Operasi Campuran Eksponen
Materi Matematika — Bilangan Berpangkat
1. Materi Operasi Campuran Eksponen
Pendahuluan
Operasi campuran eksponen adalah operasi yang melibatkan lebih dari satu sifat eksponen dalam satu ekspresi. Dalam menyelesaikan operasi campuran, kita harus memahami dan mengombinasikan berbagai sifat bilangan berpangkat secara bersamaan.
Operasi campuran eksponen sering melibatkan kombinasi dari:
- Perkalian pangkat (am × an)
- Pembagian pangkat (am ÷ an)
- Pemangkatan pangkat ((am)n)
- Pangkat negatif (a−n)
- Pangkat pecahan (am/n)
- Pangkat nol (a0 = 1)
Kegiatan: Mengamati
Amatilah ekspresi-ekspresi berikut dan perhatikan sifat-sifat eksponen yang digunakan:
Ekspresi 1: 23 × 24 ÷ 25 = 23+4−5 = 22 = 4
Ekspresi 2: (32)3 × 3−4 = 36 × 3−4 = 36+(−4) = 32 = 9
Ekspresi 3: (54 × 5−2) ÷ 50 = 54+(−2) ÷ 1 = 52 = 25
Ekspresi 4: (23 × 32)2 = 26 × 34 = 64 × 81 = 5184
Perhatikan bagaimana setiap ekspresi menggunakan lebih dari satu sifat eksponen secara bersamaan.
Sifat-Sifat Eksponen yang Digunakan dalam Operasi Campuran
| No | Sifat | Rumus | Keterangan |
|---|---|---|---|
| 1 | Perkalian basis sama | am × an = am+n | Pangkat dijumlahkan |
| 2 | Pembagian basis sama | am ÷ an = am−n | Pangkat dikurangkan |
| 3 | Pangkat dari pangkat | (am)n = am×n | Pangkat dikalikan |
| 4 | Pangkat nol | a0 = 1, a ≠ 0 | Hasil selalu 1 |
| 5 | Pangkat negatif | a−n = 1/an | Menjadi pecahan |
| 6 | Pangkat pecahan | am/n = n√(am) | Bentuk akar |
| 7 | Distributif perkalian | (a × b)n = an × bn | Pangkat didistribusikan |
| 8 | Distributif pembagian | (a/b)n = an/bn | Pangkat didistribusikan |
Kegiatan: Menanya
Setelah mengamati ekspresi di atas, coba pikirkan pertanyaan-pertanyaan berikut:
- Bagaimana urutan pengerjaan jika ada perkalian, pembagian, dan pemangkatan eksponen dalam satu ekspresi?
- Apakah sifat-sifat eksponen bisa diterapkan jika basis bilangan berbeda?
- Bagaimana menangani pangkat negatif dan pangkat pecahan secara bersamaan?
- Kapan kita perlu menyamakan basis terlebih dahulu?
Aturan Urutan Pengerjaan Operasi Campuran Eksponen
Dalam mengerjakan operasi campuran eksponen, ikuti langkah-langkah berikut secara berurutan:
Sederhanakan semua ekspresi di dalam tanda kurung.
Terapkan sifat (am)n = amn.
Gunakan sifat am × an = am+n dan am ÷ an = am−n.
Ubah pangkat negatif menjadi pecahan, hitung nilai numerik jika diminta.
Kegiatan: Menalar
Mari kita analisis secara logis mengapa urutan pengerjaan itu penting:
Contoh: Sederhanakan (23)2 × 2−4 ÷ 20
Langkah 1: Tidak ada tanda kurung yang perlu disederhanakan di dalam.
Langkah 2: (23)2 = 26
Langkah 3: 26 × 2−4 ÷ 20 = 26+(−4)−0 = 22
Langkah 4: 22 = 4
Kesimpulan: Dengan mengikuti urutan yang benar, kita mendapatkan jawaban yang tepat secara efisien.
Kegiatan: Mencoba
Cobalah sederhanakan ekspresi berikut dengan langkah-langkah yang telah dipelajari:
- 34 × 3−2 ÷ 31 = …
- (52)3 ÷ 54 = …
- (43 × 4−1)2 = …
Petunjuk: Terapkan sifat-sifat eksponen satu per satu sesuai urutan.
Teknik Menyamakan Basis
Dalam operasi campuran, seringkali basis bilangan berbeda namun memiliki hubungan. Kita perlu mengubahnya menjadi basis yang sama.
Contoh: Sederhanakan 43 × 82 ÷ 25
• Ubah ke basis 2: 4 = 22, 8 = 23
• (22)3 × (23)2 ÷ 25
• = 26 × 26 ÷ 25
• = 26+6−5
• = 27 = 128
Basis yang sering disamakan:
- 4 = 22, 8 = 23, 16 = 24, 32 = 25
- 9 = 32, 27 = 33, 81 = 34
- 25 = 52, 125 = 53
Operasi Campuran dengan Pangkat Pecahan dan Bentuk Akar
Pangkat pecahan berkaitan erat dengan bentuk akar. Ingat bahwa:
a1/n = n√a
am/n = n√(am) = (n√a)m
Contoh penerapan dalam operasi campuran:
Sederhanakan: 82/3 × 41/2 ÷ 23
• 82/3 = (23)2/3 = 22 = 4
• 41/2 = (22)1/2 = 21 = 2
• Maka: 22 × 21 ÷ 23 = 22+1−3 = 20 = 1
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Setelah memahami materi di atas, komunikasikan pemahamanmu dengan menjawab pertanyaan berikut:
- Jelaskan dengan kata-katamu sendiri langkah-langkah menyelesaikan operasi campuran eksponen.
- Buatlah contoh soal operasi campuran eksponen sendiri dan selesaikan beserta langkah-langkahnya.
- Jelaskan kapan kita perlu menyamakan basis dan bagaimana caranya.
Ringkasan Materi
- ✅ Operasi campuran eksponen melibatkan kombinasi beberapa sifat eksponen.
- ✅ Urutan pengerjaan: kurung → pemangkatan → perkalian/pembagian → sederhanakan.
- ✅ Basis harus disamakan terlebih dahulu jika berbeda namun memiliki hubungan.
- ✅ Pangkat pecahan dinyatakan sebagai bentuk akar: am/n = n√(am).
- ✅ a0 = 1 untuk semua a ≠ 0.
- ✅ a−n = 1/an.
2. Contoh Soal & Pembahasan
Level Mudah
Soal 1: Sederhanakan 23 × 24 ÷ 25
Pembahasan:
= 23+4−5 (sifat perkalian dan pembagian basis sama)
= 22
= 4
Soal 2: Sederhanakan 56 ÷ 54 × 50
Pembahasan:
= 56−4+0
= 52
= 25
Soal 3: Sederhanakan (32)3 ÷ 34
Pembahasan:
= 32×3 ÷ 34
= 36 ÷ 34
= 36−4 = 32
= 9
Soal 4: Sederhanakan 73 × 7−3
Pembahasan:
= 73+(−3)
= 70
= 1
Soal 5: Sederhanakan 42 × 41 ÷ 43
Pembahasan:
= 42+1−3
= 40
= 1
Level Sedang
Soal 1: Sederhanakan (24 × 2−1)2 ÷ 23
Pembahasan:
Langkah 1: Sederhanakan dalam kurung: 24+(−1) = 23
Langkah 2: Pangkatkan: (23)2 = 26
Langkah 3: Bagi: 26 ÷ 23 = 26−3 = 23
= 8
Soal 2: Sederhanakan 43 × 2−2 ÷ 8
Pembahasan:
Samakan basis ke 2: 4 = 22, 8 = 23
= (22)3 × 2−2 ÷ 23
= 26 × 2−2 ÷ 23
= 26+(−2)−3 = 21
= 2
Soal 3: Sederhanakan 92 × 3−1 ÷ 27
Pembahasan:
Samakan basis ke 3: 9 = 32, 27 = 33
= (32)2 × 3−1 ÷ 33
= 34 × 3−1 ÷ 33
= 34+(−1)−3 = 30
= 1
Soal 4: Sederhanakan (53 ÷ 5−1)1/2
Pembahasan:
Langkah 1: Dalam kurung: 53−(−1) = 54
Langkah 2: Pangkatkan: (54)1/2 = 54×(1/2) = 52
= 25
Soal 5: Sederhanakan (23 × 32)2 ÷ (22 × 33)
Pembahasan:
Langkah 1: (23 × 32)2 = 26 × 34
Langkah 2: Bagi masing-masing basis:
= (26 ÷ 22) × (34 ÷ 33)
= 24 × 31
= 16 × 3
= 48
Level Sulit
Soal 1: Sederhanakan (82/3 × 163/4) ÷ 45/2
Pembahasan:
Samakan basis ke 2: 8 = 23, 16 = 24, 4 = 22
• 82/3 = (23)2/3 = 22
• 163/4 = (24)3/4 = 23
• 45/2 = (22)5/2 = 25
Maka: 22 × 23 ÷ 25 = 22+3−5 = 20
= 1
Soal 2: Sederhanakan [(3−2)−3 × 272/3] ÷ 95/2
Pembahasan:
• (3−2)−3 = 3(−2)(−3) = 36
• 272/3 = (33)2/3 = 32
• 95/2 = (32)5/2 = 35
Maka: (36 × 32) ÷ 35 = 36+2−5 = 33
= 27
Soal 3: Sederhanakan (2n+2 × 4n) ÷ (8n−1 × 23)
Pembahasan:
Samakan basis ke 2: 4 = 22, 8 = 23
Pembilang: 2n+2 × (22)n = 2n+2 × 22n = 2n+2+2n = 23n+2
Penyebut: (23)n−1 × 23 = 23n−3 × 23 = 23n−3+3 = 23n
Hasil: 23n+2 ÷ 23n = 2(3n+2)−3n = 22
= 4
Soal 4: Sederhanakan [(63)2 × (2−3 × 3−2)2] ÷ 62
Pembahasan:
• (63)2 = 66 = (2 × 3)6 = 26 × 36
• (2−3 × 3−2)2 = 2−6 × 3−4
• Pembilang: 26 × 36 × 2−6 × 3−4 = 20 × 32 = 9
• 62 = 36
• Hasil: 9 ÷ 36 = 1/4
= 1/4
Soal 5: Sederhanakan (25n+1 × 5−2n) ÷ (125n × 5−n+2)
Pembahasan:
Samakan basis ke 5: 25 = 52, 125 = 53
Pembilang: (52)n+1 × 5−2n = 52n+2 × 5−2n = 52n+2−2n = 52
Penyebut: (53)n × 5−n+2 = 53n × 5−n+2 = 53n−n+2 = 52n+2
Hasil: 52 ÷ 52n+2 = 52−(2n+2) = 5−2n
= 5−2n = 1/52n
3. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri. Terapkan sifat-sifat eksponen yang telah dipelajari.
Level Mudah
1. Sederhanakan 35 × 32 ÷ 34
2. Sederhanakan (24)2 ÷ 26
3. Sederhanakan 63 × 6−2 × 60
4. Sederhanakan 105 ÷ 103 × 10−1
5. Sederhanakan (52)0 × 53
Level Sedang
1. Sederhanakan (42 × 23) ÷ 82
2. Sederhanakan 272/3 × 9−1/2 × 32
3. Sederhanakan [(23)−2 × 43] ÷ 2−1
4. Sederhanakan (34 ÷ 3−2)1/3
5. Sederhanakan (23 × 52)2 ÷ (4 × 25)
Level Sulit
1. Sederhanakan (2n+3 × 4n−1) ÷ (8n × 2−2)
2. Sederhanakan [(9n)2 × 3−n] ÷ (27n × 3n+1)
3. Sederhanakan (163/4 × 32−2/5) ÷ (81/3 × 4−1/2)
4. Sederhanakan [(52n × 25−n+1) ÷ 125n−1]1/2
5. Sederhanakan (6n+2 × 2−n × 3−n) ÷ (12n × 32)