Turunan Fungsi Komposisi dengan Aturan Rantai
Diferensial — Kalkulus
Materi: Aturan Rantai (Chain Rule)
Pengertian
Aturan Rantai digunakan untuk mencari turunan dari fungsi komposisi, yaitu fungsi yang tersusun dari dua atau lebih fungsi. Jika \( y = f(g(x)) \), maka turunannya dihitung dengan mengalikan turunan fungsi luar terhadap fungsi dalam, dengan turunan fungsi dalam terhadap \(x\).
Rumus Aturan Rantai
dengan \( u = g(x) \) adalah fungsi dalam dan \( y = f(u) \) adalah fungsi luar.
Notasi Lain
Langkah-langkah Pengerjaan
- Identifikasi fungsi luar \(f\) dan fungsi dalam \(g\).
- Tentukan \(u = g(x)\), sehingga \(y = f(u)\).
- Hitung \(\frac{dy}{du}\) (turunan fungsi luar terhadap \(u\)).
- Hitung \(\frac{du}{dx}\) (turunan fungsi dalam terhadap \(x\)).
- Kalikan: \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\).
- Substitusi kembali \(u = g(x)\) ke hasil akhir.
Aturan Rantai untuk Tiga Fungsi
Jika \( y = f(g(h(x))) \), maka:
Contoh Soal & Pembahasan
Mudah
1. Tentukan turunan dari \( y = (2x+3)^5 \)
Lihat Pembahasan
Misalkan \( u = 2x+3 \), maka \( y = u^5 \).
\(\frac{dy}{du} = 5u^4\), \(\frac{du}{dx} = 2\)
2. Tentukan turunan dari \( y = (x^2+1)^3 \)
Lihat Pembahasan
Misalkan \( u = x^2+1 \), maka \( y = u^3 \).
\(\frac{dy}{du} = 3u^2\), \(\frac{du}{dx} = 2x\)
3. Tentukan turunan dari \( y = \sqrt{3x+2} \)
Lihat Pembahasan
Tulis ulang: \( y = (3x+2)^{1/2} \). Misalkan \( u = 3x+2 \).
\(\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-1/2}\), \(\frac{du}{dx} = 3\)
4. Tentukan turunan dari \( y = (5x-1)^4 \)
Lihat Pembahasan
Misalkan \( u = 5x-1 \), maka \( y = u^4 \).
\(\frac{dy}{du} = 4u^3\), \(\frac{du}{dx} = 5\)
5. Tentukan turunan dari \( y = (4-x)^6 \)
Lihat Pembahasan
Misalkan \( u = 4-x \), maka \( y = u^6 \).
\(\frac{dy}{du} = 6u^5\), \(\frac{du}{dx} = -1\)
Sedang
1. Tentukan turunan dari \( y = \sin(3x^2+1) \)
Lihat Pembahasan
Misalkan \( u = 3x^2+1 \), maka \( y = \sin u \).
\(\frac{dy}{du} = \cos u\), \(\frac{du}{dx} = 6x\)
2. Tentukan turunan dari \( y = e^{x^2-4x} \)
Lihat Pembahasan
Misalkan \( u = x^2-4x \), maka \( y = e^u \).
\(\frac{dy}{du} = e^u\), \(\frac{du}{dx} = 2x-4\)
3. Tentukan turunan dari \( y = \ln(x^3+2x) \)
Lihat Pembahasan
Misalkan \( u = x^3+2x \), maka \( y = \ln u \).
\(\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}\), \(\frac{du}{dx} = 3x^2+2\)
4. Tentukan turunan dari \( y = \cos^3(x) \)
Lihat Pembahasan
Tulis ulang: \( y = (\cos x)^3 \). Misalkan \( u = \cos x \), maka \( y = u^3 \).
\(\frac{dy}{du} = 3u^2\), \(\frac{du}{dx} = -\sin x\)
5. Tentukan turunan dari \( y = \sqrt{x^2+4x+5} \)
Lihat Pembahasan
Tulis ulang: \( y = (x^2+4x+5)^{1/2} \). Misalkan \( u = x^2+4x+5 \).
\(\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-1/2}\), \(\frac{du}{dx} = 2x+4\)
Sulit
1. Tentukan turunan dari \( y = e^{\sin(2x)} \)
Lihat Pembahasan
Gunakan aturan rantai dua kali. Misalkan \( v = 2x \), \( u = \sin v \), \( y = e^u \).
\(\frac{dy}{du} = e^u\), \(\frac{du}{dv} = \cos v\), \(\frac{dv}{dx} = 2\)
2. Tentukan turunan dari \( y = \ln(\sin(x^2)) \)
Lihat Pembahasan
Tiga lapis: \( h(x)=x^2 \), \( g(t)=\sin t \), \( f(u)=\ln u \).
\( f'(u)=\frac{1}{u} \), \( g'(t)=\cos t \), \( h'(x)=2x \)
3. Tentukan turunan dari \( y = \left(\frac{x^2+1}{x-1}\right)^3 \)
Lihat Pembahasan
Misalkan \( u = \frac{x^2+1}{x-1} \), maka \( y = u^3 \).
Cari \(\frac{du}{dx}\) dengan aturan hasil bagi:
4. Tentukan turunan dari \( y = \sin^2(\ln(3x)) \)
Lihat Pembahasan
Tiga lapis: \( w=3x \), \( v=\ln w \), \( u=\sin v \), \( y=u^2 \).
\(\frac{dy}{du}=2u\), \(\frac{du}{dv}=\cos v\), \(\frac{dv}{dw}=\frac{1}{w}\), \(\frac{dw}{dx}=3\)
Dapat disederhanakan: \(\frac{\sin(2\ln 3x)}{x}\)
5. Tentukan turunan dari \( y = e^{\sqrt{x^2+1}} \)
Lihat Pembahasan
Misalkan \( v = x^2+1 \), \( u = \sqrt{v} = v^{1/2} \), \( y = e^u \).
\(\frac{dy}{du}=e^u\), \(\frac{du}{dv}=\frac{1}{2\sqrt{v}}\), \(\frac{dv}{dx}=2x\)
Latihan Soal
Mudah
1. Tentukan \( \frac{dy}{dx} \) jika \( y = (7x+2)^3 \)
2. Tentukan \( \frac{dy}{dx} \) jika \( y = (x^2-5)^4 \)
3. Tentukan \( \frac{dy}{dx} \) jika \( y = \sqrt{6x-1} \)
4. Tentukan \( \frac{dy}{dx} \) jika \( y = (1-3x)^5 \)
5. Tentukan \( \frac{dy}{dx} \) jika \( y = (x^3+2)^2 \)
Sedang
1. Tentukan \( \frac{dy}{dx} \) jika \( y = \cos(4x^2-x) \)
2. Tentukan \( \frac{dy}{dx} \) jika \( y = e^{3x^2+2x} \)
3. Tentukan \( \frac{dy}{dx} \) jika \( y = \ln(2x^2-x+1) \)
4. Tentukan \( \frac{dy}{dx} \) jika \( y = \tan^2(x) \)
5. Tentukan \( \frac{dy}{dx} \) jika \( y = \frac{1}{\sqrt{x^2+9}} \)
Sulit
1. Tentukan \( \frac{dy}{dx} \) jika \( y = e^{\cos(x^3)} \)
2. Tentukan \( \frac{dy}{dx} \) jika \( y = \ln\!\left(\sqrt{x^2+3x}\right) \)
3. Tentukan \( \frac{dy}{dx} \) jika \( y = \sin^3(e^{2x}) \)
4. Tentukan \( \frac{dy}{dx} \) jika \( y = \left(\ln(x^2+1)\right)^4 \)
5. Tentukan \( \frac{dy}{dx} \) jika \( y = \sqrt{\sin(2x)+\cos(3x)} \)