Diferensial: Titik Stasioner & Jenis-Jenis Ekstrim
Materi Lengkap dengan Contoh Soal & Latihan
1. Pengertian Titik Stasioner
Titik stasioner suatu fungsi \(f(x)\) adalah titik di mana turunan pertama fungsi tersebut bernilai nol:
\[ f'(x) = 0 \]
Pada titik stasioner, garis singgung kurva bersifat horizontal (gradien = 0). Titik stasioner bisa berupa:
Titik Maksimum Lokal — nilai fungsi tertinggi di sekitarnya
Titik Minimum Lokal — nilai fungsi terendah di sekitarnya
Titik Belok (Infleksi) — perubahan kecekungan kurva
Gambar: Kurva dengan titik maksimum dan minimum lokal
2. Cara Menentukan Titik Stasioner
Langkah-langkah menentukan titik stasioner:
Tentukan turunan pertama \(f'(x)\)
Selesaikan persamaan \(f'(x) = 0\) untuk mendapatkan nilai \(x\)
Substitusikan nilai \(x\) ke \(f(x)\) untuk mendapatkan koordinat titik stasioner \((x, f(x))\)
Tentukan jenis titik stasioner menggunakan uji turunan pertama atau kedua
Contoh Singkat:
Jika \(f(x) = x^3 – 3x^2 + 4\), maka:
\(f'(x) = 3x^2 – 6x = 3x(x-2)\)
\(f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0\) atau \(x = 2\)
Titik stasioner: \((0, 4)\) dan \((2, 0)\)
3. Jenis-Jenis Ekstrim
a. Nilai Maksimum Lokal
Titik \((a, f(a))\) adalah maksimum lokal jika \(f(a) \geq f(x)\) untuk semua \(x\) di sekitar \(a\).
Ciri: kurva naik sebelum titik dan turun setelah titik.
b. Nilai Minimum Lokal
Titik \((a, f(a))\) adalah minimum lokal jika \(f(a) \leq f(x)\) untuk semua \(x\) di sekitar \(a\).
Ciri: kurva turun sebelum titik dan naik setelah titik.
c. Titik Belok (Infleksi)
Titik di mana kecekungan kurva berubah (dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah atau sebaliknya). Pada titik belok horizontal, \(f'(x)=0\) tetapi tidak ada perubahan tanda.
Jenis
f'(x) sebelum
f'(x) = 0
f'(x) sesudah
Maksimum
+ (naik)
0
− (turun)
Minimum
− (turun)
0
+ (naik)
Belok
+ atau −
0
+ atau − (sama)
4. Uji Turunan Pertama
Periksa perubahan tanda \(f'(x)\) di sekitar titik stasioner:
Jika \(f'(x)\) berubah dari positif ke negatif → Maksimum Lokal
Jika \(f'(x)\) berubah dari negatif ke positif → Minimum Lokal
Jika \(f'(x)\) tidak berubah tanda → Titik Belok
Contoh: \(f(x) = x^3\), maka \(f'(x) = 3x^2\).
\(f'(0) = 0\). Periksa: \(f'(-1)=3>0\), \(f'(1)=3>0\).
Tanda tidak berubah → titik belok di \((0,0)\).
5. Uji Turunan Kedua
Gunakan \(f”(x)\) pada titik stasioner \(x = a\):
Jika \(f”(a) < 0\) → Maksimum Lokal
Jika \(f”(a) > 0\) → Minimum Lokal
Jika \(f”(a) = 0\) → Uji tidak meyakinkan (gunakan uji turunan pertama)
Soal 3: Tentukan titik stasioner dari \(f(x) = x^3 – 3x\) dan buat tabel tanda.
▶ Lihat Pembahasan
\(f'(x) = 3x^2 – 3 = 3(x-1)(x+1)\)
Titik stasioner: \(x=-1\) dan \(x=1\)
Interval
\(x<-1\)
\(x=-1\)
\(-1
<1\)
\(x=1\)
\(x>1\)
\(f'(x)\)
+
0
−
0
+
Keterangan
Naik
Maks
Turun
Min
Naik
\(f(-1)=2\) → Maks \((-1,2)\); \(f(1)=-2\) → Min \((1,-2)\)
Sedang
Soal 4: Tentukan titik stasioner dari \(f(x) = x^4 – 4x^2\)
▶ Lihat Pembahasan
\(f'(x) = 4x^3 – 8x = 4x(x^2-2)\)
\(f'(x)=0: x=0, x=\sqrt{2}, x=-\sqrt{2}\)
\(f”(x) = 12x^2 – 8\)
\(f”(0) = -8 < 0\) → Maksimum di \((0, 0)\)
\(f”(\sqrt{2}) = 24-8=16>0\) → Minimum di \((\sqrt{2}, -4)\)
\(f”(-\sqrt{2}) = 16>0\) → Minimum di \((-\sqrt{2}, -4)\)
Sedang
Soal 5: Tentukan titik stasioner dari \(f(x) = \frac{x^3}{3} – \frac{x^2}{2} – 2x + 1\)
▶ Lihat Pembahasan
\(f'(x) = x^2 – x – 2 = (x-2)(x+1)\)
\(x=2\) atau \(x=-1\)
\(f”(x) = 2x – 1\)
\(f”(-1) = -3 < 0\) → Maksimum di \((-1, \frac{7}{6})\)
\(f”(2) = 3 > 0\) → Minimum di \((2, -\frac{5}{3})\)
Tingkat Sulit
Sulit
Soal 1: Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari \(f(x) = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1\)
▶ Lihat Pembahasan
Perhatikan \(f(x) = (x-1)^4\)
\(f'(x) = 4(x-1)^3\)
\(f'(x)=0 \Rightarrow x=1\)
\(f”(x) = 12(x-1)^2\), \(f”(1) = 0\) → uji tidak meyakinkan
Uji turunan pertama: \(f'(0)=-4<0\), \(f'(2)=4>0\)
Tanda berubah dari − ke + → Minimum lokal di \((1, 0)\)
Sulit
Soal 2: Tentukan semua titik stasioner dari \(f(x) = x^5 – 5x^3\) dan klasifikasikan.
▶ Lihat Pembahasan
\(f'(x) = 5x^4 – 15x^2 = 5x^2(x^2-3)\)
\(f'(x)=0: x=0, x=\sqrt{3}, x=-\sqrt{3}\)
\(f”(x) = 20x^3 – 30x\)
\(f”(0) = 0\) → uji tidak meyakinkan. Cek tanda: \(f'(-0.1)>0\), \(f'(0.1)<0\)… Sebenarnya \(f'(x)=5x^2(x^2-3)\). Untuk \(x\) dekat 0: \(5x^2>0\) dan \((x^2-3)<0\), jadi \(f'(x)<0\) di kedua sisi. Tanda sama → Titik belok di \((0,0)\)
\(f”(\sqrt{3}) = 20(3\sqrt{3})-30\sqrt{3} = 60\sqrt{3}-30\sqrt{3}=30\sqrt{3}>0\) → Minimum di \((\sqrt{3}, -6\sqrt{3})\)
\(f”(-\sqrt{3}) = -30\sqrt{3}<0\) → Maksimum di \((-\sqrt{3}, 6\sqrt{3})\)
Sulit
Soal 3: Tentukan titik stasioner dari \(f(x) = xe^{-x}\)
▶ Lihat Pembahasan
\(f'(x) = e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x}(1-x)\)
\(f'(x)=0: e^{-x}\neq 0\), jadi \(1-x=0 \Rightarrow x=1\)
\(f'(x)=0: x=0\) atau \(x=2\) (dengan \(x\neq 1\))
Uji turunan pertama untuk \(x=0\): \(f'(-1)=\frac{(-1)(−3)}{4}=\frac{3}{4}>0\), \(f'(0.5)=\frac{0.5(-1.5)}{0.25}=-3<0\). Berubah + ke − → Maksimum lokal di \((0,0)\)
Untuk \(x=2\): \(f'(1.5)=\frac{1.5(-0.5)}{0.25}=-3<0\), \(f'(3)=\frac{3(1)}{4}>0\). Berubah − ke + → Minimum lokal di \((2,4)\)
7. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri. Tentukan titik stasioner dan jenisnya!
Mudah
1 Tentukan titik stasioner dari \(f(x) = x^2 – 10x + 25\)
2 Tentukan titik stasioner dari \(f(x) = -3x^2 + 12x – 7\)
3 Tentukan titik stasioner dari \(f(x) = 4x^2 + 8x + 3\)
4 Tentukan titik stasioner dari \(f(x) = -x^2 + 2x + 5\)
5 Tentukan titik stasioner dari \(f(x) = 5x^2 – 20x + 12\)
Sedang
1 Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari \(f(x) = x^3 – 12x + 5\)
2 Tentukan titik stasioner dari \(f(x) = 2x^3 + 3x^2 – 12x + 7\)
3 Tentukan titik stasioner dari \(f(x) = x^4 – 8x^2 + 16\)
4 Buat tabel tanda dan tentukan jenis titik stasioner dari \(f(x) = x^3 – 3x^2 – 9x + 2\)
5 Tentukan titik stasioner dari \(f(x) = \frac{x^3}{3} – 4x + 2\)
Sulit
1 Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari \(f(x) = x^4 – 4x^3\)
2 Tentukan titik stasioner dari \(f(x) = (x^2-1)e^{-x}\)
3 Tentukan titik stasioner dari \(f(x) = x\sqrt{4-x^2}\) pada domain \(-2 \leq x \leq 2\)
4 Tentukan titik stasioner dari \(f(x) = \frac{x^2+1}{x^2-1}\) dan klasifikasikan jenisnya.
5 Tentukan titik stasioner dari \(f(x) = x^3 e^{-2x}\) dan tentukan jenisnya.
