Materi Matematika
Perkalian dan Pembagian pada Bentuk Akar
Pembahasan khusus tentang cara mengalikan dan membagi bentuk akar secara runtut, lengkap dengan contoh soal dan latihan.
Fokus: Bentuk Akar
Perkalian • Pembagian • Penyederhanaan
1Materi Inti
Bentuk akar adalah bentuk bilangan yang memuat tanda akar, misalnya √2, √5, 3√7, dan √12. Pada materi ini, pembahasan hanya berfokus pada perkalian dan pembagian bentuk akar.
√a × √b = √(a × b)
√a ÷ √b = √(a ÷ b), dengan b ≠ 0
Dalam bentuk akar, kita sering menyederhanakan hasil akhir. Caranya adalah mencari faktor yang merupakan bilangan kuadrat sempurna, seperti 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, dan 100.
| Konsep | Aturan | Contoh | Hasil |
|---|---|---|---|
| Perkalian akar sejenis atau tidak sejenis | Kalikan bilangan di dalam akar | √3 × √12 = √36 | 6 |
| Perkalian dengan koefisien | Kalikan koefisien, lalu kalikan bilangan di dalam akar | 2√5 × 3√2 = 6√10 | 6√10 |
| Pembagian bentuk akar | Bagi koefisien, lalu bagi bilangan di dalam akar | 6√18 ÷ 3√2 = 2√9 | 6 |
| Menyederhanakan akar | Pisahkan faktor kuadrat sempurna | √72 = √(36 × 2) | 6√2 |
A. Perkalian Bentuk Akar
Untuk mengalikan bentuk akar, kalikan angka di luar akar dengan angka di luar akar, lalu kalikan angka di dalam akar dengan angka di dalam akar.
a√b × c√d = ac√(bd)
B. Pembagian Bentuk Akar
Untuk membagi bentuk akar, bagi angka di luar akar dengan angka di luar akar, lalu bagi angka di dalam akar dengan angka di dalam akar jika memungkinkan.
a√b ÷ c√d = (a/c)√(b/d), c ≠ 0 dan d ≠ 0
Catatan Penting
- Hasil akhir sebaiknya ditulis dalam bentuk akar paling sederhana.
- Jika ada koefisien, jangan lupa mengalikan atau membaginya.
- Untuk pembagian, penyebut tidak boleh nol.
- Jika penyebut masih berbentuk akar, pada tingkat lanjut biasanya dirasionalkan. Namun, fokus artikel ini tetap pada operasi perkalian dan pembagian bentuk akar.
2Kegiatan Pembelajaran 5M
1. Mengamati
Amati bentuk berikut: √2 × √8, 3√5 × 2√10, dan √48 ÷ √3. Perhatikan bahwa operasi dilakukan pada bilangan di dalam akar dan, jika ada, pada koefisien di luar akar.
2. Menanya
Mengapa √2 × √8 dapat menjadi √16? Mengapa √48 ÷ √3 dapat menjadi √16? Pertanyaan ini membantu memahami bahwa perkalian dan pembagian bentuk akar mengikuti aturan tertentu.
3. Menalar
Karena √a × √b = √(ab), maka √2 × √8 = √(2 × 8) = √16 = 4. Demikian juga, karena √a ÷ √b = √(a ÷ b), maka √48 ÷ √3 = √(48 ÷ 3) = √16 = 4.
4. Mencoba
Cobalah menyelesaikan: √6 × √24. Langkahnya: √6 × √24 = √144 = 12. Setelah itu, coba soal lain dengan koefisien, misalnya 2√3 × 4√6.
5. Mengkomunikasikan
Jelaskan kepada temanmu langkah penyelesaian soal 6√20 ÷ 3√5. Jawaban yang runtut adalah: koefisien dibagi terlebih dahulu, yaitu 6 ÷ 3 = 2. Lalu akar dibagi, yaitu √20 ÷ √5 = √4 = 2. Maka hasil akhirnya adalah 2 × 2 = 4.
3Contoh Soal Perkalian Bentuk Akar
A. 5 Contoh Soal Mudah
1. Hitunglah √2 × √8.
Pembahasan: √2 × √8 = √(2 × 8) = √16 = 4. Jadi, hasilnya 4.
2. Hitunglah √3 × √12.
Pembahasan: √3 × √12 = √(3 × 12) = √36 = 6. Jadi, hasilnya 6.
3. Hitunglah √5 × √20.
Pembahasan: √5 × √20 = √(5 × 20) = √100 = 10. Jadi, hasilnya 10.
4. Hitunglah √7 × √7.
Pembahasan: √7 × √7 = √49 = 7. Jadi, hasilnya 7.
5. Hitunglah √6 × √24.
Pembahasan: √6 × √24 = √(6 × 24) = √144 = 12. Jadi, hasilnya 12.
B. 5 Contoh Soal Sedang
1. Hitunglah 2√3 × 4√6.
Pembahasan: Kalikan koefisien: 2 × 4 = 8. Kalikan akar: √3 × √6 = √18. Maka 8√18. Sederhanakan √18 = √(9 × 2) = 3√2. Jadi 8√18 = 8 × 3√2 = 24√2.
2. Hitunglah 3√2 × 5√8.
Pembahasan: 3 × 5 = 15. Lalu √2 × √8 = √16 = 4. Maka hasilnya 15 × 4 = 60.
3. Hitunglah 4√5 × 2√10.
Pembahasan: 4 × 2 = 8. Lalu √5 × √10 = √50. Karena √50 = √(25 × 2) = 5√2, maka hasilnya 8 × 5√2 = 40√2.
4. Hitunglah 6√3 × √12.
Pembahasan: Koefisiennya 6. Akar: √3 × √12 = √36 = 6. Maka hasilnya 6 × 6 = 36.
5. Hitunglah 5√2 × 3√18.
Pembahasan: 5 × 3 = 15. Akar: √2 × √18 = √36 = 6. Maka hasilnya 15 × 6 = 90.
C. 5 Contoh Soal Sulit
1. Hitunglah 2√12 × 3√27.
Pembahasan: Kalikan koefisien: 2 × 3 = 6. Kalikan akar: √12 × √27 = √324. Karena √324 = 18, maka hasilnya 6 × 18 = 108.
2. Hitunglah 4√45 × 2√20.
Pembahasan: 4 × 2 = 8. Akar: √45 × √20 = √900 = 30. Jadi hasilnya 8 × 30 = 240.
3. Hitunglah 3√32 × 5√18.
Pembahasan: 3 × 5 = 15. Akar: √32 × √18 = √576 = 24. Maka hasilnya 15 × 24 = 360.
4. Hitunglah 7√75 × 2√12.
Pembahasan: 7 × 2 = 14. Akar: √75 × √12 = √900 = 30. Maka hasilnya 14 × 30 = 420.
5. Hitunglah 5√48 × 4√27.
Pembahasan: 5 × 4 = 20. Akar: √48 × √27 = √1296 = 36. Maka hasilnya 20 × 36 = 720.
4Latihan Soal Perkalian Bentuk Akar
Kerjakan latihan berikut tanpa melihat pembahasan. Tuliskan langkah pengerjaan secara runtut.
Mudah
- √2 × √18
- √4 × √9
- √5 × √45
- √8 × √2
- √10 × √40
Sedang
- 2√3 × 5√12
- 4√2 × 3√8
- 6√5 × 2√20
- 3√7 × 4√14
- 5√6 × 2√24
Sulit
- 3√75 × 2√12
- 4√98 × 5√8
- 6√45 × 3√20
- 7√27 × 2√48
- 8√32 × 3√18
5Contoh Soal Pembagian Bentuk Akar
A. 5 Contoh Soal Mudah
1. Hitunglah √18 ÷ √2.
Pembahasan: √18 ÷ √2 = √(18 ÷ 2) = √9 = 3.
2. Hitunglah √50 ÷ √2.
Pembahasan: √50 ÷ √2 = √25 = 5.
3. Hitunglah √75 ÷ √3.
Pembahasan: √75 ÷ √3 = √25 = 5.
4. Hitunglah √32 ÷ √2.
Pembahasan: √32 ÷ √2 = √16 = 4.
5. Hitunglah √81 ÷ √9.
Pembahasan: √81 ÷ √9 = √9 = 3.
B. 5 Contoh Soal Sedang
1. Hitunglah 6√18 ÷ 3√2.
Pembahasan: Koefisien: 6 ÷ 3 = 2. Akar: √18 ÷ √2 = √9 = 3. Maka hasilnya 2 × 3 = 6.
2. Hitunglah 10√50 ÷ 5√2.
Pembahasan: Koefisien: 10 ÷ 5 = 2. Akar: √50 ÷ √2 = √25 = 5. Maka hasilnya 2 × 5 = 10.
3. Hitunglah 8√48 ÷ 4√3.
Pembahasan: Koefisien: 8 ÷ 4 = 2. Akar: √48 ÷ √3 = √16 = 4. Maka hasilnya 2 × 4 = 8.
4. Hitunglah 12√72 ÷ 6√2.
Pembahasan: Koefisien: 12 ÷ 6 = 2. Akar: √72 ÷ √2 = √36 = 6. Maka hasilnya 2 × 6 = 12.
5. Hitunglah 15√80 ÷ 5√5.
Pembahasan: Koefisien: 15 ÷ 5 = 3. Akar: √80 ÷ √5 = √16 = 4. Maka hasilnya 3 × 4 = 12.
C. 5 Contoh Soal Sulit
1. Hitunglah 18√108 ÷ 3√3.
Pembahasan: Koefisien: 18 ÷ 3 = 6. Akar: √108 ÷ √3 = √36 = 6. Maka hasilnya 6 × 6 = 36.
2. Hitunglah 24√200 ÷ 6√2.
Pembahasan: Koefisien: 24 ÷ 6 = 4. Akar: √200 ÷ √2 = √100 = 10. Maka hasilnya 4 × 10 = 40.
3. Hitunglah 35√245 ÷ 5√5.
Pembahasan: Koefisien: 35 ÷ 5 = 7. Akar: √245 ÷ √5 = √49 = 7. Maka hasilnya 7 × 7 = 49.
4. Hitunglah 48√192 ÷ 8√3.
Pembahasan: Koefisien: 48 ÷ 8 = 6. Akar: √192 ÷ √3 = √64 = 8. Maka hasilnya 6 × 8 = 48.
5. Hitunglah 63√243 ÷ 9√3.
Pembahasan: Koefisien: 63 ÷ 9 = 7. Akar: √243 ÷ √3 = √81 = 9. Maka hasilnya 7 × 9 = 63.
6Latihan Soal Pembagian Bentuk Akar
Latihan berikut tidak disertai pembahasan agar dapat digunakan sebagai tugas atau evaluasi mandiri.
Mudah
- √20 ÷ √5
- √45 ÷ √5
- √72 ÷ √2
- √98 ÷ √2
- √108 ÷ √3
Sedang
- 8√32 ÷ 4√2
- 12√75 ÷ 3√3
- 18√98 ÷ 6√2
- 20√180 ÷ 5√5
- 24√147 ÷ 4√3
Sulit
- 36√300 ÷ 6√3
- 45√500 ÷ 5√5
- 56√392 ÷ 7√2
- 72√675 ÷ 8√3
- 90√720 ÷ 9√5
Ringkasan Akhir
Pada perkalian bentuk akar, kalikan koefisien dengan koefisien dan bilangan di dalam akar dengan bilangan di dalam akar. Pada pembagian bentuk akar, bagi koefisien dengan koefisien dan bilangan di dalam akar dengan bilangan di dalam akar jika memungkinkan.
Pembagian: a√b ÷ c√d = (a/c)√(b/d)
Langkah terakhir yang penting adalah menyederhanakan bentuk akar dengan mencari faktor kuadrat sempurna.