📐 Matematika — Bilangan Berpangkat
Pangkat Pecahan
Materi · Contoh Soal · Latihan Soal
Tingkat SMP / SMA Kelas X
Tingkat SMP / SMA Kelas X
📋 Daftar Isi
📖
1. Pengertian Pangkat Pecahan
Apa itu Pangkat Pecahan?
Pangkat pecahan adalah bilangan berpangkat di mana eksponennya berupa bilangan pecahan \(\dfrac{m}{n}\) dengan \(n \in \mathbb{Z}^+\) dan \(n \geq 2\).
Secara umum, pangkat pecahan didefinisikan sebagai berikut:
\[a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m\]
dengan syarat: \(a > 0\) (basis harus positif), \(m \in \mathbb{Z}\) (pangkat = bilangan bulat), \(n \in \mathbb{Z}^+,\ n \geq 2\) (indeks akar = bilangan bulat positif ≥ 2).
💡 Ingat: Bentuk \(a^{\frac{1}{n}}\) artinya akar ke-n dari a,
yaitu \(\sqrt[n]{a}\). Contoh: \(8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2\).
⚠ Perhatian: Jika \(a < 0\) dan \(n\) genap, maka \(a^{\frac{1}{n}}\)
tidak terdefinisi dalam bilangan real.
🔢
2. Notasi dan Simbol
Anatomi Pangkat Pecahan
Diagram: Bagian-Bagian Pangkat Pecahan
Diagram: Konversi Pangkat Pecahan ↔ Bentuk Akar
Contoh Dasar Notasi
Akar Kuadrat
\[a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}\]
Akar Kubik
\[a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a}\]
Pangkat 2/3
\[a^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{a^2}\]
Pangkat 3/4
\[a^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{a^3}\]
⚡
3. Sifat-Sifat Pangkat Pecahan
Pangkat pecahan mengikuti semua sifat bilangan berpangkat pada umumnya:
| No. | Sifat | Rumus | Contoh |
|---|---|---|---|
| 1 | Perkalian basis sama | \(a^{\frac{m}{n}} \cdot a^{\frac{p}{q}} = a^{\frac{m}{n}+\frac{p}{q}}\) | \(4^{\frac{1}{2}} \cdot 4^{\frac{1}{2}} = 4^1 = 4\) |
| 2 | Pembagian basis sama | \(\dfrac{a^{\frac{m}{n}}}{a^{\frac{p}{q}}} = a^{\frac{m}{n}-\frac{p}{q}}\) | \(\dfrac{8^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{1}{3}}} = 8^{\frac{1}{3}} = 2\) |
| 3 | Pangkat dari pangkat | \(\left(a^{\frac{m}{n}}\right)^p = a^{\frac{mp}{n}}\) | \(\left(9^{\frac{1}{2}}\right)^3 = 9^{\frac{3}{2}} = 27\) |
| 4 | Pangkat negatif | \(a^{-\frac{m}{n}} = \dfrac{1}{a^{\frac{m}{n}}}\) | \(4^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{4}} = \dfrac{1}{2}\) |
| 5 | Pangkat nol | \(a^0 = 1\quad (a \neq 0)\) | \(5^0 = 1\) |
| 6 | Distribusi perkalian | \((ab)^{\frac{m}{n}} = a^{\frac{m}{n}} \cdot b^{\frac{m}{n}}\) | \((4 \cdot 9)^{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 3 = 6\) |
| 7 | Distribusi pembagian | \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{\frac{m}{n}} = \dfrac{a^{\frac{m}{n}}}{b^{\frac{m}{n}}}\) | \(\left(\dfrac{8}{27}\right)^{\frac{1}{3}} = \dfrac{2}{3}\) |
🔧
4. Menyederhanakan Pangkat Pecahan
Langkah Umum Menyederhanakan
Langkah 1
Ubah ke bentuk akar jika perlu:\(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\)
Langkah 2
Faktorkan basis menjadi pangkat sempurna
Langkah 3
Hitung nilai akar menggunakan sifat-sifat
Langkah 4
Sederhanakan pecahan pada eksponen
💡 Tips: Sering kali lebih mudah mengubah basis menjadi bentuk bilangan prima
atau bilangan berpangkat sebelum menghitung.
Contoh: \(27 = 3^3,\ 32 = 2^5,\ 125 = 5^3,\ 16 = 2^4\)
Contoh: \(27 = 3^3,\ 32 = 2^5,\ 125 = 5^3,\ 16 = 2^4\)
✏️
Contoh Soal & Pembahasan
🟢 Tingkat Mudah
1
Hitung nilai dari \(8^{\frac{1}{3}}\).
1
Ubah ke bentuk akar: \(8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8}\)
2
Faktorkan: \(8 = 2^3\), maka \(\sqrt[3]{2^3}\)
3
Hitung: \(\sqrt[3]{2^3} = 2\)
\(8^{\frac{1}{3}} = 2\)
2
Hitung nilai dari \(25^{\frac{1}{2}}\).
1
\(25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25}\)
2
\(25 = 5^2\), sehingga \(\sqrt{5^2} = 5\)
\(25^{\frac{1}{2}} = 5\)
3
Ubah \(\sqrt[4]{16}\) ke bentuk pangkat pecahan.
1
Gunakan definisi: \(\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}\)
2
\(\sqrt[4]{16} = 16^{\frac{1}{4}}\)
3
Verifikasi: \(16 = 2^4\), maka \((2^4)^{\frac{1}{4}} = 2^1 = 2\)
\(\sqrt[4]{16} = 16^{\frac{1}{4}} = 2\)
4
Hitung \(4^{-\frac{1}{2}}\).
1
Pangkat negatif: \(4^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{4^{\frac{1}{2}}}\)
2
\(4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2\)
3
Jadi \(\dfrac{1}{2}\)
\(4^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2}\)
5
Hitung \(27^{\frac{2}{3}}\).
1
\(27^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2\)
2
\(27 = 3^3\), maka \(\sqrt[3]{3^3} = 3\)
3
\(3^2 = 9\)
\(27^{\frac{2}{3}} = 9\)
🟡 Tingkat Sedang
6
Sederhanakan: \(2^{\frac{3}{4}} \times 2^{\frac{1}{4}}\).
1
Basis sama, gunakan sifat perkalian: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
2
\(2^{\frac{3}{4}} \times 2^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}} = 2^{\frac{4}{4}} = 2^1\)
\(2^{\frac{3}{4}} \times 2^{\frac{1}{4}} = 2\)
7
Sederhanakan: \(\dfrac{9^{\frac{3}{2}}}{9^{\frac{1}{2}}}\).
1
Basis sama, sifat pembagian: \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)
2
\(\dfrac{9^{\frac{3}{2}}}{9^{\frac{1}{2}}} = 9^{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}} = 9^{\frac{2}{2}} = 9^1 = 9\)
\(\dfrac{9^{\frac{3}{2}}}{9^{\frac{1}{2}}} = 9\)
8
Hitung nilai dari \(\left(\dfrac{8}{125}\right)^{\frac{2}{3}}\).
1
Distribusikan pangkat: \(\left(\dfrac{8}{125}\right)^{\frac{2}{3}} = \dfrac{8^{\frac{2}{3}}}{125^{\frac{2}{3}}}\)
2
\(8 = 2^3 \Rightarrow 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^2 = 4\)
3
\(125 = 5^3 \Rightarrow 125^{\frac{2}{3}} = (5^3)^{\frac{2}{3}} = 5^2 = 25\)
4
\(\dfrac{4}{25}\)
\(\left(\dfrac{8}{125}\right)^{\frac{2}{3}} = \dfrac{4}{25}\)
9
Hitung \(\left(16^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}\).
1
Sifat pangkat dari pangkat: \(\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}\)
2
\(\left(16^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}} = 16^{\frac{1}{2} \times \frac{3}{2}} = 16^{\frac{3}{4}}\)
3
\(16 = 2^4\), maka \(16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^3 = 8\)
\(\left(16^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}} = 8\)
10
Sederhanakan \(x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{1}{6}}\) dengan \(x > 0\).
1
Jumlahkan eksponen dengan basis sama
2
Samakan penyebut: \(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}\)
3
\(x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{5}{6}}\)
\(x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{5}{6}}\)
🔴 Tingkat Sulit
11
Sederhanakan: \(\dfrac{(x^{\frac{2}{3}} \cdot y^{\frac{1}{2}})^6}{x^2 \cdot y^2}\) dengan \(x, y > 0\).
1
Distribusikan pangkat ke pembilang: \((x^{\frac{2}{3}})^6 \cdot (y^{\frac{1}{2}})^6\)
2
\((x^{\frac{2}{3}})^6 = x^{\frac{2}{3} \times 6} = x^4\)
3
\((y^{\frac{1}{2}})^6 = y^{\frac{1}{2} \times 6} = y^3\)
4
Pembilang menjadi \(x^4 \cdot y^3\)
5
Bagi: \(\dfrac{x^4 \cdot y^3}{x^2 \cdot y^2} = x^{4-2} \cdot y^{3-2} = x^2 \cdot y\)
\(\dfrac{(x^{\frac{2}{3}} \cdot y^{\frac{1}{2}})^6}{x^2 \cdot y^2} = x^2 y\)
12
Hitung \(4^{\frac{3}{2}} + 27^{\frac{2}{3}} – 8^{\frac{1}{3}}\).
1
\(4^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8\)
2
\(27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9\)
3
\(8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2\)
4
Jumlahkan: \(8 + 9 – 2 = 15\)
\(4^{\frac{3}{2}} + 27^{\frac{2}{3}} – 8^{\frac{1}{3}} = 15\)
13
Buktikan bahwa \(\dfrac{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{5}{6}}} = 1\) untuk \(a > 0\).
1
Jumlahkan eksponen pada pembilang: \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}\)
2
Pembilang menjadi \(a^{\frac{5}{6}}\)
3
\(\dfrac{a^{\frac{5}{6}}}{a^{\frac{5}{6}}} = a^{\frac{5}{6} – \frac{5}{6}} = a^0 = 1\)
Terbukti \(= 1\) ✓
14
Jika \(x = 4^{\frac{1}{2}} + 8^{\frac{1}{3}}\), tentukan nilai \(x^2 – 6x\).
1
Hitung \(x\): \(4^{\frac{1}{2}} = 2\) dan \(8^{\frac{1}{3}} = 2\)
2
\(x = 2 + 2 = 4\)
3
\(x^2 = 4^2 = 16\)
4
\(6x = 6 \times 4 = 24\)
5
\(x^2 – 6x = 16 – 24 = -8\)
\(x^2 – 6x = -8\)
15
Sederhanakan \(\dfrac{\left(27a^6 b^3\right)^{\frac{1}{3}}}{\left(16a^4 b^2\right)^{\frac{1}{2}}}\) dengan \(a, b > 0\).
1
Hitung pembilang: \((27a^6 b^3)^{\frac{1}{3}} = 27^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{6}{3}} \cdot b^{\frac{3}{3}} = 3 \cdot a^2 \cdot b\)
2
Hitung penyebut: \((16a^4 b^2)^{\frac{1}{2}} = 16^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{4}{2}} \cdot b^{\frac{2}{2}} = 4 \cdot a^2 \cdot b\)
3
Bagi: \(\dfrac{3a^2b}{4a^2b} = \dfrac{3}{4}\)
\(\dfrac{(27a^6 b^3)^{\frac{1}{3}}}{(16a^4 b^2)^{\frac{1}{2}}} = \dfrac{3}{4}\)
📝
Latihan Soal
📌 Petunjuk: Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri. Latihan ini tidak disertai pembahasan. Gunakan sifat-sifat pangkat pecahan yang telah dipelajari.
🟢 Tingkat Mudah
1
Hitung nilai dari \(64^{\frac{1}{3}}\).
2
Hitung nilai dari \(36^{\frac{1}{2}}\).
3
Ubah \(\sqrt[5]{32}\) ke bentuk pangkat pecahan, lalu hitung nilainya.
4
Hitung nilai dari \(16^{-\frac{1}{4}}\).
5
Hitung nilai dari \(125^{\frac{2}{3}}\).
🟡 Tingkat Sedang
6
Sederhanakan \(3^{\frac{2}{5}} \times 3^{\frac{3}{5}}\).
7
Sederhanakan \(\dfrac{25^{\frac{3}{2}}}{25^{\frac{1}{2}}}\).
8
Hitung \(\left(\dfrac{27}{8}\right)^{\frac{2}{3}}\).
9
Hitung \(\left(81^{\frac{1}{4}}\right)^3\).
10
Sederhanakan \(a^{\frac{3}{4}} \cdot a^{\frac{1}{4}}\) dengan \(a > 0\).
🔴 Tingkat Sulit
11
Sederhanakan \(\dfrac{(x^{\frac{3}{4}} \cdot y^{\frac{2}{3}})^{12}}{x^6 \cdot y^4}\) dengan \(x, y > 0\).
12
Hitung \(9^{\frac{3}{2}} – 16^{\frac{3}{4}} + 32^{\frac{3}{5}}\).
13
Buktikan bahwa \(\dfrac{b^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{4}}}{b^{\frac{7}{12}}} = 1\) untuk \(b > 0\).
14
Jika \(p = 9^{\frac{1}{2}} + 27^{\frac{2}{3}}\), tentukan nilai \(p^2 – 12p + 20\).
15
Sederhanakan \(\dfrac{(64a^9 b^6)^{\frac{1}{3}}}{(4a^2 b)^{\frac{3}{2}}}\) dengan \(a, b > 0\).
📐 Materi Pangkat Pecahan · Matematika SMA/SMK
Klik “Lihat Pembahasan” untuk melihat langkah-langkah penyelesaian
Klik “Lihat Pembahasan” untuk melihat langkah-langkah penyelesaian