Diferensial (Kalkulus)

Materi Lengkap dengan Contoh Soal dan Latihan

1. Laju Perubahan Nilai Fungsi

Materi

Laju perubahan nilai fungsi menggambarkan seberapa cepat nilai suatu fungsi berubah ketika variabel bebasnya berubah. Jika kita memiliki fungsi $f(x)$, maka laju perubahan rata-rata fungsi pada interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai:

\[\text{Laju Perubahan Rata-rata} = \frac{f(b) – f(a)}{b – a} = \frac{\Delta y}{\Delta x}\]

Secara geometris, laju perubahan rata-rata merupakan kemiringan garis sekan (garis yang memotong kurva di dua titik).

Interpretasi:

$\Delta y = f(x + \Delta x) – f(x)$ adalah perubahan nilai fungsi

$\Delta x = b – a$ adalah perubahan variabel bebas

Contoh kehidupan nyata: Jika $s(t)$ menyatakan jarak tempuh kendaraan sebagai fungsi waktu, maka laju perubahan rata-rata $\frac{s(t_2) – s(t_1)}{t_2 – t_1}$ adalah kecepatan rata-rata kendaraan pada interval waktu $[t_1, t_2]$.

📝 Contoh Soal

Mudah

1. Tentukan laju perubahan rata-rata fungsi $f(x) = 2x + 3$ pada interval $[1, 4]$.

Pembahasan

$f(1) = 2(1) + 3 = 5$

$f(4) = 2(4) + 3 = 11$

Laju perubahan rata-rata $= \frac{f(4) – f(1)}{4 – 1} = \frac{11 – 5}{3} = \frac{6}{3} = 2$

2. Tentukan laju perubahan rata-rata fungsi $f(x) = x^2$ pada interval $[0, 2]$.

Pembahasan

$f(0) = 0^2 = 0$

$f(2) = 2^2 = 4$

Laju perubahan rata-rata $= \frac{4 – 0}{2 – 0} = \frac{4}{2} = 2$

3. Diketahui $f(x) = 3x – 1$. Hitung laju perubahan rata-rata pada interval $[2, 5]$.

Pembahasan

$f(2) = 3(2) – 1 = 5$

$f(5) = 3(5) – 1 = 14$

Laju perubahan rata-rata $= \frac{14 – 5}{5 – 2} = \frac{9}{3} = 3$

4. Tentukan laju perubahan rata-rata $f(x) = x^2 + 1$ pada interval $[1, 3]$.

Pembahasan

$f(1) = 1 + 1 = 2$

$f(3) = 9 + 1 = 10$

Laju perubahan rata-rata $= \frac{10 – 2}{3 – 1} = \frac{8}{2} = 4$

5. Jarak tempuh mobil dinyatakan dengan $s(t) = 5t$ meter. Tentukan kecepatan rata-rata pada interval $t = 2$ hingga $t = 6$ detik.

Pembahasan

$s(2) = 10$ m, $s(6) = 30$ m

Kecepatan rata-rata $= \frac{30 – 10}{6 – 2} = \frac{20}{4} = 5$ m/s

Sedang

1. Tentukan laju perubahan rata-rata $f(x) = x^2 – 3x + 2$ pada interval $[1, 4]$.

Pembahasan

$f(1) = 1 – 3 + 2 = 0$

$f(4) = 16 – 12 + 2 = 6$

Laju perubahan rata-rata $= \frac{6 – 0}{4 – 1} = \frac{6}{3} = 2$

2. Diketahui $f(x) = x^3$. Hitung laju perubahan rata-rata pada interval $[1, 3]$.

Pembahasan

$f(1) = 1$, $f(3) = 27$

Laju perubahan rata-rata $= \frac{27 – 1}{3 – 1} = \frac{26}{2} = 13$

3. Posisi benda dinyatakan oleh $s(t) = t^2 + 2t$ meter. Tentukan kecepatan rata-rata antara $t = 1$ dan $t = 4$ detik.

Pembahasan

$s(1) = 1 + 2 = 3$ m

$s(4) = 16 + 8 = 24$ m

Kecepatan rata-rata $= \frac{24 – 3}{4 – 1} = \frac{21}{3} = 7$ m/s

4. Tentukan laju perubahan rata-rata $f(x) = \frac{1}{x}$ pada interval $[1, 4]$.

Pembahasan

$f(1) = 1$, $f(4) = \frac{1}{4}$

Laju perubahan rata-rata $= \frac{\frac{1}{4} – 1}{4 – 1} = \frac{-\frac{3}{4}}{3} = -\frac{1}{4}$

5. Diketahui $f(x) = 2x^2 – x$. Hitung laju perubahan rata-rata pada interval $[0, 3]$.

Pembahasan

$f(0) = 0$, $f(3) = 18 – 3 = 15$

Laju perubahan rata-rata $= \frac{15 – 0}{3 – 0} = 5$

Sulit

1. Tentukan laju perubahan rata-rata $f(x) = x^3 – 2x^2 + x$ pada interval $[1, 3]$.

Pembahasan

$f(1) = 1 – 2 + 1 = 0$

$f(3) = 27 – 18 + 3 = 12$

Laju perubahan rata-rata $= \frac{12 – 0}{3 – 1} = \frac{12}{2} = 6$

2. Diketahui $f(x) = \sqrt{x}$. Tentukan laju perubahan rata-rata pada interval $[4, 9]$.

Pembahasan

$f(4) = 2$, $f(9) = 3$

Laju perubahan rata-rata $= \frac{3 – 2}{9 – 4} = \frac{1}{5}$

3. Posisi partikel dinyatakan oleh $s(t) = t^3 – 6t^2 + 9t$. Tentukan kecepatan rata-rata antara $t = 0$ dan $t = 3$.

Pembahasan

$s(0) = 0$

$s(3) = 27 – 54 + 27 = 0$

Kecepatan rata-rata $= \frac{0 – 0}{3 – 0} = 0$ m/s

Catatan: Kecepatan rata-rata nol berarti partikel kembali ke posisi awal.

4. Tentukan laju perubahan rata-rata $f(x) = \frac{x^2 – 1}{x + 1}$ pada interval $[2, 5]$.

Pembahasan

Sederhanakan: $f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = x – 1$ untuk $x \neq -1$

$f(2) = 1$, $f(5) = 4$

Laju perubahan rata-rata $= \frac{4 – 1}{5 – 2} = \frac{3}{3} = 1$

5. Diketahui $f(x) = x^4 – 2x^2$. Tentukan laju perubahan rata-rata pada interval $[-1, 2]$.

Pembahasan

$f(-1) = 1 – 2 = -1$

$f(2) = 16 – 8 = 8$

Laju perubahan rata-rata $= \frac{8 – (-1)}{2 – (-1)} = \frac{9}{3} = 3$

✏️ Latihan Soal

Mudah

Tentukan laju perubahan rata-rata $f(x) = 4x – 2$ pada interval $[1, 5]$.
Hitung laju perubahan rata-rata $f(x) = x^2$ pada interval $[2, 4]$.
Diketahui $f(x) = 5x + 1$. Tentukan laju perubahan rata-rata pada $[0, 3]$.
Tentukan laju perubahan rata-rata $f(x) = x^2 – 4$ pada interval $[1, 3]$.
Jarak tempuh $s(t) = 3t + 2$. Tentukan kecepatan rata-rata pada $[1, 5]$.

Sedang

Tentukan laju perubahan rata-rata $f(x) = 2x^2 + 3x – 1$ pada interval $[1, 4]$.
Hitung laju perubahan rata-rata $f(x) = x^3 – x$ pada interval $[0, 2]$.
Diketahui $s(t) = t^2 – 4t + 3$. Tentukan kecepatan rata-rata pada $[1, 5]$.
Tentukan laju perubahan rata-rata $f(x) = \frac{2}{x}$ pada interval $[1, 2]$.
Hitung laju perubahan rata-rata $f(x) = x^2 + 2x – 3$ pada interval $[-1, 3]$.

Sulit

Tentukan laju perubahan rata-rata $f(x) = x^3 – 3x^2 + 2x$ pada interval $[0, 4]$.
Hitung laju perubahan rata-rata $f(x) = \sqrt{2x + 1}$ pada interval $[0, 4]$.
Diketahui $s(t) = t^3 – 9t$. Tentukan kecepatan rata-rata pada $[0, 3]$.
Tentukan laju perubahan rata-rata $f(x) = \frac{x^2}{x+1}$ pada interval $[1, 3]$.
Hitung laju perubahan rata-rata $f(x) = x^4 – x^3 + x$ pada interval $[-1, 1]$.

2. Laju Perubahan Sesaat

Materi

Laju perubahan sesaat adalah laju perubahan fungsi pada suatu titik tertentu. Ini diperoleh dengan mengambil limit dari laju perubahan rata-rata ketika interval $\Delta x$ mendekati nol:

\[\text{Laju Perubahan Sesaat di } x = a : \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a + \Delta x) – f(a)}{\Delta x}\]

Atau dapat ditulis sebagai:

\[\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) – f(a)}{h}\]

Interpretasi geometris: Laju perubahan sesaat merupakan kemiringan garis singgung kurva di titik tersebut.

Interpretasi fisika: Jika $s(t)$ adalah posisi benda, maka laju perubahan sesaat di $t = a$ adalah kecepatan sesaat benda pada saat $t = a$.

📝 Contoh Soal

Mudah

1. Tentukan laju perubahan sesaat $f(x) = 3x + 2$ di $x = 1$.

Pembahasan

$\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) – f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{[3(1+h)+2] – [3(1)+2]}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{3 + 3h + 2 – 5}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{3h}{h} = 3$

2. Tentukan laju perubahan sesaat $f(x) = x^2$ di $x = 2$.

Pembahasan

$\lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^2 – 4}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{4 + 4h + h^2 – 4}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{4h + h^2}{h}$

$= \lim_{h \to 0} (4 + h) = 4$

3. Tentukan laju perubahan sesaat $f(x) = 5x$ di $x = 3$.

Pembahasan

$\lim_{h \to 0} \frac{5(3+h) – 15}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{5h}{h} = 5$

4. Tentukan laju perubahan sesaat $f(x) = x^2 + 1$ di $x = 0$.

Pembahasan

$\lim_{h \to 0} \frac{(0+h)^2 + 1 – 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2}{h} = \lim_{h \to 0} h = 0$

5. Diketahui $s(t) = 4t$. Tentukan kecepatan sesaat pada $t = 2$.

Pembahasan

$\lim_{h \to 0} \frac{4(2+h) – 8}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{4h}{h} = 4$ m/s

Sedang

1. Tentukan laju perubahan sesaat $f(x) = x^2 – 3x$ di $x = 2$.

Pembahasan

$f(2) = 4 – 6 = -2$

$f(2+h) = (2+h)^2 – 3(2+h) = 4 + 4h + h^2 – 6 – 3h = h^2 + h – 2$

$\lim_{h \to 0} \frac{(h^2 + h – 2) – (-2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 + h}{h} = \lim_{h \to 0}(h + 1) = 1$

2. Tentukan laju perubahan sesaat $f(x) = 2x^2 + x$ di $x = 1$.

Pembahasan

$f(1) = 3$, $f(1+h) = 2(1+h)^2 + (1+h) = 2 + 4h + 2h^2 + 1 + h = 3 + 5h + 2h^2$

$\lim_{h \to 0} \frac{3 + 5h + 2h^2 – 3}{h} = \lim_{h \to 0}(5 + 2h) = 5$

3. Posisi benda $s(t) = t^2 + 3t$. Tentukan kecepatan sesaat di $t = 2$.

Pembahasan

$s(2) = 10$, $s(2+h) = (2+h)^2 + 3(2+h) = 4 + 4h + h^2 + 6 + 3h = 10 + 7h + h^2$

$\lim_{h \to 0} \frac{10 + 7h + h^2 – 10}{h} = \lim_{h \to 0}(7 + h) = 7$ m/s

4. Tentukan laju perubahan sesaat $f(x) = x^3$ di $x = 1$.

Pembahasan

$\lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^3 – 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1 + 3h + 3h^2 + h^3 – 1}{h}$

$= \lim_{h \to 0}(3 + 3h + h^2) = 3$

5. Tentukan laju perubahan sesaat $f(x) = \frac{1}{x}$ di $x = 2$.

Pembahasan

$\lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2+h} – \frac{1}{2}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 – (2+h)}{2(2+h)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{2h(2+h)}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{-1}{2(2+h)} = \frac{-1}{4}$

Sulit

1. Tentukan laju perubahan sesaat $f(x) = x^3 – 2x$ di $x = -1$.

Pembahasan

$f(-1) = -1 + 2 = 1$

$f(-1+h) = (-1+h)^3 – 2(-1+h) = -1 + 3h – 3h^2 + h^3 + 2 – 2h = 1 + h – 3h^2 + h^3$

$\lim_{h \to 0} \frac{1 + h – 3h^2 + h^3 – 1}{h} = \lim_{h \to 0}(1 – 3h + h^2) = 1$

2. Tentukan laju perubahan sesaat $f(x) = \sqrt{x}$ di $x = 4$.

Pembahasan

$\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4+h} – 2}{h}$. Kalikan dengan sekawan:

$= \lim_{h \to 0} \frac{(4+h) – 4}{h(\sqrt{4+h} + 2)} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{4+h} + 2} = \frac{1}{4}$

3. Tentukan laju perubahan sesaat $f(x) = \frac{x}{x+1}$ di $x = 1$.

Pembahasan

$f(1) = \frac{1}{2}$, $f(1+h) = \frac{1+h}{2+h}$

$\lim_{h \to 0} \frac{\frac{1+h}{2+h} – \frac{1}{2}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{2(1+h) – (2+h)}{2(2+h)}}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{2 + 2h – 2 – h}{2h(2+h)} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{2h(2+h)} = \frac{1}{4}$

4. Tentukan kecepatan sesaat partikel $s(t) = t^3 – 3t^2$ pada $t = 2$.

Pembahasan

$s(2) = 8 – 12 = -4$

$s(2+h) = (2+h)^3 – 3(2+h)^2 = 8+12h+6h^2+h^3 – 3(4+4h+h^2)$

$= 8+12h+6h^2+h^3 – 12 – 12h – 3h^2 = -4 + 3h^2 + h^3$

$\lim_{h \to 0} \frac{-4 + 3h^2 + h^3 – (-4)}{h} = \lim_{h \to 0}(3h + h^2) = 0$ m/s

5. Tentukan laju perubahan sesaat $f(x) = x^2 – \frac{1}{x}$ di $x = 1$.

Pembahasan

$f(1) = 1 – 1 = 0$

$f(1+h) = (1+h)^2 – \frac{1}{1+h} = 1 + 2h + h^2 – \frac{1}{1+h}$

$\lim_{h \to 0} \frac{1 + 2h + h^2 – \frac{1}{1+h} – 0}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{(1+2h+h^2)(1+h) – 1}{h(1+h)}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{1+h+2h+2h^2+h^2+h^3 – 1}{h(1+h)} = \lim_{h \to 0} \frac{3h+3h^2+h^3}{h(1+h)}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{3+3h+h^2}{1+h} = 3$

✏️ Latihan Soal

Mudah

Tentukan laju perubahan sesaat $f(x) = 2x + 5$ di $x = 3$.
Tentukan laju perubahan sesaat $f(x) = x^2$ di $x = 3$.
Tentukan laju perubahan sesaat $f(x) = 4x – 1$ di $x = 0$.
Tentukan laju perubahan sesaat $f(x) = x^2 + 2$ di $x = 1$.
Tentukan kecepatan sesaat $s(t) = 6t$ pada $t = 5$.

Sedang

Tentukan laju perubahan sesaat $f(x) = 3x^2 – 2x$ di $x = 1$.
Tentukan kecepatan sesaat $s(t) = t^2 – 5t$ pada $t = 3$.
Tentukan laju perubahan sesaat $f(x) = x^3$ di $x = 2$.
Tentukan laju perubahan sesaat $f(x) = \frac{2}{x}$ di $x = 1$.
Tentukan laju perubahan sesaat $f(x) = x^2 + 4x – 1$ di $x = -2$.

Sulit

Tentukan laju perubahan sesaat $f(x) = \sqrt{x+5}$ di $x = 4$.
Tentukan laju perubahan sesaat $f(x) = \frac{x}{x-1}$ di $x = 2$.
Tentukan kecepatan sesaat $s(t) = t^3 – 6t^2 + 9t$ pada $t = 1$.
Tentukan laju perubahan sesaat $f(x) = x^2\sqrt{x}$ di $x = 1$.
Tentukan laju perubahan sesaat $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$ di $x = 1$.

3. Definisi Turunan Fungsi

Materi

Turunan fungsi $f(x)$ terhadap $x$ didefinisikan sebagai limit berikut (jika limitnya ada):

Definisi Turunan:

\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) – f(x)}{h}\]

Notasi turunan:

Notasi Lagrange: $f'(x)$ atau $y’$

Notasi Leibniz: $\frac{dy}{dx}$ atau $\frac{df}{dx}$

Notasi operator: $Df(x)$ atau $D_x f$

Makna Turunan:

Secara geometris: kemiringan garis singgung kurva $y = f(x)$ di titik $(x, f(x))$
Secara fisika: laju perubahan sesaat dari besaran yang dinyatakan oleh fungsi
Suatu fungsi dikatakan terdiferensialkan di $x = a$ jika $f'(a)$ ada (limitnya ada dan berhingga)

Definisi alternatif:

\[f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) – f(a)}{x – a}\]

📝 Contoh Soal

Mudah

1. Dengan definisi, tentukan $f'(x)$ jika $f(x) = 3x + 5$.

Pembahasan

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{[3(x+h)+5] – [3x+5]}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{3h}{h} = 3$

2. Dengan definisi, tentukan $f'(x)$ jika $f(x) = x^2$.

Pembahasan

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 – x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0}(2x + h) = 2x$

3. Dengan definisi, tentukan $f'(x)$ jika $f(x) = 7$.

Pembahasan

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{7 – 7}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = 0$

Turunan fungsi konstanta selalu nol.

4. Tentukan $f'(x)$ dari $f(x) = 5x$ dengan definisi.

Pembahasan

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{5(x+h) – 5x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{5h}{h} = 5$

5. Tentukan $f'(2)$ jika $f(x) = x^2 + 1$ dengan definisi.

Pembahasan

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{[(2+h)^2+1] – [4+1]}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{4+4h+h^2+1-5}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{4h+h^2}{h} = \lim_{h \to 0}(4+h) = 4$

Sedang

1. Tentukan $f'(x)$ dari $f(x) = x^2 – 4x + 3$ dengan definisi.

Pembahasan

$f(x+h) = (x+h)^2 – 4(x+h) + 3 = x^2 + 2xh + h^2 – 4x – 4h + 3$

$f(x+h) – f(x) = 2xh + h^2 – 4h$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2 – 4h}{h} = \lim_{h \to 0}(2x + h – 4) = 2x – 4$

2. Tentukan $f'(x)$ dari $f(x) = 3x^2 + 2x$ dengan definisi.

Pembahasan

$f(x+h) = 3(x+h)^2 + 2(x+h) = 3x^2 + 6xh + 3h^2 + 2x + 2h$

$f(x+h) – f(x) = 6xh + 3h^2 + 2h$

$f'(x) = \lim_{h \to 0}(6x + 3h + 2) = 6x + 2$

3. Tentukan $f'(x)$ dari $f(x) = x^3$ dengan definisi.

Pembahasan

$f(x+h) – f(x) = (x+h)^3 – x^3 = 3x^2h + 3xh^2 + h^3$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} = \lim_{h \to 0}(3x^2 + 3xh + h^2) = 3x^2$

4. Tentukan $f'(x)$ dari $f(x) = \frac{1}{x}$ dengan definisi.

Pembahasan

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x+h} – \frac{1}{x}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{-h}{hx(x+h)} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{x(x+h)} = -\frac{1}{x^2}$

5. Tentukan $f'(1)$ dari $f(x) = x^2 + 3x – 2$ menggunakan definisi alternatif.

Pembahasan

$f(1) = 1 + 3 – 2 = 2$

$f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{f(x) – f(1)}{x – 1} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3x – 2 – 2}{x – 1}$

$= \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3x – 4}{x – 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x+4)(x-1)}{x-1} = \lim_{x \to 1}(x+4) = 5$

Sulit

1. Tentukan $f'(x)$ dari $f(x) = \sqrt{x}$ dengan definisi.

Pembahasan

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} – \sqrt{x}}{h}$. Kalikan sekawan:

$= \lim_{h \to 0} \frac{(x+h) – x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

2. Tentukan $f'(x)$ dari $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ dengan definisi.

Pembahasan

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{x+h}} – \frac{1}{\sqrt{x}}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x} – \sqrt{x+h}}{h\sqrt{x}\sqrt{x+h}}$

Kalikan sekawan: $= \lim_{h \to 0} \frac{x – (x+h)}{h\sqrt{x}\sqrt{x+h}(\sqrt{x}+\sqrt{x+h})}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{-1}{\sqrt{x}\sqrt{x+h}(\sqrt{x}+\sqrt{x+h})} = \frac{-1}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$

3. Tentukan $f'(x)$ dari $f(x) = x^2 + \frac{1}{x}$ dengan definisi.

Pembahasan

$f(x+h) – f(x) = [(x+h)^2 + \frac{1}{x+h}] – [x^2 + \frac{1}{x}]$

$= (2xh + h^2) + (\frac{1}{x+h} – \frac{1}{x}) = (2xh + h^2) + \frac{-h}{x(x+h)}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0}\left[(2x + h) + \frac{-1}{x(x+h)}\right] = 2x – \frac{1}{x^2}$

4. Tentukan $f'(x)$ dari $f(x) = \sqrt{2x + 1}$ dengan definisi.

Pembahasan

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2(x+h)+1} – \sqrt{2x+1}}{h}$

Kalikan sekawan: $= \lim_{h \to 0} \frac{2(x+h)+1 – (2x+1)}{h(\sqrt{2x+2h+1} + \sqrt{2x+1})}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{2h}{h(\sqrt{2x+2h+1} + \sqrt{2x+1})} = \frac{2}{2\sqrt{2x+1}} = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$

5. Tentukan $f'(x)$ dari $f(x) = \frac{x}{x+1}$ dengan definisi.

Pembahasan

$f(x+h) – f(x) = \frac{x+h}{x+h+1} – \frac{x}{x+1}$

$= \frac{(x+h)(x+1) – x(x+h+1)}{(x+h+1)(x+1)}$

$= \frac{x^2+x+hx+h – x^2-hx-x}{(x+h+1)(x+1)} = \frac{h}{(x+h+1)(x+1)}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{(x+h+1)(x+1)} = \frac{1}{(x+1)^2}$

✏️ Latihan Soal

Mudah

Tentukan $f'(x)$ dari $f(x) = 6x – 4$ dengan definisi.
Tentukan $f'(x)$ dari $f(x) = x^2 + 5$ dengan definisi.
Tentukan $f'(x)$ dari $f(x) = -2x + 7$ dengan definisi.
Tentukan $f'(3)$ dari $f(x) = x^2$ dengan definisi.
Tentukan $f'(x)$ dari $f(x) = 10$ dengan definisi.

Sedang

Tentukan $f'(x)$ dari $f(x) = 2x^2 – 5x + 1$ dengan definisi.
Tentukan $f'(x)$ dari $f(x) = x^3 + x$ dengan definisi.
Tentukan $f'(x)$ dari $f(x) = \frac{2}{x}$ dengan definisi.
Tentukan $f'(2)$ dari $f(x) = x^3 – x$ menggunakan definisi alternatif.
Tentukan $f'(x)$ dari $f(x) = 4x^2 + 1$ dengan definisi.

Sulit

Tentukan $f'(x)$ dari $f(x) = \sqrt{3x}$ dengan definisi.
Tentukan $f'(x)$ dari $f(x) = \frac{x}{x-2}$ dengan definisi.
Tentukan $f'(x)$ dari $f(x) = x^2\sqrt{x}$ dengan definisi (tulis ulang sebagai $x^{5/2}$).
Tentukan $f'(x)$ dari $f(x) = \frac{1}{x^2}$ dengan definisi.
Tentukan $f'(x)$ dari $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ dengan definisi.

4. Rumus Umum Turunan Fungsi

Materi

Dengan menggunakan definisi turunan, dapat diturunkan rumus-rumus umum berikut:

No	Fungsi $f(x)$	Turunan $f'(x)$
1	$c$ (konstanta)	$0$
2	$x^n$	$nx^{n-1}$
3	$cf(x)$	$c \cdot f'(x)$
4	$f(x) + g(x)$	$f'(x) + g'(x)$
5	$f(x) – g(x)$	$f'(x) – g'(x)$
6	$f(x) \cdot g(x)$	$f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$
7	$\frac{f(x)}{g(x)}$	$\frac{f'(x)g(x) – f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$
8	$[f(x)]^n$ (aturan rantai)	$n[f(x)]^{n-1} \cdot f'(x)$

Keterangan penting:

Rumus no. 2 berlaku untuk semua $n$ bilangan real ($n$ bulat, pecahan, negatif)
Rumus no. 6 disebut aturan perkalian (product rule)
Rumus no. 7 disebut aturan pembagian (quotient rule)
Rumus no. 8 disebut aturan rantai (chain rule)

📝 Contoh Soal

Mudah

1. Tentukan turunan $f(x) = x^5$.

Pembahasan

$f'(x) = 5x^{5-1} = 5x^4$

2. Tentukan turunan $f(x) = 3x^4$.

Pembahasan

$f'(x) = 3 \cdot 4x^3 = 12x^3$

3. Tentukan turunan $f(x) = x^3 + 2x$.

Pembahasan

$f'(x) = 3x^2 + 2$

4. Tentukan turunan $f(x) = 4x^2 – 7x + 1$.

Pembahasan

$f'(x) = 8x – 7$

5. Tentukan turunan $f(x) = 6x^3 – 2x^2 + x – 9$.

Pembahasan

$f'(x) = 18x^2 – 4x + 1$

Sedang

1. Tentukan turunan $f(x) = (x^2 + 1)(x – 3)$ menggunakan aturan perkalian.

Pembahasan

Misalkan $u = x^2 + 1$, $v = x – 3$

$u’ = 2x$, $v’ = 1$

$f'(x) = u’v + uv’ = 2x(x-3) + (x^2+1)(1) = 2x^2 – 6x + x^2 + 1 = 3x^2 – 6x + 1$

2. Tentukan turunan $f(x) = \frac{x^2}{x + 1}$ menggunakan aturan pembagian.

Pembahasan

$u = x^2$, $v = x + 1$, $u’ = 2x$, $v’ = 1$

$f'(x) = \frac{2x(x+1) – x^2(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x – x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)^2}$

3. Tentukan turunan $f(x) = (2x + 1)^4$ menggunakan aturan rantai.

Pembahasan

$f'(x) = 4(2x+1)^3 \cdot 2 = 8(2x+1)^3$

4. Tentukan turunan $f(x) = x\sqrt{x} = x^{3/2}$.

Pembahasan

$f'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$

5. Tentukan turunan $f(x) = \frac{3x – 1}{2x + 5}$.

Pembahasan

$f'(x) = \frac{3(2x+5) – (3x-1)(2)}{(2x+5)^2} = \frac{6x+15-6x+2}{(2x+5)^2} = \frac{17}{(2x+5)^2}$

Sulit

1. Tentukan turunan $f(x) = (x^2 – 1)^3(2x + 1)^2$.

Pembahasan

Gunakan aturan perkalian + rantai:

$u = (x^2-1)^3$, $v = (2x+1)^2$

$u’ = 3(x^2-1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2-1)^2$

$v’ = 2(2x+1) \cdot 2 = 4(2x+1)$

$f'(x) = 6x(x^2-1)^2(2x+1)^2 + (x^2-1)^3 \cdot 4(2x+1)$

$= 2(x^2-1)^2(2x+1)[3x(2x+1) + 2(x^2-1)]$

$= 2(x^2-1)^2(2x+1)(6x^2+3x+2x^2-2)$

$= 2(x^2-1)^2(2x+1)(8x^2+3x-2)$

2. Tentukan turunan $f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}$.

Pembahasan

$u = x^2$, $v = (x^2+1)^{1/2}$

$u’ = 2x$, $v’ = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

$f'(x) = \frac{2x\sqrt{x^2+1} – x^2 \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}$

$= \frac{\frac{2x(x^2+1) – x^3}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1} = \frac{2x^3 + 2x – x^3}{(x^2+1)^{3/2}} = \frac{x^3 + 2x}{(x^2+1)^{3/2}} = \frac{x(x^2+2)}{(x^2+1)^{3/2}}$

3. Tentukan turunan $f(x) = \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$.

Pembahasan

Tulis sebagai $f(x) = \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{1/2}$

Aturan rantai: $f'(x) = \frac{1}{2}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$

$\frac{d}{dx}\left(\frac{x+1}{x-1}\right) = \frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$

$f'(x) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{x-1}{x+1}} \cdot \frac{-2}{(x-1)^2} = \frac{-1}{(x-1)^2}\sqrt{\frac{x-1}{x+1}} = \frac{-1}{(x-1)^{3/2}(x+1)^{1/2}}$

4. Tentukan turunan $f(x) = \frac{(x+1)^3}{(x-2)^2}$.

Pembahasan

$u = (x+1)^3$, $v = (x-2)^2$

$u’ = 3(x+1)^2$, $v’ = 2(x-2)$

$f'(x) = \frac{3(x+1)^2(x-2)^2 – (x+1)^3 \cdot 2(x-2)}{(x-2)^4}$

$= \frac{(x+1)^2(x-2)[3(x-2) – 2(x+1)]}{(x-2)^4} = \frac{(x+1)^2(x-8)}{(x-2)^3}$

5. Tentukan turunan $f(x) = x^2(3x-1)^4$.

Pembahasan

$u = x^2$, $v = (3x-1)^4$, $u’ = 2x$, $v’ = 12(3x-1)^3$

$f'(x) = 2x(3x-1)^4 + x^2 \cdot 12(3x-1)^3 = 2x(3x-1)^3[(3x-1) + 6x]$

$= 2x(3x-1)^3(9x-1)$

✏️ Latihan Soal

Mudah

Tentukan turunan $f(x) = x^7$.
Tentukan turunan $f(x) = 5x^3 – 2x$.
Tentukan turunan $f(x) = 2x^4 + 3x^2 – x + 6$.
Tentukan turunan $f(x) = \frac{1}{x^3} = x^{-3}$.
Tentukan turunan $f(x) = 4\sqrt{x} = 4x^{1/2}$.

Sedang

Tentukan turunan $f(x) = (x^2 + 3)(2x – 1)$.
Tentukan turunan $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$.
Tentukan turunan $f(x) = (3x – 2)^5$.
Tentukan turunan $f(x) = x^2\sqrt{x+1}$.
Tentukan turunan $f(x) = \frac{2x^2 + 1}{x – 3}$.

Sulit

Tentukan turunan $f(x) = (x^2 + 1)^3(x – 2)^4$.
Tentukan turunan $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^2 + 1}$.
Tentukan turunan $f(x) = \left(\frac{2x+1}{x-1}\right)^3$.
Tentukan turunan $f(x) = x^3(1-x^2)^{5/2}$.
Tentukan turunan $f(x) = \frac{(x+1)^2}{\sqrt{x^2+1}}$.

5. Rumus-Rumus Turunan Fungsi Aljabar

Materi

Berikut rangkuman lengkap rumus turunan fungsi aljabar yang sering digunakan:

Rumus Dasar:

$\frac{d}{dx}(c) = 0$	Turunan konstanta
$\frac{d}{dx}(x) = 1$	Turunan variabel
$\frac{d}{dx}(cx) = c$	Turunan fungsi linear
$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$	Rumus pangkat
$\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$	Turunan akar
$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^n}\right) = -\frac{n}{x^{n+1}}$	Turunan pangkat negatif

Sifat-Sifat Turunan:

$\frac{d}{dx}[cf(x)] = c \cdot f'(x)$	Kelipatan konstanta
$\frac{d}{dx}[f \pm g] = f’ \pm g’$	Jumlah/selisih
$\frac{d}{dx}[f \cdot g] = f’g + fg’$	Perkalian
$\frac{d}{dx}\left[\frac{f}{g}\right] = \frac{f’g – fg’}{g^2}$	Pembagian
$\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$	Aturan rantai

Turunan Bentuk Khusus Aljabar:

$\frac{d}{dx}(ax+b)^n = na(ax+b)^{n-1}$

$\frac{d}{dx}\sqrt{ax+b} = \frac{a}{2\sqrt{ax+b}}$

$\frac{d}{dx}\frac{1}{(ax+b)^n} = \frac{-na}{(ax+b)^{n+1}}$

Tips mengerjakan soal turunan aljabar:

Ubah bentuk akar menjadi pangkat pecahan: $\sqrt{x} = x^{1/2}$, $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$
Ubah bentuk pecahan menjadi pangkat negatif: $\frac{1}{x^n} = x^{-n}$
Sederhanakan terlebih dahulu sebelum menurunkan jika memungkinkan
Pilih aturan yang paling efisien (perkalian vs jabarkan dulu)

📝 Contoh Soal

Mudah

1. Tentukan $f'(x)$ dari $f(x) = 3x^4 – 5x^2 + 7x – 2$.

Pembahasan

$f'(x) = 12x^3 – 10x + 7$

2. Tentukan $f'(x)$ dari $f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x}$.

Pembahasan

Tulis ulang: $f(x) = x^{1/2} + x^{-1}$

$f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} + (-1)x^{-2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} – \frac{1}{x^2}$

3. Tentukan turunan $y = (2x + 3)^5$.

Pembahasan

$y’ = 5(2x+3)^4 \cdot 2 = 10(2x+3)^4$

4. Tentukan turunan $f(x) = \frac{2}{x^3}$.

Pembahasan

Tulis ulang: $f(x) = 2x^{-3}$

$f'(x) = 2(-3)x^{-4} = -6x^{-4} = -\frac{6}{x^4}$

5. Tentukan turunan $f(x) = 5\sqrt[3]{x}$.

Pembahasan

Tulis ulang: $f(x) = 5x^{1/3}$

$f'(x) = 5 \cdot \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{5}{3x^{2/3}} = \frac{5}{3\sqrt[3]{x^2}}$

Sedang

1. Tentukan turunan $f(x) = (x^2 – 2x)(3x + 4)$.

Pembahasan

$u = x^2 – 2x$, $v = 3x + 4$, $u’ = 2x – 2$, $v’ = 3$

$f'(x) = (2x-2)(3x+4) + (x^2-2x)(3)$

$= 6x^2 + 8x – 6x – 8 + 3x^2 – 6x = 9x^2 – 4x – 8$

2. Tentukan turunan $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x – 1}$.

Pembahasan

$f'(x) = \frac{2x(x-1) – (x^2+3)(1)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 – 2x – x^2 – 3}{(x-1)^2} = \frac{x^2 – 2x – 3}{(x-1)^2} = \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}$

3. Tentukan turunan $f(x) = \sqrt{3x^2 + 2}$.

Pembahasan

$f(x) = (3x^2+2)^{1/2}$

$f'(x) = \frac{1}{2}(3x^2+2)^{-1/2} \cdot 6x = \frac{3x}{\sqrt{3x^2+2}}$

4. Tentukan turunan $f(x) = x^2\sqrt{x} – \frac{3}{x^2}$.

Pembahasan

Tulis ulang: $f(x) = x^{5/2} – 3x^{-2}$

$f'(x) = \frac{5}{2}x^{3/2} – 3(-2)x^{-3} = \frac{5}{2}x\sqrt{x} + \frac{6}{x^3}$

5. Tentukan turunan $f(x) = \frac{1}{\sqrt{4x-1}}$.

Pembahasan

Tulis ulang: $f(x) = (4x-1)^{-1/2}$

$f'(x) = -\frac{1}{2}(4x-1)^{-3/2} \cdot 4 = \frac{-2}{(4x-1)^{3/2}}$

Sulit

1. Tentukan turunan $f(x) = \frac{x^2 – 1}{\sqrt{x^2 + 1}}$.

Pembahasan

$u = x^2-1$, $v = (x^2+1)^{1/2}$, $u’ = 2x$, $v’ = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

$f'(x) = \frac{2x\sqrt{x^2+1} – (x^2-1)\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}$

$= \frac{2x(x^2+1) – x(x^2-1)}{(x^2+1)^{3/2}} = \frac{x(2x^2+2-x^2+1)}{(x^2+1)^{3/2}} = \frac{x(x^2+3)}{(x^2+1)^{3/2}}$

2. Tentukan turunan $f(x) = \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^2$.

Pembahasan

Aturan rantai: $f'(x) = 2\left(\frac{x+1}{x-1}\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$

$\frac{d}{dx}\left(\frac{x+1}{x-1}\right) = \frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$

$f'(x) = 2 \cdot \frac{x+1}{x-1} \cdot \frac{-2}{(x-1)^2} = \frac{-4(x+1)}{(x-1)^3}$

3. Tentukan turunan $f(x) = x\sqrt{1-x^2}$.

Pembahasan

$u = x$, $v = (1-x^2)^{1/2}$, $u’ = 1$, $v’ = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$

$f'(x) = \sqrt{1-x^2} + x \cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{(1-x^2) – x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}$

4. Tentukan turunan $f(x) = \sqrt[3]{(2x+1)^2}$.

Pembahasan

Tulis ulang: $f(x) = (2x+1)^{2/3}$

$f'(x) = \frac{2}{3}(2x+1)^{-1/3} \cdot 2 = \frac{4}{3(2x+1)^{1/3}} = \frac{4}{3\sqrt[3]{2x+1}}$

5. Tentukan turunan $f(x) = \frac{x^3}{(x^2+4)^2}$.

Pembahasan

$u = x^3$, $v = (x^2+4)^2$, $u’ = 3x^2$, $v’ = 4x(x^2+4)$

$f'(x) = \frac{3x^2(x^2+4)^2 – x^3 \cdot 4x(x^2+4)}{(x^2+4)^4}$

$= \frac{x^2(x^2+4)[3(x^2+4) – 4x^2]}{(x^2+4)^4} = \frac{x^2(12 – x^2)}{(x^2+4)^3}$

✏️ Latihan Soal

Mudah

Tentukan turunan $f(x) = 7x^5 – 3x^3 + 2x$.
Tentukan turunan $f(x) = \frac{4}{x^2} + \sqrt{x}$.
Tentukan turunan $f(x) = (5x – 3)^4$.
Tentukan turunan $f(x) = 2x^{3/2} – x^{-1}$.
Tentukan turunan $f(x) = 3\sqrt[4]{x^3}$.

Sedang

Tentukan turunan $f(x) = (x^3 + 2)(x^2 – x)$.
Tentukan turunan $f(x) = \frac{2x – 3}{x^2 + 1}$.
Tentukan turunan $f(x) = \sqrt{x^3 + 3x}$.
Tentukan turunan $f(x) = (x + \frac{1}{x})^3$.
Tentukan turunan $f(x) = x^2(2x-1)^3$.

Sulit

Tentukan turunan $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}$.
Tentukan turunan $f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$.
Tentukan turunan $f(x) = (x^2 + 1)^2(x^3 – x)$.
Tentukan turunan $f(x) = \frac{(2x+3)^3}{(x-1)^2}$.
Tentukan turunan $f(x) = x\sqrt[3]{(x^2+1)^2}$.

Diferensial Lengkap

Diferensial

Turunan ke-n, Trigonometri & Aturan Rantai

Turunan ke-n dari Suatu Fungsi

Materi

Jika $f(x)$ memiliki turunan pertama $f'(x)$, maka turunan kedua dinyatakan sebagai turunan dari $f'(x)$, yaitu $f”(x)$. Secara umum, turunan ke-$n$ ditulis:

$$f^{(n)}(x) = \frac{d^n}{dx^n}[f(x)]$$

Notasi lain yang sering digunakan:

Orde	Notasi Lagrange	Notasi Leibniz
1	$f'(x)$	$\dfrac{dy}{dx}$
2	$f”(x)$	$\dfrac{d^2y}{dx^2}$
3	$f”'(x)$	$\dfrac{d^3y}{dx^3}$
$n$	$f^{(n)}(x)$	$\dfrac{d^ny}{dx^n}$

Rumus penting untuk fungsi pangkat:

$$\text{Jika } f(x)=x^m, \text{ maka } f^{(n)}(x)=\frac{m!}{(m-n)!}\,x^{m-n} \text{ untuk } n\le m$$

Contoh Soal

▸ Mudah

Mudah 1

Tentukan $f”(x)$ jika $f(x) = x^4$.

Pembahasan

$f'(x) = 4x^3$

$f”(x) = 12x^2$

Mudah 2

Tentukan $f”'(x)$ jika $f(x) = x^5$.

Pembahasan

$f'(x)=5x^4$, $f”(x)=20x^3$, $f”'(x)=60x^2$

Mudah 3

Tentukan turunan kedua dari $f(x)=3x^3+2x$.

Pembahasan

$f'(x)=9x^2+2$

$f”(x)=18x$

Mudah 4

Tentukan $f^{(4)}(x)$ jika $f(x)=x^4$.

Pembahasan

$f'(x)=4x^3$, $f”(x)=12x^2$, $f”'(x)=24x$, $f^{(4)}(x)=24$

Mudah 5

Tentukan $f”(x)$ jika $f(x)=7x^2-4x+1$.

Pembahasan

$f'(x)=14x-4$

$f”(x)=14$

▸ Sedang

Sedang 1

Tentukan $f^{(3)}(x)$ jika $f(x)=2x^5-3x^3+x$.

Pembahasan

$f'(x)=10x^4-9x^2+1$

$f”(x)=40x^3-18x$

$f”'(x)=120x^2-18$

Sedang 2

Tentukan $f”(x)$ jika $f(x)=\dfrac{1}{x}=x^{-1}$.

Pembahasan

$f'(x)=-x^{-2}$

$f”(x)=2x^{-3}=\dfrac{2}{x^3}$

Sedang 3

Tentukan $f^{(n)}(x)$ jika $f(x)=e^{2x}$.

Pembahasan

$f'(x)=2e^{2x}$, $f”(x)=4e^{2x}=2^2e^{2x}$

Pola: $f^{(n)}(x)=2^n e^{2x}$

Sedang 4

Tentukan $f”(x)$ jika $f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}$.

Pembahasan

$f'(x)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}$

$f”(x)=-\tfrac{1}{4}x^{-3/2}=-\dfrac{1}{4x\sqrt{x}}$

Sedang 5

Tentukan $f^{(n)}(x)$ jika $f(x)=\ln x$.

Pembahasan

$f'(x)=x^{-1}$, $f”(x)=-x^{-2}$, $f”'(x)=2x^{-3}$

Pola: $f^{(n)}(x)=\dfrac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}$

▸ Sulit

Sulit 1

Tentukan $f^{(n)}(x)$ jika $f(x)=x^m$ dengan $n\le m$.

Pembahasan

$f'(x)=mx^{m-1}$, $f”(x)=m(m-1)x^{m-2}$

$f^{(n)}(x)=m(m-1)(m-2)\cdots(m-n+1)x^{m-n}=\dfrac{m!}{(m-n)!}x^{m-n}$

Sulit 2

Tentukan $f^{(n)}(x)$ jika $f(x)=e^{ax+b}$.

Pembahasan

$f'(x)=ae^{ax+b}$, $f”(x)=a^2e^{ax+b}$

Pola: $f^{(n)}(x)=a^n e^{ax+b}$

Sulit 3

Tentukan turunan ke-$n$ dari $f(x)=\dfrac{1}{1-x}$.

Pembahasan

$f(x)=(1-x)^{-1}$, $f'(x)=(1-x)^{-2}$, $f”(x)=2(1-x)^{-3}$

Pola: $f^{(n)}(x)=\dfrac{n!}{(1-x)^{n+1}}$

Sulit 4

Tentukan $f^{(n)}(x)$ jika $f(x)=x^2 e^x$.

Pembahasan

Gunakan rumus Leibniz: $(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u^{(k)}v^{(n-k)}$

Dengan $u=x^2$, $v=e^x$: $u’=2x$, $u”=2$, $u^{(k)}=0$ untuk $k\ge3$

$f^{(n)}(x)=\binom{n}{0}x^2 e^x+\binom{n}{1}2x\,e^x+\binom{n}{2}2\,e^x$

$=e^x(x^2+2nx+n(n-1))$

Sulit 5

Tentukan $f^{(100)}(x)$ jika $f(x)=x^{99}+x^{100}$.

Pembahasan

Untuk $x^{99}$: turunan ke-100 = 0 (karena $n>m$)

Untuk $x^{100}$: $f^{(100)}=\dfrac{100!}{0!}x^0=100!$

Jadi $f^{(100)}(x)=100!$

Latihan Soal

▸ Mudah

Tentukan $f”(x)$ jika $f(x)=5x^3$.
Tentukan $f”'(x)$ jika $f(x)=x^6$.
Tentukan $f”(x)$ jika $f(x)=4x^2-x+3$.
Tentukan $f^{(4)}(x)$ jika $f(x)=x^5$.
Tentukan $f”(x)$ jika $f(x)=10x^4+2x^2$.

▸ Sedang

Tentukan $f”'(x)$ jika $f(x)=x^4-2x^3+x$.
Tentukan $f”(x)$ jika $f(x)=x^{-2}$.
Tentukan $f^{(n)}(x)$ jika $f(x)=e^{5x}$.
Tentukan $f”'(x)$ jika $f(x)=x^{3/2}$.
Tentukan $f^{(4)}(x)$ jika $f(x)=\ln(2x)$.

▸ Sulit

Tentukan $f^{(n)}(x)$ jika $f(x)=\dfrac{1}{2+x}$.
Tentukan $f^{(n)}(x)$ jika $f(x)=xe^x$.
Tentukan $f^{(50)}(x)$ jika $f(x)=x^{50}+x^{49}$.
Tentukan $f^{(n)}(x)$ jika $f(x)=x^3e^{2x}$ (gunakan rumus Leibniz).
Tentukan $f^{(n)}(x)$ jika $f(x)=\dfrac{x}{1-x}$.

Rumus-Rumus Turunan Fungsi Trigonometri

Materi

Berikut rumus dasar turunan fungsi trigonometri:

$\dfrac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$

$\dfrac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$

$\dfrac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x$

$\dfrac{d}{dx}[\cot x]=-\csc^2 x$

$\dfrac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$

$\dfrac{d}{dx}[\csc x]=-\csc x\cot x$

Turunan ke-$n$ dari $\sin x$ dan $\cos x$:

$\dfrac{d^n}{dx^n}[\sin x]=\sin\!\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right)$

$\dfrac{d^n}{dx^n}[\cos x]=\cos\!\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right)$

Contoh Soal

▸ Mudah

Mudah 1

Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=\sin 3x$.

Pembahasan

$f'(x)=3\cos 3x$

Mudah 2

Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=\cos 2x$.

Pembahasan

$f'(x)=-2\sin 2x$

Mudah 3

Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=\tan x$.

Pembahasan

$f'(x)=\sec^2 x$

Mudah 4

Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=2\sin x+3\cos x$.

Pembahasan

$f'(x)=2\cos x-3\sin x$

Mudah 5

Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=\sin x+\tan x$.

Pembahasan

$f'(x)=\cos x+\sec^2 x$

▸ Sedang

Sedang 1

Tentukan $f”(x)$ jika $f(x)=\sin 2x$.

Pembahasan

$f'(x)=2\cos 2x$

$f”(x)=-4\sin 2x$

Sedang 2

Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=\sin^2 x$.

Pembahasan

$f'(x)=2\sin x\cos x=\sin 2x$

Sedang 3

Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=x\sin x$.

Pembahasan

Aturan perkalian: $f'(x)=\sin x+x\cos x$

Sedang 4

Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ (buktikan = $\sec^2 x$).

Pembahasan

$f'(x)=\dfrac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x}=\dfrac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\dfrac{1}{\cos^2x}=\sec^2x$

Sedang 5

Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=\tan 3x$.

Pembahasan

$f'(x)=3\sec^2 3x$

▸ Sulit

Sulit 1

Tentukan turunan ke-100 dari $f(x)=\sin x$.

Pembahasan

$f^{(100)}(x)=\sin\left(x+\dfrac{100\pi}{2}\right)=\sin(x+50\pi)=\sin x$

(karena $50\pi$ = 25 putaran penuh)

Sulit 2

Tentukan turunan ke-75 dari $f(x)=\cos 2x$.

Pembahasan

$f^{(n)}(x)=2^n\cos\left(2x+\dfrac{n\pi}{2}\right)$

$f^{(75)}(x)=2^{75}\cos\left(2x+\dfrac{75\pi}{2}\right)$

$\dfrac{75\pi}{2}=37\pi+\dfrac{\pi}{2}$, jadi $\cos\left(2x+37\pi+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos\left(2x+\pi+\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin 2x$

$f^{(75)}(x)=2^{75}\sin 2x$

Sulit 3

Tentukan $f”(x)$ jika $f(x)=\sec x$.

Pembahasan

$f'(x)=\sec x\tan x$

$f”(x)=\sec x\tan x\cdot\tan x+\sec x\cdot\sec^2x$

$=\sec x\tan^2x+\sec^3x=\sec x(\tan^2x+\sec^2x)$

$=\sec x(2\sec^2x-1)$

Sulit 4

Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=\sin^3(2x)$.

Pembahasan

$f'(x)=3\sin^2(2x)\cdot\cos(2x)\cdot 2=6\sin^2(2x)\cos(2x)$

Sulit 5

Tentukan $f”(x)$ jika $f(x)=x^2\cos x$.

Pembahasan

$f'(x)=2x\cos x-x^2\sin x$

$f”(x)=2\cos x-2x\sin x-(2x\sin x+x^2\cos x)$

$=(2-x^2)\cos x-4x\sin x$

Latihan Soal

▸ Mudah

Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=\sin 5x$.
Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=\cos 4x$.
Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=3\tan x$.
Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=\sin x-\cos x$.
Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=5\sin 2x$.

▸ Sedang

Tentukan $f”(x)$ jika $f(x)=\cos 3x$.
Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=\cos^2 x$.
Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=x\cos x$.
Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=\sin x\cos x$.
Tentukan $f”(x)$ jika $f(x)=\tan 2x$.

▸ Sulit

Tentukan turunan ke-99 dari $f(x)=\cos x$.
Tentukan $f”(x)$ jika $f(x)=\tan^2 x$.
Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}$.
Tentukan $f^{(4)}(x)$ jika $f(x)=\sin^2 x$ (gunakan identitas).
Tentukan $f”(x)$ jika $f(x)=e^x\sin x$.

Turunan Fungsi Komposisi dengan Aturan Rantai

Materi

Jika $y=f(g(x))$, maka aturan rantai (chain rule) menyatakan:

$$\frac{dy}{dx}=f'(g(x))\cdot g'(x)$$

Atau dengan notasi substitusi $u=g(x)$:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$

Untuk komposisi tiga fungsi: $y=f(g(h(x)))$

$$\frac{dy}{dx}=f'(g(h(x)))\cdot g'(h(x))\cdot h'(x)$$

Contoh Soal

▸ Mudah

Mudah 1

Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=(2x+1)^5$.

Pembahasan

Misalkan $u=2x+1$, maka $y=u^5$

$\dfrac{dy}{dx}=5u^4\cdot 2=10(2x+1)^4$

Mudah 2

Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=(3x-2)^4$.

Pembahasan

$f'(x)=4(3x-2)^3\cdot 3=12(3x-2)^3$

Mudah 3

Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=\sqrt{4x+1}=(4x+1)^{1/2}$.

Pembahasan

$f'(x)=\dfrac{1}{2}(4x+1)^{-1/2}\cdot 4=\dfrac{2}{\sqrt{4x+1}}$

Mudah 4

Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=e^{3x}$.

Pembahasan

$f'(x)=e^{3x}\cdot 3=3e^{3x}$

Mudah 5

Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=\sin(5x)$.

Pembahasan

$f'(x)=\cos(5x)\cdot 5=5\cos(5x)$

▸ Sedang

Sedang 1

Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=(x^2+3x)^4$.

Pembahasan

$f'(x)=4(x^2+3x)^3\cdot(2x+3)$

Sedang 2

Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=\cos(x^2)$.

Pembahasan

$f'(x)=-\sin(x^2)\cdot 2x=-2x\sin(x^2)$

Sedang 3

Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=e^{x^2+1}$.

Pembahasan

$f'(x)=e^{x^2+1}\cdot 2x=2xe^{x^2+1}$

Sedang 4

Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=\ln(x^2+1)$.

Pembahasan

$f'(x)=\dfrac{1}{x^2+1}\cdot 2x=\dfrac{2x}{x^2+1}$

Sedang 5

Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=\tan(2x+1)$.

Pembahasan

$f'(x)=\sec^2(2x+1)\cdot 2=2\sec^2(2x+1)$

▸ Sulit

Sulit 1

Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=\sin^3(2x+1)$.

Pembahasan

Rantai tiga lapis: luar $u^3$, tengah $\sin v$, dalam $2x+1$

$f'(x)=3\sin^2(2x+1)\cdot\cos(2x+1)\cdot 2=6\sin^2(2x+1)\cos(2x+1)$

Sulit 2

Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=e^{\sin(x^2)}$.

Pembahasan

$f'(x)=e^{\sin(x^2)}\cdot\cos(x^2)\cdot 2x=2x\cos(x^2)\,e^{\sin(x^2)}$

Sulit 3

Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=\ln(\cos(3x))$.

Pembahasan

$f'(x)=\dfrac{1}{\cos(3x)}\cdot(-\sin(3x))\cdot 3=-3\tan(3x)$

Sulit 4

Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=\sqrt{\sin(e^x)}$.

Pembahasan

$f(x)=[\sin(e^x)]^{1/2}$

$f'(x)=\dfrac{1}{2}[\sin(e^x)]^{-1/2}\cdot\cos(e^x)\cdot e^x$

$=\dfrac{e^x\cos(e^x)}{2\sqrt{\sin(e^x)}}$

Sulit 5

Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=\left(\dfrac{x^2+1}{x^2-1}\right)^3$.

Pembahasan

Misalkan $u=\dfrac{x^2+1}{x^2-1}$

$u’=\dfrac{2x(x^2-1)-2x(x^2+1)}{(x^2-1)^2}=\dfrac{-4x}{(x^2-1)^2}$

$f'(x)=3u^2\cdot u’=3\left(\dfrac{x^2+1}{x^2-1}\right)^2\cdot\dfrac{-4x}{(x^2-1)^2}$

$=\dfrac{-12x(x^2+1)^2}{(x^2-1)^4}$

Latihan Soal

▸ Mudah

Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=(4x-3)^6$.
Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=\sqrt{2x+5}$.
Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=e^{-2x}$.
Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=\cos(7x)$.
Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=(x+4)^{10}$.

▸ Sedang

Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=\sin(x^3-x)$.
Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=e^{\cos x}$.
Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=\ln(\sin x)$.
Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=(x^3+2x)^{-2}$.
Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=\sqrt{x^2+4x+4}$.

▸ Sulit

Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=\cos^4(\sin x)$.
Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=e^{\tan(x^2)}$.
Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=\ln\!\left(\sqrt{x^2+e^x}\right)$.
Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=\sin(e^{\cos x})$.
Tentukan $f'(x)$ jika $f(x)=\left(\ln(\sin x)\right)^2$.

Diferensial – Materi Matematika

Diferensial

Persamaan Garis Singgung & Kemonotonan Fungsi

📐 Persamaan Garis Singgung pada Kurva

Konsep Dasar

Garis singgung pada kurva $y = f(x)$ di titik $(x_1, y_1)$ adalah garis yang menyinggung kurva tepat di satu titik tersebut. Gradien garis singgung sama dengan nilai turunan fungsi di titik tersebut.

Rumus Persamaan Garis Singgung

Rumus Utama:

$$y – y_1 = m(x – x_1)$$

dengan:

$m = f'(x_1)$ → gradien garis singgung (turunan di $x_1$)
$(x_1, y_1)$ → titik singgung pada kurva
$y_1 = f(x_1)$

Langkah-langkah Menentukan Persamaan Garis Singgung

Tentukan turunan $f'(x)$
Hitung gradien $m = f'(x_1)$
Hitung $y_1 = f(x_1)$ jika belum diketahui
Substitusi ke rumus $y – y_1 = m(x – x_1)$

📝 Contoh Soal – Persamaan Garis Singgung

● Tingkat Mudah

Mudah

1. Tentukan persamaan garis singgung kurva $y = x^2$ di titik $x = 2$.

Pembahasan:

$f(x) = x^2$, maka $f'(x) = 2x$

Di $x = 2$: $m = f'(2) = 2(2) = 4$

$y_1 = f(2) = 2^2 = 4$, titik singgung $(2, 4)$

PGS: $y – 4 = 4(x – 2)$

$y = 4x – 8 + 4$

$y = 4x – 4$

Mudah

2. Tentukan persamaan garis singgung kurva $y = 3x^2$ di titik $x = 1$.

Pembahasan:

$f(x) = 3x^2$, maka $f'(x) = 6x$

Di $x = 1$: $m = f'(1) = 6$

$y_1 = f(1) = 3$, titik $(1, 3)$

PGS: $y – 3 = 6(x – 1)$

$y = 6x – 3$

Mudah

3. Tentukan persamaan garis singgung kurva $y = x^2 + 1$ di titik $x = 3$.

Pembahasan:

$f'(x) = 2x$

$m = f'(3) = 6$

$y_1 = 9 + 1 = 10$

PGS: $y – 10 = 6(x – 3)$

$y = 6x – 8$

Mudah

4. Tentukan persamaan garis singgung kurva $y = 2x^2 – x$ di titik $x = 1$.

Pembahasan:

$f'(x) = 4x – 1$

$m = f'(1) = 3$

$y_1 = 2(1) – 1 = 1$

PGS: $y – 1 = 3(x – 1)$

$y = 3x – 2$

Mudah

5. Tentukan persamaan garis singgung kurva $y = x^3$ di titik $x = 1$.

Pembahasan:

$f'(x) = 3x^2$

$m = f'(1) = 3$

$y_1 = 1$

PGS: $y – 1 = 3(x – 1)$

$y = 3x – 2$

● Tingkat Sedang

Sedang

1. Tentukan PGS kurva $y = x^3 – 3x + 2$ di titik dengan absis $x = 2$.

Pembahasan:

$f'(x) = 3x^2 – 3$

$m = f'(2) = 3(4) – 3 = 9$

$y_1 = 8 – 6 + 2 = 4$

PGS: $y – 4 = 9(x – 2)$

$y = 9x – 14$

Sedang

2. Tentukan PGS kurva $y = \frac{1}{x}$ di titik $x = 2$.

Pembahasan:

$f(x) = x^{-1}$, maka $f'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

$m = f'(2) = -\frac{1}{4}$

$y_1 = \frac{1}{2}$

PGS: $y – \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}(x – 2)$

$y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

$y = -\frac{1}{4}x + 1$

Sedang

3. Tentukan PGS kurva $y = \sqrt{x}$ di titik $x = 4$.

Pembahasan:

$f(x) = x^{1/2}$, maka $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$m = f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}$

$y_1 = \sqrt{4} = 2$

PGS: $y – 2 = \frac{1}{4}(x – 4)$

$y = \frac{1}{4}x + 1$

Sedang

4. Tentukan PGS kurva $y = x^2 – 4x + 3$ yang bergradien 2.

Pembahasan:

$f'(x) = 2x – 4$

Syarat: $f'(x) = 2 \Rightarrow 2x – 4 = 2 \Rightarrow x = 3$

$y_1 = 9 – 12 + 3 = 0$, titik $(3, 0)$

PGS: $y – 0 = 2(x – 3)$

$y = 2x – 6$

Sedang

5. Tentukan PGS kurva $y = 2x^2 + x – 1$ yang sejajar garis $y = 5x + 3$.

Pembahasan:

Garis sejajar → gradien sama, $m = 5$

$f'(x) = 4x + 1 = 5 \Rightarrow x = 1$

$y_1 = 2 + 1 – 1 = 2$

PGS: $y – 2 = 5(x – 1)$

$y = 5x – 3$

● Tingkat Sulit

Sulit

1. Tentukan PGS kurva $y = x^3 – 3x^2 + 2$ yang tegak lurus garis $x + 9y = 5$.

Pembahasan:

Garis: $y = -\frac{1}{9}x + \frac{5}{9}$, gradien $= -\frac{1}{9}$

Tegak lurus: $m_1 \cdot m_2 = -1 \Rightarrow m = 9$

$f'(x) = 3x^2 – 6x = 9$

$3x^2 – 6x – 9 = 0 \Rightarrow x^2 – 2x – 3 = 0$

$(x-3)(x+1) = 0 \Rightarrow x = 3$ atau $x = -1$

Untuk $x = 3$: $y_1 = 27 – 27 + 2 = 2$ → PGS: $y = 9x – 25$

Untuk $x = -1$: $y_1 = -1 – 3 + 2 = -2$ → PGS: $y = 9x + 7$

$y = 9x – 25$ atau $y = 9x + 7$

Sulit

2. Tentukan PGS kurva $y = x^2 – 2x + 3$ yang melalui titik $(0, -1)$.

Pembahasan:

Misalkan titik singgung $(a, a^2 – 2a + 3)$

$f'(x) = 2x – 2$, $m = 2a – 2$

PGS: $y – (a^2-2a+3) = (2a-2)(x-a)$

Melalui $(0,-1)$: $-1 – a^2 + 2a – 3 = (2a-2)(0-a)$

$-a^2 + 2a – 4 = -2a^2 + 2a$

$a^2 = 4 \Rightarrow a = 2$ atau $a = -2$

$a=2$: $m=2$, titik $(2,3)$ → $y = 2x – 1$

$a=-2$: $m=-6$, titik $(-2,11)$ → $y = -6x – 1$

$y = 2x – 1$ atau $y = -6x – 1$

Sulit

3. Tentukan PGS kurva $y = \frac{x+1}{x-1}$ di titik $x = 3$.

Pembahasan:

$f'(x) = \frac{(x-1)(1) – (x+1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$

$m = f'(3) = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

$y_1 = \frac{4}{2} = 2$

PGS: $y – 2 = -\frac{1}{2}(x – 3)$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$

Sulit

4. Tentukan PGS kurva $y = x^3 – 6x^2 + 9x + 1$ di titik-titik yang bergradien 0 (titik stasioner).

Pembahasan:

$f'(x) = 3x^2 – 12x + 9 = 0$

$x^2 – 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-3) = 0$

$x = 1$: $y = 1 – 6 + 9 + 1 = 5$ → PGS: $y = 5$

$x = 3$: $y = 27 – 54 + 27 + 1 = 1$ → PGS: $y = 1$

$y = 5$ dan $y = 1$ (garis horizontal)

Sulit

5. Tentukan PGS kurva $y = x^2 + 4x$ dan $y = x^2 – 2x + 4$ yang sejajar satu sama lain.

Pembahasan:

Kurva I: $f'(x) = 2x + 4$. Kurva II: $g'(x) = 2x – 2$

Sejajar → gradien sama: $2a + 4 = 2b – 2$ → $a = b – 3$

Gradien sama $= m$, maka $m = 2a + 4 = 2(b-3) + 4 = 2b – 2$

Garis singgung I di $x=a$: $y – (a^2+4a) = m(x-a)$

Garis singgung II di $x=b$: $y – (b^2-2b+4) = m(x-b)$

Sejajar dan sama → intercept sama: $-ma + a^2+4a = -mb + b^2-2b+4$

Substitusi $a = b-3$, $m = 2b-2$:

$-(2b-2)(b-3) + (b-3)^2 + 4(b-3) = -(2b-2)b + b^2-2b+4$

Setelah disederhanakan: $b = \frac{7}{2}$, $a = \frac{1}{2}$, $m = 5$

PGS: $y = 5x – \frac{9}{4}$

✏️ Latihan Soal – Persamaan Garis Singgung

● Mudah

1. Tentukan PGS kurva $y = x^2$ di titik $x = 3$.

2. Tentukan PGS kurva $y = 4x^2$ di titik $x = -1$.

3. Tentukan PGS kurva $y = x^2 – 5$ di titik $x = 2$.

4. Tentukan PGS kurva $y = x^3$ di titik $x = -1$.

5. Tentukan PGS kurva $y = 5x^2 + 2$ di titik $x = 1$.

● Sedang

1. Tentukan PGS kurva $y = x^3 – x$ yang bergradien $11$.

2. Tentukan PGS kurva $y = x^2 + 3x$ yang sejajar garis $y = 7x – 2$.

3. Tentukan PGS kurva $y = \frac{2}{x}$ di titik $x = 1$.

4. Tentukan PGS kurva $y = \sqrt{4x}$ di titik $x = 1$.

5. Tentukan PGS kurva $y = x^2 – 6x + 5$ di titik yang ordinatnya $= 0$.

● Sulit

1. Tentukan PGS kurva $y = x^3 + 2x$ yang tegak lurus garis $x + 5y = 10$.

2. Tentukan PGS kurva $y = x^2 – 3x + 5$ yang melalui titik $(1, -1)$.

3. Tentukan PGS kurva $y = \frac{x^2+1}{x-1}$ di titik $x = 2$.

4. Tentukan PGS kurva $y = x^4 – 2x^2$ di titik stasioner.

5. Dua kurva $y = x^2$ dan $y = -x^2 + 4x$ memiliki garis singgung yang sama. Tentukan PGS tersebut.

📈 Fungsi Naik dan Fungsi Turun (Kemonotonan)

Konsep Dasar

Kemonotonan fungsi menunjukkan perilaku fungsi apakah naik (increasing) atau turun (decreasing) pada suatu interval.

Definisi:

📈 Fungsi naik pada interval $(a,b)$ jika $f'(x) > 0$ untuk semua $x \in (a,b)$
📉 Fungsi turun pada interval $(a,b)$ jika $f'(x) < 0$ untuk semua $x \in (a,b)$
➡️ Fungsi konstan pada interval $(a,b)$ jika $f'(x) = 0$ untuk semua $x \in (a,b)$

Langkah Menentukan Interval Kemonotonan

Tentukan $f'(x)$
Cari titik stasioner: $f'(x) = 0$
Buat garis bilangan dan uji tanda $f'(x)$ pada setiap interval
Tentukan interval naik ($f'(x)>0$) dan turun ($f'(x)<0$)

Tabel Tanda (Contoh)

$x$	$x < a$	$x = a$	$a < x < b$	$x = b$	$x > b$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	↗ naik	maks	↘ turun	min	↗ naik

📝 Contoh Soal – Kemonotonan Fungsi

● Tingkat Mudah

Mudah

1. Tentukan interval fungsi naik dan turun dari $f(x) = x^2 – 4x$.

Pembahasan:

$f'(x) = 2x – 4 = 0 \Rightarrow x = 2$

Untuk $x < 2$: $f'(x) < 0$ → fungsi turun

Untuk $x > 2$: $f'(x) > 0$ → fungsi naik

Turun: $(-\infty, 2)$, Naik: $(2, \infty)$

Mudah

2. Tentukan interval kemonotonan $f(x) = x^2 + 6x + 5$.

Pembahasan:

$f'(x) = 2x + 6 = 0 \Rightarrow x = -3$

$x < -3$: $f'(x) < 0$ → turun

$x > -3$: $f'(x) > 0$ → naik

Turun: $(-\infty, -3)$, Naik: $(-3, \infty)$

Mudah

3. Tentukan interval fungsi naik $f(x) = -x^2 + 2x + 3$.

Pembahasan:

$f'(x) = -2x + 2 = 0 \Rightarrow x = 1$

$x < 1$: $f'(x) > 0$ → naik

$x > 1$: $f'(x) < 0$ → turun

Fungsi naik pada $(-\infty, 1)$

Mudah

4. Tentukan interval fungsi turun dari $f(x) = 3x^2 + 12x$.

Pembahasan:

$f'(x) = 6x + 12 = 0 \Rightarrow x = -2$

$x < -2$: $f'(x) < 0$ → turun

Fungsi turun pada $(-\infty, -2)$

Mudah

5. Apakah $f(x) = 2x + 5$ selalu naik?

Pembahasan:

$f'(x) = 2 > 0$ untuk semua $x$

Ya, $f(x) = 2x + 5$ selalu naik (monoton naik) pada $(-\infty, \infty)$

● Tingkat Sedang

Sedang

1. Tentukan interval kemonotonan $f(x) = x^3 – 3x$.

Pembahasan:

$f'(x) = 3x^2 – 3 = 3(x^2 – 1) = 3(x-1)(x+1) = 0$

$x = -1$ atau $x = 1$

$x < -1$: $f'(x) = 3(-)(-) = + > 0$ → naik

$-1 < x < 1$: $f'(x) = 3(+)(-) = – < 0$ → turun

$x > 1$: $f'(x) = 3(+)(+) = + > 0$ → naik

Naik: $(-\infty,-1) \cup (1,\infty)$, Turun: $(-1, 1)$

Sedang

2. Tentukan interval kemonotonan $f(x) = x^3 – 12x + 5$.

Pembahasan:

$f'(x) = 3x^2 – 12 = 3(x^2 – 4) = 3(x-2)(x+2) = 0$

$x = -2$ atau $x = 2$

$x < -2$: $f'(x) > 0$ → naik

$-2 < x < 2$: $f'(x) < 0$ → turun

$x > 2$: $f'(x) > 0$ → naik

Naik: $(-\infty,-2) \cup (2,\infty)$, Turun: $(-2, 2)$

Sedang

3. Tentukan interval fungsi naik dari $f(x) = 2x^3 – 9x^2 + 12x – 4$.

Pembahasan:

$f'(x) = 6x^2 – 18x + 12 = 6(x^2 – 3x + 2) = 6(x-1)(x-2) = 0$

$x = 1$ atau $x = 2$

$x < 1$: $f'(x) = 6(-)(-) > 0$ → naik

$1 < x < 2$: $f'(x) = 6(+)(-) < 0$ → turun

$x > 2$: $f'(x) = 6(+)(+) > 0$ → naik

Fungsi naik pada $(-\infty, 1) \cup (2, \infty)$

Sedang

4. Tentukan nilai $a$ agar $f(x) = x^3 – ax$ selalu naik.

Pembahasan:

$f'(x) = 3x^2 – a$

Agar selalu naik: $f'(x) \geq 0$ untuk semua $x$

$3x^2 – a \geq 0$ untuk semua $x$

Minimum $3x^2$ adalah $0$ (saat $x=0$), maka $-a \geq 0$

$a \leq 0$

Sedang

5. Tentukan interval kemonotonan $f(x) = x^4 – 8x^2$.

Pembahasan:

$f'(x) = 4x^3 – 16x = 4x(x^2-4) = 4x(x-2)(x+2) = 0$

$x = -2, 0, 2$

$x < -2$: $f'(x) = 4(-)(+)(-) = – < 0$ → turun

$-2 < x < 0$: $f'(x) = 4(-)(-)(−) = + > 0$ → naik

$0 < x < 2$: $f'(x) = 4(+)(-)(+)… $

Uji $x=1$: $4(1)(1-2)(1+2) = 4(1)(-1)(3) = -12 < 0$ → turun

$x > 2$: uji $x=3$: $4(3)(1)(5) = 60 > 0$ → naik

Naik: $(-2,0) \cup (2,\infty)$, Turun: $(-\infty,-2) \cup (0,2)$

● Tingkat Sulit

Sulit

1. Tentukan interval kemonotonan $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$ untuk $x \neq 1$.

Pembahasan:

$f'(x) = \frac{2x(x-1) – x^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2 – 2x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$

$(x-1)^2 > 0$ selalu (untuk $x \neq 1$)

Tanda $f'(x)$ ditentukan oleh $x(x-2)$: nol di $x=0$ dan $x=2$

$x < 0$: $(-)(-) > 0$ → naik

$0 < x < 1$: $(+)(-) < 0$ → turun

$1 < x < 2$: $(+)(-) < 0$ → turun

$x > 2$: $(+)(+) > 0$ → naik

Naik: $(-\infty,0) \cup (2,\infty)$, Turun: $(0,1) \cup (1,2)$

Sulit

2. Tentukan interval kemonotonan $f(x) = x\sqrt{4-x^2}$.

Pembahasan:

Domain: $-2 \leq x \leq 2$

$f'(x) = \sqrt{4-x^2} + x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}} = \sqrt{4-x^2} – \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}$

$= \frac{4-x^2-x^2}{\sqrt{4-x^2}} = \frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}$

$f'(x) = 0 \Rightarrow 4-2x^2 = 0 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$

$-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$: $f'(x) > 0$ → naik

$x < -\sqrt{2}$ atau $x > \sqrt{2}$: $f'(x) < 0$ → turun

Naik: $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$, Turun: $(-2,-\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2},2)$

Sulit

3. Tentukan nilai $p$ agar $f(x) = x^3 – 3px^2 + 3p^2x + 1$ selalu naik.

Pembahasan:

$f'(x) = 3x^2 – 6px + 3p^2 = 3(x^2 – 2px + p^2) = 3(x-p)^2$

$(x-p)^2 \geq 0$ untuk semua $x$, sehingga $f'(x) \geq 0$ untuk semua $x$

$f'(x) = 0$ hanya di $x = p$ (satu titik saja, bukan interval)

$f(x)$ selalu naik (monoton naik) untuk semua nilai $p \in \mathbb{R}$

Sulit

4. Tentukan interval kemonotonan $f(x) = x^3 – 3x^2 – 9x + 5$ dan tentukan nilai maksimum dan minimum lokal.

Pembahasan:

$f'(x) = 3x^2 – 6x – 9 = 3(x^2 – 2x – 3) = 3(x-3)(x+1) = 0$

$x = -1$ atau $x = 3$

$x < -1$: $f'(x) > 0$ → naik

$-1 < x < 3$: $f'(x) < 0$ → turun

$x > 3$: $f'(x) > 0$ → naik

Maks lokal di $x=-1$: $f(-1) = -1-3+9+5 = 10$

Min lokal di $x=3$: $f(3) = 27-27-27+5 = -22$

Naik: $(-\infty,-1)\cup(3,\infty)$, Turun: $(-1,3)$. Maks lokal: $10$, Min lokal: $-22$

Sulit

5. Tentukan interval di mana $f(x) = xe^{-x}$ naik dan turun.

Pembahasan:

$f'(x) = e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x}(1-x)$

Karena $e^{-x} > 0$ selalu, tanda $f'(x)$ ditentukan oleh $(1-x)$

$f'(x) = 0 \Rightarrow x = 1$

$x < 1$: $(1-x) > 0$ → $f'(x) > 0$ → naik

$x > 1$: $(1-x) < 0$ → $f'(x) < 0$ → turun

Naik: $(-\infty, 1)$, Turun: $(1, \infty)$

✏️ Latihan Soal – Kemonotonan Fungsi

● Mudah

1. Tentukan interval naik dan turun $f(x) = x^2 – 8x + 7$.

2. Tentukan interval naik $f(x) = -x^2 + 4x – 1$.

3. Tentukan interval turun $f(x) = x^2 + 2x$.

4. Apakah $f(x) = -3x + 7$ selalu turun? Jelaskan!

5. Tentukan interval kemonotonan $f(x) = 2x^2 – 4x + 1$.

● Sedang

1. Tentukan interval kemonotonan $f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x + 2$.

2. Tentukan interval kemonotonan $f(x) = 2x^3 + 3x^2 – 12x + 1$.

3. Tentukan interval fungsi naik dari $f(x) = x^3 – 3x^2 – 24x$.

4. Tentukan nilai $k$ agar $f(x) = x^2 – kx + 4$ turun pada interval $(0, 3)$.

5. Tentukan interval kemonotonan $f(x) = x^4 – 4x^3$.

● Sulit

1. Tentukan interval kemonotonan $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$.

2. Tentukan interval kemonotonan $f(x) = x^2 e^{-x}$.

3. Tentukan nilai $a$ dan $b$ agar $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$ memiliki titik stasioner di $x = 1$ dan $x = 3$.

4. Tentukan interval kemonotonan $f(x) = \ln(x^2 – 4x + 5)$.

5. Tentukan interval kemonotonan $f(x) = x – 2\sin x$ pada $[0, 2\pi]$.

Diferensial: Titik Stasioner & Jenis Ekstrim

Diferensial: Titik Stasioner & Jenis-Jenis Ekstrim

Materi Lengkap dengan Contoh Soal & Latihan

1. Pengertian Titik Stasioner

Titik stasioner suatu fungsi $f(x)$ adalah titik di mana turunan pertama fungsi tersebut bernilai nol:

\[ f'(x) = 0 \]

Pada titik stasioner, garis singgung kurva bersifat horizontal (gradien = 0). Titik stasioner bisa berupa:

Titik Maksimum Lokal — nilai fungsi tertinggi di sekitarnya
Titik Minimum Lokal — nilai fungsi terendah di sekitarnya
Titik Belok (Infleksi) — perubahan kecekungan kurva

Gambar: Kurva dengan titik maksimum dan minimum lokal

2. Cara Menentukan Titik Stasioner

Langkah-langkah menentukan titik stasioner:

Tentukan turunan pertama $f'(x)$
Selesaikan persamaan $f'(x) = 0$ untuk mendapatkan nilai $x$
Substitusikan nilai $x$ ke $f(x)$ untuk mendapatkan koordinat titik stasioner $(x, f(x))$
Tentukan jenis titik stasioner menggunakan uji turunan pertama atau kedua

Contoh Singkat:
Jika $f(x) = x^3 – 3x^2 + 4$, maka:
$f'(x) = 3x^2 – 6x = 3x(x-2)$
$f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0$ atau $x = 2$
Titik stasioner: $(0, 4)$ dan $(2, 0)$

3. Jenis-Jenis Ekstrim

a. Nilai Maksimum Lokal

Titik $(a, f(a))$ adalah maksimum lokal jika $f(a) \geq f(x)$ untuk semua $x$ di sekitar $a$.

Ciri: kurva naik sebelum titik dan turun setelah titik.

b. Nilai Minimum Lokal

Titik $(a, f(a))$ adalah minimum lokal jika $f(a) \leq f(x)$ untuk semua $x$ di sekitar $a$.

Ciri: kurva turun sebelum titik dan naik setelah titik.

c. Titik Belok (Infleksi)

Titik di mana kecekungan kurva berubah (dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah atau sebaliknya). Pada titik belok horizontal, $f'(x)=0$ tetapi tidak ada perubahan tanda.

Jenis	f'(x) sebelum	f'(x) sesudah
Maksimum	+ (naik)	− (turun)
Minimum	− (turun)	+ (naik)
Belok	+ atau −	+ atau − (sama)

4. Uji Turunan Pertama

Periksa perubahan tanda $f'(x)$ di sekitar titik stasioner:

Jika $f'(x)$ berubah dari positif ke negatif → Maksimum Lokal
Jika $f'(x)$ berubah dari negatif ke positif → Minimum Lokal
Jika $f'(x)$ tidak berubah tanda → Titik Belok

Contoh: $f(x) = x^3$, maka $f'(x) = 3x^2$.
$f'(0) = 0$. Periksa: $f'(-1)=3>0$, $f'(1)=3>0$.
Tanda tidak berubah → titik belok di $(0,0)$.

5. Uji Turunan Kedua

Gunakan $f”(x)$ pada titik stasioner $x = a$:

Jika $f”(a) < 0$ → Maksimum Lokal
Jika $f”(a) > 0$ → Minimum Lokal
Jika $f”(a) = 0$ → Uji tidak meyakinkan (gunakan uji turunan pertama)

Contoh: $f(x) = x^3 – 3x^2 + 4$
$f'(x) = 3x^2 – 6x$, $f”(x) = 6x – 6$
Titik stasioner: $x=0$ dan $x=2$
$f”(0) = -6 < 0$ → Maksimum di $(0, 4)$
$f”(2) = 6 > 0$ → Minimum di $(2, 0)$

6. Contoh Soal & Pembahasan

Tingkat Mudah

Mudah

Soal 1: Tentukan titik stasioner dari $f(x) = x^2 – 4x + 7$

▶ Lihat Pembahasan

Mudah

Soal 2: Tentukan titik stasioner dari $f(x) = -x^2 + 6x – 5$

▶ Lihat Pembahasan

Mudah

Soal 3: Tentukan titik stasioner dari $f(x) = x^2 + 2x + 1$

▶ Lihat Pembahasan

Mudah

Soal 4: Tentukan titik stasioner dari $f(x) = 3x^2 – 12x + 10$

▶ Lihat Pembahasan

Mudah

Soal 5: Tentukan titik stasioner dari $f(x) = -2x^2 + 8x$

▶ Lihat Pembahasan

Tingkat Sedang

Sedang

Soal 1: Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari $f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x + 1$

▶ Lihat Pembahasan

Sedang

Soal 2: Tentukan titik stasioner dari $f(x) = 2x^3 – 9x^2 + 12x – 4$

▶ Lihat Pembahasan

Sedang

Soal 3: Tentukan titik stasioner dari $f(x) = x^3 – 3x$ dan buat tabel tanda.

▶ Lihat Pembahasan

$f'(x) = 3x^2 – 3 = 3(x-1)(x+1)$

Titik stasioner: $x=-1$ dan $x=1$

Interval	$x<-1$	$x=-1$	$-1 <1$	$x=1$	$x>1$
$f'(x)$	+	0	−	0	+
Keterangan	Naik	Maks	Turun	Min	Naik

$f(-1)=2$ → Maks $(-1,2)$; $f(1)=-2$ → Min $(1,-2)$

Sedang

Soal 4: Tentukan titik stasioner dari $f(x) = x^4 – 4x^2$

▶ Lihat Pembahasan

Sedang

Soal 5: Tentukan titik stasioner dari $f(x) = \frac{x^3}{3} – \frac{x^2}{2} – 2x + 1$

▶ Lihat Pembahasan

Tingkat Sulit

Sulit

Soal 1: Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari $f(x) = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1$

▶ Lihat Pembahasan

Sulit

Soal 2: Tentukan semua titik stasioner dari $f(x) = x^5 – 5x^3$ dan klasifikasikan.

▶ Lihat Pembahasan

Sulit

Soal 3: Tentukan titik stasioner dari $f(x) = xe^{-x}$

▶ Lihat Pembahasan

Sulit

Soal 4: Tentukan titik stasioner dari $f(x) = x^2 \ln x$ untuk $x>0$

▶ Lihat Pembahasan

Sulit

Soal 5: Tentukan titik stasioner dari $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$ dan jenisnya.

▶ Lihat Pembahasan

7. Latihan Soal

Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri. Tentukan titik stasioner dan jenisnya!

Mudah

1 Tentukan titik stasioner dari $f(x) = x^2 – 10x + 25$

2 Tentukan titik stasioner dari $f(x) = -3x^2 + 12x – 7$

3 Tentukan titik stasioner dari $f(x) = 4x^2 + 8x + 3$

4 Tentukan titik stasioner dari $f(x) = -x^2 + 2x + 5$

5 Tentukan titik stasioner dari $f(x) = 5x^2 – 20x + 12$

Sedang

1 Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari $f(x) = x^3 – 12x + 5$

2 Tentukan titik stasioner dari $f(x) = 2x^3 + 3x^2 – 12x + 7$

3 Tentukan titik stasioner dari $f(x) = x^4 – 8x^2 + 16$

4 Buat tabel tanda dan tentukan jenis titik stasioner dari $f(x) = x^3 – 3x^2 – 9x + 2$

5 Tentukan titik stasioner dari $f(x) = \frac{x^3}{3} – 4x + 2$

Sulit

1 Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari $f(x) = x^4 – 4x^3$

2 Tentukan titik stasioner dari $f(x) = (x^2-1)e^{-x}$

3 Tentukan titik stasioner dari $f(x) = x\sqrt{4-x^2}$ pada domain $-2 \leq x \leq 2$

4 Tentukan titik stasioner dari $f(x) = \frac{x^2+1}{x^2-1}$ dan klasifikasikan jenisnya.

5 Tentukan titik stasioner dari $f(x) = x^3 e^{-2x}$ dan tentukan jenisnya.

Diferensial – Nilai Maksimum dan Minimum

Diferensial

Nilai Maksimum dan Nilai Minimum Suatu Fungsi dalam Interval Tertutup

📘 Materi

1. Pengertian Nilai Maksimum dan Minimum

Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi $f(x)$ pada interval tertutup $[a, b]$ adalah nilai terbesar dan terkecil yang dicapai fungsi tersebut pada interval itu.

Teorema Nilai Ekstrem:

Jika $f$ kontinu pada interval tertutup $[a, b]$, maka $f$ memiliki nilai maksimum absolut dan nilai minimum absolut pada $[a, b]$.

2. Langkah-langkah Mencari Nilai Maksimum dan Minimum

Tentukan turunan pertama $f'(x)$.
Cari titik kritis, yaitu nilai $x$ di mana $f'(x) = 0$ atau $f'(x)$ tidak ada, yang terletak di dalam interval $(a, b)$.
Hitung nilai fungsi $f(x)$ di setiap titik kritis dan di kedua ujung interval, yaitu $f(a)$ dan $f(b)$.
Bandingkan semua nilai tersebut. Nilai terbesar adalah maksimum absolut, nilai terkecil adalah minimum absolut.

3. Titik Kritis (Critical Points)

Titik kritis $x = c$ terjadi jika:

f'(c) = 0 \quad \text{atau} \quad f'(c) \text{ tidak terdefinisi}

4. Contoh Ilustrasi

Diberikan $f(x) = x^2 – 4x + 3$ pada $[0, 4]$.

Langkah 1: $f'(x) = 2x – 4$

Langkah 2: $f'(x) = 0 \Rightarrow 2x – 4 = 0 \Rightarrow x = 2$ (terletak di $(0,4)$)

Langkah 3:

$f(0) = 0 – 0 + 3 = 3$
$f(2) = 4 – 8 + 3 = -1$
$f(4) = 16 – 16 + 3 = 3$

Langkah 4: Maksimum = 3 (di $x=0$ dan $x=4$), Minimum = −1 (di $x=2$)

5. Grafik Ilustrasi

6. Tabel Ringkasan Metode

Langkah	Keterangan
1	Hitung $f'(x)$
2	Selesaikan $f'(x)=0$, cari titik kritis di $(a,b)$
3	Evaluasi $f$ di titik kritis dan ujung interval
4	Bandingkan: terbesar = maks, terkecil = min

📝 Contoh Soal dan Pembahasan

🟢 Tingkat Mudah

Soal 1:

Tentukan nilai maksimum dan minimum $f(x) = 2x + 1$ pada $[0, 3]$.

Lihat Pembahasan

$f'(x) = 2$, tidak ada titik kritis (f’ tidak pernah nol).

$f(0) = 1$, $f(3) = 7$

Maksimum = 7 di $x=3$, Minimum = 1 di $x=0$.

Soal 2:

Tentukan nilai maksimum dan minimum $f(x) = x^2$ pada $[-2, 2]$.

Lihat Pembahasan

$f'(x) = 2x = 0 \Rightarrow x = 0$

$f(-2) = 4$, $f(0) = 0$, $f(2) = 4$

Maksimum = 4 di $x = \pm 2$, Minimum = 0 di $x=0$.

Soal 3:

Tentukan nilai maksimum dan minimum $f(x) = -x^2 + 4x$ pada $[0, 4]$.

Lihat Pembahasan

$f'(x) = -2x + 4 = 0 \Rightarrow x = 2$

$f(0) = 0$, $f(2) = -4+8 = 4$, $f(4) = -16+16 = 0$

Maksimum = 4 di $x=2$, Minimum = 0 di $x=0$ dan $x=4$.

Soal 4:

Tentukan nilai maksimum dan minimum $f(x) = 3x – x^2$ pada $[0, 3]$.

Lihat Pembahasan

$f'(x) = 3 – 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$

$f(0) = 0$, $f(\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} – \frac{9}{4} = \frac{9}{4}$, $f(3) = 9 – 9 = 0$

Maksimum = $\frac{9}{4}$ di $x=\frac{3}{2}$, Minimum = 0 di $x=0$ dan $x=3$.

Soal 5:

Tentukan nilai maksimum dan minimum $f(x) = x^2 + 2x$ pada $[-3, 1]$.

Lihat Pembahasan

$f'(x) = 2x + 2 = 0 \Rightarrow x = -1$

$f(-3) = 9 – 6 = 3$, $f(-1) = 1 – 2 = -1$, $f(1) = 1 + 2 = 3$

Maksimum = 3 di $x=-3$ dan $x=1$, Minimum = -1 di $x=-1$.

🟡 Tingkat Sedang

Soal 1:

Tentukan nilai maksimum dan minimum $f(x) = x^3 – 3x + 2$ pada $[-2, 2]$.

Lihat Pembahasan

$f'(x) = 3x^2 – 3 = 3(x^2 – 1) = 0 \Rightarrow x = \pm 1$

$f(-2) = -8 + 6 + 2 = 0$

$f(-1) = -1 + 3 + 2 = 4$

$f(1) = 1 – 3 + 2 = 0$

$f(2) = 8 – 6 + 2 = 4$

Maksimum = 4 di $x=-1$ dan $x=2$, Minimum = 0 di $x=-2$ dan $x=1$.

Soal 2:

Tentukan nilai maksimum dan minimum $f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x + 1$ pada $[0, 4]$.

Lihat Pembahasan

$f'(x) = 3x^2 – 12x + 9 = 3(x^2 – 4x + 3) = 3(x-1)(x-3) = 0$

Titik kritis: $x = 1$ dan $x = 3$

$f(0) = 1$, $f(1) = 1-6+9+1 = 5$, $f(3) = 27-54+27+1 = 1$, $f(4) = 64-96+36+1 = 5$

Maksimum = 5 di $x=1$ dan $x=4$, Minimum = 1 di $x=0$ dan $x=3$.

Soal 3:

Tentukan nilai maksimum dan minimum $f(x) = 2x^3 – 9x^2 + 12x$ pada $[0, 3]$.

Lihat Pembahasan

$f'(x) = 6x^2 – 18x + 12 = 6(x^2 – 3x + 2) = 6(x-1)(x-2) = 0$

Titik kritis: $x=1$, $x=2$

$f(0) = 0$, $f(1) = 2-9+12 = 5$, $f(2) = 16-36+24 = 4$, $f(3) = 54-81+36 = 9$

Maksimum = 9 di $x=3$, Minimum = 0 di $x=0$.

Soal 4:

Tentukan nilai maksimum dan minimum $f(x) = \frac{x^2}{x+1}$ pada $[0, 2]$.

Lihat Pembahasan

Menggunakan aturan hasil bagi:

$f'(x) = \frac{2x(x+1) – x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)^2}$

Di $[0,2]$: $f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0$ (ujung interval)

$f(0) = 0$, $f(2) = \frac{4}{3}$

Maksimum = $\frac{4}{3}$ di $x=2$, Minimum = 0 di $x=0$.

Soal 5:

Tentukan nilai maksimum dan minimum $f(x) = x^4 – 8x^2 + 3$ pada $[-3, 3]$.

Lihat Pembahasan

$f'(x) = 4x^3 – 16x = 4x(x^2 – 4) = 4x(x-2)(x+2) = 0$

Titik kritis: $x = 0, \pm 2$

$f(-3) = 81 – 72 + 3 = 12$

$f(-2) = 16 – 32 + 3 = -13$

$f(0) = 3$

$f(2) = 16 – 32 + 3 = -13$

$f(3) = 81 – 72 + 3 = 12$

Maksimum = 12 di $x=\pm 3$, Minimum = -13 di $x=\pm 2$.

🔴 Tingkat Sulit

Soal 1:

Tentukan nilai maksimum dan minimum $f(x) = x\sqrt{4-x^2}$ pada $[-2, 2]$.

Lihat Pembahasan

Gunakan aturan perkalian. Misal $u = x$, $v = \sqrt{4-x^2}$

$f'(x) = \sqrt{4-x^2} + x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}} = \sqrt{4-x^2} – \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}$

$= \frac{4-x^2-x^2}{\sqrt{4-x^2}} = \frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}} = 0$

$4 – 2x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$

$f(-2) = 0$, $f(-\sqrt{2}) = -\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = -2$, $f(\sqrt{2}) = \sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 2$, $f(2) = 0$

Maksimum = 2 di $x=\sqrt{2}$, Minimum = -2 di $x=-\sqrt{2}$.

Soal 2:

Tentukan nilai maksimum dan minimum $f(x) = x^{2/3}(x-5)$ pada $[-1, 5]$.

Lihat Pembahasan

$f(x) = x^{5/3} – 5x^{2/3}$

$f'(x) = \frac{5}{3}x^{2/3} – \frac{10}{3}x^{-1/3} = \frac{5x – 10}{3x^{1/3}} = \frac{5(x-2)}{3x^{1/3}}$

$f'(x) = 0 \Rightarrow x = 2$; $f'(x)$ tidak terdefinisi di $x = 0$.

Titik kritis: $x = 0$ dan $x = 2$

$f(-1) = 1\cdot(-6) = -6$

$f(0) = 0$

$f(2) = 2^{2/3}(2-5) = -3\cdot 2^{2/3} \approx -4{,}76$

$f(5) = 5^{2/3}(0) = 0$

Maksimum = 0 di $x=0$ dan $x=5$, Minimum = -6 di $x=-1$.

Soal 3:

Tentukan nilai maksimum dan minimum $f(x) = \sin x + \cos x$ pada $[0, 2\pi]$.

Lihat Pembahasan

$f'(x) = \cos x – \sin x = 0 \Rightarrow \tan x = 1$

$x = \frac{\pi}{4}$ dan $x = \frac{5\pi}{4}$

$f(0) = 0 + 1 = 1$

$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \approx 1{,}41$

$f(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} – \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} \approx -1{,}41$

$f(2\pi) = 0 + 1 = 1$

Maksimum = $\sqrt{2}$ di $x=\frac{\pi}{4}$, Minimum = $-\sqrt{2}$ di $x=\frac{5\pi}{4}$.

Soal 4:

Tentukan nilai maksimum dan minimum $f(x) = xe^{-x}$ pada $[0, 4]$.

Lihat Pembahasan

$f'(x) = e^{-x} – xe^{-x} = e^{-x}(1-x) = 0 \Rightarrow x = 1$

$f(0) = 0$

$f(1) = e^{-1} = \frac{1}{e} \approx 0{,}368$

$f(4) = 4e^{-4} \approx 0{,}073$

Maksimum = $\frac{1}{e}$ di $x=1$, Minimum = 0 di $x=0$.

Soal 5:

Tentukan nilai maksimum dan minimum $f(x) = x^3 – 3x^2 – 9x + 5$ pada $[-2, 4]$.

Lihat Pembahasan

$f'(x) = 3x^2 – 6x – 9 = 3(x^2 – 2x – 3) = 3(x-3)(x+1) = 0$

Titik kritis: $x = -1$ dan $x = 3$

$f(-2) = -8 – 12 + 18 + 5 = 3$

$f(-1) = -1 – 3 + 9 + 5 = 10$

$f(3) = 27 – 27 – 27 + 5 = -22$

$f(4) = 64 – 48 – 36 + 5 = -15$

Maksimum = 10 di $x=-1$, Minimum = -22 di $x=3$.

✏️ Latihan Soal

Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan.

🟢 Tingkat Mudah

1. Tentukan nilai maksimum dan minimum $f(x) = 5 – 3x$ pada $[-1, 2]$.

2. Tentukan nilai maksimum dan minimum $f(x) = x^2 – 6x + 8$ pada $[1, 5]$.

3. Tentukan nilai maksimum dan minimum $f(x) = -2x^2 + 8x$ pada $[0, 5]$.

4. Tentukan nilai maksimum dan minimum $f(x) = x^2 + 4x + 1$ pada $[-4, 0]$.

5. Tentukan nilai maksimum dan minimum $f(x) = 4x – x^2$ pada $[0, 4]$.

🟡 Tingkat Sedang

1. Tentukan nilai maksimum dan minimum $f(x) = x^3 – 12x + 1$ pada $[-3, 3]$.

2. Tentukan nilai maksimum dan minimum $f(x) = 2x^3 – 3x^2 – 12x + 5$ pada $[-2, 3]$.

3. Tentukan nilai maksimum dan minimum $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ pada $[-2, 2]$.

4. Tentukan nilai maksimum dan minimum $f(x) = x^4 – 2x^2 + 1$ pada $[-2, 2]$.

5. Tentukan nilai maksimum dan minimum $f(x) = x^3 – 3x^2 + 4$ pada $[-1, 3]$.

🔴 Tingkat Sulit

1. Tentukan nilai maksimum dan minimum $f(x) = x^2 \ln x$ pada $[1, e]$.

2. Tentukan nilai maksimum dan minimum $f(x) = 2\sin x + \sin 2x$ pada $[0, \pi]$.

3. Tentukan nilai maksimum dan minimum $f(x) = \frac{x^2 – 1}{x^2 + 1}$ pada $[-3, 3]$.

4. Tentukan nilai maksimum dan minimum $f(x) = x – 2\arctan x$ pada $[0, 4]$.

5. Tentukan nilai maksimum dan minimum $f(x) = (x^2 – 4)^{2/3}$ pada $[-3, 3]$.

Diferensial – Kecekungan dan Titik Belok

Diferensial

Kecekungan Fungsi Kontinu & Titik Belok Suatu Fungsi Kontinu

A. Kecekungan Fungsi Kontinu (Concavity)

1. Pengertian Kecekungan

Kecekungan (concavity) menggambarkan arah lengkungan grafik suatu fungsi. Untuk menentukan kecekungan, kita menggunakan turunan kedua $ f”(x) $.

Definisi:

Fungsi $ f(x) $ cekung ke atas (concave up) pada interval $ I $ jika $ f”(x) > 0 $ untuk semua $ x \in I $.
Fungsi $ f(x) $ cekung ke bawah (concave down) pada interval $ I $ jika $ f”(x) < 0 $ untuk semua $ x \in I $.

Ilustrasi Kecekungan

2. Langkah Menentukan Kecekungan

Tentukan turunan pertama $ f'(x) $
Tentukan turunan kedua $ f”(x) $
Cari nilai $ x $ dimana $ f”(x) = 0 $ atau tidak terdefinisi
Buat garis bilangan dan uji tanda $ f”(x) $ pada setiap interval
Tentukan kecekungan berdasarkan tanda $ f”(x) $

Kondisi	Kecekungan	Bentuk Grafik
$ f”(x) > 0 $	Cekung ke atas	∪ (seperti mangkuk)
$ f”(x) < 0 $	Cekung ke bawah	∩ (seperti bukit)

Contoh Soal: Kecekungan Fungsi

Tingkat Mudah

Mudah 1

Soal: Tentukan interval kecekungan dari $ f(x) = x^2 $.

Pembahasan:

$ f'(x) = 2x $

$ f”(x) = 2 $

Karena $ f”(x) = 2 > 0 $ untuk semua $ x $, maka fungsi cekung ke atas pada $ (-\infty, \infty) $.

Mudah 2

Soal: Tentukan interval kecekungan dari $ f(x) = -x^2 + 4x $.

Pembahasan:

$ f'(x) = -2x + 4 $

$ f”(x) = -2 $

Karena $ f”(x) = -2 < 0 $ untuk semua $ x $, maka fungsi cekung ke bawah pada $ (-\infty, \infty) $.

Mudah 3

Soal: Tentukan interval kecekungan dari $ f(x) = x^3 $.

Pembahasan:

$ f'(x) = 3x^2 $

$ f”(x) = 6x $

$ f”(x) = 0 \Rightarrow x = 0 $

Untuk $ x < 0 $: $ f”(x) < 0 $ → cekung ke bawah

Untuk $ x > 0 $: $ f”(x) > 0 $ → cekung ke atas

Jawaban: Cekung ke bawah pada $ (-\infty, 0) $, cekung ke atas pada $ (0, \infty) $.

Mudah 4

Soal: Tentukan kecekungan $ f(x) = 3x^2 + 6x – 1 $.

Pembahasan:

$ f'(x) = 6x + 6 $

$ f”(x) = 6 $

Karena $ f”(x) = 6 > 0 $ selalu, fungsi cekung ke atas pada $ (-\infty, \infty) $.

Mudah 5

Soal: Tentukan kecekungan $ f(x) = -3x^2 + 2x + 5 $.

Pembahasan:

$ f'(x) = -6x + 2 $

$ f”(x) = -6 $

Karena $ f”(x) = -6 < 0 $ selalu, fungsi cekung ke bawah pada $ (-\infty, \infty) $.

Tingkat Sedang

Sedang 1

Soal: Tentukan interval kecekungan dari $ f(x) = x^3 – 3x^2 + 2 $.

Pembahasan:

$ f'(x) = 3x^2 – 6x $

$ f”(x) = 6x – 6 $

$ f”(x) = 0 \Rightarrow 6x – 6 = 0 \Rightarrow x = 1 $

Uji tanda:

• $ x < 1 $, misal $ x = 0 $: $ f”(0) = -6 < 0 $ → cekung ke bawah

• $ x > 1 $, misal $ x = 2 $: $ f”(2) = 6 > 0 $ → cekung ke atas

Jawaban: Cekung ke bawah pada $ (-\infty, 1) $, cekung ke atas pada $ (1, \infty) $.

Sedang 2

Soal: Tentukan interval kecekungan dari $ f(x) = x^4 – 4x^2 $.

Pembahasan:

$ f'(x) = 4x^3 – 8x $

$ f”(x) = 12x^2 – 8 $

$ f”(x) = 0 \Rightarrow 12x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3} $

Uji tanda:

• $ x < -\frac{\sqrt{6}}{3} $: $ f”(-2) = 12(4)-8 = 40 > 0 $ → cekung ke atas

• $ -\frac{\sqrt{6}}{3} < x < \frac{\sqrt{6}}{3} $: $ f”(0) = -8 < 0 $ → cekung ke bawah

• $ x > \frac{\sqrt{6}}{3} $: $ f”(2) = 40 > 0 $ → cekung ke atas

Sedang 3

Soal: Tentukan interval kecekungan dari $ f(x) = 2x^3 + 3x^2 – 12x + 1 $.

Pembahasan:

$ f'(x) = 6x^2 + 6x – 12 $

$ f”(x) = 12x + 6 $

$ f”(x) = 0 \Rightarrow 12x + 6 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} $

• $ x < -\frac{1}{2} $: $ f”(-1) = -6 < 0 $ → cekung ke bawah

• $ x > -\frac{1}{2} $: $ f”(0) = 6 > 0 $ → cekung ke atas

Jawaban: Cekung ke bawah pada $ (-\infty, -\frac{1}{2}) $, cekung ke atas pada $ (-\frac{1}{2}, \infty) $.

Sedang 4

Soal: Tentukan interval kecekungan dari $ f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x + 2 $.

Pembahasan:

$ f'(x) = 3x^2 – 12x + 9 $

$ f”(x) = 6x – 12 $

$ f”(x) = 0 \Rightarrow x = 2 $

• $ x < 2 $: $ f”(0) = -12 < 0 $ → cekung ke bawah

• $ x > 2 $: $ f”(3) = 6 > 0 $ → cekung ke atas

Jawaban: Cekung ke bawah pada $ (-\infty, 2) $, cekung ke atas pada $ (2, \infty) $.

Sedang 5

Soal: Tentukan interval kecekungan dari $ f(x) = \frac{x^3}{3} – \frac{x^2}{2} – 2x + 3 $.

Pembahasan:

$ f'(x) = x^2 – x – 2 $

$ f”(x) = 2x – 1 $

$ f”(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} $

• $ x < \frac{1}{2} $: $ f”(0) = -1 < 0 $ → cekung ke bawah

• $ x > \frac{1}{2} $: $ f”(1) = 1 > 0 $ → cekung ke atas

Jawaban: Cekung ke bawah pada $ (-\infty, \frac{1}{2}) $, cekung ke atas pada $ (\frac{1}{2}, \infty) $.

Tingkat Sulit

Sulit 1

Soal: Tentukan interval kecekungan dari $ f(x) = x^4 – 6x^2 + 8x + 1 $.

Pembahasan:

$ f'(x) = 4x^3 – 12x + 8 $

$ f”(x) = 12x^2 – 12 $

$ f”(x) = 0 \Rightarrow 12(x^2 – 1) = 0 \Rightarrow x = \pm 1 $

Uji tanda:

• $ x < -1 $: $ f”(-2) = 12(4)-12 = 36 > 0 $ → cekung ke atas

• $ -1 < x < 1 $: $ f”(0) = -12 < 0 $ → cekung ke bawah

• $ x > 1 $: $ f”(2) = 36 > 0 $ → cekung ke atas

Jawaban: Cekung ke atas pada $ (-\infty,-1) \cup (1,\infty) $, cekung ke bawah pada $ (-1,1) $.

Sulit 2

Soal: Tentukan interval kecekungan dari $ f(x) = \frac{x}{x^2+1} $.

Pembahasan:

$ f'(x) = \frac{(x^2+1)(1) – x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2} $

$ f”(x) = \frac{-2x(x^2+1)^2 – (1-x^2)\cdot 2(x^2+1)(2x)}{(x^2+1)^4} $

Setelah disederhanakan: $ f”(x) = \frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3} $

$ f”(x) = 0 \Rightarrow x = 0 $ atau $ x = \pm\sqrt{3} $

Uji tanda pada interval $ (-\infty,-\sqrt{3}), (-\sqrt{3},0), (0,\sqrt{3}), (\sqrt{3},\infty) $:

• $ x < -\sqrt{3} $: negatif → cekung ke bawah

• $ -\sqrt{3} < x < 0 $: positif → cekung ke atas

• $ 0 < x < \sqrt{3} $: negatif → cekung ke bawah

• $ x > \sqrt{3} $: positif → cekung ke atas

Sulit 3

Soal: Tentukan interval kecekungan dari $ f(x) = x^2 \ln x $ untuk $ x > 0 $.

Pembahasan:

$ f'(x) = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x\ln x + x $

$ f”(x) = 2\ln x + 2x\cdot\frac{1}{x} + 1 = 2\ln x + 3 $

$ f”(x) = 0 \Rightarrow 2\ln x + 3 = 0 \Rightarrow \ln x = -\frac{3}{2} \Rightarrow x = e^{-3/2} $

• $ 0 < x < e^{-3/2} $: $ f”(x) < 0 $ → cekung ke bawah

• $ x > e^{-3/2} $: $ f”(x) > 0 $ → cekung ke atas

Sulit 4

Soal: Tentukan interval kecekungan dari $ f(x) = xe^{-x} $.

Pembahasan:

$ f'(x) = e^{-x} – xe^{-x} = e^{-x}(1-x) $

$ f”(x) = -e^{-x}(1-x) + e^{-x}(-1) = e^{-x}(x-2) $

$ f”(x) = 0 \Rightarrow x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2 $ (karena $ e^{-x} > 0 $ selalu)

• $ x < 2 $: $ f”(0) = e^0(-2) = -2 < 0 $ → cekung ke bawah

• $ x > 2 $: $ f”(3) = e^{-3}(1) > 0 $ → cekung ke atas

Sulit 5

Soal: Tentukan interval kecekungan dari $ f(x) = x^5 – 5x^4 + 5x^3 + 1 $.

Pembahasan:

$ f'(x) = 5x^4 – 20x^3 + 15x^2 $

$ f”(x) = 20x^3 – 60x^2 + 30x = 10x(2x^2 – 6x + 3) $

$ f”(x) = 0 \Rightarrow x = 0 $ atau $ 2x^2 – 6x + 3 = 0 $

Untuk $ 2x^2 – 6x + 3 = 0 $: $ x = \frac{6 \pm \sqrt{36-24}}{4} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2} $

$ x_1 = \frac{3-\sqrt{3}}{2} \approx 0.63 $, $ x_2 = \frac{3+\sqrt{3}}{2} \approx 2.37 $

Uji tanda pada 4 interval untuk menentukan kecekungan di masing-masing interval.

• $ (-\infty, 0) $: cekung ke bawah

• $ (0, x_1) $: cekung ke atas

• $ (x_1, x_2) $: cekung ke bawah

• $ (x_2, \infty) $: cekung ke atas

Latihan Soal: Kecekungan

Kerjakan tanpa melihat pembahasan. Tentukan interval kecekungan dari fungsi berikut.

Mudah

1. $ f(x) = 5x^2 – 3x + 1 $

2. $ f(x) = -2x^2 + 7x $

3. $ f(x) = x^3 + 6x $

4. $ f(x) = 4x^2 – x + 2 $

5. $ f(x) = -x^3 $

Sedang

1. $ f(x) = x^3 – 9x^2 + 24x – 10 $

2. $ f(x) = 2x^3 – 3x^2 – 36x + 5 $

3. $ f(x) = x^4 – 8x^2 + 16 $

4. $ f(x) = \frac{x^3}{3} – 2x^2 + 3x $

5. $ f(x) = x^3 + 3x^2 – 9x + 4 $

Sulit

1. $ f(x) = \frac{x^2}{x+1} $ untuk $ x \neq -1 $

2. $ f(x) = x^2 e^{-x} $

3. $ f(x) = \ln(x^2 + 1) $

4. $ f(x) = x^4 – 4x^3 + 6x^2 $

5. $ f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+1} $

B. Titik Belok (Inflection Point)

1. Pengertian Titik Belok

Titik belok adalah titik pada grafik fungsi dimana kecekungan berubah, yaitu dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah, atau sebaliknya.

Definisi:

Titik $ (c, f(c)) $ disebut titik belok dari $ f(x) $ jika:

$ f”(c) = 0 $ atau $ f”(c) $ tidak terdefinisi, DAN
$ f”(x) $ berubah tanda di sekitar $ x = c $ (dari positif ke negatif atau sebaliknya)

⚠️ Penting:

$ f”(c) = 0 $ saja belum cukup untuk menjamin titik belok. Harus dibuktikan bahwa $ f”(x) $ berubah tanda di sekitar $ x = c $.

Contoh: $ f(x) = x^4 $ memiliki $ f”(0) = 0 $ tetapi $ x = 0 $ bukan titik belok karena $ f”(x) = 12x^2 \geq 0 $ selalu.

Ilustrasi Titik Belok

2. Langkah Menentukan Titik Belok

Hitung $ f'(x) $ dan $ f”(x) $
Selesaikan $ f”(x) = 0 $ untuk mendapatkan kandidat titik belok $ x = c $
Uji perubahan tanda $ f”(x) $ di sekitar $ x = c $
Jika tanda berubah, maka $ (c, f(c)) $ adalah titik belok
Hitung $ f(c) $ untuk mendapatkan koordinat lengkap

Contoh Soal: Titik Belok

Tingkat Mudah

Mudah 1

Soal: Tentukan titik belok dari $ f(x) = x^3 $.

Pembahasan:

$ f'(x) = 3x^2 $, $ f”(x) = 6x $

$ f”(x) = 0 \Rightarrow x = 0 $

Uji tanda: $ f”(-1) = -6 < 0 $, $ f”(1) = 6 > 0 $ → tanda berubah ✓

$ f(0) = 0 $

Titik belok: $ (0, 0) $

Mudah 2

Soal: Tentukan titik belok dari $ f(x) = x^3 – 3x $.

Pembahasan:

$ f'(x) = 3x^2 – 3 $, $ f”(x) = 6x $

$ f”(x) = 0 \Rightarrow x = 0 $

Uji tanda: berubah dari negatif ke positif ✓

$ f(0) = 0 $

Titik belok: $ (0, 0) $

Mudah 3

Soal: Tentukan titik belok dari $ f(x) = x^3 + 6x^2 $.

Pembahasan:

$ f'(x) = 3x^2 + 12x $, $ f”(x) = 6x + 12 $

$ f”(x) = 0 \Rightarrow 6x + 12 = 0 \Rightarrow x = -2 $

Uji: $ f”(-3) = -6 < 0 $, $ f”(0) = 12 > 0 $ → berubah tanda ✓

$ f(-2) = (-8) + 6(4) = 16 $

Titik belok: $ (-2, 16) $

Mudah 4

Soal: Tentukan titik belok dari $ f(x) = x^3 – 12x + 1 $.

Pembahasan:

$ f'(x) = 3x^2 – 12 $, $ f”(x) = 6x $

$ f”(x) = 0 \Rightarrow x = 0 $

Tanda berubah dari negatif ke positif ✓

$ f(0) = 1 $

Titik belok: $ (0, 1) $

Mudah 5

Soal: Tentukan titik belok dari $ f(x) = -x^3 + 3x^2 + 1 $.

Pembahasan:

$ f'(x) = -3x^2 + 6x $, $ f”(x) = -6x + 6 $

$ f”(x) = 0 \Rightarrow -6x + 6 = 0 \Rightarrow x = 1 $

Uji: $ f”(0) = 6 > 0 $, $ f”(2) = -6 < 0 $ → berubah tanda ✓

$ f(1) = -1 + 3 + 1 = 3 $

Titik belok: $ (1, 3) $

Tingkat Sedang

Sedang 1

Soal: Tentukan titik belok dari $ f(x) = x^3 – 3x^2 + 2x + 1 $.

Pembahasan:

$ f'(x) = 3x^2 – 6x + 2 $, $ f”(x) = 6x – 6 $

$ f”(x) = 0 \Rightarrow x = 1 $

Uji: $ f”(0) = -6 < 0 $, $ f”(2) = 6 > 0 $ → berubah tanda ✓

$ f(1) = 1 – 3 + 2 + 1 = 1 $

Titik belok: $ (1, 1) $

Sedang 2

Soal: Tentukan titik belok dari $ f(x) = x^4 – 4x^3 + 6x^2 $.

Pembahasan:

$ f'(x) = 4x^3 – 12x^2 + 12x $

$ f”(x) = 12x^2 – 24x + 12 = 12(x^2 – 2x + 1) = 12(x-1)^2 $

$ f”(x) = 0 \Rightarrow x = 1 $

Uji: $ f”(0) = 12 > 0 $, $ f”(2) = 12 > 0 $ → tanda TIDAK berubah ✗

Tidak ada titik belok. (Meskipun $ f”(1) = 0 $, tanda tidak berubah)

Sedang 3

Soal: Tentukan titik belok dari $ f(x) = 3x^4 – 4x^3 + 1 $.

Pembahasan:

$ f'(x) = 12x^3 – 12x^2 $

$ f”(x) = 36x^2 – 24x = 12x(3x – 2) $

$ f”(x) = 0 \Rightarrow x = 0 $ atau $ x = \frac{2}{3} $

Uji tanda:

• $ x < 0 $: $ f”(-1) = 36+24 = 60 > 0 $

• $ 0 < x < \frac{2}{3} $: $ f”(\frac{1}{3}) = 12(\frac{1}{3})(1-2) = -4 < 0 $

• $ x > \frac{2}{3} $: $ f”(1) = 12 > 0 $

Tanda berubah di $ x = 0 $ dan $ x = \frac{2}{3} $ ✓

$ f(0) = 1 $, $ f(\frac{2}{3}) = 3\cdot\frac{16}{81} – 4\cdot\frac{8}{27} + 1 = \frac{16}{27} – \frac{32}{27} + 1 = \frac{11}{27} $

Titik belok: $ (0, 1) $ dan $ \left(\frac{2}{3}, \frac{11}{27}\right) $

Sedang 4

Soal: Tentukan titik belok dari $ f(x) = x^4 – 6x^2 + 8 $.

Pembahasan:

$ f'(x) = 4x^3 – 12x $

$ f”(x) = 12x^2 – 12 = 12(x^2 – 1) = 12(x-1)(x+1) $

$ f”(x) = 0 \Rightarrow x = 1 $ atau $ x = -1 $

Uji: tanda berubah di kedua titik ✓

$ f(1) = 1 – 6 + 8 = 3 $, $ f(-1) = 1 – 6 + 8 = 3 $

Titik belok: $ (-1, 3) $ dan $ (1, 3) $

Sedang 5

Soal: Tentukan titik belok dari $ f(x) = 2x^3 + 3x^2 – 12x + 7 $.

Pembahasan:

$ f'(x) = 6x^2 + 6x – 12 $

$ f”(x) = 12x + 6 $

$ f”(x) = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} $

Uji: $ f”(-1) = -6 < 0 $, $ f”(0) = 6 > 0 $ → berubah tanda ✓

$ f(-\frac{1}{2}) = 2(-\frac{1}{8}) + 3(\frac{1}{4}) – 12(-\frac{1}{2}) + 7 = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 6 + 7 = \frac{55}{4} $

Titik belok: $ \left(-\frac{1}{2}, \frac{55}{4}\right) $

Tingkat Sulit

Sulit 1

Soal: Tentukan titik belok dari $ f(x) = xe^{-x} $.

Pembahasan:

$ f'(x) = e^{-x}(1-x) $

$ f”(x) = e^{-x}(x-2) $

$ f”(x) = 0 \Rightarrow x = 2 $ (karena $ e^{-x} \neq 0 $)

Uji: $ f”(1) = e^{-1}(-1) < 0 $, $ f”(3) = e^{-3}(1) > 0 $ → berubah tanda ✓

$ f(2) = 2e^{-2} = \frac{2}{e^2} \approx 0.271 $

Titik belok: $ \left(2, \frac{2}{e^2}\right) $

Sulit 2

Soal: Tentukan titik belok dari $ f(x) = \frac{x}{x^2+1} $.

Pembahasan:

$ f”(x) = \frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3} $

$ f”(x) = 0 \Rightarrow x = 0, x = \pm\sqrt{3} $

Uji tanda menunjukkan perubahan di ketiga titik ✓

$ f(0) = 0 $, $ f(\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{4} $, $ f(-\sqrt{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{4} $

Titik belok: $ (0,0) $, $ (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4}) $, $ (-\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{4}) $

Sulit 3

Soal: Tentukan titik belok dari $ f(x) = x^2\ln x $ untuk $ x > 0 $.

Pembahasan:

$ f'(x) = 2x\ln x + x $

$ f”(x) = 2\ln x + 3 $

$ f”(x) = 0 \Rightarrow \ln x = -\frac{3}{2} \Rightarrow x = e^{-3/2} \approx 0.223 $

Uji: untuk $ x < e^{-3/2} $: $ f” < 0 $; untuk $ x > e^{-3/2} $: $ f” > 0 $ ✓

$ f(e^{-3/2}) = e^{-3} \cdot (-\frac{3}{2}) = -\frac{3}{2}e^{-3} \approx -0.0747 $

Titik belok: $ \left(e^{-3/2}, -\frac{3}{2}e^{-3}\right) $

Sulit 4

Soal: Tentukan titik belok dari $ f(x) = \sin x + \cos x $ pada $ [0, 2\pi] $.

Pembahasan:

$ f'(x) = \cos x – \sin x $

$ f”(x) = -\sin x – \cos x $

$ f”(x) = 0 \Rightarrow \sin x + \cos x = 0 \Rightarrow \tan x = -1 $

$ x = \frac{3\pi}{4} $ atau $ x = \frac{7\pi}{4} $ pada $ [0, 2\pi] $

Uji tanda menunjukkan perubahan di kedua titik ✓

$ f(\frac{3\pi}{4}) = \sin\frac{3\pi}{4} + \cos\frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} – \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 $

$ f(\frac{7\pi}{4}) = \sin\frac{7\pi}{4} + \cos\frac{7\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 $

Titik belok: $ \left(\frac{3\pi}{4}, 0\right) $ dan $ \left(\frac{7\pi}{4}, 0\right) $

Sulit 5

Soal: Tentukan titik belok dari $ f(x) = x^5 – 5x^3 + 4x $.

Pembahasan:

$ f'(x) = 5x^4 – 15x^2 + 4 $

$ f”(x) = 20x^3 – 30x = 10x(2x^2 – 3) $

$ f”(x) = 0 \Rightarrow x = 0 $ atau $ x = \pm\sqrt{\frac{3}{2}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{2} $

Uji tanda pada 4 interval menunjukkan perubahan di ketiga titik ✓

$ f(0) = 0 $

$ f\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right) = \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^5 – 5\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^3 + 4\cdot\frac{\sqrt{6}}{2} $

Setelah perhitungan: $ = \frac{6\sqrt{6}}{32} – \frac{15\sqrt{6}}{4} + 2\sqrt{6} = -\frac{7\sqrt{6}}{4} $ (perlu dihitung lebih detail)

Titik belok di $ x = 0, x = \pm\frac{\sqrt{6}}{2} $

Latihan Soal: Titik Belok

Tentukan titik belok (jika ada) dari fungsi berikut.

Mudah

1. $ f(x) = x^3 – 6x $

2. $ f(x) = x^3 + 3x^2 – 1 $

3. $ f(x) = 2x^3 – 6x + 4 $

4. $ f(x) = -x^3 + 9x $

5. $ f(x) = x^3 + 2x^2 – x + 3 $

Sedang

1. $ f(x) = x^4 – 2x^2 + 1 $

2. $ f(x) = 3x^4 – 8x^3 + 6x^2 $

3. $ f(x) = x^3 – \frac{3}{2}x^2 – 6x + 10 $

4. $ f(x) = x^4 + 4x^3 $

5. $ f(x) = 2x^3 – 9x^2 + 12x – 3 $

Sulit

1. $ f(x) = x^2 e^{-2x} $

2. $ f(x) = \frac{x^3}{x^2+1} $

3. $ f(x) = x\ln x – x $ untuk $ x > 0 $

4. $ f(x) = \sin^2 x $ pada $ [0, 2\pi] $

5. $ f(x) = x^5 – 10x^3 + 20x $

Diferensial: Menggambar Grafik Fungsi

Materi, Contoh Soal & Latihan Lengkap

Materi

1. Pendahuluan

Menggambar grafik fungsi menggunakan turunan (diferensial) adalah teknik penting dalam kalkulus. Dengan turunan, kita dapat menentukan:

Titik stasioner (maksimum, minimum, belok)
Interval fungsi naik dan turun
Kecekungan grafik (cekung ke atas / ke bawah)
Titik potong sumbu-x dan sumbu-y

2. Langkah-Langkah Menggambar Grafik

Tentukan domain fungsi $f(x)$.
Tentukan titik potong sumbu: sumbu-y → $f(0)$; sumbu-x → $f(x)=0$.
Hitung turunan pertama $f'(x)$ untuk mencari titik stasioner ($f'(x)=0$).
Uji kenaikan/penurunan: jika $f'(x)>0$ fungsi naik, $f'(x)<0$ fungsi turun.
Hitung turunan kedua $f”(x)$ untuk menentukan jenis titik stasioner dan kecekungan.
Tentukan titik belok: $f”(x)=0$ dan terjadi perubahan tanda.
Gambar grafik berdasarkan informasi di atas.

3. Tabel Tanda dan Sifat Grafik

Contoh tabel analisis untuk $f(x) = x^3 – 3x$:

Interval	$f'(x)$	$f”(x)$	Sifat
$x < -1$	$+$	$-$	Naik, cekung bawah
$x = -1$	$0$	$-$	Maks. lokal $(−1, 2)$
$-1 < x < 0$	$-$	$-$	Turun, cekung bawah
$x = 0$	$-$	$0$	Titik belok $(0, 0)$
$0 < x < 1$	$-$	$+$	Turun, cekung atas
$x = 1$	$0$	$+$	Min. lokal $(1, -2)$
$x > 1$	$+$	$+$	Naik, cekung atas

4. Contoh Grafik

Grafik $f(x) = x^3 – 3x$:

Grafik menunjukkan titik maksimum lokal di $(-1, 2)$, minimum lokal di $(1, -2)$, dan titik belok di $(0, 0)$.

5. Notasi Diferensial

Turunan pertama: $f'(x) = \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{d}{dx}f(x)$
Turunan kedua: $f”(x) = \dfrac{d^2y}{dx^2}$
Titik stasioner: $f'(x) = 0$
Uji turunan kedua: jika $f”(a) > 0$ → minimum; $f”(a) < 0$ → maksimum

Contoh Soal & Pembahasan

🟢 Tingkat Mudah

1. Gambarlah grafik $f(x) = 2x + 1$. Tentukan titik potong sumbu.

Pembahasan:

Fungsi linear, tidak punya titik stasioner.

• Potong sumbu-y: $f(0) = 1$ → titik $(0, 1)$

• Potong sumbu-x: $2x+1=0 \Rightarrow x = -\tfrac{1}{2}$ → titik $(-\tfrac{1}{2}, 0)$

• $f'(x) = 2 > 0$ → fungsi selalu naik

Grafik berupa garis lurus naik melewati $(0,1)$ dan $(-\tfrac{1}{2}, 0)$.

2. Gambarlah grafik $f(x) = x^2$. Tentukan titik minimum.

Pembahasan:

• $f'(x) = 2x = 0 \Rightarrow x = 0$

• $f”(x) = 2 > 0$ → minimum di $(0, 0)$

• Fungsi naik untuk $x > 0$, turun untuk $x < 0$

Grafik parabola buka ke atas dengan titik puncak (minimum) di $(0,0)$.

3. Gambarlah grafik $f(x) = -x^2 + 4$. Tentukan titik maksimum.

Pembahasan:

• $f'(x) = -2x = 0 \Rightarrow x = 0$

• $f(0) = 4$ → titik $(0, 4)$

• $f”(x) = -2 < 0$ → maksimum di $(0, 4)$

• Potong sumbu-x: $-x^2+4=0 \Rightarrow x = \pm 2$

Grafik parabola buka ke bawah, puncak di $(0,4)$, memotong sumbu-x di $(-2,0)$ dan $(2,0)$.

4. Gambarlah grafik $f(x) = x^2 – 4x + 3$. Tentukan titik stasioner.

Pembahasan:

• $f'(x) = 2x – 4 = 0 \Rightarrow x = 2$

• $f(2) = 4 – 8 + 3 = -1$ → minimum di $(2, -1)$

• $f”(x) = 2 > 0$ → konfirmasi minimum

• Potong sumbu-x: $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)=0 \Rightarrow x=1, x=3$

• Potong sumbu-y: $f(0)=3$

Parabola buka ke atas, minimum di $(2,-1)$, memotong sumbu-x di $(1,0)$ dan $(3,0)$.

5. Gambarlah grafik $f(x) = 3x – x^2$. Tentukan interval naik dan turun.

Pembahasan:

• $f'(x) = 3 – 2x = 0 \Rightarrow x = \tfrac{3}{2}$

• $f(\tfrac{3}{2}) = \tfrac{9}{2} – \tfrac{9}{4} = \tfrac{9}{4}$ → maks di $(\tfrac{3}{2}, \tfrac{9}{4})$

• Naik: $x < \tfrac{3}{2}$ (karena $f'(x)>0$)

• Turun: $x > \tfrac{3}{2}$ (karena $f'(x)<0$)

• Potong sumbu-x: $x(3-x)=0 \Rightarrow x=0, x=3$

🟡 Tingkat Sedang

1. Gambarlah grafik $f(x) = x^3 – 3x$. Tentukan semua titik stasioner dan titik belok.

Pembahasan:

• $f'(x) = 3x^2 – 3 = 3(x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow x = \pm 1$

• $f(-1) = -1+3 = 2$ → titik $(-1, 2)$

• $f(1) = 1-3 = -2$ → titik $(1, -2)$

• $f”(x) = 6x$

• $f”(-1) = -6 < 0$ → maksimum lokal di $(-1, 2)$

• $f”(1) = 6 > 0$ → minimum lokal di $(1, -2)$

• Titik belok: $f”(x) = 6x = 0 \Rightarrow x = 0$, $f(0) = 0$ → titik belok $(0, 0)$

2. Gambarlah grafik $f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x$. Analisis lengkap.

Pembahasan:

• $f'(x) = 3x^2 – 12x + 9 = 3(x^2-4x+3) = 3(x-1)(x-3) = 0$

• $x = 1$: $f(1) = 1-6+9 = 4$ → titik $(1, 4)$

• $x = 3$: $f(3) = 27-54+27 = 0$ → titik $(3, 0)$

• $f”(x) = 6x – 12$

• $f”(1) = -6 < 0$ → maks lokal di $(1, 4)$

• $f”(3) = 6 > 0$ → min lokal di $(3, 0)$

• Titik belok: $6x-12=0 \Rightarrow x=2$, $f(2)=8-24+18=2$ → $(2, 2)$

• Potong sumbu-x: $x(x^2-6x+9)=x(x-3)^2=0 \Rightarrow x=0, x=3$

3. Gambarlah grafik $f(x) = x^4 – 4x^2$. Tentukan titik stasioner.

Pembahasan:

• $f'(x) = 4x^3 – 8x = 4x(x^2-2) = 0$

• $x = 0, x = \pm\sqrt{2}$

• $f(0) = 0$, $f(\pm\sqrt{2}) = 4 – 8 = -4$

• $f”(x) = 12x^2 – 8$

• $f”(0) = -8 < 0$ → maks lokal di $(0, 0)$

• $f”(\pm\sqrt{2}) = 24-8 = 16 > 0$ → min lokal di $(\pm\sqrt{2}, -4)$

• Grafik simetri terhadap sumbu-y (fungsi genap)

4. Gambarlah grafik $f(x) = \dfrac{x^2}{x^2+1}$. Tentukan asimtot dan titik stasioner.

Pembahasan:

• Domain: seluruh $\mathbb{R}$ (penyebut tak pernah nol)

• Asimtot horizontal: $\lim_{x\to\pm\infty} \dfrac{x^2}{x^2+1} = 1$ → $y = 1$

• $f'(x) = \dfrac{2x(x^2+1) – x^2 \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{2x}{(x^2+1)^2} = 0 \Rightarrow x = 0$

• $f(0) = 0$ → minimum di $(0, 0)$

• Fungsi simetri ($f(-x) = f(x)$), selalu $\geq 0$, mendekati 1 tapi tak pernah menyentuh.

5. Gambarlah grafik $f(x) = xe^{-x}$ untuk $x \geq 0$.

Pembahasan:

• $f'(x) = e^{-x} – xe^{-x} = e^{-x}(1-x) = 0 \Rightarrow x = 1$

• $f(1) = e^{-1} \approx 0{,}368$ → maks di $(1, \tfrac{1}{e})$

• $f”(x) = e^{-x}(x-2)$; $f”(1) = e^{-1}(-1) < 0$ → konfirmasi maks

• Titik belok: $x = 2$, $f(2) = 2e^{-2} \approx 0{,}271$

• $\lim_{x\to\infty} xe^{-x} = 0$ → grafik mendekati sumbu-x

• $f(0) = 0$, grafik naik lalu turun mendekati 0.

🔴 Tingkat Sulit

1. Gambarlah grafik $f(x) = \dfrac{x^2 – 1}{x^2 + 1}$. Tentukan asimtot, titik stasioner, dan kecekungan.

Pembahasan:

• Domain: $\mathbb{R}$

• Asimtot horizontal: $y = 1$

• Potong sumbu-x: $x^2-1=0 \Rightarrow x=\pm 1$; sumbu-y: $f(0)=-1$

• $f'(x) = \dfrac{2x(x^2+1)-2x(x^2-1)}{(x^2+1)^2} = \dfrac{4x}{(x^2+1)^2} = 0 \Rightarrow x=0$

• $f(0) = -1$ → minimum di $(0, -1)$

• $f”(x) = \dfrac{4(x^2+1)^2 – 4x \cdot 2(x^2+1)(2x)}{(x^2+1)^4} = \dfrac{4(1-3x^2)}{(x^2+1)^3}$

• Titik belok: $1-3x^2=0 \Rightarrow x = \pm\tfrac{1}{\sqrt{3}}$

• Grafik simetri, min di pusat, naik menuju asimtot $y=1$.

2. Gambarlah grafik $f(x) = x^2 \ln x$ untuk $x > 0$. Analisis lengkap.

Pembahasan:

• Domain: $x > 0$

• $f'(x) = 2x\ln x + x = x(2\ln x + 1) = 0$

• Karena $x > 0$: $2\ln x + 1 = 0 \Rightarrow \ln x = -\tfrac{1}{2} \Rightarrow x = e^{-1/2} = \tfrac{1}{\sqrt{e}}$

• $f(\tfrac{1}{\sqrt{e}}) = \tfrac{1}{e} \cdot (-\tfrac{1}{2}) = -\tfrac{1}{2e}$ → min di $(\tfrac{1}{\sqrt{e}}, -\tfrac{1}{2e})$

• $f”(x) = 2\ln x + 3$; $f”(\tfrac{1}{\sqrt{e}}) = -1+3 = 2 > 0$ → konfirmasi min

• Titik belok: $2\ln x + 3 = 0 \Rightarrow x = e^{-3/2}$

• $\lim_{x\to 0^+} x^2\ln x = 0$; $f(1) = 0$

3. Gambarlah grafik $f(x) = \dfrac{x}{(x-1)^2}$. Tentukan asimtot vertikal, horizontal, dan titik stasioner.

Pembahasan:

• Domain: $x \neq 1$

• Asimtot vertikal: $x = 1$

• Asimtot horizontal: $\lim_{x\to\pm\infty} \dfrac{x}{(x-1)^2} = 0$ → $y = 0$

• $f'(x) = \dfrac{(x-1)^2 – x\cdot 2(x-1)}{(x-1)^4} = \dfrac{(x-1)-2x}{(x-1)^3} = \dfrac{-(x+1)}{(x-1)^3} = 0$

• $x = -1$: $f(-1) = \dfrac{-1}{4}$ → titik stasioner $(-1, -\tfrac{1}{4})$

• Uji: $f”(-1) > 0$ → minimum lokal

• Perilaku sekitar $x=1$: $f(1^-) \to +\infty$, $f(1^+) \to +\infty$

• Potong $(0,0)$.

4. Gambarlah grafik $f(x) = x – 2\sin x$ pada $[0, 2\pi]$. Tentukan titik stasioner.

Pembahasan:

• $f'(x) = 1 – 2\cos x = 0 \Rightarrow \cos x = \tfrac{1}{2}$

• $x = \tfrac{\pi}{3}, x = \tfrac{5\pi}{3}$ pada $[0, 2\pi]$

• $f(\tfrac{\pi}{3}) = \tfrac{\pi}{3} – 2\sin\tfrac{\pi}{3} = \tfrac{\pi}{3} – \sqrt{3} \approx -0{,}685$ → min lokal

• $f(\tfrac{5\pi}{3}) = \tfrac{5\pi}{3} – 2\sin\tfrac{5\pi}{3} = \tfrac{5\pi}{3} + \sqrt{3} \approx 6{,}968$ → maks lokal

• $f”(x) = 2\sin x$

• $f”(\tfrac{\pi}{3}) = \sqrt{3} > 0$ → min; $f”(\tfrac{5\pi}{3}) = -\sqrt{3} < 0$ → maks

• Titik belok: $\sin x = 0 \Rightarrow x = 0, \pi, 2\pi$

5. Gambarlah grafik $f(x) = x^{2/3}(x-5)$. Tentukan titik kritis dan kecekungan.

Pembahasan:

• $f(x) = x^{5/3} – 5x^{2/3}$

• $f'(x) = \tfrac{5}{3}x^{2/3} – \tfrac{10}{3}x^{-1/3} = \tfrac{5x – 10}{3x^{1/3}} = \tfrac{5(x-2)}{3x^{1/3}}$

• Titik kritis: $x = 2$ (dimana $f’=0$) dan $x = 0$ (dimana $f’$ tak terdefinisi)

• $f(2) = 2^{2/3}(2-5) = -3\cdot 2^{2/3} \approx -4{,}76$ → min lokal

• $f(0) = 0$ → cusp (titik lancip)

• $f”(x) = \tfrac{10(x+1)}{9x^{4/3}}$; titik belok di $x = -1$

• Potong sumbu-x: $x = 0$ dan $x = 5$

Latihan Soal

🟢 Tingkat Mudah

1. Gambarlah grafik $f(x) = -3x + 6$. Tentukan titik potong sumbu-x dan sumbu-y.

2. Gambarlah grafik $f(x) = x^2 – 2x$. Tentukan titik minimum.

3. Gambarlah grafik $f(x) = -x^2 + 6x – 5$. Tentukan titik maksimum dan potong sumbu-x.

4. Gambarlah grafik $f(x) = x^2 + 2x + 1$. Tentukan interval naik dan turun.

5. Gambarlah grafik $f(x) = 4x – x^2$. Tentukan nilai maksimum fungsi.

🟡 Tingkat Sedang

1. Gambarlah grafik $f(x) = x^3 – 12x$. Tentukan titik stasioner dan titik belok.

2. Gambarlah grafik $f(x) = 2x^3 – 9x^2 + 12x$. Analisis interval naik/turun.

3. Gambarlah grafik $f(x) = x^4 – 8x^2 + 16$. Tentukan semua titik stasioner.

4. Gambarlah grafik $f(x) = \dfrac{x}{x^2+4}$. Tentukan asimtot dan titik stasioner.

5. Gambarlah grafik $f(x) = x\sqrt{4-x^2}$ pada $[-2, 2]$. Tentukan titik maksimum dan minimum.

🔴 Tingkat Sulit

1. Gambarlah grafik $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2-4}$. Tentukan semua asimtot dan titik stasioner.

2. Gambarlah grafik $f(x) = e^{-x^2}$. Tentukan titik belok dan kecekungan.

3. Gambarlah grafik $f(x) = x^2 e^{-x}$ untuk $x \geq 0$. Analisis lengkap.

4. Gambarlah grafik $f(x) = \ln(x^2+1) – x$. Tentukan titik stasioner dan perilaku di $\pm\infty$.

5. Gambarlah grafik $f(x) = x – 2\arctan x$. Tentukan asimtot miring dan titik stasioner.

Diferensial – Penetapan Turunan Fungsi

Diferensial

Penetapan Turunan Fungsi

📘 Materi: Penetapan Turunan Fungsi

1. Pengertian Turunan

Turunan (derivatif) dari fungsi $ f(x) $ terhadap $ x $ didefinisikan sebagai limit berikut:

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h}

Notasi turunan dapat ditulis sebagai:

f'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[f(x)] = Df(x)

2. Aturan-Aturan Turunan

a. Turunan Fungsi Konstan

\frac{d}{dx}[c] = 0

b. Turunan Fungsi Pangkat

\frac{d}{dx}[x^n] = n \cdot x^{n-1}

c. Turunan Perkalian Konstanta

\frac{d}{dx}[c \cdot f(x)] = c \cdot f'(x)

d. Turunan Penjumlahan dan Pengurangan

\frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)

e. Aturan Perkalian (Product Rule)

\frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)

f. Aturan Pembagian (Quotient Rule)

\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x) \cdot g(x) – f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}

g. Aturan Rantai (Chain Rule)

\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)

3. Tabel Turunan Fungsi Dasar

Fungsi $ f(x) $	Turunan $ f'(x) $
$ c $	$ 0 $
$ x^n $	$ nx^{n-1} $
$ \sin x $	$ \cos x $
$ \cos x $	$ -\sin x $
$ e^x $	$ e^x $
$ \ln x $	$ \frac{1}{x} $
$ \tan x $	$ \sec^2 x $

📝 Contoh Soal dan Pembahasan

Tingkat Mudah

Mudah

1. Tentukan turunan dari $ f(x) = 3x^2 $

Lihat Pembahasan

Gunakan aturan pangkat: $ \frac{d}{dx}[ax^n] = a \cdot n \cdot x^{n-1} $

f'(x) = 3 \cdot 2 \cdot x^{2-1} = 6x

Jawaban: $ f'(x) = 6x $

Mudah

2. Tentukan turunan dari $ f(x) = 5x^3 + 2x $

Lihat Pembahasan

Turunkan tiap suku:

f'(x) = 5 \cdot 3x^2 + 2 \cdot 1 = 15x^2 + 2

Jawaban: $ f'(x) = 15x^2 + 2 $

Mudah

3. Tentukan turunan dari $ f(x) = 7 $

Lihat Pembahasan

Turunan fungsi konstan selalu 0.

\[ f'(x) = 0 \]

Jawaban: $ f'(x) = 0 $

Mudah

4. Tentukan turunan dari $ f(x) = 4x^5 $

Lihat Pembahasan

f'(x) = 4 \cdot 5 \cdot x^{4} = 20x^4

Jawaban: $ f'(x) = 20x^4 $

Mudah

5. Tentukan turunan dari $ f(x) = x^2 – 4x + 1 $

Lihat Pembahasan

\[ f'(x) = 2x - 4 \]

Jawaban: $ f'(x) = 2x – 4 $

Tingkat Sedang

Sedang

1. Tentukan turunan dari $ f(x) = (2x+1)(x^2-3) $

Lihat Pembahasan

Gunakan aturan perkalian: $ (uv)’ = u’v + uv’ $

Misal $ u = 2x+1 $, $ v = x^2-3 $

$ u’ = 2 $, $ v’ = 2x $

\[ f'(x) = 2(x^2-3) + (2x+1)(2x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6 \]

Jawaban: $ f'(x) = 6x^2 + 2x – 6 $

Sedang

2. Tentukan turunan dari $ f(x) = \frac{x^2+1}{x-1} $

Lihat Pembahasan

Gunakan aturan pembagian:

$ u = x^2+1 $, $ v = x-1 $, $ u’ = 2x $, $ v’ = 1 $

f'(x) = \frac{2x(x-1) – (x^2+1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2-2x-x^2-1}{(x-1)^2} = \frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}

Jawaban: $ f'(x) = \frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2} $

Sedang

3. Tentukan turunan dari $ f(x) = (3x^2+1)^4 $

Lihat Pembahasan

Gunakan aturan rantai. Misal $ u = 3x^2+1 $, maka $ f = u^4 $

f'(x) = 4(3x^2+1)^3 \cdot 6x = 24x(3x^2+1)^3

Jawaban: $ f'(x) = 24x(3x^2+1)^3 $

Sedang

4. Tentukan turunan dari $ f(x) = x\sqrt{x} = x^{3/2} $

Lihat Pembahasan

Tulis sebagai pangkat: $ f(x) = x^{3/2} $

f'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3}{2}\sqrt{x}

Jawaban: $ f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x} $

Sedang

5. Tentukan turunan dari $ f(x) = \sin(2x) $

Lihat Pembahasan

Gunakan aturan rantai: turunan luar × turunan dalam

f'(x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)

Jawaban: $ f'(x) = 2\cos(2x) $

Tingkat Sulit

Sulit

1. Tentukan turunan dari $ f(x) = \frac{\sin x}{1+\cos x} $

Lihat Pembahasan

Gunakan aturan pembagian:

$ u = \sin x,\ u’ = \cos x $

$ v = 1+\cos x,\ v’ = -\sin x $

f'(x) = \frac{\cos x(1+\cos x) – \sin x(-\sin x)}{(1+\cos x)^2} = \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1+\cos x)^2}

Karena $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$:

f'(x) = \frac{\cos x + 1}{(1+\cos x)^2} = \frac{1}{1+\cos x}

Jawaban: $ f'(x) = \frac{1}{1+\cos x} $

Sulit

2. Tentukan turunan dari $ f(x) = e^{x^2} \cdot \ln x $

Lihat Pembahasan

Gunakan aturan perkalian dan rantai:

$ u = e^{x^2},\ u’ = 2x \cdot e^{x^2} $ (aturan rantai)

$ v = \ln x,\ v’ = \frac{1}{x} $

f'(x) = 2x \cdot e^{x^2} \cdot \ln x + e^{x^2} \cdot \frac{1}{x} = e^{x^2}\left(2x\ln x + \frac{1}{x}\right)

Jawaban: $ f'(x) = e^{x^2}\left(2x\ln x + \frac{1}{x}\right) $

Sulit

3. Tentukan turunan dari $ f(x) = \left(\frac{x^2+1}{x-2}\right)^3 $

Lihat Pembahasan

Misal $ u = \frac{x^2+1}{x-2} $, maka $ f = u^3 $

Cari $ u’ $ dengan aturan pembagian:

u’ = \frac{2x(x-2)-(x^2+1)(1)}{(x-2)^2} = \frac{x^2-4x-1}{(x-2)^2}

Maka:

f'(x) = 3\left(\frac{x^2+1}{x-2}\right)^2 \cdot \frac{x^2-4x-1}{(x-2)^2} = \frac{3(x^2+1)^2(x^2-4x-1)}{(x-2)^4}

Jawaban: $ f'(x) = \frac{3(x^2+1)^2(x^2-4x-1)}{(x-2)^4} $

Sulit

4. Tentukan turunan dari $ f(x) = x^x $ untuk $ x > 0 $

Lihat Pembahasan

Gunakan logaritma natural: $ \ln f = x \ln x $

Diferensiasi kedua ruas:

\frac{f’}{f} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1

f'(x) = x^x(\ln x + 1)

Jawaban: $ f'(x) = x^x(\ln x + 1) $

Sulit

5. Tentukan turunan dari $ f(x) = \arctan\left(\frac{2x}{1-x^2}\right) $

Lihat Pembahasan

Ingat bahwa $ \arctan\left(\frac{2x}{1-x^2}\right) = 2\arctan x $ untuk $ |x| < 1 $

Maka:

f'(x) = \frac{2}{1+x^2}

Verifikasi dengan aturan rantai:

Misal $ u = \frac{2x}{1-x^2} $, maka $ f = \arctan u $ dan $ f’ = \frac{u’}{1+u^2} $

u’ = \frac{2(1-x^2)-2x(-2x)}{(1-x^2)^2} = \frac{2+2x^2}{(1-x^2)^2}

1+u^2 = 1+\frac{4x^2}{(1-x^2)^2} = \frac{(1+x^2)^2}{(1-x^2)^2}

f'(x) = \frac{2(1+x^2)}{(1-x^2)^2} \cdot \frac{(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2} = \frac{2}{1+x^2}

Jawaban: $ f'(x) = \frac{2}{1+x^2} $

✏️ Latihan Soal

Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan aturan turunan yang telah dipelajari.

Tingkat Mudah

1. Tentukan $ f'(x) $ jika $ f(x) = 8x^4 $

2. Tentukan $ f'(x) $ jika $ f(x) = 3x^2 + 7x – 5 $

3. Tentukan $ f'(x) $ jika $ f(x) = -2x^6 $

4. Tentukan $ f'(x) $ jika $ f(x) = x^3 – 9x + 4 $

5. Tentukan $ f'(x) $ jika $ f(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x $

Tingkat Sedang

1. Tentukan $ f'(x) $ jika $ f(x) = (x^2+3)(2x-1) $

2. Tentukan $ f'(x) $ jika $ f(x) = \frac{3x+2}{x^2+1} $

3. Tentukan $ f'(x) $ jika $ f(x) = (2x^3-1)^5 $

4. Tentukan $ f'(x) $ jika $ f(x) = \sqrt{4x+1} $

5. Tentukan $ f'(x) $ jika $ f(x) = \cos(3x^2) $

Tingkat Sulit

1. Tentukan $ f'(x) $ jika $ f(x) = \frac{e^{2x}}{x^2+1} $

2. Tentukan $ f'(x) $ jika $ f(x) = \ln(\sin x) $

3. Tentukan $ f'(x) $ jika $ f(x) = (x^2+1)^{\sin x} $

4. Tentukan $ f'(x) $ jika $ f(x) = \frac{x \cdot e^x}{\sqrt{x^2+1}} $

5. Tentukan $ f'(x) $ jika $ f(x) = \arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) $

No	Fungsi \(f(x)\)	Turunan \(f'(x)\)
1	\(c\) (konstanta)	\(0\)
2	\(x^n\)	\(nx^{n-1}\)
3	\(cf(x)\)	\(c \cdot f'(x)\)
4	\(f(x) + g(x)\)	\(f'(x) + g'(x)\)
5	\(f(x) – g(x)\)	\(f'(x) – g'(x)\)
6	\(f(x) \cdot g(x)\)	\(f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\)
7	\(\frac{f(x)}{g(x)}\)	\(\frac{f'(x)g(x) – f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}\)
8	\([f(x)]^n\) (aturan rantai)	\(n[f(x)]^{n-1} \cdot f'(x)\)

Fungsi \( f(x) \)	Turunan \( f'(x) \)
\( c \)	\( 0 \)
\( x^n \)	\( nx^{n-1} \)
\( \sin x \)	\( \cos x \)
\( \cos x \)	\( -\sin x \)
\( e^x \)	\( e^x \)
\( \ln x \)	\( \frac{1}{x} \)
\( \tan x \)	\( \sec^2 x \)

\(\frac{d}{dx}(c) = 0\)	Turunan konstanta
\(\frac{d}{dx}(x) = 1\)	Turunan variabel
\(\frac{d}{dx}(cx) = c\)	Turunan fungsi linear
\(\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}\)	Rumus pangkat
\(\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)	Turunan akar
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^n}\right) = -\frac{n}{x^{n+1}}\)	Turunan pangkat negatif

\(\frac{d}{dx}[cf(x)] = c \cdot f'(x)\)	Kelipatan konstanta
\(\frac{d}{dx}[f \pm g] = f’ \pm g’\)	Jumlah/selisih
\(\frac{d}{dx}[f \cdot g] = f’g + fg’\)	Perkalian
\(\frac{d}{dx}\left[\frac{f}{g}\right] = \frac{f’g – fg’}{g^2}\)	Pembagian
\(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)	Aturan rantai

Langkah	Keterangan
1	Hitung \(f'(x)\)
2	Selesaikan \(f'(x)=0\), cari titik kritis di \((a,b)\)
3	Evaluasi \(f\) di titik kritis dan ujung interval
4	Bandingkan: terbesar = maks, terkecil = min

Kondisi	Kecekungan	Bentuk Grafik
\( f”(x) > 0 \)	Cekung ke atas	∪ (seperti mangkuk)
\( f”(x) < 0 \)	Cekung ke bawah	∩ (seperti bukit)

Epres Math – Diferensial (Turunan)

1. Laju Perubahan Nilai Fungsi

Materi

📝 Contoh Soal

Mudah

Sedang

Sulit

✏️ Latihan Soal

Mudah

Sedang

Sulit

2. Laju Perubahan Sesaat

Materi

📝 Contoh Soal

Mudah

Sedang

Sulit

✏️ Latihan Soal

Mudah

Sedang

Sulit

3. Definisi Turunan Fungsi

Materi

📝 Contoh Soal

Mudah

Sedang

Sulit

✏️ Latihan Soal

Mudah

Sedang

Sulit

4. Rumus Umum Turunan Fungsi

Materi

📝 Contoh Soal

Mudah

Sedang

Sulit

✏️ Latihan Soal

Mudah

Sedang

Sulit

5. Rumus-Rumus Turunan Fungsi Aljabar

Materi

📝 Contoh Soal

Mudah

Sedang

Sulit

✏️ Latihan Soal

Mudah

Sedang

Sulit

Turunan ke-n dari Suatu Fungsi

Materi

Contoh Soal

Latihan Soal

Rumus-Rumus Turunan Fungsi Trigonometri

Materi

Contoh Soal

Latihan Soal

Turunan Fungsi Komposisi dengan Aturan Rantai

Materi

Contoh Soal

Latihan Soal

📐 Persamaan Garis Singgung pada Kurva

Konsep Dasar

Rumus Persamaan Garis Singgung

Langkah-langkah Menentukan Persamaan Garis Singgung

📝 Contoh Soal – Persamaan Garis Singgung

● Tingkat Mudah

● Tingkat Sedang

● Tingkat Sulit

✏️ Latihan Soal – Persamaan Garis Singgung

● Mudah

● Sedang

● Sulit

📈 Fungsi Naik dan Fungsi Turun (Kemonotonan)

Konsep Dasar

Langkah Menentukan Interval Kemonotonan

Tabel Tanda (Contoh)

📝 Contoh Soal – Kemonotonan Fungsi