Matematika
Pangkat Bulat Positif
Materi lengkap, contoh soal bertingkat, dan latihan soal untuk memahami bilangan berpangkat dengan pangkat bilat positif secara runtut.
Notasi Utama
dengan n faktor sebanyak pangkatnya.
A. Materi Pangkat Bulat Positif
1. Pengertian Pangkat Bulat Positif
Pangkat bulat positif adalah bentuk perkalian berulang dari suatu bilangan dengan dirinya sendiri. Jika sebuah bilangan a dikalikan berulang sebanyak n kali, maka bentuk singkatnya ditulis sebagai:
an = a × a × a × … × aPada bentuk tersebut, a disebut bilangan pokok atau basis, sedangkan n disebut pangkat atau eksponen. Karena materi ini hanya membahas pangkat bulat positif, maka nilai n adalah bilangan asli seperti 1, 2, 3, 4, dan seterusnya.
2. Membaca Notasi Pangkat
| Notasi | Cara Membaca | Makna | Hasil |
|---|---|---|---|
| 23 | Dua pangkat tiga | 2 × 2 × 2 | 8 |
| 52 | Lima pangkat dua / lima kuadrat | 5 × 5 | 25 |
| 44 | Empat pangkat empat | 4 × 4 × 4 × 4 | 256 |
3. Bagian-Bagian Bilangan Berpangkat
Contoh
3 adalah basis, yaitu bilangan yang dikalikan berulang.
Pangkat
4 adalah eksponen, yaitu banyaknya faktor perkalian.
Nilai
Jadi, 34 = 81.
4. Sifat-Sifat Pangkat Bulat Positif
Sifat-sifat berikut membantu menyederhanakan perhitungan bilangan berpangkat.
a. Perkalian dengan Basis Sama
am × an = am+nJika basisnya sama dan dikalikan, maka pangkatnya dijumlahkan.
Contoh: 23 × 24 = 27 = 128.
b. Pembagian dengan Basis Sama
am : an = am-n, dengan m > nJika basisnya sama dan dibagi, maka pangkatnya dikurangkan.
Contoh: 56 : 52 = 54 = 625.
c. Pangkat dari Pangkat
(am)n = am × nJika bentuk berpangkat dipangkatkan lagi, maka pangkatnya dikalikan.
Contoh: (32)4 = 38 = 6561.
d. Pangkat pada Perkalian
(ab)n = anbnPangkat berlaku untuk setiap faktor di dalam kurung.
Contoh: (2 × 5)3 = 23 × 53 = 8 × 125 = 1000.
e. Pangkat pada Pembagian
(a : b)n = an : bn, b ≠ 0Pangkat berlaku untuk pembilang dan penyebut.
Contoh: (6 : 3)2 = 62 : 32 = 36 : 9 = 4.
5. Hubungan dengan Bentuk Akar dan Logaritma
Walaupun fokus materi ini adalah pangkat bulat positif, siswa perlu mengenali bahwa bilangan berpangkat berkaitan dengan bentuk akar dan logaritma. Keduanya sering menjadi lanjutan dari materi eksponen.
Eksponen
23 = 8Artinya 2 dikalikan sebanyak 3 kali.
Bentuk Akar
√25 = 5Akar mencari bilangan yang jika dipangkatkan menghasilkan angka tertentu.
Logaritma
log2 8 = 3Logaritma mencari pangkat yang diperlukan agar 2 menjadi 8.
6. Kegiatan Pembelajaran
Mengamati
Amatilah pola perkalian berikut:
21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16Siswa mengamati bahwa setiap pangkat naik satu, hasilnya dikalikan lagi dengan basisnya.
Menanya
Ajukan pertanyaan seperti:
- Mengapa 34 bukan berarti 3 × 4?
- Apa perbedaan basis dan pangkat?
- Mengapa 23 × 22 sama dengan 25?
Menalar
Siswa menalar bahwa:
23 × 22 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2) = 25Jadi, pangkat dijumlahkan karena banyak faktor basis yang sama bertambah.
Mencoba
Cobalah menghitung nilai berikut secara mandiri:
43, 62, 32 × 33, (22)3Mengkomunikasikan
Siswa menjelaskan hasil perhitungannya kepada teman atau guru dengan kalimat sendiri. Misalnya: “Saya menghitung 43 sebagai 4 × 4 × 4, sehingga hasilnya 64.”
B. Contoh Soal dan Pembahasan
Berikut contoh soal pangkat bulat positif mulai dari tingkat mudah, sedang, hingga sulit.
1. Contoh Soal Mudah
Soal 1
Hitunglah nilai 24.
Pembahasan:
24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16Jadi, nilai 24 adalah 16.
Soal 2
Hitunglah nilai 52.
Pembahasan:
52 = 5 × 5 = 25Jadi, nilai 52 adalah 25.
Soal 3
Hitunglah nilai 33.
Pembahasan:
33 = 3 × 3 × 3 = 27Jadi, nilai 33 adalah 27.
Soal 4
Tentukan basis dan pangkat dari 74.
Pembahasan:
Pada bentuk 74, angka 7 adalah basis dan angka 4 adalah pangkat.
Jadi, basisnya 7 dan pangkatnya 4.
Soal 5
Ubah 6 × 6 × 6 ke bentuk pangkat.
Pembahasan:
Bilangan 6 dikalikan sebanyak 3 kali, maka bentuk pangkatnya adalah:
6 × 6 × 6 = 63Jadi, bentuk pangkatnya adalah 63.
2. Contoh Soal Sedang
Soal 1
Sederhanakan 23 × 25.
Pembahasan:
Karena basisnya sama, pangkat dijumlahkan.
23 × 25 = 23+5 = 28 = 256Jadi, hasilnya adalah 256.
Soal 2
Sederhanakan 56 : 53.
Pembahasan:
Karena basisnya sama dan dibagi, pangkat dikurangkan.
56 : 53 = 56-3 = 53 = 125Jadi, hasilnya adalah 125.
Soal 3
Hitunglah (32)3.
Pembahasan:
Pangkat dari pangkat berarti pangkatnya dikalikan.
(32)3 = 32×3 = 36 = 729Jadi, hasilnya adalah 729.
Soal 4
Hitunglah (2 × 4)2.
Pembahasan:
(2 × 4)2 = 82 = 64Atau dapat juga dihitung:
22 × 42 = 4 × 16 = 64Jadi, hasilnya adalah 64.
Soal 5
Sederhanakan 42 × 43 : 41.
Pembahasan:
Untuk perkalian pangkat dijumlahkan, untuk pembagian pangkat dikurangkan.
42 × 43 : 41 = 42+3-1 = 44 44 = 4 × 4 × 4 × 4 = 256Jadi, hasilnya adalah 256.
3. Contoh Soal Sulit
Soal 1
Sederhanakan (23 × 24)2.
Pembahasan:
Di dalam kurung, basis sama dan dikalikan, maka pangkat dijumlahkan.
23 × 24 = 27Kemudian dipangkatkan 2.
(27)2 = 214 = 16384Jadi, hasilnya adalah 16384.
Soal 2
Sederhanakan 35 × 92.
Pembahasan:
Ubah 9 menjadi 32.
92 = (32)2 = 34Maka:
35 × 92 = 35 × 34 = 39 = 19683Jadi, hasilnya adalah 19683.
Soal 3
Sederhanakan 82 : 23.
Pembahasan:
Ubah 8 menjadi 23.
82 = (23)2 = 26Maka:
82 : 23 = 26 : 23 = 23 = 8Jadi, hasilnya adalah 8.
Soal 4
Jika 2x = 32, tentukan nilai x.
Pembahasan:
Ubah 32 ke bentuk pangkat 2.
32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25Karena 2x = 25, maka nilai pangkatnya sama.
x = 5Jadi, nilai x adalah 5.
Soal 5
Sederhanakan (52 × 53) : 25.
Pembahasan:
Ubah 25 menjadi 52.
(52 × 53) : 25 = (52 × 53) : 52Gabungkan pangkatnya.
52+3-2 = 53 = 125Jadi, hasilnya adalah 125.
C. Latihan Soal
Kerjakan latihan berikut secara mandiri. Bagian ini tidak disertai pembahasan.
Latihan Mudah
- Hitunglah 25.
- Hitunglah 43.
- Ubah 7 × 7 × 7 × 7 ke bentuk pangkat.
- Tentukan basis dan pangkat dari 92.
- Hitunglah 103.
Latihan Sedang
- Sederhanakan 32 × 34.
- Sederhanakan 65 : 62.
- Hitunglah (23)2.
- Hitunglah (3 × 4)2.
- Sederhanakan 53 × 52 : 51.
Latihan Sulit
- Sederhanakan (24 × 23)2.
- Sederhanakan 43 × 22.
- Sederhanakan 272 : 33.
- Jika 3x = 81, tentukan nilai x.
- Sederhanakan (102 × 103) : 100.
D. Ringkasan Penting
1. Pangkat bulat positif menyatakan perkalian berulang dari suatu bilangan.
2. Pada an, huruf a disebut basis dan n disebut pangkat atau eksponen.
3. Jika basis sama dan dikalikan, pangkat dijumlahkan.
4. Jika basis sama dan dibagi, pangkat dikurangkan.
5. Jika bentuk berpangkat dipangkatkan lagi, pangkat dikalikan.
6. Eksponen berhubungan dengan bentuk akar dan logaritma, tetapi pembahasan utama di sini tetap pangkat bulat positif.