Bilangan Berpangkat (Eksponen) – Hubungan Pangkat dan Akar

Matematika — Materi Lengkap dengan Contoh Soal dan Latihan

1. Pengertian Pangkat dan Akar

🔍 Mengamati: Perhatikan hubungan berikut ini:
2³ = 8 ⟺ ³√8 = 2
5² = 25 ⟺ √25 = 5
Apa pola yang kamu temukan?

Bilangan berpangkat (eksponen) dan bentuk akar memiliki hubungan yang sangat erat. Keduanya merupakan operasi yang saling invers (kebalikan).

Definisi Dasar:

Jika aⁿ = b, maka ⁿ√b = a

Dengan kata lain:
• aⁿ artinya a dikalikan sebanyak n kali
• ⁿ√b artinya mencari bilangan yang jika dipangkatkan n menghasilkan b

❓ Menanya: Bagaimana jika pangkatnya berupa pecahan? Apakah ada hubungannya dengan bentuk akar?

Hubungan Pangkat Pecahan dan Akar

Pangkat pecahan merupakan cara lain untuk menuliskan bentuk akar. Hubungan ini sangat penting dan menjadi dasar dalam menyederhanakan ekspresi matematika.

Rumus Hubungan Pangkat dan Akar:

a¹ⁿ = ⁿ√a

a^mn = ⁿ√(a^m) = (ⁿ√a)^m

Keterangan:
• a = bilangan pokok (basis), a > 0
• m = pembilang pangkat
• n = penyebut pangkat = indeks akar

💡 Menalar: Dari rumus di atas, kita dapat menyimpulkan:
• Penyebut dari pangkat pecahan menjadi indeks akar
• Pembilang dari pangkat pecahan menjadi pangkat dari bilangan di dalam akar
Contoh: 8²³ = ³√(8²) = ³√64 = 4

Tabel Hubungan Pangkat dan Akar

Bentuk Pangkat	Bentuk Akar	Nilai
4¹²	√4	2
8¹³	³√8	2
27²³	³√(27²) = (³√27)²	9
16³⁴	⁴√(16³) = (⁴√16)³	8
32²⁵	⁵√(32²) = (⁵√32)²	4

✍️ Mencoba: Ubahlah bentuk berikut ke bentuk akar:
1. 9¹² = …?
2. 64²³ = …?
3. 81³⁴ = …?

📢 Mengkomunikasikan: Jelaskan dengan kata-katamu sendiri mengapa a¹² sama dengan √a. Petunjuk: coba kalikan a¹² × a¹² menggunakan sifat pangkat.

Contoh Soal — Pengertian dan Hubungan Dasar

Tingkat Mudah

Contoh 1: Ubah 25¹² ke bentuk akar dan tentukan nilainya.

Pembahasan:
25¹² = √25 = 5
Karena penyebut pangkat = 2, maka indeks akar = 2 (akar kuadrat).

Contoh 2: Ubah ³√27 ke bentuk pangkat dan tentukan nilainya.

Pembahasan:
³√27 = 27¹³
= (3³)¹³
= 3³³ = 3¹ = 3

Contoh 3: Tentukan nilai dari 16¹⁴.

Pembahasan:
16¹⁴ = ⁴√16
= ⁴√(2⁴) = 2

Contoh 4: Nyatakan √49 dalam bentuk pangkat.

Pembahasan:
√49 = 49¹² = (7²)¹² = 7¹ = 7

Contoh 5: Tentukan nilai dari 100¹².

Pembahasan:
100¹² = √100 = 10

Tingkat Sedang

Contoh 6: Tentukan nilai dari 8²³.

Pembahasan:
8²³ = (³√8)²
= (2)² = 4
Cara alternatif: 8²³ = (2³)²³ = 2² = 4

Contoh 7: Sederhanakan 27⁴³.

Pembahasan:
27⁴³ = (3³)⁴³
= 3¹²³ = 3⁴ = 81

Contoh 8: Ubah ³√(5⁴) ke bentuk pangkat pecahan.

Pembahasan:
³√(5⁴) = 5⁴³
Indeks akar menjadi penyebut, pangkat di dalam akar menjadi pembilang.

Contoh 9: Tentukan nilai dari 16³².

Pembahasan:
16³² = (√16)³
= 4³ = 64

Contoh 10: Sederhanakan 32³⁵.

Pembahasan:
32³⁵ = (2⁵)³⁵
= 2³ = 8

Tingkat Sulit

Contoh 11: Sederhanakan (8²³ × 27¹³) ÷ 6.

Pembahasan:
8²³ = (2³)²³ = 2² = 4
27¹³ = (3³)¹³ = 3
Maka: (4 × 3) ÷ 6 = 12 ÷ 6 = 2

Contoh 12: Tentukan nilai dari (827)²³.

Pembahasan:
(827)²³ = 8²³27²³

= (2³)²³(3³)²³ = 2²3² = 49

Contoh 13: Sederhanakan 4³² × 9¹² ÷ 8¹³.

Pembahasan:
4³² = (2²)³² = 2³ = 8
9¹² = √9 = 3
8¹³ = ³√8 = 2
Maka: 8 × 3 ÷ 2 = 24 ÷ 2 = 12

Contoh 14: Jika x = 2¹³, tentukan nilai x⁶.

Pembahasan:
x⁶ = (2¹³)⁶
= 2⁶³ = 2² = 4

Contoh 15: Sederhanakan 16³⁴ × 8²³4⁵²

Pembahasan:
16³⁴ = (2⁴)³⁴ = 2³ = 8
8²³ = (2³)²³ = 2² = 4
4⁵² = (2²)⁵² = 2⁵ = 32
Maka: 8 × 432 = 3232 = 1

Latihan Soal — Pengertian dan Hubungan Dasar

Tingkat Mudah

Ubah 36¹² ke bentuk akar dan tentukan nilainya.
Tentukan nilai dari ³√64.
Nyatakan √81 dalam bentuk pangkat pecahan.
Tentukan nilai dari 125¹³.
Ubah ⁴√81 ke bentuk pangkat dan tentukan nilainya.

Tingkat Sedang

Tentukan nilai dari 64²³.
Sederhanakan 81³⁴.
Tentukan nilai dari 25³².
Ubah ⁵√(2¹⁰) ke bentuk pangkat dan tentukan nilainya.
Sederhanakan (18)²³.

Tingkat Sulit

Sederhanakan 16⁵⁴ ÷ 8⁴³.
Tentukan nilai dari (2764)²³.
Jika a = 3¹², tentukan nilai a⁴ × a⁻².
Sederhanakan 27²³ × 16¹⁴9¹².
Tentukan nilai x jika x²³ = 9.

2. Sifat-Sifat Operasi yang Menghubungkan Pangkat dan Akar

🔍 Mengamati: Perhatikan kesamaan berikut:
√(4 × 9) = √36 = 6 dan √4 × √9 = 2 × 3 = 6
Apakah √(a × b) selalu sama dengan √a × √b?

Karena akar adalah pangkat pecahan, maka semua sifat pangkat berlaku juga untuk bentuk akar. Berikut sifat-sifat penting:

Sifat-Sifat Hubungan Pangkat dan Akar:

1. ⁿ√(a × b) = ⁿ√a × ⁿ√b

2. ⁿ√(ab) = ⁿ√aⁿ√b

3. ^m√(ⁿ√a) = ^mn√a = a^1mn

4. (ⁿ√a)ⁿ = a

5. ⁿ√(aⁿ) = a (untuk a ≥ 0)

❓ Menanya: Mengapa sifat-sifat tersebut berlaku? Bagaimana membuktikannya menggunakan pangkat pecahan?

💡 Menalar: Mari kita buktikan sifat ke-1:
ⁿ√(a × b) = (a × b)¹ⁿ = a¹ⁿ × b¹ⁿ = ⁿ√a × ⁿ√b ✓

Sifat ke-3:
^m√(ⁿ√a) = (ⁿ√a)^1m = (a¹ⁿ)^1m = a^1mn = ^mn√a ✓

✍️ Mencoba: Gunakan sifat-sifat di atas untuk menyederhanakan:
1. √(12) × √(3) = ?
2. ³√(8 × 27) = ?
3. √(√81) = ?

📢 Mengkomunikasikan: Diskusikan: Apakah √(a + b) = √a + √b? Buktikan dengan contoh bilangan bahwa pernyataan tersebut SALAH. Mengapa sifat ini tidak berlaku?

Contoh Soal — Sifat-Sifat Operasi Pangkat dan Akar

Tingkat Mudah

Contoh 1: Sederhanakan √(50).

Pembahasan:
√50 = √(25 × 2) = √25 × √2 = 5√2

Contoh 2: Sederhanakan ³√(24).

Pembahasan:
³√24 = ³√(8 × 3) = ³√8 × ³√3 = 2³√3

Contoh 3: Hitunglah √(18) × √(2).

Pembahasan:
√18 × √2 = √(18 × 2) = √36 = 6

Contoh 4: Sederhanakan √72√2.

Pembahasan:
√72√2 = √(722) = √36 = 6

Contoh 5: Tentukan nilai √(√16).

Pembahasan:
√(√16) = ⁴√16 = 16¹⁴ = (2⁴)¹⁴ = 2

Tingkat Sedang

Contoh 6: Sederhanakan √(75) + √(27) − √(12).

Pembahasan:
√75 = √(25×3) = 5√3
√27 = √(9×3) = 3√3
√12 = √(4×3) = 2√3
Maka: 5√3 + 3√3 − 2√3 = 6√3

Contoh 7: Sederhanakan ³√(54) + ³√(16).

Pembahasan:
³√54 = ³√(27×2) = 3³√2
³√16 = ³√(8×2) = 2³√2
Maka: 3³√2 + 2³√2 = 5³√2

Contoh 8: Nyatakan √8 × √6√3 dalam bentuk sederhana.

Pembahasan:
√8 × √6√3 = √(8×6)√3 = √48√3 = √(483) = √16 = 4

Contoh 9: Sederhanakan (2√3)² × √(3).

Pembahasan:
(2√3)² = 4 × 3 = 12
12 × √3 = 12√3

Contoh 10: Tentukan nilai ³√(³√729).

Pembahasan:
³√(³√729) = ⁹√729 = 729¹⁹
729 = 3⁶
(3⁶)¹⁹ = 3⁶⁹ = 3²³ = ³√9

Tingkat Sulit

Contoh 11: Sederhanakan √(48) + √(27)√(75).

Pembahasan:
√48 = 4√3, √27 = 3√3, √75 = 5√3
= 4√3 + 3√35√3 = 7√35√3 = 75

Contoh 12: Sederhanakan 2¹² × 4³⁴ × 8¹⁶.

Pembahasan:
Ubah semua ke basis 2:
2¹² × (2²)³⁴ × (2³)¹⁶
= 2¹² × 2³² × 2¹²
= 2^{(12 + 32 + 12)} = 2⁵² = √(2⁵) = √32 = 4√2

Contoh 13: Jika a¹³ + a⁻¹³ = 3, tentukan nilai a²³ + a⁻²³.

Pembahasan:
Misalkan p = a¹³ + a⁻¹³ = 3
Kuadratkan: p² = a²³ + 2(a¹³)(a⁻¹³) + a⁻²³
9 = a²³ + 2(1) + a⁻²³
a²³ + a⁻²³ = 9 − 2 = 7

Contoh 14: Sederhanakan (³√4)² × (³√2)⁶√8.

Pembahasan:
(³√4)² = (4¹³)² = 4²³ = (2²)²³ = 2⁴³
³√2 = 2¹³
⁶√8 = 8¹⁶ = (2³)¹⁶ = 2¹²

= 2⁴³ × 2¹³2¹² = 2⁵³2¹² = 2^{(53 − 12)} = 2⁷⁶ = ⁶√(2⁷) = ⁶√128

Contoh 15: Buktikan bahwa √2 × ³√2 × ⁶√2 = 2.

Pembahasan:
√2 × ³√2 × ⁶√2 = 2¹² × 2¹³ × 2¹⁶
= 2^{(12 + 13 + 16)}
= 2^(3+2+16) = 2⁶⁶ = 2¹ = 2 ✓ (Terbukti)

Latihan Soal — Sifat-Sifat Operasi Pangkat dan Akar

Tingkat Mudah

Sederhanakan √(72).
Hitunglah √(5) × √(20).
Sederhanakan ³√(40).
Tentukan nilai √200√2.
Sederhanakan √(√256).

Tingkat Sedang

Sederhanakan √(98) + √(32) − √(8).
Hitunglah ³√(128) − ³√(16).
Sederhanakan (3√2)² × √(8).
Tentukan nilai √(45) + √(20)√(5).
Sederhanakan 3¹² × 9³⁴ × 27¹⁶.

Tingkat Sulit

Sederhanakan (³√9)² × ⁶√3√3.
Jika a¹² − a⁻¹² = 4, tentukan nilai a + a⁻¹.
Buktikan bahwa ⁴√2 × ⁴√8 = 2.
Sederhanakan 8²³ × 27⁻¹³6¹² × 2⁻¹².
Tentukan nilai x jika ³√(x+1) = (x+1)¹⁶ × (x+1)¹⁶.

3. Merasionalkan Penyebut dengan Pangkat Pecahan

🔍 Mengamati: Perhatikan:
1√2 = 12¹² = 2⁻¹²

Bagaimana cara mengubah bentuk tersebut agar penyebutnya rasional?

Merasionalkan penyebut berarti menghilangkan bentuk akar di penyebut. Dengan memahami hubungan pangkat dan akar, kita bisa menggunakan pangkat pecahan untuk mempermudah proses ini.

Teknik Merasionalkan Penyebut:

Tipe 1: a√b = a√b × √b√b = a√bb

Tipe 2: a√b + √c = a(√b − √c)b − c

Tipe 3: aⁿ√b = a × bⁿ⁻¹ⁿb

❓ Menanya: Mengapa pada Tipe 2 kita mengalikan dengan (√b − √c)? Apa hubungannya dengan selisih kuadrat?

💡 Menalar: Pada Tipe 2, kita menggunakan identitas:
(√b + √c)(√b − √c) = (√b)² − (√c)² = b − c
Ini menghilangkan akar di penyebut karena menghasilkan bilangan rasional.

Dalam notasi pangkat:
(b¹² + c¹²)(b¹² − c¹²) = b − c

✍️ Mencoba: Rasionalkan penyebut:
1. 3√5 = ?
2. 2√3 − 1 = ?

📢 Mengkomunikasikan: Jelaskan kepada temanmu langkah-langkah merasionalkan 1³√4 menggunakan konsep pangkat pecahan.

Contoh Soal — Merasionalkan Penyebut

Tingkat Mudah

Contoh 1: Rasionalkan 6√3.

Pembahasan:
6√3 × √3√3 = 6√33 = 2√3

Contoh 2: Rasionalkan 4√2.

Pembahasan:
4√2 × √2√2 = 4√22 = 2√2

Contoh 3: Rasionalkan 10√5.

Pembahasan:
10√5 × √5√5 = 10√55 = 2√5

Contoh 4: Rasionalkan 12√7.

Pembahasan:
12√7 × √7√7 = √72×7 = √714

Contoh 5: Rasionalkan 3√6.

Pembahasan:
3√6 × √6√6 = 3√66 = √62

Tingkat Sedang

Contoh 6: Rasionalkan 2√5 − √3.

Pembahasan:
Kalikan dengan sekawan (√5 + √3):
2(√5 + √3)(√5 − √3)(√5 + √3) = 2(√5 + √3)5 − 3 = 2(√5 + √3)2 = √5 + √3

Contoh 7: Rasionalkan 3√7 + 2.

Pembahasan:
3(√7 − 2)(√7 + 2)(√7 − 2) = 3(√7 − 2)7 − 4 = 3(√7 − 2)3 = √7 − 2

Contoh 8: Rasionalkan 1³√2.

Pembahasan:
12¹³ × 2²³2²³ = 2²³2 = ³√42

Contoh 9: Rasionalkan √6 + √2√6 − √2.

Pembahasan:
= (√6 + √2)(√6 + √2)(√6 − √2)(√6 + √2)
= (√6 + √2)²6 − 2
= 6 + 2√12 + 24 = 8 + 4√34 = 2 + √3

Contoh 10: Rasionalkan 53 − √2.

Pembahasan:
= 5(3 + √2)(3 − √2)(3 + √2) = 5(3 + √2)9 − 2 = 5(3 + √2)7 = 15 + 5√27

Tingkat Sulit

Contoh 11: Rasionalkan 1³√3 − 1.

Pembahasan:
Misalkan a = ³√3, kita gunakan identitas a³ − 1 = (a−1)(a² + a + 1):
Kalikan dengan (³√9 + ³√3 + 1)(³√9 + ³√3 + 1)

= ³√9 + ³√3 + 1(³√3)³ − 1³ = ³√9 + ³√3 + 13 − 1 = ³√9 + ³√3 + 12

Contoh 12: Rasionalkan √2 + √3√2 − √3 + √5.

Pembahasan:
Kelompokkan: penyebut = (√2 + √5) − √3
Kalikan dengan (√2 + √5) + √3:
Penyebut: (√2 + √5)² − 3 = 2 + 2√10 + 5 − 3 = 4 + 2√10
Pembilang: (√2 + √3)((√2 + √5) + √3) = (√2 + √3)(√2 + √5 + √3)
= 2 + √10 + √6 + √6 + √15 + 3 = 5 + √10 + 2√6 + √15
= 5 + √10 + 2√6 + √154 + 2√10
Kalikan lagi dengan 4 − 2√104 − 2√10 (penyebut: 16 − 40 = −24)
= (5 + √10 + 2√6 + √15)(4 − 2√10)−24

Contoh 13: Sederhanakan 1√2 + √3 + √5.

Pembahasan:
Kelompokkan: penyebut = (√2 + √3) + √5
Kalikan dengan (√2 + √3) − √5:
Penyebut: (√2 + √3)² − 5 = 2 + 2√6 + 3 − 5 = 2√6
Pembilang: (√2 + √3 − √5)
= √2 + √3 − √52√6
Rasionalkan lagi: × √6√6 = √12 + √18 − √3012 = 2√3 + 3√2 − √3012

Contoh 14: Rasionalkan 2³√4 + ³√2.

Pembahasan:
Misalkan a = ³√2, maka ³√4 = a²
Penyebut = a² + a = a(a + 1) = ³√2(³√2 + 1)
Kalikan dengan ³√4³√4: penyebut = ³√4 × (³√4 + ³√2) masih irasional.

Cara lain: faktorkan ³√2:
= 2³√2(³√2 + 1) = 2 × ³√42(³√2 + 1) = ³√4³√2 + 1
Kalikan dengan ³√4 − ³√2 + 1³√4 − ³√2 + 1 (menggunakan a³+1 = (a+1)(a²−a+1)):
= ³√4(³√4 − ³√2 + 1)(³√2)³ + 1 = ³√4(³√4 − ³√2 + 1)3

Contoh 15: Sederhanakan √5 − √3√5 + √3 + √5 + √3√5 − √3.

Pembahasan:
Pecahan pertama: (√5 − √3)²(√5 + √3)(√5 − √3) = 5 − 2√15 + 32 = 8 − 2√152 = 4 − √15

Pecahan kedua: (√5 + √3)²(√5 − √3)(√5 + √3) = 5 + 2√15 + 32 = 8 + 2√152 = 4 + √15

Jumlah: (4 − √15) + (4 + √15) = 8

Latihan Soal — Merasionalkan Penyebut

Tingkat Mudah

Rasionalkan 8√2.
Rasionalkan 5√10.
Rasionalkan 12√3.
Rasionalkan 23√5.
Rasionalkan √3√7.

Tingkat Sedang

Rasionalkan 4√3 + 1.
Rasionalkan 6√7 − √5.
Rasionalkan 1³√5.
Rasionalkan √3 − 1√3 + 1.
Rasionalkan 32√2 + √3.

Tingkat Sulit

Rasionalkan 1³√2 + 1.
Sederhanakan √7 − √2√7 + √2 − √7 + √2√7 − √2.
Rasionalkan 1√2 + √3 + √5.
Rasionalkan 2³√9 − ³√3.
Sederhanakan 11 + √2 + 1√2 + √3 + 1√3 + 2.

4. Menyelesaikan Persamaan dengan Pangkat Pecahan dan Akar

🔍 Mengamati: Perhatikan persamaan:
x¹² = 3 → Bagaimana mencari x?
Jika kedua ruas dipangkatkan 2: (x¹²)² = 3² → x = 9 ✓

Untuk menyelesaikan persamaan yang mengandung pangkat pecahan atau bentuk akar, kita menggunakan prinsip: pangkatkan kedua ruas dengan kebalikan dari pangkat yang ada.

Strategi Penyelesaian:

Jika x^mn = k, maka:
x = k^nm

Langkah-langkah:
1. Isolasi bentuk pangkat/akar di satu ruas
2. Pangkatkan kedua ruas dengan kebalikan pangkat
3. Periksa solusi (substitusi kembali)

❓ Menanya: Mengapa kita perlu memeriksa solusi? Apakah ada kemungkinan solusi asing (extraneous solution)?

💡 Menalar: Ya! Ketika kita memangkatkan kedua ruas, bisa muncul solusi asing. Contoh:
√x = −3 → tidak ada solusi (√x selalu ≥ 0)
Tapi jika kita kuadratkan: x = 9 (ini solusi asing karena √9 = 3 ≠ −3)

✍️ Mencoba: Selesaikan persamaan:
1. x¹³ = 4
2. √(2x + 1) = 5
3. x²³ = 9

📢 Mengkomunikasikan: Jelaskan mengapa langkah pemeriksaan solusi sangat penting ketika menyelesaikan persamaan akar. Berikan contoh di mana tanpa pemeriksaan kita mendapat jawaban yang salah.

Contoh Soal — Persamaan Pangkat Pecahan dan Akar

Tingkat Mudah

Contoh 1: Selesaikan x¹² = 5.

Pembahasan:
Pangkatkan kedua ruas dengan 2:
x = 5² = 25
Periksa: 25¹² = √25 = 5 ✓

Contoh 2: Selesaikan √x = 7.

Pembahasan:
(√x)² = 7²
x = 49
Periksa: √49 = 7 ✓

Contoh 3: Selesaikan x¹³ = 2.

Pembahasan:
Pangkatkan kedua ruas dengan 3:
x = 2³ = 8
Periksa: 8¹³ = ³√8 = 2 ✓

Contoh 4: Selesaikan ³√x = 4.

Pembahasan:
x = 4³ = 64
Periksa: ³√64 = 4 ✓

Contoh 5: Selesaikan √(x + 3) = 4.

Pembahasan:
Kuadratkan: x + 3 = 16
x = 13
Periksa: √(13 + 3) = √16 = 4 ✓

Tingkat Sedang

Contoh 6: Selesaikan x²³ = 4.

Pembahasan:
Pangkatkan kedua ruas dengan 32:
x = 4³² = (√4)³ = 2³ = 8
Periksa: 8²³ = (³√8)² = 2² = 4 ✓

Contoh 7: Selesaikan √(2x − 1) = x − 2.

Pembahasan:
Kuadratkan: 2x − 1 = (x − 2)² = x² − 4x + 4
0 = x² − 6x + 5 = (x − 1)(x − 5)
x = 1 atau x = 5

Periksa x = 1: √(2−1) = √1 = 1, sedangkan x−2 = −1. Karena 1 ≠ −1, x = 1 bukan solusi.
Periksa x = 5: √(10−1) = √9 = 3, sedangkan x−2 = 3. ✓
Jadi x = 5.

Contoh 8: Selesaikan x³⁴ = 8.

Pembahasan:
Pangkatkan dengan 43:
x = 8⁴³ = (³√8)⁴ = 2⁴ = 16
Periksa: 16³⁴ = (⁴√16)³ = 2³ = 8 ✓

Contoh 9: Selesaikan √(x + 5) + 1 = x.

Pembahasan:
√(x + 5) = x − 1
Kuadratkan: x + 5 = x² − 2x + 1
0 = x² − 3x − 4 = (x − 4)(x + 1)
x = 4 atau x = −1

Periksa x = 4: √9 + 1 = 3 + 1 = 4 ✓
Periksa x = −1: √4 + 1 = 2 + 1 = 3 ≠ −1 ✗
Jadi x = 4.

Contoh 10: Selesaikan (2x + 3)¹³ = 3.

Pembahasan:
Pangkatkan dengan 3: 2x + 3 = 27
2x = 24
x = 12
Periksa: (24 + 3)¹³ = 27¹³ = 3 ✓

Tingkat Sulit

Contoh 11: Selesaikan √(x + 7) − √(x − 5) = 2.

Pembahasan:
√(x + 7) = 2 + √(x − 5)
Kuadratkan: x + 7 = 4 + 4√(x−5) + x − 5
8 = 4√(x − 5)
2 = √(x − 5)
Kuadratkan: 4 = x − 5 → x = 9
Periksa: √16 − √4 = 4 − 2 = 2 ✓

Contoh 12: Selesaikan x²³ − 5x¹³ + 6 = 0.

Pembahasan:
Substitusi: y = x¹³
y² − 5y + 6 = 0 → (y − 2)(y − 3) = 0
y = 2 → x¹³ = 2 → x = 8
y = 3 → x¹³ = 3 → x = 27
Periksa x = 8: 4 − 10 + 6 = 0 ✓
Periksa x = 27: 9 − 15 + 6 = 0 ✓

Contoh 13: Selesaikan √(3x + 1) + √(x − 1) = 4.

Pembahasan:
√(3x+1) = 4 − √(x−1)
Kuadratkan: 3x + 1 = 16 − 8√(x−1) + x − 1
2x − 14 = −8√(x−1)
x − 7 = −4√(x−1)
Kuadratkan: x² − 14x + 49 = 16(x − 1)
x² − 30x + 65 = 0
x = 30 ± √(900 − 260)2 = 30 ± √6402 = 15 ± 4√10

Periksa x = 15 − 4√10 ≈ 2.35: √(8.05) + √(1.35) ≈ 2.84 + 1.16 = 4 ✓
Periksa x = 15 + 4√10 ≈ 27.65: √(83.95) + √(26.65) ≈ 9.16 + 5.16 ≠ 4 ✗
Jadi x = 15 − 4√10.

Contoh 14: Selesaikan x⁴³ − 10x²³ + 9 = 0.

Pembahasan:
Substitusi: y = x²³
y² − 10y + 9 = 0 → (y − 1)(y − 9) = 0
y = 1: x²³ = 1 → x = 1³² = 1
y = 9: x²³ = 9 → x = 9³² = 27
Periksa x = 1: 1 − 10 + 9 = 0 ✓
Periksa x = 27: 81 − 90 + 9 = 0 ✓

Contoh 15: Selesaikan √(x + 3) + √(2x + 1) = √(8x + 1).

Pembahasan:
Kuadratkan kedua ruas:
(x+3) + 2√((x+3)(2x+1)) + (2x+1) = 8x + 1
3x + 4 + 2√(2x²+7x+3) = 8x + 1
2√(2x²+7x+3) = 5x − 3
Kuadratkan: 4(2x²+7x+3) = 25x² − 30x + 9
8x² + 28x + 12 = 25x² − 30x + 9
17x² − 58x − 3 = 0
x = 58 ± √(3364 + 204)34 = 58 ± √356834 = 58 ± 4√22334

x = 29 + 2√22317 ≈ 3.46 (setelah pemeriksaan)
Syarat: 5x − 3 ≥ 0 → x ≥ 0.6, dan x ≥ −0.5
Hanya x = 29 + 2√22317 yang memenuhi.

Latihan Soal — Persamaan Pangkat Pecahan dan Akar

Tingkat Mudah

Selesaikan x¹² = 6.
Selesaikan ³√x = 5.
Selesaikan √(x − 2) = 3.
Selesaikan x¹⁴ = 3.
Selesaikan √(3x + 1) = 4.

Tingkat Sedang

Selesaikan x²³ = 16.
Selesaikan √(x + 1) = x − 1.
Selesaikan (3x − 2)²³ = 4.
Selesaikan √(2x + 3) + 2 = x.
Selesaikan x³² = 27.

Tingkat Sulit

Selesaikan √(x + 5) − √(x − 3) = 2.
Selesaikan x²³ + 2x¹³ − 8 = 0.
Selesaikan √(2x+1) + √(x+4) = 5.
Selesaikan x − 4√x − 5 = 0.
Selesaikan x⁴³ − 5x²³ + 4 = 0.

Ringkasan

Poin-Poin Kunci Hubungan Pangkat dan Akar:

1. a¹ⁿ = ⁿ√a

2. a^mn = ⁿ√(a^m) = (ⁿ√a)^m

3. Semua sifat pangkat berlaku untuk pangkat pecahan (akar)

4. Penyebut pangkat pecahan = indeks akar

5. Pembilang pangkat pecahan = pangkat bilangan di dalam akar

6. Selalu periksa solusi persamaan akar untuk menghindari solusi asing

1. Pengertian Pangkat dan Akar

Hubungan Pangkat Pecahan dan Akar

Tabel Hubungan Pangkat dan Akar

Contoh Soal — Pengertian dan Hubungan Dasar

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

Latihan Soal — Pengertian dan Hubungan Dasar

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

2. Sifat-Sifat Operasi yang Menghubungkan Pangkat dan Akar

Contoh Soal — Sifat-Sifat Operasi Pangkat dan Akar

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

Latihan Soal — Sifat-Sifat Operasi Pangkat dan Akar

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

3. Merasionalkan Penyebut dengan Pangkat Pecahan

Contoh Soal — Merasionalkan Penyebut

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

Latihan Soal — Merasionalkan Penyebut

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

4. Menyelesaikan Persamaan dengan Pangkat Pecahan dan Akar

Contoh Soal — Persamaan Pangkat Pecahan dan Akar

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

Latihan Soal — Persamaan Pangkat Pecahan dan Akar

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

Ringkasan

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed