Diferensial
Kecekungan Fungsi Kontinu & Titik Belok Suatu Fungsi Kontinu
A. Kecekungan Fungsi Kontinu (Concavity)
1. Pengertian Kecekungan
Kecekungan (concavity) menggambarkan arah lengkungan grafik suatu fungsi. Untuk menentukan kecekungan, kita menggunakan turunan kedua \( f”(x) \).
Definisi:
- Fungsi \( f(x) \) cekung ke atas (concave up) pada interval \( I \) jika \( f”(x) > 0 \) untuk semua \( x \in I \).
- Fungsi \( f(x) \) cekung ke bawah (concave down) pada interval \( I \) jika \( f”(x) < 0 \) untuk semua \( x \in I \).
Ilustrasi Kecekungan
2. Langkah Menentukan Kecekungan
- Tentukan turunan pertama \( f'(x) \)
- Tentukan turunan kedua \( f”(x) \)
- Cari nilai \( x \) dimana \( f”(x) = 0 \) atau tidak terdefinisi
- Buat garis bilangan dan uji tanda \( f”(x) \) pada setiap interval
- Tentukan kecekungan berdasarkan tanda \( f”(x) \)
| Kondisi | Kecekungan | Bentuk Grafik |
|---|---|---|
| \( f”(x) > 0 \) | Cekung ke atas | ∪ (seperti mangkuk) |
| \( f”(x) < 0 \) | Cekung ke bawah | ∩ (seperti bukit) |
Contoh Soal: Kecekungan Fungsi
Tingkat Mudah
Soal: Tentukan interval kecekungan dari \( f(x) = x^2 \).
Pembahasan:
\( f'(x) = 2x \)
\( f”(x) = 2 \)
Karena \( f”(x) = 2 > 0 \) untuk semua \( x \), maka fungsi cekung ke atas pada \( (-\infty, \infty) \).
Soal: Tentukan interval kecekungan dari \( f(x) = -x^2 + 4x \).
Pembahasan:
\( f'(x) = -2x + 4 \)
\( f”(x) = -2 \)
Karena \( f”(x) = -2 < 0 \) untuk semua \( x \), maka fungsi cekung ke bawah pada \( (-\infty, \infty) \).
Soal: Tentukan interval kecekungan dari \( f(x) = x^3 \).
Pembahasan:
\( f'(x) = 3x^2 \)
\( f”(x) = 6x \)
\( f”(x) = 0 \Rightarrow x = 0 \)
Untuk \( x < 0 \): \( f”(x) < 0 \) → cekung ke bawah
Untuk \( x > 0 \): \( f”(x) > 0 \) → cekung ke atas
Jawaban: Cekung ke bawah pada \( (-\infty, 0) \), cekung ke atas pada \( (0, \infty) \).
Soal: Tentukan kecekungan \( f(x) = 3x^2 + 6x – 1 \).
Pembahasan:
\( f'(x) = 6x + 6 \)
\( f”(x) = 6 \)
Karena \( f”(x) = 6 > 0 \) selalu, fungsi cekung ke atas pada \( (-\infty, \infty) \).
Soal: Tentukan kecekungan \( f(x) = -3x^2 + 2x + 5 \).
Pembahasan:
\( f'(x) = -6x + 2 \)
\( f”(x) = -6 \)
Karena \( f”(x) = -6 < 0 \) selalu, fungsi cekung ke bawah pada \( (-\infty, \infty) \).
Tingkat Sedang
Soal: Tentukan interval kecekungan dari \( f(x) = x^3 – 3x^2 + 2 \).
Pembahasan:
\( f'(x) = 3x^2 – 6x \)
\( f”(x) = 6x – 6 \)
\( f”(x) = 0 \Rightarrow 6x – 6 = 0 \Rightarrow x = 1 \)
Uji tanda:
• \( x < 1 \), misal \( x = 0 \): \( f”(0) = -6 < 0 \) → cekung ke bawah
• \( x > 1 \), misal \( x = 2 \): \( f”(2) = 6 > 0 \) → cekung ke atas
Jawaban: Cekung ke bawah pada \( (-\infty, 1) \), cekung ke atas pada \( (1, \infty) \).
Soal: Tentukan interval kecekungan dari \( f(x) = x^4 – 4x^2 \).
Pembahasan:
\( f'(x) = 4x^3 – 8x \)
\( f”(x) = 12x^2 – 8 \)
\( f”(x) = 0 \Rightarrow 12x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3} \)
Uji tanda:
• \( x < -\frac{\sqrt{6}}{3} \): \( f”(-2) = 12(4)-8 = 40 > 0 \) → cekung ke atas
• \( -\frac{\sqrt{6}}{3} < x < \frac{\sqrt{6}}{3} \): \( f”(0) = -8 < 0 \) → cekung ke bawah
• \( x > \frac{\sqrt{6}}{3} \): \( f”(2) = 40 > 0 \) → cekung ke atas
Soal: Tentukan interval kecekungan dari \( f(x) = 2x^3 + 3x^2 – 12x + 1 \).
Pembahasan:
\( f'(x) = 6x^2 + 6x – 12 \)
\( f”(x) = 12x + 6 \)
\( f”(x) = 0 \Rightarrow 12x + 6 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \)
• \( x < -\frac{1}{2} \): \( f”(-1) = -6 < 0 \) → cekung ke bawah
• \( x > -\frac{1}{2} \): \( f”(0) = 6 > 0 \) → cekung ke atas
Jawaban: Cekung ke bawah pada \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \), cekung ke atas pada \( (-\frac{1}{2}, \infty) \).
Soal: Tentukan interval kecekungan dari \( f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x + 2 \).
Pembahasan:
\( f'(x) = 3x^2 – 12x + 9 \)
\( f”(x) = 6x – 12 \)
\( f”(x) = 0 \Rightarrow x = 2 \)
• \( x < 2 \): \( f”(0) = -12 < 0 \) → cekung ke bawah
• \( x > 2 \): \( f”(3) = 6 > 0 \) → cekung ke atas
Jawaban: Cekung ke bawah pada \( (-\infty, 2) \), cekung ke atas pada \( (2, \infty) \).
Soal: Tentukan interval kecekungan dari \( f(x) = \frac{x^3}{3} – \frac{x^2}{2} – 2x + 3 \).
Pembahasan:
\( f'(x) = x^2 – x – 2 \)
\( f”(x) = 2x – 1 \)
\( f”(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \)
• \( x < \frac{1}{2} \): \( f”(0) = -1 < 0 \) → cekung ke bawah
• \( x > \frac{1}{2} \): \( f”(1) = 1 > 0 \) → cekung ke atas
Jawaban: Cekung ke bawah pada \( (-\infty, \frac{1}{2}) \), cekung ke atas pada \( (\frac{1}{2}, \infty) \).
Tingkat Sulit
Soal: Tentukan interval kecekungan dari \( f(x) = x^4 – 6x^2 + 8x + 1 \).
Pembahasan:
\( f'(x) = 4x^3 – 12x + 8 \)
\( f”(x) = 12x^2 – 12 \)
\( f”(x) = 0 \Rightarrow 12(x^2 – 1) = 0 \Rightarrow x = \pm 1 \)
Uji tanda:
• \( x < -1 \): \( f”(-2) = 12(4)-12 = 36 > 0 \) → cekung ke atas
• \( -1 < x < 1 \): \( f”(0) = -12 < 0 \) → cekung ke bawah
• \( x > 1 \): \( f”(2) = 36 > 0 \) → cekung ke atas
Jawaban: Cekung ke atas pada \( (-\infty,-1) \cup (1,\infty) \), cekung ke bawah pada \( (-1,1) \).
Soal: Tentukan interval kecekungan dari \( f(x) = \frac{x}{x^2+1} \).
Pembahasan:
\( f'(x) = \frac{(x^2+1)(1) – x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2} \)
\( f”(x) = \frac{-2x(x^2+1)^2 – (1-x^2)\cdot 2(x^2+1)(2x)}{(x^2+1)^4} \)
Setelah disederhanakan: \( f”(x) = \frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3} \)
\( f”(x) = 0 \Rightarrow x = 0 \) atau \( x = \pm\sqrt{3} \)
Uji tanda pada interval \( (-\infty,-\sqrt{3}), (-\sqrt{3},0), (0,\sqrt{3}), (\sqrt{3},\infty) \):
• \( x < -\sqrt{3} \): negatif → cekung ke bawah
• \( -\sqrt{3} < x < 0 \): positif → cekung ke atas
• \( 0 < x < \sqrt{3} \): negatif → cekung ke bawah
• \( x > \sqrt{3} \): positif → cekung ke atas
Soal: Tentukan interval kecekungan dari \( f(x) = x^2 \ln x \) untuk \( x > 0 \).
Pembahasan:
\( f'(x) = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x\ln x + x \)
\( f”(x) = 2\ln x + 2x\cdot\frac{1}{x} + 1 = 2\ln x + 3 \)
\( f”(x) = 0 \Rightarrow 2\ln x + 3 = 0 \Rightarrow \ln x = -\frac{3}{2} \Rightarrow x = e^{-3/2} \)
• \( 0 < x < e^{-3/2} \): \( f”(x) < 0 \) → cekung ke bawah
• \( x > e^{-3/2} \): \( f”(x) > 0 \) → cekung ke atas
Soal: Tentukan interval kecekungan dari \( f(x) = xe^{-x} \).
Pembahasan:
\( f'(x) = e^{-x} – xe^{-x} = e^{-x}(1-x) \)
\( f”(x) = -e^{-x}(1-x) + e^{-x}(-1) = e^{-x}(x-2) \)
\( f”(x) = 0 \Rightarrow x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \) (karena \( e^{-x} > 0 \) selalu)
• \( x < 2 \): \( f”(0) = e^0(-2) = -2 < 0 \) → cekung ke bawah
• \( x > 2 \): \( f”(3) = e^{-3}(1) > 0 \) → cekung ke atas
Soal: Tentukan interval kecekungan dari \( f(x) = x^5 – 5x^4 + 5x^3 + 1 \).
Pembahasan:
\( f'(x) = 5x^4 – 20x^3 + 15x^2 \)
\( f”(x) = 20x^3 – 60x^2 + 30x = 10x(2x^2 – 6x + 3) \)
\( f”(x) = 0 \Rightarrow x = 0 \) atau \( 2x^2 – 6x + 3 = 0 \)
Untuk \( 2x^2 – 6x + 3 = 0 \): \( x = \frac{6 \pm \sqrt{36-24}}{4} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2} \)
\( x_1 = \frac{3-\sqrt{3}}{2} \approx 0.63 \), \( x_2 = \frac{3+\sqrt{3}}{2} \approx 2.37 \)
Uji tanda pada 4 interval untuk menentukan kecekungan di masing-masing interval.
• \( (-\infty, 0) \): cekung ke bawah
• \( (0, x_1) \): cekung ke atas
• \( (x_1, x_2) \): cekung ke bawah
• \( (x_2, \infty) \): cekung ke atas
Latihan Soal: Kecekungan
Kerjakan tanpa melihat pembahasan. Tentukan interval kecekungan dari fungsi berikut.
Mudah
Sedang
Sulit
B. Titik Belok (Inflection Point)
1. Pengertian Titik Belok
Titik belok adalah titik pada grafik fungsi dimana kecekungan berubah, yaitu dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah, atau sebaliknya.
Definisi:
Titik \( (c, f(c)) \) disebut titik belok dari \( f(x) \) jika:
- \( f”(c) = 0 \) atau \( f”(c) \) tidak terdefinisi, DAN
- \( f”(x) \) berubah tanda di sekitar \( x = c \) (dari positif ke negatif atau sebaliknya)
⚠️ Penting:
\( f”(c) = 0 \) saja belum cukup untuk menjamin titik belok. Harus dibuktikan bahwa \( f”(x) \) berubah tanda di sekitar \( x = c \).
Contoh: \( f(x) = x^4 \) memiliki \( f”(0) = 0 \) tetapi \( x = 0 \) bukan titik belok karena \( f”(x) = 12x^2 \geq 0 \) selalu.
Ilustrasi Titik Belok
2. Langkah Menentukan Titik Belok
- Hitung \( f'(x) \) dan \( f”(x) \)
- Selesaikan \( f”(x) = 0 \) untuk mendapatkan kandidat titik belok \( x = c \)
- Uji perubahan tanda \( f”(x) \) di sekitar \( x = c \)
- Jika tanda berubah, maka \( (c, f(c)) \) adalah titik belok
- Hitung \( f(c) \) untuk mendapatkan koordinat lengkap
Contoh Soal: Titik Belok
Tingkat Mudah
Soal: Tentukan titik belok dari \( f(x) = x^3 \).
Pembahasan:
\( f'(x) = 3x^2 \), \( f”(x) = 6x \)
\( f”(x) = 0 \Rightarrow x = 0 \)
Uji tanda: \( f”(-1) = -6 < 0 \), \( f”(1) = 6 > 0 \) → tanda berubah ✓
\( f(0) = 0 \)
Titik belok: \( (0, 0) \)
Soal: Tentukan titik belok dari \( f(x) = x^3 – 3x \).
Pembahasan:
\( f'(x) = 3x^2 – 3 \), \( f”(x) = 6x \)
\( f”(x) = 0 \Rightarrow x = 0 \)
Uji tanda: berubah dari negatif ke positif ✓
\( f(0) = 0 \)
Titik belok: \( (0, 0) \)
Soal: Tentukan titik belok dari \( f(x) = x^3 + 6x^2 \).
Pembahasan:
\( f'(x) = 3x^2 + 12x \), \( f”(x) = 6x + 12 \)
\( f”(x) = 0 \Rightarrow 6x + 12 = 0 \Rightarrow x = -2 \)
Uji: \( f”(-3) = -6 < 0 \), \( f”(0) = 12 > 0 \) → berubah tanda ✓
\( f(-2) = (-8) + 6(4) = 16 \)
Titik belok: \( (-2, 16) \)
Soal: Tentukan titik belok dari \( f(x) = x^3 – 12x + 1 \).
Pembahasan:
\( f'(x) = 3x^2 – 12 \), \( f”(x) = 6x \)
\( f”(x) = 0 \Rightarrow x = 0 \)
Tanda berubah dari negatif ke positif ✓
\( f(0) = 1 \)
Titik belok: \( (0, 1) \)
Soal: Tentukan titik belok dari \( f(x) = -x^3 + 3x^2 + 1 \).
Pembahasan:
\( f'(x) = -3x^2 + 6x \), \( f”(x) = -6x + 6 \)
\( f”(x) = 0 \Rightarrow -6x + 6 = 0 \Rightarrow x = 1 \)
Uji: \( f”(0) = 6 > 0 \), \( f”(2) = -6 < 0 \) → berubah tanda ✓
\( f(1) = -1 + 3 + 1 = 3 \)
Titik belok: \( (1, 3) \)
Tingkat Sedang
Soal: Tentukan titik belok dari \( f(x) = x^3 – 3x^2 + 2x + 1 \).
Pembahasan:
\( f'(x) = 3x^2 – 6x + 2 \), \( f”(x) = 6x – 6 \)
\( f”(x) = 0 \Rightarrow x = 1 \)
Uji: \( f”(0) = -6 < 0 \), \( f”(2) = 6 > 0 \) → berubah tanda ✓
\( f(1) = 1 – 3 + 2 + 1 = 1 \)
Titik belok: \( (1, 1) \)
Soal: Tentukan titik belok dari \( f(x) = x^4 – 4x^3 + 6x^2 \).
Pembahasan:
\( f'(x) = 4x^3 – 12x^2 + 12x \)
\( f”(x) = 12x^2 – 24x + 12 = 12(x^2 – 2x + 1) = 12(x-1)^2 \)
\( f”(x) = 0 \Rightarrow x = 1 \)
Uji: \( f”(0) = 12 > 0 \), \( f”(2) = 12 > 0 \) → tanda TIDAK berubah ✗
Tidak ada titik belok. (Meskipun \( f”(1) = 0 \), tanda tidak berubah)
Soal: Tentukan titik belok dari \( f(x) = 3x^4 – 4x^3 + 1 \).
Pembahasan:
\( f'(x) = 12x^3 – 12x^2 \)
\( f”(x) = 36x^2 – 24x = 12x(3x – 2) \)
\( f”(x) = 0 \Rightarrow x = 0 \) atau \( x = \frac{2}{3} \)
Uji tanda:
• \( x < 0 \): \( f”(-1) = 36+24 = 60 > 0 \)
• \( 0 < x < \frac{2}{3} \): \( f”(\frac{1}{3}) = 12(\frac{1}{3})(1-2) = -4 < 0 \)
• \( x > \frac{2}{3} \): \( f”(1) = 12 > 0 \)
Tanda berubah di \( x = 0 \) dan \( x = \frac{2}{3} \) ✓
\( f(0) = 1 \), \( f(\frac{2}{3}) = 3\cdot\frac{16}{81} – 4\cdot\frac{8}{27} + 1 = \frac{16}{27} – \frac{32}{27} + 1 = \frac{11}{27} \)
Titik belok: \( (0, 1) \) dan \( \left(\frac{2}{3}, \frac{11}{27}\right) \)
Soal: Tentukan titik belok dari \( f(x) = x^4 – 6x^2 + 8 \).
Pembahasan:
\( f'(x) = 4x^3 – 12x \)
\( f”(x) = 12x^2 – 12 = 12(x^2 – 1) = 12(x-1)(x+1) \)
\( f”(x) = 0 \Rightarrow x = 1 \) atau \( x = -1 \)
Uji: tanda berubah di kedua titik ✓
\( f(1) = 1 – 6 + 8 = 3 \), \( f(-1) = 1 – 6 + 8 = 3 \)
Titik belok: \( (-1, 3) \) dan \( (1, 3) \)
Soal: Tentukan titik belok dari \( f(x) = 2x^3 + 3x^2 – 12x + 7 \).
Pembahasan:
\( f'(x) = 6x^2 + 6x – 12 \)
\( f”(x) = 12x + 6 \)
\( f”(x) = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \)
Uji: \( f”(-1) = -6 < 0 \), \( f”(0) = 6 > 0 \) → berubah tanda ✓
\( f(-\frac{1}{2}) = 2(-\frac{1}{8}) + 3(\frac{1}{4}) – 12(-\frac{1}{2}) + 7 = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 6 + 7 = \frac{55}{4} \)
Titik belok: \( \left(-\frac{1}{2}, \frac{55}{4}\right) \)
Tingkat Sulit
Soal: Tentukan titik belok dari \( f(x) = xe^{-x} \).
Pembahasan:
\( f'(x) = e^{-x}(1-x) \)
\( f”(x) = e^{-x}(x-2) \)
\( f”(x) = 0 \Rightarrow x = 2 \) (karena \( e^{-x} \neq 0 \))
Uji: \( f”(1) = e^{-1}(-1) < 0 \), \( f”(3) = e^{-3}(1) > 0 \) → berubah tanda ✓
\( f(2) = 2e^{-2} = \frac{2}{e^2} \approx 0.271 \)
Titik belok: \( \left(2, \frac{2}{e^2}\right) \)
Soal: Tentukan titik belok dari \( f(x) = \frac{x}{x^2+1} \).
Pembahasan:
\( f”(x) = \frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3} \)
\( f”(x) = 0 \Rightarrow x = 0, x = \pm\sqrt{3} \)
Uji tanda menunjukkan perubahan di ketiga titik ✓
\( f(0) = 0 \), \( f(\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{4} \), \( f(-\sqrt{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{4} \)
Titik belok: \( (0,0) \), \( (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4}) \), \( (-\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{4}) \)
Soal: Tentukan titik belok dari \( f(x) = x^2\ln x \) untuk \( x > 0 \).
Pembahasan:
\( f'(x) = 2x\ln x + x \)
\( f”(x) = 2\ln x + 3 \)
\( f”(x) = 0 \Rightarrow \ln x = -\frac{3}{2} \Rightarrow x = e^{-3/2} \approx 0.223 \)
Uji: untuk \( x < e^{-3/2} \): \( f” < 0 \); untuk \( x > e^{-3/2} \): \( f” > 0 \) ✓
\( f(e^{-3/2}) = e^{-3} \cdot (-\frac{3}{2}) = -\frac{3}{2}e^{-3} \approx -0.0747 \)
Titik belok: \( \left(e^{-3/2}, -\frac{3}{2}e^{-3}\right) \)
Soal: Tentukan titik belok dari \( f(x) = \sin x + \cos x \) pada \( [0, 2\pi] \).
Pembahasan:
\( f'(x) = \cos x – \sin x \)
\( f”(x) = -\sin x – \cos x \)
\( f”(x) = 0 \Rightarrow \sin x + \cos x = 0 \Rightarrow \tan x = -1 \)
\( x = \frac{3\pi}{4} \) atau \( x = \frac{7\pi}{4} \) pada \( [0, 2\pi] \)
Uji tanda menunjukkan perubahan di kedua titik ✓
\( f(\frac{3\pi}{4}) = \sin\frac{3\pi}{4} + \cos\frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} – \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \)
\( f(\frac{7\pi}{4}) = \sin\frac{7\pi}{4} + \cos\frac{7\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \)
Titik belok: \( \left(\frac{3\pi}{4}, 0\right) \) dan \( \left(\frac{7\pi}{4}, 0\right) \)
Soal: Tentukan titik belok dari \( f(x) = x^5 – 5x^3 + 4x \).
Pembahasan:
\( f'(x) = 5x^4 – 15x^2 + 4 \)
\( f”(x) = 20x^3 – 30x = 10x(2x^2 – 3) \)
\( f”(x) = 0 \Rightarrow x = 0 \) atau \( x = \pm\sqrt{\frac{3}{2}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{2} \)
Uji tanda pada 4 interval menunjukkan perubahan di ketiga titik ✓
\( f(0) = 0 \)
\( f\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right) = \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^5 – 5\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^3 + 4\cdot\frac{\sqrt{6}}{2} \)
Setelah perhitungan: \( = \frac{6\sqrt{6}}{32} – \frac{15\sqrt{6}}{4} + 2\sqrt{6} = -\frac{7\sqrt{6}}{4} \) (perlu dihitung lebih detail)
Titik belok di \( x = 0, x = \pm\frac{\sqrt{6}}{2} \)
Latihan Soal: Titik Belok
Tentukan titik belok (jika ada) dari fungsi berikut.