Rumus-Rumus Turunan Fungsi Trigonometri
Diferensial — Kalkulus
📘 Materi
Turunan (diferensial) fungsi trigonometri merupakan aturan-aturan untuk mencari laju perubahan dari fungsi-fungsi trigonometri. Berikut rumus-rumus dasar turunan fungsi trigonometri:
| No | Fungsi \( f(x) \) | Turunan \( f'(x) \) |
|---|---|---|
| 1 | \(\sin x\) | \(\cos x\) |
| 2 | \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
| 3 | \(\tan x\) | \(\sec^2 x\) |
| 4 | \(\cot x\) | \(-\csc^2 x\) |
| 5 | \(\sec x\) | \(\sec x \tan x\) |
| 6 | \(\csc x\) | \(-\csc x \cot x\) |
Aturan Rantai pada Fungsi Trigonometri
Jika \( u = g(x) \), maka:
Notasi Diferensial
Beberapa notasi yang digunakan:
\( f'(x) = \frac{df}{dx} = \frac{dy}{dx} = Df(x) = y’ \)
📝 Contoh Soal & Pembahasan
MUDAH
1. Tentukan turunan dari \( f(x) = \sin x \)
Pembahasan:
Menggunakan rumus dasar: \(\frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x\)
Jadi, \( f'(x) = \cos x \)
2. Tentukan turunan dari \( f(x) = \cos x \)
Pembahasan:
\(\frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x\)
Jadi, \( f'(x) = -\sin x \)
3. Tentukan turunan dari \( f(x) = \tan x \)
Pembahasan:
\(\frac{d}{dx}[\tan x] = \sec^2 x\)
Jadi, \( f'(x) = \sec^2 x \)
4. Tentukan turunan dari \( f(x) = 3\sin x \)
Pembahasan:
Konstanta diturunkan tetap: \( f'(x) = 3 \cdot \cos x = 3\cos x \)
5. Tentukan turunan dari \( f(x) = -2\cos x \)
Pembahasan:
\( f'(x) = -2 \cdot (-\sin x) = 2\sin x \)
SEDANG
1. Tentukan turunan dari \( f(x) = \sin 3x \)
Pembahasan:
Misalkan \( u = 3x \), maka \( \frac{du}{dx} = 3 \)
\( f'(x) = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos 3x \)
2. Tentukan turunan dari \( f(x) = \cos(2x+1) \)
Pembahasan:
Misalkan \( u = 2x+1 \), maka \( \frac{du}{dx} = 2 \)
\( f'(x) = -\sin(2x+1) \cdot 2 = -2\sin(2x+1) \)
3. Tentukan turunan dari \( f(x) = \tan(x^2) \)
Pembahasan:
Misalkan \( u = x^2 \), maka \( \frac{du}{dx} = 2x \)
\( f'(x) = \sec^2(x^2) \cdot 2x = 2x\sec^2(x^2) \)
4. Tentukan turunan dari \( f(x) = \sin x \cos x \)
Pembahasan:
Gunakan aturan perkalian: \( (uv)’ = u’v + uv’ \)
\( f'(x) = \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x) \)
\( = \cos^2 x – \sin^2 x = \cos 2x \)
5. Tentukan turunan dari \( f(x) = x\sin x \)
Pembahasan:
Aturan perkalian: \( u = x,\; v = \sin x \)
\( f'(x) = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x\cos x \)
SULIT
1. Tentukan turunan dari \( f(x) = \sin^3(2x) \)
Pembahasan:
Tulis sebagai \( [\sin(2x)]^3 \). Gunakan aturan rantai dua kali.
\( f'(x) = 3[\sin(2x)]^2 \cdot \cos(2x) \cdot 2 \)
\( = 6\sin^2(2x)\cos(2x) \)
2. Tentukan turunan dari \( f(x) = \frac{\sin x}{1+\cos x} \)
Pembahasan:
Aturan pembagian: \( \left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2} \)
\( u = \sin x,\; u’ = \cos x \)
\( v = 1+\cos x,\; v’ = -\sin x \)
\( f'(x) = \frac{\cos x(1+\cos x) – \sin x(-\sin x)}{(1+\cos x)^2} \)
\( = \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1+\cos x)^2} = \frac{\cos x + 1}{(1+\cos x)^2} = \frac{1}{1+\cos x} \)
3. Tentukan turunan dari \( f(x) = e^{\sin x} \)
Pembahasan:
Aturan rantai: \( \frac{d}{dx}[e^u] = e^u \cdot u’ \)
\( f'(x) = e^{\sin x} \cdot \cos x \)
4. Tentukan turunan dari \( f(x) = \ln(\tan x) \)
Pembahasan:
\( f'(x) = \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x = \frac{\sec^2 x}{\tan x} = \frac{1}{\cos x \cdot \sin x} = \frac{2}{\sin 2x} = 2\csc 2x \)
5. Tentukan turunan dari \( f(x) = \tan^2(3x) \cdot \cos(x^2) \)
Pembahasan:
Aturan perkalian: \( u = \tan^2(3x),\; v = \cos(x^2) \)
\( u’ = 2\tan(3x) \cdot \sec^2(3x) \cdot 3 = 6\tan(3x)\sec^2(3x) \)
\( v’ = -\sin(x^2) \cdot 2x = -2x\sin(x^2) \)
\( f'(x) = 6\tan(3x)\sec^2(3x)\cos(x^2) + \tan^2(3x)\cdot(-2x\sin(x^2)) \)
\( = 6\tan(3x)\sec^2(3x)\cos(x^2) – 2x\tan^2(3x)\sin(x^2) \)
✏️ Latihan Soal
MUDAH
- Tentukan turunan dari \( f(x) = 5\sin x \)
- Tentukan turunan dari \( f(x) = -4\cos x \)
- Tentukan turunan dari \( f(x) = 2\tan x \)
- Tentukan turunan dari \( f(x) = \cot x \)
- Tentukan turunan dari \( f(x) = \sin x + \cos x \)
SEDANG
- Tentukan turunan dari \( f(x) = \sin(5x – 2) \)
- Tentukan turunan dari \( f(x) = \cos^2 x \)
- Tentukan turunan dari \( f(x) = x^2 \cos x \)
- Tentukan turunan dari \( f(x) = \tan(3x+1) \)
- Tentukan turunan dari \( f(x) = \frac{\sin x}{x} \)
SULIT
- Tentukan turunan dari \( f(x) = \sin^2(3x)\cos(2x) \)
- Tentukan turunan dari \( f(x) = e^{x}\tan(x^2) \)
- Tentukan turunan dari \( f(x) = \frac{\cos 2x}{\sin x + 1} \)
- Tentukan turunan dari \( f(x) = \ln(\sin^2 x + 1) \)
- Tentukan turunan dari \( f(x) = (\cos x)^{\sin x} \)