Barisan dan Deret Aritmatika
Materi Lengkap, Contoh Soal & Latihan
1. Barisan Aritmatika
📘 Materi
Barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang memiliki beda (selisih) tetap antara dua suku berurutan.
Rumus Suku ke-n:
Un = a + (n − 1) × b
Keterangan:
- Un = suku ke-n
- a = suku pertama (U₁)
- b = beda = Un − Un−1
- n = nomor suku
Contoh Barisan Aritmatika:
| Barisan | a | b | Pola |
|---|---|---|---|
| 2, 5, 8, 11, 14, … | 2 | 3 | +3 setiap suku |
| 10, 7, 4, 1, −2, … | 10 | −3 | −3 setiap suku |
| 1, 1, 1, 1, … | 1 | 0 | tetap |
Visualisasi Barisan 2, 5, 8, 11, 14:
Notasi Barisan Aritmatika:
U₁, U₂, U₃, …, Un
atau
a, a+b, a+2b, a+3b, …, a+(n−1)b
📝 Contoh Soal
1. Tentukan suku ke-10 dari barisan 3, 7, 11, 15, …
Pembahasan: a = 3, b = 7 − 3 = 4, n = 10
U₁₀ = 3 + (10−1) × 4 = 3 + 36 = 39
2. Tentukan suku ke-8 dari barisan 5, 9, 13, 17, …
Pembahasan: a = 5, b = 4, n = 8
U₈ = 5 + (8−1) × 4 = 5 + 28 = 33
3. Beda dari barisan 2, 6, 10, 14, … adalah?
Pembahasan: b = 6 − 2 = 4
4. Tentukan suku ke-5 dari barisan 10, 15, 20, 25, …
Pembahasan: a = 10, b = 5, n = 5
U₅ = 10 + (5−1) × 5 = 10 + 20 = 30
5. Suku pertama barisan aritmatika adalah 1 dan beda 3. Tentukan U₆!
Pembahasan: U₆ = 1 + (6−1) × 3 = 1 + 15 = 16
6. Suku ke-3 barisan aritmatika adalah 11 dan suku ke-7 adalah 23. Tentukan suku pertama dan beda!
Pembahasan:
U₃ = a + 2b = 11 … (1)
U₇ = a + 6b = 23 … (2)
(2)−(1): 4b = 12 → b = 3
Substitusi: a + 6 = 11 → a = 5, b = 3
7. Tentukan banyak suku barisan 4, 9, 14, …, 99
Pembahasan: a = 4, b = 5, Un = 99
99 = 4 + (n−1)×5
95 = (n−1)×5
n−1 = 19 → n = 20
8. Suku ke-5 = 20 dan b = 4. Tentukan suku ke-12!
Pembahasan:
U₅ = a + 4(4) = 20 → a = 4
U₁₂ = 4 + 11(4) = 4 + 44 = 48
9. Sisipkan 3 bilangan antara 5 dan 25 sehingga membentuk barisan aritmatika.
Pembahasan:
Barisan: 5, _, _, _, 25 (5 suku)
a = 5, U₅ = 25
25 = 5 + 4b → b = 5
Barisan: 5, 10, 15, 20, 25
10. U₄ = 13 dan U₉ = 28. Tentukan U₁₅!
Pembahasan:
U₄ = a + 3b = 13 … (1)
U₉ = a + 8b = 28 … (2)
(2)−(1): 5b = 15 → b = 3
a = 13 − 9 = 4
U₁₅ = 4 + 14(3) = 4 + 42 = 46
11. Jumlah suku ke-3 dan ke-7 barisan aritmatika adalah 40. Jika suku ke-10 adalah 35, tentukan suku pertama!
Pembahasan:
U₃ + U₇ = (a+2b) + (a+6b) = 2a + 8b = 40 → a + 4b = 20 …(1)
U₁₀ = a + 9b = 35 …(2)
(2)−(1): 5b = 15 → b = 3
a = 20 − 12 = 8
12. Tiga bilangan membentuk barisan aritmatika. Jumlahnya 27 dan hasil kali 585. Tentukan bilangan tersebut!
Pembahasan:
Misal: (a−b), a, (a+b)
Jumlah: 3a = 27 → a = 9
Hasil kali: (9−b)(9)(9+b) = 585
9(81−b²) = 585
81−b² = 65 → b² = 16 → b = 4
Bilangan: 5, 9, 13
13. Barisan aritmatika memiliki U₅ = 2p+1 dan U₉ = 4p−3. Jika b = 3, tentukan p dan suku pertama!
Pembahasan:
U₉ − U₅ = 4b
(4p−3)−(2p+1) = 4(3)
2p − 4 = 12 → 2p = 16 → p = 8
U₅ = 2(8)+1 = 17
U₅ = a + 4b → 17 = a + 12 → a = 5, p = 8
14. Suku ke-n barisan aritmatika dinyatakan Un = 5n − 2. Tentukan a, b, dan U₂₀!
Pembahasan:
U₁ = 5(1) − 2 = 3 → a = 3
U₂ = 5(2) − 2 = 8
b = U₂ − U₁ = 8 − 3 = 5
U₂₀ = 5(20) − 2 = 98
15. Barisan: log 2, log 4, log 8, log 16, … Tentukan suku ke-8!
Pembahasan:
U₁ = log 2, U₂ = log 4 = 2 log 2, U₃ = 3 log 2
a = log 2, b = log 2
U₈ = log 2 + 7(log 2) = 8 log 2 = log 2⁸ = log 256
✏️ Latihan Soal
1. Tentukan suku ke-7 dari barisan 4, 8, 12, 16, …
2. Tentukan beda dari barisan 3, 10, 17, 24, …
3. Tentukan suku ke-12 dari barisan 1, 4, 7, 10, …
4. Suku pertama = 6, b = 5. Tentukan U₉!
5. Tentukan suku ke-20 dari barisan 2, 5, 8, 11, …
6. U₃ = 14 dan U₈ = 34. Tentukan a dan b!
7. Berapa banyak suku barisan 7, 11, 15, …, 83?
8. U₆ = 25 dan b = −3. Tentukan U₁!
9. Sisipkan 4 bilangan antara 3 dan 23 agar membentuk barisan aritmatika.
10. U₅ = 18 dan U₁₂ = 39. Tentukan U₂₀!
11. Tiga bilangan barisan aritmatika jumlahnya 33 dan kuadrat suku tengah 121. Tentukan bilangan tersebut!
12. U₃ + U₈ = 50 dan U₅ + U₁₀ = 62. Tentukan suku pertama dan beda!
13. Barisan aritmatika Un = 3n + k. Jika U₄ = 17, tentukan k dan U₁₀!
14. log 3, log 9, log 27, … Tentukan U₆!
15. Empat bilangan barisan aritmatika. Jumlah = 24, jumlah kuadrat = 164. Tentukan bilangan tersebut!
2. Deret Aritmatika
📘 Materi
Deret aritmatika adalah jumlah dari suku-suku barisan aritmatika.
Jika barisan: U₁, U₂, U₃, …, Un
Maka deret: Sn = U₁ + U₂ + U₃ + … + Un
Rumus Jumlah n Suku Pertama:
Sn = n⁄2 × (2a + (n−1)b)
atau
Sn = n⁄2 × (a + Un)
Keterangan:
- Sn = jumlah n suku pertama
- a = suku pertama
- b = beda
- Un = suku terakhir
Hubungan Sn dan Un:
Un = Sn − Sn−1 (untuk n ≥ 2)
Notasi Deret Aritmatika:
Sn = ∑k=1n Uk = ∑k=1n [a + (k−1)b]
Visualisasi Deret (jumlah bertambah):
Tabel Perbandingan Un dan Sn (barisan 2, 5, 8, 11, 14):
| n | Un | Sn |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 2 |
| 2 | 5 | 7 |
| 3 | 8 | 15 |
| 4 | 11 | 26 |
| 5 | 14 | 40 |
📝 Contoh Soal
1. Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret 3 + 7 + 11 + 15 + …
Pembahasan: a = 3, b = 4, n = 10
S₁₀ = 10/2 × (2(3) + 9(4)) = 5 × (6 + 36) = 5 × 42 = 210
2. Tentukan S₅ dari deret 2 + 5 + 8 + 11 + 14
Pembahasan: a = 2, U₅ = 14, n = 5
S₅ = 5/2 × (2 + 14) = 5/2 × 16 = 40
3. Jumlah 8 suku pertama dari 5 + 8 + 11 + …
Pembahasan: a = 5, b = 3, n = 8
S₈ = 8/2 × (2(5) + 7(3)) = 4 × (10 + 21) = 4 × 31 = 124
4. Tentukan S₆ dari deret 1 + 4 + 7 + 10 + …
Pembahasan: a = 1, b = 3, n = 6
S₆ = 6/2 × (2(1) + 5(3)) = 3 × (2 + 15) = 3 × 17 = 51
5. Tentukan jumlah deret 10 + 10 + 10 + … (12 suku)
Pembahasan: a = 10, b = 0, n = 12
S₁₂ = 12/2 × (2(10) + 11(0)) = 6 × 20 = 120
6. Diketahui Sn = 2n² + 3n. Tentukan U₅!
Pembahasan:
U₅ = S₅ − S₄
S₅ = 2(25) + 15 = 65
S₄ = 2(16) + 12 = 44
U₅ = 65 − 44 = 21
7. Jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah 255. Jika a = 3 dan b = 4, tentukan n!
Pembahasan:
255 = n/2 × (2(3) + (n−1)4)
510 = n(6 + 4n − 4) = n(4n + 2)
510 = 4n² + 2n
4n² + 2n − 510 = 0 → 2n² + n − 255 = 0
(2n + 17)(n − 15) = 0… Cek: n = (−1 + √2041)/4 ≈ …
Alternatif: n(4n+2) = 510 → coba n=10: 10(42)=420 ✗, n=11: 11(46)=506 ✗, n=15: 15(62)=930 ✗
Koreksi: 255 = n/2(6+4n−4) = n/2(4n+2) = n(2n+1)
n(2n+1) = 255 → coba n=10: 10(21)=210 ✗, n=11: 11(23)=253 ✗, n=15: 15(31)=465 ✗
Sebenarnya: 255 = n/2(2×3+(n-1)×4) = n/2(6+4n-4) = n/2(4n+2) = n(2n+1)
2n²+n−255=0 → n = (−1+√(1+2040))/4 = (−1+√2041)/4 ≈ (−1+45.2)/4 ≈ 11.05
Mari periksa kembali: a=3, b=4. S₁₀ = 10/2(6+36) = 210. S₁₁ = 11/2(6+40)=11×23=253. S₁₂=12/2(6+44)=300.
Jadi Sn=255 tidak bulat. Mari ubah soal:
Koreksi soal: Sn = 210, maka n = 10
7 (revisi). Sn = 210. Jika a = 3 dan b = 4, tentukan n!
Pembahasan:
210 = n/2 × (6 + (n−1)4) = n/2 × (4n+2) = n(2n+1)
2n² + n − 210 = 0
n = (−1 + √(1+1680))/4 = (−1+41)/4 = 10
Jadi n = 10
8. Deret aritmatika: 5 + 9 + 13 + … + Un = 275. Tentukan banyak suku!
Pembahasan: a = 5, b = 4
275 = n/2(10 + (n−1)4) = n/2(4n+6) = n(2n+3)
2n² + 3n − 275 = 0
n = (−3 + √(9+2200))/4 = (−3+47)/4 = 11
Jadi n = 11
9. S₁₀ = 100 dan a = 1. Tentukan beda!
Pembahasan:
100 = 10/2 × (2(1) + 9b)
100 = 5(2 + 9b)
20 = 2 + 9b → 9b = 18 → b = 2
10. Jumlah 20 suku pertama deret 100 + 95 + 90 + …
Pembahasan: a = 100, b = −5, n = 20
S₂₀ = 20/2 × (200 + 19(−5)) = 10 × (200 − 95) = 10 × 105 = 1050
11. Sn = 3n² − n. Tentukan rumus Un dan buktikan bahwa barisan tersebut aritmatika!
Pembahasan:
Un = Sn − Sn−1 (untuk n ≥ 2)
Sn−1 = 3(n−1)² − (n−1) = 3n² − 6n + 3 − n + 1 = 3n² − 7n + 4
Un = (3n²−n) − (3n²−7n+4) = 6n − 4
Cek U₁ = S₁ = 3−1 = 2 = 6(1)−4 ✓
b = Un − Un−1 = (6n−4) − (6(n−1)−4) = 6 (konstan)
Terbukti aritmatika dengan Un = 6n − 4, b = 6
12. Suatu deret aritmatika S₅ = 50 dan S₁₀ = 200. Tentukan S₁₅!
Pembahasan:
S₅ = 5/2(2a+4b) = 5(a+2b) = 50 → a+2b = 10 …(1)
S₁₀ = 10/2(2a+9b) = 5(2a+9b) = 200 → 2a+9b = 40 …(2)
Dari (1): a = 10−2b. Substitusi ke (2):
2(10−2b)+9b = 40 → 20−4b+9b = 40 → 5b = 20 → b = 4
a = 10−8 = 2
S₁₅ = 15/2(2(2)+14(4)) = 15/2(4+56) = 15/2 × 60 = 450
13. Tentukan nilai 1 + 2 + 3 + … + 100
Pembahasan:
a = 1, b = 1, n = 100, U₁₀₀ = 100
S₁₀₀ = 100/2 × (1 + 100) = 50 × 101 = 5050
14. Jumlah semua bilangan genap antara 1 dan 101 adalah?
Pembahasan:
Deret: 2 + 4 + 6 + … + 100
a = 2, b = 2, Un = 100
100 = 2 + (n−1)2 → n = 50
S₅₀ = 50/2 × (2 + 100) = 25 × 102 = 2550
15. Seorang pekerja menabung Rp10.000 di minggu pertama, tiap minggu bertambah Rp2.000. Berapa total tabungan setelah 1 tahun (52 minggu)?
Pembahasan:
a = 10.000, b = 2.000, n = 52
S₅₂ = 52/2 × (2(10.000) + 51(2.000))
= 26 × (20.000 + 102.000)
= 26 × 122.000 = Rp3.172.000
✏️ Latihan Soal
1. Tentukan S₈ dari deret 2 + 6 + 10 + 14 + …
2. Jumlah 5 suku pertama dari 4 + 7 + 10 + …
3. S₁₀ dari deret 1 + 3 + 5 + 7 + …
4. Jumlah 6 suku pertama dari 10 + 8 + 6 + …
5. S₇ dari deret 3 + 6 + 9 + 12 + …
6. Sn = n² + 2n. Tentukan U₇!
7. S₁₅ = 450 dan a = 2. Tentukan b!
8. Deret 8 + 12 + 16 + … Berapakah n jika Sn = 168?
9. S₈ = 180 dan b = 5. Tentukan suku pertama!
10. Jumlah 15 suku pertama deret 50 + 47 + 44 + …
11. S₅ = 75 dan S₁₀ = 300. Tentukan S₂₀!
12. Sn = 4n² + n. Buktikan barisan aritmatika dan tentukan b!
13. Jumlah semua bilangan kelipatan 3 antara 1 dan 200!
14. Gaji bulan pertama Rp3.000.000, naik Rp150.000/bulan. Total gaji setahun?
15. S₆ = 66 dan S₁₂ = 264. Tentukan a, b, dan S₂₀!
3. Suku Tengah Barisan/Deret Aritmatika
📘 Materi
Suku tengah berlaku jika banyaknya suku ganjil. Suku tengah adalah rata-rata dari suku pertama dan suku terakhir.
Rumus Suku Tengah (Ut):
Ut = ½ × (a + Un)
dengan posisi tengah: t = (n+1)/2
Hubungan Suku Tengah dan Jumlah Deret:
Sn = n × Ut
(hanya berlaku jika n ganjil)
Visualisasi Suku Tengah (barisan 3, 7, 11, 15, 19):
| n (ganjil) | Posisi Tengah (t) | Contoh Barisan | Ut |
|---|---|---|---|
| 3 | 2 | 4, 7, 10 | 7 |
| 5 | 3 | 2, 5, 8, 11, 14 | 8 |
| 7 | 4 | 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 | 7 |
📝 Contoh Soal
1. Tentukan suku tengah barisan 5, 9, 13, 17, 21
Pembahasan: n = 5 (ganjil), t = 3
Ut = ½(5+21) = ½(26) = 13
2. Suku tengah barisan 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26 adalah?
Pembahasan: n = 7, t = 4
Ut = ½(2+26) = 14
3. Barisan: 10, 15, 20, 25, 30. Tentukan suku tengah!
Pembahasan: n = 5, t = 3
Ut = ½(10+30) = 20
4. Barisan aritmatika memiliki 9 suku dengan a = 4 dan b = 3. Tentukan suku tengah!
Pembahasan: t = 5
U₅ = 4 + 4(3) = 16
Verifikasi: U₉ = 4+8(3) = 28. Ut = ½(4+28) = 16 ✓
5. Barisan 1, 4, 7 memiliki suku tengah?
Pembahasan: n = 3, t = 2
Ut = ½(1+7) = 4
6. Barisan aritmatika 11 suku. U₁ = 5, U₁₁ = 55. Tentukan suku tengah dan S₁₁!
Pembahasan:
t = 6, Ut = ½(5+55) = 30
S₁₁ = 11 × Ut = 11 × 30 = 330
7. Suku tengah barisan aritmatika 15 suku adalah 24. Tentukan jumlah deret!
Pembahasan:
S₁₅ = 15 × Ut = 15 × 24 = 360
8. Barisan aritmatika 9 suku. S₉ = 189. Tentukan suku tengah!
Pembahasan:
S₉ = 9 × Ut
189 = 9 × Ut → Ut = 21
9. Barisan 7 suku dengan a = 3 dan U₇ = 27. Tentukan U₂, U₃, …, U₆!
Pembahasan:
b = (27−3)/(7−1) = 24/6 = 4
Ut = U₄ = ½(3+27) = 15
Barisan: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27
10. Jika suku tengah barisan 13 suku adalah 40 dan a = 16, tentukan b!
Pembahasan:
t = 7, U₇ = 40
40 = 16 + 6b → 6b = 24 → b = 4
11. Barisan aritmatika (2n+1) suku. Suku pertama p dan suku terakhir q. Tentukan suku tengah dan jumlah deret!
Pembahasan:
t = (2n+1+1)/2 = n+1
Ut = ½(p+q)
S = (2n+1) × ½(p+q) = (2n+1)(p+q)/2
12. Barisan 21 suku. S₂₁ = 630. Jika b = 2, tentukan suku pertama!
Pembahasan:
S₂₁ = 21 × Ut → Ut = 630/21 = 30
t = 11 → U₁₁ = 30
30 = a + 10(2) → a = 30 − 20 = 10
13. Deret aritmatika 17 suku. U₅ = 20 dan U₁₃ = 44. Tentukan suku tengah dan S₁₇!
Pembahasan:
b = (44−20)/(13−5) = 24/8 = 3
U₅ = a + 4(3) = 20 → a = 8
U₁₇ = 8 + 16(3) = 56
Ut = U₉ = 8 + 8(3) = 32
S₁₇ = 17 × 32 = 544
14. Suku tengah barisan (2k−1) suku aritmatika adalah 3k+1. Jika a = 7, tentukan k dan beda!
Pembahasan:
t = ((2k−1)+1)/2 = k
Uk = 3k+1 = a + (k−1)b = 7 + (k−1)b
3k+1 = 7 + (k−1)b → (k−1)b = 3k − 6
b = (3k−6)/(k−1) = 3(k−2)/(k−1)
Agar b bilangan bulat, coba k=4: b = 3(2)/3 = 2
Verifikasi: U₄ = 7+3(2) = 13 = 3(4)+1 = 13 ✓
Jadi k = 4, b = 2
15. Barisan 11 suku. Suku tengah = 33 dan suku terakhir = 53. Tentukan a, b, dan S₁₁!
Pembahasan:
Ut = ½(a + 53) = 33 → a + 53 = 66 → a = 13
U₁₁ = 53 = 13 + 10b → 10b = 40 → b = 4
S₁₁ = 11 × 33 = 363
✏️ Latihan Soal
1. Suku tengah barisan 6, 10, 14, 18, 22 adalah?
2. Barisan 3 suku: 8, ?, 20. Tentukan suku tengah!
3. Barisan 5 suku, a=2, b=6. Tentukan suku tengah!
4. Suku tengah barisan 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25 adalah?
5. Barisan 9 suku, a=10, U₉=42. Tentukan suku tengah!
6. S₁₃ = 325. Tentukan suku tengah!
7. Suku tengah barisan 11 suku = 50 dan a = 20. Tentukan b!
8. Barisan 15 suku. Ut = 36. Tentukan S₁₅!
9. a = 5, U₁₃ = 41. Tentukan U₇ (suku tengah)!
10. S₁₇ = 510. Tentukan suku tengah!
11. Barisan 19 suku. U₅=17, U₁₅=47. Tentukan suku tengah dan S₁₉!
12. Suku tengah barisan (2n+1) suku = 5n. Jika b=5, tentukan n dan a!
13. Barisan 21 suku. Jumlah 3 suku tengah (U₁₀+U₁₁+U₁₂) = 99. Tentukan U₁₁ dan S₂₁!
14. Barisan 25 suku, S₂₅ = 1250. Jika U₁₃ (suku tengah) diperbesar 5, berapa S₂₅ baru?
15. Barisan 2k+1 suku. Suku tengah = a+kb. Buktikan rumus ini benar!