Matematika — Bentuk Akar
Merasionalkan Penyebut
Materi lengkap, contoh soal bertingkat, dan latihan soal khusus tentang cara mengubah penyebut berbentuk akar menjadi penyebut rasional.
A. Materi Inti
1. Pengertian Merasionalkan Penyebut
Merasionalkan penyebut adalah proses mengubah penyebut suatu pecahan yang masih mengandung bentuk akar menjadi penyebut yang tidak mengandung akar. Tujuannya agar bentuk pecahan menjadi lebih sederhana, rapi, dan mudah digunakan dalam perhitungan lanjutan.
Contoh bentuk yang belum rasional:
\( \frac{3}{\sqrt{5}} \)
Setelah dirasionalkan:
\( \frac{3}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} \)
Penyebut √5 masih berbentuk akar. Setelah dikalikan dengan √5, penyebut menjadi 5, yaitu bilangan rasional.
2. Mengapa Penyebut Perlu Dirasionalkan?
- Agar penyebut tidak berbentuk akar.
- Agar hasil akhir lebih mudah dibandingkan dengan pecahan lain.
- Agar operasi penjumlahan, pengurangan, atau penyederhanaan menjadi lebih mudah.
- Agar bentuk jawaban sesuai kaidah penulisan matematika yang umum digunakan.
3. Sifat Dasar Bentuk Akar yang Digunakan
| Sifat | Penjelasan | Contoh |
|---|---|---|
| √a × √a = a | Akar yang sama jika dikalikan akan menghasilkan bilangan di dalam akar. | √7 × √7 = 7 |
| √a × √b = √ab | Dua bentuk akar dapat dikalikan dengan mengalikan isi akarnya. | √2 × √3 = √6 |
| (a + √b)(a – √b) = a² – b | Pasangan bentuk ini disebut sekawan. | (3 + √2)(3 – √2) = 9 – 2 = 7 |
4. Jenis-Jenis Merasionalkan Penyebut
a. Penyebut Satu Bentuk Akar
Jika penyebut hanya berupa satu bentuk akar, kalikan pembilang dan penyebut dengan bentuk akar yang sama.
\( \frac{a}{\sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b} \)
Contoh:
\( \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \)
b. Penyebut Berbentuk \( a\sqrt{b} \)
Jika penyebut memiliki koefisien di depan akar, kalikan dengan akar yang sama, lalu sederhanakan.
\( \frac{x}{a\sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{x\sqrt{b}}{ab} \)
Contoh:
\( \frac{5}{2\sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{6}}{12} \)
c. Penyebut Berbentuk Penjumlahan atau Pengurangan Akar
Jika penyebut berbentuk dua suku, misalnya a + √b atau a – √b, gunakan bentuk sekawan.
Pasangan sekawan:
\( a + \sqrt{b} \) sekawan dengan \( a – \sqrt{b} \)
\( \sqrt{a} + \sqrt{b} \) sekawan dengan \( \sqrt{a} – \sqrt{b} \)
Contoh:
\( \frac{2}{3+\sqrt{5}} \times \frac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} = \frac{2(3-\sqrt{5})}{9-5} = \frac{6-2\sqrt{5}}{4} = \frac{3-\sqrt{5}}{2} \)
B. Kegiatan Pembelajaran
1. Mengamati
Amati pecahan berikut: \( \frac{2}{\sqrt{3}} \), \( \frac{5}{2\sqrt{7}} \), dan \( \frac{1}{4+\sqrt{3}} \). Ketiganya memiliki penyebut yang mengandung akar sehingga belum berbentuk rasional.
2. Menanya
Pertanyaan yang dapat diajukan:
- Mengapa penyebut berbentuk akar perlu diubah?
- Apa yang harus dikalikan agar penyebut menjadi rasional?
- Kapan kita menggunakan bentuk sekawan?
3. Menalar
Karena √a × √a = a, maka penyebut berupa satu akar dapat dibuat rasional dengan mengalikannya dengan akar yang sama. Untuk penyebut dua suku, digunakan bentuk sekawan agar berlaku pola (a + b)(a – b) = a² – b².
4. Mencoba
Cobalah rasionalkan \( \frac{6}{\sqrt{2}} \).
\( \frac{6}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \)
5. Mengkomunikasikan
Jelaskan dengan kata-katamu sendiri bahwa merasionalkan penyebut dilakukan dengan mengalikan pecahan menggunakan bentuk yang nilainya sama dengan 1, sehingga nilai pecahan tidak berubah, tetapi bentuknya menjadi lebih sederhana.
C. Contoh Soal Mudah
Contoh 1: Rasionalkan \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
Kalikan pembilang dan penyebut dengan √2.
\( \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Jadi, hasilnya adalah \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Contoh 2: Rasionalkan \( \frac{3}{\sqrt{5}} \)
Penyebutnya √5, maka kalikan dengan √5.
\( \frac{3}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} \)
Jadi, hasilnya adalah \( \frac{3\sqrt{5}}{5} \).
Contoh 3: Rasionalkan \( \frac{4}{\sqrt{7}} \)
Kalikan dengan √7/√7.
\( \frac{4}{\sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{4\sqrt{7}}{7} \)
Jadi, hasilnya adalah \( \frac{4\sqrt{7}}{7} \).
Contoh 4: Rasionalkan \( \frac{6}{\sqrt{3}} \)
Kalikan dengan √3/√3.
\( \frac{6}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \)
Jadi, hasilnya adalah \( 2\sqrt{3} \).
Contoh 5: Rasionalkan \( \frac{8}{\sqrt{2}} \)
Kalikan dengan √2/√2.
\( \frac{8}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \)
Jadi, hasilnya adalah \( 4\sqrt{2} \).
D. Contoh Soal Sedang
Contoh 1: Rasionalkan \( \frac{5}{2\sqrt{3}} \)
Kalikan pembilang dan penyebut dengan √3.
\( \frac{5}{2\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{2 \times 3} = \frac{5\sqrt{3}}{6} \)
Jadi, hasilnya adalah \( \frac{5\sqrt{3}}{6} \).
Contoh 2: Rasionalkan \( \frac{7}{3\sqrt{2}} \)
Penyebutnya 3√2, maka kalikan dengan √2.
\( \frac{7}{3\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{3 \times 2} = \frac{7\sqrt{2}}{6} \)
Jadi, hasilnya adalah \( \frac{7\sqrt{2}}{6} \).
Contoh 3: Rasionalkan \( \frac{9}{4\sqrt{5}} \)
Kalikan dengan √5/√5.
\( \frac{9}{4\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{9\sqrt{5}}{20} \)
Jadi, hasilnya adalah \( \frac{9\sqrt{5}}{20} \).
Contoh 4: Rasionalkan \( \frac{10}{5\sqrt{6}} \)
Sederhanakan terlebih dahulu atau langsung kalikan dengan √6.
\( \frac{10}{5\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} \)
\( \frac{2}{\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3} \)
Jadi, hasilnya adalah \( \frac{\sqrt{6}}{3} \).
Contoh 5: Rasionalkan \( \frac{12}{2\sqrt{3}} \)
Sederhanakan dahulu.
\( \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} \)
\( \frac{6}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \)
Jadi, hasilnya adalah \( 2\sqrt{3} \).
E. Contoh Soal Sulit
Contoh 1: Rasionalkan \( \frac{2}{3+\sqrt{5}} \)
Gunakan sekawan dari 3 + √5, yaitu 3 – √5.
\( \frac{2}{3+\sqrt{5}} \times \frac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} \)
\( = \frac{2(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} \)
\( = \frac{6-2\sqrt{5}}{9-5} = \frac{6-2\sqrt{5}}{4} = \frac{3-\sqrt{5}}{2} \)
Jadi, hasilnya adalah \( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \).
Contoh 2: Rasionalkan \( \frac{4}{5-\sqrt{3}} \)
Sekawan dari 5 – √3 adalah 5 + √3.
\( \frac{4}{5-\sqrt{3}} \times \frac{5+\sqrt{3}}{5+\sqrt{3}} \)
\( = \frac{4(5+\sqrt{3})}{25-3} = \frac{20+4\sqrt{3}}{22} \)
\( = \frac{10+2\sqrt{3}}{11} \)
Jadi, hasilnya adalah \( \frac{10+2\sqrt{3}}{11} \).
Contoh 3: Rasionalkan \( \frac{3}{\sqrt{7}+\sqrt{2}} \)
Sekawan dari √7 + √2 adalah √7 – √2.
\( \frac{3}{\sqrt{7}+\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}-\sqrt{2}} \)
\( = \frac{3(\sqrt{7}-\sqrt{2})}{7-2} = \frac{3\sqrt{7}-3\sqrt{2}}{5} \)
Jadi, hasilnya adalah \( \frac{3\sqrt{7}-3\sqrt{2}}{5} \).
Contoh 4: Rasionalkan \( \frac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} \)
Sekawan dari √5 – √2 adalah √5 + √2.
\( \frac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \)
\( = \frac{6(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2} = \frac{6\sqrt{5}+6\sqrt{2}}{3} \)
\( = 2\sqrt{5}+2\sqrt{2} \)
Jadi, hasilnya adalah \( 2\sqrt{5}+2\sqrt{2} \).
Contoh 5: Rasionalkan \( \frac{5}{2+\sqrt{3}} \)
Sekawan dari 2 + √3 adalah 2 – √3.
\( \frac{5}{2+\sqrt{3}} \times \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} \)
\( = \frac{5(2-\sqrt{3})}{4-3} = 10-5\sqrt{3} \)
Jadi, hasilnya adalah \( 10-5\sqrt{3} \).
F. Latihan Soal
Kerjakan latihan berikut tanpa melihat pembahasan. Rasionalkan setiap penyebut dan sederhanakan hasilnya jika memungkinkan.
Latihan Mudah
- \( \frac{2}{\sqrt{3}} \)
- \( \frac{5}{\sqrt{7}} \)
- \( \frac{6}{\sqrt{5}} \)
- \( \frac{9}{\sqrt{2}} \)
- \( \frac{10}{\sqrt{6}} \)
Latihan Sedang
- \( \frac{3}{2\sqrt{5}} \)
- \( \frac{8}{4\sqrt{3}} \)
- \( \frac{11}{5\sqrt{2}} \)
- \( \frac{14}{7\sqrt{6}} \)
- \( \frac{15}{3\sqrt{7}} \)
Latihan Sulit
- \( \frac{1}{2+\sqrt{3}} \)
- \( \frac{3}{4-\sqrt{7}} \)
- \( \frac{5}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} \)
- \( \frac{7}{\sqrt{8}-\sqrt{3}} \)
- \( \frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \)
G. Ringkasan
- Merasionalkan penyebut berarti menghilangkan bentuk akar dari penyebut.
- Jika penyebut satu akar, kalikan dengan akar yang sama.
- Jika penyebut dua suku, kalikan dengan bentuk sekawan.
- Nilai pecahan tidak berubah karena dikalikan dengan bentuk yang nilainya sama dengan 1.
- Hasil akhir sebaiknya disederhanakan jika masih bisa.