Diferensial: Laju Perubahan Nilai Fungsi
Materi, Contoh Soal & Latihan
A. Laju Perubahan Nilai Fungsi
Laju perubahan nilai fungsi (average rate of change) mengukur seberapa cepat nilai fungsi berubah pada suatu interval tertentu.
Definisi:
Jika \(f(x)\) adalah suatu fungsi, maka laju perubahan rata-rata fungsi \(f\) pada interval \([a, b]\) adalah:
Interpretasi Geometris:
Laju perubahan rata-rata sama dengan kemiringan garis sekan (secant line) yang menghubungkan dua titik \((a, f(a))\) dan \((b, f(b))\) pada grafik fungsi.
Langkah Penyelesaian:
- Tentukan nilai \(f(a)\) dan \(f(b)\)
- Hitung selisih \(f(b) – f(a)\)
- Hitung selisih \(b – a\)
- Bagi hasilnya: \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
Contoh Soal
● Tingkat Mudah
1. Tentukan laju perubahan rata-rata \(f(x) = 2x + 3\) pada interval \([1, 4]\).
Pembahasan:
\(f(1) = 2(1) + 3 = 5\)
\(f(4) = 2(4) + 3 = 11\)
Laju perubahan = \(\frac{11 – 5}{4 – 1} = \frac{6}{3} = 2\)
2. Tentukan laju perubahan rata-rata \(f(x) = x^2\) pada interval \([0, 3]\).
Pembahasan:
\(f(0) = 0\), \(f(3) = 9\)
Laju perubahan = \(\frac{9 – 0}{3 – 0} = \frac{9}{3} = 3\)
3. Tentukan laju perubahan rata-rata \(f(x) = 3x – 1\) pada interval \([2, 5]\).
Pembahasan:
\(f(2) = 5\), \(f(5) = 14\)
Laju perubahan = \(\frac{14 – 5}{5 – 2} = \frac{9}{3} = 3\)
4. Tentukan laju perubahan rata-rata \(f(x) = x^2 + 1\) pada interval \([1, 3]\).
Pembahasan:
\(f(1) = 2\), \(f(3) = 10\)
Laju perubahan = \(\frac{10 – 2}{3 – 1} = \frac{8}{2} = 4\)
5. Tentukan laju perubahan rata-rata \(f(x) = 4x\) pada interval \([0, 5]\).
Pembahasan:
\(f(0) = 0\), \(f(5) = 20\)
Laju perubahan = \(\frac{20 – 0}{5 – 0} = \frac{20}{5} = 4\)
● Tingkat Sedang
1. Tentukan laju perubahan rata-rata \(f(x) = x^2 – 3x + 2\) pada interval \([1, 4]\).
Pembahasan:
\(f(1) = 1 – 3 + 2 = 0\)
\(f(4) = 16 – 12 + 2 = 6\)
Laju perubahan = \(\frac{6 – 0}{4 – 1} = \frac{6}{3} = 2\)
2. Tentukan laju perubahan rata-rata \(f(x) = x^3\) pada interval \([1, 2]\).
Pembahasan:
\(f(1) = 1\), \(f(2) = 8\)
Laju perubahan = \(\frac{8 – 1}{2 – 1} = \frac{7}{1} = 7\)
3. Tentukan laju perubahan rata-rata \(f(x) = \frac{1}{x}\) pada interval \([1, 4]\).
Pembahasan:
\(f(1) = 1\), \(f(4) = \frac{1}{4}\)
Laju perubahan = \(\frac{\frac{1}{4} – 1}{4 – 1} = \frac{-\frac{3}{4}}{3} = -\frac{1}{4}\)
4. Tentukan laju perubahan rata-rata \(f(x) = 2x^2 + x\) pada interval \([0, 3]\).
Pembahasan:
\(f(0) = 0\), \(f(3) = 18 + 3 = 21\)
Laju perubahan = \(\frac{21 – 0}{3 – 0} = 7\)
5. Tentukan laju perubahan rata-rata \(f(x) = \sqrt{x}\) pada interval \([4, 9]\).
Pembahasan:
\(f(4) = 2\), \(f(9) = 3\)
Laju perubahan = \(\frac{3 – 2}{9 – 4} = \frac{1}{5}\)
● Tingkat Sulit
1. Tentukan laju perubahan rata-rata \(f(x) = x^3 – 2x^2 + x\) pada interval \([1, 3]\).
Pembahasan:
\(f(1) = 1 – 2 + 1 = 0\)
\(f(3) = 27 – 18 + 3 = 12\)
Laju perubahan = \(\frac{12 – 0}{3 – 1} = \frac{12}{2} = 6\)
2. Tentukan laju perubahan rata-rata \(f(x) = \frac{x^2 – 1}{x + 1}\) pada interval \([1, 3]\).
Pembahasan:
Sederhanakan: \(f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = x – 1\) untuk \(x \neq -1\)
\(f(1) = 0\), \(f(3) = 2\)
Laju perubahan = \(\frac{2 – 0}{3 – 1} = 1\)
3. Tentukan laju perubahan rata-rata \(f(x) = x^2 \cdot \sqrt{x}\) pada interval \([1, 4]\).
Pembahasan:
\(f(x) = x^{5/2}\)
\(f(1) = 1\), \(f(4) = 4^{5/2} = (\sqrt{4})^5 = 32\)
Laju perubahan = \(\frac{32 – 1}{4 – 1} = \frac{31}{3}\)
4. Tentukan laju perubahan rata-rata \(f(x) = \frac{2x}{x+1}\) pada interval \([0, 3]\).
Pembahasan:
\(f(0) = 0\), \(f(3) = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\)
Laju perubahan = \(\frac{\frac{3}{2} – 0}{3 – 0} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
5. Tentukan laju perubahan rata-rata \(f(x) = x^3 + \frac{1}{x}\) pada interval \([1, 2]\).
Pembahasan:
\(f(1) = 1 + 1 = 2\), \(f(2) = 8 + \frac{1}{2} = \frac{17}{2}\)
Laju perubahan = \(\frac{\frac{17}{2} – 2}{2 – 1} = \frac{\frac{13}{2}}{1} = \frac{13}{2}\)
Latihan Soal: Laju Perubahan Nilai Fungsi
Mudah:
- Tentukan laju perubahan rata-rata \(f(x) = 5x – 2\) pada interval \([1, 3]\).
- Tentukan laju perubahan rata-rata \(f(x) = x^2 + 2\) pada interval \([0, 2]\).
- Tentukan laju perubahan rata-rata \(f(x) = -x + 7\) pada interval \([2, 6]\).
- Tentukan laju perubahan rata-rata \(f(x) = 3x^2\) pada interval \([1, 2]\).
- Tentukan laju perubahan rata-rata \(f(x) = x + 4\) pada interval \([0, 10]\).
Sedang:
- Tentukan laju perubahan rata-rata \(f(x) = x^2 – 4x + 5\) pada interval \([2, 5]\).
- Tentukan laju perubahan rata-rata \(f(x) = x^3 – x\) pada interval \([0, 2]\).
- Tentukan laju perubahan rata-rata \(f(x) = \frac{2}{x}\) pada interval \([1, 4]\).
- Tentukan laju perubahan rata-rata \(f(x) = \sqrt{2x+1}\) pada interval \([0, 4]\).
- Tentukan laju perubahan rata-rata \(f(x) = x^2 + 3x – 1\) pada interval \([-1, 2]\).
Sulit:
- Tentukan laju perubahan rata-rata \(f(x) = \frac{x^2}{x+2}\) pada interval \([2, 4]\).
- Tentukan laju perubahan rata-rata \(f(x) = x^3 – 3x^2 + 2x\) pada interval \([0, 3]\).
- Tentukan laju perubahan rata-rata \(f(x) = \frac{x+1}{\sqrt{x}}\) pada interval \([1, 4]\).
- Tentukan laju perubahan rata-rata \(f(x) = x^4 – x^2\) pada interval \([-1, 1]\).
- Tentukan laju perubahan rata-rata \(f(x) = \frac{x^3 – 8}{x – 2}\) pada interval \([3, 5]\).
B. Laju Perubahan Sesaat (Turunan)
Laju perubahan sesaat (instantaneous rate of change) mengukur laju perubahan fungsi pada satu titik tertentu. Ini diperoleh dengan mengambil limit dari laju perubahan rata-rata ketika interval mendekati nol.
Definisi:
Laju perubahan sesaat fungsi \(f\) di titik \(x = a\) adalah:
Notasi lain:
Notasi Turunan:
| Notasi | Dibaca |
|---|---|
| \(f'(x)\) | f aksen x |
| \(\frac{dy}{dx}\) | dy per dx |
| \(\frac{df}{dx}\) | df per dx |
| \(\dot{y}\) | y dot (Newton) |
Interpretasi Geometris:
Laju perubahan sesaat sama dengan kemiringan garis singgung (tangent line) pada titik tersebut.
Langkah Penyelesaian (dengan limit):
- Tulis \(f(a+h)\) dengan mensubstitusi \(x = a+h\)
- Hitung \(f(a+h) – f(a)\)
- Bagi dengan \(h\): \(\frac{f(a+h) – f(a)}{h}\)
- Sederhanakan dan ambil \(\lim_{h \to 0}\)
Rumus Cepat Turunan (untuk penyelesaian):
- • \(f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = nx^{n-1}\)
- • \(f(x) = c \Rightarrow f'(x) = 0\)
- • \(f(x) = cx^n \Rightarrow f'(x) = cnx^{n-1}\)
- • \(\frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)\)
Contoh Soal
● Tingkat Mudah
1. Tentukan laju perubahan sesaat \(f(x) = 3x^2\) di \(x = 2\).
Pembahasan:
\(f'(x) = 6x\)
\(f'(2) = 6(2) = 12\)
2. Tentukan \(f'(1)\) jika \(f(x) = x^2 + 4x\).
Pembahasan:
\(f'(x) = 2x + 4\)
\(f'(1) = 2 + 4 = 6\)
3. Tentukan laju perubahan sesaat \(f(x) = 5x – 3\) di \(x = 4\).
Pembahasan:
\(f'(x) = 5\)
\(f'(4) = 5\) (konstan untuk fungsi linear)
4. Tentukan \(f'(3)\) jika \(f(x) = x^3\).
Pembahasan:
\(f'(x) = 3x^2\)
\(f'(3) = 3(9) = 27\)
5. Tentukan laju perubahan sesaat \(f(x) = 2x^2 – x\) di \(x = 1\).
Pembahasan:
\(f'(x) = 4x – 1\)
\(f'(1) = 4 – 1 = 3\)
● Tingkat Sedang
1. Gunakan definisi limit untuk mencari \(f'(2)\) jika \(f(x) = x^2 + 1\).
Pembahasan:
\(f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) – f(2)}{h}\)
\(= \lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^2 + 1 – 5}{h}\)
\(= \lim_{h \to 0} \frac{4 + 4h + h^2 – 4}{h}\)
\(= \lim_{h \to 0} \frac{4h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (4 + h) = 4\)
2. Tentukan \(f'(1)\) jika \(f(x) = x^3 – 2x^2 + 3\).
Pembahasan:
\(f'(x) = 3x^2 – 4x\)
\(f'(1) = 3 – 4 = -1\)
3. Tentukan laju perubahan sesaat \(f(x) = \frac{1}{x}\) di \(x = 2\).
Pembahasan:
\(f(x) = x^{-1}\), maka \(f'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\)
\(f'(2) = -\frac{1}{4}\)
4. Tentukan \(f'(4)\) jika \(f(x) = \sqrt{x}\).
Pembahasan:
\(f(x) = x^{1/2}\), maka \(f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}\)
5. Bola dijatuhkan dengan posisi \(s(t) = 5t^2\) meter. Tentukan kecepatan sesaat saat \(t = 3\) detik.
Pembahasan:
Kecepatan sesaat = \(s'(t) = 10t\)
\(s'(3) = 30\) m/s
● Tingkat Sulit
1. Gunakan definisi limit untuk mencari \(f'(a)\) jika \(f(x) = \frac{1}{x+1}\). Lalu hitung \(f'(1)\).
Pembahasan:
\(f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{a+h+1} – \frac{1}{a+1}}{h}\)
\(= \lim_{h \to 0} \frac{(a+1) – (a+h+1)}{h(a+h+1)(a+1)}\)
\(= \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h(a+h+1)(a+1)}\)
\(= \lim_{h \to 0} \frac{-1}{(a+h+1)(a+1)} = \frac{-1}{(a+1)^2}\)
\(f'(1) = \frac{-1}{4}\)
2. Gunakan definisi limit untuk mencari \(f'(9)\) jika \(f(x) = \sqrt{x}\).
Pembahasan:
\(f'(9) = \lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x} – 3}{x – 9}\)
Kalikan konjugat: \(= \lim_{x \to 9} \frac{(\sqrt{x} – 3)(\sqrt{x} + 3)}{(x-9)(\sqrt{x}+3)}\)
\(= \lim_{x \to 9} \frac{x – 9}{(x-9)(\sqrt{x}+3)} = \frac{1}{\sqrt{9}+3} = \frac{1}{6}\)
3. Tentukan \(f'(2)\) jika \(f(x) = x^3 – 3x^2 + 2x + 1\) menggunakan definisi limit.
Pembahasan:
\(f(2) = 8 – 12 + 4 + 1 = 1\)
\(f(2+h) = (2+h)^3 – 3(2+h)^2 + 2(2+h) + 1\)
\(= 8 + 12h + 6h^2 + h^3 – 12 – 12h – 3h^2 + 4 + 2h + 1\)
\(= 1 + 2h + 3h^2 + h^3\)
\(f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{2h + 3h^2 + h^3}{h} = \lim_{h \to 0}(2 + 3h + h^2) = 2\)
4. Tentukan kecepatan sesaat partikel dengan posisi \(s(t) = t^3 – 6t^2 + 9t\) saat \(t = 2\).
Pembahasan:
\(v(t) = s'(t) = 3t^2 – 12t + 9\)
\(v(2) = 12 – 24 + 9 = -3\) m/s
Kecepatan negatif artinya partikel bergerak ke arah berlawanan.
5. Tentukan \(f'(1)\) jika \(f(x) = \frac{x^2 + 1}{x}\) menggunakan definisi limit.
Pembahasan:
\(f(x) = x + \frac{1}{x} = x + x^{-1}\)
\(f(1) = 2\), \(f(1+h) = (1+h) + \frac{1}{1+h}\)
\(f(1+h) – f(1) = h + \frac{1}{1+h} – 1 = h + \frac{-h}{1+h} = h\left(1 – \frac{1}{1+h}\right) = h \cdot \frac{h}{1+h}\)
\(f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{h^2/(1+h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{1+h} = 0\)
Verifikasi: \(f'(x) = 1 – x^{-2}\), \(f'(1) = 1 – 1 = 0\) ✓
Latihan Soal: Laju Perubahan Sesaat
Mudah:
- Tentukan \(f'(3)\) jika \(f(x) = 4x^2\).
- Tentukan laju perubahan sesaat \(f(x) = x^2 – 5x\) di \(x = 2\).
- Tentukan \(f'(0)\) jika \(f(x) = 3x^2 + 2x + 1\).
- Tentukan kecepatan sesaat \(s(t) = 2t^2 + t\) saat \(t = 3\).
- Tentukan \(f'(5)\) jika \(f(x) = 7x – 2\).
Sedang:
- Gunakan definisi limit untuk mencari \(f'(3)\) jika \(f(x) = x^2 – 2x\).
- Tentukan \(f'(2)\) jika \(f(x) = \frac{3}{x}\).
- Tentukan laju perubahan sesaat \(f(x) = x^3 – x\) di \(x = -1\).
- Tentukan \(f'(1)\) jika \(f(x) = \sqrt{4x+5}\).
- Partikel bergerak dengan \(s(t) = t^3 – 3t\). Tentukan kecepatan saat \(t = 2\).
Sulit:
- Gunakan definisi limit untuk mencari turunan \(f(x) = \frac{2}{x+3}\) di \(x = 1\).
- Tentukan \(f'(4)\) jika \(f(x) = \frac{x}{\sqrt{x}+1}\).
- Gunakan definisi limit untuk mencari \(f'(0)\) jika \(f(x) = x|x|\).
- Tentukan semua titik di mana laju perubahan sesaat \(f(x) = x^3 – 12x\) sama dengan nol.
- Partikel bergerak dengan \(s(t) = \frac{t^2}{t+1}\). Tentukan kecepatan sesaat saat \(t = 1\).