📐 Bentuk Akar
Matematika · SMP / SMA | Materi · Contoh Soal · Latihan
1. Bilangan Rasional dan Bilangan Irasional
📖 Materi
Bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk \(\dfrac{p}{q}\) di mana \(p\) dan \(q\) adalah bilangan bulat dan \(q \ne 0\).
Ciri-ciri bilangan rasional:
- Bilangan bulat: \(0,\;1,\;-3,\;7\)
- Pecahan: \(\dfrac{1}{2},\;\dfrac{3}{4},\;-\dfrac{5}{7}\)
- Desimal berulang: \(0{,}333\ldots = \dfrac{1}{3}\), \(0{,}142857\ldots = \dfrac{1}{7}\)
- Desimal berhenti: \(0{,}25 = \dfrac{1}{4}\), \(1{,}75 = \dfrac{7}{4}\)
- Akar yang hasilnya bilangan bulat: \(\sqrt{4}=2,\;\sqrt{9}=3,\;\sqrt{16}=4\)
Bilangan Irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk \(\dfrac{p}{q}\) dengan \(p,q\) bilangan bulat dan \(q \ne 0\). Desimalnya tidak berulang dan tidak berhenti.
Contoh bilangan irasional:
- \(\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots\)
- \(\sqrt{3} = 1{,}73205080\ldots\)
- \(\sqrt{5} = 2{,}23606797\ldots\)
- \(\pi = 3{,}14159265\ldots\)
- \(e = 2{,}71828182\ldots\)
💡 Ringkasan
| Jenis | Bentuk | Desimal | Contoh |
|---|---|---|---|
| Rasional | \(\frac{p}{q},\;q\ne0\) | Berhenti / berulang | \(\frac{1}{2}=0{,}5\) |
| Irasional | Bukan \(\frac{p}{q}\) | Tidak berhenti & tidak berulang | \(\sqrt{2}=1{,}414…\) |
✏️ Contoh Soal
Mudah
C1Tentukan apakah \(\dfrac{3}{5}\) termasuk bilangan rasional atau irasional!
Lihat Pembahasan
1\(\dfrac{3}{5}\) berbentuk \(\dfrac{p}{q}\) dengan \(p=3\), \(q=5\), \(q \ne 0\)
2\(\dfrac{3}{5} = 0{,}6\) → desimal berhenti
✅ \(\dfrac{3}{5}\) adalah Bilangan Rasional
C2Apakah \(\sqrt{9}\) bilangan rasional atau irasional?
Lihat Pembahasan
1\(\sqrt{9} = 3\) karena \(3 \times 3 = 9\)
2\(3 = \dfrac{3}{1}\), berbentuk \(\dfrac{p}{q}\)
✅ \(\sqrt{9}\) adalah Bilangan Rasional
C3Klasifikasikan: \(-7\), termasuk bilangan apa?
Lihat Pembahasan
1\(-7 = \dfrac{-7}{1}\), memenuhi syarat \(\dfrac{p}{q}\)
✅ \(-7\) adalah Bilangan Rasional (juga bilangan bulat)
C4Apakah \(0{,}123123123\ldots\) (berulang) rasional atau irasional?
Lihat Pembahasan
1Desimalnya berulang dengan pola “123” → bisa dinyatakan sebagai pecahan
2Misalkan \(x = 0{,}\overline{123}\), maka \(1000x = 123{,}\overline{123}\), sehingga \(999x = 123\), \(x = \dfrac{123}{999} = \dfrac{41}{333}\)
✅ Bilangan Rasional
C5Tentukan: \(\sqrt{4} + \sqrt{9}\). Hasilnya rasional atau irasional?
Lihat Pembahasan
1\(\sqrt{4} = 2\), \(\sqrt{9} = 3\)
2\(2 + 3 = 5 = \dfrac{5}{1}\)
✅ Hasilnya 5, termasuk Bilangan Rasional
Sedang
C6Tunjukkan bahwa \(\sqrt{2}\) adalah bilangan irasional!
Lihat Pembahasan
1Asumsikan \(\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}\) (bentuk paling sederhana, \(p,q\) tidak memiliki faktor persekutuan)
2Maka \(2 = \dfrac{p^2}{q^2}\) → \(p^2 = 2q^2\), artinya \(p^2\) genap, sehingga \(p\) pun genap
3Tulis \(p = 2k\), maka \(4k^2 = 2q^2\) → \(q^2 = 2k^2\) → \(q\) juga genap
4\(p\) dan \(q\) keduanya genap, kontradiksi dengan asumsi bahwa \(\dfrac{p}{q}\) sudah paling sederhana
✅ \(\sqrt{2}\) adalah Bilangan Irasional
C7Dari daftar berikut, mana yang irasional? \(\sqrt{25},\;\sqrt{7},\;\dfrac{22}{7},\;\pi\)
Lihat Pembahasan
1\(\sqrt{25}=5\) → Rasional
2\(\sqrt{7}=2{,}6457…\) tidak berulang, tidak berhenti → Irasional
3\(\dfrac{22}{7}=3{,}142857…\) berulang → Rasional (perkiraan \(\pi\), bukan \(\pi\) itu sendiri)
4\(\pi=3{,}14159265…\) tidak berulang → Irasional
✅ Yang irasional: \(\sqrt{7}\) dan \(\pi\)
C8Hitung \(\sqrt{2} \times \sqrt{8}\). Rasional atau irasional?
Lihat Pembahasan
1\(\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{2 \times 8} = \sqrt{16} = 4\)
2\(4 = \dfrac{4}{1}\) → berbentuk \(\dfrac{p}{q}\)
✅ Hasilnya 4, bilangan Rasional. Dua bilangan irasional bisa menghasilkan bilangan rasional!
C9Manakah yang merupakan bilangan irasional?
\(A.\;1{,}5 \quad B.\;\sqrt{6} \quad C.\;\sqrt{49} \quad D.\;\dfrac{5}{3}\)
\(A.\;1{,}5 \quad B.\;\sqrt{6} \quad C.\;\sqrt{49} \quad D.\;\dfrac{5}{3}\)
Lihat Pembahasan
1A: \(1{,}5 = \dfrac{3}{2}\) → Rasional
2B: \(\sqrt{6} = 2{,}449…\) → tidak berulang → Irasional ✓
3C: \(\sqrt{49} = 7\) → Rasional
4D: \(\dfrac{5}{3} = 1{,}666…\) berulang → Rasional
✅ Jawaban: B. \(\sqrt{6}\)
C10Apakah \(\sqrt{3} + \sqrt{3}\) bilangan irasional?
Lihat Pembahasan
1\(\sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)
2\(2\sqrt{3} = 2 \times 1{,}732… = 3{,}464…\) → tidak berulang, tidak berhenti
✅ \(2\sqrt{3}\) adalah Bilangan Irasional
Sulit
C11Buktikan bahwa antara dua bilangan rasional selalu ada bilangan irasional!
Lihat Pembahasan
1Ambil dua bilangan rasional \(a < b\). Kita tahu \(\sqrt{2}\) irasional dan \(\dfrac{\sqrt{2}}{10}\) juga irasional.
2Pertimbangkan \(c = a + \dfrac{(b-a)}{\sqrt{2}}\). Karena \(\dfrac{b-a}{\sqrt{2}}\) irasional (pembagi irasional), maka \(c\) irasional.
3Karena \(a < b\), maka \(0 < b - a\), dan \(\dfrac{b-a}{\sqrt{2}} > 0\), sehingga \(a < c < b\)
✅ Terbukti: selalu ada bilangan irasional di antara dua bilangan rasional manapun.
C12Jika \(x = \sqrt{5} – 2\), tunjukkan bahwa \(x\) irasional tetapi \(x^2 + 4x + 4\) rasional!
Lihat Pembahasan
1\(x = \sqrt{5} – 2 = 2{,}236… – 2 = 0{,}236…\) tidak berulang → Irasional
2\(x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2 = (\sqrt{5}-2+2)^2 = (\sqrt{5})^2 = 5\)
✅ \(x\) irasional, tetapi \(x^2+4x+4 = 5\) adalah bilangan Rasional
C13Tentukan apakah \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) bilangan irasional dan sederhanakan nilainya!
Lihat Pembahasan
1\(\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{1{,}41421…}{2} = 0{,}70710…\)
2Desimalnya tidak berhenti dan tidak berulang → Irasional
3Atau: jika \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{p}{q}\), maka \(\sqrt{2} = \dfrac{2p}{q}\) → rasional, kontradiksi
✅ \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) adalah bilangan Irasional (sering ditulis \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) atau \(\frac{\sqrt{2}}{2}\))
C14Apakah hasil \((\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)\) rasional? Jelaskan!
Lihat Pembahasan
1Gunakan rumus \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
2\((\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) = (\sqrt{3})^2 – 1^2 = 3 – 1 = 2\)
✅ Hasilnya 2, bilangan Rasional. Ini adalah prinsip dasar merasionalkan penyebut!
C15Jika \(p\) rasional dan \(q\) irasional, apakah \(p+q\) selalu irasional? Buktikan!
Lihat Pembahasan
1Asumsikan \(p + q = r\) untuk suatu bilangan rasional \(r\)
2Maka \(q = r – p\). Karena \(r\) rasional dan \(p\) rasional, maka \(r – p\) rasional
3Tetapi \(q\) irasional → kontradiksi!
✅ Terbukti: jika \(p\) rasional dan \(q\) irasional, maka \(p+q\) selalu Irasional
📝 Latihan Soal
Mudah
1Tentukan apakah \(\dfrac{7}{11}\) termasuk bilangan rasional atau irasional!
2Apakah \(\sqrt{36}\) bilangan rasional? Jelaskan!
3Dari bilangan berikut, mana yang rasional: \(\sqrt{10},\;\dfrac{4}{9},\;0{,}5\)?
4Apakah bilangan bulat negatif \(-12\) termasuk bilangan rasional?
5Nyatakan \(0{,}8\) dalam bentuk pecahan \(\dfrac{p}{q}\)!
Sedang
6Klasifikasikan: \(\sqrt{50},\;\sqrt{100},\;\pi-3,\;0{,}121221222…\) (tidak berulang)
7Apakah \(\sqrt{2} \times \sqrt{18}\) rasional atau irasional? Hitung nilainya!
8Jika \(x = \sqrt{16} + \sqrt{3}\), tentukan apakah \(x\) rasional atau irasional!
9Buktikan bahwa \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) adalah bilangan irasional!
10Temukan satu bilangan irasional yang terletak antara 2 dan 3!
Sulit
11Jika \(p\) rasional dan \(p \ne 0\), apakah \(p \cdot q\) irasional jika \(q\) irasional? Buktikan!
12Apakah \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) irasional? Buktikan secara aljabar!
13Jika \(a = 2 + \sqrt{5}\), hitung \(a^2 – 4a\) dan tentukan apakah hasilnya rasional!
14Apakah \(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\) rasional atau irasional? Jelaskan apa yang diketahui tentang bilangan ini!
15Tunjukkan bahwa \(\log_2 3\) adalah bilangan irasional!
2. Pengertian Bentuk Akar
📖 Materi
Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya merupakan bilangan irasional.
Notasi akar:
Notasi Umum
\[\sqrt[n]{a} = a^{1/n}\]
dengan \(n\) = indeks akar, \(a\) = bilangan yang diakarkan (radicand), \(n \geq 2\), \(a \geq 0\) (untuk \(n\) genap)
Jenis-jenis akar:
- Akar kuadrat: \(\sqrt{a} = \sqrt[2]{a} = a^{1/2}\)
- Akar pangkat tiga: \(\sqrt[3]{a} = a^{1/3}\)
- Akar pangkat \(n\): \(\sqrt[n]{a} = a^{1/n}\)
Sifat-sifat penting:
- \(\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a\)
- \(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\) (untuk \(a \geq 0\))
- \(\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}\)
- \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\)
- \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\), \(b \ne 0\)
Menyederhanakan bentuk akar:
Prinsip: keluarkan faktor kuadrat sempurna dari dalam tanda akar.
\[\sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b}\]
Contoh: \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}\)
💡 Sifat-Sifat Bentuk Akar
| Sifat | Rumus | Contoh |
|---|---|---|
| Perkalian | \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) | \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6}\) |
| Pembagian | \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\) | \(\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}\) |
| Pangkat | \((\sqrt{a})^n = a^{n/2}\) | \((\sqrt{3})^4=9\) |
| Penyederhanaan | \(\sqrt{a^2 b}=a\sqrt{b}\) | \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) |
✏️ Contoh Soal
Mudah
C1Sederhanakan \(\sqrt{16}\)
Lihat Pembahasan
1\(16 = 4^2\), maka \(\sqrt{16} = \sqrt{4^2} = 4\)
✅ \(\sqrt{16} = \mathbf{4}\)
C2Sederhanakan \(\sqrt{50}\)
Lihat Pembahasan
1Faktorkan: \(50 = 25 \times 2 = 5^2 \times 2\)
2\(\sqrt{50} = \sqrt{5^2 \times 2} = 5\sqrt{2}\)
✅ \(\sqrt{50} = \mathbf{5\sqrt{2}}\)
C3Hitung \(\sqrt{3} \times \sqrt{3}\)
Lihat Pembahasan
1Gunakan sifat: \(\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a\)
2\(\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3\)
✅ Hasilnya \(\mathbf{3}\)
C4Nyatakan \(\sqrt[3]{8}\) dalam bilangan bulat!
Lihat Pembahasan
1\(8 = 2^3\), maka \(\sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2\)
✅ \(\sqrt[3]{8} = \mathbf{2}\)
C5Sederhanakan \(\sqrt{72}\)
Lihat Pembahasan
1\(72 = 36 \times 2 = 6^2 \times 2\)
2\(\sqrt{72} = \sqrt{6^2 \times 2} = 6\sqrt{2}\)
✅ \(\sqrt{72} = \mathbf{6\sqrt{2}}\)
Sedang
C6Nyatakan \(a^{3/2}\) dalam bentuk akar!
Lihat Pembahasan
1Gunakan: \(a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}\)
2\(a^{3/2} = \sqrt[2]{a^3} = \sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a} = a\sqrt{a}\)
✅ \(a^{3/2} = \mathbf{a\sqrt{a}}\)
C7Sederhanakan \(\sqrt{a^2 b^3}\) (dengan \(a,b>0\))
Lihat Pembahasan
1\(\sqrt{a^2 b^3} = \sqrt{a^2 \cdot b^2 \cdot b}\)
2\(= \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b^2} \cdot \sqrt{b} = a \cdot b \cdot \sqrt{b} = ab\sqrt{b}\)
✅ \(\sqrt{a^2 b^3} = \mathbf{ab\sqrt{b}}\)
C8Hitung \(\dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}\)
Lihat Pembahasan
1\(\dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\dfrac{48}{3}} = \sqrt{16}\)
2\(\sqrt{16} = 4\)
✅ Hasilnya \(\mathbf{4}\)
C9Sederhanakan \(\sqrt[3]{54}\)
Lihat Pembahasan
1\(54 = 27 \times 2 = 3^3 \times 2\)
2\(\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{3^3 \times 2} = 3\sqrt[3]{2}\)
✅ \(\sqrt[3]{54} = \mathbf{3\sqrt[3]{2}}\)
C10Ubah \(\sqrt[4]{x^6}\) ke bentuk paling sederhana (anggap \(x>0\))
Lihat Pembahasan
1\(\sqrt[4]{x^6} = x^{6/4} = x^{3/2}\)
2\(x^{3/2} = x^{1+1/2} = x \cdot x^{1/2} = x\sqrt{x}\)
✅ \(\sqrt[4]{x^6} = \mathbf{x\sqrt{x}}\)
Sulit
C11Sederhanakan \(\sqrt{\dfrac{x^3 y^5}{x y^3}}\) untuk \(x,y > 0\)
Lihat Pembahasan
1Sederhanakan pecahan: \(\dfrac{x^3 y^5}{x y^3} = x^{3-1} y^{5-3} = x^2 y^2\)
2\(\sqrt{x^2 y^2} = \sqrt{(xy)^2} = xy\)
✅ Hasilnya \(\mathbf{xy}\)
C12Buktikan: \(\sqrt[3]{\sqrt{a}} = \sqrt[6]{a}\)
Lihat Pembahasan
1\(\sqrt{a} = a^{1/2}\)
2\(\sqrt[3]{\sqrt{a}} = \sqrt[3]{a^{1/2}} = \left(a^{1/2}\right)^{1/3} = a^{1/6}\)
3\(a^{1/6} = \sqrt[6]{a}\) ✓
✅ Terbukti: \(\sqrt[3]{\sqrt{a}} = \mathbf{\sqrt[6]{a}}\)
C13Sederhanakan \(\dfrac{\sqrt[3]{a^4 b^5}}{\sqrt[3]{a b^2}}\)
Lihat Pembahasan
1\(\dfrac{\sqrt[3]{a^4 b^5}}{\sqrt[3]{a b^2}} = \sqrt[3]{\dfrac{a^4 b^5}{a b^2}} = \sqrt[3]{a^3 b^3}\)
2\(\sqrt[3]{a^3 b^3} = \sqrt[3]{(ab)^3} = ab\)
✅ Hasilnya \(\mathbf{ab}\)
C14Jika \(x = \sqrt{5+\sqrt{21}}\), tunjukkan bahwa \(x^2 – 5 = \sqrt{21}\)!
Lihat Pembahasan
1\(x = \sqrt{5+\sqrt{21}}\)
2\(x^2 = 5 + \sqrt{21}\)
3\(x^2 – 5 = \sqrt{21}\) ✓
✅ Terbukti!
C15Sederhanakan \(\sqrt{8} + \sqrt{32} – \sqrt{18}\)
Lihat Pembahasan
1\(\sqrt{8} = \sqrt{4\cdot2} = 2\sqrt{2}\)
2\(\sqrt{32} = \sqrt{16\cdot2} = 4\sqrt{2}\)
3\(\sqrt{18} = \sqrt{9\cdot2} = 3\sqrt{2}\)
4\(2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} – 3\sqrt{2} = (2+4-3)\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\)
✅ Hasilnya \(\mathbf{3\sqrt{2}}\)
📝 Latihan Soal
Mudah
1Sederhanakan \(\sqrt{25}\)
2Sederhanakan \(\sqrt{98}\)
3Hitung \(\sqrt{5} \times \sqrt{5}\)
4Hitung \(\sqrt[3]{27}\)
5Nyatakan \(16^{3/4}\) dalam bentuk bilangan bulat!
Sedang
6Sederhanakan \(\sqrt{a^4 b^2 c^3}\) untuk \(a,b,c > 0\)
7Hitung \(\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}\)
8Nyatakan \(\sqrt[3]{16}\) dalam bentuk paling sederhana
9Sederhanakan \(\sqrt{12} + \sqrt{27} – \sqrt{3}\)
10Buktikan \(\sqrt[4]{\sqrt{x}} = \sqrt[8]{x}\) untuk \(x > 0\)
Sulit
11Sederhanakan \(\dfrac{\sqrt{a^5 b^3}}{\sqrt{a^3 b}}\) untuk \(a,b > 0\)
12Tentukan nilai \(x\) jika \(\sqrt{2x+1} = 5\)
13Sederhanakan \(\sqrt[3]{250} – \sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{54}\)
14Nyatakan \(\sqrt{\sqrt[3]{a^4}}\) dalam bentuk \(a^{m/n}\)
15Jika \(\sqrt{a-b} = \sqrt{a} – \sqrt{b}\) apakah selalu benar? Berikan contoh atau bukti!
3. Operasi Aljabar pada Bentuk Akar
📖 Materi
A. Penjumlahan dan Pengurangan
Hanya bentuk akar yang sejenis (sama indeks dan radicand) yang dapat dijumlah / dikurangi langsung.
Rumus
\[a\sqrt{c} \pm b\sqrt{c} = (a \pm b)\sqrt{c}\]
Contoh: \(3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 5\sqrt{5}\), tetapi \(3\sqrt{2} + 4\sqrt{3}\) tidak dapat disederhanakan lebih lanjut.
B. Perkalian
Rumus Perkalian
\[\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\]
\[(p + q\sqrt{r})(s + t\sqrt{r}) = ps + pt\sqrt{r} + qs\sqrt{r} + qtr\]
C. Rumus Khusus (Selisih Kuadrat)
Rumus Penting
\[(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = a – b\]
\[(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b\]
\[(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = a – 2\sqrt{ab} + b\]
D. Pembagian
Rumus Pembagian
\[\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \quad (b \ne 0)\]
✏️ Contoh Soal
Mudah
C1Hitung \(5\sqrt{3} + 2\sqrt{3}\)
Lihat Pembahasan
1Suku sejenis (akar 3), gabungkan koefisien
2\(5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = (5+2)\sqrt{3} = 7\sqrt{3}\)
✅ \(\mathbf{7\sqrt{3}}\)
C2Hitung \(\sqrt{5} \times \sqrt{20}\)
Lihat Pembahasan
1\(\sqrt{5} \times \sqrt{20} = \sqrt{5 \times 20} = \sqrt{100}\)
2\(\sqrt{100} = 10\)
✅ \(\mathbf{10}\)
C3Sederhanakan \(4\sqrt{7} – \sqrt{7}\)
Lihat Pembahasan
1\(4\sqrt{7} – 1\sqrt{7} = (4-1)\sqrt{7} = 3\sqrt{7}\)
✅ \(\mathbf{3\sqrt{7}}\)
C4Hitung \(3\sqrt{2} \times 4\sqrt{2}\)
Lihat Pembahasan
1\(3\sqrt{2} \times 4\sqrt{2} = (3 \times 4)(\sqrt{2} \times \sqrt{2}) = 12 \times 2\)
2\(= 24\)
✅ \(\mathbf{24}\)
C5Sederhanakan \(2\sqrt{3} + \sqrt{12}\)
Lihat Pembahasan
1\(\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}\)
2\(2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\)
✅ \(\mathbf{4\sqrt{3}}\)
Sedang
C6Hitung \((\sqrt{5} + \sqrt{3})^2\)
Lihat Pembahasan
1Gunakan \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) dengan \(a=\sqrt{5}, b=\sqrt{3}\)
2\(= (\sqrt{5})^2 + 2\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2\)
3\(= 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}\)
✅ \(\mathbf{8 + 2\sqrt{15}}\)
C7Hitung \((\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} – \sqrt{2})\)
Lihat Pembahasan
1Gunakan \((a+b)(a-b) = a^2-b^2\)
2\(= (\sqrt{6})^2 – (\sqrt{2})^2 = 6 – 2 = 4\)
✅ \(\mathbf{4}\)
C8Sederhanakan \(3\sqrt{2} + \sqrt{50} – 2\sqrt{8}\)
Lihat Pembahasan
1\(\sqrt{50} = 5\sqrt{2}\), \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
2\(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} – 2(2\sqrt{2}) = 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} – 4\sqrt{2}\)
3\(= (3+5-4)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\)
✅ \(\mathbf{4\sqrt{2}}\)
C9Jabarkan \((2 + \sqrt{3})(1 – \sqrt{3})\)
Lihat Pembahasan
1Distribusi (FOIL): \(2 \cdot 1 + 2 \cdot(-\sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3})\)
2\(= 2 – 2\sqrt{3} + \sqrt{3} – 3\)
3\(= (2-3) + (-2\sqrt{3}+\sqrt{3}) = -1 – \sqrt{3}\)
✅ \(\mathbf{-1 – \sqrt{3}}\)
C10Sederhanakan \((\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})\) untuk \(a,b > 0\)
Lihat Pembahasan
1\((\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2\)
2\(= a + 2\sqrt{ab} + b\)
✅ \(\mathbf{a + 2\sqrt{ab} + b}\)
Sulit
C11Hitung \((2\sqrt{3} – \sqrt{5})(3\sqrt{3} + 2\sqrt{5})\)
Lihat Pembahasan
1\(2\sqrt{3}\cdot3\sqrt{3} = 6 \cdot 3 = 18\)
2\(2\sqrt{3}\cdot2\sqrt{5} = 4\sqrt{15}\)
3\(-\sqrt{5}\cdot3\sqrt{3} = -3\sqrt{15}\)
4\(-\sqrt{5}\cdot2\sqrt{5} = -2\cdot5 = -10\)
5Jumlahkan: \(18 – 10 + 4\sqrt{15} – 3\sqrt{15} = 8 + \sqrt{15}\)
✅ \(\mathbf{8 + \sqrt{15}}\)
C12Tentukan nilai \((\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6})^2\)
Lihat Pembahasan
1Gunakan \((a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\)
2\(a^2+b^2+c^2 = 2+3+6 = 11\)
3\(2ab = 2\sqrt{2}\sqrt{3} = 2\sqrt{6}\)
4\(2ac = 2\sqrt{2}\sqrt{6} = 2\sqrt{12} = 4\sqrt{3}\)
5\(2bc = 2\sqrt{3}\sqrt{6} = 2\sqrt{18} = 6\sqrt{2}\)
6Total: \(11 + 2\sqrt{6} + 4\sqrt{3} + 6\sqrt{2}\)
✅ \(\mathbf{11 + 6\sqrt{2} + 4\sqrt{3} + 2\sqrt{6}}\)
C13Sederhanakan \(\dfrac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 – (\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{4}\)
Lihat Pembahasan
1\((\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 = 5+2\sqrt{15}+3 = 8+2\sqrt{15}\)
2\((\sqrt{5}-\sqrt{3})^2 = 5-2\sqrt{15}+3 = 8-2\sqrt{15}\)
3Selisih: \((8+2\sqrt{15})-(8-2\sqrt{15}) = 4\sqrt{15}\)
4\(\dfrac{4\sqrt{15}}{4} = \sqrt{15}\)
✅ \(\mathbf{\sqrt{15}}\)
C14Diketahui \(x = \sqrt{3} + 1\). Hitung \(x^3 – 3x^2 + x + 1\)!
Lihat Pembahasan
1\(x = \sqrt{3}+1\), maka \(x-1 = \sqrt{3}\), sehingga \((x-1)^2 = 3\) → \(x^2-2x+1=3\) → \(x^2=2x+2\)
2\(x^3 = x \cdot x^2 = x(2x+2) = 2x^2+2x = 2(2x+2)+2x = 6x+4\)
3\(x^3-3x^2+x+1 = (6x+4) – 3(2x+2) + x + 1 = 6x+4-6x-6+x+1 = x-1 = \sqrt{3}\)
✅ \(\mathbf{\sqrt{3}}\)
C15Hitung \(\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}\)
Lihat Pembahasan
1Rasionalkan tiap suku: \(\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} = \dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1})^2-(\sqrt{n})^2} = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
2Suku 1: \(\sqrt{2}-\sqrt{1}\) Suku 2: \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) Suku 3: \(\sqrt{4}-\sqrt{3}\)
3Jumlah (teleskopik): \(\sqrt{4}-\sqrt{1} = 2-1 = 1\)
✅ Hasilnya \(\mathbf{1}\)
📝 Latihan Soal
Mudah
1Hitung \(6\sqrt{5} – 4\sqrt{5}\)
2Hitung \(\sqrt{3} \times \sqrt{27}\)
3Sederhanakan \(\sqrt{18} + \sqrt{8}\)
4Hitung \(2\sqrt{6} \times 3\sqrt{6}\)
5Hitung \((\sqrt{7}+1)(\sqrt{7}-1)\)
Sedang
6Sederhanakan \(\sqrt{20}+\sqrt{45}-\sqrt{5}\)
7Jabarkan \((\sqrt{5}-\sqrt{2})^2\)
8Hitung \((3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})\)
9Jabarkan \((1+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})\)
10Sederhanakan \(2\sqrt{12} – 3\sqrt{3} + \sqrt{75}\)
Sulit
11Hitung \((2\sqrt{5}+\sqrt{3})(2\sqrt{5}-3\sqrt{3})\)
12Jika \(x=\sqrt{2}+1\), hitung nilai \(x^2-2x+1\) tanpa kalkulator!
13Hitung \(\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}} + \dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}} + \dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}} + \dfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{8}}\)
14Sederhanakan \((\sqrt{a}-\sqrt{b})^3\) untuk \(a,b>0\)
15Jika \(p = \sqrt{5}+\sqrt{3}\) dan \(q = \sqrt{5}-\sqrt{3}\), hitung \(p^2+q^2+pq\)
4. Merasionalkan Penyebut
📖 Materi
Merasionalkan penyebut adalah proses mengubah penyebut yang berbentuk irasional menjadi bilangan rasional, dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan “sekawan” (conjugate) yang tepat.
Kasus 1: Penyebut \(\sqrt{a}\)
Tipe 1
\[\frac{p}{\sqrt{a}} = \frac{p}{\sqrt{a}} \times \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{p\sqrt{a}}{a}\]
Kasus 2: Penyebut \(b\sqrt{a}\)
Tipe 2
\[\frac{p}{b\sqrt{a}} = \frac{p\sqrt{a}}{b \cdot a} = \frac{p\sqrt{a}}{ab}\]
Kasus 3: Penyebut \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) (sekawan: \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\))
Tipe 3 – Sekawan Jumlah
\[\frac{p}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{p(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{p(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}\]
Kasus 4: Penyebut \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\) (sekawan: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\))
Tipe 4 – Sekawan Selisih
\[\frac{p}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{p(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}\]
Kasus 5: Penyebut \(\sqrt[3]{a}\)
Tipe 5 – Akar Pangkat 3
\[\frac{p}{\sqrt[3]{a}} = \frac{p \cdot \sqrt[3]{a^2}}{a}\]
karena \(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a^2} = \sqrt[3]{a^3} = a\)
✏️ Contoh Soal
Mudah
C1Rasionalkan penyebut: \(\dfrac{3}{\sqrt{5}}\)
Lihat Pembahasan
1Kalikan dengan \(\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\)
2\(\dfrac{3}{\sqrt{5}} \times \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \dfrac{3\sqrt{5}}{5}\)
✅ \(\mathbf{\dfrac{3\sqrt{5}}{5}}\)
C2Rasionalkan penyebut: \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
Lihat Pembahasan
1\(\dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
✅ \(\mathbf{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\)
C3Rasionalkan: \(\dfrac{6}{2\sqrt{3}}\)
Lihat Pembahasan
1\(\dfrac{6}{2\sqrt{3}} = \dfrac{6}{2\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{2 \times 3} = \dfrac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}\)
✅ \(\mathbf{\sqrt{3}}\)
C4Rasionalkan: \(\dfrac{4}{\sqrt{7}}\)
Lihat Pembahasan
1\(\dfrac{4}{\sqrt{7}} \times \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \dfrac{4\sqrt{7}}{7}\)
✅ \(\mathbf{\dfrac{4\sqrt{7}}{7}}\)
C5Rasionalkan: \(\dfrac{10}{3\sqrt{5}}\)
Lihat Pembahasan
1\(\dfrac{10}{3\sqrt{5}} \times \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \dfrac{10\sqrt{5}}{3 \times 5} = \dfrac{10\sqrt{5}}{15} = \dfrac{2\sqrt{5}}{3}\)
✅ \(\mathbf{\dfrac{2\sqrt{5}}{3}}\)
Sedang
C6Rasionalkan: \(\dfrac{5}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\)
Lihat Pembahasan
1Sekawan dari \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\) adalah \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)
2\(\dfrac{5}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \dfrac{5(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3-2}\)
3\(= \dfrac{5(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{1} = 5\sqrt{3}-5\sqrt{2}\)
✅ \(\mathbf{5\sqrt{3}-5\sqrt{2}}\)
C7Rasionalkan: \(\dfrac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\)
Lihat Pembahasan
1Sekawan: \(\sqrt{5}+\sqrt{2}\)
2\(\dfrac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2} = \dfrac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2} = \dfrac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{3}\)
3\(= \sqrt{5}+\sqrt{2}\)
✅ \(\mathbf{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\)
C8Rasionalkan: \(\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}\)
Lihat Pembahasan
1Sekawan: \(2-\sqrt{3}\)
2\(\dfrac{1(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \dfrac{2-\sqrt{3}}{4-3} = \dfrac{2-\sqrt{3}}{1}\)
✅ \(\mathbf{2-\sqrt{3}}\)
C9Rasionalkan: \(\dfrac{2\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\)
Lihat Pembahasan
1Sekawan \(3-\sqrt{3}\) adalah \(3+\sqrt{3}\)
2\(\dfrac{2\sqrt{3}(3+\sqrt{3})}{9-3} = \dfrac{2\sqrt{3}(3+\sqrt{3})}{6}\)
3\(= \dfrac{6\sqrt{3}+2\cdot3}{6} = \dfrac{6\sqrt{3}+6}{6} = \sqrt{3}+1\)
✅ \(\mathbf{\sqrt{3}+1}\)
C10Rasionalkan: \(\dfrac{2}{\sqrt[3]{4}}\)
Lihat Pembahasan
1\(\sqrt[3]{4} = 4^{1/3} = 2^{2/3}\). Kalikan dengan \(\dfrac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} = \dfrac{2^{1/3}}{2^{1/3}}\)
2\(\dfrac{2}{\sqrt[3]{4}} \times \dfrac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} = \dfrac{2\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{8}} = \dfrac{2\sqrt[3]{2}}{2} = \sqrt[3]{2}\)
✅ \(\mathbf{\sqrt[3]{2}}\)
Sulit
C11Rasionalkan dan sederhanakan: \(\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\)
Lihat Pembahasan
1Kalikan dengan sekawan \(\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\)
2Pembilang: \((\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8+2\sqrt{15}\)
3Penyebut: \((\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2 = 5-3 = 2\)
4\(\dfrac{8+2\sqrt{15}}{2} = 4+\sqrt{15}\)
✅ \(\mathbf{4+\sqrt{15}}\)
C12Jika \(x = \dfrac{1}{\sqrt{2}+1}\) dan \(y = \dfrac{1}{\sqrt{2}-1}\), hitung \(x + y\) dan \(xy\)!
Lihat Pembahasan
1Rasionalkan: \(x = \dfrac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2})^2-1^2} = \dfrac{\sqrt{2}-1}{1} = \sqrt{2}-1\)
2\(y = \dfrac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2})^2-1^2} = \sqrt{2}+1\)
3\(x+y = (\sqrt{2}-1)+(\sqrt{2}+1) = 2\sqrt{2}\)
4\(xy = (\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1) = 2-1 = 1\)
✅ \(x+y = \mathbf{2\sqrt{2}}\), \(xy = \mathbf{1}\)
C13Hitung \(\dfrac{3}{\sqrt{2}+1} – \dfrac{2}{\sqrt{2}-1}\)
Lihat Pembahasan
1\(\dfrac{3}{\sqrt{2}+1} = 3(\sqrt{2}-1)\) (rasionalkan dengan sekawan)
2\(\dfrac{2}{\sqrt{2}-1} = 2(\sqrt{2}+1)\)
3Selisih: \(3(\sqrt{2}-1) – 2(\sqrt{2}+1) = 3\sqrt{2}-3-2\sqrt{2}-2 = \sqrt{2}-5\)
✅ \(\mathbf{\sqrt{2}-5}\)
C14Sederhanakan \(\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}\)
Lihat Pembahasan
1Rasionalkan tiap suku: \(\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
2Suku 1: \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) Suku 2: \(\sqrt{4}-\sqrt{3}=2-\sqrt{3}\) Suku 3: \(\sqrt{5}-\sqrt{4}=\sqrt{5}-2\)
3Jumlah (teleskopik): \(\sqrt{5}-\sqrt{2}\)
✅ \(\mathbf{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\)
C15Diketahui \(a = \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\) dan \(b = \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\). Hitung \(a^2 + b^2\)!
Lihat Pembahasan
1Rasionalkan: \(a = \dfrac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{3-2} = ({\sqrt{3}+\sqrt{2}})^2 = 5+2\sqrt{6}\)
2\(b = (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 = 5-2\sqrt{6}\)
3Perhatikan: \(b = \dfrac{1}{a}\), sehingga \(ab = 1\)
4\(a + b = (5+2\sqrt{6})+(5-2\sqrt{6}) = 10\)
5\(a^2+b^2 = (a+b)^2 – 2ab = 100 – 2 = 98\)
✅ \(a^2+b^2 = \mathbf{98}\)
📝 Latihan Soal
Mudah
1Rasionalkan \(\dfrac{5}{\sqrt{3}}\)
2Rasionalkan \(\dfrac{8}{\sqrt{2}}\)
3Rasionalkan \(\dfrac{12}{4\sqrt{3}}\)
4Rasionalkan \(\dfrac{7}{\sqrt{7}}\)
5Rasionalkan \(\dfrac{9}{3\sqrt{2}}\)
Sedang
6Rasionalkan \(\dfrac{4}{\sqrt{5}+1}\)
7Rasionalkan \(\dfrac{6}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}\)
8Rasionalkan \(\dfrac{3+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}\)
9Rasionalkan \(\dfrac{5}{2-\sqrt{3}}\)
10Rasionalkan \(\dfrac{6}{\sqrt[3]{9}}\)
Sulit
11Hitung \(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\) dalam bentuk paling sederhana!
12Jika \(x=\dfrac{1}{3+\sqrt{5}}\) dan \(y=\dfrac{1}{3-\sqrt{5}}\), hitung \(x+y\), \(xy\), dan \(x^2+y^2\)!
13Hitung \(\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{9}}\)
14Sederhanakan \(\dfrac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\) untuk \(a \ne b, a,b>0\)
15Jika \(p=\dfrac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}\), buktikan bahwa \(p-\dfrac{1}{p} = 4\sqrt{5}\)!
[…] Bentuk Akar […]