)$ dan $(-a,0,a)$ — tidak kelipatan. Ini garis bersilangan.
Gunakan rumus: $d = \frac{|\vec{AC}\cdot(\vec{AF}\times\vec{CH})|}{|\vec{AF}\times\vec{CH}|}$.
$\vec{AF}\times\vec{CH} = \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\a&0&a\\-a&0&a\end{vmatrix} = (0)\mathbf{i}-(2a^2)\mathbf{j}+(0)\mathbf{k} = (0,-2a^2,0)$.
$\vec{AC} = (a,a,0)$. $\vec{AC}\cdot(0,-2a^2,0) = -2a^3$.
$|\vec{AF}\times\vec{CH}| = 2a^2$. Jarak $= \frac{2a^3}{2a^2} = a$.
5. Kubus rusuk $a$. $M$ tengah $AB$, $N$ tengah $GH$. Jarak garis $MN$ ke garis $DG$?
Pembahasan
$M=(\frac{a}{2},0,0)$, $N=(\frac{a}{2},a,a)$. $\vec{MN}=(0,a,a)$.
$D(0,a,0)$, $G(a,a,a)$. $\vec{DG}=(a,0,a)$.
Cek sejajar: tidak. $\vec{MN}\times\vec{DG} = (a^2, a^2, -a^2)$, arah $(1,1,-1)$.
$\vec{MD} = (-\frac{a}{2}, a, 0)$.
$\vec{MD}\cdot(a^2,a^2,-a^2) = -\frac{a^3}{2}+a^3+0 = \frac{a^3}{2}$.
$|(1,1,-1)| = \sqrt{3}$, $|\vec{MN}\times\vec{DG}| = a^2\sqrt{3}$.
Jarak $= \frac{a^3/2}{a^2\sqrt{3}} = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.
✏️ Latihan Soal
Mudah
Sedang
Sulit
4. Jarak Garis ke Bidang
Definisi: Jarak garis $g$ ke bidang $\alpha$ didefinisikan jika $g \parallel \alpha$. Jarak ini sama dengan jarak sembarang titik pada $g$ ke bidang $\alpha$.
📝 Contoh Soal
Mudah
1. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 6 cm. Jarak garis $AB$ ke bidang $EFGH$?
Pembahasan
$AB \parallel EFGH$. Jarak $= AE = 6$ cm.
2. Kubus rusuk 5 cm. Jarak garis $EF$ ke bidang $ABCD$?
Pembahasan
Jarak $= 5$ cm.
3. Kubus rusuk 4 cm. Jarak garis $AD$ ke bidang $BCGF$?
Pembahasan
$AD \parallel BCGF$. Jarak $= AB = 4$ cm.
4. Kubus rusuk 8 cm. Jarak garis $GH$ ke bidang $ABCD$?
Pembahasan
Jarak $= 8$ cm.
5. Kubus rusuk 10 cm. Jarak garis $AE$ ke bidang $BCGF$?
Pembahasan
$AE \parallel BCGF$. Jarak $= AB = 10$ cm.
Sedang
1. Kubus rusuk 6 cm. Jarak garis $AC$ (diagonal alas) ke bidang $EFGH$?
Pembahasan
$AC$ pada bidang $ABCD$, sejajar $EFGH$. Jarak $= 6$ cm.
2. Kubus rusuk 4 cm. Jarak garis $BD$ ke bidang $EFGH$?
Pembahasan
$BD$ di bidang alas, sejajar $EFGH$. Jarak $= 4$ cm.
3. Kubus rusuk 6 cm. Jarak garis $AB$ ke bidang $DCGH$?
Pembahasan
$AB \parallel DCGH$. Jarak $= AD = 6$ cm.
4. Kubus rusuk $a$. Jarak garis $EG$ ke bidang $ABCD$?
Pembahasan
$EG$ di bidang $EFGH$, sejajar $ABCD$. Jarak $= a$.
5. Balok $AB=6, BC=4, AE=3$. Jarak garis $EF$ ke bidang $ABCD$?
Pembahasan
$EF \parallel ABCD$. Jarak $= AE = 3$.
Sulit
1. Kubus rusuk 6 cm. Jarak garis $AF$ ke bidang $BDHF$?
Pembahasan
$A(0,0,0)$, $F(6,0,6)$. Bidang $BDHF$: $B(6,0,0)$, $D(0,6,0)$, $H(0,6,6)$, $F(6,0,6)$.
Normal bidang melalui $B,D,F$: $\vec{BD}=(-6,6,0)$, $\vec{BF}=(0,0,6)$. Normal $= (36,36,0)$, arah $(1,1,0)$.
Bidang: $x+y=6$.
Cek $AF$: $A(0,0,0)$, jarak $A$ ke bidang $= \frac{|0+0-6|}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.
Cek $F(6,0,6)$: $\frac{|6+0-6|}{\sqrt{2}} = 0$. $F$ pada bidang! Maka $AF$ tidak sejajar bidang. Jarak $= 0$ (garis memotong bidang).
2. Kubus rusuk $a$. Jarak garis $AB$ ke bidang diagonal $ACGE$?
Pembahasan
$AB$ terletak pada… $A$ ada di bidang $ACGE$, jadi $AB$ memotong bidang di titik $A$. Jarak $= 0$.
3. Kubus rusuk 6. Jarak garis $EF$ ke bidang $ABGH$?
Pembahasan
Bidang $ABGH$: $A(0,0,0)$, $B(6,0,0)$, $G(6,6,6)$, $H(0,6,6)$.
$\vec{AB}=(6,0,0)$, $\vec{AH}=(0,6,6)$. Normal $= (0,-36,36)$, arah $(0,-1,1)$. Bidang: $-y+z=0$.
$E(0,0,6)$: jarak $= \frac{|0+6|}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.
$F(6,0,6)$: jarak $= \frac{|0+6|}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$. Sama, jadi $EF \parallel$ bidang. Jarak $= 3\sqrt{2}$ cm.
4. Kubus rusuk $a$. Jarak garis $FH$ ke bidang $ABCD$?
Pembahasan
$FH$ di bidang $EFGH$, sejajar $ABCD$. Jarak $= a$.
5. Balok $AB=4, BC=3, AE=5$. Jarak garis $EG$ ke bidang $ABCD$?
Pembahasan
$EG$ di bidang atas, sejajar $ABCD$. Jarak $= AE = 5$.
✏️ Latihan Soal
Mudah
Sedang
Sulit
5. Jarak Bidang ke Bidang
Definisi: Jarak antara dua bidang sejajar $\alpha$ dan $\beta$ adalah jarak dari sembarang titik pada $\alpha$ ke bidang $\beta$.
📝 Contoh Soal
Mudah
1. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 6 cm. Jarak bidang $ABCD$ ke bidang $EFGH$?
Pembahasan
Bidang alas dan atas, sejajar. Jarak $= 6$ cm.
2. Kubus rusuk 4 cm. Jarak bidang $ABFE$ ke bidang $DCGH$?
Pembahasan
Bidang depan dan belakang, sejajar. Jarak $= 4$ cm.
3. Kubus rusuk 5 cm. Jarak bidang $ADHE$ ke bidang $BCGF$?
Pembahasan
Bidang kiri dan kanan, sejajar. Jarak $= 5$ cm.
4. Balok $AB=6, BC=4, AE=3$. Jarak bidang $ABCD$ ke bidang $EFGH$?
Pembahasan
Jarak $= AE = 3$.
5. Balok $AB=8, BC=6, AE=5$. Jarak bidang $ABFE$ ke bidang $DCGH$?
Pembahasan
Jarak $= BC = 6$.
Sedang
1. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 6. Jarak bidang $ACGE$ ke bidang $BDHF$?
Pembahasan
$ACGE$: $A(0,0,0)$, $C(6,6,0)$, normal $(1,-1,0)$, bidang $x-y=0$.
$BDHF$: $B(6,0,0)$, bidang $x-y=6$.
Jarak $= \frac{|0-6|}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ cm.
2. Kubus rusuk 4. Jarak bidang $ABGH$ ke bidang $DCFE$?
Pembahasan
$ABGH$: $A(0,0,0),B(4,0,0),G(4,4,4),H(0,4,4)$. Normal $(0,-1,1)$, bidang $-y+z=0$.
$DCFE$: $D(0,4,0)$. $-4+0=-4$, bidang $-y+z=-4$.
Jarak $= \frac{|0-(-4)|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ cm.
3. Kubus rusuk $a$. Jarak bidang $ABGH$ ke bidang $EFCD$?
Pembahasan
Sama seperti di atas: jarak $= \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
4. Balok $AB=6, BC=4, AE=8$. Jarak bidang $ADHE$ ke bidang $BCGF$?
Pembahasan
Jarak $= AB = 6$.
5. Kubus rusuk 8 cm. Jarak bidang $ACGE$ ke bidang $BDHF$?
Pembahasan
$d = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$ cm.
Sulit
1. Diketahui bidang $\alpha: 2x+3y+6z=12$ dan $\beta: 2x+3y+6z=26$. Tentukan jaraknya.
Pembahasan
$d = \frac{|12-26|}{\sqrt{4+9+36}} = \frac{14}{7} = 2$.
2. Bidang $\alpha: x+2y-2z=5$ dan $\beta: x+2y-2z=-4$. Jarak?
Pembahasan
$d = \frac{|5-(-4)|}{\sqrt{1+4+4}} = \frac{9}{3} = 3$.
3. Bidang $\alpha: 3x-4y+12z=6$ dan $\beta: 3x-4y+12z=19$. Jarak?
Pembahasan
$d = \frac{|6-19|}{\sqrt{9+16+144}} = \frac{13}{13} = 1$.
4. Kubus rusuk $a$. Bidang melalui $A,F,$ titik tengah $CG$ sejajar dengan bidang melalui $D,E,$ titik tengah $BF$. Tentukan jarak keduanya.
Pembahasan
$A(0,0,0)$, $F(a,0,a)$, $M_{CG}=(a,a,\frac{a}{2})$.
$\vec{AF}=(a,0,a)$, $\vec{AM}=(a,a,\frac{a}{2})$. Normal $= (0-a^2, a^2-\frac{a^2}{2}, a^2) = (-a^2,\frac{a^2}{2},a^2)$, arah $(-2,1,2)$.
Bidang $\alpha$: $-2x+y+2z=0$.
$D(0,a,0)$: $-0+a+0=a$. Bidang $\beta$: $-2x+y+2z=a$.
Jarak $= \frac{|0-a|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{a}{3}$.
5. Bidang $\alpha: 6x+2y-3z=7$ dan $\beta: 6x+2y-3z=21$. Jarak?
Pembahasan
$d = \frac{|7-21|}{\sqrt{36+4+9}} = \frac{14}{7} = 2$.
✏️ Latihan Soal
Mudah
Sedang
Sulit
6. Jarak Dua Garis Bersilangan
Definisi: Dua garis bersilangan adalah dua garis dalam ruang yang tidak sejajar dan tidak berpotongan. Jarak antara dua garis bersilangan adalah panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan keduanya, yang tegak lurus terhadap kedua garis.
$A \in g_1$, $B \in g_2$, $\vec{u}$ arah $g_1$, $\vec{v}$ arah $g_2$.
📝 Contoh Soal
Mudah
1. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 6 cm. Jarak garis $AB$ ke garis $DH$ (bersilangan)?
Pembahasan
$AB$ arah $x$, $DH$ arah $z$. $A(0,0,0)$, $D(0,6,0)$.
$\vec{u}=(1,0,0)$, $\vec{v}=(0,0,1)$. $\vec{u}\times\vec{v}=(0,-1,0)$.
$\vec{AD}=(0,6,0)$. $|\vec{AD}\cdot(0,-1,0)| = |-6| = 6$. $|\vec{u}\times\vec{v}|=1$.
Jarak $= 6$ cm.
2. Kubus rusuk 4 cm. Jarak garis $AB$ ke garis $CG$?
Pembahasan
$AB$ arah $x$, $CG$ arah $z$. $\vec{u}=(1,0,0)$, $\vec{v}=(0,0,1)$, $\vec{u}\times\vec{v}=(0,-1,0)$.
$\vec{AC}=(4,4,0)$. $|\vec{AC}\cdot(0,-1,0)| = 4$. Jarak $= 4$ cm.
3. Kubus rusuk 5 cm. Jarak garis $EF$ ke garis $AD$?
Pembahasan
$EF$ arah $x$ di atas, $AD$ arah $y$ di bawah. Bersilangan.
$\vec{u}=(1,0,0)$, $\vec{v}=(0,1,0)$. $\vec{u}\times\vec{v}=(0,0,1)$.
$\vec{EA}=(0,0,-5)$. $|\vec{EA}\cdot(0,0,1)| = 5$. Jarak $= 5$ cm.
4. Kubus rusuk 8 cm. Jarak garis $AB$ ke garis $EH$?
Pembahasan
$AB$ arah $x$, $EH$ arah $y$. $\vec{u}\times\vec{v}=(0,0,-1)$.
$\vec{AE}=(0,0,8)$. $|8\cdot(-1)| = 8$. Jarak $= 8$ cm.
5. Kubus rusuk 10 cm. Jarak garis $BC$ ke garis $EH$?
Pembahasan
$BC$ arah $y$: $B(10,0,0)\to C(10,10,0)$. $EH$ arah $y$: $E(0,0,10)\to H(0,10,10)$. Sejajar! Bukan bersilangan.
Jarak garis sejajar: jarak $B$ ke garis $EH$. $\vec{BE}=(-10,0,10)$. Komponen tegak lurus arah $y$: $(-10,0,10)$. Panjang $= 10\sqrt{2}$ cm.
Sedang
1. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk 6 cm. Jarak garis $AG$ ke garis $BH$?
Pembahasan
$A(0,0,0)$, $G(6,6,6)$, $B(6,0,0)$, $H(0,6,6)$.
$\vec{u}=\vec{AG}=(6,6,6)$, $\vec{v}=\vec{BH}=(-6,6,6)$.
$\vec{u}\times\vec{v} = (36-36, -36+36, 36+36) = (0, 0, 72)$. Arah $(0,0,1)$.
$\vec{AB}=(6,0,0)$. $\vec{AB}\cdot(0,0,72) = 0$.
Jarak $= 0$? Ini berarti garis berpotongan, bukan bersilangan. Cek: parameterisasi dan cari perpotongan…
$A+t(6,6,6) = B+s(-6,6,6)$: $6t=6-6s, 6t=6s, 6t=6s$. Dari baris 2: $t=s$. Baris 1: $6t=6-6t$, $12t=6$, $t=\frac{1}{2}$. Titik potong: $(3,3,3)$, pusat kubus. Memang berpotongan!
Jadi jarak $= 0$.
2. Kubus rusuk 6 cm. Jarak garis $AH$ ke garis $BG$?
Pembahasan
$A(0,0,0)$, $H(0,6,6)$. $\vec{u}=(0,6,6)$.
$B(6,0,0)$, $G(6,6,6)$. $\vec{v}=(0,6,6)$.
$\vec{u} \parallel \vec{v}$! Garis sejajar, bukan bersilangan. Jarak $= $ jarak $A$ ke garis $BG = 6$ cm (dari contoh sebelumnya).
3. Kubus rusuk 6 cm. Jarak garis $AF$ ke garis $DG$?
Pembahasan
$A(0,0,0)$, $F(6,0,6)$. $\vec{u}=(6,0,6)$. $D(0,6,0)$, $G(6,6,6)$. $\vec{v}=(6,0,6)$. Sejajar lagi!
Jarak $= $ jarak $A$ ke garis $DG$. $\vec{DA}=(0,-6,0)$, $\vec{DG}=(6,0,6)$.
$\vec{DA}\times\vec{DG} = (-36, 0, 36)$. $|\cdot| = 36\sqrt{2}$. $|\vec{DG}|=6\sqrt{2}$.
Jarak $= \frac{36\sqrt{2}}{6\sqrt{2}} = 6$ cm.
4. Kubus rusuk 4 cm. Jarak garis $AB$ ke garis $GH$?
Pembahasan
$AB$: arah $(1,0,0)$, $GH$: $G(4,4,4)\to H(0,4,4)$, arah $(-1,0,0)$. Sejajar (arah berlawanan).
Jarak $= $ jarak $A(0,0,0)$ ke garis $GH$. Komponen tegak lurus: $(0,4,4)$. Jarak $= \sqrt{16+16} = 4\sqrt{2}$ cm.
5. Kubus rusuk 6 cm. Jarak garis $AE$ ke garis $FD$?
Pembahasan
$A(0,0,0)$, $E(0,0,6)$: $\vec{u}=(0,0,6)$. $F(6,0,6)$, $D(0,6,0)$: $\vec{v}=(-6,6,-6)$.
$\vec{u}\times\vec{v} = (0\cdot(-6)-6\cdot6, 6\cdot(-6)-0\cdot(-6), 0\cdot6-0\cdot(-6)) = (-36,-36,0)$, arah $(1,1,0)$.
$\vec{AF}=(6,0,6)$. $\vec{AF}\cdot(-36,-36,0) = -216$. $|\vec{u}\times\vec{v}| = 36\sqrt{2}$.
Jarak $= \frac{216}{36\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ cm.
Sulit
1. Kubus $ABCD.EFGH$ rusuk $a$. Jarak garis $AF$ ke garis $CH$?
Pembahasan
$A(0,0,0)$, $F(a,0,a)$: $\vec{u}=(a,0,a)$. $C(a,a,0)$, $H(0,a,a)$: $\vec{v}=(-a,0,a)$.
$\vec{u}\times\vec{v} = (0-0, -a^2-a^2, 0-0)^*$. Hitung:
$= (0\cdot a – a\cdot 0, a\cdot(-a) – a\cdot a, a\cdot 0 – 0\cdot(-a)) = (0, -2a^2, 0)$.
$\vec{AC}=(a,a,0)$. $\vec{AC}\cdot(0,-2a^2,0) = -2a^3$.
Jarak $= \frac{2a^3}{2a^2} = a$.
2. Kubus rusuk $a$. Jarak garis $BH$ ke garis $DF$?
Pembahasan
$B(a,0,0)$, $H(0,a,a)$: $\vec{u}=(-a,a,a)$. $D(0,a,0)$, $F(a,0,a)$: $\vec{v}=(a,-a,a)$.
$\vec{u}\times\vec{v} = (a^2+a^2, a^2+a^2, a^2-a^2) = (2a^2, 2a^2, 0)$. Arah $(1,1,0)$.
$\vec{BD}=(-a,a,0)$. $\vec{BD}\cdot(2a^2,2a^2,0) = -2a^3+2a^3 = 0$.
Jarak $= 0$. Garis berpotongan!
3. Balok $AB=4, BC=3, AE=6$. Jarak garis $AG$ ke garis $CE$?
Pembahasan
$A(0,0,0)$, $G(4,3,6)$: $\vec{u}=(4,3,6)$. $C(4,3,0)$, $E(0,0,6)$: $\vec{v}=(-4,-3,6)$.
$\vec{u}\times\vec{v} = (18+18, -24-24, -12+12) = (36, -48, 0)$. Arah $(3,-4,0)$.
$\vec{AC}=(4,3,0)$. $\vec{AC}\cdot(36,-48,0) = 144-144 = 0$.
Jarak $= 0$. Berpotongan!
4. Kubus rusuk $a$. $M$ tengah $AB$, $N$ tengah $GH$. Jarak garis $MN$ ke garis $DF$?
Pembahasan
$M=(\frac{a}{2},0,0)$, $N=(\frac{a}{2},a,a)$. $\vec{MN}=(0,a,a)$.
$D(0,a,0)$, $F(a,0,a)$: $\vec{DF}=(a,-a,a)$.
$\vec{MN}\times\vec{DF} = (a^2+a^2, a^2-0, 0-a^2) = (2a^2, a^2, -a^2)$.
$\vec{MD}=(-\frac{a}{2},a,0)$. $\vec{MD}\cdot(2a^2,a^2,-a^2) = -a^3+a^3+0 = 0$.
Jarak $= 0$. Berpotongan!
5. Kubus rusuk 6. Jarak garis $AE$ ke garis $FD$? (verifikasi ulang)
Pembahasan
Dari contoh sedang no.5: $\vec{u}=(0,0,6)$, $\vec{v}=(-6,6,-6)$.
$\vec{u}\times\vec{v}=(-36,-36,0)$.
$\vec{AF}=(6,0,6)$. $|\vec{AF}\cdot(-36,-36,0)| = |-216| = 216$. $|(-36,-36,0)|=36\sqrt{2}$.
Jarak $= \frac{216}{36\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ cm. ✓