Diferensial
Nilai Maksimum dan Nilai Minimum Suatu Fungsi dalam Interval Tertutup
📘 Materi
1. Pengertian Nilai Maksimum dan Minimum
Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi \(f(x)\) pada interval tertutup \([a, b]\) adalah nilai terbesar dan terkecil yang dicapai fungsi tersebut pada interval itu.
Teorema Nilai Ekstrem:
Jika \(f\) kontinu pada interval tertutup \([a, b]\), maka \(f\) memiliki nilai maksimum absolut dan nilai minimum absolut pada \([a, b]\).
2. Langkah-langkah Mencari Nilai Maksimum dan Minimum
- Tentukan turunan pertama \(f'(x)\).
- Cari titik kritis, yaitu nilai \(x\) di mana \(f'(x) = 0\) atau \(f'(x)\) tidak ada, yang terletak di dalam interval \((a, b)\).
- Hitung nilai fungsi \(f(x)\) di setiap titik kritis dan di kedua ujung interval, yaitu \(f(a)\) dan \(f(b)\).
- Bandingkan semua nilai tersebut. Nilai terbesar adalah maksimum absolut, nilai terkecil adalah minimum absolut.
3. Titik Kritis (Critical Points)
Titik kritis \(x = c\) terjadi jika:
4. Contoh Ilustrasi
Diberikan \(f(x) = x^2 – 4x + 3\) pada \([0, 4]\).
Langkah 1: \(f'(x) = 2x – 4\)
Langkah 2: \(f'(x) = 0 \Rightarrow 2x – 4 = 0 \Rightarrow x = 2\) (terletak di \((0,4)\))
Langkah 3:
- \(f(0) = 0 – 0 + 3 = 3\)
- \(f(2) = 4 – 8 + 3 = -1\)
- \(f(4) = 16 – 16 + 3 = 3\)
Langkah 4: Maksimum = 3 (di \(x=0\) dan \(x=4\)), Minimum = −1 (di \(x=2\))
5. Grafik Ilustrasi
6. Tabel Ringkasan Metode
| Langkah | Keterangan |
|---|---|
| 1 | Hitung \(f'(x)\) |
| 2 | Selesaikan \(f'(x)=0\), cari titik kritis di \((a,b)\) |
| 3 | Evaluasi \(f\) di titik kritis dan ujung interval |
| 4 | Bandingkan: terbesar = maks, terkecil = min |
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
🟢 Tingkat Mudah
Soal 1:
Tentukan nilai maksimum dan minimum \(f(x) = 2x + 1\) pada \([0, 3]\).
Lihat Pembahasan
\(f'(x) = 2\), tidak ada titik kritis (f’ tidak pernah nol).
\(f(0) = 1\), \(f(3) = 7\)
Maksimum = 7 di \(x=3\), Minimum = 1 di \(x=0\).
Soal 2:
Tentukan nilai maksimum dan minimum \(f(x) = x^2\) pada \([-2, 2]\).
Lihat Pembahasan
\(f'(x) = 2x = 0 \Rightarrow x = 0\)
\(f(-2) = 4\), \(f(0) = 0\), \(f(2) = 4\)
Maksimum = 4 di \(x = \pm 2\), Minimum = 0 di \(x=0\).
Soal 3:
Tentukan nilai maksimum dan minimum \(f(x) = -x^2 + 4x\) pada \([0, 4]\).
Lihat Pembahasan
\(f'(x) = -2x + 4 = 0 \Rightarrow x = 2\)
\(f(0) = 0\), \(f(2) = -4+8 = 4\), \(f(4) = -16+16 = 0\)
Maksimum = 4 di \(x=2\), Minimum = 0 di \(x=0\) dan \(x=4\).
Soal 4:
Tentukan nilai maksimum dan minimum \(f(x) = 3x – x^2\) pada \([0, 3]\).
Lihat Pembahasan
\(f'(x) = 3 – 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}\)
\(f(0) = 0\), \(f(\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} – \frac{9}{4} = \frac{9}{4}\), \(f(3) = 9 – 9 = 0\)
Maksimum = \(\frac{9}{4}\) di \(x=\frac{3}{2}\), Minimum = 0 di \(x=0\) dan \(x=3\).
Soal 5:
Tentukan nilai maksimum dan minimum \(f(x) = x^2 + 2x\) pada \([-3, 1]\).
Lihat Pembahasan
\(f'(x) = 2x + 2 = 0 \Rightarrow x = -1\)
\(f(-3) = 9 – 6 = 3\), \(f(-1) = 1 – 2 = -1\), \(f(1) = 1 + 2 = 3\)
Maksimum = 3 di \(x=-3\) dan \(x=1\), Minimum = -1 di \(x=-1\).
🟡 Tingkat Sedang
Soal 1:
Tentukan nilai maksimum dan minimum \(f(x) = x^3 – 3x + 2\) pada \([-2, 2]\).
Lihat Pembahasan
\(f'(x) = 3x^2 – 3 = 3(x^2 – 1) = 0 \Rightarrow x = \pm 1\)
\(f(-2) = -8 + 6 + 2 = 0\)
\(f(-1) = -1 + 3 + 2 = 4\)
\(f(1) = 1 – 3 + 2 = 0\)
\(f(2) = 8 – 6 + 2 = 4\)
Maksimum = 4 di \(x=-1\) dan \(x=2\), Minimum = 0 di \(x=-2\) dan \(x=1\).
Soal 2:
Tentukan nilai maksimum dan minimum \(f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x + 1\) pada \([0, 4]\).
Lihat Pembahasan
\(f'(x) = 3x^2 – 12x + 9 = 3(x^2 – 4x + 3) = 3(x-1)(x-3) = 0\)
Titik kritis: \(x = 1\) dan \(x = 3\)
\(f(0) = 1\), \(f(1) = 1-6+9+1 = 5\), \(f(3) = 27-54+27+1 = 1\), \(f(4) = 64-96+36+1 = 5\)
Maksimum = 5 di \(x=1\) dan \(x=4\), Minimum = 1 di \(x=0\) dan \(x=3\).
Soal 3:
Tentukan nilai maksimum dan minimum \(f(x) = 2x^3 – 9x^2 + 12x\) pada \([0, 3]\).
Lihat Pembahasan
\(f'(x) = 6x^2 – 18x + 12 = 6(x^2 – 3x + 2) = 6(x-1)(x-2) = 0\)
Titik kritis: \(x=1\), \(x=2\)
\(f(0) = 0\), \(f(1) = 2-9+12 = 5\), \(f(2) = 16-36+24 = 4\), \(f(3) = 54-81+36 = 9\)
Maksimum = 9 di \(x=3\), Minimum = 0 di \(x=0\).
Soal 4:
Tentukan nilai maksimum dan minimum \(f(x) = \frac{x^2}{x+1}\) pada \([0, 2]\).
Lihat Pembahasan
Menggunakan aturan hasil bagi:
\(f'(x) = \frac{2x(x+1) – x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)^2}\)
Di \([0,2]\): \(f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0\) (ujung interval)
\(f(0) = 0\), \(f(2) = \frac{4}{3}\)
Maksimum = \(\frac{4}{3}\) di \(x=2\), Minimum = 0 di \(x=0\).
Soal 5:
Tentukan nilai maksimum dan minimum \(f(x) = x^4 – 8x^2 + 3\) pada \([-3, 3]\).
Lihat Pembahasan
\(f'(x) = 4x^3 – 16x = 4x(x^2 – 4) = 4x(x-2)(x+2) = 0\)
Titik kritis: \(x = 0, \pm 2\)
\(f(-3) = 81 – 72 + 3 = 12\)
\(f(-2) = 16 – 32 + 3 = -13\)
\(f(0) = 3\)
\(f(2) = 16 – 32 + 3 = -13\)
\(f(3) = 81 – 72 + 3 = 12\)
Maksimum = 12 di \(x=\pm 3\), Minimum = -13 di \(x=\pm 2\).
🔴 Tingkat Sulit
Soal 1:
Tentukan nilai maksimum dan minimum \(f(x) = x\sqrt{4-x^2}\) pada \([-2, 2]\).
Lihat Pembahasan
Gunakan aturan perkalian. Misal \(u = x\), \(v = \sqrt{4-x^2}\)
\(f'(x) = \sqrt{4-x^2} + x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}} = \sqrt{4-x^2} – \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}\)
\(= \frac{4-x^2-x^2}{\sqrt{4-x^2}} = \frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}} = 0\)
\(4 – 2x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}\)
\(f(-2) = 0\), \(f(-\sqrt{2}) = -\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = -2\), \(f(\sqrt{2}) = \sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 2\), \(f(2) = 0\)
Maksimum = 2 di \(x=\sqrt{2}\), Minimum = -2 di \(x=-\sqrt{2}\).
Soal 2:
Tentukan nilai maksimum dan minimum \(f(x) = x^{2/3}(x-5)\) pada \([-1, 5]\).
Lihat Pembahasan
\(f(x) = x^{5/3} – 5x^{2/3}\)
\(f'(x) = \frac{5}{3}x^{2/3} – \frac{10}{3}x^{-1/3} = \frac{5x – 10}{3x^{1/3}} = \frac{5(x-2)}{3x^{1/3}}\)
\(f'(x) = 0 \Rightarrow x = 2\); \(f'(x)\) tidak terdefinisi di \(x = 0\).
Titik kritis: \(x = 0\) dan \(x = 2\)
\(f(-1) = 1\cdot(-6) = -6\)
\(f(0) = 0\)
\(f(2) = 2^{2/3}(2-5) = -3\cdot 2^{2/3} \approx -4{,}76\)
\(f(5) = 5^{2/3}(0) = 0\)
Maksimum = 0 di \(x=0\) dan \(x=5\), Minimum = -6 di \(x=-1\).
Soal 3:
Tentukan nilai maksimum dan minimum \(f(x) = \sin x + \cos x\) pada \([0, 2\pi]\).
Lihat Pembahasan
\(f'(x) = \cos x – \sin x = 0 \Rightarrow \tan x = 1\)
\(x = \frac{\pi}{4}\) dan \(x = \frac{5\pi}{4}\)
\(f(0) = 0 + 1 = 1\)
\(f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \approx 1{,}41\)
\(f(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} – \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} \approx -1{,}41\)
\(f(2\pi) = 0 + 1 = 1\)
Maksimum = \(\sqrt{2}\) di \(x=\frac{\pi}{4}\), Minimum = \(-\sqrt{2}\) di \(x=\frac{5\pi}{4}\).
Soal 4:
Tentukan nilai maksimum dan minimum \(f(x) = xe^{-x}\) pada \([0, 4]\).
Lihat Pembahasan
\(f'(x) = e^{-x} – xe^{-x} = e^{-x}(1-x) = 0 \Rightarrow x = 1\)
\(f(0) = 0\)
\(f(1) = e^{-1} = \frac{1}{e} \approx 0{,}368\)
\(f(4) = 4e^{-4} \approx 0{,}073\)
Maksimum = \(\frac{1}{e}\) di \(x=1\), Minimum = 0 di \(x=0\).
Soal 5:
Tentukan nilai maksimum dan minimum \(f(x) = x^3 – 3x^2 – 9x + 5\) pada \([-2, 4]\).
Lihat Pembahasan
\(f'(x) = 3x^2 – 6x – 9 = 3(x^2 – 2x – 3) = 3(x-3)(x+1) = 0\)
Titik kritis: \(x = -1\) dan \(x = 3\)
\(f(-2) = -8 – 12 + 18 + 5 = 3\)
\(f(-1) = -1 – 3 + 9 + 5 = 10\)
\(f(3) = 27 – 27 – 27 + 5 = -22\)
\(f(4) = 64 – 48 – 36 + 5 = -15\)
Maksimum = 10 di \(x=-1\), Minimum = -22 di \(x=3\).
✏️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan.
🟢 Tingkat Mudah
1. Tentukan nilai maksimum dan minimum \(f(x) = 5 – 3x\) pada \([-1, 2]\).
2. Tentukan nilai maksimum dan minimum \(f(x) = x^2 – 6x + 8\) pada \([1, 5]\).
3. Tentukan nilai maksimum dan minimum \(f(x) = -2x^2 + 8x\) pada \([0, 5]\).
4. Tentukan nilai maksimum dan minimum \(f(x) = x^2 + 4x + 1\) pada \([-4, 0]\).
5. Tentukan nilai maksimum dan minimum \(f(x) = 4x – x^2\) pada \([0, 4]\).
🟡 Tingkat Sedang
1. Tentukan nilai maksimum dan minimum \(f(x) = x^3 – 12x + 1\) pada \([-3, 3]\).
2. Tentukan nilai maksimum dan minimum \(f(x) = 2x^3 – 3x^2 – 12x + 5\) pada \([-2, 3]\).
3. Tentukan nilai maksimum dan minimum \(f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}\) pada \([-2, 2]\).
4. Tentukan nilai maksimum dan minimum \(f(x) = x^4 – 2x^2 + 1\) pada \([-2, 2]\).
5. Tentukan nilai maksimum dan minimum \(f(x) = x^3 – 3x^2 + 4\) pada \([-1, 3]\).
🔴 Tingkat Sulit
1. Tentukan nilai maksimum dan minimum \(f(x) = x^2 \ln x\) pada \([1, e]\).
2. Tentukan nilai maksimum dan minimum \(f(x) = 2\sin x + \sin 2x\) pada \([0, \pi]\).
3. Tentukan nilai maksimum dan minimum \(f(x) = \frac{x^2 – 1}{x^2 + 1}\) pada \([-3, 3]\).
4. Tentukan nilai maksimum dan minimum \(f(x) = x – 2\arctan x\) pada \([0, 4]\).
5. Tentukan nilai maksimum dan minimum \(f(x) = (x^2 – 4)^{2/3}\) pada \([-3, 3]\).