Pangkat Pecahan
Materi lengkap, runtut, dan fokus khusus membahas pangkat pecahan: pengertian, hubungan dengan bentuk akar, cara menghitung, contoh soal, dan latihan.
Bentuk Umum
am/n = n√(am) = ( n√a )m
Syarat Dasar
Jika n genap, biasanya a ≥ 0 agar hasil real.
Jika n ganjil, a boleh negatif.
Fokus Materi
Eksponen pecahan, bentuk akar, penyederhanaan, dan operasi pangkat pecahan.
Materi Inti Pangkat Pecahan
Pangkat pecahan adalah bentuk bilangan berpangkat yang eksponennya berupa pecahan. Jika sebuah bilangan ditulis sebagai am/n, maka bentuk tersebut berhubungan langsung dengan bentuk akar.
am/n = n√(am) = ( n√a )m
Pada bentuk am/n, huruf a disebut bilangan pokok atau basis, m adalah pembilang pangkat, dan n adalah penyebut pangkat sekaligus indeks akar.
| Notasi | Nama Bagian | Makna | Contoh |
|---|---|---|---|
| a | Basis | Bilangan yang dipangkatkan | Pada 272/3, basisnya 27 |
| m | Pembilang pangkat | Menunjukkan pangkat biasa | Pada 272/3, m = 2 |
| n | Penyebut pangkat | Menunjukkan indeks akar | Pada 272/3, n = 3 |
Hubungan Pangkat Pecahan dengan Bentuk Akar
Penyebut pada pangkat pecahan menjadi indeks akar. Misalnya:
161/2 = √16 = 4
271/3 = 3√27 = 3
813/4 = ( 4√81 )3 = 33 = 27
322/5 = ( 5√32 )2 = 22 = 4
Cara Umum Menyelesaikan Pangkat Pecahan
- Perhatikan bentuk pangkat pecahan, misalnya am/n.
- Ubah menjadi bentuk akar: n√(am) atau ( n√a )m.
- Pilih cara yang paling mudah. Biasanya lebih mudah mencari akar terlebih dahulu.
- Hitung hasil akar, lalu pangkatkan sesuai pembilang.
- Sederhanakan hasil akhir.
Catatan penting:
Untuk am/n, bentuk yang sering paling mudah digunakan adalah ( n√a )m, karena angka biasanya menjadi lebih kecil setelah diakarkan.
Kegiatan Pembelajaran
A. Mengamati
Amati beberapa bentuk berikut: 91/2, 81/3, 163/4, dan 322/5. Perhatikan bahwa penyebut pangkat pecahan berubah menjadi indeks akar.
91/2 = √9, 81/3 = 3√8
B. Menanya
Setelah mengamati, muncul pertanyaan: Mengapa 163/4 dapat dihitung dengan mencari akar pangkat empat dari 16 terlebih dahulu? Mengapa hasilnya kemudian dipangkatkan 3?
C. Menalar
Pada 163/4, penyebut 4 berarti akar pangkat empat, sedangkan pembilang 3 berarti dipangkatkan tiga. Maka:
163/4 = ( 4√16 )3 = 23 = 8
D. Mencoba
Coba hitung 253/2. Karena penyebutnya 2, gunakan akar kuadrat.
253/2 = ( √25 )3 = 53 = 125
E. Mengkomunikasikan
Jelaskan dengan bahasamu sendiri bahwa pangkat pecahan adalah cara lain menulis bentuk akar. Contohnya, 642/3 berarti akar pangkat tiga dari 64, lalu hasilnya dipangkatkan dua.
642/3 = ( 3√64 )2 = 42 = 16
Contoh Soal Mudah
▶ Contoh 1: Hitung 41/2
Karena penyebut pangkatnya 2, maka bentuknya adalah akar kuadrat.
41/2 = √4 = 2
Jadi, hasilnya adalah 2.
▶ Contoh 2: Hitung 91/2
Pangkat 1/2 berarti akar kuadrat.
91/2 = √9 = 3
Jadi, hasilnya adalah 3.
▶ Contoh 3: Hitung 81/3
Pangkat 1/3 berarti akar pangkat tiga.
81/3 = 3√8 = 2
Jadi, hasilnya adalah 2.
▶ Contoh 4: Hitung 161/4
Pangkat 1/4 berarti akar pangkat empat.
161/4 = 4√16 = 2
Karena 24 = 16, maka hasilnya 2.
▶ Contoh 5: Hitung 251/2
Pangkat 1/2 berarti akar kuadrat.
251/2 = √25 = 5
Jadi, hasilnya adalah 5.
Contoh Soal Sedang
▶ Contoh 1: Hitung 163/4
Gunakan bentuk ( n√a )m.
163/4 = ( 4√16 )3
Karena 4√16 = 2, maka:
23 = 8
Jadi, hasilnya adalah 8.
▶ Contoh 2: Hitung 272/3
Penyebut 3 berarti akar pangkat tiga, pembilang 2 berarti dipangkatkan dua.
272/3 = ( 3√27 )2
= 32 = 9
Jadi, hasilnya adalah 9.
▶ Contoh 3: Hitung 322/5
Penyebut 5 berarti akar pangkat lima.
322/5 = ( 5√32 )2
Karena 25 = 32, maka 5√32 = 2.
22 = 4
Jadi, hasilnya adalah 4.
▶ Contoh 4: Hitung 813/4
Ubah ke bentuk akar terlebih dahulu.
813/4 = ( 4√81 )3
Karena 34 = 81, maka 4√81 = 3.
33 = 27
Jadi, hasilnya adalah 27.
▶ Contoh 5: Hitung 1252/3
Penyebut 3 berarti akar pangkat tiga.
1252/3 = ( 3√125 )2
Karena 3√125 = 5, maka:
52 = 25
Jadi, hasilnya adalah 25.
Contoh Soal Sulit
▶ Contoh 1: Sederhanakan 645/6
Penyebut 6 berarti akar pangkat enam.
645/6 = ( 6√64 )5
Karena 26 = 64, maka 6√64 = 2.
25 = 32
Jadi, hasilnya adalah 32.
▶ Contoh 2: Hitung 2162/3 ÷ 361/2
Hitung masing-masing bagian.
2162/3 = ( 3√216 )2 = 62 = 36
361/2 = √36 = 6
Maka:
36 ÷ 6 = 6
Jadi, hasilnya adalah 6.
▶ Contoh 3: Sederhanakan 163/4 × 272/3
Hitung setiap pangkat pecahan.
163/4 = ( 4√16 )3 = 23 = 8
272/3 = ( 3√27 )2 = 32 = 9
Maka:
8 × 9 = 72
Jadi, hasilnya adalah 72.
▶ Contoh 4: Sederhanakan 2563/8
Penyebut 8 berarti akar pangkat delapan.
2563/8 = ( 8√256 )3
Karena 28 = 256, maka 8√256 = 2.
23 = 8
Jadi, hasilnya adalah 8.
▶ Contoh 5: Hitung (811/4 + 321/5)2
Hitung bagian dalam kurung terlebih dahulu.
811/4 = 4√81 = 3
321/5 = 5√32 = 2
Maka:
(3 + 2)2 = 52 = 25
Jadi, hasilnya adalah 25.
Latihan Soal
Kerjakan latihan berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan hubungan pangkat pecahan dan bentuk akar.
Latihan Mudah
- Hitung 161/2.
- Hitung 271/3.
- Hitung 361/2.
- Hitung 811/4.
- Hitung 321/5.
Latihan Sedang
- Hitung 642/3.
- Hitung 253/2.
- Hitung 813/4.
- Hitung 1252/3.
- Hitung 493/2.
Latihan Sulit
- Sederhanakan 2563/8.
- Hitung 2162/3 × 161/4.
- Hitung 6253/4 ÷ 251/2.
- Sederhanakan 645/6 + 272/3.
- Hitung (321/5 + 811/4)3.
Ringkasan Penting
am/n = n√(am) = ( n√a )m
- Pangkat pecahan adalah bentuk eksponen yang pembilang dan penyebutnya berupa bilangan bulat.
- Penyebut pangkat pecahan menjadi indeks akar.
- Pembilang pangkat pecahan menjadi pangkat biasa.
- Cara yang sering paling mudah adalah mencari akar terlebih dahulu, lalu memangkatkan hasilnya.
- Pangkat pecahan sangat erat hubungannya dengan bentuk akar.