Matematika — Bilangan Berpangkat
Sifat-sifat Pangkat Bulat
Materi lengkap, contoh soal bertingkat, dan latihan soal khusus tentang pangkat bulat.
Halaman ini hanya membahas sifat-sifat pangkat bulat, yaitu aturan-aturan yang digunakan untuk menyederhanakan, menghitung, dan mengubah bentuk bilangan berpangkat dengan pangkat berupa bilangan bulat.
A. Materi Sifat-sifat Pangkat Bulat
Pangkat bulat adalah bentuk perkalian berulang dari suatu bilangan. Jika a adalah bilangan pokok dan n adalah bilangan bulat, maka an dibaca “a pangkat n”.
an = a × a × a × … × a, sebanyak n faktor, untuk n bilangan bulat positif.
Contoh: 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
1. Perkalian Bilangan Berpangkat dengan Bilangan Pokok Sama
Jika dua bilangan berpangkat memiliki bilangan pokok yang sama dan dikalikan, maka pangkatnya dijumlahkan.
am × an = am+n
Contoh: 32 × 34 = 32+4 = 36
2. Pembagian Bilangan Berpangkat dengan Bilangan Pokok Sama
Jika dua bilangan berpangkat memiliki bilangan pokok yang sama dan dibagi, maka pangkatnya dikurangkan.
am : an = am-n, dengan a ≠ 0
Contoh: 57 : 53 = 57-3 = 54
3. Pangkat dari Bilangan Berpangkat
Jika suatu bilangan berpangkat dipangkatkan lagi, maka pangkatnya dikalikan.
(am)n = am × n
Contoh: (23)4 = 23×4 = 212
4. Pangkat dari Perkalian
Jika perkalian dua bilangan dipangkatkan, maka setiap faktor mendapat pangkat yang sama.
(a × b)n = an × bn
Contoh: (2 × 3)2 = 22 × 32 = 4 × 9 = 36
5. Pangkat dari Pembagian
Jika pembagian dua bilangan dipangkatkan, maka pembilang dan penyebut mendapat pangkat yang sama.
(a : b)n = an : bn, dengan b ≠ 0
Contoh: (6 : 2)3 = 63 : 23
6. Pangkat Nol
Setiap bilangan bukan nol yang dipangkatkan nol hasilnya adalah 1.
a0 = 1, dengan a ≠ 0
Contoh: 90 = 1 dan (-4)0 = 1
7. Pangkat Negatif
Pangkat negatif menunjukkan kebalikan dari bentuk berpangkat positif.
a-n = 1 / an, dengan a ≠ 0
Contoh: 2-3 = 1 / 23 = 1 / 8
Tabel Ringkas Sifat-sifat Pangkat Bulat
| Sifat | Rumus | Contoh |
|---|---|---|
| Perkalian pangkat sama pokok | am × an = am+n | 23 × 22 = 25 |
| Pembagian pangkat sama pokok | am : an = am-n | 76 : 72 = 74 |
| Pangkat dari pangkat | (am)n = amn | (32)4 = 38 |
| Pangkat dari perkalian | (ab)n = anbn | (2 × 5)3 = 23 × 53 |
| Pangkat nol | a0 = 1 | 150 = 1 |
| Pangkat negatif | a-n = 1/an | 4-2 = 1/16 |
Kegiatan Pembelajaran
Mengamati
Amati bentuk 23 × 24. Perhatikan bahwa bilangan pokoknya sama, yaitu 2.
Menanya
Mengapa pangkat pada perkalian dengan pokok sama dijumlahkan, bukan dikalikan?
Menalar
Karena 23 × 24 berarti ada 3 faktor 2 dikalikan 4 faktor 2, sehingga totalnya 7 faktor 2.
Mencoba
Coba sederhanakan 52 × 56 dan 87 : 83.
Mengkomunikasikan
Jelaskan kepada temanmu mengapa (32)4 = 38, bukan 36.
B. Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh Soal Mudah
Sederhanakan 23 × 24.
Pembahasan: Bilangan pokok sama, yaitu 2. Gunakan sifat perkalian: pangkat dijumlahkan.
23 × 24 = 23+4 = 27
Sederhanakan 56 : 52.
Pembahasan: Bilangan pokok sama, yaitu 5. Pada pembagian, pangkat dikurangkan.
56 : 52 = 56-2 = 54
Hitung nilai 30.
Pembahasan: Setiap bilangan bukan nol berpangkat nol hasilnya 1.
30 = 1
Ubah 4-1 ke bentuk pecahan.
Pembahasan: Pangkat negatif berarti kebalikan.
4-1 = 1 / 41 = 1/4
Sederhanakan (22)3.
Pembahasan: Pangkat dari pangkat, maka pangkat dikalikan.
(22)3 = 22×3 = 26
Contoh Soal Sedang
Sederhanakan 35 × 32 : 34.
Pembahasan: Karena semua bilangan pokoknya sama, jumlahkan pangkat yang dikali dan kurangkan pangkat yang dibagi.
35 × 32 : 34 = 35+2-4 = 33
Sederhanakan (4 × 7)2.
Pembahasan: Gunakan sifat pangkat dari perkalian.
(4 × 7)2 = 42 × 72
Ubah 6-2 ke bentuk pecahan paling sederhana.
Pembahasan: Pangkat negatif diubah menjadi kebalikan berpangkat positif.
6-2 = 1 / 62 = 1/36
Sederhanakan (x3)5.
Pembahasan: Pangkat dari pangkat berarti pangkat dikalikan.
(x3)5 = x3×5 = x15
Sederhanakan a8 : a10, dengan a ≠ 0.
Pembahasan: Kurangkan pangkatnya. Jika hasil pangkat negatif, ubah ke bentuk pecahan.
a8 : a10 = a8-10 = a-2 = 1/a2
Contoh Soal Sulit
Sederhanakan (23 × 2-5) : 2-4.
Pembahasan: Gabungkan pangkat dengan pokok sama.
(23 × 2-5) : 2-4 = 23+(-5)-(-4) = 22
Sederhanakan (a2b3)4.
Pembahasan: Pangkat 4 diberikan kepada setiap faktor di dalam kurung.
(a2b3)4 = a2×4b3×4 = a8b12
Sederhanakan (x-2)3 × x7.
Pembahasan: Kerjakan pangkat dari pangkat terlebih dahulu, lalu gunakan sifat perkalian.
(x-2)3 × x7 = x-6 × x7 = x1 = x
Sederhanakan (3a2b)3.
Pembahasan: Pangkat 3 mengenai 3, a2, dan b.
(3a2b)3 = 33a2×3b3 = 27a6b3
Sederhanakan m4n-2 : m-1n3.
Pembahasan: Untuk pembagian, kurangkan pangkat pada pokok yang sama.
m4-(-1)n-2-3 = m5n-5 = m5/n5
C. Latihan Soal
Kerjakan latihan berikut secara mandiri. Bagian ini tidak disertai pembahasan agar siswa dapat berlatih menggunakan sifat-sifat pangkat bulat.
Latihan Mudah
- 24 × 23
- 75 : 72
- 90
- 3-2
- (52)3
Latihan Sedang
- 46 × 42 : 45
- (2 × 9)3
- a7 : a9
- (p4)2
- 10-3
Latihan Sulit
- (x3y-2)2
- a-4 × a9 : a2
- (2m3n)4
- p5q-3 : p-2q4
- (3-2 × 35) : 3-1
D. Ringkasan Akhir
- Pada perkalian bilangan berpangkat dengan pokok sama, pangkat dijumlahkan.
- Pada pembagian bilangan berpangkat dengan pokok sama, pangkat dikurangkan.
- Pangkat dari pangkat diselesaikan dengan mengalikan pangkatnya.
- Pangkat dari perkalian atau pembagian berlaku untuk setiap faktor.
- Bilangan bukan nol berpangkat nol bernilai 1.
- Pangkat negatif diubah menjadi bentuk kebalikan berpangkat positif.
Dengan memahami sifat-sifat ini, siswa dapat menyederhanakan bentuk pangkat bulat secara lebih cepat, runtut, dan tepat.