Diferensial – Materi Matematika

Diferensial

Persamaan Garis Singgung & Kemonotonan Fungsi

📐 Persamaan Garis Singgung pada Kurva

Konsep Dasar

Garis singgung pada kurva $y = f(x)$ di titik $(x_1, y_1)$ adalah garis yang menyinggung kurva tepat di satu titik tersebut. Gradien garis singgung sama dengan nilai turunan fungsi di titik tersebut.

Rumus Persamaan Garis Singgung

Rumus Utama:

$$y – y_1 = m(x – x_1)$$

dengan:

$m = f'(x_1)$ → gradien garis singgung (turunan di $x_1$)
$(x_1, y_1)$ → titik singgung pada kurva
$y_1 = f(x_1)$

Langkah-langkah Menentukan Persamaan Garis Singgung

Tentukan turunan $f'(x)$
Hitung gradien $m = f'(x_1)$
Hitung $y_1 = f(x_1)$ jika belum diketahui
Substitusi ke rumus $y – y_1 = m(x – x_1)$

📝 Contoh Soal – Persamaan Garis Singgung

● Tingkat Mudah

Mudah

1. Tentukan persamaan garis singgung kurva $y = x^2$ di titik $x = 2$.

Pembahasan:

$f(x) = x^2$, maka $f'(x) = 2x$

Di $x = 2$: $m = f'(2) = 2(2) = 4$

$y_1 = f(2) = 2^2 = 4$, titik singgung $(2, 4)$

PGS: $y – 4 = 4(x – 2)$

$y = 4x – 8 + 4$

$y = 4x – 4$

Mudah

2. Tentukan persamaan garis singgung kurva $y = 3x^2$ di titik $x = 1$.

Pembahasan:

$f(x) = 3x^2$, maka $f'(x) = 6x$

Di $x = 1$: $m = f'(1) = 6$

$y_1 = f(1) = 3$, titik $(1, 3)$

PGS: $y – 3 = 6(x – 1)$

$y = 6x – 3$

Mudah

3. Tentukan persamaan garis singgung kurva $y = x^2 + 1$ di titik $x = 3$.

Pembahasan:

$f'(x) = 2x$

$m = f'(3) = 6$

$y_1 = 9 + 1 = 10$

PGS: $y – 10 = 6(x – 3)$

$y = 6x – 8$

Mudah

4. Tentukan persamaan garis singgung kurva $y = 2x^2 – x$ di titik $x = 1$.

Pembahasan:

$f'(x) = 4x – 1$

$m = f'(1) = 3$

$y_1 = 2(1) – 1 = 1$

PGS: $y – 1 = 3(x – 1)$

$y = 3x – 2$

Mudah

5. Tentukan persamaan garis singgung kurva $y = x^3$ di titik $x = 1$.

Pembahasan:

$f'(x) = 3x^2$

$m = f'(1) = 3$

$y_1 = 1$

PGS: $y – 1 = 3(x – 1)$

$y = 3x – 2$

● Tingkat Sedang

Sedang

1. Tentukan PGS kurva $y = x^3 – 3x + 2$ di titik dengan absis $x = 2$.

Pembahasan:

$f'(x) = 3x^2 – 3$

$m = f'(2) = 3(4) – 3 = 9$

$y_1 = 8 – 6 + 2 = 4$

PGS: $y – 4 = 9(x – 2)$

$y = 9x – 14$

Sedang

2. Tentukan PGS kurva $y = \frac{1}{x}$ di titik $x = 2$.

Pembahasan:

$f(x) = x^{-1}$, maka $f'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

$m = f'(2) = -\frac{1}{4}$

$y_1 = \frac{1}{2}$

PGS: $y – \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}(x – 2)$

$y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

$y = -\frac{1}{4}x + 1$

Sedang

3. Tentukan PGS kurva $y = \sqrt{x}$ di titik $x = 4$.

Pembahasan:

$f(x) = x^{1/2}$, maka $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$m = f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}$

$y_1 = \sqrt{4} = 2$

PGS: $y – 2 = \frac{1}{4}(x – 4)$

$y = \frac{1}{4}x + 1$

Sedang

4. Tentukan PGS kurva $y = x^2 – 4x + 3$ yang bergradien 2.

Pembahasan:

$f'(x) = 2x – 4$

Syarat: $f'(x) = 2 \Rightarrow 2x – 4 = 2 \Rightarrow x = 3$

$y_1 = 9 – 12 + 3 = 0$, titik $(3, 0)$

PGS: $y – 0 = 2(x – 3)$

$y = 2x – 6$

Sedang

5. Tentukan PGS kurva $y = 2x^2 + x – 1$ yang sejajar garis $y = 5x + 3$.

Pembahasan:

Garis sejajar → gradien sama, $m = 5$

$f'(x) = 4x + 1 = 5 \Rightarrow x = 1$

$y_1 = 2 + 1 – 1 = 2$

PGS: $y – 2 = 5(x – 1)$

$y = 5x – 3$

● Tingkat Sulit

Sulit

1. Tentukan PGS kurva $y = x^3 – 3x^2 + 2$ yang tegak lurus garis $x + 9y = 5$.

Pembahasan:

Garis: $y = -\frac{1}{9}x + \frac{5}{9}$, gradien $= -\frac{1}{9}$

Tegak lurus: $m_1 \cdot m_2 = -1 \Rightarrow m = 9$

$f'(x) = 3x^2 – 6x = 9$

$3x^2 – 6x – 9 = 0 \Rightarrow x^2 – 2x – 3 = 0$

$(x-3)(x+1) = 0 \Rightarrow x = 3$ atau $x = -1$

Untuk $x = 3$: $y_1 = 27 – 27 + 2 = 2$ → PGS: $y = 9x – 25$

Untuk $x = -1$: $y_1 = -1 – 3 + 2 = -2$ → PGS: $y = 9x + 7$

$y = 9x – 25$ atau $y = 9x + 7$

Sulit

2. Tentukan PGS kurva $y = x^2 – 2x + 3$ yang melalui titik $(0, -1)$.

Pembahasan:

Misalkan titik singgung $(a, a^2 – 2a + 3)$

$f'(x) = 2x – 2$, $m = 2a – 2$

PGS: $y – (a^2-2a+3) = (2a-2)(x-a)$

Melalui $(0,-1)$: $-1 – a^2 + 2a – 3 = (2a-2)(0-a)$

$-a^2 + 2a – 4 = -2a^2 + 2a$

$a^2 = 4 \Rightarrow a = 2$ atau $a = -2$

$a=2$: $m=2$, titik $(2,3)$ → $y = 2x – 1$

$a=-2$: $m=-6$, titik $(-2,11)$ → $y = -6x – 1$

$y = 2x – 1$ atau $y = -6x – 1$

Sulit

3. Tentukan PGS kurva $y = \frac{x+1}{x-1}$ di titik $x = 3$.

Pembahasan:

$f'(x) = \frac{(x-1)(1) – (x+1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$

$m = f'(3) = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

$y_1 = \frac{4}{2} = 2$

PGS: $y – 2 = -\frac{1}{2}(x – 3)$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$

Sulit

4. Tentukan PGS kurva $y = x^3 – 6x^2 + 9x + 1$ di titik-titik yang bergradien 0 (titik stasioner).

Pembahasan:

$f'(x) = 3x^2 – 12x + 9 = 0$

$x^2 – 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-3) = 0$

$x = 1$: $y = 1 – 6 + 9 + 1 = 5$ → PGS: $y = 5$

$x = 3$: $y = 27 – 54 + 27 + 1 = 1$ → PGS: $y = 1$

$y = 5$ dan $y = 1$ (garis horizontal)

Sulit

5. Tentukan PGS kurva $y = x^2 + 4x$ dan $y = x^2 – 2x + 4$ yang sejajar satu sama lain.

Pembahasan:

Kurva I: $f'(x) = 2x + 4$. Kurva II: $g'(x) = 2x – 2$

Sejajar → gradien sama: $2a + 4 = 2b – 2$ → $a = b – 3$

Gradien sama $= m$, maka $m = 2a + 4 = 2(b-3) + 4 = 2b – 2$

Garis singgung I di $x=a$: $y – (a^2+4a) = m(x-a)$

Garis singgung II di $x=b$: $y – (b^2-2b+4) = m(x-b)$

Sejajar dan sama → intercept sama: $-ma + a^2+4a = -mb + b^2-2b+4$

Substitusi $a = b-3$, $m = 2b-2$:

$-(2b-2)(b-3) + (b-3)^2 + 4(b-3) = -(2b-2)b + b^2-2b+4$

Setelah disederhanakan: $b = \frac{7}{2}$, $a = \frac{1}{2}$, $m = 5$

PGS: $y = 5x – \frac{9}{4}$

✏️ Latihan Soal – Persamaan Garis Singgung

● Mudah

1. Tentukan PGS kurva $y = x^2$ di titik $x = 3$.

2. Tentukan PGS kurva $y = 4x^2$ di titik $x = -1$.

3. Tentukan PGS kurva $y = x^2 – 5$ di titik $x = 2$.

4. Tentukan PGS kurva $y = x^3$ di titik $x = -1$.

5. Tentukan PGS kurva $y = 5x^2 + 2$ di titik $x = 1$.

● Sedang

1. Tentukan PGS kurva $y = x^3 – x$ yang bergradien $11$.

2. Tentukan PGS kurva $y = x^2 + 3x$ yang sejajar garis $y = 7x – 2$.

3. Tentukan PGS kurva $y = \frac{2}{x}$ di titik $x = 1$.

4. Tentukan PGS kurva $y = \sqrt{4x}$ di titik $x = 1$.

5. Tentukan PGS kurva $y = x^2 – 6x + 5$ di titik yang ordinatnya $= 0$.

● Sulit

1. Tentukan PGS kurva $y = x^3 + 2x$ yang tegak lurus garis $x + 5y = 10$.

2. Tentukan PGS kurva $y = x^2 – 3x + 5$ yang melalui titik $(1, -1)$.

3. Tentukan PGS kurva $y = \frac{x^2+1}{x-1}$ di titik $x = 2$.

4. Tentukan PGS kurva $y = x^4 – 2x^2$ di titik stasioner.

5. Dua kurva $y = x^2$ dan $y = -x^2 + 4x$ memiliki garis singgung yang sama. Tentukan PGS tersebut.

📈 Fungsi Naik dan Fungsi Turun (Kemonotonan)

Konsep Dasar

Kemonotonan fungsi menunjukkan perilaku fungsi apakah naik (increasing) atau turun (decreasing) pada suatu interval.

Definisi:

📈 Fungsi naik pada interval $(a,b)$ jika $f'(x) > 0$ untuk semua $x \in (a,b)$
📉 Fungsi turun pada interval $(a,b)$ jika $f'(x) < 0$ untuk semua $x \in (a,b)$
➡️ Fungsi konstan pada interval $(a,b)$ jika $f'(x) = 0$ untuk semua $x \in (a,b)$

Langkah Menentukan Interval Kemonotonan

Tentukan $f'(x)$
Cari titik stasioner: $f'(x) = 0$
Buat garis bilangan dan uji tanda $f'(x)$ pada setiap interval
Tentukan interval naik ($f'(x)>0$) dan turun ($f'(x)<0$)

Tabel Tanda (Contoh)

$x$	$x < a$	$x = a$	$a < x < b$	$x = b$	$x > b$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	↗ naik	maks	↘ turun	min	↗ naik

📝 Contoh Soal – Kemonotonan Fungsi

● Tingkat Mudah

Mudah

1. Tentukan interval fungsi naik dan turun dari $f(x) = x^2 – 4x$.

Pembahasan:

$f'(x) = 2x – 4 = 0 \Rightarrow x = 2$

Untuk $x < 2$: $f'(x) < 0$ → fungsi turun

Untuk $x > 2$: $f'(x) > 0$ → fungsi naik

Turun: $(-\infty, 2)$, Naik: $(2, \infty)$

Mudah

2. Tentukan interval kemonotonan $f(x) = x^2 + 6x + 5$.

Pembahasan:

$f'(x) = 2x + 6 = 0 \Rightarrow x = -3$

$x < -3$: $f'(x) < 0$ → turun

$x > -3$: $f'(x) > 0$ → naik

Turun: $(-\infty, -3)$, Naik: $(-3, \infty)$

Mudah

3. Tentukan interval fungsi naik $f(x) = -x^2 + 2x + 3$.

Pembahasan:

$f'(x) = -2x + 2 = 0 \Rightarrow x = 1$

$x < 1$: $f'(x) > 0$ → naik

$x > 1$: $f'(x) < 0$ → turun

Fungsi naik pada $(-\infty, 1)$

Mudah

4. Tentukan interval fungsi turun dari $f(x) = 3x^2 + 12x$.

Pembahasan:

$f'(x) = 6x + 12 = 0 \Rightarrow x = -2$

$x < -2$: $f'(x) < 0$ → turun

Fungsi turun pada $(-\infty, -2)$

Mudah

5. Apakah $f(x) = 2x + 5$ selalu naik?

Pembahasan:

$f'(x) = 2 > 0$ untuk semua $x$

Ya, $f(x) = 2x + 5$ selalu naik (monoton naik) pada $(-\infty, \infty)$

● Tingkat Sedang

Sedang

1. Tentukan interval kemonotonan $f(x) = x^3 – 3x$.

Pembahasan:

$f'(x) = 3x^2 – 3 = 3(x^2 – 1) = 3(x-1)(x+1) = 0$

$x = -1$ atau $x = 1$

$x < -1$: $f'(x) = 3(-)(-) = + > 0$ → naik

$-1 < x < 1$: $f'(x) = 3(+)(-) = – < 0$ → turun

$x > 1$: $f'(x) = 3(+)(+) = + > 0$ → naik

Naik: $(-\infty,-1) \cup (1,\infty)$, Turun: $(-1, 1)$

Sedang

2. Tentukan interval kemonotonan $f(x) = x^3 – 12x + 5$.

Pembahasan:

$f'(x) = 3x^2 – 12 = 3(x^2 – 4) = 3(x-2)(x+2) = 0$

$x = -2$ atau $x = 2$

$x < -2$: $f'(x) > 0$ → naik

$-2 < x < 2$: $f'(x) < 0$ → turun

$x > 2$: $f'(x) > 0$ → naik

Naik: $(-\infty,-2) \cup (2,\infty)$, Turun: $(-2, 2)$

Sedang

3. Tentukan interval fungsi naik dari $f(x) = 2x^3 – 9x^2 + 12x – 4$.

Pembahasan:

$f'(x) = 6x^2 – 18x + 12 = 6(x^2 – 3x + 2) = 6(x-1)(x-2) = 0$

$x = 1$ atau $x = 2$

$x < 1$: $f'(x) = 6(-)(-) > 0$ → naik

$1 < x < 2$: $f'(x) = 6(+)(-) < 0$ → turun

$x > 2$: $f'(x) = 6(+)(+) > 0$ → naik

Fungsi naik pada $(-\infty, 1) \cup (2, \infty)$

Sedang

4. Tentukan nilai $a$ agar $f(x) = x^3 – ax$ selalu naik.

Pembahasan:

$f'(x) = 3x^2 – a$

Agar selalu naik: $f'(x) \geq 0$ untuk semua $x$

$3x^2 – a \geq 0$ untuk semua $x$

Minimum $3x^2$ adalah $0$ (saat $x=0$), maka $-a \geq 0$

$a \leq 0$

Sedang

5. Tentukan interval kemonotonan $f(x) = x^4 – 8x^2$.

Pembahasan:

$f'(x) = 4x^3 – 16x = 4x(x^2-4) = 4x(x-2)(x+2) = 0$

$x = -2, 0, 2$

$x < -2$: $f'(x) = 4(-)(+)(-) = – < 0$ → turun

$-2 < x < 0$: $f'(x) = 4(-)(-)(−) = + > 0$ → naik

$0 < x < 2$: $f'(x) = 4(+)(-)(+)… $

Uji $x=1$: $4(1)(1-2)(1+2) = 4(1)(-1)(3) = -12 < 0$ → turun

$x > 2$: uji $x=3$: $4(3)(1)(5) = 60 > 0$ → naik

Naik: $(-2,0) \cup (2,\infty)$, Turun: $(-\infty,-2) \cup (0,2)$

● Tingkat Sulit

Sulit

1. Tentukan interval kemonotonan $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$ untuk $x \neq 1$.

Pembahasan:

$f'(x) = \frac{2x(x-1) – x^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2 – 2x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$

$(x-1)^2 > 0$ selalu (untuk $x \neq 1$)

Tanda $f'(x)$ ditentukan oleh $x(x-2)$: nol di $x=0$ dan $x=2$

$x < 0$: $(-)(-) > 0$ → naik

$0 < x < 1$: $(+)(-) < 0$ → turun

$1 < x < 2$: $(+)(-) < 0$ → turun

$x > 2$: $(+)(+) > 0$ → naik

Naik: $(-\infty,0) \cup (2,\infty)$, Turun: $(0,1) \cup (1,2)$

Sulit

2. Tentukan interval kemonotonan $f(x) = x\sqrt{4-x^2}$.

Pembahasan:

Domain: $-2 \leq x \leq 2$

$f'(x) = \sqrt{4-x^2} + x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}} = \sqrt{4-x^2} – \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}$

$= \frac{4-x^2-x^2}{\sqrt{4-x^2}} = \frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}$

$f'(x) = 0 \Rightarrow 4-2x^2 = 0 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$

$-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$: $f'(x) > 0$ → naik

$x < -\sqrt{2}$ atau $x > \sqrt{2}$: $f'(x) < 0$ → turun

Naik: $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$, Turun: $(-2,-\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2},2)$

Sulit

3. Tentukan nilai $p$ agar $f(x) = x^3 – 3px^2 + 3p^2x + 1$ selalu naik.

Pembahasan:

$f'(x) = 3x^2 – 6px + 3p^2 = 3(x^2 – 2px + p^2) = 3(x-p)^2$

$(x-p)^2 \geq 0$ untuk semua $x$, sehingga $f'(x) \geq 0$ untuk semua $x$

$f'(x) = 0$ hanya di $x = p$ (satu titik saja, bukan interval)

$f(x)$ selalu naik (monoton naik) untuk semua nilai $p \in \mathbb{R}$

Sulit

4. Tentukan interval kemonotonan $f(x) = x^3 – 3x^2 – 9x + 5$ dan tentukan nilai maksimum dan minimum lokal.

Pembahasan:

$f'(x) = 3x^2 – 6x – 9 = 3(x^2 – 2x – 3) = 3(x-3)(x+1) = 0$

$x = -1$ atau $x = 3$

$x < -1$: $f'(x) > 0$ → naik

$-1 < x < 3$: $f'(x) < 0$ → turun

$x > 3$: $f'(x) > 0$ → naik

Maks lokal di $x=-1$: $f(-1) = -1-3+9+5 = 10$

Min lokal di $x=3$: $f(3) = 27-27-27+5 = -22$

Naik: $(-\infty,-1)\cup(3,\infty)$, Turun: $(-1,3)$. Maks lokal: $10$, Min lokal: $-22$

Sulit

5. Tentukan interval di mana $f(x) = xe^{-x}$ naik dan turun.

Pembahasan:

$f'(x) = e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x}(1-x)$

Karena $e^{-x} > 0$ selalu, tanda $f'(x)$ ditentukan oleh $(1-x)$

$f'(x) = 0 \Rightarrow x = 1$

$x < 1$: $(1-x) > 0$ → $f'(x) > 0$ → naik

$x > 1$: $(1-x) < 0$ → $f'(x) < 0$ → turun

Naik: $(-\infty, 1)$, Turun: $(1, \infty)$

✏️ Latihan Soal – Kemonotonan Fungsi

● Mudah

1. Tentukan interval naik dan turun $f(x) = x^2 – 8x + 7$.

2. Tentukan interval naik $f(x) = -x^2 + 4x – 1$.

3. Tentukan interval turun $f(x) = x^2 + 2x$.

4. Apakah $f(x) = -3x + 7$ selalu turun? Jelaskan!

5. Tentukan interval kemonotonan $f(x) = 2x^2 – 4x + 1$.

● Sedang

1. Tentukan interval kemonotonan $f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x + 2$.

2. Tentukan interval kemonotonan $f(x) = 2x^3 + 3x^2 – 12x + 1$.

3. Tentukan interval fungsi naik dari $f(x) = x^3 – 3x^2 – 24x$.

4. Tentukan nilai $k$ agar $f(x) = x^2 – kx + 4$ turun pada interval $(0, 3)$.

5. Tentukan interval kemonotonan $f(x) = x^4 – 4x^3$.

● Sulit

1. Tentukan interval kemonotonan $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$.

2. Tentukan interval kemonotonan $f(x) = x^2 e^{-x}$.

3. Tentukan nilai $a$ dan $b$ agar $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$ memiliki titik stasioner di $x = 1$ dan $x = 3$.

4. Tentukan interval kemonotonan $f(x) = \ln(x^2 – 4x + 5)$.

5. Tentukan interval kemonotonan $f(x) = x – 2\sin x$ pada $[0, 2\pi]$.

Epres Math – Diferensial (Turunan) – Persamaan Garis Singgung & Kemonotonan Fungsi

Diferensial

📐 Persamaan Garis Singgung pada Kurva

Konsep Dasar

Rumus Persamaan Garis Singgung

Langkah-langkah Menentukan Persamaan Garis Singgung

📝 Contoh Soal – Persamaan Garis Singgung

● Tingkat Mudah

● Tingkat Sedang

● Tingkat Sulit

✏️ Latihan Soal – Persamaan Garis Singgung

● Mudah

● Sedang

● Sulit

📈 Fungsi Naik dan Fungsi Turun (Kemonotonan)

Konsep Dasar

Langkah Menentukan Interval Kemonotonan

Tabel Tanda (Contoh)

📝 Contoh Soal – Kemonotonan Fungsi

● Tingkat Mudah

● Tingkat Sedang

● Tingkat Sulit

✏️ Latihan Soal – Kemonotonan Fungsi

● Mudah

● Sedang

● Sulit

By admin

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed

Perangkat Pertama OpenAI Berupa Speaker AI Tanpa Layar

Terungkap! Begini Wujud Gadget AI Pertama OpenAI yang Disebut Bakal Saingi Apple

Lingkungan Belajar Aman, Nyaman, dan Menggembirakan (LBANM)

Eksplorasi Diri : Mengenali Potensi yang Ada (Analisis SWOT)

📐 Persamaan Garis Singgung pada Kurva

Konsep Dasar

Rumus Persamaan Garis Singgung

Langkah-langkah Menentukan Persamaan Garis Singgung

📝 Contoh Soal – Persamaan Garis Singgung

● Tingkat Mudah

● Tingkat Sedang

● Tingkat Sulit

✏️ Latihan Soal – Persamaan Garis Singgung

● Mudah

● Sedang

● Sulit

📈 Fungsi Naik dan Fungsi Turun (Kemonotonan)

Konsep Dasar

Langkah Menentukan Interval Kemonotonan

Tabel Tanda (Contoh)

📝 Contoh Soal – Kemonotonan Fungsi

● Tingkat Mudah

● Tingkat Sedang

● Tingkat Sulit

✏️ Latihan Soal – Kemonotonan Fungsi

● Mudah

● Sedang

● Sulit

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed