Besar Sudut antara Dua Garis dan Bidang
Matematika — Geometri Dimensi Tiga
A. Sudut antara Dua Buah Garis
Definisi: Sudut antara dua garis adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan atau dua garis yang sejajar ditranslasikan hingga berpotongan.
📐 Rumus Utama
Jika dua garis memiliki vektor arah a dan b, maka sudut α antara kedua garis:
Dengan a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ (dot product).
📌 Catatan Penting
- Sudut antara dua garis selalu bernilai 0° ≤ α ≤ 90°
- Jika α = 0°, kedua garis sejajar
- Jika α = 90°, kedua garis saling tegak lurus
- Untuk garis bersilangan, tarik salah satu garis sejajar hingga berpotongan
Gambar: Sudut α antara garis g₁ dan g₂
📏 Pada Kubus ABCD.EFGH sisi a
Beberapa sudut yang sering muncul:
| Dua Garis | Sudut |
|---|---|
| AB dan EF (sejajar) | 0° |
| AB dan AE (tegak lurus) | 90° |
| AG dan BH (diagonal ruang) | arccos(⅓) ≈ 70,53° |
| AB dan AF (rusuk & diagonal sisi) | 45° |
| AF dan HB (diagonal sisi bersilangan) | 60° |
Contoh Soal — Sudut antara Dua Garis
MUDAH
1. Kubus ABCD.EFGH memiliki sisi a. Tentukan sudut antara garis AB dan garis BC.
▶ Pembahasan
AB dan BC adalah dua rusuk kubus yang bertemu di titik B.
Karena kubus memiliki sudut siku-siku pada setiap sisi, maka sudut antara AB dan BC = 90°.
2. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis AB dan garis EF.
▶ Pembahasan
AB ∥ EF (rusuk-rusuk yang bersesuaian pada sisi atas dan bawah).
Sudut antara dua garis sejajar = 0°.
3. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis AB dan garis AE.
▶ Pembahasan
AB adalah rusuk alas horizontal. AE adalah rusuk tegak vertikal. Keduanya bertemu di A.
Sudut antara rusuk horizontal dan vertikal kubus = 90°.
4. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis AD dan garis BC.
▶ Pembahasan
AD ∥ BC (sisi-sisi berlawanan pada persegi ABCD).
Sudut antara dua garis sejajar = 0°.
5. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis AE dan garis CG.
▶ Pembahasan
AE dan CG keduanya rusuk tegak → keduanya sejajar (vertikal).
Sudut antara dua garis sejajar = 0°.
SEDANG
1. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis AB dan diagonal sisi AF.
▶ Pembahasan
Misalkan A(0,0,0), B(a,0,0), F(a,0,a).
Vektor AB = (a, 0, 0), vektor AF = (a, 0, a).
cos α = |a·a + 0 + 0|a · a√2 = a²a²√2 = 1√2
α = 45°
2. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara diagonal sisi AC dan diagonal sisi AF.
▶ Pembahasan
A(0,0,0), C(a,a,0), F(a,0,a).
AC = (a, a, 0), AF = (a, 0, a).
AC · AF = a² + 0 + 0 = a².
|AC| = a√2, |AF| = a√2.
cos α = a²a√2 · a√2 = a²2a² = 12
α = 60°
3. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis AF dan garis HB.
▶ Pembahasan
A(0,0,0), F(a,0,a), H(0,a,a), B(a,0,0).
AF = (a, 0, a), HB = (a, −a, −a).
AF · HB = a² + 0 − a² = 0.
cos α = 0 → α = 90°. Kedua garis saling tegak lurus.
4. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis BE dan garis DF.
▶ Pembahasan
B(a,0,0), E(0,0,a), D(0,a,0), F(a,0,a).
BE = (−a, 0, a), DF = (a, −a, a).
BE · DF = −a² + 0 + a² = 0.
cos α = 0 → α = 90°.
5. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara diagonal sisi BG dan diagonal sisi CE.
▶ Pembahasan
B(a,0,0), G(a,a,a), C(a,a,0), E(0,0,a).
BG = (0, a, a), CE = (−a, −a, a).
BG · CE = 0 − a² + a² = 0.
cos α = 0 → α = 90°.
SULIT
1. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara diagonal ruang AG dan diagonal ruang BH.
▶ Pembahasan
A(0,0,0), G(a,a,a), B(a,0,0), H(0,a,a).
AG = (a, a, a), BH = (−a, a, a).
AG · BH = −a² + a² + a² = a².
|AG| = a√3, |BH| = a√3.
cos α = a²a√3 · a√3 = 13
α = arccos(⅓) ≈ 70,53°
2. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara diagonal ruang AG dan diagonal sisi AF.
▶ Pembahasan
AG = (a, a, a), AF = (a, 0, a).
AG · AF = a² + 0 + a² = 2a².
|AG| = a√3, |AF| = a√2.
cos α = 2a²a√3 · a√2 = 2√6
α = arccos(2/√6) ≈ 35,26°
3. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara diagonal ruang CE dan diagonal sisi BG.
▶ Pembahasan
C(a,a,0), E(0,0,a) → CE = (−a, −a, a).
B(a,0,0), G(a,a,a) → BG = (0, a, a).
CE · BG = 0 − a² + a² = 0.
cos α = 0 → α = 90°.
4. Kubus ABCD.EFGH sisi a. M adalah titik tengah EF. Tentukan sudut antara garis AM dan garis HB.
▶ Pembahasan
A(0,0,0), M(a/2, 0, a) titik tengah EF, H(0,a,a), B(a,0,0).
AM = (a/2, 0, a), HB = (a, −a, −a).
AM · HB = a²/2 + 0 − a² = −a²/2.
|AM| = √(a²/4 + a²) = √(5a²/4) = a√5/2.
|HB| = a√3.
cos α = |−a²/2|(a√5/2)(a√3) = a²/2a²√15/2 = 1√15
α = arccos(1/√15) ≈ 75,04°
5. Kubus ABCD.EFGH sisi a. P titik tengah AB, Q titik tengah GH. Tentukan sudut antara garis PQ dan diagonal ruang AG.
▶ Pembahasan
P(a/2, 0, 0), Q(a/2, a, a) → PQ = (0, a, a).
AG = (a, a, a).
PQ · AG = 0 + a² + a² = 2a².
|PQ| = a√2, |AG| = a√3.
cos α = 2a²a√2 · a√3 = 2√6
α = arccos(2/√6) ≈ 35,26°
Latihan Soal — Sudut antara Dua Garis
MUDAH
1. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis AB dan DC.
2. Tentukan sudut antara garis AE dan BF pada kubus ABCD.EFGH.
3. Tentukan sudut antara garis AB dan garis AD pada kubus ABCD.EFGH.
4. Tentukan sudut antara garis EF dan garis HG pada kubus ABCD.EFGH.
5. Tentukan sudut antara garis AE dan garis DH pada kubus ABCD.EFGH.
SEDANG
1. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis AC dan garis EG.
2. Tentukan sudut antara garis BD dan garis AE.
3. Tentukan sudut antara garis AH dan garis BF.
4. Tentukan sudut antara diagonal sisi AC dan rusuk AE.
5. Tentukan sudut antara garis DE dan garis BG.
SULIT
1. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara diagonal ruang DF dan diagonal ruang AG.
2. M titik tengah BC. Tentukan sudut antara garis AM dan diagonal ruang BH.
3. P titik tengah AE, Q titik tengah CG. Tentukan sudut antara PQ dan garis BD.
4. Tentukan sudut antara garis EM dan garis FN, di mana M titik tengah AD dan N titik tengah BC.
5. R titik tengah EH, S titik tengah FG. Tentukan sudut antara garis AR dan garis BS.
B. Sudut antara Garis dan Bidang yang Berpotongan
Definisi: Sudut antara garis g dan bidang α adalah sudut antara garis g dan proyeksinya pada bidang α.
📐 Cara Menentukan
- Tentukan titik potong garis dengan bidang
- Buat garis tegak lurus dari suatu titik pada garis ke bidang (proyeksi ortogonal)
- Hubungkan kaki garis tegak lurus dengan titik potong → itulah proyeksi garis pada bidang
- Sudut antara garis asli dan proyeksinya = sudut yang dicari
📐 Rumus dengan Vektor
Jika garis memiliki vektor arah d dan bidang memiliki vektor normal n:
Gambar: Sudut θ antara garis g dan bidang α
📌 Catatan Penting
- Sudut antara garis dan bidang selalu 0° ≤ θ ≤ 90°
- Jika θ = 0°, garis sejajar atau terletak pada bidang
- Jika θ = 90°, garis tegak lurus bidang
Contoh Soal — Sudut antara Garis dan Bidang
MUDAH
1. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis AE dan bidang ABCD.
▶ Pembahasan
AE adalah rusuk tegak, ABCD adalah bidang alas.
AE tegak lurus bidang ABCD, maka θ = 90°.
2. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis AB dan bidang ABCD.
▶ Pembahasan
AB terletak pada bidang ABCD.
Sudut antara garis yang terletak pada bidang dengan bidangnya = 0°.
3. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis EF dan bidang ABCD.
▶ Pembahasan
EF sejajar AB, dan AB ⊂ ABCD. Maka EF sejajar bidang ABCD.
θ = 0°.
4. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis BF dan bidang ABCD.
▶ Pembahasan
BF adalah rusuk tegak (sejajar AE). BF ⊥ ABCD.
θ = 90°.
5. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis DH dan bidang ABFE.
▶ Pembahasan
DH adalah rusuk tegak sejajar AE. Bidang ABFE mengandung AE yang sejajar DH.
DH sejajar bidang ABFE → θ = 0°.
SEDANG
1. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara diagonal sisi AF dan bidang ABCD.
▶ Pembahasan
A(0,0,0), F(a,0,a). Proyeksi F ke ABCD → F'(a,0,0) = B.
Proyeksi AF pada ABCD = AB.
tan θ = BFAB = aa = 1
θ = 45°
2. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara diagonal sisi AG (bidang ABGH) dan bidang ABCD.
▶ Pembahasan
Perhatian: AG di sini bukan diagonal ruang, melainkan diagonal sisi ABGH. A(0,0,0), G(a,a,a) → ini diagonal ruang.
Jika yang dimaksud diagonal sisi bidang ABGH, maka garis AH. A(0,0,0), H(0,a,a).
Proyeksi H ke ABCD → H'(0,a,0) = D.
Proyeksi AH pada ABCD = AD.
tan θ = DHAD = aa = 1 → θ = 45°
3. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis AG (diagonal ruang) dan bidang ABCD.
▶ Pembahasan
A(0,0,0), G(a,a,a). Proyeksi G ke ABCD → G'(a,a,0) = C.
Proyeksi AG pada ABCD = AC.
AC = a√2, GG’ = a.
tan θ = aa√2 = 1√2
θ = arctan(1/√2) ≈ 35,26°
4. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis BG dan bidang ABCD.
▶ Pembahasan
B(a,0,0), G(a,a,a). Proyeksi G ke ABCD → C(a,a,0).
Proyeksi BG ke ABCD = BC. BC = a, CG = a.
tan θ = aa = 1 → θ = 45°
5. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis CE dan bidang ABCD.
▶ Pembahasan
C(a,a,0), E(0,0,a). Proyeksi E ke ABCD → E'(0,0,0) = A.
Proyeksi CE pada ABCD = CA. CA = a√2, AE vertical = a.
tan θ = aa√2 = 1√2
θ = arctan(1/√2) ≈ 35,26°
SULIT
1. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara diagonal ruang AG dan bidang ABFE.
▶ Pembahasan
Bidang ABFE: normal n⃗ = (0,1,0) (tegak lurus ke arah y).
AG = (a, a, a).
sin θ = |AG · n⃗||AG| · |n⃗| = aa√3 = 1√3
θ = arcsin(1/√3) ≈ 35,26°
2. Kubus ABCD.EFGH sisi a. M titik tengah EF. Tentukan sudut antara garis AM dan bidang ABCD.
▶ Pembahasan
A(0,0,0), M(a/2, 0, a).
Proyeksi M ke ABCD → M'(a/2, 0, 0).
AM’ = a/2 (horizontal), MM’ = a (vertikal).
tan θ = aa/2 = 2
θ = arctan(2) ≈ 63,43°
3. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara diagonal ruang BH dan bidang BCHE.
▶ Pembahasan
B(a,0,0), H(0,a,a). Bidang BCHE titik: B(a,0,0), C(a,a,0), H(0,a,a), E(0,0,a).
Vektor BC = (0,a,0), BE = (−a,0,a).
Normal n⃗ = BC × BE = (a², 0, 0) + … → n⃗ = (a², a², a²) → disederhanakan (1,1,1).
Hmm, mari hitung: BC × BE = |i j k; 0 a 0; −a 0 a| = (a·a − 0, 0·(−a) − 0·a, 0 − a·(−a)) = (a², 0, a²).
n⃗ = (a², 0, a²) → (1, 0, 1).
BH = (−a, a, a).
sin θ = |BH · n⃗||BH| · |n⃗| = |−a + 0 + a|a√3 · √2 = 0a√6 = 0
θ = 0°? Artinya BH terletak pada bidang BCHE. Cek: B ∈ BCHE ✓, H ∈ BCHE ✓. Memang BH adalah diagonal bidang BCHE.
θ = 0° (garis terletak pada bidang).
4. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara diagonal ruang AG dan bidang BDHF.
▶ Pembahasan
Bidang BDHF: B(a,0,0), D(0,a,0), H(0,a,a), F(a,0,a).
BD = (−a,a,0), BF = (0,0,a).
Normal n⃗ = BD × BF = (a, 0, 0) + … = |i j k; −a a 0; 0 0 a| = (a·a, 0·0 − (−a)·a, 0) = (a, a, 0) → (1,1,0).
AG = (a, a, a).
sin θ = |a + a + 0|a√3 · √2 = 2aa√6 = 2√6
θ = arcsin(2/√6) ≈ 54,74°
5. Limas beraturan T.ABCD dengan alas persegi sisi 6 cm dan tinggi limas 4 cm. Tentukan sudut antara rusuk TA dan bidang alas ABCD.
▶ Pembahasan
Alas persegi ABCD sisi 6. Pusat alas O = (3, 3, 0). T = (3, 3, 4).
A = (0, 0, 0). Proyeksi T ke ABCD → O(3, 3, 0).
Proyeksi TA pada ABCD = AO.
AO = √(9 + 9) = 3√2.
OT = 4 (tinggi).
tan θ = 43√2 = 4√26 = 2√23
θ = arctan(2√2/3) ≈ 43,31°
Latihan Soal — Sudut antara Garis dan Bidang
MUDAH
1. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis CG dan bidang ABCD.
2. Tentukan sudut antara garis AB dan bidang EFGH.
3. Tentukan sudut antara garis DH dan bidang DCGH.
4. Tentukan sudut antara garis BC dan bidang BCGF.
5. Tentukan sudut antara garis GH dan bidang ABCD.
SEDANG
1. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis AH dan bidang ABCD.
2. Tentukan sudut antara diagonal sisi BG dan bidang BCGF.
3. Tentukan sudut antara garis DF (diagonal ruang) dan bidang ABCD.
4. Tentukan sudut antara garis BE dan bidang ABCD.
5. Tentukan sudut antara garis CH dan bidang EFGH.
SULIT
1. Kubus ABCD.EFGH sisi a. P titik tengah AB. Tentukan sudut antara garis PG dan bidang ABCD.
2. Tentukan sudut antara diagonal ruang CE dan bidang ADHE.
3. Limas T.ABC alas segitiga sama sisi sisi 8 cm, tinggi limas 6 cm. Tentukan sudut antara rusuk TA dan bidang alas.
4. Kubus ABCD.EFGH sisi a. M titik tengah FG. Tentukan sudut antara garis DM dan bidang ABCD.
5. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara garis AG dan bidang ACGE.
C. Sudut antara Dua Bidang yang Berpotongan
Definisi: Sudut antara dua bidang (sudut dihedral) adalah sudut antara dua garis, masing-masing terletak pada salah satu bidang, yang keduanya tegak lurus terhadap garis potong kedua bidang tersebut dan melalui satu titik pada garis potong.
📐 Cara Menentukan
- Tentukan garis potong kedua bidang
- Ambil satu titik pada garis potong
- Dari titik itu, buat garis tegak lurus terhadap garis potong pada masing-masing bidang
- Sudut antara kedua garis tersebut = sudut dihedral
📐 Rumus dengan Vektor Normal
Jika dua bidang memiliki vektor normal n₁ dan n₂:
Gambar: Sudut dihedral θ antara bidang α dan β
📌 Catatan Penting
- Sudut antara dua bidang selalu 0° ≤ θ ≤ 90° (diambil sudut terkecil)
- Jika θ = 0°, kedua bidang sejajar atau berimpit
- Jika θ = 90°, kedua bidang saling tegak lurus
📏 Contoh pada Kubus ABCD.EFGH
| Dua Bidang | Sudut |
|---|---|
| ABCD dan EFGH | 0° |
| ABCD dan ABFE | 90° |
| ABCD dan ACGE (diagonal) | 45° |
Contoh Soal — Sudut antara Dua Bidang
MUDAH
1. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara bidang ABCD dan bidang EFGH.
▶ Pembahasan
ABCD dan EFGH adalah bidang atas dan bawah kubus → sejajar.
θ = 0°.
2. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara bidang ABCD dan bidang ABFE.
▶ Pembahasan
Garis potong: AB. Pada ABCD, garis tegak lurus AB → misalnya BC (dari B). Pada ABFE, tegak lurus AB → BF (dari B).
Sudut antara BC dan BF = 90° (rusuk kubus).
θ = 90°.
3. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara bidang ABFE dan bidang DCGH.
▶ Pembahasan
ABFE dan DCGH adalah sisi depan dan belakang kubus → sejajar.
θ = 0°.
4. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara bidang ABCD dan bidang BCGF.
▶ Pembahasan
Garis potong: BC. Pada ABCD, tegak lurus BC dari B → BA. Pada BCGF, tegak lurus BC dari B → BF.
Sudut antara BA dan BF = 90°.
θ = 90°.
5. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara bidang ADHE dan bidang BCGF.
▶ Pembahasan
ADHE dan BCGF adalah sisi kiri dan kanan kubus → sejajar.
θ = 0°.
SEDANG
1. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara bidang ABCD dan bidang BDE.
▶ Pembahasan
B(a,0,0), D(0,a,0), E(0,0,a).
Garis potong bidang BDE dengan ABCD: melalui B dan D → garis BD.
Titik tengah BD = M(a/2, a/2, 0). ME pada bidang BDE.
ME = E − M = (−a/2, −a/2, a). Proyeksi tegak lurus dari M ke BD pada ABCD: BD = (−a, a, 0). Komponen tegak lurus pada ABCD dari M arah ke O(0,0,0): arah (−1,−1,0)/√2. MO component = a/2 + a/2 = …
Alternatif: gunakan vektor normal.
n₁ ABCD = (0,0,1). Bidang BDE: BD = (−a,a,0), BE = (−a,0,a).
n₂ = BD × BE = |i j k; −a a 0; −a 0 a| = (a², a², a²) → (1,1,1).
cos θ = |(0,0,1)·(1,1,1)|1 · √3 = 1√3
θ = arccos(1/√3) ≈ 54,74°
2. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara bidang ABCD dan bidang AFH.
▶ Pembahasan
A(0,0,0), F(a,0,a), H(0,a,a).
AF = (a,0,a), AH = (0,a,a).
n₂ = AF × AH = |i j k; a 0 a; 0 a a| = (0−a, 0−a², a−0) = (−a, −a, a) → (1,1,−1) (setelah dikali −1).
n₁ ABCD = (0,0,1).
cos θ = |(0,0,1)·(1,1,−1)|1 · √3 = 1√3
θ = arccos(1/√3) ≈ 54,74°
3. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara bidang ABCD dan bidang ACGE.
▶ Pembahasan
Bidang ACGE melalui A(0,0,0), C(a,a,0), G(a,a,a), E(0,0,a).
AC = (a,a,0), AE = (0,0,a).
n₂ = AC × AE = (a,−a,0) → perlu hitung: = |i j k; a a 0; 0 0 a| = (a·a, 0−a·a, 0) = (a, −a, 0).
n₁ ABCD = (0,0,1).
cos θ = |(0,0,1)·(a,−a,0)|1 · a√2 = 0a√2 = 0
θ = 90°. Bidang ACGE tegak lurus bidang ABCD.
4. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara bidang ABCD dan bidang BDHF.
▶ Pembahasan
Bidang BDHF: B(a,0,0), D(0,a,0), H(0,a,a), F(a,0,a).
BD = (−a,a,0), BF = (0,0,a).
n₂ = BD × BF = (a, 0, 0) + … = |i j k; −a a 0; 0 0 a| = (a, a, 0).
n₁ = (0,0,1).
cos θ = |0|a√2 = 0 → θ = 90°.
5. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara bidang ABFE dan bidang ACGE.
▶ Pembahasan
n₁ (ABFE): AB = (a,0,0), AE = (0,0,a). n₁ = AB × AE = (0,−a,0) → (0,−1,0) → |n₁| = (0,1,0).
n₂ (ACGE): dari soal sebelumnya n₂ = (a,−a,0) → (1,−1,0).
cos θ = |(0)(1) + (1)(−1) + 0|1 · √2 = 1√2
θ = 45°.
SULIT
1. Limas beraturan T.ABCD alas persegi sisi 6 cm, tinggi 4 cm. Tentukan sudut antara bidang TAB dan bidang alas ABCD.
▶ Pembahasan
Alas ABCD persegi sisi 6. A(0,0,0), B(6,0,0), C(6,6,0), D(0,6,0). Pusat O(3,3,0), T(3,3,4).
Garis potong bidang TAB dengan ABCD = AB.
Titik tengah AB = M(3,0,0). Pada ABCD, tegak lurus AB dari M → arah (0,1,0), yaitu MD'(3,3,0) = menuju O, jarak MO’ = 3.
Pada bidang TAB, tegak lurus AB dari M → arah menuju T, komponen: MT = T − M = (0,3,4). Proyeksi pada bidang perpendicular: MT sudah tegak lurus AB ✓.
Pada ABCD dari M tegak lurus AB: vektor (0,1,0).
Pada TAB dari M tegak lurus AB: vektor MT = (0,3,4), |MT| = 5.
cos θ = (0)(0)+(1)(3)+(0)(4)1 · 5 = 35
θ = arccos(3/5) ≈ 53,13°
2. Limas beraturan T.ABCD alas persegi sisi 6 cm, tinggi 4 cm. Tentukan sudut antara bidang TAD dan bidang TBC.
▶ Pembahasan
A(0,0,0), B(6,0,0), C(6,6,0), D(0,6,0), T(3,3,4).
Bidang TAD: TA = (−3,−3,−4), TD = (−3,3,−4), AD = (0,6,0).
n₁ = TA × TD = |i j k; −3 −3 −4; −3 3 −4| = (12+12, 12−12, −9−9) = (24, 0, −18) → (4, 0, −3).
Bidang TBC: TB = (3,−3,−4), TC = (3,3,−4), BC = (0,6,0).
n₂ = TB × TC = |i j k; 3 −3 −4; 3 3 −4| = (12+12, −12+12, 9+9) = (24, 0, 18) → (4, 0, 3).
cos θ = |16 + 0 − 9|5 · 5 = 725
θ = arccos(7/25) ≈ 73,74°
3. Kubus ABCD.EFGH sisi a. M titik tengah AB. Tentukan sudut antara bidang ABCD dan bidang MEG.
▶ Pembahasan
M(a/2,0,0), E(0,0,a), G(a,a,a).
ME = (−a/2, 0, a), MG = (a/2, a, a).
n₂ = ME × MG = |i j k; −a/2 0 a; a/2 a a| = (0−a², a·a/2−(−a²/2), −a²/2−0) = (−a, a, −a/2) → (−2, 2, −1) dikali 2.
n₁ ABCD = (0,0,1). |n₂| = √(4+4+1) = 3.
cos θ = |0+0−1|1 · 3 = 13
θ = arccos(1/3) ≈ 70,53°
4. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara bidang BDG dan bidang BDF.
▶ Pembahasan
B(a,0,0), D(0,a,0), G(a,a,a), F(a,0,a).
BD = (−a,a,0). BG = (0,a,a). BF = (0,0,a).
n₁ (BDG) = BD × BG = |i j k; −a a 0; 0 a a| = (a, 0+a, −a) = (a, a, −a) → (1,1,−1).
n₂ (BDF) = BD × BF = |i j k; −a a 0; 0 0 a| = (a, 0+a, 0) = (a, a, 0) → (1,1,0).
cos θ = |1+1+0|√3 · √2 = 2√6
θ = arccos(2/√6) ≈ 35,26°
5. Limas beraturan T.ABC alas segitiga sama sisi sisi 6 cm, tinggi limas 3√2 cm. Tentukan sudut antara bidang TAB dan bidang TAC.
▶ Pembahasan
A(0,0,0), B(6,0,0), C(3, 3√3, 0). Pusat O(3, √3, 0). T(3, √3, 3√2).
Bidang TAB: TA = (−3, −√3, −3√2), AB = (6,0,0).
n₁ = TA × AB = |i j k; −3 −√3 −3√2; 6 0 0| = (0+0, −18√2+0, 0+6√3) = (0, −18√2, 6√3).
Bidang TAC: TA = (−3, −√3, −3√2), AC = (3, 3√3, 0).
n₂ = TA × AC = |i j k; −3 −√3 −3√2; 3 3√3 0| = (0+9√6, −9√2+0, −9√3+3√3) = (9√6, −9√2, −6√3).
n₁ · n₂ = 0 + 18√2·9√2 + 6√3·(−6√3) = 0 + 324 − 108 = 216. Hmm recalculate…
n₁ = (0, −18√2, 6√3). n₂ = (9√6, −9√2, −6√3).
n₁·n₂ = 0 + (−18√2)(−9√2) + (6√3)(−6√3) = 324 − 108 = 216.
|n₁| = √(0 + 648 + 108) = √756 = 6√21.
|n₂| = √(486 + 162 + 108) = √756 = 6√21.
cos θ = 216756 = 27
θ = arccos(2/7) ≈ 73,40°
Latihan Soal — Sudut antara Dua Bidang
MUDAH
1. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara bidang ABCD dan bidang DCGH.
2. Tentukan sudut antara bidang EFGH dan bidang ABFE.
3. Tentukan sudut antara bidang ABFE dan bidang BCGF.
4. Tentukan sudut antara bidang ADHE dan bidang ABFE.
5. Tentukan sudut antara bidang ABCD dan bidang ADHE.
SEDANG
1. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara bidang ABCD dan bidang ABG.
2. Tentukan sudut antara bidang ABCD dan bidang ACF.
3. Tentukan sudut antara bidang ABFE dan bidang BEG.
4. Tentukan sudut antara bidang BDHF dan bidang ABFE.
5. Tentukan sudut antara bidang ACGE dan bidang BDHF.
SULIT
1. Limas beraturan T.ABCD alas persegi sisi 8 cm, tinggi 6 cm. Tentukan sudut antara bidang TAB dan bidang ABCD.
2. Kubus ABCD.EFGH sisi a. P titik tengah AE. Tentukan sudut antara bidang ABCD dan bidang BPD.
3. Limas T.ABC alas segitiga sama sisi sisi 10 cm, tinggi 8 cm. Tentukan sudut antara bidang TAB dan bidang alas ABC.
4. Kubus ABCD.EFGH sisi a. Tentukan sudut antara bidang AFH dan bidang BEG.
5. Kubus ABCD.EFGH sisi a. M titik tengah CG, N titik tengah AE. Tentukan sudut antara bidang MNB dan bidang ABCD.