Diferensial: Menggambar Grafik Fungsi
Materi, Contoh Soal & Latihan Lengkap
Materi
1. Pendahuluan
Menggambar grafik fungsi menggunakan turunan (diferensial) adalah teknik penting dalam kalkulus. Dengan turunan, kita dapat menentukan:
- Titik stasioner (maksimum, minimum, belok)
- Interval fungsi naik dan turun
- Kecekungan grafik (cekung ke atas / ke bawah)
- Titik potong sumbu-x dan sumbu-y
2. Langkah-Langkah Menggambar Grafik
- Tentukan domain fungsi $f(x)$.
- Tentukan titik potong sumbu: sumbu-y → $f(0)$; sumbu-x → $f(x)=0$.
- Hitung turunan pertama $f'(x)$ untuk mencari titik stasioner ($f'(x)=0$).
- Uji kenaikan/penurunan: jika $f'(x)>0$ fungsi naik, $f'(x)<0$ fungsi turun.
- Hitung turunan kedua $f”(x)$ untuk menentukan jenis titik stasioner dan kecekungan.
- Tentukan titik belok: $f”(x)=0$ dan terjadi perubahan tanda.
- Gambar grafik berdasarkan informasi di atas.
3. Tabel Tanda dan Sifat Grafik
Contoh tabel analisis untuk $f(x) = x^3 – 3x$:
| Interval | $f'(x)$ | $f”(x)$ | Sifat |
|---|---|---|---|
| $x < -1$ | $+$ | $-$ | Naik, cekung bawah |
| $x = -1$ | $0$ | $-$ | Maks. lokal $(−1, 2)$ |
| $-1 < x < 0$ | $-$ | $-$ | Turun, cekung bawah |
| $x = 0$ | $-$ | $0$ | Titik belok $(0, 0)$ |
| $0 < x < 1$ | $-$ | $+$ | Turun, cekung atas |
| $x = 1$ | $0$ | $+$ | Min. lokal $(1, -2)$ |
| $x > 1$ | $+$ | $+$ | Naik, cekung atas |
4. Contoh Grafik
Grafik $f(x) = x^3 – 3x$:
Grafik menunjukkan titik maksimum lokal di $(-1, 2)$, minimum lokal di $(1, -2)$, dan titik belok di $(0, 0)$.
5. Notasi Diferensial
- Turunan pertama: $f'(x) = \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{d}{dx}f(x)$
- Turunan kedua: $f”(x) = \dfrac{d^2y}{dx^2}$
- Titik stasioner: $f'(x) = 0$
- Uji turunan kedua: jika $f”(a) > 0$ → minimum; $f”(a) < 0$ → maksimum
Contoh Soal & Pembahasan
🟢 Tingkat Mudah
1. Gambarlah grafik $f(x) = 2x + 1$. Tentukan titik potong sumbu.
Pembahasan:
Fungsi linear, tidak punya titik stasioner.
• Potong sumbu-y: $f(0) = 1$ → titik $(0, 1)$
• Potong sumbu-x: $2x+1=0 \Rightarrow x = -\tfrac{1}{2}$ → titik $(-\tfrac{1}{2}, 0)$
• $f'(x) = 2 > 0$ → fungsi selalu naik
Grafik berupa garis lurus naik melewati $(0,1)$ dan $(-\tfrac{1}{2}, 0)$.
2. Gambarlah grafik $f(x) = x^2$. Tentukan titik minimum.
Pembahasan:
• $f'(x) = 2x = 0 \Rightarrow x = 0$
• $f”(x) = 2 > 0$ → minimum di $(0, 0)$
• Fungsi naik untuk $x > 0$, turun untuk $x < 0$
Grafik parabola buka ke atas dengan titik puncak (minimum) di $(0,0)$.
3. Gambarlah grafik $f(x) = -x^2 + 4$. Tentukan titik maksimum.
Pembahasan:
• $f'(x) = -2x = 0 \Rightarrow x = 0$
• $f(0) = 4$ → titik $(0, 4)$
• $f”(x) = -2 < 0$ → maksimum di $(0, 4)$
• Potong sumbu-x: $-x^2+4=0 \Rightarrow x = \pm 2$
Grafik parabola buka ke bawah, puncak di $(0,4)$, memotong sumbu-x di $(-2,0)$ dan $(2,0)$.
4. Gambarlah grafik $f(x) = x^2 – 4x + 3$. Tentukan titik stasioner.
Pembahasan:
• $f'(x) = 2x – 4 = 0 \Rightarrow x = 2$
• $f(2) = 4 – 8 + 3 = -1$ → minimum di $(2, -1)$
• $f”(x) = 2 > 0$ → konfirmasi minimum
• Potong sumbu-x: $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)=0 \Rightarrow x=1, x=3$
• Potong sumbu-y: $f(0)=3$
Parabola buka ke atas, minimum di $(2,-1)$, memotong sumbu-x di $(1,0)$ dan $(3,0)$.
5. Gambarlah grafik $f(x) = 3x – x^2$. Tentukan interval naik dan turun.
Pembahasan:
• $f'(x) = 3 – 2x = 0 \Rightarrow x = \tfrac{3}{2}$
• $f(\tfrac{3}{2}) = \tfrac{9}{2} – \tfrac{9}{4} = \tfrac{9}{4}$ → maks di $(\tfrac{3}{2}, \tfrac{9}{4})$
• Naik: $x < \tfrac{3}{2}$ (karena $f'(x)>0$)
• Turun: $x > \tfrac{3}{2}$ (karena $f'(x)<0$)
• Potong sumbu-x: $x(3-x)=0 \Rightarrow x=0, x=3$
🟡 Tingkat Sedang
1. Gambarlah grafik $f(x) = x^3 – 3x$. Tentukan semua titik stasioner dan titik belok.
Pembahasan:
• $f'(x) = 3x^2 – 3 = 3(x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow x = \pm 1$
• $f(-1) = -1+3 = 2$ → titik $(-1, 2)$
• $f(1) = 1-3 = -2$ → titik $(1, -2)$
• $f”(x) = 6x$
• $f”(-1) = -6 < 0$ → maksimum lokal di $(-1, 2)$
• $f”(1) = 6 > 0$ → minimum lokal di $(1, -2)$
• Titik belok: $f”(x) = 6x = 0 \Rightarrow x = 0$, $f(0) = 0$ → titik belok $(0, 0)$
2. Gambarlah grafik $f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x$. Analisis lengkap.
Pembahasan:
• $f'(x) = 3x^2 – 12x + 9 = 3(x^2-4x+3) = 3(x-1)(x-3) = 0$
• $x = 1$: $f(1) = 1-6+9 = 4$ → titik $(1, 4)$
• $x = 3$: $f(3) = 27-54+27 = 0$ → titik $(3, 0)$
• $f”(x) = 6x – 12$
• $f”(1) = -6 < 0$ → maks lokal di $(1, 4)$
• $f”(3) = 6 > 0$ → min lokal di $(3, 0)$
• Titik belok: $6x-12=0 \Rightarrow x=2$, $f(2)=8-24+18=2$ → $(2, 2)$
• Potong sumbu-x: $x(x^2-6x+9)=x(x-3)^2=0 \Rightarrow x=0, x=3$
3. Gambarlah grafik $f(x) = x^4 – 4x^2$. Tentukan titik stasioner.
Pembahasan:
• $f'(x) = 4x^3 – 8x = 4x(x^2-2) = 0$
• $x = 0, x = \pm\sqrt{2}$
• $f(0) = 0$, $f(\pm\sqrt{2}) = 4 – 8 = -4$
• $f”(x) = 12x^2 – 8$
• $f”(0) = -8 < 0$ → maks lokal di $(0, 0)$
• $f”(\pm\sqrt{2}) = 24-8 = 16 > 0$ → min lokal di $(\pm\sqrt{2}, -4)$
• Grafik simetri terhadap sumbu-y (fungsi genap)
4. Gambarlah grafik $f(x) = \dfrac{x^2}{x^2+1}$. Tentukan asimtot dan titik stasioner.
Pembahasan:
• Domain: seluruh $\mathbb{R}$ (penyebut tak pernah nol)
• Asimtot horizontal: $\lim_{x\to\pm\infty} \dfrac{x^2}{x^2+1} = 1$ → $y = 1$
• $f'(x) = \dfrac{2x(x^2+1) – x^2 \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{2x}{(x^2+1)^2} = 0 \Rightarrow x = 0$
• $f(0) = 0$ → minimum di $(0, 0)$
• Fungsi simetri ($f(-x) = f(x)$), selalu $\geq 0$, mendekati 1 tapi tak pernah menyentuh.
5. Gambarlah grafik $f(x) = xe^{-x}$ untuk $x \geq 0$.
Pembahasan:
• $f'(x) = e^{-x} – xe^{-x} = e^{-x}(1-x) = 0 \Rightarrow x = 1$
• $f(1) = e^{-1} \approx 0{,}368$ → maks di $(1, \tfrac{1}{e})$
• $f”(x) = e^{-x}(x-2)$; $f”(1) = e^{-1}(-1) < 0$ → konfirmasi maks
• Titik belok: $x = 2$, $f(2) = 2e^{-2} \approx 0{,}271$
• $\lim_{x\to\infty} xe^{-x} = 0$ → grafik mendekati sumbu-x
• $f(0) = 0$, grafik naik lalu turun mendekati 0.
🔴 Tingkat Sulit
1. Gambarlah grafik $f(x) = \dfrac{x^2 – 1}{x^2 + 1}$. Tentukan asimtot, titik stasioner, dan kecekungan.
Pembahasan:
• Domain: $\mathbb{R}$
• Asimtot horizontal: $y = 1$
• Potong sumbu-x: $x^2-1=0 \Rightarrow x=\pm 1$; sumbu-y: $f(0)=-1$
• $f'(x) = \dfrac{2x(x^2+1)-2x(x^2-1)}{(x^2+1)^2} = \dfrac{4x}{(x^2+1)^2} = 0 \Rightarrow x=0$
• $f(0) = -1$ → minimum di $(0, -1)$
• $f”(x) = \dfrac{4(x^2+1)^2 – 4x \cdot 2(x^2+1)(2x)}{(x^2+1)^4} = \dfrac{4(1-3x^2)}{(x^2+1)^3}$
• Titik belok: $1-3x^2=0 \Rightarrow x = \pm\tfrac{1}{\sqrt{3}}$
• Grafik simetri, min di pusat, naik menuju asimtot $y=1$.
2. Gambarlah grafik $f(x) = x^2 \ln x$ untuk $x > 0$. Analisis lengkap.
Pembahasan:
• Domain: $x > 0$
• $f'(x) = 2x\ln x + x = x(2\ln x + 1) = 0$
• Karena $x > 0$: $2\ln x + 1 = 0 \Rightarrow \ln x = -\tfrac{1}{2} \Rightarrow x = e^{-1/2} = \tfrac{1}{\sqrt{e}}$
• $f(\tfrac{1}{\sqrt{e}}) = \tfrac{1}{e} \cdot (-\tfrac{1}{2}) = -\tfrac{1}{2e}$ → min di $(\tfrac{1}{\sqrt{e}}, -\tfrac{1}{2e})$
• $f”(x) = 2\ln x + 3$; $f”(\tfrac{1}{\sqrt{e}}) = -1+3 = 2 > 0$ → konfirmasi min
• Titik belok: $2\ln x + 3 = 0 \Rightarrow x = e^{-3/2}$
• $\lim_{x\to 0^+} x^2\ln x = 0$; $f(1) = 0$
3. Gambarlah grafik $f(x) = \dfrac{x}{(x-1)^2}$. Tentukan asimtot vertikal, horizontal, dan titik stasioner.
Pembahasan:
• Domain: $x \neq 1$
• Asimtot vertikal: $x = 1$
• Asimtot horizontal: $\lim_{x\to\pm\infty} \dfrac{x}{(x-1)^2} = 0$ → $y = 0$
• $f'(x) = \dfrac{(x-1)^2 – x\cdot 2(x-1)}{(x-1)^4} = \dfrac{(x-1)-2x}{(x-1)^3} = \dfrac{-(x+1)}{(x-1)^3} = 0$
• $x = -1$: $f(-1) = \dfrac{-1}{4}$ → titik stasioner $(-1, -\tfrac{1}{4})$
• Uji: $f”(-1) > 0$ → minimum lokal
• Perilaku sekitar $x=1$: $f(1^-) \to +\infty$, $f(1^+) \to +\infty$
• Potong $(0,0)$.
4. Gambarlah grafik $f(x) = x – 2\sin x$ pada $[0, 2\pi]$. Tentukan titik stasioner.
Pembahasan:
• $f'(x) = 1 – 2\cos x = 0 \Rightarrow \cos x = \tfrac{1}{2}$
• $x = \tfrac{\pi}{3}, x = \tfrac{5\pi}{3}$ pada $[0, 2\pi]$
• $f(\tfrac{\pi}{3}) = \tfrac{\pi}{3} – 2\sin\tfrac{\pi}{3} = \tfrac{\pi}{3} – \sqrt{3} \approx -0{,}685$ → min lokal
• $f(\tfrac{5\pi}{3}) = \tfrac{5\pi}{3} – 2\sin\tfrac{5\pi}{3} = \tfrac{5\pi}{3} + \sqrt{3} \approx 6{,}968$ → maks lokal
• $f”(x) = 2\sin x$
• $f”(\tfrac{\pi}{3}) = \sqrt{3} > 0$ → min; $f”(\tfrac{5\pi}{3}) = -\sqrt{3} < 0$ → maks
• Titik belok: $\sin x = 0 \Rightarrow x = 0, \pi, 2\pi$
5. Gambarlah grafik $f(x) = x^{2/3}(x-5)$. Tentukan titik kritis dan kecekungan.
Pembahasan:
• $f(x) = x^{5/3} – 5x^{2/3}$
• $f'(x) = \tfrac{5}{3}x^{2/3} – \tfrac{10}{3}x^{-1/3} = \tfrac{5x – 10}{3x^{1/3}} = \tfrac{5(x-2)}{3x^{1/3}}$
• Titik kritis: $x = 2$ (dimana $f’=0$) dan $x = 0$ (dimana $f’$ tak terdefinisi)
• $f(2) = 2^{2/3}(2-5) = -3\cdot 2^{2/3} \approx -4{,}76$ → min lokal
• $f(0) = 0$ → cusp (titik lancip)
• $f”(x) = \tfrac{10(x+1)}{9x^{4/3}}$; titik belok di $x = -1$
• Potong sumbu-x: $x = 0$ dan $x = 5$
Latihan Soal
🟢 Tingkat Mudah
1. Gambarlah grafik $f(x) = -3x + 6$. Tentukan titik potong sumbu-x dan sumbu-y.
2. Gambarlah grafik $f(x) = x^2 – 2x$. Tentukan titik minimum.
3. Gambarlah grafik $f(x) = -x^2 + 6x – 5$. Tentukan titik maksimum dan potong sumbu-x.
4. Gambarlah grafik $f(x) = x^2 + 2x + 1$. Tentukan interval naik dan turun.
5. Gambarlah grafik $f(x) = 4x – x^2$. Tentukan nilai maksimum fungsi.
🟡 Tingkat Sedang
1. Gambarlah grafik $f(x) = x^3 – 12x$. Tentukan titik stasioner dan titik belok.
2. Gambarlah grafik $f(x) = 2x^3 – 9x^2 + 12x$. Analisis interval naik/turun.
3. Gambarlah grafik $f(x) = x^4 – 8x^2 + 16$. Tentukan semua titik stasioner.
4. Gambarlah grafik $f(x) = \dfrac{x}{x^2+4}$. Tentukan asimtot dan titik stasioner.
5. Gambarlah grafik $f(x) = x\sqrt{4-x^2}$ pada $[-2, 2]$. Tentukan titik maksimum dan minimum.
🔴 Tingkat Sulit
1. Gambarlah grafik $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2-4}$. Tentukan semua asimtot dan titik stasioner.
2. Gambarlah grafik $f(x) = e^{-x^2}$. Tentukan titik belok dan kecekungan.
3. Gambarlah grafik $f(x) = x^2 e^{-x}$ untuk $x \geq 0$. Analisis lengkap.
4. Gambarlah grafik $f(x) = \ln(x^2+1) – x$. Tentukan titik stasioner dan perilaku di $\pm\infty$.
5. Gambarlah grafik $f(x) = x – 2\arctan x$. Tentukan asimtot miring dan titik stasioner.