Turunan ke-n dari Suatu Fungsi
Diferensial — Kalkulus
📘 Materi
1. Pengertian Turunan ke-n
Turunan ke-n dari suatu fungsi \(f(x)\) adalah hasil penurunan fungsi tersebut sebanyak \(n\) kali secara berturut-turut. Jika \(f(x)\) diturunkan satu kali menghasilkan \(f'(x)\), diturunkan dua kali menghasilkan \(f”(x)\), dan seterusnya.
Notasi Turunan ke-n
Notasi Lagrange: \(f^{(n)}(x)\)
Notasi Leibniz: \(\dfrac{d^n y}{dx^n}\)
Notasi D: \(D^n f(x)\)
Definisi formal:
\[f^{(n)}(x) = \frac{d}{dx}\left[f^{(n-1)}(x)\right]\]2. Rumus Turunan ke-n untuk Fungsi Polinomial
Jika \(f(x) = x^m\), maka:
untuk \(n \leq m\). Jika \(n > m\), maka \(f^{(n)}(x) = 0\).
3. Rumus Turunan ke-n untuk Fungsi Eksponensial
\(f(x) = e^{ax} \Rightarrow f^{(n)}(x) = a^n e^{ax}\)
\(f(x) = a^x \Rightarrow f^{(n)}(x) = a^x (\ln a)^n\)
4. Rumus Turunan ke-n untuk Fungsi Trigonometri
\(f(x) = \sin x \Rightarrow f^{(n)}(x) = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)\)
\(f(x) = \cos x \Rightarrow f^{(n)}(x) = \cos\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)\)
5. Rumus Turunan ke-n untuk \(f(x) = \ln x\)
6. Tabel Ringkasan Rumus Turunan ke-n
| Fungsi \(f(x)\) | Turunan ke-n \(f^{(n)}(x)\) |
|---|---|
| \(x^m\) | \(\frac{m!}{(m-n)!} x^{m-n}\) |
| \(e^{ax}\) | \(a^n e^{ax}\) |
| \(\sin(ax)\) | \(a^n \sin\left(ax + \frac{n\pi}{2}\right)\) |
| \(\cos(ax)\) | \(a^n \cos\left(ax + \frac{n\pi}{2}\right)\) |
| \(\ln x\) | \(\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}\) |
| \((ax+b)^m\) | \(\frac{m! \cdot a^n}{(m-n)!}(ax+b)^{m-n}\) |
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
🟢 Tingkat Mudah
Soal 1:
Tentukan \(f”(x)\) jika \(f(x) = x^5\).
Pembahasan
\(f'(x) = 5x^4\)
\(f”(x) = 20x^3\)
Jawaban: \(f”(x) = 20x^3\)
Soal 2:
Tentukan \(f^{(3)}(x)\) jika \(f(x) = x^4\).
Pembahasan
\(f'(x) = 4x^3\)
\(f”(x) = 12x^2\)
\(f^{(3)}(x) = 24x\)
Jawaban: \(f^{(3)}(x) = 24x\)
Soal 3:
Tentukan \(f^{(4)}(x)\) jika \(f(x) = x^4 + 3x^2\).
Pembahasan
\(f'(x) = 4x^3 + 6x\)
\(f”(x) = 12x^2 + 6\)
\(f^{(3)}(x) = 24x\)
\(f^{(4)}(x) = 24\)
Jawaban: \(f^{(4)}(x) = 24\)
Soal 4:
Tentukan \(f”(x)\) jika \(f(x) = e^{2x}\).
Pembahasan
\(f'(x) = 2e^{2x}\)
\(f”(x) = 4e^{2x}\)
Atau langsung: \(f^{(n)}(x) = 2^n e^{2x}\), untuk \(n=2\): \(4e^{2x}\)
Jawaban: \(f”(x) = 4e^{2x}\)
Soal 5:
Tentukan \(f^{(5)}(x)\) jika \(f(x) = x^5\).
Pembahasan
Menggunakan rumus: \(f^{(n)}(x) = \frac{m!}{(m-n)!}x^{m-n}\)
\(f^{(5)}(x) = \frac{5!}{0!}x^0 = 120\)
Jawaban: \(f^{(5)}(x) = 120\)
🟡 Tingkat Sedang
Soal 1:
Tentukan \(f^{(3)}(x)\) jika \(f(x) = \sin(2x)\).
Pembahasan
Rumus: \(f^{(n)}(x) = 2^n \sin\left(2x + \frac{n\pi}{2}\right)\)
\(f^{(3)}(x) = 2^3 \sin\left(2x + \frac{3\pi}{2}\right) = 8\sin\left(2x + \frac{3\pi}{2}\right)\)
\(= 8(-\cos 2x) = -8\cos 2x\)
Jawaban: \(f^{(3)}(x) = -8\cos 2x\)
Soal 2:
Tentukan \(f^{(n)}(x)\) jika \(f(x) = e^{-3x}\).
Pembahasan
Rumus: \(f^{(n)}(x) = a^n e^{ax}\) dengan \(a = -3\)
\(f^{(n)}(x) = (-3)^n e^{-3x}\)
Jawaban: \(f^{(n)}(x) = (-3)^n e^{-3x}\)
Soal 3:
Tentukan \(f^{(4)}(x)\) jika \(f(x) = \cos(3x)\).
Pembahasan
Rumus: \(f^{(n)}(x) = 3^n \cos\left(3x + \frac{n\pi}{2}\right)\)
\(f^{(4)}(x) = 3^4 \cos\left(3x + 2\pi\right) = 81\cos(3x)\)
Jawaban: \(f^{(4)}(x) = 81\cos 3x\)
Soal 4:
Tentukan \(f^{(3)}(x)\) jika \(f(x) = \ln(2x)\).
Pembahasan
\(f(x) = \ln 2 + \ln x\)
\(f'(x) = \frac{1}{x}\), \(f”(x) = -\frac{1}{x^2}\), \(f^{(3)}(x) = \frac{2}{x^3}\)
Atau rumus: \(\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n} = \frac{(-1)^2 \cdot 2!}{x^3} = \frac{2}{x^3}\)
Jawaban: \(f^{(3)}(x) = \frac{2}{x^3}\)
Soal 5:
Tentukan \(f^{(n)}(x)\) jika \(f(x) = (2x+1)^6\) untuk \(n \leq 6\).
Pembahasan
Rumus: \(f^{(n)}(x) = \frac{m! \cdot a^n}{(m-n)!}(ax+b)^{m-n}\)
Dengan \(m=6, a=2, b=1\):
\(f^{(n)}(x) = \frac{6! \cdot 2^n}{(6-n)!}(2x+1)^{6-n}\)
Jawaban: \(f^{(n)}(x) = \frac{6! \cdot 2^n}{(6-n)!}(2x+1)^{6-n}\)
🔴 Tingkat Sulit
Soal 1:
Tentukan \(f^{(n)}(x)\) jika \(f(x) = x^2 e^x\).
Pembahasan
Gunakan rumus Leibniz: \((uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u^{(k)}v^{(n-k)}\)
Dengan \(u = x^2\) dan \(v = e^x\):
\(u^{(0)} = x^2,\ u^{(1)} = 2x,\ u^{(2)} = 2,\ u^{(k)} = 0\) untuk \(k \geq 3\)
\(v^{(n-k)} = e^x\) untuk semua \(k\)
\(f^{(n)}(x) = \binom{n}{0}x^2 e^x + \binom{n}{1}2x \cdot e^x + \binom{n}{2}2 \cdot e^x\)
\(= e^x\left(x^2 + 2nx + n(n-1)\right)\)
Jawaban: \(f^{(n)}(x) = e^x(x^2 + 2nx + n^2 – n)\)
Soal 2:
Tentukan \(f^{(n)}(x)\) jika \(f(x) = x\sin x\).
Pembahasan
Rumus Leibniz dengan \(u = x, v = \sin x\):
\(u^{(0)} = x,\ u^{(1)} = 1,\ u^{(k)} = 0\) untuk \(k \geq 2\)
\(v^{(n)} = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)\)
\(f^{(n)}(x) = x\sin\left(x+\frac{n\pi}{2}\right) + n\sin\left(x+\frac{(n-1)\pi}{2}\right)\)
Jawaban: \(f^{(n)}(x) = x\sin\left(x+\frac{n\pi}{2}\right) + n\sin\left(x+\frac{(n-1)\pi}{2}\right)\)
Soal 3:
Tentukan \(f^{(n)}(x)\) jika \(f(x) = \frac{1}{1-x}\).
Pembahasan
\(f(x) = (1-x)^{-1}\)
\(f'(x) = (1-x)^{-2}\)
\(f”(x) = 2(1-x)^{-3}\)
\(f^{(3)}(x) = 6(1-x)^{-4}\)
Pola: \(f^{(n)}(x) = n!(1-x)^{-(n+1)}\)
Jawaban: \(f^{(n)}(x) = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}\)
Soal 4:
Tentukan \(f^{(n)}(x)\) jika \(f(x) = e^x \cos x\).
Pembahasan
Tulis \(e^x \cos x = \text{Re}(e^{(1+i)x})\)
Turunan ke-n dari \(e^{(1+i)x}\) adalah \((1+i)^n e^{(1+i)x}\)
\((1+i)^n = (\sqrt{2})^n e^{in\pi/4} = 2^{n/2}e^{in\pi/4}\)
\(f^{(n)}(x) = 2^{n/2} e^x \cos\left(x + \frac{n\pi}{4}\right)\)
Jawaban: \(f^{(n)}(x) = 2^{n/2} e^x \cos\left(x + \frac{n\pi}{4}\right)\)
Soal 5:
Tentukan \(f^{(n)}(x)\) jika \(f(x) = \frac{1}{x^2+1}\) menggunakan dekomposisi parsial.
Pembahasan
\(\frac{1}{x^2+1} = \frac{1}{(x+i)(x-i)} = \frac{1}{2i}\left(\frac{1}{x-i} – \frac{1}{x+i}\right)\)
Turunan ke-n dari \(\frac{1}{x-a}\) adalah \(\frac{(-1)^n n!}{(x-a)^{n+1}}\)
\(f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{2i}\left(\frac{1}{(x-i)^{n+1}} – \frac{1}{(x+i)^{n+1}}\right)\)
Menyederhanakan ke bentuk real:
\(f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{(x^2+1)^{(n+1)/2}} \cdot \sin\left((n+1)\arctan\frac{1}{x}\right)\) untuk \(x \neq 0\)
Jawaban: bentuk di atas (dapat disederhanakan untuk nilai n tertentu)
✏️ Latihan Soal
🟢 Tingkat Mudah
1. Tentukan \(f”(x)\) jika \(f(x) = 3x^4\).
2. Tentukan \(f^{(3)}(x)\) jika \(f(x) = x^6\).
3. Tentukan \(f^{(4)}(x)\) jika \(f(x) = 2x^5 – x^3\).
4. Tentukan \(f”(x)\) jika \(f(x) = e^{5x}\).
5. Tentukan \(f^{(6)}(x)\) jika \(f(x) = x^6 + 2x^4\).
🟡 Tingkat Sedang
1. Tentukan \(f^{(4)}(x)\) jika \(f(x) = \sin(4x)\).
2. Tentukan \(f^{(n)}(x)\) jika \(f(x) = e^{-2x}\).
3. Tentukan \(f^{(5)}(x)\) jika \(f(x) = \cos(2x)\).
4. Tentukan \(f^{(4)}(x)\) jika \(f(x) = \ln(3x)\).
5. Tentukan \(f^{(n)}(x)\) jika \(f(x) = (3x-2)^5\) untuk \(n \leq 5\).
🔴 Tingkat Sulit
1. Tentukan \(f^{(n)}(x)\) jika \(f(x) = x^3 e^{2x}\).
2. Tentukan \(f^{(n)}(x)\) jika \(f(x) = x\cos x\).
3. Tentukan \(f^{(n)}(x)\) jika \(f(x) = \frac{1}{(2x+1)^2}\).
4. Tentukan \(f^{(n)}(x)\) jika \(f(x) = e^{-x}\sin x\).
5. Tentukan \(f^{(n)}(x)\) jika \(f(x) = \frac{x}{1+x}\).